华师大版-数学-八年级上册--第十四章第二节直角三角形三边的关系 教案--
华师大版数学八年级上册《直角三角形三边的关系》说课稿2
华师大版数学八年级上册《直角三角形三边的关系》说课稿2一. 教材分析华师大版数学八年级上册《直角三角形三边的关系》这一节的内容，是在学生已经掌握了直角三角形的定义和性质，以及勾股定理的基础上进行讲解的。
本节课的主要内容是让学生了解并掌握直角三角形三边之间的数量关系，即勾股定理的逆定理，并能运用这一定理解决实际问题。
教材通过丰富的实例和数学活动，引导学生探究直角三角形三边之间的关系，从而加深对勾股定理的理解和运用。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经具备了一定的几何知识，对直角三角形有了一定的了解。
但是，对于直角三角形三边之间的数量关系，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将会关注学生的学习情况，针对学生的实际情况进行讲解，引导学生通过自主学习、合作交流等方式，理解和掌握直角三角形三边之间的关系。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生理解和掌握直角三角形三边之间的关系，能够运用勾股定理的逆定理解决实际问题。
2.过程与方法：通过学生的自主探究、合作交流，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探究的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生理解和掌握直角三角形三边之间的关系。
2.教学难点：如何引导学生理解和运用勾股定理的逆定理解决实际问题。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用自主学习、合作交流的教学方法，辅以多媒体教学手段，引导学生探究直角三角形三边之间的关系，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习效果。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出直角三角形三边之间的关系，激发学生的学习兴趣。
2.自主学习：让学生通过自主学习，理解并掌握直角三角形三边之间的关系。
3.合作交流：让学生分组讨论，共同探究直角三角形三边之间的关系，引导学生运用勾股定理的逆定理解决实际问题。
4.讲解与示范：对学生的探究结果进行讲解和示范，帮助学生进一步理解和掌握直角三角形三边之间的关系。
八年级数学上册 第14章 勾股定理 14.1 勾股定理(直角三角形三边的关系)教案1 华东师大版
6m16m10A 6直角三角形三边的关系课题名称直角三角形三边的关系〔勾股定理〕第1课时三维目标知识与能力：1、了解勾股定理的历史背景，体会勾股定理的探索过程；2、会用面积法证明勾股定理；3、能应用勾股定理进展简单的计算。
过程与方法：让学生经历用面积法、拼图法探索勾股定理的过程，体会数形结合的思想，渗透观察、归纳、猜测、验证的数学方法，体验从特殊到一般的逻辑推理过程。
情感态度与价值观：1、通过了解勾股定理的历史，激发学生热爱祖国，热爱祖国的悠久文化，鼓励学生发奋学习。
2、让学生体验自己努力得到结论的成就感，体验数学充满了探索和创造，感受数学之美，探究之趣。
重点目标 探索和证明勾股定理难点目标用拼图的方法证明勾股定理导入示标情景引入，示标导学：狂风将一根木制旗杆吹裂,随时都可能折断, 情况危急怎么办？〔动画展示出现问题〕:你能确定这个平安区域的半径吗?〔教师抓住某些学生的答复进展引导〕那么你能确定这个平安区域的半径至少是多少米吗？ 师：那么，在一个直角三角形中，两边的长度，能求出第三边的长度吗？师：接到热心市民的报警后，“119〞迅速赶到现场，决定从断裂处将旗杆折断。
现在需要划出一个平安戒备区域。
生：积极思考为消防员出谋划策。
建立数学模型：在一个直角三角形中,两边的长度,能求出第三边的长度吗?带着这样的问题，让我们一起进入“勾股定理〞的学习！学做思一：【活动1】：探究一“地砖里的秘密？〞2500年以前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯到朋友家作客时，仔细观了朋友家的地砖时，他发现了一个隐藏在地砖中的秘密，你能找学生观察发现到吗？相信自己通过仔细观察也能发现？目标三导预设问题，启发思考：问题：地砖是由一样的等腰直角三角形拼接而成的，每个直角三角形都相邻三个正方形，这三个正方形面积间有怎样的关系？思考计算，观察发现：蓝色正方形：〔〕蓝色正方形：〔〕绿色正方形：〔〕绿色正方形：〔〕黄色正方形：〔〕黄色正方形：〔〕【发现】：黄绿蓝SSS=+222ACBCAB=+平方和等于斜边的平方直角三角形直角边长的。
华东师大版数学八年级上册直角三角形三边的关系课件
探索：
图14.1.1是正方形瓷砖拼 成的地面，观察图中画出 的三个正方形P、Q、R, SR与SP、SQ 之间存在怎样的关系？
AR Q
CP B
图14.1.1
华东师大版数学八年级上册直角三角 形三边 的关系 课件
试一试
观察图14.1.2， 可得：
SP = 9 cm2 SQ = 16 cm2
SR = 25 cm2
SR与SP、SQ
之间存在怎 样的关系？
华东师大版数学八年级上册直角三角 形三边 的关系 课件
方法1
方法2
A R
Q
B P
C
（每个小方格的边长为1cm)
图14.1.2
华东师大版数学八年级上册直角三角 形三边 的关系 课件
方法一：
分割成若干个 直角边为整数 的三角形
SR
4 1 431 2
14.1.1直角三角形
三边的关系
情境引入：
2002年国际数学家大会在我国北京 召开，下图是本届数学家大会的会标：
会标中央的图案是我 国三国时期数学家赵爽 用来证明勾股定理的弦 图。
学习目标：
1、经历勾股定理的探索过程，体会数形 结合的思想。
2、会用拼图证明勾股定理。 3、理解直角三角形三边的关系，会应用
当堂测试：
１、如图:一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角
的顶点间加一个加固木板,则木板的长为 ( C )
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
华东师大版数学八年级上册直角三角 形三边 的关系 课件
３ ４
２、隔湖有两点A、Ｂ，从与ＢA方向成直
角 的BC方向上的大版数学八年级上册直角三角 形三边 的关系 课件
直角三角形三边的关系导学课件华东师大版八年级数学上册
2 22
2
(a＋b)2 c2＋2ab
整个图形面积等于不
,
2
2
重叠、无空隙的各组
即a2+b2=c2.
成部分的面积的和.
感悟新知
3-1. 如图， 写出字母所代表的正方形的面积：SA= 625 ______1，44SB= ______.
感悟新知
3-2. (1)观察图① ②并填写下表(图中每个小方格的边长为1).
图① 图②
A的 面积
16 4
B的 面积
9 9
C的 面积
25 13
感悟新知
(2)三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？ 解：三个正方形A，B，C的面积之间的关系为SA＋SB＝SC.
(3)三个正方形围成的一个直角三角形的三边长之间存在什 么关系？ 三个正方形围成的一个直角三角形的三边长之间的关 系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
感悟新知
解题秘方：紧扣“总体面积等于各部分面积之和” 进行验证. 方法点拨：通过拼图，利用求面积来验证，这种方 法以数形转换为指导思想，以图形拼补为手段，以 各部分面积之间的关系为依据而达到目的.
感悟新知
证明：由题知C′D′=a，AD′=b.
∵四边形BCC′D′为直角梯形，
∴ S 梯形BCC′D′=
方法
加菲尔 德总 统拼图
毕达哥 拉斯 拼图
图形
证明
设梯形的面积为S，则S= 1
(a+b)(a+b)= 1 a2+ 1 b2+ab.2又
1
12
S= ∴
2 ab+ 2 ab+ a2+b2=c2
1 2
c22=
1 2
华师大八年级数学上册《探索直角三角形三边的关系》课件
(4)由勾股定理可知：直角三角形的两条直角边上的正方形 的面积和等于斜边上的正方形的面积，故可以求得正方形 B 的 面积是 100－36＝64，所以边长是 8.
14.1.1 探索直角三角形三边的关系
[归纳总结] (1)勾股定理适用的前提条件是直角三角 形．(2)以直角三角形三边为边的三个正方形的面积 S1， S2，S3(S3>S2>S1)之间的关系：S1＋S2＝S3.
14.1.1 探索直角三角形三边的关系
探究问题二 应用勾股定理进行计算
例 2 已知在 Rt△ABC 中，AC＝15，BC＝8，求 AB 边的长． 解：在 Rt△ABC 中，斜边不确定，这就需要分情况讨论： 若 AB 是斜边，则 AB2＝AC2＋BC2＝152＋82＝289，从 而 AB＝17； 若 AB 不是斜边，由 AC＞BC，知 AC 为斜边，此时 AC2 ＝AB2＋BC2，即 AB2＝AC2－BC2＝152－82＝161，从而 AB ＝ 161. 综上所述，AB 边的长为 17 或 161.
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
最新华东师大初中数学八年级上册《14.1.1直角三角形三边的关系》PPT课件
AB AC2 BC2
5.412 2.162
C
B
4.9（6 米）.
图14.1.4
答：梯子上端A到墙的底边的垂直距离AB约为4.96米.
例3 如图,为了求出位于湖两岸的两点A、B之间的距离， 一个观测者在点C设桩，使三角形ABC 恰好为直角三角形。 通过测量，得到AC长为160米，BC长为128米，问从点A穿 过湖到点B有多远？
14.1.1直角三角形
三边的关系
一、情境引入ห้องสมุดไป่ตู้
2002年世界数学家大会在我国北京召开，下图是本届 数学家大会的会标：
会标中央的图案是赵爽弦图， 它与“勾股定理”有关，数学家曾建议 用“勾股定理”的图来作为与“外星人” 联系的信号.
B
a 朱实 c
C
A
黄实 b
朱实
朱实
朱实
赵爽·弦图
1.直角三角形三边之间的关系 试一试 测量你的两块直角三角尺的三边的长度,并将各边的长度填入下表：
公式变形
勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平
A 方和等于斜边的平方。
c2=a2 + b2
b
c
a2=c2－b2
b2 =c2-a2
C
a
a c2 b2
c a2 b2
B
例题分析 例1 .在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
(1) 已知：a=6，ｂ=8，求c； (2) 已知：a=40，c=41，求b； (3) 已知：c=13，b=5，求a； (4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.
A
R Q
SR
1 4 431
2
25 (cm2)
B
八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理14.1.1直角三角形三边的关系教案华东师大版
第14章勾股定理14．1 勾股定理14．1.1 直角三角形三边的关系1．体验勾股定理的探索．2．会用勾股定理求直角三角形的边长．重点用勾股定理求直角三角形的边长．难点用拼图法证明勾股定理．一、创设情境下图是我国三国时期数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图和希腊政府为纪念希腊历史上著名的数学家毕达哥拉斯而发行的一张邮票．观察这两个图形，你有什么感想？二、探究新知活动一：问题：如图所示是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三个正方形，回答下列问题：(1)设每个小正方形的边长为1个单位，则小正方形P的面积＝________，小正方形Q 的面积＝________，两者之和＝________，大正方形R的两积＝________.(2)你发现了什么？(3)你能把你的发现与△ABC的三边a，b，c联系起来吗？________________________________________________________________________ 活动二：观察下图，如果每一小方格表示1平方厘米，用观察到的结果填空：(1)正方形P的面积＝________平方厘米；正方形Q的面积＝________平方厘米；正方形R的面积＝________平方厘米；(2)正方形P，Q，R的面积之间的关系是________；(3)由此得到Rt△ABC的三边的长度之间存在关系________________________．活动三：在练习本上，用三角尺画出两条直角边分别为5 cm、12 cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系式对这个直角三角形是否成立．两条直角边的长为 6 cm 和8 cm呢？活动四：(1)根据你所得到的关系式，你能用数学语言把这个结论叙述出来吗？(2)运用此定理的前提条件是什么？(3)公式a2＋b2＝c2的变形公式有哪些？(4)由(3)知在直角三角形中，只要知道________条边，就可以利用________________求出________．三、练习巩固1．(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则AB＝________；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝25，AC＝20，则BC＝________；(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，它的两边长是6和8，则它的第三边长是________．2．如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15，求BC边上的高．四、小结与作业小结这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生发言的基础上，教师归纳总结．作业教材第117页习题14.1第1，2，3题．新课程标准对勾股定理这部分教学要求与旧大纲有所不同，新课程标准对勾股定理这部分的教学要求是：体验勾股定理的探索过程，会用勾股定理解决简单的实际问题．本节课教师从引导结构的图形入手，用面积法证明勾股定理难度不大，但面积法在教材中首次用到，基于此教师在教学过程中应给予适当的引导，让学生体会成功的快乐．。
课件华东师大版数学八年级上册14直角三角形 三边的关系ppt课件
3、（中考链接）已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，
AC＝３,则BC的长为 5 或 7 .
B
B
4
4
A 3 CC 3
A
我探索了… … 我感受了… …
我知道了… … c2=a2+b2
作业：
11
课本P117
习题14.1 第1、2题
1
1
数学的和谐美
一个周末的傍晚，伽菲尔德突然发现附近的一
个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，
对于任意直角三角形，如果两直角边分别为a、b,斜边为c，那么一定有
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
1、你会用弦图验证勾股定理吗？
4 米 C. 2、会用拼图证明勾股定理。
2 2 2 在直角三角形中,已知两边,可求第三边.
c a =c －b 1是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中画出的三个正方形P、Q、R,
的顶点间加一个加固木板,则木板的长为 ( C ) 请同学们用5分钟时间自学课本P110-P111 内容，并思考下列各题。
（每个小方格的边长为1cm) AB2 + BC2 = AC2
请同学们用5分钟时间自学课本P108-P109内容，并思考下列各题 。
10米 D.
A.3 米 B.4 米 只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直
典例赏析：
例1、在Rt△ABC中，∠B=90°，
AB=6，BC=8，求 AC。
C
解：根据勾股定理可得
AB2 + BC2 = AC2
∴ AC= AB2+BC2
= 62+82
A
=10
8 6B
在直角三角形中,已知两边,可求第三边.
华东师大版八年级上册数学课件 直角三角形三边的关系(二)
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14.1 勾股定理
第2课时 直角三角形三边的关系(二)
1．勾股定理的验证方法： ①通过测量进行验证；
②用____ 拼接的方法进行验证．
2．勾股定理的简单应用： 用勾股定理可以在已知直角三角形其中两边长度的条件下， 求出 第三边 的长度；或已知直角三角形的一边和另两边的
16．(10 分)如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB 为直角，已知滑 竿 AB 长 2.5 米， 顶端 A 在 AC 上运动， 量得滑竿下端 B 距 C 点的距离 为 1.5 米，当端点 B 向右移动 0.5 米时，求滑竿顶端 A 下滑多少米？
解：∵AB＝DE＝2.5，BC＝1.5，∠C＝90°，∴AC＝ 2.52－1.52 ＝2， ∵BD＝0.5， ∴在 Rt△ECD 中， CE＝ 2.52－（1.5＋0.5）2＝1.5， ∴AE＝AC－EC＝0.5，所以滑竿下滑了 0.5 米
14．(8 分)《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城 市道路上行驶速度不得超过 70 km/h.如图，一辆小汽车在一条城市道路 上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方 30 m 处， 过了 2 s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为 50 m．这辆小汽车超速 了吗？
解：这辆小汽车超速了．依题意得 AB＝50 m，AC＝30 m，由勾股 定理得 BC＝ AB2－AC2＝ 502－302＝40(m)．小汽车速度为 40÷2＝ 20(m/s)＝72(km/h)． ∵小汽车在城市道路上行驶速度不得超过 70 km/h， ∴这辆小汽车超速了
关系，常需列方程，设其中一边为x，
用含 x的代数式
表示出另一边．
1．(4分)利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能 证明数学中一个十分著名的定理， 勾股定理 ， 这个定理称为 该定理结论的数学表达式是 a2＋b2＝c2 ．
华师大版-数学-八年级上册-《直角三角形三边的关系》学案
§14.1直角三角形的三边关系【学习目标】1、掌握勾股定理的内容；2、会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
【重点】探索和验证勾股定理。
【难点】在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理。
【学前准备】学案、课件、布置学生预习。
导学流程设计【自主探究】探究1：如图1是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三个正方形，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P的面积＝平方厘米；正方形Q的面积＝平方厘米；正方形R的面积＝平方厘米；（1）根据P,Q,R面积之间的关系你能得到什么结论？（2）如果在一般的直角三角形中（1）中的结论还成立吗? 那你能否将你的思路与大家分享？并将它写下来。
探究2：在图3的方格图中，用三角尺画出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，验证上述关系对这个直角三角形是否成立，并用自己的语言总结你所得到的结论。
教师“复备”栏或学生笔记栏图2 图1（每一小格代表1平方厘米）图3【例题演练】如图4，将长为5米的梯子AC 斜靠在墙上，ＢＣ长为3米，求梯子上端A 到墙的底边的垂直距离ＡＢ．（精确到0.01米）图4 【反馈练习】1.在ABC Rt ∆，︒=∠===90,,,B b AC a BC c AB 且10,6==b a ，求c ？2.如图5的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，求正方形A 、 B 、 C 、 D 的面积和．图5 图63.如图6所示的直角梯形．伽菲尔德总统通过用两种不同的方法求直角梯形的面积，进而证出勾股定理，你能做到吗？挑战一下吧！教师“复备”栏或学生笔记栏。
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华东师大版八年级第十四章第二节直角三角形三边的关系 教案
三维教学目标
知识与技能：
经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，掌握勾股定理和它的简单应用。
过程与方法：
通过学生熟悉的几何拼图进一步理解勾股定理，学会简单的数学推理与数学说理。
情感态度与价值观：
在数学活动发展学生的探究意识和合作交流的习惯，激发学生学习的兴趣。
教学重点：勾股定理的简单应用。
教学难点：用几何拼图进一步理解勾股定理。
课堂导入
我们已经通过数格子的方法、计算面积的方法，发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需要加以论证，下面就是今天所要研究的内容。
教学过程
一、勾股定理的证明。
（1）下边请大家画四个全等的直角三角形，并把它剪下来，用这四个直角三角形拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边c 为边长的正方形。
（2）大正方形的面积可表示为什么？
如图1：①2)
(b a +②2421c ab +⋅显然2421)(c ab b a +⋅=+化简
，得到： 图
1 图
2 22222c ab b ab a +=++即 222c b a =+
这就可以从理论上说明了勾股定理存在。
二、勾股定理的简单应用
例2如图14.1.9，为了求出位于湖两岸的两点A 、 B 之间的距离，
一个观测者在点C 设桩，使三角形ＡＢＣ恰好为直角三角形．通
过测量，得到AC 长160米，ＢＣ长128米．问从点A 穿过湖到
点B 有多远? 图14.1.9
解 如图14.1.9，在直角三角形ＡＢＣ中，
AC ＝１６０米， ＢＣ＝１２８米，
根勾股定理可得
ＡＢ＝22BC AC -＝22128160-＝96（米）
． 答： 从点A 穿过湖到点B 有96米．
例3、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000 米处，过了 20 秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？
分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形。
如右图，图中△ABC 的∠C ＝90°，AC = 4000米，AB=5000 米欲求飞机每时飞行多少千米，
就要知道20 秒时间里飞行的路程，即图中的CB 的长，由于△ ABC 的斜边AB =5000米，AC= 4000 米，这样BC 就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算。
解：由勾股定理得
)(945222222千米=-=-=AC AB BC 即 BC=3千米
飞机 20秒飞行3 千米．那么它 l 小时飞行的距离为：
5403203600=⨯（千米／时）
答：飞机每小时飞行 540千米。
三、课堂练习
1. 如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边形ＡＢＣD 的面积与周长．（精确到0.1）
2. 假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图（如图），他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A 到宝藏埋藏点B 的直线距离是多少千米?
（第1题） （第2题）
答案：
1、 面积=25-1-4-3-4.5=12.5,周长=2313525+++
2、 108622=+千米 四、课堂小结
1、勾股定理的内容。
2、勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形就不能使用勾股定理。
课堂作业
1、 将图14.1.6沿中间的小正方形的对角线剪开，得到如图所示的梯形．利用此图的面积表示式验证勾股定理．
（第1题）
2、已知等腰直角三角形斜边的长为2cm ，求这个三角形的周长．
3、如下图，A 、B 两点都与平面镜相距4米，且A 、B 两点相距6米，一束光线由A 射向平面镜反射之后恰巧经过B 点.求B 点到入射点的距离.
答案：
1、 根据梯形面积的2种表示方法可得：
()()22
122121c ab b a b a +⨯⨯=++ 整理得：2
22c b a =+
2、 解：设等腰直角三角形的腰长为xcm,根据题意得： 2222=+x x ，解得：2=x 周长为：)(222222cm +=++
3、解：作出B 点关于CD 的对称点B ′，连结AB ′，交CD 于点O ，则O 点就是光的入射点.
因为B ′D =DB .
所以B ′D =AC .
∠B ′DO =∠OCA =90°
∠B ′=∠CAO
所以△B ′DO ≌△ACO (SSS )
则OC =OD =21AB =2
1×6=3米. 教学反思
运用勾股定理时要注意：
（1） 只有具备直角三角形这一条件，才可运用。
（2） 具体运用时要抓住斜边的平方等于两短边的平方和。