微分方程的幂级数解法
第八章线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数
k (k 1) 2k l (l 1)ck x k 0
k (k 1) l (l 1) (k l )(k l 1)
↓
x k 的系数： (k 2)(k 1)ck 2 (k l )(k l 1)ck 0 (k 0,1,2… )
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第八章
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4)讨论：解在 x 1上是绝对且一致收敛的，在物理上需要考虑 x 1处的收敛问题，P151具体论证了y0(x)在x=1发散
y0 ( x)及y1 ( x)在x 1都发散 . 所以,要求 y x1 有限值,是数学问题有物理意义的必然要求. ，y0(x)退化为l=2n次多项式, y1(x) l 2n
(k l )(k l 1) ck (k 2)(k 1)
第八章 6
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(2k 2 l )(2k 1 l ) c2k c2( k 1) 2k (2k 1)
(2k 2 l )(2k 4 l ) (2 l )(l )(l 1)(l 3) (l 2k 1) c0 (2k )!
• 1常点邻域方程的级数解
• 2勒让德方程
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第八章
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1常点邻域方程的级数解
方程的一般形式
y( x) p( x) y( x) q( x) y( x) 0
定解条件：
(8.1) （8.2）
y( x0 ) c0 , y( x0 ) c1,
为应用解析函数理论设p(z)、q(z)、y(z)是分别由p(x)、q(x)、 y(x)唯一确定的复变函数.为了书写方便变量仍记作x.
均在 上解析，故 x0 0 是方程的常点 x 1
常微分方程的常见解法
实例解析
实例1
求解一阶线性常微分方程 $y' + p(x)y = q(x)$，通过引入参数 $lambda$，可以将方程转化为 $lambda y = q(x)$，从而简化求解过程。
实例2
求解二阶常微分方程 $y'' + y' + y = 0$，通过引入参数 $lambda$，可以将方程转化为 $lambda^2 + lambda + 1 = 0$，从而求解出 $lambda$ 的值，进一步得到原方程的解。
当 (M(x)) 和 (N(x)) 均为非零函数时，该方法适用。
实例解析
1. 确定积分因子
选择积分因子为 (e^x)
5. 解出原方程
将 (e^x y = frac{1}{3} e^{3x} + C) 代入 原方程，解得 (y = frac{1}{3} x^2 + Ce^{-x})
4. 解方程
对两边积分，得到 (e^x y = frac{1}{3} e^{3x} + C)
04 积分因子法
定义与特点
定义
积分因子法是一种通过引入一个因子来简化微分方程的方法。
特点
通过乘以一个适当的因子，可以将微分方程转化为可分离变量的形式，从而简化求解过程。
适用范围
适用于形如 (M(x)y' + N(x)y = f(x)) 的线性微分方程，其中 (M(x)) 和 (N(x)) 是 已知函数，(f(x)) 是给定的函数。
实例2
考虑一阶常微分方程 (dy/dx = xy)，其中 (x > 0) 且 (y > 0)。通过分离变量法， 我们可以得到 (dy/y = xdx)，进一步求解得到 (ln|y| = frac{1}{2}x^2 + C)，其 中 (C) 是积分常数。
函数的幂级数展开式的应用
常用方法: 常用方法 1.若余项是交错级数 则可用余项的首项来解决 若余项是交错级数,则可用余项的首项来解决 若余项是交错级数 则可用余项的首项来解决; 2.若不是交错级数 则放大余项中的各项 使之成 若不是交错级数,则放大余项中的各项 若不是交错级数 则放大余项中的各项,使之成 为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和 从而求出其和. 为等比级数或其它易求和的级数 从而求出其和 例1 计算 的近似值 使其误差不超过 −5. e , 10 解
1 2 1 n ∵ e = 1 + x + x + ⋯ + x + ⋯, 2! n!
x
令 x = 1,
1 1 得 e ≈ 1+ 1+ +⋯+ , 2! n!
余项: 余项
rn +1 1 1 1 1 = + +⋯ = (1 + + ⋯) ( n + 1)! ( n + 2)! ( n + 1)! n+ 2 1 1 1 1 (1 + ≤ + + ⋯) = ( n + 1)! n + 1 ( n + 1) 2 n ⋅ n!
−5
欲使 rn + 1 ≤ 10
即 n ⋅ n! ≥ 10 5 ,
1 ≤ 10 − 5 , ,只要 n ⋅ n!
而 8 ⋅ 8! = 322560 > 10 5 ,
1 1 1 ∴e ≈ 1+ 1+ + +⋯+ ≈ 2.71828 2! 3! 8!
x3 例2 利用sin x ≈ x − 计算sin90的近似值 , 3! . 并估计误差 π 1 π 3 π 0 解
求解微分方程的常用方法
求解微分方程的常用方法微分方程是数学的一个重要领域，在各个科学领域中都有着广泛的应用。
求解微分方程是解决实际问题的重要方法之一。
本文将介绍一些求解微分方程的常用方法。
一、解析解法解析解法是指用变量分离、母函数法、变量代换等方法，将微分方程转化为一些已知函数的方程，从而求得方程的解。
变量分离法是一种常见的解析解法。
对于形如y'=f(x)g(y)的微分方程，可以将其变为dy/g(y)=f(x)dx的形式，进而通过积分得到y的解。
母函数法是将微分方程变成一个恒等式的形式，从而求出微分方程的通解。
变量代换法则是通过适当的变量代换，使微分方程变为已知形式的微分方程，进而求出其解。
二、初值问题法初值问题法通常用于求解一阶微分方程的初值问题。
该方法的基本思路是先求得微分方程的通解，然后利用给定的初始条件（即初值），确定通解中的任意常数，从而得到特解。
三、数值解法数值解法是指将微分方程转化为一个差分方程，利用数值方法求得近似解。
数值解法的基本思路是将区间分为若干小段，然后在每一小段上通过近似计算求得微分方程的解。
常用的数值方法包括欧拉法、梯形法、龙格-库塔法等。
这些方法的特点是简单易实现，但对于复杂的微分方程而言，计算量较大，精度也有限。
四、级数解法级数解法是将微分方程的解表示为幂级数的形式，从而求解微分方程。
这种方法的思路是假设微分方程的解为幂级数的形式，然后代入微分方程得到一组关于幂级数系数的递推公式，进而求得幂级数的系数，并由此得出微分方程的解。
五、特殊函数解法特殊函数解法是指利用已知的特殊函数求解微分方程。
一些常见的特殊函数包括贝塞尔函数、连带勒让德函数、超几何函数等。
这些特殊函数有着特殊的性质，可以用于求解某些类型的微分方程。
例如，我们可以用贝塞尔函数求解振动问题中的一些微分方程。
六、变分法变分法是一种通过变分原理，求解微分方程的方法。
变分法需要通过变分原理，利用根据函数微小变化的变分量所对应的增量来导出微分方程的一些重要性质。
高数-微分方程总结
3
(3) 一阶线性微分方程
形如 dy P( x) y Q( x) dx
当Q( x) 0,
上方程称为齐次的．
当Q(x) 0,
上方程称为非齐次的.
解法 齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
（使用分离变量法）
4
非齐次微分方程的通解为
y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
y x
C x2
,
所求通解为 xy cos y C . x
23
4
例2 求通解 xy 2 y 3 x3 y3 .
解
原式可化为
y
2
y
3x2
4
y3,
伯努利方程
x
即
4
y3
y
2
1
y3
3x2,
x
令
z
1
y 3,
原式变为 3z 2 z 3x2 ,
x
即 z 2 z x2 , 一阶线性非齐方程 3x
2
(1) f ( x) ex Pm ( x) 型
0 不是根 设 y x kexQm ( x) , k 1 是单根 ,
2 是重根
18
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn( x)sinx] 型
设
y
x
k
e
x
[
R(1) m
(
x
)
cosx
R(2 m
)
(
x
)
sin
x
],
其中
R(1) m
对应的齐次方程的通解为 Y (C1 C2 x)e x . 设原方程的特解为 y* x2(ax b)e x , 则 ( y* ) [ax3 (3a b) x2 2bx]e x , ( y* ) [ax3 (6a b)x2 (6a 4b)x 2b]e x ,
高阶方程的降阶和幂级数解法可降阶的一些方程类型阶
§4.3 高阶方程的降阶和幂级数解法4.3.1 可降阶的一些方程类型 n 阶微分方程一般地可写为()(,,,,)0n F t x x x '=下面讨论三类特殊方程的降阶问题：1）方程不显含未知函数x ，或更一般地，设方程不含(1),,,k x x x -'，即方程呈形状：()(1)()(,,,,)0k k n F t x x x += (1)k n ≤≤ （4.57）若令()k x y =，则方程即降为关于y 的n k -阶方程()(,,,,)0n k F t y y y -'= （4.58）如果能够求得方程（4.58）的通解12(,,,,)n k y t c c c ϕ-=即 ()12(,,,,)k n k x t c c c ϕ-=再经过k 次积分得到12(,,,,)n x t c c c ψ=其中12,,,n c c c 为任意常数。
可以验证，这就是方程（4.57）的通解。
特别地，若二阶方程不显含x （相当于2n =，1k =的情形）。
则用变换x y '=便把方程化为一阶方程。
例1 求方程545410d x d xdt t dt-=的解。
解 令44d xy dt=，则方程化为10dy y dx t-= 这是一阶方程，积分后得y ct =，即44d xct dt=，于是53212345x c t c t c t c t c =++++其中125,,,c c c 为任意常数，这就是原方程的通解。
2）不显含自变量t 的方程()(,,,)0n F x x x '= （4.59）我们指出，若令x y '=，并以它为新未知函数，而视x 为新自变量，则方程就可降低一阶。
事实上，在所作假定下，x y '=，dy dy dy x x y dt dx dx'''===，2222dy d y x y y dx dx ⎛⎫'''=+ ⎪⎝⎭，…，采用数学归纳法不难证明，可用表出（k n ≤）。
常微分方程
确
较(
为输 对 ( ) 块 (Module) ).
4. 选 题:
Airy
y’’-x y=0 (
Mathematica
.)
论 应 ) Airy
满 图, 试 总结
y’’+ sin(x) y=x
间
.(
幂级
ＮＤＳｏｌeqｖnsｅ ，y， x，xmin，xmax ， t，tmin，tmax 求解函数 y 的偏微分方程 eqns 的数值解
ＮＤＳｏｌeqｖnsｅ ， y1，y2，… ， x，xmin，xmax 求解函数 yi 的常微分方程组eqns的数值解
ｅｑｎ：ｓｙ＇ ｘ ｙ ｘ ｘ或 Ｄ ｙ ｘ ，ｘ ｙ ｘ ｘ
问题
y ' x f x, y y 0 y0, 0 x 1
值.
f x, y x2 y2. f x_, y_ : x2 y2; x BesselJ 5 , x2
42
g x_ :
1 BesselJ
x
2 BesselJ
1 , x2
42
1 , x2
42
x BesselJ 3 , x2
42
;
Euler
几何意义 ：
2h
1
yi
xi 12
;
4 h2
h
Show Plot g x , x, 0, 1 , ListPlot Transpose x, y y n 1 g 1.0
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0692968
.nb 5
6
一般非线性微分方程的解法及应用
一般非线性微分方程的解法及应用非线性微分方程（Nonlinear Differential Equations）是微积分中的重要课题。
与线性微分方程不同，非线性微分方程由于其非线性性质，无法被直接解出。
在此篇文章中，我们将会讨论一般非线性微分方程的解法和应用。
一、解法1.变系数法变系数法（变参法）是一种基于给出非线性微分方程（NDE）通解，并利用边界条件解出一般解的方法。
现在，我们尝试用变系数法解决以y为未知函数y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)的非线性微分方程。
步骤如下：(1) 先解出对应的线性齐次方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的通解，例如:$$y=c_1y_1+c_2y_2$$（其中c1和c2是常数，y1和y2是两个线性无关的特解）(2) 在此基础上拟定向非线性微分方程g(x)所对应的一个特解y0(x)，(3) 将此特解代入非齐次微分方程中，得到特殊解y(x)，即为非线性微分方程的解。
例如：设通解为y=c1y1+c2y2, 特解为y0,带入方程得到:y'' + p(x)y'+ q(x)y = g(x)y0'' + p(x)y0' + q(x)y0 = g(x) - y1''-p(x)y1'-q(x)y1由于y1是齐次方程的解，所以原方程可以化为齐次的：y'' + p(x)y' + q(x)y = 0利用常数变易法，可将y0解出。
则该微分方程的最终通解为y=c1y1+c2y2+y02. 可积的非线性微分方程可积的非线性微分方程是一种特殊的非线性微分方程，可以通过直接积分或某些变换使其解出。
例如：y'+a(x)y+b(x)y^3=0若a(x)和b(x)是连续的函数，则该微分方程为可积的。
可将该方程变形为1/2d/dx(y^2)+a(x)y^2=0则原微分方程的解为：$$y(x)=\sqrt{\frac{-2\int a(x)dx+c}{b(x)}}$$（其中c是常数，与初始条件有关）3.级数法级数法（常微分方程级数解）是利用幂级数解法求解非线性微分方程的方法。
12-5函数的幂级数展开式的应用
比较恒等式两端x的同次幂的系数, 得
a1 0,
a2
1, 2
a3
0,
a4
0,
a5
1 ,L 20
,
所求解的展开式的前几项为 y 1 x2 1 x5 L . 2 20
注： 无初始条件求解，可设 y C an xn
n1
(C是任意常数)
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3
例1 计算e的近似值,使其误差不超过105.
解： Q ex 1 x 1 x2 L 1 xn L , x (, )
2!
n!
令 x 1, 得 e 11 1 L 1 1 L ,
2!
(n 1)! n!
若以sn 作为e的近似值，则误差为
2!
(2n)!
i(x 1 x3 L (1)n x2n1 L )
3!
(2n 1)!
ei x cos x i sin x ——欧拉公式
e xi y e x (cos y i sin y)
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ei x cos x i sin x
3、欧拉公式
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3! 5!
(2n 1)!
cos x 1 x2 x4 L (1)n x2n L ,
2! 4!
(2n)!
( x )
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由e x的幂级数展开式
eix 1 ix 1 (ix)2 L 1 (ix)n L
2!
n!
(1 1 x2 L (1)n x2n L )
幂级数在函数领域的应用
幂级数在函数领域的应用赵青波（三门峡职业技术学院公共教学部，河南三门峡472000）摘要:幂级数是数学领域中的一种基础知识，同时也是数学计算中的一种重要“工具”，其在函数领域中有着较为广泛的应用，如在复变函数等领域中。
幂级数在函数领域中的应用决定了其在函数计算等过程中的重要性，一般来说，运用幂级数求函数的高阶导数、求数值级数的和、应用在近似计算中、应用在微分方程的解法、。
在数学解题过程中，通过把握幂级数在函数应用中的关键点，也能够起到事半功倍的作用，本论文通过分析幂级数在函数中具体应用的基础上，阐述幂级数在函数中应用的关键点，以此来多方位的展示出幂级数的在函数中的应用。
关键词：幂级数；函数；应用引言幂级数在函数中的应用是数学计算中解决函数问题的一种有效思路，同时也能够为函数类型题的计算提供一种“捷径”，通过对幂级数的性质进行分析，能够观察到，幂级数与函数之间存在着关联性，这也是幂级数作为函数解题“工具”的基础。
如幂级数是函数函数项级数中最基本的一类，在幂级数的收敛域上与函数之间存在的明确的关联性，在收敛域上函数项级数的和是x的函数，称为函数项级数的和函数。
本文通过对幂级数概念与性质的阐述，结合具体的解题思路，对幂级数与函数的应用进行分析。
一、幂级数概述幂级数是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。
以幂级数常见的三个性质为例，以下进行阐述。
1.∑an xn在|x|＜R内绝对收敛，在|x|＞R内发散，其中R称n=a为收敛半径，此时再根据Hadamard公式进行相应计算。
2.如果函数S（x）是收敛域（-a,a）上的连续函数，则S（x）在x=a 左连续。
3.在收敛半径（-a,a）的范围内，幂级数可以任意次逐项求导或者求和，并且产生的新的幂级数的收敛半径不变。
二、幂级数在函数中的具体应用（一）利用幂级数求函数的高阶导数在常规数学计算中，将幂级数运用到求函数的高阶导数中，不仅能够降低计算的复杂性，也能够提高计算结果的准确性。