2020年高考理科数学原创专题卷：《导数及其应用》

原创理科数学专题卷 专题 导数及其应用

考点13：导数的概念及运算（1,2题）

考点14：导数的应用（3-11题，13-15题，17-22题） 考点15：定积分的计算（12题，16题）

考试时间：120分钟 满分：150分

说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上

第I 卷（选择题）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。）

1.【来源】2016-2017年河北武邑中学高二理周考 考点13 易 函数()2sin f x x =的导数是（ ）

A.2sin x

B.22sin x

C.2cos x

D.sin 2x 2．【来源】2016-2017年河北武邑中学高二理周考 考点13 易 已知()2

1cos 4

f x x x =

+，()'f x 为()f x 的导函数，则()'f x 的图像是（ ）

3.【2017课标II ，理11】 考点14 易

若2x =-是函数21

()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）

A.1-

B.32e --

C.3

5e - D.1 4．【来源】2017届湖北孝感市高三理上学期第一次统考 考点14 中难 若曲线()ln y x a =+的一条切线为y ex b =+，其中,a b 为正实数，则2

e

a b ++的取值范围是（ ） A.2,2e e ??

++∞

???

B.[),e +∞

C.[)2,+∞

D.[)2,e 5．【来源】2017届福建闽侯县三中高三上期中 考点14 难

已知函数2

x y =的图象在点),(2

00x x 处的切线为l ，若l 也与函数x y ln =，)1,0(∈x 的图象相切，则0x 必满足（ ）

A ．210

0<

1

0<

已知函数()f x 的导数为()f x ′，且()()()10x f x xf x ++>′对x R ∈恒成立，则下列函数在实数集内一定是增函数的为（ ）

A.()f x

B.()xf x

C.()x e f x

D.()x xe f x

7．【来源】2017届江西抚州市七校高三上学期联考 考点14 易 已知函数()f x 与()'f x 的图象如图所示，则函数()()

x f x g x e

=

的递减区间为（ ）

A.()0,4

B.()4,1,,43??-∞ ???

C.40,

3??

???

D.()()0,1,4,+∞ 8．【来源】2017届山东省青州市高三10月段测 考点14中难

定义在R 上的函数()f x 满足：'()1()f x f x >-，(0)6f =，'()f x 是()f x 的导函数，则不等式()5x

x

e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A ．(0,)+∞ B ．(,0)(3,)-∞+∞U C ．(,0)(1,)-∞+∞U D ．(3,)+∞ 9.【2017课标3，理11】考点14 难

已知函数

211

()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =（ ）

A ．12-

B ．13

C ．1

2

D ．1

10．【来源】2017届河南中原名校高三理上质检三 考点14 难 已知函数()f x 的定义域为R ,()'

f

x 为函数()f x 的导函数，当[)0,x ∈+∞时，

()'2sin cos 0x x f x ->且x R ?∈，()()cos21f x f x x -++=.则下列说法一定正确的

是（ ） A.

15324

643

f f ππ????

-->-- ? ?????

B.

15344

643

f f ππ????-->-- ? ?????

C

3134

324

f f ππ????

->- ? ?????

D.

1332

4

43f f ππ????-->- ? ?????

11．【来源】2017届辽宁沈阳二中高三理上学期期中 考点14 中难 已知函数 ()()()()232

5ln ,26,2

f x x ax a x a R

g x x x x g x =--∈=-+

+-在[]1,4上的最大值为 b ，当[)1,x ∈+∞时，()f x b ≥恒成立，则a 的取值范围是（ ） A.2a ≤ B.1a ≤ C.1a ≤- D.0a ≤ 12．【来源】2017届辽宁盘锦高级中学高三11月月考 考点15 中难 已知0a >，0b >，

'()f x 为()f x 的导函数，若()ln

2

x

f x =，且31112'()12

b

b dx f a b x =+-?

，则a b +的最小值为（ ）

A ．

B ．．9

2 D ．92+第Ⅱ卷（非选择题）

二.填空题（每题5分，共20分） 13．【来源】2017届广东省仲元中学高三9月月考 考点14易 已知函数ln 4

()x f x x

+=

，求曲线)(x f 在点(1,(1))f 处的切线方程____________

14．【来源】2017届广西陆川县中学高三8月月考 考点14 中难

若函数2

()x

f x x e ax =--在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是 . 15．【来源】2017届湖北襄阳四中高三七月周考二 考点14 中难

若函数21()ln 12

f x x x =-+在其定义域内的一个子区间(1,1)a a -+内存在极值，则实数a 的取值范围 ． 16．【来源】2015-2016新疆哈密地区二中高二下期末考试 考点15易

如图，阴影部分的面积是_________．

三.解答题（共70分） 17．（本题满分10分）

【来源】2017届四川遂宁等四市高三一诊联考 考点14 易

已知函数()()x f x ae x a R =-∈，其中e 为自然对数的底数， 2.71828e =…． （Ⅰ）判断函数()f x 的单调性，并说明理由；

（Ⅱ）若[]1,2x ∈，不等式()x f x e -≥恒成立，求a 的取值范围． 18．（本题满分12分）

【来源】2017届河南百校联盟高三文11月质监 考点14 中难 已知函数()x

f x e ax =-，（0a >）.

（Ⅰ）记()f x 的极小值为()g a ，求()g a 的最大值；

（Ⅱ）若对任意实数x 恒有()0f x ≥，求()f a 的取值范围. 19．（本题满分12分）

【来源】2017届河北唐山市高三理上学期期末 考点14中难 已知函数()()ln ,ln 12x ax f x g x x x x ?

?=

=-- ???

. （1）求()y f x =的最大值；

（2）当10,a e ??∈????

时，函数()(]()

,0,y g x x e =∈有最小值. 记()g x 的最小值为()h a ，

求函数()h a 的值域.

20．（本题满分12分）

【来源】2016-2017学年江苏南通海安县实验中学高二上学期期中 考点14中难 已知函数2

2()()x

f x x x ce

c R -=-+∈.

（1）若()f x 是在定义域内的增函数，求c 的取值范围；

（2）若函数5

()()'()2

F x f x f x =+-

（其中'()f x 为()f x 的导函数）存在三个零点，求c 的取值范围. 21．（本题满分12分）

【来源】2017届四川自贡市高三一诊考试 考点14中难

已知函数()()()()()121

'10'2

x f x f e f x x f x -=-+是()f x 的导数，e 为自然对数的底数），

()()21

2

g x x ax b a R b R =++∈∈，.

（Ⅰ）求()f x 的解析式及极值；

（Ⅱ）若()()f x g x ≥，求()12

b a +的最大值.

22.（本题满分12分）

【2017课标1，理21】已知函数

2()(2)x x

f x ae a e x =+--.

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若

()

f x有两个零点，求a的取值范围.

参考答案1．D

【解析】由题意得，函数的导数为()2

(sin)2sin(sin)2sin cos sin2

f x x x x x x x

'''

==?==.

2．A

【解析】由题意得，()

1

sin

2

f x x x

'=-，

所以()

11

()sin()[sin]()

22

f x x x x x f x

''

-=---=--=-，所以函数()

f x

'为奇函数，即

函数的图象关于原点对称，当

2

x

π

=时，

1

()10

24

f

π

π

'=-<，当2

x>时，()0

f x

'>恒成立，故选A.

3．【答案】A

【解析】

4．C

【解析】设切点为)

,

(

y

x，则有2

)

ln(

1

-

=

?

?

?

?

?

?

+

=

+

=

+ae

b

b

ex

a

x

e

e

x，

e

a

b

2

,0>

∴

>

Θ，2

1

2

≥

+

=

+

+

a

a

b

e

a，故选C.

5．D

【解析】函数2

y x

=的导数y'2x

=，2

y x

=在点2

00

(,)

x x处的切线斜率为

2

k x

=，切线方程为()

2

000

2

y x x x x

-=-，设切线与ln

y x

=相交的切点为()

,ln

m m，（01

m

<<），由ln

y x

=的导数为

1

'y

x

=可得

1

2x

m

=，切线方程为()

1

ln

y m x m

m

-=-，令0

x=，可

得2

ln1

y m x

=-=-，由01

m

<<可得

1

2

x>，且2

1

x>，解得

1

x>由

1

2

m

x

=，可得()

2

00

,ln210

x x

--=，令()()

2ln21,

f x x x

=--

()()1

1,'20,x f x x f x x

>=-

>在1x >递增，

且2ln 10,3ln 10f

f =-<=->，则有()2

00ln 210x x --=的根

x ∈，故选D.

6．D 【解析】

设()()x F x xe f x =，则()()()()()()()11x x x F x x e f x xe f x e x f x xf x =++=++????′′′. ()()()10x f x xf x ++>Q ′对R x ∈恒成立，且0x e >.()()0,F x F x >∴′∴在R 上递增. 7．D

【解析】()()()()

()()x

x x

x e

x f x f e e x f e x f x g -'=

-'=

'2

，令()0<'x g 即()()0<-'x f x f ,由图可得()()+∞∈,41,0Y x ，故函数单调减区间为()()0,1,4,+∞，故选D. 8．A

【解析】设x x

g x e f x e x R =-∈（）（），（），

[]1'1x x x x g x e f x e f x e e f x f x f x f x '=+'-=+'--Q （）（）（）（）（），（）＞（），

100f x f x g x y g x ∴+'-∴'∴=（）（）＞，（）＞，（）

在定义域上单调递增， 55x x e f x e g x +∴Q （）＞，（）＞，

又0

0061500g e f e g x g x =-=-=∴∴Q （）（），（）＞（），＞，∴不等式的解集为0+∞（，）

. 9．【答案】C

【解析】函数的零点满足()2

112x x x

x a e e --+-=-+，

设()1

1

x x g

x e

e

--+=+，则()()211

1

1

1

1

11

x x x x x x e g x e

e

e

e e

---+----'=-=-

=， 当()0g x '

=时，1x =，当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，

当1x >时，()0g x '

>，函数()g x 单调递增，

当1x =时，函数取得最小值()12g

=，

设()2

2h x x x =- ，当1x =时，函数取得最小值1- ，

10．B

【解析】令()()2sin F x x f x =-，则()()''sin 2F x x f x =-.因为当[)0,x ∈+∞时，

()'2sin cos 0x x f x ->，即()'sin 2x f x >，所以()()''sin 20F x x f x =->，所以()()2sin F x x f x =-在[)0,x ∈+∞上单调递增.又x R ?∈，()()cos21f x f x x -++=，

所以()()22sin f x f x x -+=， 所

以

,

，

故

()()2sin F x x f x =-为奇函数，所以()()2sin F x x f x =-在R 上单调递增，所以

546

3F F ππ????

->- ? ?

????.即15344643

f f π

π????

-->-- ? ?????

，故选B. 11．B

【解析】)13)(2(253)(2

'

+--=++-=x x x x x g ，所以)(x g 在]2,1[上是增函数，]4,2[上是减函数0)(,0)2()(≥==x f g x g 在),1[+∞∈x 上恒成立， 由),1[+∞∈x 知，

0ln >+x x ，所以0)(≥x f 恒成立等价于x

x x a ln 2

+≤

在),1[+∞∈x ，时恒成立，令),1[,ln )(2+∞∈+=x x x x x h ，有0)ln (ln 2)1()(2

'>++-=x x x

x x x h ，所以)(x h 在),1[+∞上是增

函数，有1)1()(=≥h x h ，所以1≤a . 12．C

【解析】∵()x x f 1=

'，∴()a a f 1='，∵2212111213b b x b dx x b b

b +-=??

? ??-=?，()121

211

3

-+'=?

b a f dx x b b

，∴12

12221-+=+-b a b b ，∴121

2=+b

a ，∵0a >，0

b >，∴()()292222

52225212=?+≥+

+=??? ??++=+a b b a a b b a b a b a b a ，当a b b a 22=且1212=+b a ，

即2

3

,3==b a 时

等号成立，故选C. 13．370x y +-= 【解析】()2

3

ln x

x x

f +-

=

'，所以(1)3,(1)4k f f '==-=，切线方程为

43(1),y x -=--即370x y +-=

14．2ln 22a ≤-

【解析】因为函数2

()x

f x x e ax =--，所以()2x

f x x e a '=--，因为2

()x

f x x e ax =--在R 上存在单调递增区间，所以()20x

f x x e a '=-->，即2x a x e <-有解，令

()2x g x x e =-，则()2x g x e '=-，则()20ln 2x g x e x '=-=?=，所以当ln 2x <时，

()20x g x e '=->；当ln 2x >时，()20x g x e '=-<，当ln 2x =时，()max 2ln 22g x =-，所以2ln 22a <-. 15．)2

3

,1[

【解析】函数的定义域为),0(+∞，令0214212)(2=-=-='x x x x x f ，解得21=x 或2

1-=x （不在定义域内舍），所以要使函数在子区间)1,1(+-a a 内存在极值等价于

),0()1,1(21+∞?+-∈a a ，即???

???

???

>+<-≥-2112110

1a a a ，解得231<≤a ，答案为)23,1[．

16．

32

3

【解析】由题意得，直线2y x =与抛物线2

3y x =-，解得交点分别为(3,6)--和(1,2)，

抛物线2

3y x =-与x 轴负半轴交

点(，设阴影部分的面积为S ，

则

10

220(32))S x x dx x dx =--+-??

23

3

2)xdx x dx ---+-?

532933

=

+-=． 17．（Ⅰ）理由见解析；（Ⅱ）

?

??

????+∞+,1

12e e

【解析】（Ⅰ）由题可知，()x f x ae x =-，则()1x f x ae '=-， （i ）当0a ≤时，()0f x '＜，函数()x f x ae x =-为R 上的减函数， （ii ）当0a ＞时，令10x ae -=，得ln x a =-，

② (),ln x a ∈-∞-，则()0f x '＜，此时函数()f x 为单调递减函数；

②若()ln ,x a ∈-+∞，则()0f x '＞，此时函数()f x 为单调递增函数．………………(4分) （Ⅱ）由题意，问题等价于[]1,2x ∈，不等式x x ae x e --≥恒成立， 即[]1,2x ∈，21x

x xe a e

+≥恒成立，

令()21x

x xe g x e

+=，则问题等价于a 不小于函数()g x 在[]1,2上的最大值．………………(6分)

由()()()

()221214212x x

x x

xe e

xe e x e x

x

x e g x e '+-+--'=

=

，

当[]1,2x ∈时，()0g x '＜，所以函数()g x 在[]1,2上单调递减，……………………………(8分)

所以函数()g x 在[]1,2x ∈的最大值为()2

111g e e

=

+， 故[]1,2x ∈，不等式()x f x e -≥恒成立，实数a 的取值范围为????

???+∞+

,1

12

e e

．…………(10分)

18．（Ⅰ）()max 1g a =（Ⅱ）()f a 的取值范围是(

21,e e e ?-?.

【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(),-∞+∞，()'x

f x e a =-.在定义域上单调递增。

()'0f x >，得ln x a >，所以()f x 的单调区间是()ln ,a +∞，函数()f x 在ln x a =处取

极小值，

a a a a a e a f x f a g a ln ln )(ln )()(ln 极小值-=-=== .

()()'11ln ln g a a a =-+=-，当01a <<时，()'0g a >，()g a 在()0,1上单调递增；

当1a >时，()'0g a <，()g a 在()1,+∞上单调递减.

所以1a =是函数()g a 在()0,+∞上唯一的极大值点，也是最大值点，所以

()()max 11g a g ==.

…………………………………………………………………………………………………………………………………….(6分)

（Ⅱ）当0x ≤时，0a >，0x e ax -≥恒成立.

当0x >时，()0f x ≥，即0x

e ax -≥，即x

e a x

≤.

令()x e h x x

=，()0,x ∈+∞，()()22

1'x

x x e x e x e h x x x --==， 当01x <<时，()'0h x <，当()'0h x >，故()h x 的最小值为()1h e =， 所以a e ≤，故实数a 的取值范围是(]0,e .

()2a f a e a =-，(]0,a e ∈，()'2a f a e a =-，由上面可知20a e a -≥恒成立,

故()f a 在(]0,e 上单调递增，所以()()201e f f e e e =<=-， 即

()

f a 的取值范围是

(21,e

e

e ?-?. ………………………………………………………………(12分)

19．（1）1

e ；（2）[,1]2

e

-

-. 【解析】（1）f ′(x)＝1－ln x

x

2

（x ＞0）， 当x ∈(0，e)时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增； 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减， 所以当x ＝e 时，f (x)取得最大值f (e)＝ 1

e

. ………………………………………(3分) （2）g ′(x)＝ln x －ax ＝x (ln x

x

－a )，由（1）及x ∈(0，e]得： ①当a ＝

1

e 时，ln x x

－a ≤0，g ′(x)≤0，g (x)单调递减， 当x ＝e 时，g (x)取得最小值g (e)＝h (a)＝－ e

2

. .....................(5分) ②当a ∈[0，

1

e )，

f (1)＝0≤a ，f (e)＝ 1

e

＞a ， 所以存在t ∈[1，e)，g ′(t)＝0且ln t ＝at ，

当x ∈(0，t)时，g ′(x)＜0，g (x)单调递减，当x ∈(t ，e]时，g ′(x)＞0，g (x)单调递增，

所以g (x)的最小值为g (t)＝h (a). ...................................(7分)

令h (a)＝G (t)＝t ln t

2

－t ，

因为G ′(t)＝ln t －12＜0，所以G(t)在[1，e)单调递减，此时G (t)∈(－ e

2，－1]. ...(11

分)

综上，h (a)∈[－

e

2

，－1]. ...........................................(12分) 20．（1）1

(,]2-∞-（2）65(0,

)2

e - 【解析】（1）因为

22()()x

f x x x ce c R -=-+∈， 所以函数()f x 的定义域为R ，且2'()212x

f x x ce -=--，

由'()0f x ≥得

22120x x c e ---≥g 即21

(21)2x

c x e ≤-对于一切实数都成立.

再令21

()(21)2x g x x e =-，则2'()2x

g x xe =，令'()0g x =得0x =.

而当0x <时'()0g x <，当0x >时'()0g x >，

所以当0x =时()g x 取得极小值也是最小值，即

min 1

()(0)2g x g ==-

.

所以c 的取值范围是

1(,]

2-∞-. ……………………………………(6分) （2）由（1）知2'()212x

f x x c e -=--

g ，所以由()0F x =得

2225(212)2x x x x ce x ce ---++--=

，整理得227

()2x

c x x e =+-.

令227

()()2x h x x x e =+-，则222'()2(23)2(3)(1)x x

h x x x e x x e =+-=+-，

令'()0h x =，解得3x =-或1x =. 列表得：

由表可知当3x =-时，()h x 取得极大值6

52e

-；

当1x =时，()h x 取得极小值2

32e -.

又当3x <-时，

2702x x +-

>，20x e >，所以此时()0h x >.

因此当3x <-时，65()(0,)2h x e -∈；当31x -<<时，2635()(,)

22h x e e -∈-；

当1x >时，23()(,)2h x e ∈-+∞；因此满足条件c 的取值范围是65

(0,)

2e -. ……（12分）

21．（Ⅰ）()212x f x e x x =-+；()f x 的极大值为1)0(=f ，无极小值；（Ⅱ）4

e

.

【解析】（Ⅰ）由已知得()()()1''10x f x f e f x -=-+， 令1x =，得()()()'1'101f f f =-+， 即()01f = 又()()'10f f e

=

，∴()'1f e =，

从而()21

2

x f x e x x =-+

∴()'1x f x e x =+-，

又()'1x f x e x =+-在R 上递增，且()'00f =， ∴当0x <时，()'0f x <；0x >时，()'0f x >，

故0x =为极大值点，且1)0(=f …………………………………………(4分) （Ⅱ）()()()2

1102

x f x x ax b h x e a x b ≥

++?=-+-≥得()()'1x h x e a =-+， ① 当10a +≤时，()()'0h x y h x >?=在x R ∈上单调递增，x ∈-∞时，

()h x -∞→与()0h x ≥相矛盾； ……………………………………………(5分)

②当10a +>时， )1ln(0)(+>?>'a x x h ，()()'0ln 1h x x a

()ln 1x a =+时，()()()()min 11ln 10h x a a a b =+-++-≥，

即()()()11ln 1a a a b +-++≥，

∴()()()()2

2

111ln 1a b a a a +≤+-++，()10a +> 令()()22ln 0F x x x x x =->，则

()()'12ln F x x x =-，

∴()'00F x x e >?<<，()'0F x x e ， 当x e =时，()max 2

e F x =， 即当1a e =-，e

b =时，()1a b +的最大值为2e ， …………………………(11分) ∴

()12

a b +的最大值为4

e . …………………………(12分)

22.