广东省佛山市南海区2020届下学期高二期末学业水平测试数学(理科)试卷及答案word

南海区2020届高二学业水平测试

数学（理科）试题

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若复数z 满足()12z i i =+，则z 的虚部为（ ） A .1

B .2

C .i

D .2i

2.用反证法证明：若整系数一元二次方程()2

00ax bx c a ++=≠有有理数根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数，用反证法证明时，下列假设正确的是（ ） A .假设,,a b c 都是偶数 B .假设,,a b c 都不是偶数 C .假设,,a b c 至多有一个偶数

D .假设,,a b c 至多有两个偶数

3.一工厂生产某种产品的生产量x （单位：吨）与利润y （单位：万元）的部分数据如下表所示：

从所得的散点图分析可知，y 与x 线性相关，且回归方程为 1.23y x a ∧

=+

.则a =（ ）

A . 2.15-

B . 1.15-

C .0.08

D .2.15

4.

===…，=,m n 均为正实数），根据以上等式，可推测,m n 的值，则m n +等于（ ） A .40

B .41

C .42

D .43

5.甲射击时命中目标的概率为0.75，乙射击时命中目标的概率为2

3

，现甲乙两人各自射击同一目标一次，则该目标被击中的概率为（ ） A .

12

B .1

C .

56

D .

1112

6.定积分2

2

x e dx =?

（ ）

A .2e

B .1e -

C .22e -

D .

1122

e - 7.甲、乙、丙三位志愿者安排在周一至周五的五天中参加某项志愿活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（ ）

A .20种

B .30种

C .40种

D .60种

8.(

)

3

2

x x y ++的展开式中，3

3

x y 的系数为（ ） A .10

B .20

C .30

D .60

9.一台机器在一天内发生故障的概率为0.1，若这台机器一周5个工作日不发生故障，可获利4万元； 发生1次故障获利为0万元；发生2次或2次以上故障要亏损1万元.这台机器一周5个工作日内可能获利的数学期望是（ ）万元.（已知40.906561=，5090.5905=） A .3.4736

B .3

C .2.2805

D .1.231

10.已知函数()32

31f x ax x =-+若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围为（ ）

A .()2,+∞

B .(),2-∞-

C .()1,+∞

D .(),1-∞-

11.甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（ ） A .乙、丁可以知道自己的成绩 B .乙可以知道四人的成绩 C .乙、丁可以知道对方的成绩

D .丁可以知道四人的成绩

12.已知函数()f x 的定义域为()0,+∞，且满足()()0f x xf x '+>（()f x '是()f x 的导函数），则不等式

2111()()()x f x f x --<+的解集为（ ）

A .(),2-∞

B .()1,+∞

C .()1,2-

D .(1,2)

第二卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在()6

1x +的展开式中，含3x 项的系数为__________. 14.复数

112i

i

+-（i 为虚数单位）的共轭复数是____________. 15.已知函数2

y x =与函数()0y kx k =>的图像所围成的面积为

32

3

，则实数k 的值为__________. 16.某校高二年级学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）X 服从正态分布()

2110,10N ，从中抽取一个同学的数学成绩ξ，记该同学的成绩90110ξ<≤为事件A ，记该同学的成绩80110ξ<≤为事件B ，则在A 事件发生的条件下B 事件发生的概率()|P B A =_____________.（结果用分数表示） 附参考数据：

()0.68P X μσμσ-<+=?，(22)0.95P X μσμσ-<+=?，(33)0.99P X μσμσ-<+=?

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：60分.

17.已知函数()3

2

2f x x bx cx =+++的图像在点()()

1,1f 处的切线方程为410x y --=.

（1）求函数()f x 的解析式；

（2）求函数()f x 在区间[0,2]上的最大值.

18.约定乒乓球比赛无平局且实行5局3胜制.甲、乙二人进行乒乓球比赛，甲每局取胜的概率为

()01p p <<.

（1）试求甲赢得比赛的概率；

（2）当0.5p =时，胜者获得奖金800元.在第一局比赛甲获胜后，因特殊原因要终止比赛.试问应当如何分配奖金最恰当？

19.为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100/km h 的有40人，不超过

100/km h 的有15人.在45名女性驾驶员中，平均车速超过100/km h 的有20人，不超过100/km h 的有

25人.

（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100/km h 与性别有关.（结果保留小数点后三位）

（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取10辆，若每次抽取的结果是相互独立的，问这10辆车中平均有多少辆车中驾驶员为男性且车速超过100/km h ？

附：2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++为样本容量）

20.某保险公司拟推出某种意外伤害险，每位参保人交付50元参保费，出险时可获得2万元的赔付，已知一年中的出险率为0.15%，现有6000人参保.

（1）求保险公司获利在[6,12)（单位：万元）范围内的概率；（结果保留小数点后三位） （2）求保险公司亏本的概率.（结果保留小数点后三位） 附：660000

000

()0.00150.9985k

t t

t t P k C

-==

??∑

21.已知()1

ln x e f x x

-=.

（1）求证：10x x e x e -+≥恒成立； （2）试求()f x 的单调区间；

（3）若11a =，()1n n a f a +=，且0n a >，其中*n N ∈，求证：1n n a a +>恒成立.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.【选修4-4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 40y +-=，曲线2C :cos 1sin x y θ

θ

=??=+?（θ为参数），以坐标原点O

为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）曲线3C ：cos sin x t y t αα

=??

=?（t 为参数，0t >，02π

α<<）分别交1C ，2C 于,A B 两点，当α取何值时，

||

||

OB OA 取得最大值. 23.【选修4-5：不等式选讲】

已知不等式|21||21|4x x ++-<的解集为M . （1）求集合M ；

（2）设实数a M ∈，b M ?，证明：||1||||ab a b +≤+.

参考答案

一、选择题

二、填空题

13.20 14.i - 15.4 16.

2795

三、解答题

17.解：（1）()2

32f x x bx c '=++

由已知可得324

(1)124(1)10b c f b c f ++=??

=+++??--=?

解得1b =，1c =- 故()3

2

2f x x x x =+-+.

（2）∵2

()321(1)(31)f x x x x x '=+-=+- 由()0f x '>得1x <-或13x >

，由()0f x '<得113

x -<< ∴()f x 在1

[0,)3上单调递减，在1

,23?????

?

上单调递增

而()02f =，()212f =

∴函数()f x 在区间[]0,2上的最大值为12

18.解：（1）甲赢得比赛包括三种情况：第3局甲全胜；前三局甲胜2局输1局，第4局胜；前4局甲胜2局输2局，第5局胜.记甲赢得比赛为事件A ，则

()

332222

23233

4()(1)(1)61510P A C p C p p p C p p p p p p =+-+-=-+

（2）如果比赛正常进行，则甲赢得比赛有三种情况：第2，3局全胜；第2，3局胜1局输1局，第4局胜；第2，3，4局胜1场输2局，第5局胜，此时甲赢得比赛的概率为

2

122311111111112222222216

P C C ??=?+???+???= ???

则甲获得奖金X 的分布列为

则甲获得奖金的期望为80055016

?

=元 ∴最恰当的奖金分配为：甲获得550元，乙获得250元 19.解：（1）

根据列联表中数据，计算随机变量2

K 的观测值2

100(40251520)8.24960405545

k ?-?=

≈??? ∵8.2497.879>∴有99.5%的把握认为平均车速超过100/km h 与性别有关. （2）记这10辆车中驾驶员为男性且车速超过100/km h 的车辆数为X ，

根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过

100/km h 的车辆的频率为

4021005=，利用频率估计它的概率为25

. 由已知可知X 服从二项分布，即210,

5X ?

? ??

?

:， 所以驾驶员为男性且超过100/km h 的车辆数X 的均值()2

1045

E X =?

=（辆）. ∴在随机抽取的10辆车中平均有4辆车中驾驶员为男性且车速超过100/km h .

20.解：每个人在一年内是否遭遇意外伤害可以看成是一次随机试验，把遭遇意外伤害看作成功，则成功概率为0.0015.6000人参保可以看成是6000次独立重复试验，用X 表示一年内这6000人中遭遇意外伤害的人数，则()6000,0.0015X B :

（1）由题意知，保险公司每年的保费收入为30万元，若获利6万元，则有12人出险； 若获利12万元，则有9人出险.

当遭遇意外伤害人数(9,12]X ∈时，保险公司获利在[6,12)（单位：万元）范围内 ∴(912)(12)(9)0.8760.5870.289P X P X P X <≤=≤-≤=-= ∴保险公司获利在[6,12)（单位：万元）范围内的概率为0.289 （2）当遭遇意外伤害的人数15X >时，保险公司亏本 ∴(15)1(15)10.9780.022P X P X >=-≤=-=

∴保险公司亏本的概率为0.022

21.（1）证明：令()1x

x

g x e x e =-+，则()x

g x e x '=

由()0g x '>得0x >，由()0g x '<得0x < ∴()g x 在(),0-∞递减，在()0,+∞递增， ∴()()00g x g ≥=，即10x x e x e -+≥恒成立

（2）解：由1

0x e x

->得0x >或0x <， ∴()f x 的定义域为()(),00,-∞?+∞

因为()()()

21111x x

x x x x

e x e x e x e

f x e x x e ---+'=?=-- 由（1）可知当0x ≠时，10x x e x e -+>恒成立，且()

10x x e -> ∴()0f x '>.

∴()f x 单调递增区间为(),0-∞，()0,+∞，无单调递减区间. （3）证法一：∵()1n n a f a +=，∴要证1n n a a +>，即证()n n a f a >

令1

()()ln (0)x e h x f x x x x x -=-=->， 则()()

11()()1111

x x x x x

e x e e x

h x f x x e x e '

'

-+-++=-=-=-- 令()1(0)x

T x e x x =-++>，则()1x

T x e '=-+

∵0x >，∴()0T x '<，∴()T x 在()0,+∞单调递减 ∴()()00T x T <=，∴()0h x '<

∴()h x 在()0,+∞单调递减，∴()()0h x h < 又0x →，()0h x →，∴()0h x <，则()f x x <， ∴()n n a f a >，即1n n a a +>. 证法二：数学归纳法

①当1n =时，11a =，()21(1)ln(1)a f a f e ===- ∵1e e -<，∴()ln 11e -<，即21a a <成立

②假设当()

*n k k N =∈时结论成立，即1k k a a +<成立 由（2）知()f x 在()0,+∞上单调递增 ∴()()1k k f a f a +<，

又()12k k f a a ++=，()1k k f a a +=，∴21k k a a ++< ∴当1n k =+时结论成立 综合①②，∴1n n a a +>恒成立

22.解：（1）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，2

2

2

x y ρ+=，

1C

cos sin 40θρθ+-=， 2C 的普通方程为()2

211x y +-=，即2220x y y +-=， 2C 对应的极坐标方程为2sin ρθ=.

（2）曲线3C 的极坐标方程为0,02πθαρα?

?

=><<

??

?

设()1,A ρα，()2,B ρα

，则1ρ=

，22sin ρα=，

所以

21||11

2sin sin )2cos 21)||44

OB OA ραααααρ==?+=-+ 12sin 2146πα????=

-+ ??????

? 又02

π

α<<

，5266

6

π

π

π

α-

<-

<

， 所以当26

2

π

π

α-

=

，即3

π

α=

时，

||||OB OA 取得最大值3

4

23.（1）解：当12x <-

时，不等式化为：21124x x --+-<，解得1

12

x -<<- 当1122x -≤≤时，不等式化为：21214x x +-+<，解得1122

x -≤≤

当12x >

时，不等式化为：21214x x ++-<，解得1

12

x << 综上可知，{}|11M x x =-<<.

（2）证法一：因为a M ∈，b M ?，所以||1a <，||1b ≥. 而||1(||||)||1||||ab a b ab a b +-+=+--

(||1)(||1)0a b =--≤

所以||1||||ab a b +≤+.

证法二：要证||1||||ab a b +≤+，只需证：||||1||||0a b a b +--≤ 只需证：(||1)(||1)0a b --≤，

因为a M ∈，b M ?，所以||1a <，||1b ≥，

所以(||1)(||1)0a b --≤成立，所以||1||||ab a b +≤+成立.