(完整版)第9讲_二元一次方程的整数解(含答案)
（9）二元一次方程的整数解
【知识精读】
1、 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c 中，
若a,b 的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即 如果（a,b ）|c 则方程ax+by=c 有整数解
显然a,b 互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1, 5x －2y=7, 9x+3y=6都有整数解。 返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x －2y=1都没有整数解， ∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。 一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b ）中的a,b 实为它们的绝对值。 2、 二元一次方程整数解的求法：
若方程ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解）。k 叫做参变数。
方法一：整除法：求方程5x+11y=1的整数解
解：x=
5111y -=y y
y y 2515101--=-- (1) , 设k k y
(5
1=-是整数），则y=1－5k (2) ,
把（2）代入（1）得x=k －2(1－5k)=11k －2 ∴原方程所有的整数解是???-=-=k
y k x 512
11（k 是整数）
方法二：公式法：
设ax+by=c 有整数解?
??==00y y x x 则通解是???-=+=ak y y bk
x x 00（x 0,y 0可用观察法）
3、 求二元一次方程的正整数解：
i. 出整数解的通解，再解x,y 的不等式组，确定k 值 ii.
用观察法直接写出。
【分类解析】
例1求方程5x －9y=18整数解的能通解 解：x=
5
3235310155918y
y y y y -+
+=-++=+
设
k y
=-5
3（k 为整数），y=3－5k, 代入得x=9－9k ∴原方程整数解是??
?-=-=k
y k
x 5399 （k 为整数）
又解：当x=o 时，y=－2， ∴方程有一个整数解??
?-==2
y x 它的通解是???--=-=k y y x 5290（k 为整数）
从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。 例2 求方程5x+6y=100的正整数解 解：x=5
2056100y
y y --=-(1)， 设
k y
=5
(k 为整数)，则y=5k,(2) 把（2）代入（1）得x=20－6k ，
∵???>>00y x 解不等式组?
??>>-050620k k 得0＜k<620,k 的整数解是1，2，3，
∴正整数解是??
?==514y x ???==108y x ??
?==15
2y x 例3 甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？
解：设甲种书买x 本，乙种书买y 本，根据题意得3x+5y=38 （x,y 都是正整数） ∵x ＝1时，y=7，∴??
?==7
1
y x 是一个整数解
∴通解是?
?
?-=+=k y k
x 3751（k 为整数）
解不等式组??
?>->+0
37051k k 得解集是37
51<<-k ∴整数k=0，1，2
把k=0,1,2代入通解，得原方程所有的正整数解??
?==7
1
y x ??
?==46y x ???==1
11
y x 答：甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本。
【实战模拟】，
1、求下列方程的整数解
①公式法：x+7y=4, 5x－11y=3
②整除法：3x+10y=1, 11x+3y=4
2,、求方程的正整数解：①5x+7y=87；②5x+3y=110
3、一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛
坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？
4、兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁
数。
5、下列方程中没有整数解的是哪几个？答：＿＿＿＿＿＿＿＿（填编号）
①4x＋2y=11, ②10x－5y=70, ③9x+3y=111,
④18x－9y=98, ⑤91x－13y=169, ⑥120x+121y=324.
6、一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同
学得48分，他最多得几分？
7、用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解：
参考答案
1. 公式法①由特解??
?==0
4
y x 得通解???-=+=k y k x 074（k 为整数）
②由特解?
??==25
y x 得通解???-=-=k y k x 52115（为k 整数）
整除法①∵x=
3101y -=31y
-－3y,……∴通解是???-=-=k
y k x 31310（k 为整数） ②通解是?
??-=-=k y k x 1151
3（k 为整数）
2. ①???==???==??
?==11669112y x y x y x ②??
?-=+=k
y k x 50322 －0322
＜＜k …… 3. 有6种截法???345乙＝甲＝???2810乙＝甲＝???2215乙＝甲＝???1620乙＝甲＝???1025乙＝甲＝?
?
?519乙＝甲＝
4. 16，13
5. A ，D.
6. 12
7.（略）
行列式解二元一次方程组
行列式解二元一次方程组 在研究用消元法解二元一次方程组???=+=+2 221 11c y b x a c y b x a 中，可得解的公式 ??? ??? ?--=--=．，122112211 2211221b a b a c a c a y b a b a b c b c x ，显然，那个公式本身还看不出它的明显规律，也不易经历，因此那个公式还不够理想，那么能不能找一个更好的表现形式，使得它们之间的依赖关系表示得更明显，更有规律，且便利经历呢？下面介绍的用行列式解二元一次方程组的方法，就能够达到以上目的，由此，能够看出行列式能关心解决刚才提出的问题、 1、符号 2 2 11b a b a 叫做二阶行列式，a 1、a 2、b 1、b 2叫做那个二阶行列式的元素， a 1、a 2、 b 1、b 2这四个元素排成二行二列〔横排叫行，竖排叫列〕、例如，a 2是位于第二行第一列上的元素，b 1是位于第一行第二列上的元素、 2、二阶行列式的展开形式为 2 2 11b a b a ＝a 1b 2－a 2b 1，它的展开方法是，将a 1、 a 2、 b 1、b 2四个数排列成正方形，即 2 21 1b a b a 能够看出a 1b 2－a 2b 1是如此两项的和，一项为哪一项正方形中实线表示的对角线〔叫做主对角线〕上两数的积，再添上正号；一项为哪一项虚线表示的对角线〔叫做副对角线〕上两数的积，再添上负号、这种方法叫做二阶行列式展开的对角线法那么、 3、二元一次方程组???=+=+2 221 11c y b x a c y b x a 的解的行列式表示法， 2 2 11 2 2 11b a b a b c b c x = ， 2 2 112 2 11b a b a c a c a y = ，〔a 1b 2－a 2b 1≠0〕 为简便起见，设2 2 11b a b a D = ，2 2 11b c b c D x = ，2 2 11c a c a D y = ，那么当D ≠0
新人教版九年级上册《二元一次方程》
《二元一次方程》教学设计 教材的地位与作用 《二元一次方程》是九年义务教育课程标准实验教科书人教版教材七年级下册第八章《二元一次方程组》的第一节。在此之前学生已经学习了一元一次方程，这为本节的学习起了铺垫的作用。本节内容是二元一次方程的起始部分，因此，在本章的教学中，起着承上启下的地位。 教学目标： (一)知识技能： 1.了解二元一次方程（组）及其解的概念； 2.会检验一对数值是否是某一个二元一次方程的解。 (二)数学思考： 体会学习二元一次方程（组)的必要性，学会独立思考，体会数学的转化思想； (三)问题解决： 初步学会利用二元一次方程来解决实际问题，感受二元一次方程解的不唯一性，获得求解的思路方法 (四)情感态度： 培养学生发现意识和能力，使其具有强烈的好奇心和求知欲。 教学重点： 二元一次方程（组）及其解的概念。 教学难点： 二元一次方程的概念里“含未知数的项的次数”的理解； 把一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。 教法分析：情境教学法、比较教学法、阅读教学法。 学法分析：阅读、比较、探究的学习方式。 教学过程 （一）创设情境，明确目标 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分。某队在22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？ 师:这个问题能用一元一次方程解决吗? 设这个队胜x场，那么负了（22-x）场，可列方程为______。 一元一次方程是怎样定义的呢？你还知道它的哪些知识？(以表格形式展示给学生，为后边学习新知提供依据) 师：在上面的问题中，要求的是两个未知数，能否根据题意直接设两个未知数，使列方程变容易呢？ 设胜x场,负了y场，这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？（学生思考后回答）胜的场数+负的场数=总场数 胜场积分+负场积分=总积分 这两个条件，可列出方程为______。 师：对于所列出来的三个方程，后面两个你觉的是一元一次方程吗？那这两个方程有什么相同点吗？你能给它们命一个名称吗？ 从而揭示课题，出示学习目标。
解二元一次方程组的方法技巧
???=+=-164354y x y x 解二元一次方程组的方法技巧 教学目标 知识与技能：会根据方程组的具体情况选择适合的消元法。 过程与方法：通过对具体的二元一次方程组的观察、分析，选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析能力。 情感态度与价值观：通过学生比较几种解法的差别与联系，体会透过现象抓住事物本质的这一方法。 教学重点：选用合适的方法解二元一次方程组。 教学难点：会对一些特殊的方程组灵活地选择特殊的解法。 教学过程： 一、复习导入，初步认识 1、 解二元一次方程组的基本思想是什么？ 2、 消元的方法有哪些？ 3、不解方程组，判断下列方程组用什么方法解比较简便，理由是什么？你是怎样实现消元的? ⑴ ???=+=924y x y x ⑵ （3） ⑷ 归纳总结：解二元一次方程组什么情况下用代入法简便？什么情况下用加减法简便？ 二、思考探索，获取新知 1、学生自主学习代入消元法和加减消元法解二元一次方程组 ???=-=+6 341953y x y x ?-=?+=?33234x y x y
???=+=-16 4354y x y x （1） （2）???=+=-,1225423y x y x 2、 合作探究：几种解二元一次方程组的特殊方法。 （一）整体代入法 分析:方程①及②中均含有2x + 3y 。可用整体思想解。由①得2x+3y= 2代入②而求出y 。 学生练习：用整体代入消元法解下列方程组。 （二）换元法 学生练习： （三）化繁为简法
学生练习 三、当课练习 四、课堂小结 1、解二元一次方程组的基本思想是什么？ 2、本节课我们学习了哪些解二元一次方程组的方法？ 五、课后作业布置 ()2018x-2017y=4040 12017x-2018y=4030???()()2x+y -2y=03222x+y -5=7y ?????()x y =3363x+y=-15?????
(完整版)二元一次方程组应用题经典题及答案
实际问题与二元一次方程组题型归纳（练习题答案） 类型一：列二元一次方程组解决——行程问题 【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？ 解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得： (2.5+2)x+2.5y=36 3x+(3+2)y=36 解得：x=6，y=3.6 答：甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时。 【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。 解：设这艘轮船在静水中的速度x千米/小时,则水流速度y千米/小时，有： 20（x-y）=280 14（x+y）=280 解得：x=17，y=3 答：这艘轮船在静水中的速度17千米/小时、水流速度3千米/小时， 类型二：列二元一次方程组解决——工程问题 【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由. 解：
类型三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题 【变式1】（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？ 解：设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩，依题意得： ①x+y=10 ②2000x+1500y=18000 解得：x=6，y=4 答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩 类型四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题 【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应缴利息所得税=利息金额×20%） 解：设2000的存款利率是X，则1000的存款利率是3.24%-X,则有: 2000*X*(1-20%)+1000*(3.24%-X)*(1-20%)=43.92 即：1600X+25.92-800X=43.92 800X=18 X=2.25% 3.24%-2.25%=0.99% 所以,2000的存款利率是2.25%,1000的存款的利息率是0.99%. 法二：也可用二元一次方程组解。 【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？
选择合适的方法解二元一次方程组
① ② ???=+=-164354y x y x ① ② ① ② ???=+-=65732y x y x 选择合适的方法解二元一次方程组 学习目标：1、会根据二元一次方程组的特点,选择解法——代入消元法或加减消元法. 2、能灵活的解二元一次方程组. 【记忆大比拼】 1、 解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是什么？ 2、 什么是代入消元法？什么是加减消元法？ 【自主学习】 3、 用代入法解方程组 由①得，y= ③ 把③代入②，得 ， 解此方程，得 ， 把 代入 ，得y= 。 所以这个方程组的解是： 。 4、 观察方程组???=+=-,1225423y x y x 方程组中的两个方程，未知数y 的系数的关系是： ，为达到先消去y 的目的，应让① ②，得 。 5、 观察方程组???=-=-,1235332b a b a 方程组中的两个方程，未知数b 的系数的关系是： ，为达到先消去b 的目的，应让② ①，得 。 【能说会道】 不解方程组，判断下列方程组用什么方法解比较简便，理由是什么？你是怎样实现消元的? ⑴???=+=924y x y x ； ⑵ ???=+=+321y x y x ???=+=-2 4513y x y x ⑷ 归纳总结：解二元一次方程组什么情况下用代入法简便？什么情况下用加减法简便？ 【动手动脑】 选择合适的方法解下列方程组： ()?? ?-=+=-12441y x y x ()? ??=+=+3.16.08.05.122y x y x ???-=+-=+765432z y z y ???=-=+6341953y x y x ⑶ ⑸ ⑹
（1） （2） ()???=+=+10 4320294y x y x ()???-=-=-5571325y x y x ()???=--=-0232436y x y x 【超越自我】 【七嘴八舌】今天你的收获有哪些？你的困惑有哪些？ ()?? ?=-=+523323y x y x
解二元一次方程“十字交叉法”
解二元一次方程：“十字交叉法” 十字相乘就是把二次项拆成两个数的积 常数项拆成两个数的积 拆成的那些数经过十字相乘后再相加正好等于一次项 看一下这个简单的例子m2+4m-12 m -2 ╳ M 6 把二次项拆成m与m的积(看左边,注意竖着写) -12拆成-2与6的积(也是竖着写) 经过十字相乘(也就是6m与-2m的和正好是4m) 所以十字相乘成功了 m2+4m-12=(m-2)(m+6) 重点：只要把2次项和常数项拆开来（拆成乘积的形式），可以检验是否拆的对，只要相加等于1次项就成了，十字相乘法实际就是分解因式。 解释说明：
十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下是我对十字相乘法提出的一些个人见解。 1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。 3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。 4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。3、十字相乘法比较难学。 十字相乘法解题实例 常规题例1：把m2+4m-12分解因式 分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为 1 -2 ╳ 1 6 所以m2+4m-12=（m-2）（m+6）
例2：把5x2+6x-8分解因式 分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4， -4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题 解：因为 1 2 ╳ 5 -4 所以5x2+6x-8=（x+2）（5x-4） 例3：解方程x2-8x+15=0 分析：把x2-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。 解：因为 1 -3 ╳ 1 -5 所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以x1=3 x2=5 例4：解方程6x2-5x-25=0 分析：把6x2-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。解：因为 2 -5 ╳ 3 5
(完整版)二元一次方程组试题及答案
第八章二元一次方程组单元知识检测题 （时间：90分钟满分：100分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．方程2x－1 y =0，3x+y=0，2x+xy=1，3x+y－2x=0，x2－x+1=0中，二元一次方程的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 2．二元一次方程组 323 25 x y x y -= ? ? += ? 的解是（） A． 32 17 ... 23 01 22 x x x x B C D y y y y = ?? == = ?? ?? ????==- = ?? ?? = ?? 3．关于x，y的二元一次方程组 5 9 x y k x y k += ? ? -= ? 的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值是（? ） A．k=－3 4 B．k= 3 4 C．k= 4 3 D．k=－ 4 3 4．如果方程组 1 x y ax by c += ? ? += ? 有唯一的一组解，那么a，b，c的值应当满足（） A．a=1，c=1 B．a≠b C．a=b=1，c≠1 D．a=1，c≠1 5．方程3x+y=7的正整数解的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 6．已知x，y满足方程组 4 5 x m y m += ? ? -= ? ，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（） A．x+y=1 B．x+y=－1 C．x+y=9 D．x+y=9 7．如果│x+y－1│和2（2x+y－3）2互为相反数，那么x，y的值为（） A． 1122 ... 2211 x x x x B C D y y y y ==-==-???? ????==-=-=-???? 8．若 2,1 17 x ax by y bx by =-+= ?? ?? =+= ?? 是方程组的解，则（a+b）·（a－b）的值为（） A．－35 3 B． 35 3 C．－16 D．16 二、填空题（每小题3分，共24分） 9．若2x2a－5b+y a－3b=0是二元一次方程，则a=______，b=______． 10．若 1 2 a b = ? ? =- ? 是关于a，b的二元一次方程ax+ay－b=7的一个解，则代数式x2+2xy+y2－1?的值是 _________．
初二解二元一次方程公式知识点
解二元一次方程公式知识点设ax+by=c，dx+ey=f，x=(ce-bf)/(ae-bd),y=(cd-af)/(bd-ae),其中/为分数线，/左边为分子，/右边为分母解二元一次方程组一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。求方程组的解的过程，叫做解二元一次方程组。消元将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。如:{5x+6y=72x+3y=4,变为{5x+6y=74x+6y=8消元的方法代入消元法。加减消元法。顺序消元法。(这种方法不常用)消元法的例子(1)x-y=3(2)3x-8y=4(3)x=y+3代入得(2)3(y+3)-8y=4y=1所以x=4这个二元一次方程组的解x=4y=1教科书中没有的,但比较适用的几种解法(一)加减-代入混合使用的方法.例1,13x+14y=41(1)14x+13y=40(2)解:(2)-(1)得x-y=-1x=y-1(3)把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=4113y-13+14y=4127y=54y=2把y=2代入(3)得x=1所以:x=1,y=2特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.(二)换元法例2，(x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n原方程可写为m+n=8m-n=4解得m=6,n=2所以x+5=6,y-4=2所以x=1,y=6特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。(3)另类换元例3，x:y=1:45x+6y=29令x=t,y=4t方程2可写为：5t+6*4t=2929t=29t=1所以x=1,y=4
第9课时二元一次方程组的复习(9)
第八章 二元一次方程组单元检测 一、选择题 1．下列方程组中是二元一次方程组的是( )． A.????? xy ＝1 x ＋y ＝2 B.????? 5x －2y ＝31x ＋y ＝3 C.? ???? 2x ＋z ＝03x －y ＝15 D.???? ? x ＝5x 2＋y 3 ＝7 2．二元一次方程3x ＋2y ＝11( )． A ．任何一对有理数都是它的解 B ．只有一个解 C ．只有两个解 D ．有无数个解 3．方程组? ???? x ＋y ＝3， x －y ＝－1的解是( )． A.? ???? x ＝1，y ＝2 B.? ???? x ＝1， y ＝－2 C.? ???? x ＝2， y ＝1 D.? ???? x ＝0， y ＝－1 4．由方程组???? ? x ＋m ＝4，y －3＝m 可得出x 与y 之间的关系是( )． A ．x ＋y ＝1 B ．x ＋y ＝－1 C ．x ＋y ＝7 D ．x ＋y ＝－7 5．方程组????? 2x ＋y ＝■，x ＋y ＝3的解为? ??? ? x ＝2，y ＝■，则被遮盖的两个数分别为( )． A ．1,2 B ．5,1 C ．2,3 D ．2,4 6．已知关于x ，y 的方程组? ??? ? x ＋2y ＝m ，x －y ＝4m 的解为3x ＋2y ＝14的一个解，那么m 的值为 ( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 7．六年前，A 的年龄是B 的年龄的3倍，现在A 的年龄是B 的年龄的2倍，A 现在的年龄是( )． A ．12岁 B ．18岁 C ．24岁 D ．30岁 8．如图所示，宽为50 cm 的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为( )． A ．400 cm 2 B ．500 cm 2 C ．600 cm 2 D ．4 000 cm 2 9．某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲乙两种奖品各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件，则方程组正确的是( )． A.????? x ＋y ＝3012x ＋16y ＝400 B.????? x ＋y ＝3016x ＋12y ＝400 C.????? 12x ＋16y ＝30x ＋y ＝400 D.? ???? 16x ＋12y ＝30x ＋y ＝400 10．(四川凉山州中考)雅西高速公路于2012年4月29日正式通车，西昌到成都全长420千米，一辆小汽车和一辆客车同时从西昌、成都两地相向开出，经过2.5小时相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客车的平均速度分别为x 千米/时和y 千米/时，则下列方程组正确的是( )．
二元一次方程解法大全
二元一次方程解法大全 1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±根号下n+m. 例1．解方程（1）(3x+1)2=7（2）9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。 （1）解：(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丢解) ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= （2）解：9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= 2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1：x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2 方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=
当b^2-4ac≥0时，x+=± ∴x=(这就是求根公式) 例2．用配方法解方程3x^2-4x-2=0(注：X^2是X的平方） 解：将常数项移到方程右边3x^2-4x=2 将二次项系数化为1：x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2 配方：(x-)2= 直接开平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2=. 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac ≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。 例3．用公式法解方程2x2-8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 ∴a=2,b=-8,c=5 b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) ∴原方程的解为x1=,x2=. 4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4．用因式分解法解下列方程：
初中数学讲义--第12讲 二元一次方程组的应用
第 1 页 共 13 页 全方位教学辅导教案 学 科： 数学 任课教师： 授课时间： 2020 年 月 日 （星期 ） 【针对性训练】 一、 课前检测 1、已知是方程组 的解，求k 和m 的值． 2、若方程组???-=+=-15x 4by ax y 与? ??=-=+18439 3by ax y x 有公共的解，求a ，b ． 3、代数式by ax +,当2,5==y x 时，它的值是7；当5,8==y x 时，它的值是4，试求5,7-==y x 时代数式by ax -的值． 姓 名 性 别 年 级 初一 第 次课 课题 二元一次方程组的实际应用 课程性质 预习 复习 冲刺 同步 其他 教学目标 1、 构造二元一次方程组解决实际问 题 2、 运用二元一次方程组解决问题， 提高分析能力 重点 难点 重点：列二元一次方程组解应用题 难点：寻找实际问题中已知与未知的相等关系 学生 表现 作业完成情况 签字 教学主任： 家 长：
二、知识点讲解 一、关键思路 1.列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，关键是把已知量和未知量联系起来，找 出题目中的等量关系． 2.一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足： （1）方程两边表示的是同类量； （2）同类量的单位要统一； （3）方程两边的数值要相等． 二、一般步骤 1.审题：弄清题意和题目中的数量关系； 2.设元：可以直接设，也可以间接设，常根据题意用简单设法； 3.列出方程组； 4.解方程组，并检验所得的解是否符合题意； 5.作答． 三、列方程解应用题的基本关系量 （1）行程问题：速度×时间=路程顺水速度=静水速度+水流速度逆水速度=静水速度—水流速度（2）工程问题：工作效率×工作时间=工作量 （3）浓度问题：溶液×浓度=溶质 （4）银行利率问题：免税利息=本金×利率×时间 四、列方程组解应用题的常见题型 （1）和差倍总分问题：较大量=较小量+多余量，总量=倍数×倍量 （2）产品配套问题：加工总量成比例 （3）速度问题：速度×时间=路程 （4）航速问题：此类问题分为水中航速和风中航速两类 1．顺流（风）：航速=静水（无风）中的速度+水（风）速 2．逆流（风）：航速=静水（无风）中的速度--水（风）速 （5）工程问题：工作量=工作效率×工作时间 第2 页共13 页
二元一次方程万能公式总结
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。接下来分享二元一次方程的万能公式， 供参考。 二元一次方程万能公式 b^2-4ac>=0,方程有实数根，否则是虚数根。 实数解是: [-b+sqrt(b^2-4ac)]/2a [-b-sqrt(b^2-4ac)]/2a 二元一次方程的解法 代入消元法 (1)等量代换：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个 未知数(例如y)，用另一个未知数(如x)的代数式表示出来，即将方程写成y=ax+b 的形式; (2)代入消元：将y=ax+b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元 一次方程; (3)解这个一元一次方程，求出x的值; (4)回代：把求得的x的值代入y=ax+b中求出y的值，从而得出方程组的解; (5)把这个方程组的解写成x=c y=d的形式。 换元法 解一些复杂的问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某 些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化。该方法在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面能起到独到作用。 加减消元法 (1)变换系数：利用等式的基本性质，把一个方程或者两个方程的两边都乘以 适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等。
(2)加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。 (3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值。 (4)回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值。
解二元一次方程组的两种特殊方法
解二元一次方程组的两种特殊方法 一、合并法。 一组方程组中两道方程不能直接用代入法或加减法消元，但是相加（或相减）后两未知数的系数相同，这时适合用合并法来解。 例 ?? ?=+=+② ①12 54223y x y x 解：（①+②）÷7 ③2=+y x ③×3－① ④2-=x ④代③ ④4 =y （1）???? ?-=+=+②①10 651056y x y x （2） ?????? ?=-=+② ①3 4 1526 411517 y x y x
（3）???? ?=+=+②①61 71379 137n m n m （4）????? -=+-=+② ①106 1911741119t s t s （5）???? ?-=++--=++-② （）（ ①）（）（ 42)20172018792517201720183922y x y x
二、换元法。 一组方程中两道方程都含有较复杂的相同代数式，用一半方法消元比较麻烦，这时可以用换元法。 例 ?????? ?-=+---=++-②① 23 25323 253x y y x x y y x 解： 考虑到两式中代数式3 25 3x y y x +-和相同，所以可以设 3 2,53x y n y x m +=-= 。原方程变为 ???? ? -=--=+④ ③2 2n m n m 解得 ???? ?=-=⑥⑤0 2 n m 即 ?? ?=+-=-?????? ?=+-=-⑩⑨⑧⑦0 210 303 2253y x y x x y y x 解⑨⑩组成的方程组得.4,2=-=y x ?? ?=-=∴4 2y x 方程组得解为 练习B ： ?????=++--=+--②①）（62 32)(4)(51x y y x y x y x ???????=++--=--+② ①）（3 142 3 3143)(42)(32x y y x y x y x
2021年广东省中考数学总复习第9讲：二元一次方程组(含答案解析)
2021年广东省中考数学总复习第9讲：二元一次方程组 一．选择题（共17小题） 1．（2018?深圳）某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共 480个学生刚好住满，设大房间有x 个，小房间有y 个．下列方程组正确的是（ ） A ．{x +y =708x +6y =480 B ．{x +y =706x +8y =480 C ．{x +y =4806x +8y =70 D ．{x +y =4808x +6y =70 2．（2018?广州）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九 枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意得（ ） A ．{11x =9y (10y +x)?(8x +y)=13 B ．{10y +x =8x +y 9x +13=11y C ．{9x =11y (8x +y)?(10y +x)=13 D ．{9x =11y (10y +x)?(8x +y)=13 3．（2020?梅州模拟）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其 中记载：今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？译文：五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设每只雀、燕的重量各为x 两，y 两，以下列出的方程组正确的是（ ） A ．{5x +6y =164x +y =5y +x B ．{6x +5y =164x +y =5y +x C ．{5x +6y =165x +y =4y +x D ．{6x +5y =165x +y =4y +x 4．（2020?从化区一模）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人 共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问人数，物价各几何？意思是：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x 人，物品的价格为y 元，可列方程组为（ ）
《用适当的方法解二元一次方程组》教案
用适当的方法解二元一次方程组 教学目标: 1.知识与技能：会根据方程组的具体情况选择适合的消元法. 2.过程与方法：通过对具体的二元一次方程组的观察、分析，选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析能力. 3.情感态度与价值观：通过学生比较两种解法的差别与联系，体会透过现象抓住事物本质的这一认识方法. 教学重点: 会根据方程组的具体情况选择合适的消元法. 教学难点: 会对一些特殊的方程组灵活的选择特殊的解法。 教学过程 一、复习引入 1.解二元一次方程组的基本思想是什么？ 2.消元的方法有哪些？ 3.什么是代入消元法？什么是加减消元法？ 二、新课讲解 1.分别用代入法和加减法解下列方程组： （1） （2） ?-=?+=?25342x y x y 34165- 6 33x y x y +=??=?
2320 235297x y x y y +-=???++-=??①② 学生利用两种方法独立完成上述方程组，分别请4名学生黑板来板演。 2.观察上面的解题过程，回答问题： （1）代入法和加减法有什么共同点？ （2）什么样的方程组适合用代入法？什么样的方程组适合用加减法？ 学生小组讨论，交流，教师总结 代入法和加减法的实质都是消元，通过消去一个未知数，化“二元”为“一元”。 当方程组中有一个未知数的系数为1或-1时，用代入法简单，其他的用加减法简单。 3.用合适的方法解下列方程组： （1） （2） （3） y=x-3 （4） 4x-y=5 2x+3y=11 2x+3y=13 4.拓展创新 （1）解方程组： 分析：方程①和方程②中均含有2x+3y,可以用整体代入???=-=+11522153-y x y x
广州中考数学复习20讲 第4讲 一元一次方程、二元一次方程(组) 2.9
中考数学一轮复习第4讲 ----一元一次方程、二元一次方程（组） 教学目标： 1.掌握一元一次方程的定义； 2、掌握二元一次方程组的解法； 3、掌握二元一次方程解决实际问题。 教学重难点： 1.二元一次方程的应用 导学一：一次方程（组） 【考点总汇】 一、一元一次议程及其解法 1.定义；含有未知数，且未知数的，等号两边都是的方程。 2.解一元一次方程的步骤：去分母、、、、系数化为1。温馨提示： 二、二元一次方程组及其解法 1.定义：含有个未知数，并且含有的次数都是1的方程叫做二元一次方程。把具有相同未知数的两个一元一次方程组合在一起能组成一个二元一次方程组。
2.二元一次方程组的解：能够使方程组的每个方程都成立的未知数的值。 3.解二元一次方程组的思想：。 4.解法：（1）消元法。（2）消元法。 温馨提示： 高频考点1、一次方程的相关计算 1.方程﹣=1可变形为﹣=． 2.适合|2a+7|+|2a﹣1|=8的整数a的值的个数有（） 3.“双11”促销活动中，小芳的妈妈计划用1000元在唯品会购买价格分别为80元和120元的两种商品，则可供小芳妈妈选择的购买方案有（） A.4种 B.5种 C.6种 D.7种 4.设a，b，c，d为实数，现规定一种新的运算=ad﹣bc，则满足等式 =1的x的值为． 高频考点2、一次方程（组）的相关概念
【范例】已知???=-=2 ,1y x 是二元一次方程组???=-=+1,23y nx m y x 的解，则n m -的值是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 得分要领： 1.当已知某个（对）数为一次方程（组）的解时，把解代入方程（组），消去原来的未知数，得到新的方程（组），求解方程（组），得出所求字母的取值。 2.在一元一次方程0=+b ax ，二元一次方程c by ax =+中，未知数的系数不能等于0，如03)1(2 =+-k x k 是一元一次方程的条件为1-=k ，而非1±=k 。 【考题回放】 1.方程925-=+y x 与下列方程构成的方程组的解为?? ???=-=21, 2y x 的是（ ） A.12=+y x B.823-=+y x C.345-=+y x D.843-=-y x 2.如果8243352=----+b a b a y x 是二元一次方程，那么=-b a 。 高频考点3、一次方程（组）的解法 【范例】（1）解方程：213122x x +=+-。 （2）解方程组：?????=-=-.13 2,353y x y x 得分要领：
二元一次方程公式法
育英学校九年级自学能力测试题 21.2.2公式法 一、读懂文本，捕捉重要的知识信息，为记住知识和应用知识奠定基础。（30分）。 读懂材料第 页: 1.知识点1： 一般地，式子ac b 42-叫做方程02=++c bx ax （0≠a ） .通常用希腊字母?表示它，即 2.知识点2： 当△≥0时，方程0c b a 2=++x x （a ≠0）的实数根可写为 的形式，这个式子叫作一元二次方程的求根公式。 3.知识点3： [方法归纳] 用公法解下列一元二次方程的步骤： (1)把方程化为一般形式，确定a,b,c,的值。 (2)求出b 2－4ac 的值。 （3）若b 2－4ac ≥0，则将a,b,c,的值代入求根公式求出方程的根。 4.读完文本后，你有哪些疑惑？ 5.本文和以前学过的知识有什么联系？ 二、加强记忆，巩固知识，解决问题，提升能力。（60分） 1.方程0132=+-x x 的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．只有一个实数根 解下列一元二次方程 (1)x 2-3x-1=0 (2) x 2+x-6=0 (3)3x 2-6x-2=0 (4)4x 2-6x=0
(5)x2+4x+8=4x+11 (6)x(2 x-4)=5 -8x 三、选做题（20分） 1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（）． A．x= 36 2 -± B．x= 36 2 ± C．x= 323 2 -± D．x= 323 2 ± 2．代数式x2-8x+12的值是-4,求x的值 四、思想提升（学用结合，让本文与学习者自身的学习、记忆、巩固、再现和应用紧密挂钩，站在学的角度思考文本对于自己有什么用处，达到培养学习者学科思想的目的。）（10分） 1、本节知识的重点内容是什么？学习这些知识后有什么用处？（5分） 2、学习本节内容你有什么好的方法，写下来与大家分享。（5分）
二元一次方程组应用题公式
实际问题与二元一次方程组题型归纳 知识点一：列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关 键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：（1）方程两边表示的是同类量；（2 ）同类量的单位要统一；（3）方程两边的数值要相等. 知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系 1?行程问题： （1）追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而 行。这类问题比较直观，画线段，用图便于理解与分析。其等量关系式是遠度-路 程 两者的行程差=开始时两者相距的路程；总士空反几「.；厂L.； 时间醬 ⑵相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和=总路程。 （3）航行问题：①船在静水中的速度+水速=船的顺水速度； ②船在静水中的速度-水速=船的逆水速度； ③顺水速度—逆水速度=2 X水速。 注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。 2.工程问题：工作效率X工作时间=工作量. 3.商品销售利润问题： 、、、利润率=直址攀处：＜1叩％、、
（1）利润=售价—成本（进价）；（2）=i ; （3）利润=成本（进价）x利润率； 标价=成本（进价）X （1 +利润率）；（5）实际售价=标价x打折率； 注意：“商品利润=售价一成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十） 4 .储蓄问题： （1）基本概念 ①本金：顾客存入银行的钱叫做 本金。②利息：银行付给顾客的 酬金叫做利息。 ③本息和：本金与利息的和叫做本息和。④期数：存入银行的时 间叫做期数。 ⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。⑥利息税：利 息的税款叫做利息税。 （2）基本关系式 ①利息=本金x利率x期数 ②本息和=本金+利息=本金+本金x利率x期数=本金x （1 + 利率x期数） ③利息税=利息x利息税率=本金x利率x期数x利息税率。 ④税后利息=利息x （1—利息税率）⑤年利率=月利率x 12⑥ 月利率宰利率工丄
第9讲_二元一次方程的整数解(含答案)
（9）二元一次方程的整数解 【知识精读】 1、二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中， 若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。 即如果（a,b）|c则方程ax+by=c有整数解 显然a,b互质时一定有整数解。 例如方程 3x+5y=1, 5x－2y=7, 9x+3y=6都有整数解。 返过来也成立，方程9x+3y=10和4x－2y=1都没有整数解， ∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。 一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。 2、二元一次方程整数解的求法： 若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）。k叫做参变数。 方法一：整除法：求方程5x+11y=1的整数解 解：x=111y = 1 y10y 1y 2y(1), 5 5 5 1 y 设k(k是整数），则y=1－5k(2), 5 把（2）代入（1）得x=k－2(1－5k)=11k－2 x 11k 2 ∴原方程所有的整数解是（k是整数） y 1 5k 方法二：公式法： 设ax+by=c有整数解x x0则通解是x x0bk（x0,y0可用观察法） y y0y y0ak 3、求二元一次方程的正整数解： i. 出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定 k值 ii.用观察法直接写出。 【分类解析】 例1求方程5x－9y=18整数解的能通解 解：x=189y1510y3y 32y 3y 5 5 5 -1-
设3 y k （k 为整数），y=3－5k, 代入得x=9－9k 5 x 9 9k ∴原方程整数解是 3 （k 为整数） y 5k 又解：当 x=o 时，y=－2， x 0 x 0 9y ∴方程有一个整数解 它的通解是 y 2 （k 为整 数） y 2 5k 从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。 例 2求方程5x+6y=100的正整数解 解：x= 1006y 20y y (1)， 5 5 y 设 k(k 为整数)，则y=5k,(2) 5 把（2）代入（1）得x=20－6k ， x 0 206k 0 ,k 的整数解是1，2，3， ∵ 解不等式组 5k 0 得0＜k<20 y 0 6 ∴正整数解是 x 14 x 8 x 2 y 5 y 10 y 15 例3甲种书每本 3元，乙种书每本 5元，38元可买两种书各几本？ 解：设甲种书 买 x 本，乙种书买 y 本，根据题意得 3x+5y=38（x,y 都是正整数） ∵x ＝1时，y=7，∴ x 1 y 是一个整数解 7 ∴通解是 x 1 5k （k 为整数） y 7 3k 1 5k 0 得解集是 1 7 ∴整数k=0，1，2 解不等式组 3k 0 k 3 7 5 x 1 x 6 x 11 把k=0,1,2代入通解，得原方程所有的正整数解 y 7 y 4 y 1 答：甲、乙两种书分别买 1和7本或6和4本或11和1本。