z反变换
第15讲 Z变换及逆Z变换
m
z)
令m n
X ( z) a m z m
m 1
a
m0
z m a 0 z 0 1 a m z m
m 0
z 当 1，即 z a 时收敛 a 1 a z X z 1 1 z az za 1 a
24
6.3
逆Z变换
•部分分式展开法 •幂级数展开法 •围线积分法——留数法
25
一．部分分式展开法
1．z变换式的一般形式
b0 b1 z b2 z 2 br 1 z r 1 br z r N (z) X (z) D( z ) a 0 a 1 z a 2 z 2 a k 1 z k 1 a k z k
n 0
n
1 1 两边，对 z 求导 1 1 z
1 n 1
1 n( z ) 1 2 ( 1 z ) n 0 两边同时乘以z-1 ，可得
L nu n nz
n 0
n
z ( z 1)2
z 1
9
同理可得
n u( n) n z
x ( n) a n u n
0 n
n1
X ( z) a n z n
n 0
a 1 n z a lim n a n 0 z 1 z
a 当 1，即 z a 时收敛 z
j Im( z )
z X z a za 1 z
6.1 概述
1
一．引言
本章主要讨论： Z变换的定义、收敛域、性质，
2
z变换的定义
用matlab绘制差分方程Z变换_反变换_zplane_residuez_tf2zp_zp2tf_tf2sos_sos2tf_幅相频谱等等
《数字信号处理》（一） 实验目的使用ztrans,iztrans 函数分别求出离散时间信号的Z 变换和Z 反变换的结果,并用pretty 函数进行结果美化。
编写函数时养成良好的注释习惯,有利于对函数的理解。
复习MATLAB 的基本应用，如：help,可以帮助查询相关的函数的使用方法,巩固理论知识中的离散时间信号的传递函数与二次项式之间的转换，以及使用zplane 函数画出相关系统的零极点分布图,根据零极点的分布情况估计系统的滤波特性。
（二） 程序的运行与截图实验项目一Z 变换（1）求)(])31()21[()(n u n x nn += Z 变换clear all;close all;clc;syms nf=0.5^n+(1/3)^n; %定义离散信号F=ztrans(f) %z 变换pretty(F); 运算结果F（2）4)(n n x = Z 变换clear all ;close all ;clc;syms nf=n^4; %定义离散信号F=ztrans(f) %Z 变换 pretty(F)运算结果（3）)sin()(b an n x += Z 变换clear all;close all;clc;syms a b nf = sin(a*n+b) %定义离散信号F=ztrans(f) %Z 变换pretty(F)运算结果实验项目二Z 反变换（1）2)2(2)(-=z z z X Z 反变换 clear all;close all;clc;syms k zFz=2*z/(z-2)^2; %定义Z 反变换表达式fk=iztrans(Fz,k) %Z 反变换pretty(fk);运算结果（2）12)1()(2++-=z z z z z X Z 反变换 clear all;close all;clc;syms k zFz=z*(z-1)/(z^2+2*z+1); %定义Z 反变换表达式fk=iztrans(Fz,k) %Z 反变换pretty(fk);运算结果f（3） 211cos 211)(---+-+=zz z z X ω Z 反变换 clear all;close all;clc;syms k z wFz=(1+z^(-1))/(1-2*z^-1*cos(w)+z^-2); %定义Z 反变换表达式 fk=iztrans(Fz,k) %Z 反变换pretty(fk);运算结果实验项目三各种模型之间的变换2)2)(1(10)(--=z z z z H =4851023-+-z z z z (1)clear all;close all;clc;b=[0 0 10 0];%分子的系数数组a=[1 -5 8 -4]; %分母的系数数组zplane(b,a)% 使用zplane 函数绘制如下系统的零极点分布图 运算结果(2)clear all ;close all ;clc;b=[0 0 10 0]; %分子的系数数组a=[1 -5 8 -4]; %分母的系数数组[r,p,c]=residuez(b,a) %使用matlab 中的residuez 函数，将)(z H 分解成为多个简单有理分式之和运算结果r =-15.00005.000010.0000p =2.00002.00001.0000c =(3)clear all;close all;clc;b=[0 0 10 0]; %分子的系数数组a=[1 -5 8 -4]; %分母的系数数组[z,p,k]=tf2zp(b,a) %使用tf2zp求出系统函数的零、极点和增益运算结果z =p =2.00002.00001.0000k =10(4)clear all;close all;clc;z=[1;-3];%零点,列向量p=[2; -4];%极点,列向量k=5; %增益[b,a] = zp2tf(z,p,k) %根据求出的零、极点和增益，然后自学使用zp2tf还原出分子和分母的系数运算结果(5)clear all ;close all ;clc;b=[0 0 10 0]; %分子的系数数组a=[1 -5 8 -4]; %分母的系数数组[sos,g]=tf2sos(b,a) %使用tf2sos 将系统函数分解成一系列二阶子系统的级联形式运算结果sos =0 1.0000 0 1.0000 -2.0000 0 0 1.0000 0 1.0000 -3.0000 2.0000g =10(6)clear all ;close all ;clc;sos=[0 1.0000 0 1.0000 -2.0000 0; 0 1.0000 0 1.0000 -3.0000 2.0000];g=10;%增益[b,a]=sos2tf(sos,g) %根据求出的一系列二阶子系统，使用sos2tf 还原出)(z H 分子和分母的系数运算结果b =0 0 10 0a =1 -5 8 -4(7)clear all;close all;clc;b=[0 0 10 0]; %分子的系数数组a=[1 -5 8 -4]; %分母的系数数组n=(0:500)*pi/500; %在pi范围内取501个采样点[h,w]=freqz(b,a,n);%求系统的频率响应subplot(2,1,1),plot(n/pi,abs(h));grid %作系统的幅度频响图axis([0,1,1.1*min(abs(h)),1.1*max(abs(h))]);ylabel(‘幅度’);subplot(2,1,2),plot(n/pi,angle(h));grid %作系统的相位频响图axis([0,1,1.1*min(angle(h)),1.1*max(angle(h))]);ylabel(‘相位’);xlabel(‘以pi为单位的频率’);运行结果2221)(232+++++=z z z z z z H (1)clear all ;close all ;clc;b=[0 1 1 1]; %分子的系数数组 a=[1 2 2 2]; %分母的系数数组 zplane(b,a)% 使用zplane 函数绘制如下系统的零极点分布图 运行结果(2)clear all ;close all ;clc;b=[0 1 1 1]; %分子的系数数组 a=[1 2 2 2]; %分母的系数数组[r,p,k]=residuez(b,a) %使用matlab 中的residuez 函数，将)(z H 分解成为多个简单有理分式之和 运行结果r =-0.4006 -0.0497 - 0.1609i -0.0497 + 0.1609ip =-1.5437-0.2282 + 1.1151i-0.2282 - 1.1151ik =0.5000(3)clear all;close all;clc;b=[0 1 1 1]; %分子的系数数组a=[1 2 2 2]; %分母的系数数组[z,p,k]=tf2zp(b,a) %使用tf2zp求出系统函数的零、极点和增益运行结果z =-0.5000 + 0.8660i-0.5000 - 0.8660ip =-1.5437-0.2282 + 1.1151i-0.2282 - 1.1151ik =1(4)clear all ;close all ;clc;z=[-0.5000 + 0.8660i-0.5000 - 0.8660i ];p=[-1.5437-0.2282 + 1.1151i-0.2282 - 1.1151i ];k=1;[b,a]=zp2tf(z,p,k) %根据求出的零、极点和增益，使用zp2tf 还原出)(z H 分子和分母的系数运行结果b =0 1.0000 1.0000 1.0000a =1.00002.0001 2.0001 1.9999(5)clear all;close all;clc;b=[0 1 1 1]; %分子的系数数组a=[1 2 2 2]; %分母的系数数组[sos,g]=tf2sos(b,a) %使用tf2sos将系统函数分解成一系列二阶子系统的级联形式运行结果sos =0 1.0000 0 1.0000 1.5437 01.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.4563 1.2956g =1(6)clear all;close all;clc;sos=[ 0 1.0000 0 1.0000 1.5437 0;1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.4563 1.2956];g=1;[b,a]=sos2tf(sos,g) %根据求出的一系列二阶子系统，自学使用sos2tf还原出(zH分子和分母的系数)运行结果b =0 1 1 1a =1.00002.0000 2.0000 2.0000(7)clear all;close all;clc;b=[0 1 1 1]; %分子的系数数组a=[1 2 2 2]; %分母的系数数组n=(0:500)*pi/500; %在pi范围内取501个采样点[h,w]=freqz(b,a,n);%求系统的频率响应subplot(2,1,1),plot(n/pi,abs(h));grid %作系统的幅度频响图axis([0,1,1.1*min(abs(h)),1.1*max(abs(h))]);ylabel('幅度');subplot(2,1,2),plot(n/pi,angle(h));grid %作系统的相位频响图axis([0,1,1.1*min(angle(h)),1.1*max(angle(h))]);ylabel('相位');xlabel('以pi为单位的频率');运行结果实验项目四根据零极点分布图估计系统的滤波特性。
Z变换
三、基本性质
1、线性定理
2、实位移定理
Z[e(t kT)] zkE(z)
Z[e(t
kT)]
z k E(z)
zk
k 1
e(nT)z
n
n0
3、复位移定理
Z[eate(t)] E(zeaT )
4、终值定理
若e() lime(nT)存在，则e() lim(z 1)E(z)
n
z1
当E(z)的所有极点在z域单位圆内时, e()存在。
Z 1[F (z)] f (t)
如图所示，3种不同的连续信号对应着同一个采 样信号序列。
换句话说，Z反变换唯一对应采样信号，但可对 应无穷多个连续信号。
六、Z反变换的求法
长除法（幂级数展开法） 部分分式法 留数法（反演积分法）
常用函数的Z变换
f (t)
F (s)
(t)
1(t )
t
t2 /2 e at
te at
sin t cos t
1
1
s
1 s2
1 s3
1 sa
1 (s a)2
s2 2
s
s2 2
F(z)
1
z z 1
zT ( z 1) 2
z ( z 1)T 2 2( z 1)3
z z eaT
zTe aT ( z eaT )2
z sin T z2 2z sin T 1
z2 z cosT z2 2z cosT 1
（有z 1的极点时仍可用终值定理求终值）
四、计算方法
（1）级数求和 将离散函数根据定义展开,然后逐项进行拉斯变换，
F
* (t)
=
f
(nt) (t
nT )
05第五讲 Z 反变 换
(1-66)
1 X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 , zm ] 2j c m
(1-67)
第2章 Z变换
Res［X(z)zn-1, zk ］表示函数F(z)=X(z)zn-1 在极点z=zk 上的留
数。 式(1-66)表示函数F(z)沿围线c反时针方向的积分等于F(z) 在围线c内部各极点的留数之和。式（1-67）说明，函数F(z)沿 围线c顺时针方向的积分等于F(z)在围线c外部各极点的留数之 和。由式（1-66）及式（1-67），可得
该积分路径c在半径为R的圆上，即 z=Rejθ Rx-<R<Rx+ 则
1 1 Rk k 1 k 1 j ( k 1) j c z dz 2j c R e d[Re ] 2 2j 1 0 k 0 k 0, k整数
e
jk
d
(1-65)
第2章 Z变换 这个积分公式（1-65）也称为柯西积分定律。因此
有三种： 围线积分法（留数法）、部分分式展开法和幂级数展 开法。
第2章 Z变换
2.洛朗级数 设复变函数f ( z )在圆环域R1 z z0 R2内处处解析， 则f ( z )一定能在此圆环域中展 开为洛朗级数: 1 f ( z) n f ( z ) Cn z z0 其中Cn C z z0 n1 dz, 2j n 而C为此圆环内绕z0的任意一简单闭曲线 。 1 特别是当n 1时 : C1 C f ( z )dz 2j
Rx | z | Rx
(1-63)
1 n 1 x ( n) c X ( z) z dz 2j
c ( Rx , Rx )
lesson6 Z变换的逆变换
X z 的收敛域内的一条环绕原点的积分围线。
3.留数定理法
xn X z z n 1dz 可用留数定 对于有理Z变换，围线积分 2 j C 理来计算。设在有限的Z平面上， ak , k 1,2,, N 是 X z z n1 1
在围线 C 内部的极点集， bk , k 1,2,, M 是 X z z n1 在围线 C 外部的极点集。根据柯西留数定理，有
X z A1 A2 1 2 z 1 1 0.5 z 1
2.部分分式展开法
(Partial Fraction Expansion)
例2.16 解(续)：其中
A1 X z 1 2 z
1
z 2
1 4 1 1 0.5 z z2 3 1 1 1 1 2 z z0.5 3
当 n 0 时，因为 X z z n1 在 C 外无极点，且 X z z n1 的分 母与分子多项式阶数之差为 2 n 1 1 n 2因为n为负值 ， 所以有 xn 0, n 0
最后得
1 a n 1 x n u n 1 a
1.幂级数法
解(续)：
1 4 z 1 7 z 2 1 2 z 1 z 2 4 z 1 z 2 4 z 1 8 z 2 4 z 3 7 z 2 4 z 3 7 z 2 14 z 3 7 z 4 10 z 3 7 z 4
A2 X z 1 0.5 z
1
z 0.5
即
1 4 1 X z 1 3 1 2 z 1 0.5 z 1
4 n 1 n 2 0.5 , x n 3 3 0, n0
基于matlab的Z变换与反Z变换
《数字信号处理》（一） 实验目的（二）使用ztr a n s,iztra n s 函数分别求出离散时间信号的Z 变换和Z 反变换的结果,并用pre t ty 函数进行结果美化。
编写函数时养成良好的注释习惯,有利于对函数的理解。
复习MA T L AB 的基本应用，如：help,可以帮助查询相关的函数的使用方法,巩固理论知识中的离散时间信号的传递函数与二次项式之间的转换，以及使用z p lane 函数画出相关系统的零极点分布图,根据零极点的分布情况估计系统的滤波特性。
（三） 程序的运行与截图实验项目一Z 变换（1）求)(])31()21[()(n u n x nn += Z 变换clear all;close all;clc;syms nf=0.5^n+(1/3)^n; %定义离散信号F=ztran s (f) %z 变换prett y (F); 运算结果F（2）4)(n n x = Z 变换clear all ;close all ;clc;syms nf=n^4; %定义离散信号F=ztran s (f) %Z 变换prett y (F)运算结果（3）)sin()(b an n x += Z 变换clear all;close all;clc;syms a b nf = sin(a*n+b) %定义离散信号F=ztran s (f) %Z 变换prett y (F)运算结果实验项目二Z 反变换（1）2)2(2)(-=z z z X Z 反变换 clear all;close all;clc;syms k zFz=2*z/(z-2)^2; %定义Z 反变换表达式fk=iztra n s(Fz,k) %Z 反变换prett y (fk);运算结果（2）12)1()(2++-=z z z z z X Z 反变换 clear all;close all;clc;syms k zFz=z*(z-1)/(z^2+2*z+1); %定义Z 反变换表达式fk=iztra n s(Fz,k) %Z 反变换prett y (fk);运算结果f（3） 211cos 211)(---+-+=z z z z X ω Z 反变换 clear all;close all;clc;syms k z wFz=(1+z^(-1))/(1-2*z^-1*cos(w)+z^-2); %定义Z 反变换表达式 fk=iztra n s(Fz,k) %Z 反变换prett y (fk);运算结果实验项目三各种模型之间的变换2)2)(1(10)(--=z z z z H =4851023-+-z z z z (1)clear all;close all;clc;b=[0 0 10 0];%分子的系数数组a=[1 -5 8 -4]; %分母的系数数组zplan e (b,a)% 使用zpl ane 函数绘制如下系统的零极点分布图 运算结果(2)clear all ;close all ;clc;b=[0 0 10 0]; %分子的系数数组a=[1 -5 8 -4]; %分母的系数数组[r,p,c]=resid u ez(b,a) %使用mat l ab 中的r esid u ez 函数，将分解成为)(z H 多个简单有理分式之和运算结果r =-15.00005.000010.0000p =2.00002.00001.0000c =(3)clearall;closeall;clc;b=[0 0 10 0]; %分子的系数数组a=[1 -5 8 -4]; %分母的系数数组[z,p,k]=tf2zp(b,a) %使用tf2z p求出系统函数的零、极点和增益运算结果z =p =2.00002.00001.0000k =10(4)clearall;closeall;clc;z=[1;-3];%零点,列向量p=[2; -4];%极点,列向量k=5; %增益[b,a] = zp2tf(z,p,k) %根据求出的零、极点和增益，然后自学使用zp2tf还原出分子和分母的系数运算结果(5)clearall;closeall;clc;b=[0 0 10 0]; %分子的系数数组a=[1 -5 8 -4]; %分母的系数数组[sos,g]=tf2sos(b,a) %使用tf2s os将系统函数分解成一系列二阶子系统的级联形式运算结果sos =0 1.0000 0 1.0000 -2.0000 00 1.0000 0 1.0000 -3.0000 2.0000g =10(6)clearall;closeall;clc;sos=[0 1.0000 0 1.0000 -2.0000 0;0 1.0000 0 1.0000 -3.0000 2.0000];g=10;%增益[b,a]=sos2tf(sos,g) %根据求出的一系列二阶子系统，使用sos2tf还原出分子和分)H母的系数(z运算结果b =0 0 10 0a =1 -5 8 -4(7)clearall;closeall;clc;b=[0 0 10 0]; %分子的系数数组a=[1 -5 8 -4]; %分母的系数数组n=(0:500)*pi/500; %在pi范围内取501个采样点[h,w]=freqz(b,a,n);%求系统的频率响应subplo t(2,1,1),plot(n/pi,abs(h));grid %作系统的幅度频响图axis([0,1,1.1*min(abs(h)),1.1*max(abs(h))]);ylabel(‘幅度’);subplo t(2,1,2),plot(n/pi,angle(h));grid %作系统的相位频响图axis([0,1,1.1*min(angle(h)),1.1*max(angle(h))]);ylabel(‘相位’);xlabel(‘以pi为单位的频率’);运行结果2221)(232+++++=z z z z z z H (1)clear all ;close all ;clc;b=[0 1 1 1]; %分子的系数数组a=[1 2 2 2]; %分母的系数数组zplan e (b,a)% 使用zpl a ne 函数绘制如下系统的零极点分布图 运行结果(2)clear all ;close all ;clc;b=[0 1 1 1]; %分子的系数数组a=[1 2 2 2]; %分母的系数数组[r,p,k]=resid u ez(b,a) %使用mat l ab 中的r esid u ez 函数，将分解成为)(z H 多个简单有理分式之和运行结果r =-0.4006-0.0497 - 0.1609i-0.0497 + 0.1609ip =-1.5437-0.2282 + 1.1151i-0.2282 - 1.1151ik =0.5000(3)clearall;closeall;clc;b=[0 1 1 1]; %分子的系数数组a=[1 2 2 2]; %分母的系数数组[z,p,k]=tf2zp(b,a) %使用tf2z p求出系统函数的零、极点和增益运行结果z =-0.5000 + 0.8660i-0.5000 - 0.8660ip =-1.5437-0.2282 + 1.1151i-0.2282 - 1.1151ik =1(4)clearall;closeall;clc;z=[-0.5000 + 0.8660i-0.5000 - 0.8660i];p=[-1.5437-0.2282 + 1.1151i -0.2282 - 1.1151i ];k=1;[b,a]=zp2tf (z,p,k) %根据求出的零、极点和增益，使用zp2t f 还原出)(z H 分子和分母的系数运行结果b =0 1.0000 1.0000 1.0000a =1.00002.0001 2.0001 1.9999(5)clear all ;close all ;clc;b=[0 1 1 1]; %分子的系数数组a=[1 2 2 2]; %分母的系数数组[sos,g]=tf2so s (b,a) %使用tf2s os 将系统函数分解成一系列二阶子系统的级联形式运行结果sos =0 1.0000 0 1.0000 1.5437 01.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.4563 1.2956g =1(6)clear all ;close all ;clc;sos=[ 0 1.0000 0 1.0000 1.5437 0;1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.4563 1.2956];g=1;[b,a]=sos2t f (sos,g) %根据求出的一系列二阶子系统，自学使用s o s2tf 还原出分子)(z H 和分母的系数运行结果b =0 1 1 1a =1.00002.0000 2.0000 2.0000(7)clearall;closeall;clc;b=[0 1 1 1]; %分子的系数数组a=[1 2 2 2]; %分母的系数数组n=(0:500)*pi/500; %在pi范围内取501个采样点[h,w]=freqz(b,a,n);%求系统的频率响应subplo t(2,1,1),plot(n/pi,abs(h));grid %作系统的幅度频响图axis([0,1,1.1*min(abs(h)),1.1*max(abs(h))]);ylabel('幅度');subplo t(2,1,2),plot(n/pi,angle(h));grid %作系统的相位频响图axis([0,1,1.1*min(angle(h)),1.1*max(angle(h))]);ylabel('相位');xlabel('以pi为单位的频率');运行结果实验项目四根据零极点分布图估计系统的滤波特性。
逆z变换
极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：
X (z)
A0
N k 1
Ak 1 zk z1
z max[ zk ]
N
则其逆Z变换为：x(n) A0 (n) Ak zknu(n)
k 1
说 明 ： a.X(z) 较 简 单 时 可 按 算 术 展 开 求 各 系 数
Ak(k=0,1…,N) 。
b.X(z) 较 复 杂 时 可 按 留 数 定 理 求 各 系 数
k 1,, s
3.围线积分法（留数法）
x(n) 1 X (z)zn1dz
2j c
式中C为收敛域中的一条逆时针环绕原点的闭合曲线。
若被积函数 X (z)zn1是有理分式，一般采用留数定理来计 算围线积分 。根据留数定理， x(n) 等于围线C内全部极 点留数之和，即:
x(n) Re s[X (z)zn1, ak ]
直接用长除法进行逆变换
X z xnz n n
（是一个z 的幂级数）
x(2)z2 x(1)z1 x(0)z0 x(1)z1 x(2)z2
级数的系数就是序列 xn
注意：
在用长除法将X（Z）展开成幂级数 形式之前，应先根据给定的收敛域 是圆外域还是圆内域，确定x（n） 是右边序列还是左边序列。
5z 3 4z 4
例1：
因为 X (z) x(0)z0 x(1)z 1 x(2)z 2
所以 xn 0, 1, 2, 3, 4, 因为长除结果无常数项，则x0 0。
例2：
X z z z
z2 2z 1 1 2z z2
z 1
z 2z2 3z3 4z4
1 2z z2 z z 2z2 z3
X(z)
N(z) D(z)
第3章 Z变换
n2
n
有限长序列的Z变换收敛域为有限z平面，而正幂
级数，存在一收敛半径Rx+，级数在以坐标原点 为中心，以Rx+为半径的圆内任何点绝对收敛。
3.1.4 左边序列的Z变换
如果Rx+为收敛域的最大半径，那么， 左边序列Z变换的收敛域为ROC：0<|z|< Rx+， 如图3-3“灰色”所示。如果n20，那么，式(3-8) 右端不存在第二项，这时，收敛域应包括z＝0， 即|z|< Rx+。
例题3-2
图3-6 x(n) ＝b ⁿu(n1) 的收敛域
例题3-3
求右边指数序列x(n)=a ⁿu(n)的Z变换X(z)及其 ROC。 解：x(n)实际上为因果序列， Z变换X(z)为
X ( z) Z[ x(n)] a u(n) z a z (az 1 ) n
3.1.1有限长序列的Z变换
图3-1 有限长序列及其收敛域图(n1<0，n2>0； z＝0，z＝ 除外)
3.1.2 右边序列的Z变换
当nn1时，x(n)有非零值，在n<n1时，x(n)＝ 0，即右边序列。
X ( z)
n n1
x ( n) z
n
n n1
x(n) z x(n) z n （3-6）
Z[ (n)] (n) z n 1 ； ROC： 0 | z |
n
故收敛域应是整个闭平面，即 ROC：0|z| 。 如图3-5。
例题3-1
图3-5 δ(n)的Z 变换收 敛域
例题3-2
求左边指数序列x(n)＝b ⁿu(n1)的Z变换X(z) 及其ROC。 解：左边序列的Z变换X(z)为
用matlab绘制差分方程Z变换-反变换-zplane-residuez-tf2zp-zp2tf-t
《数字信号处理》（一） 实验目的使用ztrans,iztrans 函数分别求出离散时间信号的Z 变换和Z 反变换的结果,并用pretty 函数进行结果美化。
编写函数时养成良好的注释习惯,有利于对函数的理解。
复习MATLAB 的基本应用，如：help,可以帮助查询相关的函数的使用方法,巩固理论知识中的离散时间信号的传递函数与二次项式之间的转换，以及使用zplane 函数画出相关系统的零极点分布图,根据零极点的分布情况估计系统的滤波特性。
（二） 程序的运行与截图实验项目一Z 变换（1）求)(])31()21[()(n u n x nn += Z 变换clear all;close all;clc;syms nf=0.5^n+(1/3)^n; %定义离散信号F=ztrans(f) %z 变换pretty(F); 运算结果F（2）4)(n n x = Z 变换clear all ;close all ;clc;syms nf=n^4; %定义离散信号F=ztrans(f) %Z 变换pretty(F)运算结果（3）)sin()(b an n x += Z 变换clear all;close all;clc;syms a b nf = sin(a*n+b) %定义离散信号F=ztrans(f) %Z 变换pretty(F)运算结果实验项目二Z 反变换（1）2)2(2)(-=z z z X Z 反变换 clear all;close all;clc;syms k zFz=2*z/(z-2)^2; %定义Z 反变换表达式fk=iztrans(Fz,k) %Z 反变换pretty(fk);运算结果（2）12)1()(2++-=z z z z z X Z 反变换 clear all;close all;clc;syms k zFz=z*(z-1)/(z^2+2*z+1); %定义Z 反变换表达式fk=iztrans(Fz,k) %Z 反变换pretty(fk);运算结果f（3） 211cos 211)(---+-+=zz z z X ω Z 反变换 clear all;close all;clc;syms k z wFz=(1+z^(-1))/(1-2*z^-1*cos(w)+z^-2); %定义Z 反变换表达式fk=iztrans(Fz,k) %Z 反变换pretty(fk);运算结果实验项目三各种模型之间的变换2)2)(1(10)(--=z z z z H =4851023-+-z z z z (1)clear all;close all;clc;b=[0 0 10 0];%分子的系数数组a=[1 -5 8 -4]; %分母的系数数组zplane(b,a)% 使用zplane 函数绘制如下系统的零极点分布图运算结果(2)clear all ;close all ;clc;b=[0 0 10 0]; %分子的系数数组a=[1 -5 8 -4]; %分母的系数数组[r,p,c]=residuez(b,a) %使用matlab 中的residuez 函数，将)(z H 分解成为多个简单有理分式之和运算结果r =-15.00005.000010.0000p =2.00002.00001.0000c =(3)clear all;close all;clc;b=[0 0 10 0]; %分子的系数数组a=[1 -5 8 -4]; %分母的系数数组[z,p,k]=tf2zp(b,a) %使用tf2zp求出系统函数的零、极点和增益运算结果z =p =2.00002.00001.0000k =10(4)clear all;close all;clc;z=[1;-3];%零点,列向量p=[2; -4];%极点,列向量k=5; %增益[b,a] = zp2tf(z,p,k) %根据求出的零、极点和增益，然后自学使用zp2tf还原出分子和分母的系数运算结果(5)clear all;close all;clc;b=[0 0 10 0]; %分子的系数数组a=[1 -5 8 -4]; %分母的系数数组[sos,g]=tf2sos(b,a) %使用tf2sos将系统函数分解成一系列二阶子系统的级联形式运算结果sos =0 1.0000 0 1.0000 -2.0000 00 1.0000 0 1.0000 -3.0000 2.0000g =10(6)clear all;close all;clc;sos=[0 1.0000 0 1.0000 -2.0000 0;0 1.0000 0 1.0000 -3.0000 2.0000];g=10;%增益[b,a]=sos2tf(sos,g) %根据求出的一系列二阶子系统，使用sos2tf还原出H分子和分母的系数)(z运算结果b =0 0 10 0a =1 -5 8 -4(7)clear all;close all;clc;b=[0 0 10 0]; %分子的系数数组a=[1 -5 8 -4]; %分母的系数数组n=(0:500)*pi/500; %在pi范围内取501个采样点[h,w]=freqz(b,a,n);%求系统的频率响应subplot(2,1,1),plot(n/pi,abs(h));grid %作系统的幅度频响图axis([0,1,1.1*min(abs(h)),1.1*max(abs(h))]);ylabel(‘幅度’);subplot(2,1,2),plot(n/pi,angle(h));grid %作系统的相位频响图axis([0,1,1.1*min(angle(h)),1.1*max(angle(h))]);ylabel(‘相位’);xlabel(‘以pi为单位的频率’);运行结果2221)(232+++++=z z z z z z H (1)clear all ;close all ;clc;b=[0 1 1 1]; %分子的系数数组a=[1 2 2 2]; %分母的系数数组zplane(b,a)% 使用zplane 函数绘制如下系统的零极点分布图运行结果(2)clear all ;close all ;clc;b=[0 1 1 1]; %分子的系数数组a=[1 2 2 2]; %分母的系数数组[r,p,k]=residuez(b,a) %使用matlab 中的residuez 函数，将)(z H 分解成为多个简单有理分式之和运行结果r =-0.4006-0.0497 - 0.1609i-0.0497 + 0.1609ip =-1.5437-0.2282 + 1.1151i-0.2282 - 1.1151ik =0.5000(3)clear all;close all;clc;b=[0 1 1 1]; %分子的系数数组a=[1 2 2 2]; %分母的系数数组[z,p,k]=tf2zp(b,a) %使用tf2zp求出系统函数的零、极点和增益运行结果z =-0.5000 + 0.8660i-0.5000 - 0.8660ip =-1.5437-0.2282 + 1.1151i-0.2282 - 1.1151ik =1(4)clear all;close all;clc;z=[-0.5000 + 0.8660i-0.5000 - 0.8660i];p=[-1.5437-0.2282 + 1.1151i-0.2282 - 1.1151i ];k=1;[b,a]=zp2tf(z,p,k) %根据求出的零、极点和增益，使用zp2tf 还原出)(z H 分子和分母的系数运行结果b =0 1.0000 1.0000 1.0000a =1.00002.0001 2.0001 1.9999(5)clear all ;close all ;clc;b=[0 1 1 1]; %分子的系数数组a=[1 2 2 2]; %分母的系数数组[sos,g]=tf2sos(b,a) %使用tf2sos 将系统函数分解成一系列二阶子系统的级联形式运行结果sos =0 1.0000 0 1.0000 1.5437 01.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.4563 1.2956g =1(6)clear all ;close all ;clc;sos=[ 0 1.0000 0 1.0000 1.5437 0;1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.4563 1.2956];g=1;[b,a]=sos2tf(sos,g) %根据求出的一系列二阶子系统，自学使用sos2tf 还原出)(z H 分子和分母的系数运行结果b =0 1 1 1a =1.00002.0000 2.0000 2.0000(7)clear all;close all;clc;b=[0 1 1 1]; %分子的系数数组a=[1 2 2 2]; %分母的系数数组n=(0:500)*pi/500; %在pi范围内取501个采样点[h,w]=freqz(b,a,n);%求系统的频率响应subplot(2,1,1),plot(n/pi,abs(h));grid %作系统的幅度频响图axis([0,1,1.1*min(abs(h)),1.1*max(abs(h))]);ylabel('幅度');subplot(2,1,2),plot(n/pi,angle(h));grid %作系统的相位频响图axis([0,1,1.1*min(angle(h)),1.1*max(angle(h))]);ylabel('相位');xlabel('以pi为单位的频率');运行结果实验项目四根据零极点分布图估计系统的滤波特性。
第2章--Z变换及Z传递函数
F(z)
z za
z z eaT
z sin T z2 2z cosT 1
z(z cosT ) z2 2z cosT 1
第2章 Z变换及Z传递函数
2.2 Z变换的性质和定理
1．线性定理 设a,a1,a2为任意常数，连续时间函数f(t),f1(t),f2(t) 的Z 变换分别为F(z),F1(z),F2(z)、及，则有
则：
fi (kT )
1
ai z z zi
i 1, 2, , n
n
f * (t) fi (kT) (t kT) k 0 i1
第2章 Z变换及Z传递函数
3．留数法
设已知Z变换函数F(z)，则可证明，F(z)的Z反变换 f(kT)值，可由下式计算
f (kT ) 1 F (z)
1
i0
则
G(z)
F(z) 1 z 1
7．初值定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
f (0) lim F(z) z
第2章 Z变换及Z传递函数
8．位移定理 设a为任意常数，连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
f (t)eat F(z eaT )
9．微分定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
G1 (z) G2 (z)
第2章 Z变换及Z传递函数
由上式可知，两个串联环节之间有同步采样开关隔开的 Z传递函数，等于每个环节Z传递函数的乘积。
在一般情况下，很容易证明：
G1G2 (z) G1 (z) G2 (z)
在进行计算时，应引起注意。
第2章 Z变换及Z传递函数
pi )F (z)zk1
n
f
(kT )
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z = z1
X ( z) =
由z变换对
K z K11 z K12 z + + ⋯ + 1m + K 0 z − z1 (z − z1 )m (z − z1 )m−1
z 1 ↔ n(n − 1)⋯(n − m + 2)a n −m+1ε (n ) m (m − 1)! (z − a )
n
取上式的反变换得
X ( z) Ki = ( z − zi ) z
n
z = zi
x( n) = K 0δ (n ) + ∑ K i ( z i ) ε (n )
n i =1
例子：
解：
z2 + z +1 X ( z) = 2 z + 3z + 2
求其原序列x(n)。
z 2 + z +1 z 2 + z +1 X (z ) = 2 = z + 3 z + 2 ( z + 1)( z + 2)
K1 = ( z + 1)
X (z ) z
= −1
2．X(z)仅含有重极点
设X(z)在z＝z1处有m阶极点，
X (z ) =
N (z ) (z − z1 )m
仿照拉氏反变换的方法， X(z)/z可展开为
K K K11 K12 X (z ) = + + ⋯ + 1m + 0 z z − z1 z (z − z1 )m (z − z1 )m−1
可以容易地得到上式的反变换。
z 例子： X (z = 2 (z − 1)
解：
2
求其原序列x(n)。
K11 K12 X (z ) z = = + 2 2 z (z − 1) (z − 1) z − 1
X (z ) z =1 = 1 z d 2 X (z ) K12 = (z − 1) z =1 = 1 dz z K11 = ( z − 1)
2
X (z ) =
z z + (z − 1)2 z − 1
z ↔ ε (n ) z −1
x(n ) = nε (n ) + ε (n ) = (n + 1)ε (n )
z ↔ nε (n ) 2 (z − 1)
１.X(z)仅含有一阶极点
n Kn K K1 K2 X (z ) K 0 = + + +⋯+ =∑ i z z z − z1 z − z 2 z − z n i =0 z − z i
上式两边同时程以z，得
Ki X (z ) = ∑ i =0 z − z i
确定系数Ki的方法与拉氏反变换中部分分式法一样，即
K K K X (z ) z 2 + z +1 = = 0+ 1 + 2 z z ( z + 1)( z + 2) z z +1 z + 2
K 0 = X ( z ) z =0 = 1 2
z = −1
X (z ) z = −1 = 1.5 z 1 z 1.5 z X ( z) = − + 2 z +1 z + 2 1 n x( n) = δ (n ) − (−1) n ε (n ) + 1.5 ⋅ (− 2 ) ε (n ) 2 K 2 = (z + 2)
5．3部分分式法求逆Z变换
部分分式展开法
N ( z ) bm z m + bm−1 z m−1 + ⋯ + b1 z + b0 X ( z) = = D ( z ) an z n + an−1 z n−1 + ⋯ + a1 z + a0
为了方便，可以先将X(z)/z展开成部分分 式，然后再对每个分式乘以z。这样做不 但m=n的情况可直接展开，而且展开的基 本分式为Kz/(z-zi)的形式，所对应的序列 为K(zi)nε(n)。