高考调研数学答案

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2023届新高三新高考调研卷解析版

2023届新高三新高考数学调研考试卷一一、单选题1.若z =i 21+i ，则z =()A.-12-12iB.-12+12i C.12-12i D.12+12i 【答案】A【分析】利用复数的除法运算，分子分母同时乘以1-i.【解析】因为i 21+i =i 21-i 1+i 1-i -(1-i )2=-12+12i ，所以z =-12-12i ．故选：A.2.下列四组集合中，满足M ∪N =x -1≤x ≤8 的是()A.M =x -1≤x <9 ,N =x -2≤x ≤8B.M =x -1≤x ≤9 ,N =x 0≤x <8C.M =x 1<x ≤8 ,N =x -1≤x ≤4D.M =x -1≤x <1 ,N =x 1<x ≤8【答案】C【分析】求得M ∪N 判断选项A ；求得M ∪N 判断选项B ；求得M ∪N 判断选项C ；求得M ∪N 判断选项D.【解析】选项A ：M ∪N =x -1≤x <9 ∪x -2≤x ≤8 =x -2≤x <9 .不符合题意；选项B ：M ∪N =x -1≤x ≤9 ∪x 0≤x <8 =x -1≤x ≤9 .不符合题意；选项C ：M ∪N =x 1<x ≤8 ∪x -1≤x ≤4 =x -1≤x ≤8 .符合题意；选项D ：M ∪N =x -1≤x <1 ∪x 1<x ≤8 =x -1≤x <1或1<x ≤8 .不符合题意.故选：C3.第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.小林观看了本届冬奥会后，打算从冰壶､短道速滑､花样滑冰､冬季两项这四个项目中任意选两项进行系统的学习，则小林没有选择冰壶的概率为()A.14B.13C.12D.23【答案】C【分析】利用列举法，先列出四项中选两项的所有情况，再找出没选择冰壶的情况，然后利用古典概型的概率公式求解即可【解析】记冰壶､短道速滑､花样滑冰､冬季两项分别为A ,B ,C ,D ，则这四个项目中任意选两项的情况有：AB ,AC ,AD ,BC ,BD ,CD ，6种情况，其中没有选择冰壶的有：BC ,BD ,CD ，3种情况，所以所求概率为36=12.故选：C4.设P 为椭圆C :x 29+y 23=1上一点，F 1,F 2分别是C 的左，右焦点．若PF 1 -PF 2 =1，则PF 1 =()A.32B.52C.72D.92【答案】C【分析】依据椭圆定义，列方程组即可解得PF 1 的长度.【解析】椭圆C :x 29+y 23=1的长半轴长为3，由椭圆的定义可知PF 1 +PF 2 =2a =6，由PF 1 -PF 2 =1PF 1 +PF 2 =6，可得PF 1 =72．故选：C5.在四边形ABCD 中，AB =3AD ，AB =DC ，且AB +AD =AB -AD ，则AB 与CA 的夹角为()A.π6 B.π3C.2π3D.5π6【答案】D【分析】根据向量的线性关系及向量和差的模相等易得ABCD 为矩形，进而求∠BAC 的大小，再应用数形结合判断AB 与CA的夹角大小.【解析】因为AB =DC，所以四边形ABCD 为平行四边形.因为AB +AD =AB -AD ，所以四边形ABCD 的对角线相等，综上，四边形ABCD 为矩形.因为AB =3AD ，所以tan ∠BAC =33，得∠BAC =π6，故AB 与CA 的夹角为π-∠BAC =5π6.故选：D6.吹气球时，气球的体积V (单位：L )与半径r (单位：dm )之间的关系是V =43πr 3．当V =4π3L 时，气球的瞬时膨胀率为()A.14πdm /L B.13dm /L C.3L /dmD.4πL /dm【答案】A【分析】气球膨胀率指的是气球体积变化的值与半径变化值之间的比值，即ΔrΔV，但此题所求的时瞬时变化率，故需要利用导数求解.【解析】因为V =43πr 3，所以r =334πV ，所以r=34π 13×13V -23，所以，当V =4π3时，r=34π13×134π3-23=34π 13×1334π 23=13×34π=14πdm /L.故选：A7.已知函数f x 是定义在[-3,a -2]上的奇函数，且在[-3,0]上单调递增，则满足f m +f m -a >0的m 的取值范围是()A.52,8B.52,3C.2,3D.-3,3【答案】B【分析】根据奇函数的定义可知定义域关于原点对称可得-3+a -2=0，即可解出a ，由奇函数的性质可得函数f x 在-3,3 上递增，再将f m +f m -a >0等价变形为f m >f a -m ，然后根据单调性即可解出．【解析】依题意可得-3+a -2=0，解得a =5，而函数f (x )在[-3,0]上单调递增，所以函数f x 在[0,3]上单调递增，又函数f x 连续，故函数f x 在-3,3 上递增，不等式f m +f m -a >0即为f m >f 5-m ，所以-3≤m ≤3-3≤5-m ≤3m >5-m，解得52<m ≤3．故选：B ．8.形状､节奏､声音或轨迹，这些现象都可以分解成自复制的结构.即相同的形式会按比例逐渐缩小，并无限重复下去，也就是说，在前一个形式中重复出现被缩小的相同形式，依此类推，如图所示，将图1的正三角形的各边都三等分，以每条边中间一段为边再向外做一个正三角形，去掉中间一段得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”；依次进行“n 次分形”，得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，则n 最小值是()(取lg3≈0.4771,lg2≈0.3010)A.15B.16C.17D.18【答案】C【分析】根据分形的变化规律，得出一条长为a 线段n 次分形后变为长为43na 的折线，建立不等关系，利用对数求解即可.【解析】设正三角形的一条边长为a ，“一次分形”后变为长为4a3的折线，“二次分形”后折线长度为43 2a ，⋯“n 次分形”后折线长度为43na ，所以得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，只需满足43na ≥100a ，两边同时取常用对数得：n lg 43≥lg100=2，即得：n (2lg2-lg3)≥2，解得n ≥22lg2-lg3=20.6020-0.4771≈16.01，故至少需要17次分形，故选：C.关键点点睛：仔细读题，弄懂分形变化的规律，即正三角形的一条边长为a，“一次分形”后变为长为4a 3的折线，“二次分形”后折线长度为432a，⋯“n次分形”后折线长度为43n a是解题的关键.二、多选题9.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、“90后”从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中正确的是( )注：“90后”指1990年及以后出生的人，“80后”指1980-1989年之间出生的人，“80前”指1979年及以前出生的人．A.互联网行业从业人员中“90后”占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.互联网行业中从事运营岗位的人数“90后”比“80前”多D.互联网行业中从事技术岗位的人数“90后”比“80后”多【答案】ABC【分析】根据饼状图确定互联网行业从业人员中“90后”占总人数比例，即可判断A;根据条形图确定互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数比例，即可判断B;根据条形图确定互联网行业从业人员中“90后”从事运营岗位的人数占总人数比例，根据饼状图确定“80前”的人数占总人数的比例,两者比较可判断C;根据条形图确定互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的比例，但“80后”中从事技术岗位的比例不可确定，即可判断D.【解析】由题图可知，互联网行业从业人员中“90后”占总人数的56%，超过一半，A正确；互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%×39.6%=22.176%，超过20%，所以互联网行业从业人员(包括“90后”“80后”“80前”)从事技术岗位的人数超过总人数的20%，B正确；互联网行业从业人员中“90后”从事运营岗位的人数占总人数的56%×17%=9.52%，超过“80前”的人数占总人数的比例，且“80前”中从事运营岗位的比例未知，C正确；互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%×39.6%=22.176%，小于“80后”的人数占总人数的比例，但“80后”中从事技术岗位的比例未知，D不一定正确．故选：ABC本题考查饼状图与条形图，考查数据分析与判断能力，属基础题.10.已知实数a，b，c满足a>b>1,0<c<1，则下列不等式一定成立的有( )A.(a-c)c<(b-c)cB.log a(c+1)<log b(c+1)C.log a c+log c a≥2D.a2c2>b2c2>c4【答案】BD【分析】对于A ，利用幂函数的性质判断，对于BC ，利用对数函数的性质判断，对于D ，利用不等式的性质分析判断【解析】对于A ，因为0<c <1，所以y =x c 在(0,+∞)上单调递增，因为a >b >c ,0<c <1，所以a -c >b -c >0，所以a -c c >b -c c ，所以A 错误，对于B ，因为a >b >1，所以当x >1时，log a x <log b x ，因为0<c <1，所以c +1>1，所以log a (c +1)<log b (c +1)，所以B 正确，对于C ，因为a >b >1,0<c <1，所以log a c <0,log c a <0，所以log a c +log c a <0，所以C 错误，对于D ，因为a >b >1,0<c <1，所以a 2>b 2>1>c 2>0，所以a 2c 2>b 2c 2>c 4，所以D 正确，故选：BD11.若函数f (x )=sin ωx +π6(ω>0)在区间π,2π 内没有最值，则下列说法正确的是( )A.函数f x 的最小正周期可能为3π B.ω的取值范围是0,16C.当ω取最大值时，x =π2是函数f x 的一条对称轴D.当ω取最大值时，-π,0 是函数f x 的一个对称中心【答案】AC【分析】根据题意可知f x 的第一个正最值点小于等于π，第二个正最值点大于等于2π，或第一个正最值点大于等于2π可得ω的取值范围，然后根据ω的范围可解.【解析】由ωx +π6=π2+k π,k ∈Z ，得x =π3ω+k πω=(3k +1)π3ω,k ∈Z因为f x 在区间π,2π 内没有最值所以T ≥2π，所以f x 在区间0,π 内最多有一个最值所以π3ω≤π4π3ω≥2π，或π3ω≥2π解得13≤ω≤23或0<ω≤16所以B 错误；当ω=23时，f (x )=sin 23x +π6所以T =2πω=2π23=3π，故A 正确；因为f π2 =sin 23×π2+π6 =sin π2=1，可知x =π2是函数f x 的一条对称轴，故C 正确；又由f (-π)=sin -23×π+π6 =sin -π2=-1，可知D 错误.故选：AC12.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 在线段CB 1上，且B 1P =2PC ，过点A ,P ,C 1的平面分别交BC ,A 1D 1于点E ,F ，则下列说法正确的是A.AC 1⊥EFB.A 1B ∥平面AC 1FC.平面AEC 1F ⊥平面AA 1D 1DD.过点A ,P ,C 1的截面的面积为26【答案】ABD【解析】如图，连接C 1P 并延长与BC 交于点E ，则点E 为BC 的中点，连接AE ，取A 1D 1的中点F ，连接AF ，C 1F ，则四边形AEC 1F 就是过点A ,P ,C 1的截面，易得四边形AEC 1F 是边长为5的菱形，连接AC 1,EF ，所以AC 1⊥EF ，且AC 1=23,EF =22，所以四边形AEC 1F 的面积为26，故A 、D 均正确；易得A 1B ∥EF ，所以A 1B ∥平面AC 1F ，故B 正确；C 明显错误.故选ABD ．三、填空题13.已知向量a ，b 满足a =(4,0)，b =(m ,1)，a =a ⋅b ，则a 与b 的夹角为___________.【答案】π4或45∘．【分析】根据题意求得m =1，结合向量的夹角公式求得cos a ,b =22，即可求解.【解析】由题意，向量a=(4,0)，b =(m ,1)，因为a =a ⋅b ，可得4m +0×1=4，解得m =1，即b =(1,1)，可得b =2，所以cos a ,b =a ⋅b a ⋅b=44×2=22，又因为a ,b ∈[0,π]，所以a ,b =π4.故答案为：π4.14.曲线y =ln x -2x 在x =1处的切线的倾斜角为α，则sin α+cos αsin α-2cos α=___________.【答案】4【分析】求导数得切线斜率即tan α的值，然后弦化切代入计算．【解析】由已知f (x )=1x +2x2，所以tan α=f (1)=3，sin α+cos αsin α-2cos α=tan α+1tan α-2=3+13-2=4．故答案为：4．15.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度(h )的23(细管长度忽略不计).假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h 的比值为______.【答案】827设沙漏上下两个圆锥的底面半径为r，高为h，根据等体积法求解即可.【解析】解：设沙漏上下两个圆锥的底面半径为r，高为h，左侧倒圆锥形沙堆的体积V1=13π2r322h3=881πr2h，右侧圆锥形沙堆的体积V2=13πr2h ，由V1=V2得h =8 27h.故答案为：827.本题考查等体积法求，圆锥的体积计算公式，考查运算能力，是基础题.16.已知数列{a n}满足a1=2，n2⋅a n+1=2(n+1)2⋅a n，S n为数列{a n}的前n项和，则S n=___________.【答案】n2-2n+3⋅2n+1-6【分析】构造新数列求得通项公式a n，两次应用错位相减法求得和S n．【解析】由n2⋅a n+1=2(n+1)2⋅a n得a n+1(n+1)2=2×a nn2，又a112=2，所以数列a nn2是等比数列，公比为2，所以a nn2=2×2n-1=2n，即a n=n2⋅2n．S n=1×2+22×22+32×23+⋯+n2×2n，(1)(1)×2得2S n=1×22+22×23+⋯+(n-1)2×2n+n2×2n+1，(2)(1)-(2)得：-S n=1×2+3×22+5×23+⋯+(2n-1)×2n-n2×2n+1，(3) (3)×2得：-2S n=1×22+3×23+5×24+⋯+(2n-3)×2n+(2n-1)×2n+1-n2×2n+2，(4) (3)-(4)得：S n=2+2×22+2×23+⋯+2×2n-(2n-1)×2n+1+n2×2n+1=2+8(1-2n-1)1-2-(2n-1)×2n+1+n2×2n+1=(n2-2n+3)×2n+1-6．故答案为：n2-2n+3⋅2n+1-6．四、解答题17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a-3bsin A=c-bsin C+sin B．(1)求C；(2)若△ABC为锐角三角形，求sin A+cos B的取值范围．【答案】(1)π6；(2)32,32,【分析】(1)由正弦定理将角化边可得b2+a2-c2=3ab，再利用余弦定理即求；(2)由题可得，sin A +cos B =3sin B +π3再根据三角形为锐角三角形，得到角B 的取值范围，进而即可求出sin A +cos B 的取值范围.【解析】(1)由a -3b sin A =c -b sin C +sin B ，得a -3b a =c -b c +b ，即b 2+a 2-c 2=3ab ，∴cos C =b 2+a 2-c 22ab=32，又C ∈0,π ，∴C =π6；(2)∵sin A +cos B =sin 5π6-B +cos B =32sin B +32cos B =3sin B +π3，又△ABC 为锐角三角形，∴0<B <π2,0<5π6-B <π2，∴π3<B <π2，∴B +π3∈2π3,5π6 ，sin B +π3 ∈12,32，∴3sin B +π3 ∈32,32，故sin A +cos B 的取值范围为32,32 .18.已知正项等比数列a n 满足a 2n +1-a 2n -1=3⋅4n ，数列b n 满足b n =log 2a n ,n 为奇数,a n -1,n 为偶数. ．(1)求数列a n 的通项公式；(2)求数列b n 的前2n 项和T 2n ．【答案】(1)a n =2n +1；(2)n 2+n -43+4n +13.【分析】(1)由题可得a 3-a 1=12a 5-a 3=48 ，进而可得q =2，a 1=4，即得；(2)由题可得当n 为奇数时，b n =log 2a n =n +1，当n 为偶数时，b n =a n -1=2n ，然后利用分组求和法即得.【解析】(1)设数列a n 的公比为q ,q >0，∵正项等比数列a n 满足a 2n +1-a 2n -1=3⋅4n ，∴a 3-a 1=12a 5-a 3=48，两式相除可得q 2=4，∴q =2，a 1=4，∴a n =a 1q n -1=2n +1.(2)当n 为奇数时，b n =log 2a n =n +1，当n 为偶数时，b n =a n -1=2n ，∴T 2n =b 1+b 2+b 3+b 4+⋯+b 2n -1+b 2n =b 1+b 3+⋯+b 2n -1+b 2+b 4+⋯+b 2n =2+4+⋯+2n +22+24+⋯+22n=2+2n n2+221-4n 1-4=n 2+n -43+4n +13，∴T 2n =n 2+n -43+4n +13.19.根据我国国家统计局的数据显示，2020年12月份，中国制造业采购经理指数(PMI )为50.3%，比上月上升0.2个百分点.以新能源汽车、机器人、医疗设备、高铁、电力装备、船舶、无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展.已知某精密制造企业为评估某设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，μ=65,σ=2.2，以频率值作为概率的估计值，解决以下问题：(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判(p表示相应事件的频率)：①p(μ-σ<X≤μ+σ)≥0.6826；②p(μ-2σ<X≤μ+2σ)≥0.9544；③p(μ-3σ<X≤μ+3σ)≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足①②，不满足③，则等级为乙；若仅满足①，不满足②③，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级；(2)将直径小于等于μ-2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品，①从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E(Y)；②从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的分布列和数学期望E(Z)．【答案】(1)性能等级为丙；(2)①E Y=0.12；②分布列见解析，数学期望E Z =0.12【分析】(1)根据表格中的数据可得求出P(62.8<X≤67.2)、P(60.6<X≤69.4)和P(58.4<X≤71.6)，结合题意即可得出结论；(2)根据二项分布即可求出E(Y)，根据超几何分布可得Z的分布列，进而求出E(Z)即可.【解析】(1)由表格可知P(μ-σ<X≤μ+σ)=P(62.8<X≤67.2)=0.8≥0.6826P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=P(60.6<X≤69.4)=0.94<0.9544P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=P(58.4<X≤71.6)=0.98<0.9974因为设备M的数据仅满足不等式①，故其性能等级为丙.(2)易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06.由题意可知Y~B2,0.06，于是E Y=2×0.06=0.12，Z可能的取值为0、1、2，P Z=0=C294C2100=14571650；P Z=1=C194C16C2100=94825；P Z=2=C26C2100=1330由题意可知Z的分布列为Z012p14571650948251330故E Z=0×14571650+1×94825+2×1330=325=0.12.20.已知矩形纸片ABCD满足AB=2，AD=23，M为AC中点，将该纸片沿对角线AC折成空间四边形ABCD1，使得二面角D1-AC-B的大小为θ.(1)求三棱锥A -BMD 1体积的最大值；(2)若θ=60°，求直线AD 1与平面BCD 1所成角的正弦值.【答案】(1)1(2)211137【分析】(1)根据体积比例关系V A -BMD 1=V D 1-ABM =12V D 1-ABC，计算出三棱锥的高和底面积，即可求解.(2)建立直角坐标系，算出平面BCD 1的法向量，然后根据直线方向向量和法相量的交角公式计算即可.【解析】(1)解：由题意得：三棱锥A -BMD 1的体积V A -BMD 1=V D 1-ABM =12V D 1-ABC当θ=90°时，V D 1-ABC 取最大值，在矩形ABCD 中，过D 作DE ⊥AC 交AC 于点E ，此时，三棱锥D 1-ABC 的高h =DEAC =22+23 2=4，h =DE =AD ·DCAC =3V D 1-ABC 的最大值V D 1-ABC max =13S △ABC ·h =13·12·2·23·3=2所以三棱锥A -BMD 1体积的最大值V A -BMD 1 max =1(2)过B 作BF ⊥AC ，垂足为F ，过D 1作D 1E ⊥AC ，垂足为E以F 为坐标原点，FA 为x 轴，FB 为y 轴建立空间直角坐标系(如图所示)A (1,0,0),B (0,3,0),C (-3,0,0),D 1-2,32,32 BC =(-3,-3,0),BD 1 =-2,-32,32 ,AD 1 =-3,32,32设平面BCD 1的法向量为n=(x ,y ,z )n ·BC =0n ·BD 1 =0 ⇒-3x -3y =0-2x -32y +32z =0取x =1，得n =1,-3,13设直线AD 1与BCD 1所成角为αsin α=AD 1 ·n AD 1 ·n =-3-32+12 1+3+19·9+34+94=21113721.若f (x )=ke x ，且直线y =ex 与曲线y =f (x )相切.(1)求k 的值；(2)证明：当a ∈[1,2]，不等式2f (x )+a sin x -2≥x 2+3x 对于∀x ∈[0,+∞)恒成立.【答案】(1)k =1；(2)证明见解析【分析】(1)设切点为(x 0,y 0)，则有f (x 0)=ex 0f (x 0)=e ，解之即可的解；(2)要证当a ∈[1,2]，不等式2f (x )+a sin x -2≥x 2+3x 对于∀x ∈[0,+∞)恒成立，只需证当a ∈[1,2]时，不等式2e x +a sin x -2≥x 2+3x 对于∀x ∈[0,+∞)恒成立，令h (x )=2e x +a sin x -2-x 2-3x ,x ∈[0,+∞)，只需证明h x min ≥0即可，利用导数求出函数h x 的最小值，即可得证.【解析】(1)解：设切点为(x 0,y 0)，f (x )=ke x ，则f (x 0)=ex 0f (x 0)=e ⇒ke x 0=ex 0ke x 0=e，解得：x 0=1,k =1，∴k =1；(2)证明：要证当a ∈[1,2]，不等式2f (x )+a sin x -2≥x 2+3x 对于∀x ∈[0,+∞)恒成立，只需证当a ∈[1,2]时，不等式2e x +a sin x -2≥x 2+3x 对于∀x ∈[0,+∞)恒成立，令h (x )=2e x +a sin x -2-x 2-3x ,x ∈[0,+∞)，令g x =h (x )=2e x +a cos x -2x -3,x ∈[0,+∞)，g (x )=2e x -a sin x -2,x ∈[0,+∞)，令m (x )=x -sin x ,x ∈[0,+∞)，则m (x )=1-cos x ≥0，所以函数m x 在0,+∞ 上递增，所以m x ≥m (0)=0，所以sin x ≤x ,x ∈[0,+∞)，故g x =2e x -a sin x -2≥2e x -ax -2≥2e x -2x -2=2e x -x -1 ，令φ(x )=e x -x -1 ,x ∈0,+∞ ，则φ (x )=e x -1≥0,(x ≥0)，所以函数φx 在0,+∞ 上递增，所以φ(x )≥φ(0)=0，所以g (x )≥2e x -x -1 ≥0，所以函数g x 在0,+∞ 上递增，即函数h (x )在0,+∞ 上递增，又h (0)=2+a -3≥0，所以h (x )≥0，所以h (x )在0,+∞ 上递增，又因为h (0)=0，故h (x )≥0,∀x ∈[0,+∞)恒成立，即当a ∈[1,2]，不等式2f (x )+a sin x -2≥x 2+3x 对于∀x ∈[0,+∞)恒成立.本题考查了导数的几何意义，还考查了利用导数证明不等式问题，考查了放缩及转换思想，考查了学生的数据分析能力、计算能力及逻辑推理能力，难度很大.22.如图，已知圆O :x 2+y 2=4，点B (1,0)，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ，点A 的集合记为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)已知直线l :x =4，Q 1,32 ，过点B 的直线l 1与C 交于M ,N 两点，与直线l 交于点K ，记QM ,QN ,QK 的斜率分别为k 1,k 2,k 3，问：k 1-k 2k 2-k 3是否为定值？若是，给出证明，并求出定值；若不是，说明理由.【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)是定值，证明见解析，-2【分析】(1)按照所给的条件，分析图中的几何关系即可；(2)作图，联立方程，按步骤写出相应点的坐标，求对应的斜率即可.【解析】(1)设AB 的中点为P ，切点为Q ，连接OP ,PQ ，取B 关于y 轴的对称点D ，则BD =2，连接AD ，由于P 是AB 的中点，O 是BD 的中点，∴AD =2OP ，故AB +AD =2OP +2PB =2OP +2PQ=2OP +PB =4>BD =2. 所以点A 的轨迹是以B ,D 为焦点，长轴长为4的椭圆.其中a =2,c =1,b =3，则曲线C 的方程为x 24+y 23=1；(2)由第一问，作图如下：设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),依题意，直线l 1的斜率必定存在，设l 1:x =my +1(m ≠0)，将其与椭圆方程联立：x =my +1(m ≠0)x 24+y 23=1 得(3m 2+4)y 2+6my -9=0，由韦达定理，得：y 1+y 2=-6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4易得点K 4,3m ，k 3=3m -323=1m -12k 1=y 1-32x 1-1=y 1-32my 1,k 2=y 2-32my 2k 1-k 2k 2-k 3=k 1-k 3+k 3-k 2k 2-k 3=k 1-k 3k 2-k 3-1而k 1-k 3k 2-k 3=y 1-32 y 2-m 1m -12 y 1y 2y 2-32 y 1-m 1m -12 y 1y 2=my 1y 2-3y 2my 1y 2-3y 1⋯⋯①由y 1+y 2=-6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4得：y 1y 2=32m (y 1+y 2)，代入①得：k 1-k 3k 2-k 3=my 1y 2-3y 2my 1y 2-3y 1=-1，得k 1-k 2k 2-k 3=k 1-k 3+k 3-k 2k 2-k 3=k 1-k 3k 2-k 3-1=-2.。

2023年广西桂林市、河池市、防城港市高考数学调研试卷(文科)(3月份)+答案解析(附后)

2023年广西桂林市、河池市、防城港市高考数学调研试卷（文科）（3月份）1. 若集合，，则中元素的个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 12. 已知复数，其中i为虚数单位，则z的虚部为( )A. B. 26 C. D. 133. 命题p：，的否定是( )A. ：，B. ：，C. ：，D. ：，4. 若是角的终边上一点，则( )A. B. C. D.5. 2018年，晓文同学参加工作月工资为7000元，各种用途占比统计如下面的条形图．后来晓文同学加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如图的折线图．已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前晓文同学的月工资为( )A. 7000B. 7500C. 8500D. 95006. 某圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为( )A. B. C. D.7. 执行下边的程序框图，如果输入的，那么输出的( )A. 8B. 9C. 16D. 258. 已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为4，实轴长为6，则C的方程为( )A. B. C. D.9. 近年来，中国加大了电动汽车的研究与推广，预计到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．已知蓄电池的容量单位：，放电时间单位：与放电电流单位：之间关系的经验公式为，其中在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为( )A. 28hB.C. 29hD.10. 将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，得到如图所示的函数的图象，则( )A. 0B. 1C. 2D.11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( )A.B.C.D.12. 设函数的定义域为R，满足，且当时，若对任意都有，则m的取值范围是( )A. B. C. D.13. 若x，y满足约束条件则的最大值为______.14. 若曲线在处的切线与直线相互垂直，则______ .15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，则______ .16. 椭圆的右焦点为F，P为椭圆C上的一点，与x轴切于F点，与y轴交于A，B两点，若为锐角三角形，则C的离心率范围是______ . 17. 甲学校某次学科竞赛后，将参赛考生的竞赛成绩整理得到如下频率分布直方图.求这些参赛考生的竞赛平均成绩同一组中数据用该组区间中点值作代表；若竞赛成绩排在前的考生能进入复赛，试估计进入复赛的分数线.18.如图，三棱柱的侧面为菱形，，证明：；若，，求四棱锥的体积.19. 记为等比数列的前n项和.已知求；设求数列的前2n项和20. 已知函数当时，讨论的单调性；若有两个不同的零点，求a的取值范围.21. 已知抛物线C：的焦点F到准线的距离为求C的方程；若P为直线l：上的一动点，过P作抛物线C的切线PA，PB，A，B为切点，直线AB与l交于点M，过F作AB的垂线交l于点N，当最小时.求22. 如图，在极坐标系中，曲线是以为圆心的半圆，曲线是以为圆心的圆，曲线、都过极点分别写出半圆，圆的极坐标方程；直线与曲线，分别交于M、N两点异于极点，求的面积.23. 已知对任意的恒成立.求实数m的取值范围；设实数t为m的最大值，若实数a，b，c满足，求的最小值.答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为集合，，所以，中元素的个数为故选：由交集的定义即可得出答案．本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：因为，则复数的虚部为故选：将复数z化简，即可得到结果．本题主要考查复数的运算，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：根据题意，p：，，是全称命题，其否定为：，，故选：根据题意，由全称命题和特称命题的关系，分析可得答案．本题考查命题的否定，涉及全称命题和特称命题的关系，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：是角终边上一点，，，故选：由三角函数定义可求得，，由二倍角正弦公式可求得结果．本题主要考查了三角函数的定义及二倍角的正弦公式，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：根据题意及条形图和折线图即可得出目前的月工资为：故选：通过条形图可得出晓文刚参加工作时的就医费用为：，从而得出目前的就医费用为850，再根据折线图即可得出目前的晓文的月工资．考查对条形图和折线图的认识和应用．6.【答案】D【解析】解：因为圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，所以该扇形的弧长为，设圆锥的底面半径为r，则，解得：，因为圆锥的母线长为3，所以圆锥的高为，该圆锥的体积为故选：求出扇形的弧长，进而求出圆锥的底面半径，由勾股定理得到圆锥的高，利用圆锥体积公式求解即可．本题主要考查圆锥的体积，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：模拟循序的运行，可得：输入，，第一次循环：，满足，，第二次循环：，满足，，第三次循环：，满足，，第四次循环：，不满足，输出S的值为16，故选：模拟程序的运行，计算出每次循环的结果，直到不满足条件，结束循环，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.【答案】D【解析】解：右焦点到渐近线的距离，因为实轴长为，所以，即C的方程为故选：由距离公式得出，进而由双曲线的性质得出方程．本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：由题意得，当时，则，，故选：根据题意结合指、对数运算，求解即可得出答案．本题考查根据实际问题选择函数类型，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：依题意，，故，又的周期T满足，得，所以，所以，又，得，，又，所以，所以，所以故选：由三角函数的图象变换得到的解析式，再由其图象性质得出A，，后计算原式．本题考查了余弦函数的图象及性质，熟记性质是解题关键，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中，平面BCD，，在中，，，的外接圆的直径为，，外接球的半径为，该几何体外接球的表面积为故选：由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，过底面外心作底面的垂线与线段AB的中垂面的交点即球心，利用勾股定理计算即可．本题主要考查了由三视图还原几何体的形状，考查了三棱锥的外接球问题，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：当时，则，即当时，，同理当时，；当时，以此类推，当时，都有函数和函数在上的图象如下图所示：由图可知，，解得，即对任意都有，即m的取值范围是故选：由题设条件画出函数的简图，由图象分析得出m的取值范围．本题考查抽象函数及其运用，解决本题的关键是对的理解，并结合图象，可以非常直观的得出满足条件的m的取值范围，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．13.【答案】1【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．【解答】解：x，y满足约束条件，不等式组表示的平面区域如图所示，由，可得时，目标函数，可得，当直线，过点A时，在y轴上截距最大，此时z取得最大值：故答案为：14.【答案】3【解析】解：已知，则，，因为曲线在处的切线与直线相互垂直，所以，解得故答案为：先求出函数的导函数，再求出函数在处的导数值，再利用切线与直线垂直即可得到答案．本题考查导数的几何意义以及两直线垂直的条件，考查运算求解能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：因为，，所以，即，又，所以，所以故答案为：根据正弦定理可得，然后利用余弦定理即得．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．16.【答案】【解析】解：因为与x轴切于F点，所以轴，可设，则，解得，圆P的半径为，又与y轴交于A，B两点，则，又因为为锐角三角形，则，，，即，解得，即椭圆离心率的取值范围为故答案为：根据题意可得的半径，根据为锐角三角形，可构造关于a，c的齐次不等式，解不等式即可求得结果．本题考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：由题意知：，这些参赛考生的竞赛平均成绩x为由图可知，的考生占比；的考生占比，设进入复赛的分数线为x，则x在之间，有，解得，故进人复赛的分数线为【解析】根据频率分布直方图中的中点值求平均成绩即可；根据频率分布直方图进行总体百分位数的估计即可．本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数和百分位数的计算，属于基础题．18.【答案】解：证明：连接，，设，连接为菱形，，且O为，的中点，又，，，平面，平面，平面，；由知平面，又平面，，又，O为的中点，，由菱形，，，则为正三角形，，，，，，平面，平面，而，【解析】根据线面垂直的判定定理证明平面，即可根据线面垂直的性质证明结论；证明平面，即可求出四棱锥的高，根据棱锥的体积公式即可求得答案．本题考查线面垂直的判定及性质，考查四棱锥的体积计算，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．19.【答案】解：根据题意可得，解得，；由题设及可知：当n为奇数时，，当n为偶数时，，，【解析】设等比数列的公比为q，根据题目条件列方程组求解即可；由题意可得，然后利用分组求和法求解即可．本题考查等比数列的通项公式，等比数列的求和公式的应用，方程思想，分类讨论思想，属中档题．20.【答案】解：当时，，解，得；解，得，故在上单调递减，在上单调递增．，当时，，在R上单调递增，此时无两个零点；当时，解，得；解，得，故在上单调递减，在上单调递增．因为x趋于负无穷，趋于正无穷；因为x趋于正无穷，趋于正无穷；故有两不同零点，则，即令则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，且时，，又，当时，，综上，a的范围为【解析】对求导，根据导函数的正负确定的单调性；求出函数的导数，根据函数的单调性求出的最小值，结合零点个数，得到关于a的不等式，即可求出a的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查函数的零点，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：由题知，，则C的方程为抛物线C：的焦点，设，过P点的抛物线C的切线方程为：，联立，消去x得：，①，，即，②此时①可化为，解得，设直线PA：，直线PB：，则，为方程②的两根，故，，且，，可得，令点，，由②知，，故，则直线AB方程为：，显然，因为直线NF与直线AB垂直，则直线NF方程为：，故，，当且仅当时，时取等号，则，由得，【解析】由题意求得，即可得得到抛物线C的方程；设，，利用导数的几何意义求得在点A，B的切线方程，得出直线AB方程为，令，得到点，根据直线NF与直线AB垂直，求得直线NF方程为，进而得到点，进而求得，结合基本不等式求得的最小值，联立方程组，结合弦长公式求得弦的长．本题考查抛物线的标准方程及其性质，考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：曲线是以为圆心的半圆，所以半圆的极坐标方程为，曲线以为圆心的圆，转换为极坐标方程为故半圆，圆的极坐标方程分别为：，；由得：，点到直线MN的距离，所以，故的面积为【解析】直接利用转换关系的应用，写出极坐标方程；利用三角函数关系式的变换和三角形的面积的公式的应用求出结果．本题主要考查了圆的极坐标方程，考查了曲线极坐标方程的应用，属于中档题．23.【答案】解：令，对任意的恒成立，转化为，当时，，在上单调递减，，当时，，在上单调递减，，当时，，在上单调递增，，综上所述，，实数m的取值范围；由得实数m的取值范围则，，即，由柯西不等式得，当且仅当，即，，时等号成立，即，，故的最小值为【解析】构造函数，题意转化为为，结合分段函数的性质，即可得出答案；由得，即，利用柯西不等式，即可得出答案．本题考查绝对值函数和分段函数的性质、柯西不等式的应用，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。

2023 年高考桂林、崇左市联合调研考试理科数学答案

2023年高考桂林、崇左市联合调研考试理科数学参考答案1~12：CBAAA BCDAA BA 13.114.4315.2.816.π)12(+17.解：（1）由题中表格可得22⨯列联表如下：阅读爱好者非阅读爱好者合计男生451055女生301545合计7525100……………………………………………………………………………………………………2分由题意得K 2＝……………………………………………………………………………………………………5分所以在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为“阅读爱好者”与性别有关.……………………………………………………………………………………………………6分（2）根据检测得分不低于80分的人称为“阅读达人”，则这100名学生中的男生“阅读达人”中，按分层抽样的方式抽取，[)90,80内应抽取3人，[]100,90内应抽取2人，…………………………7分所以，X 的取值为0，1，2101)0(3533===C C X P ，53106)1(351223====C C C X P ，103)2(352213===C C C X P …………………………10分所以X 的分布列为：X 012P10153103…………………………………………………………………………11分5610325311010)(=⨯+⨯+⨯=X E 所以X 的数学期望是65……………………………………………………………………12分18.解：（1）nn n a S 21-=+ n n n n S S S 21--=∴+……………………………………1分nn n S S 221+=∴+212211=-∴++n n n n S S …………………………………………………………………………3分又11=a ，2121=∴S …………………………………………………………………………4分所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n S 2是以21为首项和公差的等差数列.………………………………5分z（2）由（1）知：2)121212n n S n n =-+=（所以12-⋅=n n n S ………………………………………………………………………6分()()()112222122n n n n n n a S n a n n -+-∴=+=+∴=+≥又11a =满足上式()()212n n a n n N -*∴=+∈…………………………………………8分因为n N *∀∈，()62nn n a λ-≥所以()()26122n nn n λ--+≥所以()()61,4n n n N λ*-+∀∈≥………………………………9分记()()()()614n n f n n N *-+=∈则只需()minf n λ≥…………………………………………10分又()f n 在51,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又因为n N*∈所以()()()min 233f n f f ===-所以3λ≤-所以λ的最大值为3-…………………………………………12分19.（1）证明：连接AOO 为BC 中点，ABC ∆为等边三角形∴AO BC⊥ 点P 在底面ABC 上的射影为点O ∴PO ⊥面ABC∴PO BC ⊥……………………………………………………2分由BC AO ⊥，BC PO ⊥，AO PO O ⋂=，AO ⊂面APO ，PO ⊂面APO得BC ⊥面APO ……………………………………………………4分AM ⊂面APO∴BC AM ⊥………………………………………………5分（2）由已知及（1）可知，OB ，OA ，OP 两两互相垂直∴以OB ，AO ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，…………………………………………6分则()0,3,0A -，()3,0,0BBO 为PB 在底面ABC 上的射影∴PBO ∠为PB 与面ABC 所成角，∴3PBO π∠=，∴3,PO =……………………………………7分∴()0,0,3P ，假设符合题意的点M 存在，且设()()0,0,03M c c <<来源：高三答案公众号设(),,m x y z =为面PAB 的法向量，则0PA m ⋅= ，0PB m ⋅= ()0,3,3PA =--，)3PB =-∴33030y z z --=⎧⎪-=，令1y =，则()1m =- ………………………………8分设的法向量，为面MAB z y x n ),,(111=则0AB n ⋅= ，0AM n ⋅=)AB = ,()0,3,AM c =∴,1,0303311111=⎩⎨⎧=+=+y cz y y x 令则3n c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ …………………………9分二面角P AB M --的余弦值为31010∴310cos ,10m n <>= ……………………………………………………10分∴31010=，化简得2448630c c -+=解得32c =或212c =（舍）………………………………………………11分∴30,0,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭符合题意，此时点M 为PO 的中点.………………………………12分20.【解】（1）将)23,3(),0,2(B A -代入椭圆C ：()012222>>=+b a by a x 中，1022222=+b a ············································································1分143322=+b a··············································································2分得,3,2==b a ···················································································3分故椭圆C 方程为22143x y +=.································································4分（2）设直线()()1122:,,,,l y kx m P x y Q x y =+，················································5分由()22222,43841203412y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩得，122212284341243km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，··················································································6分()()2222226444341219248144k m k m k m ∆=-+-=-+，又11212112,222y kx m kx mk k x x x ++===+++故()()()12121212121212122242224kx x k x x m x x mkx m kx m k k x x x x x x ++++++++=+=+++++2222228241681612412161612km k k m km k m mm km k ---++=--++223644m k m km k-=-+，·················································································8分由0321=+⋅+⋅k k k k ，得0321=++）（k k k ，得22320m km k -+=，故()()202m k m k m k --=⇒=或m k =，·····················································9分①当2m k =时，直线():22l y kx k k x =+=+，过定点()2,0A -，与已知不符，舍去；········································································································10分②当m k =时，直线():1l y kx k k x =+=+，过定点()1,0-，即直线l 过左焦点，此时222192481441441440k m k ∆=-+=+>，符合题意.所以FPQ △的周长为48a =.·······································································12分21.解：（1）由题知：x x e xx h x+-=ln )(，其定义域为），（∞+0x x x xe x e x x e x x h ))(1(111)('--=+--=∴…………………………………………………1分令()()0x x e x x ϕ=->，则()'10xx e ϕ=->()x x e x ϕ∴=-在()0,+∞上单调递增()()010x ϕϕ∴>=>0x e x ∴->…………………………………………………………………………………3分设10)('>⇒>x x h ，100)('<<⇒<x x h 所以)(x h 在)1,0(上单调递减，在),1(+∞上单调递减……………………………………4分()()min 111h x h e==+………………………………………………………………………5分（2）设axx exx g x f x F ax -+=+=ln )()()(axx e ax x -+=-ln ln 设ax x t -=ln ，则，易知()tG t e t =+在R 上单调递增要使方程0)()(=+x g x f 有两个不同的实根，则函数t e t G t+=)(存在1个零点…………6分()，则且个零点，设为上存在，在所以函数21210,,20ln x x x x ax x t <<∞+-=且0≠a 0ln ,0ln 2211=-=-ax x ax x 所以)(ln ln 2121x x a x x -=-即ax x x x 1ln ln 2121=--……………………………………………………7分要证ax x 221>+，即证2121x x a +<即证2ln ln 212121x x x x x x +<--2ln ln 212121x x x x x x ->+-⇔2ln 11212121x x x x xx >+-⇔……………………8分设)1,0(,21∈=m m x x，设2ln 11)(m m m m -+-=ϕ所以0)1(2)1(21)1(2)(222'<+--=-+=m m m m m m ϕ所以)(m ϕ在)1,0(单调递减所以0)1()(=>ϕϕm ，即02ln 11>-+-mm m 故2ln ln 212121x x x x x x +<--…………………………………………………10分所以2121x x a +<，即ax x 221>+.………………………12分22.解：（1）由22cos 62+=θρ得22cos 226ρθρ+=.22222222222(cos sin )2()622636x y x y x y x y ρθθ∴-++=∴-++=∴+=.所以曲线C 的直角坐标方程为16222=+y x .……………………………………5分（2）设直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=my m x 221221（m 为参数）将l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，整理得：0122=--m m ，122121-==+∴m m m m ，……………………………………………………8分6424)(2122121=+=-+=-=∴m m m m m m AB .……………………………………10分23.解：（1）化简得：12)(+-+-=a x a x x f .当3=a 时，2)5()3(53)(=---≥-+-=x x x x x f ，当3≤x ≤5时等号成立，所以)(x f 的最小值为2；………………………………………………5分（2）由基本不等式：8)3212()212(2123=-++≤-⋅⋅=-m m m m m m m m ，当且仅当m m 212-=，即4=m 时，等号成立.又因为1)12()(12)(-=+---≥+-+-=a a x a x a x a x x f ，当且仅当()()210x a x a --+≤时，等号成立.…………………………………………8分所以，18a ->18a ∴->或18a -<-9a ∴>或7a <-…………………………………………………………………………10分注：第17—23题提供的解法供阅卷时评分参考，考生其它解法可相应给分。

高三下学期新高考第一次调研测试数学试卷-带参考答案与解析

高三下学期新高考第一次调研测试数学试卷-带参考答案与解析注意专项：1．答卷前考生务必将自己的姓名考生号考场号座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时选出每小题答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如简改动用橡皮擦干静后再选涂其他答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共8小题每小题5分共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）1．设复数1i z =+，则复数1z z +（其中z 表示z 的共轭复数）表示的点在（）上 A ．x 轴B ．y 轴C ．y x =-D ．y x =2．已知角α和β，则“αβ=”是“tan tan αβ=”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3 侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的体积为（）A ．12πB ．9πC ．3πD 4．已知双曲线()222106x y b b -=>的一条渐近线的倾斜角为π6，则此双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为（）A B ．2CD ．5．一对夫妻带着3个小孩和一个老人手拉着手围成一圈跳舞 3个小孩不相邻的站法种数是（） A ．6B ．12C ．18D ．366．已知递增的等比数列{}n a 10a > 公比为q 且1a 3a 4a 成等差数列，则q 的值为（）A B C D 7．已知平面内的三个单位向量a b c 且12a b ⋅=32a c ⋅=，则b c ⋅=（）A ．0B ．12C D 0 8．设方程22log 1xx ⋅=的两根为1x ()212x x x <，则（）A ．101x << 22x >B ．121x x >C ．1201x x <<D ．123x x +>二选择题（本大题共3小题每小题6分共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得6分部分选对的得部分分有选错的得0分．）9．下列说法正确的是（）A ．若事件A 和事件B 互斥 ()()()P AB P A P B = B ．数据4 7 5 6 10 2 12 8的第70百分位数为8C ．若随机变量ξ服从()217,N σ ()17180.4P ξ<≤=，则()180.1P ξ>=D ．已知y 关于x 的回归直线方程为0.307ˆ.yx =-，则样本点()2,3-的残差为 1.9- 10．设函数()f x ()g x 的定义域都为R 且()f x 是奇函数 ()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（）A ．()()f x g x 是奇函数B ．()()f x g x 是偶函数C ．若()()321g x f x x x -=++，则()()111f g +=D ．若函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减且()11f =-，则满足()121f x -≤-≤的x 的取值范围是[]1,3 11．已知体积为2的四棱锥P ABCD - 底面ABCD 是菱形 2AB = 3PA =，则下列说法正确的是（）A ．若PA ⊥平面ABCD ，则BAD ∠为π6B ．过点P 作PO ⊥平面ABCD 若AO BD ⊥，则BD PC ⊥C ．PA 与底面ABCD 所成角的最小值为6πD ．若点P 仅在平面ABCD 的一侧且AB AD ⊥，则P点轨迹长度为三填空题（本大题共3小题每小题5分共15分．）12．已知关于x 的不等式10ax ->的解集为M 2M ∈且1M ∉，则实数a 的取值范围是______． 13．已知抛物线22y x =的弦AB 的中点的横坐标为2，则弦AB 的最大值为______． 14．已知()1cos 3αβ+=-cos cos 1αβ+=，则cos cos 22αβαβ-+=______()sin sin sin αβαβ+=+______．四解答题（本大题共5小题共77分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分13分）在如图所示的ABC △中 sin 0B =．（1）求B ∠的大小（2）直线BC 绕点C 顺时针旋转π6与AB 的延长线交于点D 若ABC △为锐角三角形 2AB = 求CD 长度的取值范围．16．（本小题满分15分）已知椭圆()2222:10x y W a b a b+=>>的右顶点为A 左焦点为F 椭圆W 上的点到F 的最大距离是短半轴长倍且椭圆W 过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭．记坐标原点为O 圆E 过O A 两点且与直线6x =相交于两个不同的点P Q （P Q 在第一象限且P 在Q 的上方） PQ OA = 直线QA 与椭圆W 相交于另一个点B ．（1）求椭圆W 的方程（2）求QOB △的面积． 17．（本小题满分15分）如图在四棱锥P ABCD -中 AB CD ∥ 4AB = 2CD = 2BC = 3PC PD == 平面PCD ⊥平面ABCD PD BC ⊥．（1）证明：BC ⊥平面PCD（2）若点Q 是线段PC 的中点 M 是直线AQ 上的一点 N 是直线PD 上的一点是否存在点M N 使得MN =请说明理由．18．（本小题满分17分）已知函数()ln f x x x =的导数为()f x '．（1）若()1f x kx ≥-恒成立求实数k 的取值范围（2）函数()f x 的图象上是否存在三个不同的点()11,A x y ()22,B x y ()33,C x y （其中123x x x <<且1x2x 3x 成等比数列）使直线AC 的斜率等于()2f x '?请说明理由．19．（本小题满分17分）2023年10月11日中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号” 求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍．相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态量子计算机的量子比特（qubit ）可同时处于0与1的叠加态故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的．现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特且自旋状态只有上旋与下旋两种状态其中下旋表示“0” 上旋表示“1” 粒子间的自旋状态相互独立．现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋再输入第二道逻辑门后粒子的自旋状态有p 的概率发生改变记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为X ．（1）若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2 且13p = 求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率（2）若一条信息有()*1,n n n >∈N 种可能的情况且各种情况互斥记这些情况发生的概率分别为1p2p … n p ，则称()()()12n H f p f p f p =++⋅⋅⋅+（其中()2log f x x x =-）为这条信息的信息熵．试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为X 的信息熵H（3）将一个下旋粒子输入第二道逻辑门当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为Y （1Y = 2 3 ⋯ n ⋯）．证明：当n 无限增大时 Y 的数学期望趋近于一个常数．参考公式：01q <<时 lim 0nn q →+∞= lim 0nn nq →+∞=．2024届新高考教学教研联盟高三第一次联考数学参考答案一选择题（本大题共8小题每小题5分共40分．）1．C 【解析】11331i i 1i 22z z +=+-=-+ 所以对应的点33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在直线y x =-上． 2．D 【解析】当2παβ==时 tan α tan β没有意义所以由αβ=推不出tan tan αβ=当tan tan αβ=时()πk k αβ=+∈Z所以由tan tan αβ=推不出αβ=故“αβ=”是“tan tan αβ=”的既不充分也不必要条件． 3．C 【解析】设圆锥的底面半径为r 母线为l 由于圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则2ππr l = 所以2l r =所以圆锥的高h ==圆锥的体积为2211ππ3π33V r h ==⨯⨯⨯=．4．A 【解析】因为双曲线()222106x y b b -=>的一条渐近线的倾斜角为π6 πtan 6= 所以该渐近线的方程为3y x = 所以2263b ⎛= ⎝⎭解得b =（舍去）所以c =此双曲线的右焦点坐标为()30y -==5．B 【解析】3232A A 12=．6．A 【解析】由题意知1432a a a += 即321112a a q a q += 又数列{}n a 递增 10a > 所以1q > 且3212q q += 解得q =7．D 【解析】如图 a OA = c OC = b OB =（或b OD =）由32a c ⋅=得cos COA ∠= 又[]0,πCOA ∠∈ 所以π6COA ∠=由12a b ⋅=得1cos 2BOA ∠= 又[]0,πBOA ∠∈ 所以π3BOA ∠=（或1cos 2DOA ∠= 又[]0,πDOA ∠∈ 所以π3DOA ∠=）所以b c 夹角为π6或π2所以32b c ⋅=或0．8．C 【解析】由题意得 120x x << 由22log 1xx ⋅=得21log 02xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭令()()21log 02xf x x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则()1102f =-< ()1321044f =-=> 1102f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭由()1102f f ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭ ()()120f f ⋅<得11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()21,2x ∈ 故A 错由21222111log log 022xxx x ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得21222111log log 22xxx x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ()21,2x ∈得21222111log log 022x xx x ⎛⎫⎛⎫+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1201x x << 故C 对 B 错由11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()21,2x ∈ 所以123x x +< D 错误．二选择题（本大题共3小题每小题6分共18分．）9．BCD 【解析】对于A 若事件A 和事件B 互斥 ()0P AB = 未必有()()()P AB P A P B = A 错对于B 对数据从小到大重新排序即：2 4 5 6 7 8 10 12 共8个数字由870% 5.6⨯= 得这组数据的第70百分位数为第6个数8 B 正确对于C 因为变量ξ服从()217,N σ 且()17180.4P ξ<≤=，则()()()181717180.50.40.1P P P ξξξ>=>-<≤=-= 故C 正确对于D 由0.307ˆ.yx =- 得样本点()2,3-的残差为()30.30.72 1.9---⨯=- 故D 正确故选BCD ． 10．ACD 【解析】令()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=-- 因为()f x 是奇函数 ()g x 是偶函数所以()()f x f x -=- ()()g x g x -= 所以()()()()F x f x g x F x -=-=- 所以()()()F x f x g x =是奇函数 A 正确同样令()()()F x f x g x =，则()()()()()()F x f x g x f x g x F x -=--=-=- 所以()F x 是奇函数 B 错误令1x =-代入()()321g x f x x x -=++，则()()()()32111111g f ---=-+-+= 又()()11g g -=()()11f f -=- 所以()()111g f += C 正确因为()f x 为奇函数又()11f =- 所以()11f -=由于()f x 在(),-∞+∞上单调递减要使()121f x -≤-≤成立，则121x -≤-≤ 所以13x ≤≤ D 正确．11．BCD 【解析】114sin sin 2333P ABCD NBCD V S h AB AD BAD h h BAD -=⋅=⋅∠⋅=∠=，则当PA ⊥平面ABCD 时 3h PA ==，则1sin 2BAD ∠= 即BAD ∠为π6或5π6A 错误如图1 若PO ⊥平面ABCD ，则PO BD ⊥ 又AO BD ⊥则BD ⊥平面PAO 有BD PA ⊥ 又BD AC ⊥ 所以BD ⊥平面PAC BD PC ⊥ B 正确设PA 与底面ABCD 所成角为θ 又11sin 233P ABCD ABCD ABCD V S h S PA θ-===则2sin ABCDS θ=因为4sin 4ABCD S BAD =∠≤，则1sin 2θ≥则PA 与底面ABCD 所成角的最小值为π6C 正确如图2 当AB AD ⊥ 根据123P ABCD ABCD V S h -== 得32h = 即P 点到底面ABCD 的距离为32过A 点作底面ABCD 的垂线为l 过点P 作PO l ⊥交l 于点O，则PO ===点P 的轨迹是以O 为圆心为半径的圆轨迹长度为 D 正确．三填空题（本大题共3小题每小题5分共15分．）12．1,12⎛⎤⎥⎝⎦【解析】2M ∈且1M ∈ 所以210,10,a a ->⎧⎨-≤⎩所以112a <≤．13．5 【解析】方法一：当直线AB 的斜率不存在时直线AB 的方程为2x = 代入22y x =得2y =或2y =- 所以4AB =当直线AB 的斜率存在时显然不为零设直线AB 的方程为y kx b =+代入22y x =消y 并整理得()222220k x kb x b +-+=设()11,A x y ()22,B x y 判别式480kb ∆=->时有122212222,,kb x x k b x x k -⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为弦AB 的中点的横坐标为2 所以2224kb k --= 所以212kb k =-21AB x =-==所以2211145AB k k ⎛⎫⎛⎫=≤++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当221114k k +=-即223k =时取到等号故弦AB 的最大值为5．方法二：设抛物线的焦点为F ，则AB AF BF ≤+又121211122AF BF x x x x +=+++=++当弦AB 的中点的横坐标为2时有124x x += 所以5AB ≤当直线过焦点F 时取到等号故弦AB 的最大值为5．14．12 23（任意填对一空给3分）【解析】由()1cos 3αβ+=-得212cos 123αβ+-=-，则21cos 23αβ+=由cos cos 1αβ+=得2cos cos 122αβαβ-+=，则1cos cos 222αβαβ-+=所以3cos cos222αβαβ-+=()2sin cos cos sin 2222sin sin 32sin cos cos 222αβαβαβαβαβαβαβαβ++++===+--+．四解答题（本大题共5小题共77分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．）15．【解析】（1sin 0B =sin B = 两边同时平方可得：2cos 1sin 2B B += 由22sin cos 1B B +=整理得22cos cos 10B B +-= 解得1cos 2B =或cos 1B =- 又()0,πB ∈，则π3B =．sin 0B -=2sin cos 022B B=得cos 02B =或1sin 22B = 又()0,πB ∈，则π26B = π3B =．（2）由（1）得π3ABC ∠=，则2π3CBD ∠= 由题可知π6BCD ∠=，则π6D ∠=设BC a =，则BD BC a ==由余弦定理有2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠所以CD =由正弦定理有sin sin BC ABA ACB =∠所以2sin 2sin 31sin sin ACB A a ACB ACB π⎛⎫+∠ ⎪⎝⎭====∠∠ 因为ABC △为锐角三角形，则π0,2π0,2ACB A ⎧<∠<⎪⎪⎨⎪<∠<⎪⎩得ππ62ACB <∠<所以tan 3ACB ⎛⎫∠∈+∞ ⎪⎝⎭，则(1tan ACB ∈∠所以3tan CD ACB==+∠即CD的取值范围为．16．【解析】（1）依题有a c += 又222a b c =+所以2,a cb =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆W 的方程为2222143x y c c +=又点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆W 上所以221191434c c +⨯=解得1c =所以椭圆W 的方程为22143x y +=．（2）设()6,P P y ()6,Q Q y 0P Q y y >> ()0,0O ()2,0A因为PQ OA = 所以2P Q y y -= ①圆E 过点O 与A 且与直线6x =相交于两个不同的点P Q ，则圆心E 的坐标为1,2P Q y y +⎛⎫⎪⎝⎭又EO EP = =解得24P Q y y = ②（另法一：设直线6x =与x 轴交于点G ，则有GA GO GQ GP =又4GA = 6GO = 所以24P Q y y = ② 另法二：由OA PQ =知 612P Qy y +=- 10P Q y y += ②）由①②解得6P y = 4Q y =所以()6,4Q 40162M k -==-所以直线QA 的方程为2y x =-与椭圆方程联立消去y 得271640x x -+= 解得B 点的横坐标27B x =所以267Q B QB x x =-=-=又O 到直线QA 的距离d ==所以QOB △的面积11402277S QB d =⋅=⨯=．17．【解析】（1）如图取CD 的中点O 因为3PC PD ==，则PO CD ⊥因为平面PCD ⊥平面ABCD 平面PCD 平面ABCD CD = PO ⊂平面PCD所以PO ⊥平面ABCD 又BC ⊂平面ABCD所以PO BC ⊥ 又BC PD ⊥ PO ⊂平面PCD PD ⊂平面PCD PD PO P =所以BC ⊥平面PCD ．（2）因为3PC PD == O 为CD 的中点 1OC =所以PO ==过点O 作OE BC ∥交AB 于点E ，则由BC ⊥平面PCD 可得BC CD ⊥，则以O 为原点 OE OCOP 分别为x 轴 y 轴 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系则()0,0,0O ()2,3,0A -10,2Q ⎛ ⎝()0,1,0D -(P所以72,2AQ ⎛=- ⎝(DP = ()2,2,0AD =-设与AQ DP 都重直的向量为(),,n x y z =，则720,2220,n AQ x y nDP y ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩得3,2,x y z y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令4y =，则(6,4,n =设直线AQ与直线DP 的距离为d则12cos ,36AD n d AD AD n n⋅-=⋅===>则不存在点M 和N 使得MN =． 18．【解析】（1）()1f x kx ≥-恒成立即ln 1x x kx ≥-恒成立又0x > 所以1ln x k x+≥恒成立今()()1ln 0g x x x x =+> 所以()22111x g x x x x ='-=-当01x <<时 ()0g x '< 函数()g x 单调递减当1x >时 ()0g x '> 函数()g x 单调递增所以当1x =时 ()g x 取到极小值也是最小值且()11g =所以1k ≤故实数k 的取值范围为(],1-∞．（2）1x 2x 3x 成等比数列且123x x x << 设公比为()1q q >，则21x qx = 231x q x =()ln f x x x =求导得()1ln f x x ='+ 所以()2211ln 1ln ln f x x q x =+=++'直线AC 的斜率为()21131331123131ln 2ln ln ln ln 1q x q x y y x x x x x x x x q +---==---若存在不同的三点A B C 使直线AC 的斜率等于()2f x '则有()21112ln 2ln ln 1ln ln 1q x q x q x q +-=++-整理成221ln 01q q q --=+．令()()221ln 11x h x x x x -=->+，则()()()()222222114011x xh x x x x x -=-=+'≥+所以()221ln 1x h x x x -=-+在1x >时单调递增而()10h = 故方程221ln 01q q q --=+在1q >时无实数解所以不存在不同的三点A B C 使直线AC 的斜率等于()2f x '．19．【解析】（1）设i A =“两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为i 个” 0i = 1 2B =“两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为2个” 则()()2021124P A P A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ()221211C 22P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭()019P B A =∣ ()129P B A =∣ ()249P B A =∣则()()()211121414929494i i i P B P A P BA ===⨯+⨯+⨯=∑∣故()()()()()()222214449194P A P BA P AB P A B P B P B ⨯====∣∣．（2）由题知0X = 1 2由（1）知()()()2211112114244P X p p p p ==+-+-=同理可得()()()()21212211111C 11C 14242P X p p p p p p ⎡⎤==-++-+-=⎣⎦则()()()101124P X P X P X ==-=-==故X 的信息熵22111111132log log 42444222H f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=⨯--=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（3）由题知()()11n P Y n p p -==- 其中1n = 2 3 …则()()()01111211n EY p p p p n p p -=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-+⋅⋅⋅又()()111111nni i i i i p p p i p --==⋅-=⋅-∑∑则()()()()1111111211ni n i i p p p n p --=⋅-=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-∑ ①()()()()()11211111211ni ni p i p p p n p -=-⋅⋅-=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-∑ ②-①②得：()()()()()1011111111ni n ni p i p p p p n p --=⋅-=-+-+⋅⋅⋅+---∑()()()()111111nnn np p n p n p p p p ---=--=---由题知当n 无限增大时 ()1np -趋近于零 ()1nn p -趋近于零，则EY 趋近于1p．所以当n 无限增大时 Y 的数学期望䞨近于一个常数．。

2022年湖北省高考数学调研试卷(4月份)(二模)+答案解析(附后)

2022年湖北省高考数学调研试卷（4月份）（二模）1.设，，则( )A. B.C. D.2.若复数z的满足是虚数单位，则复数z的实部是( )A. 1B. 2C. iD.3.函数的部分图象如图所示，则函数的解析式是( )A.B.C.D.4.已知平行四边形ABCD中，，，，，则( )A. 9B.C. 18D.5.已知的展开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中的系数为( )A. 160B.C. 60D.6.在四棱锥中，平面ABCD，，点M是矩形ABCD内含边界的动点，且，，直线PM与平面ABCD所成的角为记点M的轨迹长度为，则( )A. B. 1 C. D. 27.已知、是双曲线的左，右焦点，过的直线l与双曲线C交于M，N 两点，且，则C的离心率为( )A. B. C. D. 38.已知函数，则使不等式成立的x的取值范围是( )A. B.C. D.9.已知甲、乙两个水果店在“十一黄金周”七天的水果销售量统计如图所示，则下列说法正确的是( )A. 甲组数据的极差大于乙组数据的极差B. 若甲，乙两组数据的平均数分别为，则C. 若甲，乙两组数据的方差分别为，，则D. 甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数10.定义空间两个非零向量的一种运算：，，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有( )A. B.C. 若，则D.11.设动直线l：交圆C：于A，B两点点C为圆心，则下列说法正确的有( )A. 直线l过定点B. 当取得最小值时，C. 当最小时，其余弦值为D. 的最大值为2412.在棱长为1的正方体中，已知E为线段的中点，点F和点P分别满足，其中，，则( )A. 当时，三棱锥的体积为定值B. 当时，四棱锥的外接球的表面积是C. 若直线CP与平面ABCD所成角的正弦值为，则D. 存在唯一的实数对，使得平面EFP13.若随机变量，且，则等于______.14.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．用表示解下个圆环所需的最少移动次数．若，且，则解下6个圆环所需的最少移动次数为______.15.设抛物线的焦点为F，准线为l，过第一象限内的抛物线上一点A作l的垂线，垂足为设，AF与BC相交于点若，且的面积为，则直线AC的斜率______，抛物线的方程为______.16.已知函数，，若，则的最大值为______.17.如图，在平面四边形ABCD中，，，若，求；若，求四边形ABCD的面积．18.已知正项等差数列满足：，且，，成等比数列．求的通项公式；设，是数列的前n项和，若对任意均有恒成立，求的最小值．19.某企业使用新技术对某款芯片进行试生产．在试产初期，该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率；如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽查检验．在芯片智能自动检测显示合格率为的条件下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率．20.如图，在斜三棱柱中，，，侧面底面ABC，点M，N分别为，BC的中点，点D为线段AC上一点，且求证：平面；求二面角的正弦值．21.在平面直角坐标系中xOy，椭圆的离心率为，点在椭圆C上．求椭圆C的方程；设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线AB的斜率为，直线QB的斜率为，已知①求证：直线PQ恒过x轴上一定点；②设和的面积分别为，，求的最大值．22.已知函数，若不等式恒成立，求正实数a的值；证明：答案和解析1.【答案】B【解析】解：，，，故选：解不等式求出B，求出A的补集，求出即可．本题考查了集合的运算，是基础题．2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查复数的概念以及复数的乘除法法则，属于基础题．根据已知条件得，结合复数的乘除法法则，即可求解．【解答】解：，，复数z的实部为故选：3.【答案】D【解析】解：根据函数的部分图象，可得，再根据五点法作图，可得，，故，故选：由周期期求出，由五点作图求出，可得函数的解析式．本题主要考查由函数的部分图象求函数的解析式，由周期求出，由五点作图求出，属于中档题．4.【答案】D【解析】解：设与之间的夹角为，则故选：利用平面向量的数量积运算进行求解即可．本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：由已知得，解得，故二项式为，故展开式中含的项为：故选：根据二项式系数的性质求出n的值，然后结合组合的知识求出的系数．本题考查二项式系数的性质以及展开式系数的求法，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：因为平面ABCD，所以即为直线PM与平面ABCD所成的角，所以，因为，所以，所以点M位于矩形ABCD内的以点A为圆心，2为半径的圆上，则点M的轨迹为圆弧EF，连接AF，则，因为，，所以，则弧EF的长度，所以故选：根据题意即为直线PM与平面ABCD所成的角，故问题转化为以点A为圆心在平面ABCD内做2为半径的圆，圆弧在矩形ABCD内的部分即为点M的轨迹，进而利用几何关系求解即可．本题考查了线面角的计算，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：设，则，设，则由双曲线的定义得，解得，所以，，，，所以为等边三角形，所以，则，在中，由余弦定理得，，即，化简得，，所以双曲线的离心率为，故选：由已知条件结合双曲线的定义可得为等边三角形，从而得，然后在中，利用余弦定理化简可得到，从而可求出离心率的值．本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线离心率的求解等知识，属于中等题．8.【答案】D【解析】解：由，得，得或，的定义域为或又，是偶函数．当时，为增函数，设，则，为增函数，为增函数，则不等式等价为不等式，，，解得或，即不等式的解集为故选：根据条件判断函数的奇偶性和单调性，再利用函数奇偶性和单调性的性质，将不等式进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，函数的奇偶性和单调性，结合函数的单调性和奇偶性进行转化是解决本题的关键，是中档题．9.【答案】BD【解析】解：由折线图得：对于A，甲组数据的极差小于乙组数据的极差，故A错误；对于B，甲组数据除第二天数据图低于乙组数据，其它天数数据都高于乙组数据，可知，故B正确；对于C，甲组数据比乙组数据稳定，，故C错误；对于D，甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数，故D正确．故选：根据折线图中的数据，结合极差的概念、平均数的求法、方差的求法及意义、中位数的概念，即可判断各项的正误．本题考查命题真假的判断，考查极差、平均数、方差、中位数、折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】BD【解析】解：对于A，若为负数，可知，故A错误，对于B，由定义知B正确，对于C，若，则共线，故C错误，对于D，由定义知，故D正确．故选：理解新定义，对选项逐一判断即可．本题考查了平面向量数量积的计算，属于基础题．11.【答案】AD【解析】解：对于A：由l：整理得，当，即时，不论m为何值时都成立，所以直线l过定点，故A正确；对于B：因为直线l过定点，将定点代入圆C：，所以定点在圆C的内部，当直线l过圆心时，取得最大值，此时解得，故B错误；对于C：设直线l过的定点，当时，最小，而，所以，所以在中，由余弦定理计算可得，故C不正确；对于D：，而表示在方向上的投影，所以当、共线即A、C、B、M四点共线，且方向相同时，取得最大值，此时，所以的最大值为24，故D正确．故选：对于A：整理得，由此可求得直线所过的定点；对于B：由直线l过定点，且定点在圆C的内部，当直线l过圆心时，取得最大值，由此求得m的值；对于C：设直线l过的定点，当时，最小，由余弦定理计算可判断；对于D：当、共线，且方向相同时，取得最大值，由此可判断．本题考查了直线过定点、直线与圆的关系，难点在于C、D两项中直线在什么情况才能使选项中的最值成立，属于中档题．12.【答案】ABC【解析】解：对于A，当时，F是的中点，连接与交于点E，则E为的中点，，面EFD，又点P在上，点P到面EFD的距离为定值，三棱锥的体积为定值，故A正确；对于B，当时，点P为的中点，设四棱锥的外接球的半径为R，则球心O在PM延长线上，由得，由得，解得，外接球的表面积为，故B正确；对于C，连接BD，过点P作于M，连接CM，平面ABCD：平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，为CP与平面ABCD所成角，，，在由余弦定理有，在中由勾股定理有，，解得，故C正确；对于D，点F在上，又E在上，P在上，平面PEF即为平面，又易证平面，是平面的法向量，要使平面EFP，须与共线，即须与共线，显然不可能，不存在实数对使得平面EFP，故D错误．故选：根据锥体体积的求法、几何体外接球表面积的求法、线面角、线面垂直等知识对选项进行分析，由此确定正确选项．本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．13.【答案】【解析】解：随机变量，且，，故答案为：根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．14.【答案】64【解析】解：由，且，，，，，故答案为：根据数列递推关系式，采用归纳推理即可求解．本题考查由数列递推关系式，采用归纳推理求指定的项，属基础题．15.【答案】【解析】解：如图所示，，所以轴，，，，所以四边形ABFC为平行四边形，，，解得，代入可取，，解得，，故答案为：；由抛物线定义可得四边形ABFC为平行四边形，故，可得点，即得抛物线方程．本题主要考查抛物线的几何性质，抛物线方程的求解等知识，属于中等题．16.【答案】【解析】解：由题意，可得，所以，则，所以，又，得，因为在上的单调递增，所以，所以，令，则，令，得，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，故答案为：由题意，可得，则，又由，得，结合在上的单调递增，可得，推出，令，求导分析单调性，再求出的最大值．本题考查导数的综合应用，函数与方程之间的关系，解题中需要理清思路，属于中档题．17.【答案】解：连接BD，在中，，且，，所以，在中，由余弦定理得，所以，所以在中，由余弦定理得，即，解得，或，舍去，所以四边形ABCD的面积为【解析】连接BD后由余弦定理与两角和的正弦公式即可求解．由余弦定理与面积公式即可求解．本题考查了余弦定理与两角和的正弦公式与三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：由数列为正项等差数列，设首项为，公差为d，则，，又，则，即，①又，，成等比数列，则，②将①代入②得：，即；由得，则，又对任意均有恒成立，则，则的最小值为【解析】先设首项为，公差为d，则，，再由已知条件可得，然后可求得通项公式；由，再累加求和即可得解．本题考查了数列通项公式的求法，重点考查了累加求和，属中档题．19.【答案】解：该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率设该批次智能自动检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B，则，，则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率【解析】根据已知条件，结合相互独立事件的概率公式，以及对立事件概率和为1，即可求解．根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．本题主要考查条件概率公式，考查转化能力，属于中档题．20.【答案】解：证明：取BN中点O，连接AO，OM，点M，N分别为，BC的中点，，平面，平面，，又，，平面，平面，，平面平面，又平面AOM，平面；取AC的中点K，连接KB，，由已知可证，，又侧面底面ABC，，以K为原点，KB，KC，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面AMN的一个法向量为，则，令，，，平面AMN的一个法向量为，又平面ABC，为平面ANC的一个法向量，，二面角的正弦值为【解析】取BN中点O，连接AO，OM，平面，平面，可证平面平面，由面面平行的性质可得平面；取AC的中点K，连接KB，，易证KB，KC，两两垂直，以K为原点，KB，KC，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，求两平面的法向量，利用向量法可求二面角的正弦值．本题考查线面平行的证明，以及二面角的正弦值的求法，属中档题．21.【答案】解：由题意可得解得，所以椭圆C的方程为①证明：方法一：第三定义转化：依题意，点，，设，，因为若直线PQ的斜率为0，则点P，Q关于y轴对称，必有，不合题意．所以直线PQ斜率必不为0，设其方程为，与椭圆C联立，整理得：，所以，且因为点是椭圆上一点，即，所以，所以，即因为，所以，此时，故直线PQ恒过x轴上一定点方法二：依题意，点，，设，因为若直线PQ的斜率为0，则点P，Q关于y轴对称，必有，不合题意所以直线PQ斜率必不为0，设其方程为，与椭圆C联立得：所以整理得：，所以，且依题意，，即算法1：和积关系转化法：因为，所以，所以解得：算法2：韦达定理代入消元：因为，所以，所以解得：方法三：分设两线再联立：依题意，点，，设，，设，，并设直线AP：，直线BQ：，因为联立直线AP与椭圆C得：所以整理得：，解得：因为联立直线BQ与椭圆C得：，所以整理得：，解得：因为，且，此时，设直线PQ与x轴交于点，则由P，D，Q三点共线易知，，即线段PQ过点②解：由①得，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最大值为【解析】由题意列方程组求解；①设PQ直线方程，与椭圆方程联立，由题意列方程通过韦达定理化简求解②由面积公式与韦达定理化简后转化为函数求最值．本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，直线恒过定点问题等知识，属于中等题．22.【答案】解：因为不等式恒成立，所以，令，，当时，单调递增，的值域为R，不符合题意，当时，则，也不符合题意，当时，令，得，令，则，所以在上单调递增，且，所以有唯一实数根，即有唯一实数根，设为，即，所以在上为减函数，在上为增函数，所以，故只需，令，上式即转化为，设，则，所以在上单调递增，在上单调递减，从而，所以，所以，解得，从而有，则，所以满足条件的实数为证明：由可知，所以只需证明，，恒有，注意到前面已经证明：，只需要证明，当时，恒有，且等号不能同时成立，当时，设，则，当时，是单调递增函数，且，所以当时恒有，所以当时，单调递减，所以，即，所以【解析】问题可转化为不等式恒成立，令，求导得，分三种情况：当时，当时，当时，讨论的单调性，最小值，只需，即可得出答案．由可知，只需证明，，恒有，注意到前面已经证明：，只需要证明，即可得出答案．本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的关系，解题中注意转化思想及分类讨论方法的应用，属于中档题．。

高三数学理科调研测试试题含详细答案

侧视图俯视图正视图4x33x4广州市高三年级调研测试数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数()3g x x =+的定义域为A ．{3x x ≥-} B ．{3x x >-} C ．{3x x ≤-} D ．{3x x <-}2. 已知i 为虚数单位, 则复数i (1+i )的模等于A .12B. 22C.2 D. 23. 已知,x y 满足约束条件,1,1.y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为A . 3- B. 32-C. 32D. 34. 已知:2p x ≤，:02q x ≤≤，则p 是q 的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5. 如果执行图1的程序框图，若输入，那么输出的等于图1A. 720 B . 360 C . 240 D. 1206. 已知随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，且(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=， ()0.6826P X μσμσ-<≤+=，若4μ=，1σ=, 则(56)P X <<=A ．0.1358B ．0.1359C ．0.2716D ．0.27187. 一空间几何体的三视图如图2所示, 该几何体的体积为8512π+，则正视图中x 的值为 A. 5 B . 4 C. 3 D . 28.若把函数()=y f x 的图象沿x 轴向左平移4π个单位, 沿y 轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的6,4n m ==p图3N 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数sin =y x 的图象,则()=y f x 的解析式为 A. sin 214⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭y x π B. sin 212⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭y x πC. 1sin 124⎛⎫=+-⎪⎝⎭y x π D. 1sin 122⎛⎫=+- ⎪⎝⎭y x π二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9. 某社区有500个家庭, 其中高收入家庭125户, 中等收入家庭280户, 低收入家庭95户. 为了调查社会购买力的某项指标, 采用分层抽样的方法从中抽取1个容量为若干户的样本, 若高收入家庭抽取了25户, 则低收入家庭被抽取的户数为 . 10. 已知直线l 经过坐标原点，且与圆22430x y x +-+=相切，切点在第四象限，则直线l 的方程为 .11. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若246,30S S ==，则6S = . 12. 922()2x x -展开式的常数项是 .（结果用数值作答） 13. 设函数()()[)22,,1,,1,.x x f x x x -⎧∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩ 若()4f x >，则x 的取值范围是 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图3，四边形ABCD 内接于⊙O ， BC 是直径，MN 与⊙O 相切, 切点为A ，MAB ∠35︒=,则D ∠= .15．（坐标系与参数方程选讲选做题）已知直线的参数方程为：2,14x t y t=⎧⎨=+⎩（为参数），圆C 的极坐标方程为ρθ=，则直线与圆C 的位置关系为 .l t lMDCBAP三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 已知向量=m 2cos,sin 22A A ⎛⎫ ⎪⎝⎭, =n cos,2sin 22A A ⎛⎫- ⎪⎝⎭,.1-=⋅n m (1) 求cos A 的值;(2)若a =2b =, 求c 的值.17．（本小题满分12分）某商店储存的50个灯泡中, 甲厂生产的灯泡占60%, 乙厂生产的灯泡占40%, 甲厂生产的灯泡的一等品率是90%, 乙厂生产的灯泡的一等品率是80%.(1) 若从这50个灯泡中随机抽取出一个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等), 则它是甲厂生产的一等品的概率是多少?(2) 若从这50个灯泡中随机抽取出两个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等), 这两个灯泡中是甲厂生产的一等品的个数记为ξ, 求E ξ的值. 18．（本小题满分l4分）如图4，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面，2PA AD ==，1AB =,BM PD ⊥于点M ． (1) 求证：AM ⊥PD ；(2) 求直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值.ABCD图419．（本小题满分14分）已知椭圆(222:13x y E a a +=>的离心率12e =. 直线x t =（0t >）与曲线E 交于不同的两点,M N ,以线段MN 为直径作圆C ,圆心为C ． (1) 求椭圆E 的方程；(2) 若圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，求ABC ∆的面积的最大值.20．（本小题满分14分）已知函数()(af x x a x=+∈R ), ()ln g x x =. (1) 求函数()()()F x f x g x =+的单调区间； (2) 若关于x 的方程()()22g x f x e x=-(e 为自然对数的底数)只有一个实数根, 求a 的值.21．（本小题满分14分）如图5，过曲线C ：xy e =上一点0(0,1)P 作曲线C 的切线0l 交x 轴于点11(,0)Q x ，又过1Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点111(,)P x y ，然后再过111(,)P x y 作曲线C 的切线1l 交x 轴于点22(,0)Q x ，又过2Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点222(,)P x y ，，以此类推，过点n P 的切线n l与x 轴相交于点11(,0)n n Q x ++，再过点1n Q +作x 轴的垂线交曲线C 于点111(,)n n n P x y +++（n ∈N *）．(1) 求1x 、2x 及数列{}n x 的通项公式；图5广州市高三调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分.二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 9．19 10．y = 11. 126 12. 212- 13.()(),22,-∞-+∞14．125︒ 15．相交三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）(本小题主要考查平面向量, 同角三角函数的基本关系、解三角形等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) (1) 解: ∵=m 2cos ,sin 22A A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,=n cos ,2sin 22A A ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 1=-m n ,∴ 222cos 2sin 122A A-=-. ……2分 ∴ 1cos 2A =-. ……4分(2)解: 由(1)知1cos 2A =-,且0A π<<, ∴ 23A π=. ……6分∵a =2b =,（资料来源：数学驿站）由正弦定理得sin sin a bA B =,2sin sin 3B =, ∴1sin 2B =. ……8分 ∵0,B B A π<<<,∴6B π=. ……10分∴6C A B ππ=--=.∴2c b ==. ……12分17. （本小题满分12分） (本小题主要考查条件概率、数学期望等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)(1) 解法1: 设事件A 表示“甲厂生产的灯泡”, 事件B 表示“灯泡为一等品”, 依题意有()0.6P A =, ()0.9P B A =,根据条件概率计算公式得()()()0.60.90.54P AB P A P B A ==⨯=. ……4分解法2: 该商店储存的50个灯泡中是甲厂生产的灯泡有5060%30⨯=个, 乙厂生产的灯泡有5040%20⨯=个, 其中是甲厂生产的一等品有3090%27⨯=个, 乙厂生产的一等品有2080%16⨯=个, 故从这50个灯泡中随机抽取出一个灯泡,它是甲厂生产的一等品的概率是 270.5450P ==. ……4分 (2) 解: ξ的取值为0,1,2, ……5分()22325025301225C P C ξ===, ()11272325062111225C C P C ξ===, ()22725035121225C P C ξ=== (8)分∴ξ的分布列为:∴2536213511323012 1.081225122512251225E ξ=⨯+⨯+⨯==. ……12分18.（本小题满分l4分）(本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角等知识, 考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)(1)证明：∵ PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ,∴PA AB ⊥.∵AB AD ⊥，,AD PA A AD =⊂平面PAD ,PA ⊂平面PAD ,∴AB ⊥平面PAD . ∵PD ⊂平面PAD∴AB PD ⊥， ……3分∵BM PD ⊥, ABBM B =,AB ⊂平面ABM ,BM ⊂平面ABM ,∴PD ⊥平面ABM .∵AM ⊂平面ABM ,∴AM ⊥PD . ……6分（2）解法1：由（1）知，AM PD ⊥，又PA AD =，则M 是PD 的中点,在Rt △PAD 中,得AM =Rt △CDM 中,得MC ==,∴122ACM S AM MC ∆=⋅= 设点D 到平面ACM 的距离为h ，由D ACM M ACD V V --=， ……8分得111332ACM ACD S hS PA ∆∆=.解得3h =， ……10分设直线CD 与平面ACM 所成的角为θ，则sin h CD θ==，……12分 ∴cos 3θ=.∴ 直线CD 与平面ACM . ……14分解法2：如图所示，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()0,0,2P ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D ，()0,1,1M . ∴()()()1,2,0,0,1,1,1,0,0AC AM CD ===-. ……8分设平面ACM 的一个法向量为(,,)n x y z =，由,n AC n AM ⊥⊥可得：20,0.x y y z +=⎧⎨+=⎩令1z =，得2,1x y ==-.∴(2,1,1)n =-. ……10分设直线CD 与平面ACM 所成的角为α，则6sin 3CD n CD nα⋅==. ……12分∴cos 3α=.∴直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为3. ……14分 19．（本小题满分14分）(本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：∵椭圆(222:13x y E a a +=>的离心率12e =,∴12a =. …… 2分解得2a =. ∴ 椭圆E 的方程为22143x y +=． …… 4分（2）解法1：依题意，圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=. ∴ 圆C的半径为2r =． …… 6分∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =，∴02t <<，即0t <<．∴弦长||AB ===． …… 8分∴ABC ∆的面积12S =⋅ …… 9分)2127t =-)221272t +-≤7=. ……12分=，即7t=时，等号成立. ∴ ABC ∆． …… 14分解法2：依题意，圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234ty -=.∴ 圆C 的半径为r =． …… 6分∴ 圆C 的方程为222123()4t x t y --+=．∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =，∴0t <<07t <<．在圆C 的方程222123()4t x t y --+=中，令0x =，得y =∴弦长||AB =． …… 8分 ∴ABC ∆的面积12S =⋅ …… 9分)2127t =-)221272t +-≤7=. ……12分=，即7t=时，等号成立. ∴ ABC ∆． …… 14分20.（本小题满分14分）(本小题主要考查函数、导数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) (1)解: 函数()()()ln aF x f x g x x x x=+=++的定义域为()0,+∞. ∴()'211a F x x x=-+22x x ax +-=. ① 当140a ∆=+≤, 即14a ≤-时, 得20x x a +-≥,则()'0F x ≥. ∴函数()F x 在()0,+∞上单调递增. ……2分② 当140a ∆=+>, 即14a >-时, 令()'0,F x = 得20x x a +-=,解得120,x x =<=.(ⅰ) 若104a -<≤, 则2102x -+=≤. ∵()0,x ∈+∞, ∴()'0F x >, ∴函数()F x 在()0,+∞上单调递增. …… 4分(ⅱ)若0a >,则10,2x ⎛⎫-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭时, ()'0F x <;x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时, ()'0F x >,∴函数()F x 在区间⎛⎝⎭上单调递减, 在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增. …… 6分综上所述, 当0a ≤时, 函数()F x 的单调递增区间为()0,+∞;当0a >时, 函数()F x 的单调递减区间为⎛⎝⎭, 单调递增区间为12⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭. …… 8分 (2) 解: 由()()22g x f x e x =-, 得2ln 2x a x e x x =+-, 化为2ln 2x x ex a x =-+. 令()ln x h x x =, 则()'21ln x h x x-=.令()'0h x =, 得x e =. 当0x e <<时, ()'0h x >; 当x e >时, ()'0h x <.∴函数()h x 在区间()0,e 上单调递增, 在区间(),e +∞上单调递减. ∴当x e =时, 函数()h x 取得最大值, 其值为()1h e e=. …… 10分而函数()()2222m x x ex a x e a e =-+=-+-,当x e =时, 函数()m x 取得最小值, 其值为()2m e a e =-. (12)分∴ 当21a e e -=, 即21a e e=+时, 方程()()22g x f x e x =-只有一个根. (14)分21. （本小题满分14分）(本小题主要考查导数、数列、不等式、定积分等知识, 考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1) 解: 由xy e '=，设直线n l 的斜率为n k ，则n xn k e =.∴直线0l 的方程为1y x =+.令0y =，得11x =-， ……2分∴111xy e e ==， ∴11(1,)P e -.∴111x k e e==. ∴直线1l 的方程为11(1)y x e e-=+.令0y =，得22x =-. ……4分一般地，直线n l 的方程为()nn x x n y e e x x -=-，由于点11(,0)n n Q x ++在直线n l 上，∴11n n x x +-=-.∴数列{}n x 是首项为1-，公差为1-的等差数列.∴n x n =-. ……6分（2）解：11(1)(1)111()()222|nn x x n n n n n n n n n n S e dx x x y e y e e e ------+-+-+=--=-=--⎰ =212ne e e -⋅. ……8分（3）证明：1211[1()]2111221(1)1222(1)1n n n n e e e e e T e e e e e ee e e----⎛⎫=⋅+++=⋅=⋅- ⎪-⎝⎭-.……10分∴111111111111n n n n n n n T e e e T e e e e e+++++---===+---，1(1)11n n x n x n n +-+==+-. 要证明11n n n n T x T x ++<，只要证明111n e e e n+-<-，即只要证明1(1)n e e n e +>-+.……11分证法1：（数学归纳法）① 当1n =时，显然222(1)021(1)e e e e e e ->⇔>-⇔>-+成立；② 假设n k =时，1(1)k ee k e +>-+成立，则当1n k =+时，21[(1)]k k ee e e e k e ++=⋅>-+，而2[(1)][(1)(1)](1)(1)0e e k e e k e e k -+--++=-+>.∴[(1)](1)(1)e e k e e k e -+>-++.∴2(1)(1)k e e k e +>-++.这说明，1n k =+时，不等式也成立.由①②知不等式11n n n nT x T x ++<对一切n ∈N *都成立. ……14分证法2: 110111111[1(1)](1)(1)n n n n n n n e e C C e C e +++++++=+-=+-++- 0111(1)1(1)(1)(1)n n C C e n e e n e ++>+-=++-=-+.∴不等式11n n n nT x T x ++<对一切n ∈N *都成立. ……14分证法3:令()()11x f x ee x e +=---,则()()'11xf x e e +=--,当0x >时, ()()'11x fx e e +=--()110e e >--=>,∴函数()f x 在()0,+∞上单调递增.∴当0x >时, ()()00f x f >=.∵n ∈N *,∴()0f n >, 即()110n ee n e +--->.∴()11n ee n e +>-+.∴不等式11n n n nT x T x ++<对一切n ∈N *都成立.……14分。

高考数学试卷调研答案

一、选择题1. 【答案】C解析：根据三角函数的定义，正弦函数的值域为[-1, 1]，故选C。

2. 【答案】A解析：由二次函数的性质，对称轴为x=1，故选A。

3. 【答案】D解析：根据立体几何的知识，三棱锥的体积公式为V = 1/3 S h，其中S为底面积，h为高。

由题意知，三棱锥的底面为等边三角形，边长为a，高为h，则底面积S = (√3/4) a^2，代入公式得V = 1/3 (√3/4) a^2 h = (√3/12) a^2 h。

由题意知，当a=2，h=3时，V取得最大值，代入公式得V = (√3/12) 2^2 3 = (√3/2)。

故选D。

4. 【答案】B解析：由数列的通项公式an = n^2 + 1，可得数列的前n项和为Sn = (1^2 + 1) + (2^2 + 1) + ... + (n^2 + 1) = (1^2 + 2^2 + ... + n^2) + n =n(n+1)(2n+1)/6 + n。

当n=100时，Sn = 100 101 201/6 + 100 = 338350。

故选B。

5. 【答案】A解析：由复数的乘法运算，(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac-bd) + (ad+bc)i。

故选A。

二、填空题6. 【答案】3解析：由数列的通项公式an = n^2 + 1，可得数列的前n项和为Sn = (1^2 + 1) + (2^2 + 1) + ... + (n^2 + 1) = (1^2 + 2^2 + ... + n^2) + n =n(n+1)(2n+1)/6 + n。

当n=100时，Sn = 100 101 201/6 + 100 = 338350，所以Sn的值为3。

7. 【答案】5解析：由函数的定义，f(x) = |x-1|，当x>1时，f(x) = x-1；当x≤1时，f(x) = 1-x。

因此，f(x)在x=1处取得最小值，最小值为0。

2023年湖北省武汉市高考数学调研试卷(4月份)+答案解析(附后)

2023年湖北省武汉市高考数学调研试卷（4月份）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 若复数是纯虚数，则实数( )A. B. C. D.3. 已知，则( )A. B. C. D.4.正六边形ABCDEF中，用和表示，则( )A. B. C. D.5. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于同余的问题.现有这样一个问题：将正整数中能被3除余1且被2除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则( )A. 55B. 49C. 43D. 376. 设抛物线的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为，则( )A. 3B. 6C. 9D. 127. 阅读下段文字：“已知为无理数，若为有理数，则存在无理数，使得为有理数；若为无理数，则取无理数，，此时为有理数.”依据这段文字可以证明的结论是( ) A. 是有理数 B. 是无理数C. 存在无理数a，b，使得为有理数D. 对任意无理数a，b，都有为无理数8. 已知直线与函数的图象恰有两个切点，设满足条件的k所有可能取值中最大的两个值分别为和，且，则( )A. B. C. D.9. 某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：则下列结论中正确的是( )A. 招商引资后，工资性收入较前一年增加B. 招商引资后，转移净收入是前一年的倍C. 招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的D. 招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍10. 椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率的可能取值有( )A. B. C. D.11. 函数的图象可能是( )A. B.C. D.12. 三棱锥中，，，，直线PA与平面ABC所成的角为，直线PB与平面ABC所成的角为，则下列说法中正确的有( )A. 三棱锥体积的最小值为B. 三棱锥体积的最大值为C. 直线PC与平面ABC所成的角取到最小值时，二面角的平面角为锐角D. 直线PC与平面ABC所成的角取到最小值时，二面角的平面角为钝角13. 的展开式中含项的系数为______ .14. 半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.则得到的二十四等边体与原正方体的体积之比为______ .15. 直线：和：与x轴围成的三角形是等腰三角形，写出满足条件的k的两个可能取值：______ 和______ .16. 在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数和图象上的动点，若对任意，有恒成立，则实数m的最大值为______ .17. 记数列的前n项和为，对任意，有证明：是等差数列；若当且仅当时，取得最大值，求的取值范围.18. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有求角A；若BC边上的高，求19. 如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC的中点.将沿EF翻折至，得到四棱锥，P为的中点.证明：平面；若平面平面EFCB，求直线与平面BFP所成的角的正弦值.20. 中学阶段，数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中.例如，甲乙两人进行比赛，若甲每场比赛获胜概率均为，且每场比赛结果相互独立，则由对称性可知，在5场比赛后，甲获胜次数不低于3场的概率为现甲乙两人分别进行独立重复试验，每人抛掷一枚质地均匀的硬币.若两人各抛掷3次，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率；若甲抛掷次，乙抛掷n次，，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率.21. 过点的动直线l与双曲线E：交于M，N两点，当l与x轴平行时，，当l与y轴平行时，求双曲线E的标准方程；点P是直线上一定点，设直线PM，PN的斜率分别为，，若为定值，求点P的坐标.22. 已知函数，其中证明：恒有唯一零点；记中的零点为，当时，证明：图象上存在关于点对称的两点.答案和解析1.【答案】C【解析】解：，，故选：求解不等式化简A与B，再由交集运算的定义得答案．本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．2.【答案】A【解析】解：是纯虚数，，解得故选：利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】解：，故选：根据三角函数的诱导公式可得出，然后得出，从而根据二倍角的余弦公式即可求出答案．本题考查了诱导公式，二倍角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：如图，延长CD，设交AE的延长线于点H，，，，且，，，故选：可画出图形，延长CD，延长AE，设交于点H，根据ABCDEF是正六边形可得出，，然后根据向量减法和数乘的几何意义和向量数乘的运算即可用表示出本题考查了向量减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于中档题．5.【答案】A【解析】解：正整数中既能被3除余1且被2除余1的数，即被6除余1，那么，有故选：由条件写出通项公式，即可求解．本题考查归纳推理，等差数列的通项公式，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：设准线与x轴的交点为M，由题意可知，，准线l方程为，在中，，，，垂直于准线l，，由抛物线的性质可知，，为等边三角形，故选：设准线与x轴的交点为M，在中，，，可求出，再结合抛物线的性质可知为等边三角形，从而可求出的长．本题主要考查了抛物线的定义和性质，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：这段文字中，没有证明是有理数条件，也没有证明是无理数的条件，AB错误；这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a，b，使得为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，C正确；这段文字中只提及存在无理数a，b，不涉及对任意无理数a，b，都成立的问题，D错误．故选：根据给定的条件，提取文字信息即可判断作答．本题考查归纳推理，命题的判断，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：直线与函数的图象恰有两个切点，设对应的切点为，，，设对应的切点为，，，只考虑，，则，，其中，所以，其中，，易得，则，则故选：设对应的切点为，，，对应的切点为，，，则有，即可得答案．本题考查了三角函数的性质、也考查了转化思想，属于中档题．9.【答案】AD【解析】解：设招商引资前经济收入为a，则招商引资后经济收入为2a，对于A，招商引资前工资性收入为，招商引资后工资性收入为，因为，所以招商引资后，工资性收入较前一年增加了，故A正确；对于B，招商引资前转移净收入为，招商引资后转移净收入为，因为，所以招商引资后，转移净收入是前一年的倍，故B错误；对于C，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和占，所以招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和不超过该年经济收入的，故C错误；对于D，招商引资前经营净收入为，招商引资后经营净收入为，所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D正确．故选：设招商引资前经济收入为a，则招商引资后经济收入为2a，根据两个扇形图中的信息逐个分析各个选项即可．本题主要考查了统计图的应用，属于基础题．10.【答案】BD【解析】解：椭圆的焦点在x轴上，，令，可得或，则，不妨：，，所以，，，则，此时，故选：求解圆与坐标轴的交点，即可得到椭圆的焦点坐标与a，或b的值，然后求解离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．11.【答案】ABC【解析】解：根据题意，对于，分3种情况讨论：①当时，，是指数函数，与选项A的图象对应，②当时，若，解可得：，在区间上，，有，在区间上，，有，在区间上，，有，与选项A的图象对应，③当时，，有，即函数的图象在x轴的上方，其导数，对于，其中当时，有，此时恒成立，此时恒成立，函数有在R上递增，没有选项的图象与之对应，当时，，方程有两个负根，此时函数有两个极值点，且都在y轴左侧，与选项C的图象对应，同时选项D的图象不可能成立．故选：根据题意，分，和三种情况讨论函数的图象，由此分析选项即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的导数与单调性的关系，属于基础题．12.【答案】ACD【解析】解：如图所示，作平面ABC，连接AH，BH，CH，因为直线PA与平面ABC所成的角为，直线PB与平面ABC所成的角为，所以，，即，，所以，即，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如图平面直角坐标系，，，，，整理得可得圆心，半径，设圆H与x轴的交点分别为M，N，可得，，因为，所以，又由且，所以，则，，所以A正确，B错误；因为，可设，，设PC与平面AB所成角为，且，可得，且，又由，令，根据斜率的意义，可得表示圆与定点连线的斜率，又由与圆H相切时，可得，解得或，即，当时，此时取得最小值，即最小时，此时H在外部，如图所示，此时二面角的平面角为锐角，的平面角为钝角，所以C、D正确．故选：作平面ABC，由题意得到，建立直角坐标系，设，求得点H的轨迹方程，结合圆的性质求得，利用体积公式，可判定A正确，B错误；再化简得到，结合点与圆的位置关系，得到H在外部，可判定C、D正确．本题考查空间几何体的位置关系，考查体积，考查方程的应用，属于难题．13.【答案】72【解析】解：的展开式中含项的系数为故答案为：由题意，利用二项式展开式的通项公式，求得的展开式中含项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14.【答案】【解析】解：设二十四等边体的棱长为2，则正方体的棱长，该二十四正四面体是由棱长为的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得，该二十四正四面体的体积为，二十四等边体与原正方体的体积之比为故答案为：设二十四等边体的棱长为2，则正方体的棱长，分别求得体积可求二十四等边体与原正方体的体积之比．本题考查空间几体的体积的计算，属基础题．15.【答案】【解析】解：令直线，的倾斜角分别为，，则，，当围成的等腰三角形底边在x轴上时，，；当围成的等腰三角形底边在直线上时，，，，整理得，而，解得所以的两个可能取值，故答案为：；根据给定条件，按等腰三角形底边所在直线分类，结合斜率的意义及二倍角的正切求解作答即可．本题考查直线的斜率和倾斜角的关系，二倍角公式，属于基础题．16.【答案】【解析】解：设，，，，则，令，，，令，，函数在上单调递增，，函数在时取得极小值即最小值，令，，，，函数在上单调递增，存在，使得，可得，，函数在时取得极小值即最小值，，，对任意，有恒成立，，即m的最大值为，故答案为：设，，，，可得，令，；，，利用导数研究函数单调性与极值及最值，即可得出结论．本题考查了利用导数研究函数单调性与极值及最值、不等式的性质、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．17.【答案】解：证明：①，当时，②，由①-②得，即，，数列是公差为的等差数列；当且仅当时，取得最大值，则，即，，解得，的取值范围为【解析】利用数列的递推式，即可证明结论；由题意得，即，利用等差数列的通项公式，即可得出答案．本题考查数列的递推式和等差数列的性质，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：由题意得：，则，有，即，因为，所以；由，则，所以，有，则，又，则【解析】利用三角形内角和、正弦定理和三角恒等变换化简可得；利用三角形面积公式和正弦定理可得．本题考查了三角形面积公式和正弦定理，属于中档题．19.【答案】解：证明：取的中点Q，连接PQ，EQ，则有，且，又，且，，且，又，且，，且，则四边形EFPQ为平行四边形，则，又平面，平面，平面取EF中点O，BC中点G，平面平面EFCB，且交线为EF，平面EFCB，、OE、OG两两垂直，以O为坐标原点，OE、OG、所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，是的中点，，，，，设平面BFP的法向量，则，取，得，直线与平面BFP所成的角的正弦值为：，【解析】取的中点Q，可得四边形EFPQ为平行四边形，则，由直线与平面平行的判定定理能证明平面；取EF中点O，BC中点G，可得平面EFCB，、OE、OG两两垂直，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面BFP所成的角的正弦值．本题考查线面平行的判定与性质、线面角的定义及正弦值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：根据题意，设甲乙正面向上次数相等为事件A，甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数为事件B，则，由概率的“对称性”，则甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率与甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数的概率，则甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率；根据题意，设抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数为事件C，先分析甲乙都投掷n次的情况，设甲乙正面向上次数相等的概率为，设甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率为，设甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数的概率为，则有，则有；若投掷n次中，甲乙正面向上次数相等，甲在第次投掷要正面向上，才有甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数，若投掷n次中，甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数，无论第次甲的投掷结果如何，甲正面朝上次数不会大于乙正面朝上次数，则有；故抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率为【解析】根据题意，设甲乙正面向上次数相等为事件A，甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数为事件B，求出，利用概率的“对称性”分析可得答案；根据题意，设抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数为事件C，先分析甲乙都投掷n次的情况，由此结合概率的“对称性”分析可得答案．本题考查概率的应用，涉及互斥事件概率的计算，属于中档题．21.【答案】解：根据题意可得双曲线E过点，，，解得，双曲线E的标准方程为；设，，，又可设MN直线方程为：，联立，可得，又与是该方程的两个根，，则，同理由，可得，将其代入双曲线方程中可得：，即，又与是该方程的两个根，，则，，若为定值，则必有，解得或或，又点在直线上，点坐标为【解析】根据题意可得双曲线E过点，，从而建立方程组，再解方程组，即可求解；设，，，根据题意设直线MN的方程为，再分别代入双曲线方程中，利用齐次方程的求解运算及为定值，可建立方程组，最后解方程组，即可求解．本题考查双曲线的方程的求解，直线与双曲线的位置关系，齐次方程的求解运算的应用，属难题．22.【答案】解：证明：令得，，令，，，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又当时，；当时，，因为，因为，所以与只有一个交点，所以恒有唯一零点．证明：因为，所以，要证图象上存在关于点对称的两点，即证方程，有解，所以，所以，所以，令，，，所以当时，，则，单调递增，当时，，则，单调递减，所以，因为，所以，又时，；时，，所以先负后正再负，则先减再增再减，又，且时，，时，，所以先正后负再正再负，则先增再减再增再减，又时，；时，，又，所以在区间存在两个零点，即原题得证．【解析】令得，，令，，求导分析单调性，最值，只需证明与有一个交点，即可得出答案．由知，则，要证图象上存在关于点对称的两点，即证方程，有解，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．。

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高考调研数学答案精选文档TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-2016高考调研数学答案【篇一：2016年3月海南省海口高考调研理科数学试题】=txt>一．选择题：每题5分，共60分1．已知全集ur，集合ax|76x0，bx|ylgx2，则cuab（） a．2, b．, c．2, d．2,2．已知复数z12i，z2a2i（i为虚数单位，ar），若z1z2r，则a（）a．1 b．1 c．4 d．4223．命题p：若ab，则acbc；命题q：x00，使得x01lnx00，下列命题为真命题的是（）?76767676a．pq b．pq c．pq d．pq 4．设sn为等比数列an的前n项和，a28a50，则a．s8（） s4117 b． c．2 d．17 216x2y21的焦距取得最小值时，其渐近线的斜率是（） 5．当双曲线2m862m211 c． d．3321?26．已知函数fxsinx0的周期为，若将其图象沿x轴向右平移a个单位a0，所得图象22a．1 b．关于原点对称，则实数a的最小值为（）a．3b． c． d．44287．若x2ax的展开式中x的系数为30，则a（）x?10a．11b． c．1 d．2 328．一锥体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为（）a． b． c．41 d．42xy30?9．若x，y满足kxy30，且zyx的最小值为12，则k的值为（）y0a．1111 b． c． d．2424?10．已知菱形abcd的边长为6，abd30，点e，f分别在边bc，dc 上，bc2be，cdcf．若9，则的值为（）a．2 b．3 c．4 d．5y2x211．在平面直角坐标系xoy中，点p为椭圆c：221ab0的下顶点，m，n在椭圆上，若四边ab形opmn为平行四边形，为直线on的倾斜角，若,，则椭圆c的离心率的取值范围为（） 64a．0,?6362260,,, b． c． d． 33232312．已知曲线fxke2x在点x0处的切线与直线xy10垂直，若x1，x2是函数gxfxlnx的两个零点，则（）a．1x1x21ex1x21 c．2x1x22e d．2ex1x22二．填空题：每题5分，共20分213．已知随机变量x服从正态分布n3,，若p1x3，则px514．执行如图所示的程序框图，输出的i?15．半径为2的球o内有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）．当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是．16．设数列an的前n项和为sn，且a11，anan11（n?1，2，3，…），则2ns2n3三．解答题：17~21每题12分，共60分17．在?abc中，a，b，c分别是角a，b，c的对边，已知a3bcocsc3cobscoas．（1）求sinb的值；（2）若c?a，求角c的大小． sina18．汽车租赁公司为了调查a，b两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表．（1）从出租天数为3的汽车（仅限a，b两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是a型车的概率；（2）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆a型车，一辆b型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；（3）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从a，b两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．19．如图，已知平行四边形abcd中，ab1，bc2，cba?3，abef为直角梯形，be 650 3答案 c114555解析至少有一枚5点或一枚6点的概率为1－(1－)(1－)＝1.∴x～b(30)，∴e(x)＝＝5033．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为( )12答案d解析设投篮得分为随机变量x，则x的分布列为6当且仅当3a＝2b时，等号成立．4．设等差数列{an}的公差为d，若a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7的方差为1，则d＝________.d．10 b．1 d．31答案 2解析 a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7的均值为 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7a4，则7a1－a42＋a2－a42＋＋a7－a42711＝4d2＝1，d＝225．设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝______时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为______．1答案 252p＋1－p22126．某校举行一次以“我为教育发展做什么”为主题的演讲比赛，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶211段，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别为，334(1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；答案 (1) (2)99解析 (1)记“该选手通过初赛”为事件a，“该选手通过复赛”为事件b，“该选手通过决赛”为事211件c，则p(a)p(b)＝，p(c)＝.33421433214339212399953111211212.38．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量x(单位：mm)对工期的影响如下表：求： (1)工期延误天数y的均值与方差；(2)在降水量x至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率． 6答案 (1)均值为3，方差为 7解析 (1)由已知条件和概率的加法公式有：p(x300)＝，p(300≤x700)＝p(x700)－p(x300)＝－＝，p(700≤x900)＝p(x900)－p(x700)＝－＝，p(x≥900)＝1－p(x900)＝1－＝. 所以y的分布列为(2)由概率的加法公式，得p(x≥300)＝1－p(x300)＝. 又p(300≤x900)＝p(x900)－p(x300)＝－＝，由条件概率，得p(y≤6|x≥300)＝p(x900|x≥300)＝p300≤x900＝. x≥3006故在降水量x至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是. 79．为提高学生学习语文的兴趣，某地区举办了中学生“汉语听写比赛”．比赛成绩只有90分，70分，60分，40分，30分五种，将本次比赛的成绩分为a，b，c，d，e五个等级．从参加比赛的学生中随机抽取了30名，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：(1)1人，其成绩等级为“a或b”的概率；(2)根据(1)的结论，若从该地区参加“汉语听写比赛”的学生(参赛人数很多)中任选3人，记x表示抽到成绩等级为“a或b”的学生人数，求x的分布列及数学期望e(x)．1答案 (1) (2)1346解析 (1)根据统计数据可知，从这30名学生中任选1人，其成绩等级为“a或b”的频率为＝3030101. 3031故从该地区参加“汉语听写比赛”的学生中任意抽取1人，其成绩等级为“a或b”的概率约为3(2)由已知得，随机变量x的可能取值为0,1,2,3， 10238故随机变量x的分布列为279927讲评新课标高考的数学试题对概率与统计内容的考查已经悄然发生了变化，其侧重点由以往的概率及概率分布列的问题，变为统计与概率及分布列知识的综合，包括统计案例分析．书．现某人参加这个选修课的考试，他a级考试成绩合格的概率为，b级考试合格的概率为.假设各级考32试成绩合格与否均互不影响．(1)求他不需要补考就可获得该选修课的合格证书的概率；答案 (1)33解析设“a级第一次考试合格”为事件a1，“a级补考合格”为事件a2；“b级第一次考试合格”为事件b1，“b级补考合格”为事件b2.(1)不需要补考就获得合格证书的事件为a1b1，注意到a1与b1相互独立， 2113231故该考生不需要补考就获得该选修课的合格证书的概率为3即该考生参加考试的次数的期望为3【篇三：2016届浙江省高三调研考试数学(理)试题】>数学(理科)姓名______________ 准考证号______________ 本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页, 选择题部分1至2页, 非选择题部分3至4页。

满分150分, 考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分 (共40分)注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后,用2b铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式：球的表面积公式锥体的体积公式 v=球的体积公式1sh 34v?r33其中r表示球的半径柱体的体积公式 v=sh其中s表示柱体的底面积，h表示柱体的高其中s表示锥体的底面积，h表示锥体的高台体的体积公式1v?hs1s23其中s1, s2分别表示台体的上、下底面积， h表示台体的高一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．直线y?1的倾斜角是 a.b. d.2．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于a．10 cm b．20 cmc．30 cm d．40 cm 3．已知a,b为异面直线．对空间中任意一点p，存在过点p的直线俯视图(第2题图)3333a. 与a,b都相交 c. 与a平行，与b垂直b. 与a,b都垂直 d. 与a,b都平行（第2题4．为得到函数y2sin(2x)的图象，只需将函数y2cos2x的图象4a. 向左平移单位c. 向左平移单位8b. 向右平移单位d. 向右平移单位85．已知f(x),g(x),h(x)为r上的函数，其中函数f(x)为奇函数，函数g(x)为偶函数，则 a. 函数h(g(x))为偶函数 c. 函数g(h(x))为偶函数b. 函数h(f(x))为奇函数 d. 函数f(h(x))为奇函数26．命题“x0r，x010或x0x00”的否定形式是2a. x0r，x010或x0x00b. xr，x10或x2x0 d. xr，x222c. x0r，x010且x0x00xy7．如图，a，f分别是双曲线c221 (a，b＞0)ab顶点、右焦点，过f的直线l与c2一条渐近线和y轴分别交于p，q两点．若ap⊥aq，则的离心率是 a b c． d．8．已知函数f(x)2axk(ar)，且f(1)f(3)，f(2)f(3)．b. 若k1，则a1a2 d. 若k2，则aa2a. 若k1，则a1a2 c. 若k2，则aa2非选择题部分 (共110分)注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上, 不能答在试题卷上。