微积分的产生与发展

研究背景概况及意义

背景数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分学和积分学也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生，并且是有牛顿和莱布尼兹大体上完成的，但不是由他们发明的。----恩格斯

从15世纪初欧洲文艺复兴时期起，工业、农业、航海事业与商贾贸易的大规模发展，形成了一个新的经济时代，宗教改革与对教会思想禁锢的怀疑，东方先进的科学技术通过阿拉伯的传入，以及拜占庭帝国覆灭后希腊大量文献的流入欧洲，在当时的知识阶层面前呈现出一个完全斩新的面貌。而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展，生产实践的发展向自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础学科的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动的数学的发展。科学对数学提出的种种要求，最后汇总成车个核心问题：运动中速度与距离的互求问求曲线的切线问题题求长度、面积、体积、与重心问题等

求最大值和最小值问题

背景2 一、微积分产生的背景

文艺复兴之后，资本主义生产方式兴起，生产力有了较大的发展，到17世纪已达到相当程度。生产的发展提出了许多技术上的新要求，而要实现技术要求就必须有相应的科学知识。例如流体力学（与矿井的通风和排水有关），机械力学等都有了突飞猛进的发展。资本主义社会里商品生产，贸易活动占有重要的地位，与此相关的是海运事业的发展，而向外扩张的军事需要，也促进了航海的发展。航海需要精确而方便地确定位置（经纬度）、预报气象，天文学因而发展起来。对经纬度测量的需要使人们进行了这样一些研究：（1）对月亮与太阳及某一恒星距离的计算；（2）对木星卫星蚀的观察；（3）对月球穿越子午圈的观测；（4）摆钟及其他航海时针在海上的应用等等。由于这些研究，产生了近代力学、天文学等的系统理论。

所有这些发展都对数学提出了新的要求，因为这些要求表现为一些亟待数学解决的问题，这些问题可以分为四种类型：

1、已知物体移动的距离表示为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；或者反过来，已知物体的加速度表示为时间的函数，求物体在任意时刻的速度，或已知物体速度表示为时间的函数，求物体在任意时刻的移动距离。上述问题如果对于匀速直线运动来考虑，当时的数学工具已可以解决，但当时天文学、力学等涉及许多非匀速运动，大多数也不是直线运动，所以要求新的数学工具。

2、已知曲线求其切线。这不仅是几何学的问题，而且也是许多其他科学问题的要求：物体作曲线运动时，在每一瞬间的速度方向是该曲线相应的点的切线的方向；在光学中对光的折射和反射的研究要求出界面的法线方向，法线方向是由切线方向决定的。

3、已知函数求函数的极大值和极小值。这与天文学和力学都有关，例如求行星运行的近日点和远日点，抛射体的最大射程和最大高度等问题都可归结为这种类型的问题。

4、求曲线的长度。这是以计算行星或曲线运动的物体走过的路程为背景的；求曲线围成的面积，以计算行星扫过的面积为代表；求物体的重心、求两个天体之间的引力等问题。

这些问题，都是17世纪其他科学，尤其是天文学和力学及某些技术科学所提出的基本数学问题。正是为了解决这些问题，或者说在解决这些问题的努力中，牛顿和莱布尼兹创立了微积分。

微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。

一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。

由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。

一言而蔽之，微积分是研究函数的一个数学分支。函数是现代数学最重要的概念之一，描述变量之间的关系，为什么研究函数很重要呢？还要从数学的起源说起。各个古文明都掌握一些数学的知识，数学的起源也很多很多，但是一般认为，现代数学直承古希腊。古希腊的很多数学家同时又是哲学家，例如毕达哥拉斯，芝诺，这样数学和哲学有很深的亲缘关系。古希腊的最有生命力的哲学观点就是世界是变化的（德谟克利特的河流）和亚里斯多德的因果观念，这两个观点一直被人广泛接受。前面谈到，函数描述变量之间的关系，浅显的理解就是一个变了，另一个或者几个怎么变，这样，用函数刻画复杂多变的世界就是顺理成章的了，数学成为理论和现实世界的一道桥梁。

微积分理论可以粗略的分为几个部分，微分学研究函数的一般性质，积分学解决微分的逆运算，微分方程（包括偏微分方程和积分方程）把函数和代数结合起来，级数和积分变换解决数值计算问题，另外还研究一些特殊函数，这些函数在实践中有很重要的作用。这些理论都能解决什么问题呢？下面先举两个实践中的例子。

举个最简单的例子，火力发电厂的冷却塔的外形为什么要做成弯曲的，而不是像烟囱一样直上直下的？其中的原因就是冷却塔体积大，自重非常大，如果直上直下，那么最下面的建筑材料将承受巨大的压力，以至于承受不了（我们知道，地球上的山峰最高只能达到3万米，否则最下面的岩石都要融化了）。现在，把冷却塔的边缘做成双曲线的性状，正好能够让每一截面的压力相等，这样，冷却塔就能做的很大了。为什么会是双曲线，用于微积分理论5分钟之内就能够解决。

我相信楼主在看这篇文章的时候是在使用电脑，计算机内部指令需要通过硬件表达，把信号转换为能够让我们感知的信息。前几天这里有个探讨算法的帖子，很有代表性。Windows系统带了一个计算器，可以进行一些简单的计算，比如算对数。计算机是计算是基于加法的，我们常说的多少亿次实际上就是指加法运算。那么，怎么把计算对数转换为加法呢？实际上就运用微积分的级数理论，可以把对数函数转换为一系

列乘法和加法运算。

这个两个例子牵扯的数学知识并不太多，但是已经显示出微积分非常大的力量。实际上，可以这么说，基本上现代科学如果没有微积分，就不能再称之为科学，这就是高等数学的作用。

微积分对解决工程中的实际问题是非常重要的，如果没有数学的支撑，应用科学走不到今天。

如果你学理科就会深有体会，物理学里有种偏微分方程，是微积分的进一步，解决原子问题，波动问题的。如果你不学习理科，那么微积分基本没有用

意义1微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。

客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。

由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。

意义2

八、微积分思想对数学发展的影响

微积分的建立对数学的发展具有极其重大的意义。这种意义首先就在于开创了一种全新的研究变量并且发展为研究连续量的数学理论，使数学向更深刻的抽象方向前进了一大步。其次是促进了数学应用的大发展，使数学成为其他科学的重要工具。人们甚至可以说，在17和18世纪的数学，更多地是为了解决当时的科学——尤其是物理学和工业技术——中的问题。今天，许多科学中仍然要应用由微积分所发展出来的分析数学的工具。

微积分所以能在理论和应用两个方面推动数学的发展，就在于由微积分的基本思想出发，人们得到了一系列极其成功的、对后世数学以致于科学发展起了巨大推动作用的数学思想和方法。

首先，微积分引进了研究函数性质的新型计算技巧，特别象计算函数的极值、平面图形的面积和三维区域的体积等。一方面，使人们有可能用机械的计算得到许多过去是大数学家们绞尽脑汁才能获得的结果，从而使人们能更有效地从事新的研究工作；另一方面使以前是个别地解决的问题找到了一般的方法。有了一般的好的计算方法就使许多问题可以应用数学来解决。

其次，无穷级数也是一个重要的数学思想，这就是把一个有限形式的量表示为一列无限的无穷小量的和的形式。牛顿等人就认识到，一般的函数f（x）可以表示成无穷幂级数：f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…，这就有可能用从有限多项式发展出来的古老演算技巧来研究许多更一般的数学关系。在无穷级数的研究中，一方面，人们找出研究不同函数，例如各种初等函数的一般的方法，发现许多函数的共同的性质，从而促进了数学的理论发展；另一方面，又为数学的应用提供了有效的工具。天文学、地学或航海技术中都需要进行精确的计算，这首先要求有较高精确度的各种函数表，采用无穷级数方法能造出具有任意精度的表来（现在有时仍用这种方法），这自然扩大了数学的应用领域。由天文现象的周期性，人们也研究了周期函数，特别是三角级数，它对天文学、声学、热学等的研究都产生了极其深远的影响。这就是运用无穷级数的思想方法促进了微积分理论上的发展，同时也拓广了微积分的应用范围，它本身则成为分析数学中的一项重要内容。

再次，在用微积分研究物体的运动时，人们产生了常微分方程的思想，即研究在函数 f 它的导数 f '和它的二阶导数 f ″之间的，或者一般地在 f 和它的任意有限阶导数之间的用代数等

式或其他更一般的等式定义的函数。后来，微积分的基本思想被系统地推广到多元函数，发展了多元微积分的方法。这时，人们常用的办法是：让一个变量变化而把其余的变量固定以决定多元函数 f 的值，然后再对这个变量取导数，人们就得到 f 的偏导数。含有未知函数的偏导数的方程称为偏微分方程。

微分方程的思想方法是直接由其他科学、尤其是物理学以及工程技术的需要而产生的。研究弹性理论、摆的理论、波动理论、二体问题（行星在太阳引力下的运动）、三体问题（太阳、地球、月亮的相互作用）等等是产生微分方程思想方法的直接动因。微分方程理论的发展为我们研究自然现象和许多工程技术现象提供了理想的模型，并且提供了成功地解决问题的工具。直到现在微分方程仍然是研究确定性现象的主要内容。

微分几何思想方法是在应用中产生出来的。例如在地图绘制、大地测量以及物体沿曲线和曲面的运动等问题中，既依赖于微积分的思想方法，又依赖于几何的思想方法，从而发展了微分几何的理论。

总之，微积分思想方法使数学与近代的生产和其他科学研究相结合，使数学在广泛的应用中得到发展。同时，由于把微积分应用于数学的各个分支中，开始从方法上把数学综合起来。可以说，整个18世纪的数学是以微积分思想为核心，深入各个数学的分支领域，带动了代数学、几何学等等的发展。至于前述微积分思想的逻辑上的缺陷当时尚无法解决。正是由于这个缺陷，使人们的数学研究经常走向悖论，从而认识到，想深入地发展分析数学就要深入研究它的理论基础。这又给下一世纪的数学研究开辟了新的方向

研究的主要内容

从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。

微分学的基本概念是导数。导数是从速度问题和切线问题抽象出来的数学概念。牛顿从苹果下落时越落越快的现象受到启发，希望用数学工具来刻画这一事实

积分学的基本概念是一元函数的不定积分和定积分。主要内容包括积分的性质、计算，以及在理论和实际中的应用。不定积分概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的。

微分学的主要内容包括：极限理论，导数，微分，偏微分等。

积分学的主要内容包括：定积分，不定积分，黎曼积分，曲线曲面积分等。

微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

包括极限与连续，一元函数微分学，一元函数积分学，微分方程与差分方程，向量代数与空间解析几何，多元函数微积分学和无穷级数。

研究步骤方法及措施