损连接性又保持函数依赖的分解算法

求最小函数依赖集分三步:1.将F中的所有依赖右边化为单一元素此题fd={abd->e,ab->g,b->f,c->j,cj->i,g->h};已经满足2.去掉F中的所有依赖左边的冗余属性.作法是属性中去掉其中的一个,看看是否依然可以推导此题:abd->e,去掉a,则(bd)+不含e,故不能去掉,同理b,d都不是冗余属性ab->g,也没有cj->i,因为c+={c,j,i}其中包含i所以j是冗余的.cj->i将成为c->iF={abd->e,ab->g,b->f,c->j,c->i,g->h};3.去掉F中所有冗余依赖关系.做法为从F中去掉某关系,如去掉(X->Y),然后在F中求X+,如果Y在X+中,则表明x->是多余的.需要去掉.此题如果F去掉abd->e,F将等于{ab->g,b->f,c->j,c->i,g->h},而(abd)+={a,d,b,f,g,h},其中不包含e.所有不是多余的.同理(ab)+={a,b,f}也不包含g,故不是多余的.b+={b}不多余,c+={c,i}不多余c->i,g->h多不能去掉.所以所求最小函数依赖集为F={abd->e,ab->g,b->f,c->j,c->i,g->h};转换为3NF既具有无损连接性又保持函数依赖的分解算法：第一步：首先用算法1求出R的保持函数依赖的3NF分解，设为q={R1,R2,…,Rk}（这步完成后分解已经是保持函数依赖，但不一定具有保持无损连接）第二步：设X是R的码，求出p=q {R(X)}第三步：若X是q中某个Ri的子集，则在p中去掉R(X)第四步：得到的p就是最终结果例题：R(S#,SN,P,C,S,Z)F={S#→SN,S#→P,S#→C,S#→S,S#→Z,{P,C,S}→Z,Z→P,Z→C}∙第一步:求出最小FD集：F={S# →SN, S# →P,S# →C, S#→S, {P,C,S→Z, Z →P,Z →C} // S# →Z冗余，FD：最小函数依赖按具有相同左部分组：q={R1(S#,SN,P,C,S), R2(P,C,S,Z), R3(Z,P,C)}R3是R2的子集，所以去掉R3q={R1(S#,SN,P,C,S), R2(P,C,S,Z)}∙第二步:R的主码为S＃，于是p=q {R(X)}={R1(S#,SN,P,C,S), R2(P,C,S,Z), R(S#)}∙第三步:因为{S＃}是R1的子集，所以从p中去掉R(S#)∙第四步:p ={R1(S#,SN,P,C,S), R2(P,C,S,Z)}即最终结果判别一个分解的无损连接性举例2：已知R<U,F>，U={A,B,C,D,E}，F={A→C,B→C,C→D,DE→C,CE→A}，R的一个分解为R1(AD)，R2(AB)，R3(BE)，R4(CDE)，R5(AE)，判断这个分解是否具有无损连接性。

解：用判断无损连接的算法来解。

① 构造一个初始的二维表，若“属性”属于“模式”中的属性，则填a j，否则填b ij。

② 根据A→C，对上表进行处理，由于属性列A上第1、2、5行相同均为a1，所以将属性列C上的b13、b23、b53改为同一个符号b13（取行号最小值）。

③ 根据B→C，对上表进行处理，由于属性列B上第2、3行相同均为a2，所以将属性列C上的b13、b33改为同一个符号b13（取行号最小值）。

④ 根据C→D，对上表进行处理，由于属性列C上第1、2、3、5行相同均为b13，所以将属性列D上的值均改为同一个符号a4。

⑤ 根据DE→C，对上表进行处理，由于属性列DE上第3、4、5行相同均为a4a5，所以将属性列C上的值均改为同一个符号a3。

⑥ 根据CE→A，对上表进行处理，由于属性列CE上第3、4、5行相同均为a3a5，所以将属性列A上的值均改为同一个符号a1。

⑦ 通过上述的修改，使第三行成为a1a2a3a4a5，则算法终止。

且分解具有无损连接性。

求属性集合X关于函数依赖集F的闭包X+【算法5.1】计算属性集Ｘ关于Ｆ的闭包Ｘ＋。

输入：属性集Ｘ为Ｕ的子集，函数依赖集Ｆ。

输出：Ｘ＋。

步骤：(1) 置初始值 A=ф，A*=X；(2) 如果A≠A*，置A=A*，否则转(4)；(3) A*，置A*=A*∪Z。

全部搜索完,转(2)；⊆依次检查F中的每一个函数依赖Y→Z，若Y(4) 输出A*，即为X+。

【例】已知关系模式R(A,B,C,D,E)，F={AB→C,B→D,C→E,EC→B,AC→B}是函数依赖集，求(AB)+。

依算法2.1解：(1) 置初始值 A=ф，A*=AB；(2) 因A≠A*，置A=AB；(3) 第一次扫描F，找到AB→C和B→D，其左部⊆AB，故置A*=ABCD。

搜索完,转(2)；(2) 因A≠A*，置A=ABCD；(3) 第二次扫描F，找到C→E和AC→B，其左部⊆ ABCD，故置A*=ABCDE。

搜索完,转(2)；(2) 因A≠A*，置A=ABCDE；(3) 第三次扫描F，找到EC→B，其左部⊆ ABCDE，故置A*=ABCDE。

搜索完,转(2)；(2) 因A=A*，转(4)；(4) 输出A*，即(AB)+=ABCDE。

举例：已知关系模式R，U={A,B,C,D,E,G}，F={AB→C,D→EG,C→A,BE→C,BC→D,CG→BD,ACD→B,CE→AG}，求F的最小函数依赖集。

解1：利用算法求解，使得其满足三个条件①利用分解规则，将所有的函数依赖变成右边都是单个属性的函数依赖，得F为：F={AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→B,CG→D,ACD→B,CE→A,CE→G}②去掉F中多余的函数依赖A．设AB→C为冗余的函数依赖，则去掉AB→C，得：F1={D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→B,CG→D,ACD→B,CE→A,CE→G}计算(AB)F1+：设X(0)=AB计算X(1)：扫描F1中各个函数依赖，找到左部为AB或AB子集的函数依赖，因为找不到这样的函数依赖。

故有X(1)=X(0)=AB，算法终止。

(AB)F1+= AB不包含C，故AB→C不是冗余的函数依赖，不能从F1中去掉。

B．设CG→B为冗余的函数依赖，则去掉CG→B，得：F2={AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→D,ACD→B,CE→A,CE→G}计算(CG)F2+：设X(0)=CG计算X(1)：扫描F2中的各个函数依赖，找到左部为CG或CG子集的函数依赖，得到一个C→A函数依赖。

故有X(1)=X(0)∪A=CGA=ACG。

计算X(2)：扫描F2中的各个函数依赖，找到左部为ACG或ACG子集的函数依赖，得到一个CG→D函数依赖。

故有X(2)=X(1)∪D=ACDG。

计算X(3)：扫描F2中的各个函数依赖，找到左部为ACDG或ACDG子集的函数依赖，得到两个ACD→B和D→E函数依赖。

故有X(3)=X(2)∪BE=ABCDEG，因为X(3)=U，算法终止。

(CG)F2+=ABCDEG包含B，故CG→B是冗余的函数依赖，从F2中去掉。

C．设CG→D为冗余的函数依赖，则去掉CG→D，得：F3={AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,ACD→B,CE→A,CE→G}计算(CG)F3+：设X(0)=CG计算X(1)：扫描F3中的各个函数依赖，找到左部为CG或CG子集的函数依赖，得到一个C→A函数依赖。

故有X(1)=X(0)∪A=CGA=ACG。

计算X(2)：扫描F3中的各个函数依赖，找到左部为ACG或ACG子集的函数依赖，因为找不到这样的函数依赖。

故有X(2)=X(1)，算法终止。

(CG)F3+=ACG。

(CG)F3+=ACG不包含D，故CG→D不是冗余的函数依赖，不能从F3中去掉。

D．设CE→A为冗余的函数依赖，则去掉CE→A，得：F4={AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→D,ACD→B,CE→G}计算(CG)F4+：设X(0)=CE计算X(1)：扫描F4中的各个函数依赖，找到左部为CE或CE子集的函数依赖，得到一个C→A函数依赖。

故有X(1)=X(0)∪A=CEA=ACE。

计算X(2)：扫描F4中的各个函数依赖，找到左部为ACE或ACE子集的函数依赖，得到一个CE→G函数依赖。

故有X(2)=X(1)∪G=ACEG。

计算X(3)：扫描F4中的各个函数依赖，找到左部为ACEG或ACEG子集的函数依赖，得到一个CG→D函数依赖。

故有X(3)=X(2)∪D=ACDEG。

计算X(4)：扫描F4中的各个函数依赖，找到左部为ACDEG或ACDEG子集的函数依赖，得到一个ACD→B函数依赖。

故有X(4)=X(3)∪B=ABCDEG。

因为X(4)=U，算法终止。

(CE)F4+=ABCDEG包含A，故CE→A是冗余的函数依赖，从F4中去掉。

③去掉F4中各函数依赖左边多余的属性（只检查左部不是单个属性的函数依赖）由于C→A，函数依赖ACD→B中的属性A是多余的，去掉A得CD→B。

故最小函数依赖集为：F={AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→D,CD→B,CE→G}。