质心力学 (2)

22
第6章质心力学定理
§6-2.质心动能定理
如图：一.质心动能定理定义：2
C C M 21E v =——质心动能
∑=i 2
i i k m 2
1E v ——质点组总动能
iC C i r r r r r r +=是否相等？iC C i v v v r r r +=⇒i i 2
i v v r r ⋅=v ()()iC C iC C v v v v r r r r +⋅+=iC
C 2
iC 2C v v 2r r ⋅++=v v ∑
=i
2i i k m 2
1E v (
)
∑
⋅++=i
iC
C 2
iC 2C i v v 2m 2
1r r v v (科尼希定理)
x
y
z
m i
r c r i
C
r ic O
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第6章质心力学定理
∑∑∑⎟
⎠⎞⎜⎝⎛⋅+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=i iC C i i 2iC i i 2C i k v v 2m 21m 21m 21E r r v v ∑∑⋅⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅i
iC i C i iC C i v m v v v 2m 21
r r r r 质心系中质点组总动量
0v C ⋅=r 0=∑∑⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=i 2iC i i 2C i k m 21m 2
1E v v ∑⎟
⎠⎞⎜⎝⎛+=i 2iC i 2C m 21M 21v v rC
E C E rC
C k E E E +=——质心动能定理(科尼希定理)
质点组总动能等于质心动能与相对质心动能之和.
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第6章质心力学定理
二.重力势能与质心势能
定义：C
C Mgh E =——质心重力势能
∑=
i
i
i
gh m E ——质点组重力势能是否相等？
∑=i i i gh m E ∑=i
i
i h m g ∑
∑∑=i
i
i
i
i
i
i m m
h
m g ∑=i
i
m
M C Mgh =C
E =C
E E =即
质心重力势能等于质点组总重力势能.
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第6章质心力学定理
§6-3. 质心角动量定理定义：C C C v M r L r
r r ×=——质心角动量
——质点组总角动量∑=
i
i
m M 一.质心角动量
()∑×=i
i i i v m r L r
r r iC C i r r r r r r +=iC
C i v v v r
r r +=因为：是否相等？()∑×=
i i i i v m r L r r r ()()∑+×+=i iC C i iC C v v m r r r r r r ()∑×=i C i C v m r r r ()∑×+i iC i iC v m r r r ()∑×+i
iC i C v m r r r ()
∑×+i
C i iC v m r r
r m i
r c
r i
C
r ic C
v M r
i
i v m r i
F r O
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第6章质心力学定理
L r C i i C v m r r
r ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=∑()∑×+i iC i iC v m r r r ()∑×+i iC i C v m r r r ()C
i
iC i v r m r
r ×+∑C C v M r r r ×=()∑×+i
iC i iC v m r r r 0r C ×+r C
v 0r
×+rC
L r rC
C L L r r +=rC
C L L L r r
r +=质点组总角动量等于质心角动量与相对质心角动量之和.
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第6章质心力学定理
二.质心角动量变化定理
C
C
M dt
L d r r
=C C L M r r 和( 都对同一点O )
与单质点完全相同
∑
×
=i
i C C
F r M
r r r 三.相对质心角动量变化定理
质点组的角动量变化定理(
)
∑
×=i
i
i F r M dt L
d r r
r ＝外
iC
C i r r r r r
r +=rC
C L L L r r r +=dt
L d dt L d dt L d rC
C r r r
+=因为：左边：
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第6章质心力学定理
C
C
M dt
L d r r
Q
=rC
rC
M dt
L d r r
=∴
(
)∑×i
i
i F r r r
(
)∑×=i
i C F r r r
(
)
∑×+
i
i
iC F r r r
C M r =rC
M r rC
M r +右边：
——相对质心角动量变化定理
相对质心角动量的时间变化率等于外力相对于质心的总力矩.
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第6章质心力学定理
这再次显示了质心的特殊之处尽管质心系可能不是惯性系，但对质心来说，
角动量定理仍然成立。

和选择质心系来讨论问题的优点。

若质心系是非惯性系，则外力矩中应包括t
L M M C d d ′=
+′r r r 惯惯性力对质心的力矩：
∑−×′=i
i i C C a m r M ）
（惯r
r r 设质心加速度为， C a r 则有
这正是即使质心系为非惯性系，但质点系对质心的角动量仍能满足角动量定理的原因。

∑=×′−=i i C i a r m 0r r ）（ 惯性力对质心的力矩之和为零。

第6章质心力学定理
§6-4. 有心运动方程与约化质量
行星
运动
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31
第6章质心力学定理
一.有心运动方程
C
R r r
r r ′
r f ′
r f
r
M
m
R r r r r r −=′f
f r r −=′不考虑第三者的影响质心系可以是惯性系
f dt r d m 22r r =f dt R
d M 22′=r r f m 1dt r d 2
2r r =f M
1
dt R d 22′
=r r 相减
f M 1f m 1dt R r d 2
2
′−=−r r r
r )(
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第6章质心力学定理
f M 1m 1dt R r d 22r r r )()(+=−f M 1m 1dt r d 22r r )(+=′
M 1
m 11
+=μμ——约化质量(折合质量)
f 1dt r d 22r r μ=′f dt r d 22
r r =′μ——行星运动方程
(有心运动方程)
虽然日心系是个非惯性系，但把行星的真实质量用约化质量替代，行星运动方程具有牛顿运动方程的表达形式。

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第6章质心力学定理
二.日心系可作为准惯性系
f dt r d 22r r =′μ行星运动方程C R r
r r
r ′r f ′r f r M m
M>>m μ≈m f dt r d m 22r
r =′日心系可作为准惯性系
准惯性系的精度(相对偏差)
M
m
M m 111m m ≈+−=−=μ
Δ
第6章质心力学定理
•本章作业
•6.1, 6.3, 6.4,6.6,6.7
34。