2018年高考秘籍-破解导数压轴题策略：2-导数不等式的证明-放缩法 含解析 精品

导数中的不等式证明

【考点点睛】

放缩法证明不等式在历年高考数学中是永恒的话题，但它常考常新，学生却常考常怕。不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性，多出现在压轴题的位置。数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻体现数学的基本特点。尽管如此，只要我们深入去探索，总有方法规律可循，总会有“拨得云开见日出”的时刻！ 放缩法的合理运用，往往能起到事半功倍的效果，有时能令人拍案叫绝；但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”，容易造成不能同向传递，即放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，所以要熟练地驾驭它是件不容易的事。

命题角度1 构造函数 命题角度2 放缩法 命题角度3 切线法

命题角度4 二元或多元不等式的证明思路 命题角度5 函数凹凸性的应用

在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.

命题角度2 放缩法

【典例2】（石家庄市2018届高三下学期4月一模考试）已知函数()()()x

f x x b e a =+-(0)b >，在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=.

（1）求,a b ；

（2）若0m ≤，证明：2

()f x mx x ≥+. 【解析】（1）1a =，1b =；

（2）由（1）可知()(1)(1)x f x x e =+-，()(0)0,10f f =-=，

由0m ≤，可得2

x mx x ≥+， ………﹝借助于已知参数的范围放缩﹞

令()()

()11x g x x e x =+--，则()()22x

g x x e '=+-，

当2x ≤-时，()()2220x g x x e '=+-<-<，

当2x >-时，设()()()22x h x g x x e '==+-，则()()30x h x x e '=+>， 故函数()g x '在()2,-+∞上单调递增，

又(0)0g '=，所以当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，当()0,x ∈+∞时，()0g x '>， 所以函数()g x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，

故()(0)0g x g ≥=，即()()

2

11x x e x mx x +-≥≥+.

故2()f x mx x ≥+.

【方法归纳】函数解析式中含有已知范围的参数，可以考虑借助于常识或已知的范围减少变量，对参数适当放缩达到证明的目标.

【典例3】（成都市2018届高中毕业班二诊理科）已知函数()ln 1,f x x x ax a R =++∈. （1）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （2）当*

n N ∈时，证明：

22231ln 2ln ln 2421

n n n

n n n +<+++<++L

【解析】（1）[)1,-+∞；……﹝1a =-时的不等式是下问放缩的途径﹞ （2）设数列{}{},n n a b 的前n 项的和分别为,241

n n n n

S T n n =

=++，则 由于()()111,

2,

n n n S n a S S n -=??=?-≥??，解得()()112n a n n =++；

同理，()

1

1n b n n =

+，

所以只需证明()()

()

2

1

11

ln 121n n n a b n n n n n +=

<<=

+++. 由（1）知1a =-时，有ln 1x x x ≥-，即1

ln x x x

-≥. ……﹝本问放缩的途径﹞ 令11n x n +=

>，则11

ln 1

n n n +>+， ……﹝观察结构，合理代换﹞ 所以()()()2

2

11111

ln 1212

1n n n n n n n +>>=-+++++， 所以2

2

23111ln 2ln

ln 22224

n n

n n n ++++>-=++L ；

再证明

()2

11ln

1n n n n +<

+，亦即1ln n n +<

因为1ln

n

n +===

所以只需证< ……﹝观察结构，构造函数，合理代换﹞ 现证明()1

2ln 1x x x x

<-

>. 令()()12ln 1h x x x x x =-+>，则()()2

22

121

10x h x x x x -'=--=-

<， 所以函数()h x 在()1,+∞上单调递减，()()10h x h <=， 所以当1x >时，1

2ln x x x

<-

恒成立，

令1x =

>，则< ……﹝利用构造函数的单调性，合理代换﹞ 综上，

()()

()

2

1

11

ln 121n n n n n n +<<

+++， 所以对数列{}{}2

1,ln

,n n n a b n +?

?

???

?

分别求前n 项的和，得 22231ln 2ln ln 2421

n n n

n n n +<+++<++L .

【思路总结】待证数列不等式的一端是n 项之和（或积）的结构，另一端含有变量n 时，可以将它们分别视为两个数列的前n 项的和（或积），从而将不等式的证明转化为两个数列的对应项之间的大小关系的证明.

【典例4】（安徽省安庆市2018届重点中学联考）已知函数()2ln 2

x

x f x e +=. （1）求函数()f x 的单调区间；

（2）证明：当0x >时，都有()()222ln 1x x f x x e e

+'+<+. 【解析】（1）()()

21ln x

x x x f x xe

--'=

， 令()1ln g x x x x =--，则()10g =，

当01x <<时，10,ln 0x x x ->->，所以()()0,0g x f x '>>， 当1x >时，10,ln 0x x x -<-<，所以()()0,0g x f x '<<， 所以函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减； （2）要证明()()222ln 1x x f x x e e +'+<

+，即证()()211ln ln 11x x x x x e ??--+<+ ???

， 令()1ln g x x x x =--，则()()1ln 12ln g x x x '=--+=--， ……﹝拆分研究，逐个突破﹞ 当210x e <<

时，()0g x '>，当2

1

x e

>时，()0g x '<， 所以函数()g x 在210,

e ?

? ???上单调递增，在21,e ??

+∞ ???上单调递减，()222

12111g x e e e ≤-+=+， 所以2

1

1ln 1x x x e --≤+

. 要证()()211ln ln 11x x x x x e ??

--+<+

???

，只需再证()ln 1x x +<即可. 易证ln 1x x ≤-，当且仅当1x =时取等号（证明略），所以()0ln 1x x <+<， 综上所述，当0x >时，都有()()2

22

ln 1x x f x x e e +'+<

+. 【思路点睛】对于含有ln x 与x

e 型的超越函数，具体解决时须根据两类函数的特点，挖掘结构特征，灵活变形，脑中有“形”，注意重要不等式ln 11x

x x e x ≤-?≥+的合理代换.