第一类曲面积分换元
《数学分析》(2)复习多元函数积分解读
数学分析（2）——多元函数积分学
四、第一类曲面积分的计算 计算方法：一投、二代、三变换
若曲面 : z z(x, y)
则 f ( x, y, z)dS
f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy;
Dxy
类似还有两个公式.
练习
数学分析（2）——多元函数积分学
1. 计算 ( x y z)dS
S
其中为上半球面z R2 x 2 y2 .
2. 计算 ( x2 y2 z)dS, 为立体 x2 y2 z 1的边界.
数学分析（2）——多元函数积分学
五、第二类曲线积分的计算 格林公式
1.基本方法： 由积分曲线的表达式确定定积分的积分变量， 将积分曲线代入被积表达式， 定积分定限：起点对应下限，终点对应上限.
《数学分析》（2）复习
★ 多元函数积分学 ★
（课本 ch19,ch20,ch21,ch22）
考试要求
数学分析（2）——多元函数积分学
1.二重积分的计算（直角坐标，极坐标），二次积 分交换积分次序，三重积分的计算（直角坐标，柱面坐 标，球面坐标），利用对称性计算重积分
2.第一类曲线积分与第一类曲面积分的计算
2.利用格林公式
Q P
L
Pdx
Qdy
(
D
x
y
)dxdy
其中 L 是 D 的整个正向边界曲线.
技巧：不闭则补，出奇则挖
3.利用曲线积分与路径无关的条件
练习
数学分析（2）——多元函数积分学
1.已知 L 为圆周 x2y22y 上从原点 O 按逆时针方向到点 A(0,2) 的圆弧, 计算
I (ey sin x y)dx (1 ey cos x)dy. L
曲面积分计算技巧
曲面积分计算技巧曲面积分计算技巧总结引言曲面积分是数学中的一个重要概念，常应用于计算曲面上某种物理量的总量。
本文将介绍曲面积分的基本概念，并详细说明各种计算技巧。
曲面积分的基本概念曲面积分是对曲面上某个标量或矢量场进行积分运算的方法。
曲面积分可以分为两类：第一类是曲面上某个标量场的积分（记作∬S f(x,y,z) dS），第二类是曲面上某个矢量场的积分（记作∬SF(x,y,z)·dS）。
曲面积分的计算技巧计算第一类曲面积分1.选择合适的参数化表达式：对给定的曲面进行参数化，将曲面上的每个点表示为参数的函数形式，方便后续积分计算。
2.确定面积元素向量：计算参数化表达式对应曲面上的面积元素向量dS，也就是曲面上面积微元的大小和方向。
3.求解积分：将被积函数表示为参数的函数形式，并将之前得到的面积元素向量代入公式进行计算。
计算第二类曲面积分1.选择合适的参数化表达式：同第一类曲面积分一样，需要对曲面进行参数化处理。
2.确定曲面法向量：通过计算曲面上每个点对应的法向量n，用来确定曲面元素的方向。
3.求解积分：将被积函数表示为参数的函数形式，并将之前得到的曲面法向量代入公式进行计算。
其他常用技巧1.使用对称性简化计算：如果曲面具有对称性，可以利用对称性简化曲面积分的计算过程。
2.参考标准公式：对于常见的曲面，可以参考标准公式进行计算，避免重复计算。
3.使用数值计算：对于复杂的曲面和积分函数，可以使用数值计算方法来求解曲面积分近似值。
结论本文介绍了曲面积分的基本概念和计算技巧，包括计算第一类曲面积分和第二类曲面积分的方法，以及常用的简化计算和数值计算技巧。
掌握这些技巧能够帮助我们更高效地计算曲面积分，应用于更广泛的领域中。
补充材料和进一步学习1.对于更深入的了解曲面积分的概念和计算技巧，可以参考高等数学教材中相关章节。
2.在学习过程中，可以通过做一些习题来巩固对曲面积分的掌握。
3.了解更多数学科学知识和应用领域可以扩展你的知识广度。
9.4 第一类曲面(对面积的)积分
M = ∫∫ f ( x, y , z )dS
S
当积分曲面是封闭曲面时,常记 当积分曲面是封闭曲面时 常记
f ( x, y, z)dS ∫∫
S
9.4.2 第一类曲面积分的计算法
按照曲面的不同情况分为以下三种： 按照曲面的不同情况分为以下三种：
1. 若曲面Σ :
则
Σ
z = z( x, y)
∫∫ f ( x , y , z )dS
Σ
2 2 其中 Σ 为抛物面 z = x + y （0 ≤ z ≤ 1）.
依对称性知： 解 依对称性知：
z
抛物面 z = x 2 + y 2 轴对称， 关于z轴对称，
被积函数| xyz |关于 xoz 、 yoz 坐标面对称
y
x
为第一卦限部分曲面) 有 ∫∫ = 4 ∫∫ 成立，( Σ 1为第一卦限部分曲面
∫∫ f ( x, y, z)dS =∫∫ f ( x, y, z)dS +∫∫ f ( x, y, z)dS. Σ Σ Σ
1 2
Remark: (1)当曲面 Σ 为光滑或分片光滑曲面片 当曲面 为光滑或分片光滑曲面片,f(x,y,z)在Σ 在 续时,f(x,y,z)在 Σ 上必可积 以下恒设此 条 上必可积,以下恒设此 以下恒设此2条 上连 续时 在 件满足. 件满足 (2)第一类曲面积分有如定积分类似的性质 从略 第一类曲面积分有如定积分类似的性质,从略 第一类曲面积分有如定积分类似的性质 从略. (3)第一类曲面积分的物理意义 曲面的质量 第一类曲面积分的物理意义:曲面的质量 第一类曲面积分的物理意义
Σ Σ1
dS = 1 + z ′x 2 + z ′y 2 dxdy
第一型曲面积分的计算方法
第一型曲面积分的计算方法嘿，咱今儿就来聊聊这第一型曲面积分的计算方法哈！你说这玩意儿，就像是个调皮的小精灵，得好好捉摸才能搞定它呢！咱先来说说这第一型曲面积分到底是啥呀？其实啊，它就是在曲面上计算某种量的积分。
就好像你要在一个弯弯曲曲的表面上算算有多少东西在那呢。
那怎么算呢？这可有不少门道呢！首先呢，你得把那曲面给表示出来，这就跟给小精灵画个画像似的，得画得清楚明白。
然后呢，根据具体的情况，选择合适的方法。
比如说，要是那曲面比较规则，咱就可以用投影的方法呀。
就好比把那曲面的影子投到一个平面上，在平面上算积分，这多巧妙呀！你想想，这不就像你把一个立体的东西压扁了在平面上看一样嘛。
还有啊，有时候可以利用对称性来简化计算呢。
这就好比你有一堆东西，两边对称，那你只算一边不就完事儿了嘛，多省事儿呀！再比如说，遇到那种特别复杂的曲面，咱就得动点小脑筋，把它分成几块来算，一块一块地啃下来，这就跟吃一个大蛋糕，一口一口地吃是一个道理嘛。
哎呀，这计算第一型曲面积分啊，真的是既有趣又有挑战性。
你得像个探险家似的，在那一堆公式和概念里找线索，找方法。
有时候可能会遇到难题，就像在森林里迷路了一样，但别着急呀，慢慢摸索，总会找到出路的。
而且呀，这第一型曲面积分在好多领域都有用呢！比如物理学呀，工程学呀，那可都少不了它呢！你想想，要是没有它，那些复杂的物理现象和工程问题咋解决呀？总之呢，这第一型曲面积分的计算方法就像是一把钥匙，能打开好多知识的大门。
咱可得好好掌握它，让它为咱服务呀！可别小瞧了它，它的用处大着呢！你要是学会了，那可就牛啦！就像掌握了一门绝世武功一样，能在知识的江湖里闯荡一番呢！怎么样，是不是觉得很有意思呀？赶紧去试试吧！。
曲线曲面积分公式总结
曲线曲面积分公式总结
以下是曲线曲面积分的一些基本公式：
1. 曲线积分公式：
- 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：∫(L) f(x,y) ds = ∫(a) (b)
f(x,y)√[(dx)^2 + (dy)^2]。
- 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：∫(L) P(x,y) dx + Q(x,y) dy = ∫(a) (b) [∫(L1) P(x,y) dx + Q(x,y) dy] dσ。
2. 曲面积分公式：
- 第一类曲面积分（对面积的曲面积分）：∫∫(Σ) f(x,y,z) dS。
- 第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）：∫∫(Σ) P(x,y,z) dydz + Q(x,y,z) dzdx + R(x,y,z) dxdy。
其中，f(x,y,z)、P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z) 是定义在曲面Σ 上的函数，Σ 是积分曲面，L 是积分曲线，a、b 是积分上下限，dS 是面积元，ds 是线段元，dxdy、dydz、dzdx 是面元。
这些公式是积分学中的基本公式，也是解决复杂积分问题的关键。
对于具体的问题，需要选择合适的积分公式和计算方法。
第一类曲线积分
上有界. 将 L 任意分成 n 个小弧段，设分点为
A0 , A1 ,, An . 记第 i 个小弧段Ai 1 Ai的长度为 s （ , 记 λ max{si }. 在小弧段 i i 1,2,, n）
1 i n
Ai 1 Ai 上任取一点M i ( ξ i , ηi ), 作乘积f ( ξ i , ηi )si
k 1
n
将曲线L 任意分成 n 份，设各分点对应参数为 点 ( ξ k , ηk )对应参数为
sk
tk t k 1
φ 2 ( t ) ψ 2 ( t ) d t
) ψ 2 ( τ k ) tk , φ 2 ( τ k
则
lim f [φ ( τ k ) , ψ ( τ k ) ]
f (φ( t ) , ψ ( t ), ω( t ) ) φ 2 ( t ) ψ 2 ( t ) ω 2 ( t ) d t α
2 x d s , 其中 L 是抛物线 y x 上点 例1 计算
L
点O (0,0)与点 B (1,1) 之间的一段弧 .
解 L : y x2 ( 0 x 1)
分割成n小段， 小弧段的弧长为si , λ max {si }.
2º 近似 在小弧段 Ai 1 Ai 上任取一点M i ( ξ i , ηi )，
该弧段 的质量可近似表示为
1 i n
M i μ( ξ i , ηi )si
n n
( i 1,2,, n)
( ξ i , ηi )
B
Ai si Ai 1
3º 求和 整个构件质量的近似值
M M i μ( ξ i , ηi )si
i 1 i 1
曲线积分与曲面积分复习
L
f ( x, y )ds f ( (t ), (t )) (t )2 ( t )2 dt
一定，二代，三换元，定，代，换关键在 方程。小下限,大上限.
L:
L:
步骤：
1.写出L的参数方程，确定参数的范围 2.化为定积分
L
f ( x, y )ds f ( (t ), (t )) (t )2 ( t )2 dt
应用：
例6 计算 L (3x y)dy ( x y)dx, 其中L为
( x 1) 2 ( y 4) 2 9 的负向.
例7 计算
2 2 xdy , 其中 L 为 x y 1上由点 L
A(1,0) 到点 B(0,1) 的一段弧.
例8 计算 原点的分段光滑正向闭曲线. y L
利用路径无关计算曲线积分
2 2 xy d x x dy，其中L是xoy平面内的任 例9 计算 L
意有向闭曲线. 特点：路径无关，闭曲线,积分为零.
x e 例10 计算 L cos ydx sin ydy，其中L是从点(0, 0)
到点 ( , ) 的任意有向曲线. 2 2
特点：路径无关，非闭曲线,选易积分路线.
i
n 1
L
L
对坐标的曲线积分
M i 1 M2 M 1
L
Pdx Qdy
A
o
x
对坐标的曲线积分
L
Pdx Qdy
特点(1)积分曲线是有向曲线弧. (2)被积函数的定义域是曲线弧.
P( x, y ), Q( x, y ),( x, y) L
(3)微元 dx,dy 是有向弧微分ds 在坐标轴上的投影 与一类曲线积分的 本质区别
第四节第一类曲面积分
)
（1）确定 的方程: z z(x, y);
（2）确定在xoy 面上的投影区域 Dx y
（3）将曲面方程 z z(x, y) 及
dS
1
zx2
(
x,
y)
z
2 y
(
x,
y)
d
xd
y
代入 f (x, y, z) d S中即可。 一投、二代、三换
说明: 1) 如果曲面方程为 x x( y, z), ( y, z) Dyz
1
z
2 x
z
2 y
d
xd
y
2d xd y,
Dx2y {( x, y) | x2 y2 1}, xdS x 2d xd y 0,
2
Dx2 y
例5. 计算 xdS , 其中是圆柱面 x2 y2 1,
平面 z x 2 及 z 0 所围成的空间立体的表面.
解: xdS xdS xdS
f (x, y, z) d S f [x( y, z), y, z] 1 xy2 xz2 d y d z
或
Dyz
y y(x, z), (x, z) Dxz
f (x, y, z) d S f [x, y(x, z), z] 1 yx2 yz2 d x d z
Dxz
2）若 是 xoy 面上的一个闭区域 D 时，则
: x2 y2 z2 a2
2
d
1 2
2a
0
0
a r 2 r dr a2 r2
1 a4 (8 5
6
2)
思考: 若例3 中被积函数改为
计算结果如何 ?
例4. 计算| xyz | d S 为抛物面 z x2 y2（ 0 z 1）.
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第一类曲面积分换元
曲面积分是一种对于曲面上矢量场的积分运算。
第一类曲面积分也被称为标量场的曲面积分，它是对于一个标量函数在曲面上的积分。
换元是一种数学中的技巧，它可以将一个积分转化为另一个形式的积分。
在第一类曲面积分中，换元有两种情况：参数替换和函数替换。
参数替换是指将曲面上的参数用另一组参数表示，这个方法通常用于简化曲面积分的计算。
例如，如果曲面被参数化为(u,v)，可以将(u,v)用(x,y,z)表示，然后通过链式法则计算出新的积分表达式。
函数替换是指将被积函数通过一些代数或者函数变换转化为新的函数，这个方法通常用于简化积分的计算。
例如，如果被积函数可以被表示为f(x,y,z)，可以将它替换为g(u,v,w)，然后通过链式法则计算出新的积分表达式。
在进行第一类曲面积分换元时，需要注意保持积分区域的不变性，并且要确保新的积分表达式与原表达式等价。