探求三角形的外接圆半径
探求三角形的外接圆半径 泰州市二中附属初中 王 征
我们知道任意一个三角形都有外接圆，如何求三角形的外接圆的半径呢？其主要方法是构造直角三角形，利用相似三角形、勾股定理等知识求解。 一、特殊三角形 1.直角三角形
例1．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，求△ABC 的外接圆的半径r.
分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜
边。
解：∵AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，
∴AB 2＝BC 2＋AC 2， ∴∠C ＝90°，
∴AB 为△ABC 的外接圆的直径， ∴△ABC 的外接圆的半径r 为6.5. 2.等腰三角形
例2．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC=10，BC ＝12，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.
分析：利用等腰三角形的对称性，相似三角形的相关知识解题. 解：作直径AD 交BC 于点E ，交圆于点D ，连接BD.∴∠ABD=90°， ∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C ， ∵∠C=∠D ，∴∠ABC=∠D. ∵∠BAE=∠DAB ，∴△ABE ∽△ADB,
∴∠AEB=∠ABD=90°，∴BE=CE=6.∴AE=822=-BE AB . ∵△ABE ∽△ADB ，∴
AB
AE
AD AB = A
B
C
O
∴188
122
2===AE AB AD ,
∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为9. 二、一般三角形 1.已知一角和它的对边 ⑴ 锐角三角形
例3.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝60°，求△
径r.
分析：利用直径构造含已知边AB 的直角三角形. 解：作直径AD ，连结BD.
∴∠D ＝∠C ＝＝60°，∠DBA ＝90°. ∴AD ＝
D
sin AB ＝
?
60sin 10＝3
3
20
∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为3
3
10.
⑵ 钝角三角形
例4.在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝100°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.（用三角函数表示） 分析：方法同例3. 解：作直径BD ，连结AD.
则∠D ＝180°－∠C ＝80°，∠BAD ＝90° ∴BD ＝
D
sin AB ＝
?
80sin 10
∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为?
80sin 5.
注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径. 2.已知两边夹一角
例5．已知：如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C ＝60°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.
分析：考虑求出AB ，然后转化为⑴的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD.作AE ⊥BC ，垂足为E.
则∠DBA ＝90°，∠D ＝∠C ＝60°，CE ＝2
1AC ＝1，AE ＝
3
，
BE ＝BC －CE ＝2，AB ＝22BE AE +＝
7
∴AD ＝
D
sin AB ＝
?
60sin 7＝21
3
2
∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为2131.
3.已知三边
例6.已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.
分析：作出直径AD ，构造Rt △ABD.只要求出△ABC 中BC 边上的高AE ，利用相
似三角形就可以求出直径AD.
解：作直径AD ，连结BD.作AE ⊥BC ，垂足为E.
则∠DBA ＝∠CEA ＝90°，∠D ＝∠C ∴△ADB ∽△ACE ， ∴AB
AE AD
AC =
设CE ＝x,
∵AC 2-CE 2＝AE 2＝AB 2-BE 2 ，∴132-x 2＝152-(14-x)2 ∴x=5,即CE ＝5，∴AE ＝12
∴15
1213=AD
，∴AD ＝465
∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为8
65. 4.已知两边及第三边上的高
例7.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，AD ⊥BC ，且AD=5，求△ABC 外
接圆⊙O 的半径r.
分析：作出直径AE ，构造Rt △ABE ，利用相似三角形就可以求出直径AE. 解：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ，
A
B
C
O
D E
A
B
C
O
D E
则∠ABE ＝90°. ∵∠E ＝∠C ，
∠ABE ＝∠ADC ＝90°， ∴Rt △ABE ∽Rt △ADC ， ∴AC
AE AD
AB =，
∴6
57AE =， ∴AE=5
42.
总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆的半径.
任意三角形的外接圆与内切圆半径的求法
任意三角形的外接圆与内切圆半径的求法 圆与三角形有着密不可分的关系，对于任意一个三角形来说，三角形是圆的内接三角形或是外切三角形。而对于圆来说，三角形必定有它的外接圆和内切圆。那么三角形的各边数量关系与其对应的圆的半径有着怎样的一种关系呢？下面就上述问题作一探索。 一、特殊三角形―――直角三角形的外接圆和内切圆半径的求法。 例1、已知R t △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝13，AC ＝5，BC ＝12，求外接圆半径R 和内切圆半径r 值。 解：由题意得；2132==c R ；22 131252=-+=-+=c b a r 。 二、非特殊三角形的外接圆和内切圆半径的求法。 例2、已知△ABC 中，AB ＝13，AC ＝14，BC ＝15，求外接圆半径R 和内切圆半径r 值。 解：如图：作BC 边上的高线AD ；设BD ＝x ，则CD ＝15－x 。由勾股定理得：AD 2＝AB 2－BD 2＝AC 2－CD 2， 即：()2222151413x x --=-，得x=5 33； 再得：AD ＝5 56， 1、先求内切圆半径： 根据()r c b a s ABC ++= ?21 得：()r 1514132 15561521++=?? 得： r ＝4 ； 2、作△ABC 的外接圆⊙O ，连接AO 并延长交⊙O 于 E ，连接CE 。则△ABD ∽△AEC ， 则AC AD AE AB = ，即14 556 213=R ，得R ＝865。 例3、已知△ABC 中，AB ＝13，AC ＝25，BC ＝17，求 外接圆半径R 和内切圆半径r 值。
解：如图：作BC 边上的高线AD ；设BD ＝x ，则CD ＝17－x 。由勾股定理得：AD 2＝AB 2－BD 2＝AC 2－CD 2， 即：()()2222172 513x x --=-，得x=12； 再得：AD ＝5， 1、先求内切圆半径： 根据()r c b a s ABC ++= ?21 得：()r 2517132151721++=?? 得： r ＝2 26- ； 2、作△ABC 的外接圆⊙O ，连接AO 并延长交⊙O 于E ，连接CE 。则△ABE ∽△ADC ， 则AC AE AD AB = ，即252513R = ，得R ＝2 213。 三、小结 例2和例3中，求三角形内切圆半径是通过()r c b a s ABC ++= ?21公式，根据三角形的面积和周长来达到目的。 求三角形外接圆半径是通过三角形相似来计算的。它们有一共同的特征就是要求出一条边上的高线。 例2和例3中的三角形分别是锐角三角形和钝角三角形，为了避免在计算中分类的问题，可统一为选择最长的一边为底边，再计算这条边上的高线即可,这时就不需考虑这个三角形是锐角还是钝角三角形的问题。 2009-1-6
任意三角形外接圆半径、内切圆半径的求法及通用公式
一、任意三角形外接圆半径 设三角形各边边长分别为a,b,c 外接圆半径为R ，（如右图所示） 则βαβαβαsin sin cos cos 2)cos(2 22-=-+= +ab c b a （余弦定理） 而R b R b 22cos ==α，R b R 4sin 22 - = α R a R a 22cos ==β，R a R 4sin 2 2 - = β 即有：=-+ab c b a 2222R a R R b R R a R b 442222 22 - ? --? 即有：2 22222222) 4)(4(R a R b R ab ab c b a ---= -+ 所以：)4)(4()( 222222 222 a R b R ab c b a R ab --=-+- 即有：2222242 2224 2 2 2 2 2 )(416)( 4)(4)(b a R b a R ab c b a R c b a R ab ++-=-++-+- 所以：])( 4[2 2222 2 ab c b a R c -+-=，即：])(4[2222222222c b a b a R c b a -+-= 所以：) )()()((a c b b c a c b a c b a abc R -+-+-+++= 而三角形面积： ))()()((4a c b b c a c b a c b a S -+-+-+++= （海伦公式） 所以，有：S abc R 4= ※ 另一求法，可用正弦定理，即：R A a 2sin =，而bc a c b A 2cos 222-+= 所以： 2 222222 2222)(4) 2(12) (cos 12sin 2a c b c b abc bc a c b a A a A a R -+-= -+-= -==
三角形外接圆与内切圆半径求法
三角形的外接圆与内切圆半径的求法 江苏省海安县曲塘镇花庄初中（226661）马金全 一、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形 如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边. 例1已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5 求△ABC 的外接圆的半径. 解：∵AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5， ∴AB 2＝BC 2＋AC 2 ， ∴∠C ＝90°， ∴AB 为△ABC 的外接圆的直径， ∴△ABC 的外接圆的半径为6.5. 2、一般三角形 ①已知一角和它的对边 例2如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝100°， 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.（用三角函数表示） 分析：利用直径构造含已知边AB 的直角三角形. 解：作直径BD ，连结AD. 则∠D ＝180°－∠C ＝80°，∠BAD ＝90° ∴BD ＝ D sin AB ＝? 80sin 10 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为 ? 80sin 5 . 注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径. 例3如图，已知，在△ABC 中，AB ＝10，∠A ＝70°，∠B ＝50° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 分析：可转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD. 则∠D ＝∠C ＝180°－∠CAB －∠BAC ＝60°，∠DBA ＝90° ∴AD ＝ D sin AB ＝?60sin 10＝33 20 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为 33 10 . ②已知两边夹一角 例4如图，已知，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C ＝60° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 分析：考虑求出AB ，然后转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD.作AE ⊥BC ，垂足为E. 则∠DBA ＝90°，∠D ＝∠C ＝60°，CE ＝2 1 AC ＝1，AE ＝3， BE ＝BC －CE ＝2，AB ＝22BE AE +＝7 A B C O A B C O D A B C O D A B C O D E
三角形的外接圆与内切圆半径的求法
三角形的外接圆与内切圆半径的求法 一、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形 如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边. 例1已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5 求△ABC 的外接圆的半径. 解：∵AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5， ∴AB 2＝BC 2＋AC 2 ， ∴∠C ＝90°， ∴AB 为△ABC 的外接圆的直径， ∴△ABC 的外接圆的半径为6.5. 2、一般三角形 ①已知一角和它的对边 例2如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝100°， 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.（用三角函数表示） 分析：利用直径构造含已知边AB 的直角三角形. 解：作直径BD ，连结AD. 则∠D ＝180°－∠C ＝80°，∠BAD ＝90° ∴BD ＝ D sin AB ＝? 80sin 10 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为 ? 80sin 5 . 注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径. 例3如图，已知，在△ABC 中，AB ＝10，∠A ＝70°，∠B ＝50° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 分析：可转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD. 则∠D ＝∠C ＝180°－∠CAB －∠BAC ＝60°，∠DBA ＝90° ∴AD ＝ D sin AB ＝?60sin 10＝ 33 20 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为 33 10 . ②已知两边夹一角 例4如图，已知，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C ＝60° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 分析：考虑求出AB ，然后转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD.作AE ⊥BC ，垂足为E. 则∠DBA ＝90°，∠D ＝∠C ＝60°，CE ＝2 1 AC ＝1，AE ＝3， BE ＝BC －CE ＝2，AB ＝22BE AE +＝7
探求三角形的外接圆半径
探求三角形的外接圆半径 泰州市二中附属初中 王 征 我们知道任意一个三角形都有外接圆，如何求三角形的外接圆的半径呢？其主要方法是构造直角三角形，利用相似三角形、勾股定理等知识求解。 一、特殊三角形 1.直角三角形 例1．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，求△ABC 的外接圆的半径r. 分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜 边。 解：∵AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5， ∴AB 2＝BC 2＋AC 2， ∴∠C ＝90°， ∴AB 为△ABC 的外接圆的直径， ∴△ABC 的外接圆的半径r 为6.5. 2.等腰三角形 例2．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC=10，BC ＝12，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r. 分析：利用等腰三角形的对称性，相似三角形的相关知识解题. 解：作直径AD 交BC 于点E ，交圆于点D ，连接BD.∴∠ABD=90°， ∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C ， ∵∠C=∠D ，∴∠ABC=∠D. ∵∠BAE=∠DAB ，∴△ABE ∽△ADB, ∴∠AEB=∠ABD=90°，∴BE=CE=6.∴AE=822=-BE AB . ∵△ABE ∽△ADB ，∴ AB AE AD AB =
∴188 122 2===AE AB AD , ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为9. 二、一般三角形 1.已知一角和它的对边 ⑴ 锐角三角形 例3.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝60°，求△ 径r. 分析：利用直径构造含已知边AB 的直角三角形. 解：作直径AD ，连结BD. ∴∠D ＝∠C ＝＝60°，∠DBA ＝90°. ∴AD ＝ D sin AB ＝ ? 60sin 10＝3 3 20 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为3 3 10. ⑵ 钝角三角形 例4.在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝100°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.（用三角函数表示） 分析：方法同例3. 解：作直径BD ，连结AD. 则∠D ＝180°－∠C ＝80°，∠BAD ＝90° ∴BD ＝ D sin AB ＝ ? 80sin 10 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为? 80sin 5. 注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径. 2.已知两边夹一角 例5．已知：如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C ＝60°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.
任意三角形外接圆半径内切圆半径的求法及通用公式
任意三角形外接圆半径内切圆半径的求法及通 用公式 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
一、任意三角形外接圆半径 设三角形各边边长分别为a,b,c 外接圆半径为R ，（如右图所示） 则βαβαβαsin sin cos cos 2)cos(2 2 2 -=-+= +ab c b a （余弦定理） 而R b R b 22cos ==α，R b R 4sin 22 - = α R a R a 22cos ==β，R a R 4sin 2 2 - = β 即有：=-+ab c b a 2222R a R R b R R a R b 442222 22 - ?-- ? 即有：2 22222222) 4)(4(R a R b R ab ab c b a ---=-+ 所以：)4)(4()( 222222 222 a R b R ab c b a R ab --=-+- 即有： 2222242 2224 2 2 2 2 2 )(416)(4)(4)(b a R b a R ab c b a R c b a R ab ++-=-++-+- 所以：])( 4[2 2222 2 ab c b a R c -+-=，即：])(4[2222222222c b a b a R c b a -+-= 所以：) )()()((a c b b c a c b a c b a abc R -+-+-+++= 而三角形面积： ))()()((4a c b b c a c b a c b a S -+-+-+++= （海伦公式） 所以，有：S abc R 4= ※ 另一求法，可用正弦定理，即：R A a 2sin =，而bc a c b A 2cos 222-+= 所以：
三角形的内切圆和外接圆
三角形外接圆半径的求法及应用 方法一:R ＝ab/(2h ） 三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。 AD 是△A ＢＣ的高，ＡE 是△ABC 的外接圆直径．求证 AB ·AC=ＡE ·AD ． 证:连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE, 则∠ＡB Ｅ=９0°. ∵∠E ＝∠C, ∠ABE ＝∠ＡDC=90°， ∴Rt △ＡＢE ∽Rt △ＡＤC ， ∴AC AE AD AB ， ∴ ＡB ·AC=AE ·AD 方法二:2R=a/S ｉｎＡ,a 为∠A 的对边 在锐角△A ＢC 中,外接圆半径为R 。求证： 2R=AB/Si ｎC 证：连接AO 并延长交圆于点Ｅ，连接ＢＥ， 则∠ABE=90°. ∴AE ＝AB/ＳinE ∵∠C ＝∠E,Sin Ｃ =S ｉnE ∴ＡE=ＡＢ/Si ｎC ∴2R ＝AB/SinC 若Ｃ为钝角,则S ｉnC ＝Sin （180ｏ-Ｃ) 应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径。 例1 已知：如图，在△ABC 中,AC ＝１3,ＢC=１4,AB ＝１5,求△ABC 外接圆⊙O 的半径r. 分析：作出直径AD,构造Rt △A ＢD.只要求出△ＡＢC 中B Ｃ边上的高AE,用方法一就可以求出直径AD. 解：作AE ⊥BC ，垂足为Ｅ. 设C Ｅ＝x ， ∵A Ｃ２-CE 2=AE 2=ＡB 2－ＢE 2 ,∴13２-x ２=152-(14-x)2 ∴ｘ=５,即CE ＝５，∴AE=1２ R=ab/（2h ）=13x1５/（2x １2)=６５/8 A B C O D E
∴△A ＢC 外接圆⊙O 的半径r 为 8 65. 例 2 已知:在△AB Ｃ中，AB ＝1３，BC ＝12，ＡＣ=5，求△ABC 的外接圆的半径R. 分析:通过判定三角形为直角三角形,易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。 应用二、已知三角形的二边长及其夹角(特殊角)，求外接圆的半径。 例３ 已知:如图,在△ABC 中,ＡC=２，BC=3,∠C ＝60°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径R ． 分析：考虑求出角的对边长AB,然后用方法一或方法二解题. 解:作直径AD,连结ＢD.作A Ｅ⊥BC ，垂足为E. 则∠DBA=90°,∠D=∠C=60°， ∠CA Ｅ=∠DAB ＝ 90°－ ６0°=30° CE=2 1AC=1，AE ＝ 3 ，AB ＝√7∴R=AC ·AB/2AE=2x √7/(2x 3 ) 应用三、已知三角形的一边长二角度或对角的度数（特殊角)，求它的外接圆的半径。 用方法二 例4 已知AD=５,AC=7，C Ｄ=3,AB=10√３,求它的外接圆的半径 解 从A 作AM ⊥B Ｃ于M,则 AD 2-MD 2=A M ２ =ＡＣ2－(ＭD+C Ｄ)2.即 5２－MD ２=7２-(MD ＋3)２． 得R ＝14, 则△ＡBC 外接圆面积S ＝πＲ2=１96π． 例５ 如图3，已知抛物线y ＝x 2－４x+h 的顶点A 在直线y ＝－4x-1上， 求①抛物线的顶点坐标; ②抛物线与x 轴的交点Ｂ、C 的坐标； ③△ＡBC 的外接圆的面积． 解 ①A(2，－9); A B C O D E
三角形外接圆半径的求法及应用
三角形外接圆半径的求法及应用 九年义教初中《几何)第三册(以下简称“教材”)第94页例2： AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径． 求证 AB2AC＝AE2AD． 即：三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商． 例1 如图1，已知等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，求它的外接圆的半径．(课本题)． 解由题意知三角形底边上的高为 (95山西中考)
解从A作AM⊥BC于M，则 AD2－MD2＝AM2 ＝AC2－(MD＋CD)2． 即 52－MD2＝72－(MD＋3)2． 得R＝14， 则△ABC外接圆面积 S＝πR2＝196π． 例3如图3，已知抛物线y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上，求①抛物线的顶点坐标； ②抛物线与x轴的交点B、C的坐标； ③△ABC的外接圆的面积． (94山西)
解①A(2，－9)； ②B(－1，0)； C(5， 0)． ③从A作AM⊥x轴交于M点， 则BM＝MC＝3．AM ＝9． ∴R＝5 △ABC外接圆面积S＝πR2＝25π 教材第206页第5题： 在锐角△ABC中，BC＝a、CA＝b、AB＝c，外接圆半径为R． 因此，知道一个锐角和它的对边时，即可用此法求出三角形的外接圆半径，如： 例4 如果正三角形的外接圆半径为6cm，那么这个正三角形的边长a ＝______cm．(95广西中考) 解∵正三角形每一个内角为60°．
例5 已知等腰三角形ABC的底边BC的长为10cm，顶角为120°，求它的外接圆的直径．(课本题) 解由题意知： 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a ) 当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
三角形的内切圆和外接圆
三角形外接圆半径的求法及应用 方法一：R ＝ab/(2h) 三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。 AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径．求证 AB ·AC ＝AE ·AD ． 证：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ， 则∠ABE ＝90°. ∵∠E ＝∠C ， ∠ABE ＝∠ADC ＝90°， ∴Rt △ABE ∽Rt △ADC ， ∴AC AE AD AB ， ∴ AB ·AC ＝AE ·AD 方法二：2R ＝a/SinA ，a 为∠A 的对边 在锐角△ABC 中，外接圆半径为R 。求证： 2R ＝AB/SinC 证：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ， 则∠ABE ＝90°. ∴AE ＝AB/SinE ∵∠C ＝∠E ，SinC ＝SinE ∴AE ＝AB/SinC ∴2R ＝AB/SinC 若C 为钝角，则SinC ＝Sin （180o －C ） 应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径。 例1 已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r. 分析：作出直径AD ，构造Rt △ABD.只要求出△ABC 中BC 边上的高AE ，用方法一就可以求出直径AD. 解：作AE ⊥BC ，垂足为E. 设CE ＝x, ∵AC 2-CE 2＝AE 2＝AB 2-BE 2 ，∴132-x 2＝152-(14-x)2 ∴x=5,即CE ＝5，∴AE ＝12 R ＝ ab/(2h)=13x15/(2x12)=65/8 A B C O D E
∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为 8 65. 例2 已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，求△ABC 的外接圆的半径R. 分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。 应用二、已知三角形的二边长及其夹角（特殊角），求外接圆的半径。 例3 已知：如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C ＝60°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径R. 分析：考虑求出角的对边长AB ，然后用方法一或方法二解题. 解：作直径AD ，连结BD.作AE ⊥BC ，垂足为E. 则∠DBA ＝90°，∠D ＝∠C ＝60°， ∠CAE ＝∠DAB ＝ 90°－ 60°＝30° CE ＝2 1AC ＝1，AE ＝ 3 ，AB=√7∴R=AC ·AB/2AE=2x √7/(2x 3 ) 应用三、已知三角形的一边长二角度或对角的度数（特殊角），求它的外接圆的半径。 用方法二 例4 已知AD=5,AC=7,CD=3,AB=10√3，求它的外接圆的半径 解 从A 作AM ⊥BC 于M ，则 AD 2－MD 2＝A M 2 ＝AC 2－(MD ＋CD)2．即 52－MD 2＝72－(MD ＋3)2． 得R ＝14， 则△ABC 外接圆面积S ＝πR 2＝196π． 例5 如图3，已知抛物线y ＝x 2－4x ＋h 的顶点A 在直线y ＝－4x －1上， 求①抛物线的顶点坐标； ②抛物线与x 轴的交点B 、C 的坐标； ③△ABC 的外接圆的面积． 解 ①A(2，－9)； A B C O D E
探求三角形的外接圆半径
探求三角形的外接圆半径 我们知道任意一个三角形都有外接圆，如何求三角形的外接圆的半径呢？其主要方法是构造直角三角形，利用相似三角形、勾股定理等知识求解。 一、特殊三角形 1.直角三角形 例1．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，求△ABC 的外接圆的半径r. 分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。 解：∵AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5， ∴AB 2＝BC 2＋AC 2 ， ∴∠C ＝90°， ∴AB 为△ABC 的外接圆的直径， ∴△ABC 的外接圆的半径r 为6.5. 2.等腰三角形 例2．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC=10，BC ＝12，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r. 分析：利用等腰三角形的对称性，相似三角形的相关知识解题. 解：作直径AD 交BC 于点E ，交圆于点D ，连接BD.∴∠ABD=90°， ∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C ， ∵∠C=∠D ，∴∠ABC=∠D. ∵∠BAE=∠DAB ，∴△ABE ∽△ADB, ∴∠AEB=∠ABD=90°，∴BE=CE=6.∴AE=822=-BE AB . ∵△ABE ∽△ADB ，∴ AB AE AD AB = ∴188 122 2===AE AB AD , ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为9. 二、一般三角形 1.已知一角和它的对边 ⑴ 锐角三角形 例3.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝60°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r. 分析：利用直径构造含已知边AB 的直角三角形. 解：作直径AD ，连结BD. ∴∠D ＝∠C ＝＝60°，∠DBA ＝90°. ∴AD ＝D sin AB ＝?60sin 10＝ 33 20 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为 33 10 . ⑵ 钝角三角形 例4.在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝100°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.（用三角函数表示）