2016-2017学年第一学期初二数学第三章《勾股定理》单元检测.pdf
苏教版2016-2017学年八年级上第一章《全等三角形》单元测试卷及答案
第一章《全等三角形》单元检测（满分：100分时间：60分钟）一、选择题（每题2分，共16分）1．如图，已知△ACB≌△A'CB'，若∠BCB'＝30°，则∠ACA'的度数为( ) A．20°B．30°C．35° D．40°2．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取点M，N，使OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N 重合，过角尺顶点C作射线OC．由做法得△MOC≌△NOC的依据是( )A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS3．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需要添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组是( )A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DCC．BC＝DC，∠A＝∠D D．∠B＝∠E，∠A＝∠D4．如图，点B，C，E在同一条直线上，若△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是( )A．△ACE≌△BCD B．△BGC≌△AFCC．△DCG≌△ECF D．△ADB≌△CEA5．在如图所示的4×4的正方形网格中，∠1＋∠2＋∠3＋么4＋∠5＋∠6－∠7的度数为( )A．330°B．315°C．310°D．320°6．如图，在△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，若PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为点R，S，给出下列三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QPS．其中正确的是( ) A．①②③B．①C．①②D．①③7．如图1，已知两个全等直角三角形的直角顶点及一条直角边重合．若将△ACB绕点C 按顺时针方向旋转到△A'CB'的位置（图2），其中A'C交直线AD于点E．A'B'分别交直线AD，AC于点F，G，则在图2中，全等三角形共有( )A．5对B．4对C．3对D．2对8．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为点F，DE＝DG．若△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为( )A．11 B．5.5C．7 D．3.5二、填空题（每题2分，共20分）9．如图所示是用七巧板拼成的一艘帆船，其中全等的三角形共有_______对．10．如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x＝_______．11．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，BE＝CF，请添加一个条件_______，使△ABC≌△DFF．（写出一个即可）12．如图，已知∠1＝∠2＝90°，如果AD＝AE，那么图中有_______对全等三角形．13．如图，以△ABC的顶点A为圆心、BC长为半径作弧，再以顶点C为圆心、AB长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD，CD．若∠B＝65°，则∠ADC＝_______．14．在△ADB和△ADC中，给出下列条件：①BD＝DC，AB＝AC；②∠B＝∠C，∠BAD ＝∠CAD；③∠B＝∠C，BD＝DC；④∠ADB＝∠ADC，BD＝DC．其中能得出△ADB ≌△ADC的序号是_______．15．如图，黄芳不小心把一块三角形的玻璃打成三块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带第_______块去配，其依据是定理_______（可以用字母简写）．16．如图，D为Rt△ABC斜边BC上的一点，且BD－AB，过点D作BC的垂线，交AC 于点E，若AE＝12cm，则DE的长为_______cm．17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC＝_______．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝_______时，△ABC≌△QPA．三、解答题（共64分）19．（本题6分）如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2．(1)求么F的度数与DH的长；(2)求证：AB∥DE．20．（本题6分）如图，已知在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E＝∠B，ED＝DC．求证：AB＝AC．21．（本题6分）如图，已知点B，C，D，E在同一条直线上，AB＝FC，AD＝FE，BC＝DE，探索AB与FC的位置关系？并说明理由．22．（本题6分）有两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点．(1)不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？(2)连接BO，求证：BO平分∠ABD．23．（本题6分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分别为点D，E．求证：DE＝AD＋BE．24．（本题8分）如图，把一个Rt△ACB（∠ACB＝90°）绕着顶点B按顺时针方向旋转60°，使得点C旋转到边AB上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF＝BG，延长CF与DG交于点H．(1)求证：CF＝DG；(2)求∠FHG的度数．25．（本题8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是边BC上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D．(1)求证：AE＝CD；(2)若AC＝12cm，求BD的长．26．（本题8分）如图，两根旗杆间相距12m，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM．已知旗杆AC的高为3m，此人的运动速度为1m/s，求这个人运动了多长时间．27．（本题10分）如图，已知CE⊥AB，BD⊥AC，垂足分别为点E，D，BD与CE交于点O，且AO平分∠BAC．(1)图中有多少对全等三角形？请一一列举出来（不必说明理由）．(2)小明说：欲证BE＝CD，可先证明△AOF≌△AOD，得到AE＝AD，再证明△ADB ≌△AEC．得到AB＝AC，然后利用等式的性质得到BE＝CD，请问他的说法正确吗？如果正确，请按照他的说法写出推导过程；如果不正确，请说明理由．(3)要得到BE＝CD，你还有其他思路吗？若有，请写出推理过程．参考答案一、选择题1．B 2．D 3．C 4．D 5．B 6．C 7．B 8．B二、填空题9．2 10．20 11．∠A＝∠D或AB＝DE或∠ACB＝∠DFE或AC∥DF 12．3 13．65°14．①②④15．③．ASA 16．12 17．45°18．5三、解答题19．(1)6 (2)略20．jj21．AB//FC．22．(1)不重叠的两部分△AOF与△DOC全等(2)略23．略24．(1) 略(2)120°25．(1) 略(2)6cm26．3s27．(1)图中有4对全等三角形，分别是△ADB≌△AEC，△ADO≌△AEO，△AOB≌△AOC，△EOB≌△DOC (2)正确．。
2016年-2017学年度第一学期阶段检测(1)八年级数学科试题(含答案)
P ODCBA 2016年-2017学年度第一学期阶段检测（1）八年级数学科试题 班级 座号 姓名 成绩一. 选择题（每题3分，共30分） 1．下列长度的三条线段中，能组成三角形的是 （ ） A 、3cm ，5cm ，8cm B 、8cm ，8cm ，18cm C 、0.1cm ，0.1cm ，0.1cm D 、3cm ，40cm ，8cm 2．若三角形两边长分别是4、5，则周长c 的范围是（ ） A. 1<c<9 B. 9<c<14 C. 10<c<18 D. 无法确定3．下列不能够镶嵌的正多边形组合是（ ）A.正三角形与正六边形B.正方形与正六边形C.正三角形与正方形D.正五边形与正十边形 4．一个多边形内角和是10800，则这个多边形的边数为 （ ） A 、 6 B 、 7 C 、 8 D 、 95．如图，△ABC ≌△ADE ，∠B=70°，∠C=26°，∠DAC=30°，则∠EAC=（ ） A.27° B.54° C.30° D. 55°6．如图所示，已知△ABC 为直角三角形，∠B=90°，若沿图中虚线剪去∠B ，则∠1+∠2 等于（ ） A 、90° B 、135° C 、270° D 、315°7． 如图所示，在△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，并且CD 、BE 交于，点P ，若∠A=500，则 ∠BPC 等于（ ）A 、90°B 、130°C 、270°D 、315°8．给出下列条件： ①两边一角对应相等 ②两角一边对应相等 ③三角形中三角对应相等 ④三边对应相等，其中，不能判定两个三角形全等的条件是 A. ①③B. ①②C. ②③D. ②④9．一个三角形三个内角的度数之比为2:3:7，这个三角形一定是（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形10.如图， AD 是ABC △的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE DF ，连结BF ，CE . 下列说法：①CE ＝BF ；②△ABD 和△ACD 面积相等；③BF ∥CE ；④△BDF ≌△CDE . 其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题4分，共20分）11. 等腰三角形的两边的长分别为2cm 和7cm ，则三角形的周长是 .12.已知a 、b 、c 是三角形的三边长，化简：|a －b ＋c|＋|a －b-c|=13.在下列条件中：①∠A+∠B=∠C ，②∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3，③∠A=90°－∠B ，④∠A=∠B=∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有 （填序号）。
【南师江宁】2016-2017学年第一学期初二数学期中试卷
2016-2017学年度第一学期期中学情分析样题八年级数学一、选择题（每小题2分，计12分，将正确答案的序号填写在下面的表格中）1．下列答案中，不是．．轴对称图形的是（ ）． A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】轴对称图形的定义．2．若等腰三角形的两边长分别为3cm 和6cm ，则该等腰三角形的周长是（ ）．A ．9cmB ．12cmC ．12cm 或15cmD ．15cm【答案】D【解析】等腰三角形的两边长分别为3cm 和6cm ，分类讨论：①若腰为3cm ，不符合三角形两边之和大于第三边，故舍去，②若腰为6cm ，三角形周长为36615cm ++=．3．如图，已知点B ，E ，C ，F 在同一直线上，且BE CF =，ABC DEF =∠∠，那么添加一个条件后，仍无法判定ABC △≌DEF △的是（ ）．A．AC DF =B ．AB DE =C ．AC DF ∥D ．A D =∠∠ 【答案】A【解析】由BE CF =知BC EF =，且ABC DEF =∠∠，A 选项中AC DF =，AC 和DF 并不是ABC∠和DEF ∠的邻边，此组合是边边角，不符合全等三角形的判定(SSS,SAS,ASA,AAS,HL)．4．如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是（ ）．A ．向右平移7格B ．以AB 的垂直平分线为对称轴作轴对称变换，再以AB 为对称轴作轴对称变换C ．绕AB 的中点旋转180︒，再以AB 为对称轴作轴对称D ．以AB 为对称轴作轴对称，再向右平移7格【答案】DE C BA D【解析】轴对称和平移的定义．5．如图，用直尺和圆规作一个角的平分线，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，由作图所得条件，判定三角形全等运用的方法是（ ）．A ．SSSB ．ASAC ．AASD ．SAS【答案】A【解析】全等三角形判定(SSS)的应用．6．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，构成钝角三角形的是（ ）．A ．3、4、5B ．3、3、5C ．4、4、5D ．3、4、4【答案】B【解析】B 选项满足232335+<，故B 选项的三边构成钝角三角形．322345+=，构成直角三角形，222445+>，构成锐角三角形，222344+>构成锐角三角形．二、填空题（每小题2分，共20分）7．已知等腰ABC △，AC AB =，70A =︒∠，则B =∠__________︒．【答案】55︒【解析】等腰ABC △，AC AB =，故B C =∠∠，又70A =︒∠，则180180705522A B ︒-︒-︒==︒∠∠．8．如图，在Rt ABC △，90C =︒∠，10AB =，8BC =，则AC =__________．【答案】6 【解析】由勾股定理得2222210836AC AB BC =-=-=，6AC =．9．如图，在等腰ABC △中，AB AC =，AD 为ABC △的中线，72B =︒∠，则DAC =∠__________︒．AB C OABC【答案】18 【解析】AB AC =，AD 为ABC △的中线，则72B C ==︒∠∠，BAD CAD =∠∠，那么1180222B DAC BAC ︒-==∠∠，则1(1802)(180144)182DAC B =︒-=︒-︒=︒∠∠．10．如图，A C =∠∠，只需补充一个条件：__________，就可得ABD △≌CDB △．【答案】ABD CDB =∠∠（或ADB CBD =∠∠）【解析】BD 是ABD △和CDB △的公共边，且BD 是A ∠和C ∠的对边，根据全等三角形的判定(ASA,AAS)再让一组角对应相等即可．11．如图，100A =︒∠，25E =︒∠，ABC △与DEF △关于直线l 对称，则ABC △中的C =∠__________︒．【答案】55【解析】ABC △与DEF △关于直角l 对称，则ABC △≌DEF △，那么25B E ==︒∠∠，又100A =︒∠，则55C =︒∠．12．如图，在Rt ABC △中，90ACB =︒∠，以AC 为边的正方形面积为12，中线CD 的长度为2，则BC 的长度为__________． D AB CD A B ClFC BAD【答案】2【解析】由正方形面积为12，知边长23AC =，又Rt ACB △斜边上的中线等于斜边的一半，则24AB CD ==，根据勾股定理得22224(23)2BC AB AC -=-=．13．如图，在等腰ABC △中，AB AC BD ==，70BAD =︒∠，DAC =∠__________︒．【答案】30 【解析】由AB BD =，知70BAD BDA ==︒∠∠，40B =︒∠，又AB AC =，则40B C ==︒∠∠，BDA C DAC =+∠∠∠，704030DAC BDA C =-=︒-︒=︒∠∠∠．14．如图，ABC △中，AB AC =，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为D ，交AC 于E ．若10cm AB =，ABC △的周长为27cm ，则BCE △的周长为__________．【答案】17cm【解析】DE 是AB 的垂直平分线，则BE AE =，ABC △的周长为27cm ，10cm AB =，则17cm AC BC +=，又AE EC BC BE E BC ++=++，BCE △的周长为17cm ．15．如图，在Rt ABC △中，90C =︒∠，10AC =，8BC =，AB 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、E ．则AD 的长度为__________．A B CD AB DABCE【答案】8.2【解析】DE 垂直平分AB ，则AD BD =，设AD BD x ==，则10CD x =-，在Rt DCB △中，由勾股定理可得，222(10)8x x -+=，解得8.2x =．16．如图，在Rt ACB △中，90ACB =︒∠，3BC =，4AC =，在直线BC 上找一点P ，使得ABP △是以AB 为腰的等腰三角形，则PC 的长度为__________．【答案】3或2或8【解析】在Rt ACB △中，由勾股定理知2222435AB AC BC =+=+=，以A 点为圆心，AB 为半径画弧，交于直线BC 于点P ，在Rt ABC △和Rt APC △中，AB AP =，AC AC =，则Rt ABC △≌Rt (HL)APC △，那么3PC BC ==；以B 为顶角AB 为腰时，5BP =，∴2CP =或8．三、解答题（本大题共8分，共68分）17．（7分）已知：如图，AB ED ∥，AB DE =，点F ，点C 在AD 上，AF DC =．（1）求证：ABC △≌DEF △；（2）求证：BC EF ∥．【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）证明：∵AB ED ∥，∴A D =∠∠，∵AF DC =，∴AF FC DC FC +=+，即AC DF =，在ABC △和DEF △中，EC B A C B AFE CB AAC DF =⎩∴ABC △≌(SAS)DEF △．（2）证明：∵ABC △≌DEF △，∴BCA EFD =∠∠，则BC EF ∥．18．（7分）定理：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）请写已知，并求，并证明．已知：__________．求证：__________． 证明：__________．【答案】已知，在ABC △中，AB AC =，求证：B C =∠∠，证明：见解析【解析】过A 点作AB BC ⊥，在Rt ABD △和Rt ACD △中，AD AD AB AC=⎧⎨=⎩， ∴Rt ABD △≌Rt (HL)ACD △，则B C =∠∠．19．（7分）如图，AC AB =，DC DB =，AD 与BC 相交于O ．（1）求证：ACD △≌ABD △．（2）求证：AD 垂直平分BC ．【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）证明：在ACD △和ABC △中，CB AD A BCOAD AD =⎩∴ACD △≌(SSS)ABD △．（2）证明：法一∵ACD △≌ABD △，∴CAD BAD =∠∠，在CAO △和BAO △中，OA OA CAO BAO CA BA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠， ∴CAO △≌(SAS)BAO △，则OB OC =，90BOA COA ==︒∠∠，AD 垂直平分BC ．法二：∵ACD △≌ABD △，∴CAD BAD =∠∠，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，OA 是BAC ∠的角平分线，根据三线合一，可知OA BC ⊥，OA 是BC 的中线，即AD 垂直平分BC ．20．如图，在等腰直角ABC △中，90ACB =︒∠，AC BC =，D 为AB 中点，DE DF ⊥．（1）写出图中所有全等三角形，分别为__________．（用“≌”符号表示）．（2）求证：ED DF =．【答案】（1）AED △≌CFD △，DEC △≌DFB △，DAC △DCB △（2）见解析【解析】（2）证明：∵AC BC =，D 是AB 的中点，∴DC 平分ACB ∠，1452ACD ACB ==︒∠∠，CD AB ⊥， 且90ACB =︒∠，CD DB =，∵AC BC =，90ACB =︒∠，∴45A B ACB ===︒∠∠∠，∵ED FD ⊥，CD BD ⊥，∴90EDC FDC +=︒∠∠，90FDC FDB +=︒∠∠，则EDC FDB =∠∠，在EDC △和FDB △中，EDC FDB DC DBDCE B =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠， D ABC E F∴EDC △≌(ASA)FDB △，则ED DF =．21．（8分）如图，在Rt ABC △中，90C =︒∠，4AC =，3BC =，AD 为ABC △的角平分线．（1）用圆规在AB 上作一点P ，满足DP AB ⊥．（2）求CD 的长度．【答案】（1）见解析（2）43【解析】（1）在CAD △和PAD △中，AC AP CAD PAD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，∴CAD △≌(SAS)PAD △，则90DPA C ==︒∠∠，DP AB ⊥．（2）Rt ACB △中，225AB AC BC =+=，又4AP AC ==，则1PB AB AP =-=，设CD DP x ==，则3BD x =-，在Rt DPB △中，2221(3)x x +=-， 解得43x =．22．（8分）如图，在等腰ABC △中，AB AC =，BD 为高．（从下列两问中任选一问作答）．（1）若120ABD C +=︒∠∠，求A ∠的度数．（2）若3CD =，5BC =，求ABC △的面积．【答案】（1）40︒（2）253【解析】（1）设A x =∠，由BD AC ⊥，得90ABC x =︒-∠，由AB AC =，可得11(180)9022C x x =︒-=︒-∠， ∵120ABD C +=︒∠∠，DA B CDAB C∴190901202x ︒-+︒-=︒ 31801202x ︒-=︒ 3602x =︒ 40x =︒．（2）在Rt BDC △中，2222534BD BC CD =--=，设AD x =，3AB AC AD DC x ==+=+．在Rt BDA △中，222(3)4x x +=+，解得76x =， 712534623ABC S ⎛⎫=+⨯⨯= ⎪⎝⎭△．23．（8分）如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 上一点，连接AE ．请添加一条线段，使得图形是一个轴对称图形．（要求：画出示意图，并画出对称轴）．【答案】见解析【解析】24．（8分）若ABC △和DEF △的面积分别为1S 、2S ．（1）如图①，AC DF =，BC DE =，30C ∠=︒，150D =︒∠，比较1S 与2S 的大小为__________． A ．12S S > B ．12S S < C ．12S S = D ．不能确定（2）说明（1）的理由．D C B A（备备备）A B EC D D A B C EDA B C（3）如图②，在ABC △与DEF △中，AC DF =，BC DE =，30C =︒∠，点E 在以D 为圆心，DE 长为半径的半圆上运动，EDF ∠的度数为α，比较1S 与2S 的大小（直接写出结果，不用说明理由）． 【答案】（1）12S S =（2）见解析（3）030α<<︒，12S S >；30α=︒，12S S =；30150α︒<<︒，12S S <；150α=︒，12S S =；150180α︒<<︒，12S S >．【解析】（1）（2） 两个三角形可拼成一个大三角形，且两个小三角形等底同高，故12S S =．（3）25．（8分）学之道在于悟，希望同学们在问题（1）解决过程中有所悟，再继续探索研究问题（2）． （1）如图，B C =∠∠，BD CE =，AB DC =①求证：ADE ∠为等腰三角形．(备①)DF AB C (备②)α30°E FA B CS 1S 2150°C (D )B (E )A 30°B 30°B'B'F (A )ED (C )αD B C E②若60B =︒∠，求证：ADE △为等边三角形．（2）如图②，射线AM 、BN 、MA 、AB 、NB AB ⊥，点P 是AB 上一点，在射线AM 与BN 上分别作点C 、点D 满足：CPD △为等腰直角三角形（要求：利用直尺与圆规，不写作法，保留作图痕迹）【答案】（1【解析】（1）①证明：在ABD △和DCE △中，AB CD B C BD CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠， ∴ABD △≌(SAS)DCE △，则AD ED =，ADE △是等腰三角形．②∵ABD △≌DCE △，∴BAD CDE =∠∠，∵180B BAD BDA ++=︒∠∠∠，180BDA ADE CDE ++=︒∠∠∠∴60B ADE ==︒∠∠，又∵AD ED =，∴ADE △是等边三角形．（2）有3种情况：①PC PD =（如图），②CP CD =（C 与A 重合），③DC DP =（D 与B 重合）．NP A BCBD A P M N南京中小学辅导 1对1、3人班、8人班 登陆官网获取更多资料及课程信息：。
【玄武区】2016-2017学年第一学期初二数学期中试卷及答案
2016-2017学年第一学期初二年级数学期中检测卷时间：100分钟 总分：100分一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．9的算术平方根是（ ）．A ．3-B ．3C ．3±D ．3【答案】B 2933==．2．下列交通标志图中是轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】轴对称图形的定义．3．若ABC △与DEF △全等，且60∠A =︒，70∠B =︒，则∠D 的度数不可能是（ ）．A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒ 【答案】D【解析】60A ︒∠=，70B ︒∠=，则50C =︒∠，又ABC △与DEF △全等，则D ∠的度数不可能为80︒．4．下列各组数中，作为三角形三边长，能构成直角三角形的一组是（ ）．A 325B ．3，4，6C ．132D ．6，8，12 【答案】C 【解析】221(3)2+=．5．如图，数轴上点A 对应的数是0，点B 对应的数是1，⊥BC AB ，垂足为B ，且1BC =，以A 为圆心，AC 为半径画弧，交数轴于点D ，则点D 表示的数为（ ）．A ．1.4B 2C ．1.5D ．2【答案】B 【解析】由题意可知2222112AC AB BC =+=+=2AD AC ==6．如图，ABC △中，45ABC ∠=︒，10AC =，对折使点B 与点A 重合，折痕与BC 交于点D ，:4:3BD DC =，则DC 的长为（ ）． A ．4 B ．6 C ．8 D ．101D CB A【答案】B 【解析】连接AD ，由题意可知AD BC ⊥，AD BD =，设AD BD x ==，由:4:3BD DC =可知，34DC x =，在Rt ADC △中，2223104x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：8x =，3864DC =⨯=．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．等腰三角形一个外角为70︒，这个等腰三角形顶角的度数为__________．【答案】110︒【解析】由题意可知，这个等腰三角形有一个内角是110︒，且可能是顶角．8．一个等腰三角形的两边长分别是2cm 和4cm ，则它的周长是__________cm ．【答案】10【解析】分类讨论：①若腰2cm ，三边长是2，2，4，不满足两边之和大于第三边，舍去；②若腰为4，三边长是4，4，2，周长为10cm ．9．到三角形三个顶点距离相等的点是__________的交点．【答案】三条边上和垂直平分线【解析】垂直平分线的性质．10．如图，AB CD ∥，AD 、BC 相交于点O ，请添加一个条件__________．使得△ABO ≌DCO △．【答案】AB CD =（答案不唯一，OA OD =，OC OB =亦可）【解析】AB CD ∥，则A D =∠∠，B C =∠∠，再加上对顶角AOB DOC =∠∠，ABO △和DCO △之间有三组角对应相等，根据全等三解形的判定AAS ，ASA ，只需要再添加一组边对应相等即可．11．如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，10AD =，12AB =，若ACD △的面积为25，则ABC △的面积为__________．ABC D O DC BA【答案】30 【解析】由角平分线性质可知ADC △中AD 边上的高与ABC △中AB 边上的高相等，故56ADC ABC S AD S AB ==△△． 又25ACD S =△，则30ABC S =△．12．如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 都是正方形，点B 在EF 上，1140S =，2124S =，EB 的长为__________．【答案】4【解析】22212()()16ABCD AEFC ABCD AEB ABCD AEB EB AB EA S S S S S S S S =-=-=---=-=△△，∴4EB =．13．有如下说法：①若一个数的立方根是这个数本身，则这个数一定是0、1或1-；②一个有理数的立方根，不是正数就是负数；③负数没有立方根；④任何一个有理数都有两个平方根；⑤1000的算术平方根大于27000的立方根．其中，正确说法的序号有__________．【答案】①⑤【解析】②0的立方根是0；③负数有立方根；④0只有一个立方根，就是它自己．14．如果一个直角三角形斜边上的中线长为5，那么这个直角三角形面积的最大值为__________．【答案】25【解析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，斜边长为10，题目要求这个直角三角形面积的最大值，如果以斜边为底，我们知道，斜边上的高和中线重合时，高最大，那么面积也有最大值，为1510252⨯⨯=．15．如图，直线MN 与直线PQ 相交于点O ，40∠MOP =︒，A 为平面内一点，且60∠AOM =︒，现有ABC DFECBA GDS 1S 2一点B ，在直线MN 或直线PQ 上，使得AOB △是等腰三角形，这样的点B 有__________个．【答案】6【解析】①以O 点为圆心，OA 为半径画弧，与直线MN ，PQ 交于四个点．②以A 点为圆心，OA 为半径画弧，与直线MN ，PQ 交于三个点，符合要求的有两个点（一个与①中重复）．③作OA 的垂直平分线，与直线MN ，PQ 交于两个点（一个与①中重复）．综上所述，共有6个点（“两圆一垂”）．16．如图，在Rt ABC △中，90∠ACB =︒，3AC =，4BC =，AD 是∠BAC 的平分线．若P 、Q 分别是线段AD 和线段AC 上的动点，则PC PQ +的最小值是__________．【答案】125 【解析】以AD 为对称轴，在AB 边上找到点Q '与Q 对称125PC PQ PC PQ CQ CE ''+=+=≥≥．那么PC PQ +的最小值是125．三、解答题（共68分）N M P OQA 60°40°A Q OP M N P QDCAP'E Q'A CDQP17．（6分）如图，点A 、B 、C 都在方格纸的格点上，利用方格纸，画ABC △关于直线l 对称的A B C '''△．【答案】见解析【解析】18．（8分）求下列各式中的x ．（1）24x =． （2）3(1)8x -=．【答案】（1）12x =，22x =-（2）3x =【解析】（1）24x =，222x =或22(2)x =-，解得12x =，22x =-．（2）3(1)8x -=，33(1)2x -=，12x -=，3x =．19．（7分）已知：如图，在四边形ABCD 中，∠∠B D =，AC 平分∠BAD ．求证：AB AD =．【答案】见解析【解析】证明∵AC 平分BAD ∠，∴BAC DAC =∠∠，lCB AA 1B 1C 1A B ClDC BA在CBA △和CDA △中，B D BAC DAC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠，∴CBA △≌(AAS)CDA △，∴AB AD =．20．（7分）已知：如图，ABC △≌DCB △，AC 、DB 相交于点E ．求证：AE DE =．【答案】见解析 【解析】证明：∵ABC △≌DCB △，∴AB DC =，A D =∠∠，在△ABE 和DCE △中，∠∠∠∠AEB DEC A DAB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴ABE △≌(AAS)DCE △，则AE DE =．21．（7分）如图，在ABC △中，AB AC =，CD CB =，若42∠ACD =︒，求∠A 的度数．【答案】32︒【解析】解：设A x =∠，CDB ∠是ADC △的外角，则42CDB x =+︒∠，∵CD CB =，∴42CDB B x ==+︒∠∠，∵AB AC =，∴B ACB =∠∠，则424242DCB ACB x x =-︒=+︒-︒=∠∠，又180B CDB DCB ++=︒∠∠∠，∴4242180x x x ++︒++︒=︒，396x =︒，32x =︒．22．（7分）如图，ABC △中，AB AC =，D 是AC 上的一点，5CD =，13BC =，12BD =．EABC D 42°DCB A（1）判断ADB △的形状，并说明理由．（2）点A 到BC 边的距离为__________．【答案】（1）ADB △是直角三角形．（2）14.6【解析】（1）在BDC △中，满足222BD CD BC +=，则BD AC ⊥，设AD x =，5AB AC AD DC x ==+=+，在Rt ADB △中，222(5)12x x +=+，解得11.9x =，ADB △为一般的直角三角形．（2）由（1）知12ABC S AC BD =⋅⋅△， 设点A 到BC 边的距离为h ，则12ABC S h BC =⋅△， 那么AC BD h BC ⋅=⋅，16.91214.613AC BD h BC⋅⨯===．23．（9分）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a ，较短的直角边为b ，斜边长为c ，结合图①，试验证勾股定理．（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，3OC =，求该飞镖状图案的面积．（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12340S S S ++=，则2S =_________．【答案】（1）见解析（2）24（3）403【解析】（1）22222214()222C ab a b ab a b ab a b =⋅+-=++-=+，得证． AB C D ②③①K T N M G H F ED A BC O C Ab a c（2）由题意知，3OB OC ==，12464AC AB +=⨯=． 设AC x =，那么6AB x =-， 在Rt ABO △中，222(3)3(6)x x ++=+，解得1x =．（3）记每个全等的直角三角形的面积为S ，那么138S S S =+，234S S S =+，123331240S S S S S ++=+=， 则324043S S S +==．24．（9分）如图，ABC △与DCE △均为等边三角形，且B 、C 、E 在同一直线上，分别连接BD 、AE相交于点P ，连接PC ，求证：（1）60∠APB =︒．（2）60∠BPC =︒．【答案】见解析【解析】证明（1）∵ABC △和DCE △都是等边三角形，∴AC BC =，DC EC =，60ACB DCE ==︒∠∠，则ACB ACD DCE ACD +=+∠∠∠∠，在ACE △和BCD △中，BC AC BCD ACE DC EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，∴(SAS)ACE BCD =△△，则∠∠CAE CBD =,则AC 与BP 交于O 点，由AOP BOC =∠∠可得60APO BCO ==︒∠∠，即60APB =︒∠．（2）过点C 作CH AE ⊥，CK PB ⊥，∵ACE △≌BCD △，∴ACG BCD S S =△△，BD AE =，∴CH CK =，∵CH AE ⊥，CK PB ⊥，∴CP 为BPC ∠角平分线，设AC 与BP 交于点O ，∵AOP BOC =∠∠，EAC PBC =∠∠，∴60APB ACB ==︒∠∠，CA DP∴1(180)602BPC APB =︒-=︒∠∠．25．（8分）如图，ABC △中，AB AC =，已知平面内有一点P ，使得PAB △与PAC △均为等腰三角形，请用尺规作出所有满足条件的点P ，并标注说明（不写作法，保留作图痕迹）．【答案】见解析【解析】以AB 为边画两圆一垂，以AC 为边画圆一垂，共9个点． B A P 9P 7P 8P 1P 2P 3P 4P 5P 6A B C。
(好题)初中数学八年级数学上册第一单元《勾股定理》检测题(含答案解析)
一、选择题1．如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，大正方形面积为48，小正方形面积为6，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边长（x>y ），则()2x y +的值为（ ）A ．60B ．79C ．84D ．902．如图，正方形ABCD 的边长为1，其面积标记为S 1，以AB 为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…，按照此规律继续下去，则S 7的值为（ ）A ．61()2B ．71()2 C ．62() D ．72() 3．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）A ．1，2，3B ．3，4，5C ．5，12，13D ．5,7,32 4．七巧板是大家熟悉的一种益智类玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小明将一个直角边长为20cm 的等腰直角三角形纸板，切割七块．正好制成一副七巧板，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．210cmB ．225cm 2C ．2252cm 2D ．225cm 5．若ABC 的三边长a 、b 、c 满足222681050a b c a b c ++=++-，那么ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形6．如图，在Rt ABC ∆中，90,45,2B BCA AC ︒︒∠=∠==，点D 在BC 边上，将ABD ∆沿直线AD 翻折，点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，连接,PE PC ，则PEC ∆的周长的最小值为（ ）A ．22-B ．2C ．21+D ．17．如图，已知ABC 中，45ABC ∠=︒，F 是高AD 和BE 的交点，5AC =，2BD =，则线段DF 的长度为（ ）A ．22B ．2C ．3D ．18．如图，分别以直角三角形ABC 的三边为斜边向外作直角三角形，且AD CD =，CE BE =，AF BF =，这三个直角三角形的面积分别为1S ，2S ，3S ，且19S =，216S =，则S 3S =（ ）A ．25B ．32C ．7D ．189．如图所示的是2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，这个图案是由“弦图”演变而来．“弦图”最早是由三国时期数学家赵爽在注解一部数学著作时给出的，它标志着中国古代的数学成就．这部中国古代数学著作是（）A．《周髀算经》B．《几何原本》C．《九章算术》D．《孙子算经》10．如图①，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图②方式折叠，使点A与点CB重合，折痕为DE，则BCE与ADE的面积之比为（）A．2:3B．4:9C．9:25D．14:2511．如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．若小正方形边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的面积等于（）A．36B．48C．54D．10812．为准备一次大型实景演出，某旅游区划定了边长为12m的正方形演出区域，并在该区域画出4×4的网格以便演员定位（如图所示），其中O为中心，A，B，C，D是某节目中演员的四个定位点．为增强演出效果，总策划决定在该节目演出过程中增开人工喷泉．喷头位于演出区域东侧，且在中轴线l上与点O相距14m处．该喷泉喷出的水流落地半径最大为10m，为避免演员被喷泉淋湿，需要调整的定位点的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BA 以2cm/s的速度运动．设运动时间为t，则当t=______秒时，△BPC为直角三角形．14．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是_____寸．15．已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足2-+++-=，则此等腰三角形的面积为____．a b a b235(2313)016．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处，已知CD=1，∠B=30°，则AC的长是__________．17．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若图2中阴影部分的面积是5，则两个较小正方形重叠部分的面积为____.18．如图，在Rt ABC △中，90ACB ︒∠=，10AB =，8AC =，D 是AB 的中点，M 是边AC 上一点，连接DM ，以DM 为直角边作等腰直角三角形DME ，斜边DE 交线段CM 于点F ，若2MDF MEF S S =，则CF 的长为________．19．如图，一只蚂蚁从长、宽都是2，高是5的长方体纸盒的A 点沿纸盒面爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是________.20．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，则正方形ADEC 与正方形BCFG 的面积之和为_____．三、解答题21．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn ，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何?题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD 的距离为2寸，点C 和点D 距离门槛AB 都为1尺（1尺=10寸），则AB 的长是多少?22．某校校门口有一个底面为等边三角形的三棱柱(如图)，学校计划在三棱柱的侧面上，从顶点A 绕三棱柱侧面一周到顶点A '安装灯带，已知此三棱柱的高为4m ，底面边长为1m ，求灯带最短的长度．23．综合与探究在学习了轴对称变换后，我们经常会遇到三角形中的“折叠”问题，在解答这种问题时，通常会考虑到折叠前与折叠后的图形全等，并利用全等图形的性质，即对应角相等，对应边相等来研究解决数学中的“折叠”问题，每个小组剪了一些如图1所示的Rt ABC △纸片（90B ∠=︒，6AB =，8BC =）并进行探究：（1）如图2，“奋斗”小组将Rt ABC △纸片沿DE 折叠，使点C 落在ABC 外部的'C 处 ①若140∠=︒，37C ∠=︒，则2∠的度数为 ．②1∠，2∠，C ∠之间的数量关系为 ．（2）如图3，“勤奋”小组将ABC 沿DE 折叠，使点C 与点A 重合，求BD 的长； （3）如图4，“雄鹰”小组将ABC 沿AD 折叠，使点B 落在点E 处，连接CE ，当CDE △为直角三角形时，求BD 的长．24．如图，在ABC 中，AB AC =，15BC =，D 是AB 上一点，9BD =，12CD =．（1）求证：CD AB ⊥；（2）求AC 的长．25．如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米． （1）这个梯子底端离墙有多少米？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？26．如图，在长方形纸片ABCD 中，9,3AD AB ==．将其折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C '处，折痕EF 交AD 于点E ，交BC 于点F ．（1）求线段BE 的长．（2）求线段BF 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据勾股定理流出方程，进而利用完全平方公式解答即可．【详解】解：∵大正方形的边长是直角三角形的斜边长，∴根据勾股定理可得：2248x y +=，根据小正方形面积可得()26x y -=，∴2xy +6=48，∴2xy =42，则()222290x y x y xy +=++=，故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理、完全平方公式，解题的关键是利用方程的思想解决问题，学会整体恒等变形的思想． 2．A解析：A【分析】根据题意求出面积标记为S 2的等腰直角三角形的直角边长，得到S 2，同理求出S 3，根据规律解答．【详解】解：∵正方形ABCD 的边长为1，∴面积标记为S 2则2211122S ===，面积标记为S 3的等腰直角三角形的直角边长为1222=， 则232111()242S ===， …..则S 7的值为：612，故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质等．能通过计算找出一般性规律是解题关键． 3．D解析：D【分析】根据勾股定理的逆定理分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：A 、∵222142+==，∴1，2能作为直角三角形的三边长．故此选项不符合题意；B 、∵22234255+==，∴3，4，5能作为直角三角形的三边长．故此选项不符合题意；C 、∵22251216913+==，∴5，12，13能作为直角三角形的三边长．故此选项不符合题意；D 、∵2212+=，218=(，1218≠， ∴故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理逆定理用法是解题的关键． 4．B解析：B【分析】根据七巧板意义，计算出阴影等腰直角三角形的直角边的长即可.【详解】如图，根据题意，得BC=20，=EM ，∴，∴EF=FG=5， ∴212522EFG S EF ==， 故选B.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形的面积，熟练掌握七巧板制作规律和制作特点是解题的关键.5．B解析：B【分析】先用完全平方公式进行因式分解求出a 、b 、c 的值，再确定三角形的形状即可．【详解】解：222681050a b c a b c ++=++-，移项得，2226810500a b c a b c ++---+=，2226981610250a a b b c c +++++--=-，222(3)4)(0(5)a b c -+-+-=，30,40,50a b c -=-=-=，3,4,5a b c ===，2229,16,25a b c ===，222+=a b c ， ABC 是直角三角形，故选：B ．【点睛】本题考查了运用完全平方公式因式分解，勾股定理逆定理，非负数的性质，解题关键是通过等式的变形，恰当的拆数配成完全平方，再根据非负数的性质求边长．6．B解析：B【分析】连接BP ，根据已知条件求出AB=BC=1，由翻折得：BD=DE ，∠BDA=∠EDA ，AE=AB=1，21，证明△BDP ≌△EDP ，推出BP=EP ，当点P 与点D 重合时，即可求出PEC ∆的周长的最小值．【详解】连接BP ，在Rt ABC ∆中，90,45B BCA ︒∠=∠=︒，∴∠BAC=45BCA ∠=︒，AB=BC ，∴2222(2)2AB AC ===，∴AB=BC=1，由翻折得：BD=DE ，∠BDA=∠EDA ，AE=AB=1，∴CE=21-，在△BDP 和△EDP 中，BD ED BDP EDP DP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDP ≌△EDP ，∴BP=EP ，∴当点P 与点D 重合时，PE+PC=PB+PC=BC 的值最小，此时PEC ∆的周长最小， PEC ∆的周长的最小值为BC+CE=1+21-=2，故选：B ．．【点睛】此题考查翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，解题的关键是根据翻折的性质证得△BDP ≌△EDP ，由此推出当点P 与点D 重合时PEC ∆的周长最小，合情推理科学论证．7．D解析：D【分析】先证明△BDF ≌△ADC ，得到5【详解】解：∵AD 和BE 是△ABC 的高线，∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DBF+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°，∴∠DBF=∠CAD ，∵45ABC ∠=︒，∴∠BAD=45°，∴BD=AD ，∴△BDF ≌△ADC ，∴在Rt △BDF 中，1==．故选：D【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△BDF ≌△ADC 是解题关键． 8．A解析：A【分析】 根据△ADC 为直角三角形且AD=CD ，可得到22211111=2224S AD AC AC =⨯=，同理可得到221=4S BC 及231=4S AB ，在△ACB 中，由勾股定理得出：222AB AC BC =+，继而可得312S S S =+，代入计算即可．【详解】解：∵△ADC 为直角三角形，且AD=CD ，∴在△ADC 中，有222AC AD CD =+，∴222AC AD =，即AC =， ∴22211111=2224S AD AC AC =⨯=， 同理可得：221=4S BC ，231=4S AB ， ∵∠ACB=90︒， ∴222AB AC BC =+，即312111444S S S =+， ∴312S S S =+，∵19S =，216S =，∴3129+16=25S S S =+=，故答案为：A ．【点睛】本题考查勾股定理，由勾股定理得出三角形的面积关系是解题的关键．9．A解析：A【分析】根据在《周髀算经》中赵爽提过“赵爽弦图”即可解答．解：根据在《周髀算经》中赵爽提过“赵爽弦图”，故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理，知道“赵爽弦图”是赵爽在《周髀算经》提到过是解答的关键． 10．D解析：D【分析】由折叠可得5AD BD ==，AE BE =，根据勾股定理可得CE ，AE ，DE 的长度，即可求面积比．【详解】解：6BC =，8AC =，10AB ∴=，折叠，5AD BD ∴==，AE BE =， 22BC CE BE +=2，2236(8)CE CE ∴+=-，74CE ∴=， 725844AE ∴=-=，154DE ∴=， 11::14:2522BCE ADE S S BC CE AD DE ∆∆∴=⨯⨯⨯=， 故选：D ．【点睛】本题考查了折叠问题，勾股定理，关键是熟练运用勾股定理求线段的长度．11．C解析：C【分析】根据图形的特征先算出4个三角形的面积之和，再除以4，即可求解．【详解】由题意得：15×15-3×3=216，216÷4=54，故选C ．【点睛】本题主要考查“赵爽弦图”的相关计算，理清图形中的面积关系，是解题的关键． 12．B【分析】把此题转化成一个直角坐标系的问题，然后求各点坐标，最后利用勾股定理即可判断.【详解】设喷头在点P ，则A(6，0)，B （3，0）；C （3，3）；D （4.5；1.5）；P （14，0） 则AP=14-6=8m<10m ，故A 需调整；BP=14-3=11m>10m ，故B 不需调整； CP=()221433130-+=>10m ，不需调整； DP=()2214 4.5 1.592.5-+=<10m ，故D 需调整；故选：B【点睛】此题考查了勾股定理的应用，根据坐标系找到相应点的坐标，根据勾股定理计算长度是解答此题的关键.二、填空题13．5或16【分析】分两种情况讨论：①当∠BCP 为直角时点P 与点A 重合根据勾股定理即可求得跑PB 进而得到t ；②当∠BPC 为直角时利用三角形面积即可求解PC 然后根据勾股定理即可求解BP 进而求得t 【详解】∵解析：5或1.6【分析】分两种情况讨论：①当∠BCP 为直角时，点P 与点A 重合，根据勾股定理即可求得跑PB ，进而得到t ；②当∠BPC 为直角时，利用三角形面积即可求解PC ，然后根据勾股定理即可求解BP ，进而求得t ．【详解】∵∠C ＝90°，BC =4cm ，AC =3cm ，，∴在Rt BCA ∆，2222435AB BC AC =+=+=．①当∠BCP 为直角时，点P 与点A 重合，∴t ＝5÷2＝2.5s ．②∠BPC 为直角时，在Rt△ABC中，1122ABCS BC AC AB CP∆=⨯⨯=⨯⨯，即1143522⨯⨯=⨯⨯CP，解得 2.4CP=在Rt△BPC中，22224 2.4 3.2BP BC PC=-=-=∴t＝3.2÷2＝1.6s．综上，当t＝2.5s或1.6s时，△BPC为直角三角形．故答案为：2.5或1.6．【点睛】本题考查了三角形的动点问题，掌握t s v=÷以及勾股定理是解题的关键．14．101【分析】取AB的中点O过D作DE⊥AB于E根据勾股定理解答即可得到结论【详解】解：取AB的中点O过D作DE⊥AB于E如图2所示：由题意得：OA＝OB＝AD＝BC设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸则解析：101【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．【详解】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝12CD＝1寸，∴AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE2＋DE2＝AD2，即（r﹣1）2＋102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，故答案为：101【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．15．或【分析】根据非负数的性质列出方程组求解的值然后分两种情况讨论画出图形作底边上的高利用勾股定理求出高即可求解【详解】解：由非负性可知解得①当是腰时三边分别为由2＋2＞3则能组成三角形设底边上的高为h 解析：374或22 【分析】根据非负数的性质列出方程组求解a ，b 的值，然后分两种情况讨论,画出图形,作底边上的高,利用勾股定理求出高，即可求解．【详解】解：由非负性可知235023130a b a b -+=⎧⎨+-=⎩， 解得23a b =⎧⎨=⎩， ①当a 是腰时，三边分别为2、2、3，由2＋2＞3，则能组成三角形，设底边上的高为h ，如下图所示则h=22322⎛⎫- ⎪⎝⎭=7 ∴此等腰三角形的面积为1732⨯⨯=374； ②当b 是腰时，三边分别为3、3、2，由3＋2＞3，则能组成三角形，设底边上的高为h ，如下图所示则22232⎛⎫- ⎪⎝⎭2 ∴此等腰三角形的面积为12222⨯⨯=22 综上：此等腰三角形的面积为374或22或故答案为：4【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，解二元一次方程组，三角形的三边关系，勾股定理，先求出a，b的值是解题的关键，要注意分情况讨论．16．【分析】由折叠的性质可得CD=DE=1∠C=∠AED=90°由直角三角形的性质可求BD的长再运用勾股定理可求解【详解】解：∵将△ABC折叠使点C落在斜边AB上的点E处∴CD=DE=1∠C=∠AED=【分析】由折叠的性质可得CD=DE=1，∠C=∠AED=90°，由直角三角形的性质可求BD的长，再运用勾股定理可求解．【详解】解：∵将△ABC折叠使点C落在斜边AB上的点E处，∴CD=DE=1，∠C=∠AED=90°，∵∠B=30°，∴BD=2DE=2，AB=2AC，∴BC=BD+CD=2+1=3，由勾股定理得，222=+AB BC AC∴4222=+AC BC AC∴AC=【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握折叠的性质是本题关键．17．5【分析】根据勾股定理可知大正方形面积等于两个小正方形面积和再利用面积和差可以得出阴影部分面积等于重叠部分面积【详解】解：由图可知阴影部分面积=大正方形面积-两个小正方形面积+重叠部分面积根据勾股定解析：5【分析】根据勾股定理可知，大正方形面积等于两个小正方形面积和，再利用面积和差可以得出阴影部分面积等于重叠部分面积．【详解】解：由图可知，阴影部分面积=大正方形面积-两个小正方形面积+重叠部分面积，根据勾股定理可知，大正方形面积等于两个小正方形面积和，所以阴影部分面积=重叠部分面积，故答案为：5．【点睛】本题考查了勾股定理，解题关键是树立数形结合思想，知道大正方形面积等于两个小正方形面积和，通过面积和差得出阴影部分面积等于重叠部分面积．18．3【分析】作DG ⊥AC 于GEH ⊥AC 于H 则∠DGM ＝∠MHE ＝90°DG ∥BC 由勾股定理得出BC ＝6证出DG 是△ABC 的中位线得出DG ＝BC ＝3AG ＝CG ＝AC ＝4证明△MDG ≌△EMH （ASA ）得解析：3【分析】作DG ⊥AC 于G ，EH ⊥AC 于H ，则∠DGM ＝∠MHE ＝90°，DG ∥BC ，由勾股定理得出BC ＝6，证出DG 是△ABC 的中位线，得出DG ＝12BC ＝3，AG ＝CG ＝12AC ＝4，证明△MDG ≌△EMH （ASA ），得出MG ＝EH ，由三角形面积关系得出DG ＝2EH ＝3，得出MG＝EH ＝32，再证明∆DGF~∆EHF ，从而求出GF ，进而即可得出答案． 【详解】作DG ⊥AC 于G ，EH ⊥AC 于H ，如图所示：则∠DGM ＝∠MHE ＝90°，DG ∥BC ，∵∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝8， ∴BC6=，∵DG ∥BC ，D 是AB 的中点，∴DG 是△ABC 的中位线，∴DG ＝12BC ＝3，AG ＝CG ＝12AC ＝4， ∵△DME 是等腰直角三角形，∴∠DME ＝90°，DM ＝ME ，∵∠DMG ＋∠GDM ＝∠DMG ＋∠EMH ＝90°，∴∠GDM ＝∠EMH ，在△MDG 和△EMH 中，DGM MHE DM MEGDM EMH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ∴△MDG ≌△EMH （ASA ），∴MG ＝EH ，∵S △MDF ＝2S △MEF ，∴DG ＝2EH ＝3，∴MG ＝EH ＝32， ∵DG ∥EH ，∴∆DGF~∆EHF ，∴21DG GF EH HF ==， ∵GH=MH-MG=DG-MG=3-32=32， ∴GF=32×221+=1， ∴CF=AC-AG-GF=8-4-1=3， 故答案是：3．．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质；添加辅助线，构造三角形全等是解题的关键．19．【解析】如图(1)所示：AB=；如图(2)所示：AB=∵>∴最短路径为答：它所行的最短路线的长是故答案为点睛：本题考查了平面展开---最短路径问题解题的关键是将长方体展开构造直角三角形然后利用勾股定解析：41 【解析】如图(1)所示：222(25)=53++如图(2)所示：2245=41+，∵5341∴4141故答案为41点睛：本题考查了平面展开---最短路径问题，解题的关键是将长方体展开，构造直角三角形，然后利用勾股定理解答.20．【分析】根据勾股定理正方形的面积公式计算即可【详解】在Rt△ACB中AC2+BC2＝AB2＝25则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和＝AC2+BC2＝25故答案为：25【点睛】本题考查的是勾股解析：【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可．【详解】在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2＝25，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和＝AC2+BC2＝25．故答案为：25．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2.三、解答题21．101寸【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．【详解】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：由题意得：OA=OB=AD=BC，设OA=OB=AD=BC=r寸，则AB=2r（寸），DE=10寸，OE=12CD=1寸，∴AE=（r-1）寸，在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2，即（r-1）2+102=r2，解得：r=50.5，∴2r=101（寸），∴AB=101寸．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．22．5m【分析】先画出三棱柱的侧面展开图，再根据勾股定理求解．【详解】将三棱柱展开如图，连接A’A，则A’A的长度就是彩带的最短长度，如图，在Rt△AA'B中AB=底面等边三角形的周长=3×1=3(m)∵AA'=4(m)由勾股定理得：22435AA'=+=(m)．答：灯带的最短长度为5m．【点睛】本题考查学生对勾股定理的应用能力，熟练掌握勾股定理是解题的关键.23．（1）①114°；②∠2=∠1+2∠C；（2）74；（3）3或6【分析】（1）①根据三角形外角的性质求得∠DFC的度数，然后再次利用三角形外角的性质求得∠2的度数；②利用三角形外角的性质推理计算；（2）设BD=x，根据折叠的性质结合勾股定理列方程求解；（3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，根据勾股定理求得AC=10，根据翻折的性质得AE=AB=6，DE=BD，∠AED=∠B=90°，然后分∠DEC=90°和∠EDC=90°两种情况，结合勾股定理求解．【详解】解：（1）①由折叠性质可得∠C=∠C′=37°∴∠DFC=∠1+∠C′=77°∴∠2=∠DFC+∠C=77+37=114°故答案为：114°②由折叠性质可得∠C=∠C′∴∠DFC=∠1+∠C′∴∠2=∠DFC+∠C=∠1+∠C′+∠C=∠1+2∠C故答案为：∠2=∠1+2∠C（2）∵90B ∠=︒，6AB =，8BC =设BD=x ，则CD=AD=8-x∴在Rt △ABD 中，2226(8)x x +=-，解得：74x =∴BD 的长为74（3）在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∴AC=22AB BC +=10，∵△AED 是△ABD 以AD 为折痕翻折得到的，∴AE=AB=6，DE=BD ，∠AED=∠B=90°．当△DEC 为直角三角形，①如图，当∠DEC=90°时，∵∠AED+∠DEC=180°，∴点E 在线段AC 上，设BD=DE=x ，则CD=8-x ，∴CE=AC-AE=4，∴DE 2+CE 2=CD 2，即x 2+42=（8-x ）2，解得：x=3，即BD=3；②如图，当∠EDC=90°，∴∠BDE=90°，∵∠BDA=∠ADE ，∴∠BDA=∠ADE=45°，∴∠BAD=45°，∴AB=BD=6．综上所述：当△DEC 为直角三角形时，BD 的长为3或6．【点睛】本题考查了三角形外角的性质及折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论思想的应用是解题的关键．解题时设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．24．（1）见解析；（2）AC 的长为12.5．【分析】(1)计算△BCD 各边的平方，看是否满足勾股定理的逆定理，依此判断直线的位置关系；(2)用方程思想，表达勾股定理计算即可.【详解】（1）证明：2222129225CD BD +=+=，2225BC =，222CD BD BC ∴+=，90CDB ∴∠=︒，CD AB ∴⊥；（2）设AB AC x ==，则9AD x =-，在Rt ACD 中，90ADC ∠=︒，222AD CD AC ∴+=，222(9)12x x ∴-+=，解得12.5x =，AC ∴的长为12.5．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握定理，逆定理并灵活运用是解题的关键. 25．（1）7米；（2）不是【分析】（1）利用勾股定理直接求出边长即可；（2）梯子的顶端下滑了4米，则20a =米，利用勾股定理求出b 的值，判断是否梯子的底部在水平方向也滑动了4米．【详解】（1）如图，由题意得此时a ＝24米，c ＝25米，由勾股定理得222+=a b c ， ∴2225247b =-=（米）；（2）不是，如果梯子的顶端下滑了4米，此时20a =米，25c =米，由勾股定理，22252015b =-=（米），1578-=（米），即梯子的底部在水平方向滑动了8米．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握用勾股定理解直角三角形的方法． 26．（1）5；（2）5．【分析】（1）设BE 长为x ，则,9DE BE x AE x ===-，在Rt ABE △中由勾股定理列方程，解方程即可求得BE 的长；（2）由//AD BC 得出DEF BFE ∠=∠，由折叠的性质得出DEF BEF ∠=∠，所以BEF BFE ∠=∠，得出BF BE =【详解】（1）设BE 长为x ，则,9DE BE x AE x ===-．在Rt ABE △中，90A ∠=︒， 222AB AE BE +=，即2223(9)x x +-=．解得5x =，所以BE 的长为5．（2）∵四边形ABCD 是长方形，//AD BC ∴．DEF BFE ∴∠=∠．由折叠，得DEF BEF ∠=∠，BEF BFE ∴∠=∠．5BF BE ∴==．【点睛】本题考查了折叠的性质和应用，勾股定理的性质，解题的关键是灵活运用平行的性质、勾股定理等几何知识来解答．。
华东师大版 2017年秋期八年级上第14章《勾股定理》单元卷
2016年秋期八年级（上）数学定时作业（四）第十四 章勾股定理一、选择题（每小题3分，共24分）1.在△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，AB=10cm ，则BC 之长为（ ） A .6cm B .8 cm C. 164 cm D.36cm2.以下各组数据为边长的三角形中，不能组成直角三角形的是（ ）A. 2、3、4B. 3、4、5C. 5、12、13D. 20、12、163.如图，矩形OABC 的边OA 在以点0为原点的数轴上，且OA 长为2，边AB 长为1，，以原点O 为圆心， OB 长为半径画弧，交数轴的正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A.3 B.5 C.22 D.34.△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别记为a ，b ，c ，下列条件中不能判定△ABC 为直角三角形的是( )A ．∠A -∠B=∠CB ．∠A：∠B：∠C=3：4：5C ．222a c b -=D ．a ：b ：c =3：4：55.如图，正方形ABCD 的边长为1，则正方形ACEF 的面积为( )A ．2B ．3C ．6D ．86.把直角三角形的两直角边同时扩大到原来的3倍，则斜边扩大到原来的（ ）A.2倍B.3倍C.6倍D.9倍7.△ABC 中，∠C =900，CD ⊥AB ，若AB=20，BC=16，CD 长为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 128.一个长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 是长方体的边上一点，离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从顶点A爬到点B ，需要爬行的最短距离是（ ） A. 215 B.5105+C. 25 D .35二、填空题（每小题3分，共24分）9. 在直角三角形ABC 中，斜边AB=4，则AB 2+AC 2+BC 2=__________．10.把15 米长的梯子靠在墙上，当梯子底端离墙9米时，梯子顶端的高度是___ ____.11. 如图，四边形ABCD 是正方形，AE 垂直于BE ，且AE=3，BE=4，则阴影部分的面积是__________．12. 直角三角形两边的长y x ,满足091622=-+-y x ，则第三边的长为 .13. 若等腰三角形的两腰长为10cm ，底边长为16cm ，该三角形面积为 .14. Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB=8，AC=6，DE 垂直平分AB ，垂足为D ，交边BC 于点E ，连接AE ，则△ACE 的周长为 .15. 某圆柱形饮料罐的底面半径是5cm ，高是12cm ，上底面的中心一个小圆孔，用长20cm 的直吸管插入圆孔中吸喝饮料，吸管留在饮料瓶外的最短长度为 .16. 如图：用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼出一个正方形图案，已知大正方形面积为100，小正方形面积为4，若用y x ,表示直角三角形的两直角边（x＞y ），有下列四个结论：①2=-y x ，②12=+y x ，③10022=+y x ，④48=xy .其中正确的结论有 （只将正确的番号填在横线上）三、解答题（共72分）17.（10分）解答下列各题（1）Rt △ABC 中，∠C=900，AB=41，AC=40，求BC 之长.（2）Rt △ABC 中，∠C=900，AC=8，AB-BC=4，求BC 之长.18.（10分）判断下列条件下的△ABC 的形状.（1）BC=7，AB=25，AC=24.（2）△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且n a 2=，12-=n b ，12+=n c .19. （6分）将长AD=9，宽AB=3的长方形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，求△ABE 的面积.20.（8分）如图所示，四边形ABCD 中，∠A=90°，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，；（1）求BD 的长；（2）求四边形ABCD 的面积．ABG21.（8分）△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知∠BDC=45°，10，AB=20．（1）求BC之长；（2）求AD之长.BD=222.（8分）正方形ABCD的边长为8cm，E是AD边上，DE=2cm，P是对角线AC上一点. （1）当PE∥BC时，求AP之长.（2）若PD+PE的值最小，画图找出点P的位置，并求出这个最小值.23.（10分）我们都熟悉勾股定理，“勾三、股四、弦五”，在数字上，两个整数的平方和如果等于另一个整数的平方，这样的三个数我们称做一组勾股数，如：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…，通过观察和思考，发现这些勾股数的勾都是奇数，而且从3起就不会间断。
人教版数学八年级下第十七章《勾股定理》单元检测题含答案
1 / 6《勾股定理》单元检测题一、选择题（每小题只有一个正确答案）1．设直角三角形的两条直角边分别为a 和b ，斜边长为c ，已知1213b c ==，，则a=( )A. 1B. 5C. 10D. 252．在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（ ）A. 15817a b c ===，，B. 91215a b c ===，，C. 72425a b c ===，，D. 357a b c ===，，3．一个三角形的三边长为15，20，25，则此三角形最大边上的高为（ ）A. 10B. 12C. 24D. 484．如图，有一个由传感器控制的灯A 装在门上方离地高4.5 m 的墙上，任何东西只要移至距该灯5 m 及5 m 以内时，灯就会自动发光，请问一个身高1.5 m 的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（ ）A. 4 mB. 3 mC. 5 mD. 7 m5．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是( )A. B. C. D.6．若直角三角形的三边长分别为a b -、a 、a b +，且a 、b 都是正整数，则三角形其中一边的长可能为（ ）A. 22B. 32C. 62D. 827．如图，△ABC 中，AC =3，BC = 5，AD ⊥BC 交BC 于点D ，AD =125，延长BC 至E 使得CE =BC ，将△ABC 沿AC 翻折得到△AFC ，连接EF ，则线段EF 的长为（ ）A. 6B. 8C. 325D. 3238．如图,点P 是平面坐标系中一点,则点P 到原点的距离是（ ）A. 3B. 2C. 7D. 59．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm 2 ，则该半圆的半径为（）A. (4+5)cmB. 9cmC. 45cm D. 62cm10．如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm. 如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要， ，A. 11cm 34 C. (8＋10)cm D. (7＋5二、填空题11．一个直角三角形的两条直角边长为6和8，则它的斜边上的高是________．12．如图所示,一段楼梯,高BC是3 m,斜边AC是5 m,如果在楼梯上铺地毯,那么至少需要地毯________.13．如图，在东西走向的铁路上有A，B两站（视为直线上的两点）相距36千米，在A，B 的正北分别有C，D两个蔬菜基地，其中C到A站的距离为24千米，D到B站的距离为12千米，现要在铁路AB上建一个蔬菜加工厂E，使蔬菜基地C，D到E的距离相等，则E站应建在距A站_____千米的地方．14．如图，在Rt△ABC中，∠BCA，90°，点D是BC上一点，AD，BD，若AB，8，BD，5，则CD，________，3 / 615．如图，点A 、B 、O 是单位为1的正方形网格上的三个格点，⊙O 的半径为OA ，点P 是优弧AmB 的中点，则△APB 的面积为_______．三、解答题16．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝1，CD 3，DA ＝1，且∠B ＝90°.求：(1)∠BAD 的度数；(2)四边形ABCD 的面积(结果保留根号)，17．如图是“赵爽弦图”，其中ABH 、BCG 、CDF 和DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理.设AD c AE a DE b ===，，，取102c a b =-=，． ()1正方形EFGH 的面积为______，四个直角三角形的面积和为______；()2求2()a b +的值．18．如图，甲、乙两船从港口A 同时出发，甲船以30海里/时的速度向北偏东35°的方向航行，乙船以40海里/时的速度向另一方向航行，2小时后，甲船到达C 岛，乙船到达B 岛，若C，B 两岛相距100海里，则乙船航行的方向是南偏东多少度？19．如图，一架长2.5m 的梯子AB 斜靠在墙AC 上，，C =90°，此时，梯子的底端B 离墙底C 的距离BC 为0.7m ．（1）求此时梯子的顶端A 距地面的高度AC ；（2）如果梯子的顶端A 下滑了0.9m ，那么梯子的顶端B 在水平方向上向右滑动了多远？1 / 6参考答案1．B2．D3．B4．A5．D6．B7．A8．A9．C10．B11．4.812．7m13．1214．1.415212+16．（1）135°；（2122+解析：（1）∵AB=BC=1，且∠B=90°，∴∠BAC=45°，22=2AB BC +， 而3DA=1，∴CD 2=AD 2+AC 2，∴△ACD 是直角三角形，即∠DAC=90°，∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=135°；（2）∵S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD ，而S △ABC =12AB×BC=12， S △ACD =12AD×22， ∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =12+12（）17．4；96解：（1）∵HE =a ﹣b =2，∴S 正方形EFGH =HE 2=4．∵AD =c =10，∴S 正方形ABCD =AD 2=100，∴四个直角三角形的面积和=S 正方形ABCD ﹣S 正方形EFGH =100﹣4=96．故答案为：4；96；（2）由（1）可知四个直角三角形的面积和为96，∴4×12ab =96，解得：2ab =96．∵a 2+b 2=c 2=100，∴（a +b ）2=a 2+b 2+2ab =100+96=196．18．乙船航行的方向为南偏东55°.解析：由题意可知，在△ABC 中，AC ＝30×2=60，AB ＝40×2=80，BC ＝100，∴AC 2=3600，AB 2=6400，BC 2=10000，∴AC 2＋AB 2＝BC 2，∴∠CAB ＝90°，又∵∠EAD=180°，∠EAC=35°，∴∠DAB ＝90°－∠CAE ＝90°－35°＝55°，∴乙船航行的方向为南偏东55°.19．（1）此时梯顶A 距地面的高度AC 是2.4米；（2）梯子的底端B 在水平方向滑动了1.3m ．解析：（1）∵∠C=90°，AB=2.5，BC=0.7∴22AB BC -222.50.7-（米）， 答：此时梯顶A 距地面的高度AC 是2.4米；（2）∵梯子的顶端A 下滑了0.9米至点A′，∴A′C=AC﹣A′A=2.4﹣0.9=1.5（m ），在Rt△A′CB′中，由勾股定理得：A′C 2+B′C 2=A′B′2，即1.52+B′C 2=2.52，∴B′C=2（m ）∴BB′=CB′﹣BC=2﹣0.7=1.3（m ），答：梯子的底端B 在水平方向滑动了1.3m ．。
人教版八年级数学下册第17章《勾股定理》单元检测卷及答案解析
八年级数学下册第17章《勾股定理》单元检测卷分值：120分时间：90分钟一、选择题.（本大题共12道小题，共36分）1．下列线段能组成直角三角形的一组是（）A ．1，2，2B ．3，4，5C ，2D ．5，6，72．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，下列命题中的假命题是（）A ．如果∠C －∠B ＝∠A ，则△ABC 是直角三角形B ．如果222c b a =-，则△ABC 是直角三角形，且∠C ＝90°C ．如果2()()c a c a b +-=，则△ABC 是直角三角形D ．如果∠A ∶∠B ∶∠C ＝5∶2∶3，则△ABC 是直角三角形3．如图，小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O ，在数轴上找到表示数2的点A ，然后过点A 作AB ⊥OA ，使AB ＝3(如图).以O 为圆心，OB 长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数介于（）A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间4．如图，一次飓风灾害中，一棵大树在离地面米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是（）A ．5米B ．6米C ．7米D ．8米5．若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足222()()0a b a b c -+-=，则△ABC 是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形6．如图，将一根长厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为（）厘米．A．1B．2C．3D．47．我市在旧城改造中，需要在一块如图所示的三角形空地上铺设草坪，如果每平方米草坪的价格为x元，则购买草坪需要的花费大概是（）提示：2≈1.414，3≈1.732A．150x元B．300x元C．130x元D．260x元8．等腰三角形一腰长为5，这一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边长为（）A．10B．310C．10或310D．4或3109．如图所示，长方形ABCD中，点E在边AB上，将长方形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处，若AD＝5，DC＝3，则BF的长是（）A．1B．2C．3D．410．小明想知道学校旗杆的高度，她发现旗杆上的绳子刚好垂到地面，当她把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端距离地面1米，则旗杆的高是（）A．8米B．10米C．12米D．13米11．如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（）A．14cm B．15cm C．24cm D．25cm12．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书周髀算经中就有“若勾三、股四、则弦五”的记载。
(典型题)初中数学八年级数学上册第一单元《勾股定理》检测题(有答案解析)
一、选择题1．下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A ．4，5，6 B ．5，7，2 C ．10，24，26 D ．12，13，15 2．已知一个直角三角形三边的平方和为800，则这个直角三角形的斜边长为（ ） A ．20B ．40C ．80D ．1003．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别是2，5，1，2．则最大的正方形E 的面积是（ ）A ．10B ．8C ．6D ．154．学习勾股定理后，老师布置的课后作业为“利用绳子（绳子足够长）和卷尺，测量学校教学楼的高度”，某数学兴趣小组的做法如下：①将绳子上端固定在教学楼顶部，绳子自由下垂，再垂直向外拉到离教学楼底部3m 远处，在绳子与地面的交点处将绳子打结；②将绳子继续往外拉，使打结处离教学楼的距离为6m ，此时测得绳结离地面的高度为 1m ，则学校教学楼的高度为（ ） A ．11 m B ．13 m C ．14 m D ．15 m 5．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）A ．1，2，3B ．3，4，5C ．5，12，13D ．5,7,326．如图所示的图案是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中一直角三角形的斜边和一直角边长分别是13，12，则阴影部分的面积是（ ）A ．25B ．16C ．50D ．417．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，下列条件不能判断△ABC 是直角三角形的是（ ） A ．∠B ＝∠C +∠AB ．a 2＝（b +c ）（b ﹣c ）C ．∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5D ．a ：b ：c ＝3：4：58．如图，在ABC 中，90C ︒∠=，2AC =，点D 在BC 上，ADC 2B ∠=∠，5AD =BC 的长为（ ）A ．31-B ．31+C ．51-D ．51+ 9．下列各组数是勾股数的是（ ） A ．1，2，3 B ．0.6，0.8，1 C ．3，4，5 D ．5，11，12 10．若ABC 的三边为下列四组数据，则能判断ABC 是直角三角形的是（ ） A ．1、2、2B ．2、3、4C ．6、7、8D ．6、8、1011．若实数m 、n 满足340m n -+-=，且m 、n 恰好是Rt ABC △的两条边长，则第三条边长为（ ）． A ．5B ．7C ．5或7D ．以上都不对12．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a ，较短直角边为b ，则2()a b +的值为（ ）A ．25B ．19C ．13D ．169二、填空题13．如图，把一张宽为4（即4AB =）的矩形纸片ABCD 沿,EF GH 折叠（点,E H 在AD 边上，点,F G 在BC 边上），使点B 和点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A '点，D 点对称点为D '点．当PFG △为等腰三角形时，发现此时PFG △的面积为10，则矩形ABCD 的长BC =_____．14．如图，△ABC 中AD ⊥BC 于D ，AC ＝2， DC ＝1，BD ＝3， 则AB 的长为_____．15．一个直角三角形，一边长5cm ，另一边长4cm ，则该直角三角形面积为____ 16．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，点D 在BC 上，且12AC DC AB ==，若2AD =，则BD =___________．17．如图，圆柱形容器中，高为1m ，底面周长为4m ，在容器内壁离容器底部0.4m 处的点B 处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.6m 与蚊子相对的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为______m （容器厚度忽略不计）．18．在平面直角坐标系中，若点M （2，4）与点N （x ，4）之间的距离是3，则x 的值是_____．19．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6、BC ＝8，CD ⊥AB ，则CD ＝___．20．如图，ABC 中，90C ∠=︒，D 是BC 边上一点，17AB cm =，10AD cm =，8AC cm =，则BD 的长为________.三、解答题21．某学校要对如图所示的一块地进行绿化，已知4m AD =，3m CD =，AD DC ⊥，13m AB =，12m BC =，求这块地的面积．22．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，将△ACE 沿着AE 折叠以后C 点正好落在AB 边上的点D 处．（1）当∠B ＝28°时，求∠CAE 的度数； （2）当AC ＝6，AB ＝10时，求线段DE 的长．23．定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足290αβ+=︒，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．（1）若ABC 是“近直角三角形”，90B ∠>︒，50C ∠=︒，则A ∠=_____度； （2）如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =．若CD 是ACB ∠的平分线，①求证：BDC 是“近直角三角形”； ②求BD 的长．（3）在（2）的基础上，边AC 上是否存在点E ，使得BCE 也是“近直角三角形”？若存在，直接写出．．．．CE 的长；若不存在，请说明理由． 24．阅读材料，并解决问题． 有趣的勾股数定义：勾股数又名毕氏三元数．凡是可以构成一个直角三角形三边长的一组正整数，称之为勾股数．一般地，若三角形三边长a ，b ，c 都是正整数，且满足222=a b c +，那么数组()a b c ，，称为勾股数．公元263年魏朝刘徽著《九章算术注》，文中除提到勾股数()3，4,5以外，还提到()5，12,13，()7，24,25，()8，15,17，()20，21,29等勾股数．数学小组的同学研究勾股数时发现：设m ，n 是两个正整数，且m n >，三角形三边长a ，b ，c 都是正整数．下表中的a ，b ，c 可以组成一些有规律的勾股数()a b c ，，．通过观察这个表格中的数据，小明发现勾股数a b c ，，可以写成()2222mn b m n -+，，．解答下列问题：（1）表中b 可以用m ，n 的代数式表示为_____________． （2）若4m =，2n =，则勾股数()a b c ，，为______________． （3）小明通过研究表中数据发现：若1c b -=，则勾股数的形式可表述为()211k b b ++，，（k 为正整数），请你通过计算求此时的b ．(用含k 的代数式表示b )25．如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩A 在离水面的BD 的1.3米处，在距离鱼线1.2米处D 点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？26．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A 、 B 、C 在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与△ABC 关于直线l 成轴对称的△A′B′C′；（2）在直线l 上找一点P(在答题纸上图中标出)，使PB+PC 的长最短，这个最短长度的平方值是___．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据勾股定理的逆定理逐项分析解题即可． 【详解】 解：A.2224564,5,6∴不是勾股数，故A 不符合题意； B.222257+≠5,7,2∴不是勾股数，故B 不符合题意；C. 222102426+=10,24,26∴是勾股数，故C 符合题意；D. 222121315+≠12,13,15∴不是勾股数，故D 不符合题意，故选：C ． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．2．A解析：A 【分析】直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，已知三边的平方和可以求出斜边的平方，根据斜边的平方可以求出斜边长． 【详解】解：∵在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和， 又∵已知三边的平方和为800，则斜边的平方为三边平方和的一半， 即斜边的平方为，800÷2=400， ∴斜边长=400=20， 故选：A ． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活应用，考查了勾股定理的定义，本题中正确计算斜边长的平方是解题的关键．3．A解析：A 【分析】设正方形A 的边长为a ，正方形B 的边长为b ，正方形F 的边长为c ，如图，则由勾股定理可得222+=a b c 及正方形面积公式可得正方形F 的面积为7，同理可求解问题． 【详解】解：设正方形A 的边长为a ，正方形B 的边长为b ，正方形F 的边长为c ，如图，由勾股定理可得222+=a b c ，∴由正方形的面积计算公式可得正方形F 的面积为2+5=7， 同理可得正方形H 的面积为1+2=3，正方形E 的面积为7+3=10； 故选A ． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．4．C解析：C 【分析】根据题意画出示意图，设学校教学楼的高度为x ，可得AC AD x ==，()1AB x m =-，6BC m =，利用勾股定理可求出x ． 【详解】 解：如图，设学校教学楼的高度为x ，则AD x =，()1AB x m =-，6BC m =， 左图，根据勾股定理得，绳长的平方223x =+， 右图，根据勾股定理得，绳长的平方()2216x =-+， ∴()2222316x x +=-+，解得：14x =． 故选：C ． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．5．D解析：D 【分析】根据勾股定理的逆定理分别进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A 、∵22213)42+==，∴1，23能作为直角三角形的三边长．故此选项不符合题意； B 、∵22234255+==，∴3，4，5能作为直角三角形的三边长．故此选项不符合题意； C 、∵22251216913+==，∴5，12，13能作为直角三角形的三边长．故此选项不符合题意； D 、∵225)7)12+=，23218=()，1218≠，∴5,7,32不能作为直角三角形的三边长．故此选项符合题意．故选：D ． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理逆定理用法是解题的关键．6．C解析：C 【分析】由勾股定理解得2AB 、22CD BD +，再根据正方形边长相等的性质得到222225CD BD BC AB +===，据此解题即可． 【详解】解：由勾股定理得，222131225AB =-=222BC CD BD =+222225CD BD BC AB ∴+===∴阴影部分的面积是222252550CD BD BC ++=+=，故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．7．C解析：C 【分析】由三角形的内角和定理求解B 可判断,A 由勾股定理的逆定理可判断,B 由三角形的内角和定理求解 ,C ∠ 可判断,C 设()30,a k k =≠ 则4,5,b k c k == 利用勾股定理的逆定理可判断.D 【详解】 解：,180,B C A A B C ∠=∠+∠∠+∠+∠=︒2180B ∴∠=︒，90B ∴∠=︒，故A 不符合题意； ()()222,a b c b c b c =+-=-222,a c b ∴+=90B ∴∠=︒，故B 不符合题意；::3:4:5,A B C ∠∠∠=51807512C ∴∠=⨯︒=︒， ABC ∴不是直角三角形，故C 符合题意， ::3:4:5,a b c =设()30,a k k =≠ 则4,5,b k c k ==()()()222222234255,a b k k k k c ∴+=+===90C ∴∠=︒，故D 不符合题意， 故选：.C 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．8．D解析：D 【分析】根据勾股定理求出CD ，根据三角形的外角的性质得到∠B ＝∠BAD ，求出BD ，计算即可． 【详解】∵∠C＝90°，AC ＝3，AD =∴CD，∵∠ADC ＝2∠B ，∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ， ∴∠B ＝∠BAD ， ∴DB ＝AD =∴BC ＝BD ＋CD 故选：D ． 【点睛】本题考查的是勾股定理，三角形的外角的性质以及等腰三角形的判定定理，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2是解题的关键．9．C解析：C 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A A 错误； B 、0.6，0.8，不是整数，故B 错误；C 、3，4，5是整数，且222345+=，故C 正确；D 、5，11，12是整数，但22251112+≠，故D 错误；故选：C ．【点睛】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC 的三边满足a 2+b 2=c 2，则△ABC 是直角三角形．10．D解析：D【分析】利用勾股定理的逆定理逐一判断各选项即可得到答案．【详解】解：2221+2=52≠，ABC ∴不是直角三角形，故A 不符合题意；22223134,+=≠ABC ∴不是直角三角形，故B 不符合题意；22267858,+=≠ABC ∴不是直角三角形，故C 不符合题意；2226810010,+==ABC ∴是直角三角形，故D 符合题意；故选：.D【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握利用勾股定理的逆定理判断直角三角形是解题的关键．11．C解析：C【分析】根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出m=3，n=4，再分两种情况利用勾股定理求出第三边．【详解】∵30m -=，30m -≥≥，∴m-3=0，n-4=0，解得m=3，n=4，当3、4都是直角三角形的直角边长时，第三边长；当3是直角边长，4是斜边长时，第三边长=故选：C ．【点睛】此题考查绝对值的非负性及算术平方根的非负性，勾股定理，根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出m=3，n=4是解题的关键．注意：没有明确给出的是直角三角形直角边长还是斜边长时，应分情况求解第三边长．12．A解析：A【分析】根据正方形的面积及直角边的关系，列出方程组，然后求解．【详解】解：由条件可得：2213 113124a baba b⎧+=⎪-⎪=⎨⎪>>⎪⎩，解之得：32ab=⎧⎨=⎩．所以2()25a b+=，故选A【点睛】本题考查了正方形、直角三角形的性质及分析问题的推理能力和运算能力．二、填空题13．【分析】根据勾股定理解答即可；【详解】由题可知∴作∵是等腰三角形∴∴由翻折可知∴∴；故答案是【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用准确结合翻折的性质计算是解题的关键解析：589+【分析】根据勾股定理解答即可；【详解】由题可知△14102PFGS FG=⨯⨯=，∴5FG=，作PM FG⊥，∵PFG△是等腰三角形，∴52FM GM ==，∴2PF PG ===， 由翻折可知，BF PF PG CG ===，∴2BF CG ==， ∴5BC BF FG CF =++=+故答案是5【点睛】 本题主要考查了勾股定理的应用，准确结合翻折的性质计算是解题的关键．14．【分析】根据ACDC 解直角△ACD 可以求得AD 根据求得的AD 和BD 解直角△ABD 可以计算AB 【详解】∵AD ⊥BC 于D ∴△ACD △ABD 为直角三角形∴AC2＝AD2＋DC2∴AD ＝=＝∵△ABD 为直角解析：【分析】根据AC ，DC 解直角△ACD ，可以求得AD ，根据求得的AD 和BD 解直角△ABD ，可以计算AB ．【详解】∵AD ⊥BC 于D ，∴△ACD 、△ABD 为直角三角形，∴AC 2＝AD 2＋DC 2，∴AD，∵△ABD 为直角三角形，∴AB 2＝AD 2＋BD 2，∴AB＝故答案为：【点睛】本题考查了直角三角形中勾股定理的灵活运用，根据两直角边求斜边，根据斜边和一条直角边求另一条直角边．15．10或6【分析】分5为直角边和5为斜边两种情况求解三角形的面积即可【详解】解：当5为直角边时4也为直角边则该直角三角形的面积为5×4÷2=10；当5为斜边时由勾股定理得另一直角边为=3则该直角三角形 解析：10或6分5为直角边和5为斜边两种情况求解三角形的面积即可．【详解】解：当5为直角边时，4也为直角边，则该直角三角形的面积为5×4÷2=10；当5，则该直角三角形的面积为3×4÷2=6，综上，该直角三角形的面积为10或6，故答案为：10或6．【点睛】本题考查直角三角形的面积、勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解答的关键． 16．【分析】设在中利用勾股定理求出x 值即可得到AC 和CD 的长再求出AB 的长再用勾股定理求出BC 的长即可得到结果【详解】解：设∵∴即解得或（舍去）∴∵∴∴∴故答案是：【点睛】本题考查勾股定理解题的关键是掌1【分析】设AC DC x ==，在Rt ACD △中，利用勾股定理求出x 值，即可得到AC 和CD 的长，再求出AB 的长，再用勾股定理求出BC 的长，即可得到结果．【详解】解：设AC DC x ==，∵90C ∠=︒，∴222AC CD AD +=，即222x x +=，解得1x =或1-（舍去）， ∴1AC DC ==， ∵12AC AB =， ∴2AB =，∴BC ===， ∴1BD BC CD =-=．1．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握利用勾股定理解直角三角形的方法．17．【分析】将容器侧面展开建立A 关于EC 的对称点A′根据两点之间线段最短可知A′B 的长度即为所求【详解】如图将容器侧面展开作A 关于EC 的对称点A′连接A′B 交EC 于F 则A ′B 即为最短距离∵高为1m 底面周解析：5将容器侧面展开，建立A关于EC的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【详解】如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点A′，连接A′B交EC于F，则A′B即为最短距离．∵高为1m，底面周长为4m，在容器内壁离容器底部0.4m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.6m与蚊子相对的点A处，∴A′D=4=2(m)，BD=1+0.6-0.4=1.2(m)，2∴在直角△A′DB中，2222234A'D BD2 1.2+=+=，234．【点睛】本题考查了平面展开－最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．18．﹣1或5【分析】根据点M（24）与点N（x4）之间的距离是3可以得到|2-x|=3从而可以求得x的值【详解】解：∵点M（24）与点N（x4）之间的距离是3∴|2﹣x|＝3解得x＝﹣1或x＝5故答案为解析：﹣1或5【分析】根据点M（2，4）与点N（x，4）之间的距离是3，可以得到|2-x|=3，从而可以求得x的值．【详解】解：∵点M（2，4）与点N（x，4）之间的距离是3，∴|2﹣x|＝3，解得，x＝﹣1或x＝5，故答案为﹣1或5．【点睛】本题考查两点间的距离，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．19．8【分析】根据勾股定理求得AB 的长再根据三角形的面积公式得到关于CD 的方程解方程求得CD 即可【详解】解：∵在Rt △ABC 中∠C ＝90°AC ＝6BC ＝8∴AB ＝10∵S △ABC ＝×6×8＝×10×CD解析：8【分析】根据勾股定理求得AB 的长，再根据三角形的面积公式得到关于CD 的方程，解方程求得CD 即可．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，∴AB ＝10，∵S △ABC ＝12×6×8＝12×10×CD ， ∴CD ＝4.8．故答案为：4.8．【点睛】本题考查了直角三角形中的面积的求解，解题的关键是熟知等面积法求线段的长度． 20．9cm 【分析】由可知为直角三角形利用勾股定理可分别计算求得BC 和CD 从而完成BD 求解【详解】∵∴同理∴故答案为：【点睛】本题考察了勾股定理的知识点；求解的关键是熟练掌握并运用勾股定理求解直角三角形边长 解析：9cm【分析】由90C ∠=︒可知ABC 为直角三角形，利用勾股定理，可分别计算求得BC 和CD ，从而完成BD 求解．【详解】∵90C ∠=︒ ∴15BC ==同理6CD ===∴1569BD BC CD =-=-=故答案为：9cm ．【点睛】本题考察了勾股定理的知识点；求解的关键是熟练掌握并运用勾股定理求解直角三角形边长．三、解答题21．224cm ．【分析】连接AC ，勾股定理计算AC=222234AD CD +=+，应用勾股定理的逆定理判定三角形ABC 是直角三角形，计算两个直角三角形的面积差即可．【详解】解：连接AC∵AD DC ⊥∴∠ADC=90°，在Rt △ADC 中，根据勾股定理，得 AC=222234AD CD +=+ =5，在△ABC 中，∴22222251213AC BC AB +=+==，△ABC 是直角三角形，∴=-ABC ACD ABCD S SS 四边形 =51234-22⨯⨯ =242m （）．【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到△ABC 是直角三角形是解题的关键．同时考查了直角三角形的面积公式．22．（1）31°；（2）3．【分析】（1）在Rt △ABC 中，利用互余得到∠BAC ＝62°，再根据折叠的性质得∠CAE ＝12∠CAB ＝31°，然后根据互余可计算出∠AEC ＝59°；（2）Rt △ABC 中，利用勾股定理即可得到BC 的长；设DE ＝x ，则EB ＝BC ﹣CE ＝8﹣x ，依据勾股定理可得，Rt △BDE 中DE 2+BD 2＝BE 2，再解方程即可得到DE 的长．【详解】解：（1）在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠B ＝28°，∴∠BAC ＝90°﹣28°＝62°，∵△ACE 沿着AE 折叠以后C 点正好落在点D 处，∴∠CAE ＝12∠CAB ＝12×62°＝31°； （2）在Rt △ABC 中，AC ＝6，AB ＝10，∴BC 8，∵△ACE 沿着AE 折叠以后C 点正好落在点D 处，∴AD ＝AC ＝6，CE ＝DE ，∴BD ＝AB ﹣AD ＝4，设DE ＝x ，则EB ＝BC ﹣CE ＝8﹣x ，∵Rt △BDE 中，DE 2+BD 2＝BE 2，∴x 2+42＝（8﹣x ）2，解得x ＝3．即DE 的长为3．【点睛】本题考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，解题时常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．23．（1）20︒，（2）①见解析；②53BD =；（3）52CE =或74=CE ． 【分析】（1）先判断出B 不可能是α或β，再根据条件计算即可；（2）①根据DC 平分ACB ∠，得到2ACB BCD ∠=∠，再根据90BAC ∠=︒，即可得到结果；②作DH BC ⊥交于点H ，根据勾股定理得到5AC =，证明ADC HDC △≌△，再根据勾股定理计算即可；（3）根据点E 存在的两种情况分类讨论即可；【详解】（1）B 不可能是α或β，当A α∠=时，50C β∠==︒，290αβ+=︒，不成立；故A β∠=，C α∠=，290αβ+=︒，则20β=︒，（2）①∵DC 平分ACB ∠，∴2ACB BCD ∠=∠，∵90BAC ∠=︒，∴90B ACB ∠+∠=︒，即290B BCD ∠+∠=︒．∴BCD △是“近直角三角形”．②作DH BC ⊥交于点H ，∵3AB =，4AC =，∴5AC =（勾股定理）．在ADC 和HDC △中，DAC DHC ∠=∠，ACD HCD ∠=∠，DC DC =，∴ADC HDC △≌△，∴DH DA =，4AC HC ==，∴1BH =．设BD x =，则3DH x =-，在Rt BDH △中，()22231x x =-+， 得53x =，即53BD =． （3）52CE =或74=CE ．如图所示，点E 在ABC ∠的角平分线上，作EF BC ⊥，设EC x =，则4AE x =-，则4EF x =-， 根据已知条件可得：3AB BF ==， ∴532FC =-=，在Rt △EFC 中， ()22242x x -+=，52x =；在AC 上面找一点E ，连接BE ，使得ABE C ∠=∠，延长EA 至G ，使得AE=AG ， 根据条件可得：△△ABG ABE ≅，∴GBA EBA C ∠=∠=∠，∵90GBA G ∠+∠=︒，∴90C G ∠+∠=︒，∴90CBG ∠=︒，设EC x =，则4AE AG x ==-， ∴()()222224385BG x x =-+=--，74x =； ∴97444CE AC AE =-=-=； ∴边AC 上存在点E ，使得BCE 也是“近直角三角形”，此时52CE =或74=CE ． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理和全等三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键． 24．（1）2b mn =；（2）(12,16,20)；（3）222b k k =+【分析】（1）根据表格中提供的数据可得答案；（2）把4m =，2n =代入()22222m n mn m n -+，，即可求解；（3）根据勾股定理求解即可；【详解】（1）∵4=2×2×1，12=2×3×2，8=2×4×1，24=2×4×3，…，∴2b mn =，故答案为：2b mn =；（2）当4m =，2n =时， a=m 2-n 2=42-22=12，2b mn ==2×4×2=16，c=m 2+n 2=42+22=20，∴勾股数()a b c ，，为(12,16,20)，故答案为：(12,16,20)；（3）根据题意，得222(21)(1)k b b ++=+，∴22244121k k b b b +++=++，解得222b k k =+．【点睛】本题考查了数字类规律探究，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a 和b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2．也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．25．5【分析】过点C 作CE ⊥AB 于点E ，连接AC ，根据题意直接得出AE ，EC 的长，再利用勾股定理得出AC 的长，进而求出答案．【详解】如图所示：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，连接AC ，由题意可得：EC ＝BD ＝1.2m ，AE ＝AB−BE ＝AB−DC ＝1.3−0.8＝0.5m ，∴AC=22221.20.5 1.3CE AE +=+=m ，∴1.3÷0.2＝6.5s ，答：这条鱼至少6.5秒后才能到这鱼饵处．【点睛】本题主要考查勾股定理，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 26．（1）见解析；（2）图见解析，13【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用轴对称求最短路线求法得出P 点位置．【详解】（1）分别找到各点的对称点，顺次连接可得△A ′B ′C ′．（2）连接B 'C ，则B 'C 与l 的交点即是点P 的位置，求出PB +PC 的值即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）如图所示：连接B′C，与直线l交于点P，此时PB+PC最短，PB+PC＝PB'+PC＝B'C221323则这个最短长度的平方值是13．【点睛】本题考查了轴对称作图及最短路线问题，以及勾股定理，解答本题的关键是掌握轴对称的性质，难度一般．。
(必考题)初中数学八年级数学上册第一单元《勾股定理》测试(包含答案解析)(3)
一、选择题1．如图，某公园处有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角AOB ∠走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”AB ，他们踩伤草坪，仅仅少走了（ ）A ．4mB ．6mC ．8mD ．10m 2．如图，在Rt ABC △中，90,30,ACB ABC CD ︒∠︒=∠=平分ACB ∠．边AB 的垂直平分线DE 分别交,CD AB 于点,D E ．以下说法错误的是（ ）A ．60BAC ∠=︒B ．2CD BE =C ．DE AC =D ．122CD BC AB =+ 3．如图，分别以Rt ABC 的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边6AB =，则图中阴影部分的面积为（ ）．A ．6B ．12C ．16D ．184．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则DE 的长为（ ）A ．103B ．256C ．203D ．1545．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，AD ⊥BC 于D ，M 为AD 上任一点，则MC 2－MB 2等于（ ）A ．29B ．32C ．36D ．456．如图，在Rt ABC ∆中，90,45,2B BCA AC ︒︒∠=∠==，点D 在BC 边上，将ABD ∆沿直线AD 翻折，点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，连接,PE PC ，则PEC ∆的周长的最小值为（ ）A ．22-B ．2C ．21+D ．17．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离AB 长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即A C '＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离A D '就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索OA 长为（ ）A ．13.5尺B ．14尺C ．14.5尺D ．15尺8．我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图如图所示，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC ＝2，BC ＝3，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到一个如图所示“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）A ．413B ．810C ．41312+D ．81012+ 9．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm 、3cm 、12cm ，现有一长为16cm 的吸管插入到盒的底部，则吸管漏在盒外面的部分()h cm 的取值范围为（ ）A ．34h <<B ．34h ≤≤C ．24h ≤≤D ．4h = 10．为准备一次大型实景演出，某旅游区划定了边长为12m 的正方形演出区域，并在该区域画出4×4的网格以便演员定位（如图所示），其中O 为中心，A ，B ，C ，D 是某节目中演员的四个定位点．为增强演出效果，总策划决定在该节目演出过程中增开人工喷泉．喷头位于演出区域东侧，且在中轴线l 上与点O 相距14m 处．该喷泉喷出的水流落地半径最大为10m ，为避免演员被喷泉淋湿，需要调整的定位点的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．若实数m 、n 满足340m n --=，且m 、n 恰好是Rt ABC △的两条边长，则第三条边长为（ ）．A ．5B 7C ．57D ．以上都不对 12．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a ，较短直角边为b ，则2()a b +的值为（ ）A ．25B ．19C ．13D ．169二、填空题13．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn ，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD 的距离为2寸，点C 和点D 距离门槛AB 都为1尺（1尺＝10寸），则AB 的长是_____寸．14．如图，在三角形纸片ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝6，AB ＝10，如果在AC 边上取一点E ，以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，那么CE 的长为________．15．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，点D 在BC 上，且12AC DC AB ==，若2AD =，则BD =___________．16．如图，在四边形ABCD 中，B D 90∠∠==︒，AD=CD ，AB+BC=8，则四边形ABCD 的面积是_________．17．如图，圆柱形容器中，高为1m，底面周长为4m，在容器内壁离容器底部0.4m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.6m与蚊子相对的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为______m（容器厚度忽略不计）．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6、BC＝8，CD⊥AB，则CD＝___．19．一架5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距离墙脚3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动______．20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为_____．三、解答题21．如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，CA=CB，CD=CE，△DCE的顶点D在△ABC的斜边AB上（1）连结AE，求证：△ACE≌△BCD．（2）若BD=1，CD=3，求AD的长．22．如图，ABC中，∠C=90°，BC=5厘米，AB=55厘米，点P从点A出发沿AC边以2厘米/秒的速度向终点C匀速移动，同时，点Q从点C出发沿CB边以1厘米/秒的速度向终点B匀速移动，P、Q两点运动几秒时，P、Q两点间的距离是210厘米？23．中国机器人创意大赛于2014年7月15日在哈尔滨开幕．如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从A处先往东走4m，又往北走1.5m，遇到障碍后又往西走2m，再转向北走4.5m处往东一拐，仅走0.5m就到达了B．问机器人从点A到点B之间的距离是多少？24．已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，2)、B(﹣4，0)、C(0，2)（1）在下面的平面直角坐标系中分别描出A，B，C三点，并画出ABC；（2）求线段BC的长；（3）求ABC的面积．25．现代电视屏幕尺寸的设计，主要追求以下目标：一是更符合人体工程学要求（宽与长的比接近与0.618）；二是设计适当的长宽比使屏幕的面积尽可能大现行的电视机屏幕有“宽屏”和“普屏”两种制式，宽屏的长宽比为16:9；普屏的长宽比为4:3．（1）哪种屏幕更适合人体工程学要求？请说明理由．（2）一般地，电视屏幕的“几寸”指的是这个屏幕的长方形的对角线长有多少英寸，1英寸2.54cm =，小明家想买80寸的宽屏．．电视机（边框宽都为1cm ），并嵌入到墙中．则需要预留的长方形位置的长、宽各多少cm 33718.4≈，33.7 5.8≈）（3）在相同尺寸的电视机屏幕中，宽屏的屏幕面积大还是普屏的屏幕面积大？请说明理由．26．阅读下列材料并完成任务：中国古代三国时期吴国的数学家赵爽最早对勾股定理作出理论证明.他创制了一幅“勾股圆方图”(如图l)，用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明.在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到的正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的.每个直角三角形的面积为12ab ；中间的小正方形边长为b a -，面积为()2b a -.于是便得到式子：222+=a b c .赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识.他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范.如图2，是“赵爽弦图”，其中ABH ∆、BCG ∆、CDF ∆和DAE ∆是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理.设AD c =，DE a =，AE b =，取10c =，2b a -=.任务：(1)填空：正方形EFGH 的面积为______，四个直角三角形的面积和为______；(2)求()2a b +的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据勾股定理求出AB 即可．【详解】解：∵90AOB ∠=︒，∴22226810AO OB ++=（m ），6+8-10=4（m ）,∴他们踩伤草坪，仅仅少走了4m ；故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是熟练运用勾股定理求线段长．2．B解析：B【分析】利用直角三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识对各选项的说法分别进行论证，即可得出结论．【详解】解：如图，连接BD 、AD ，过点D 作DM ⊥BC 于M ，DN ⊥CA 的延长线于N ，A 、在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，∴60BAC ∠=︒．故此选项说法正确；B 、∵DM ⊥BC ，DN ⊥CA∴∠DNC ＝∠DMC ＝90°，∵CD 平分∠ACB ，∴∠DCN ＝∠DCM ＝45°．∴∠DCN ＝∠CDN ＝45°．∴CN=DN ．则△CDN 是等腰直角三角形．同理可证：△CDM 也是等腰直角三角形，∴222DN CN DN +=．222DM CM DM +，∴DM=DN= CM=CN ，∠MDN ＝90°．∵DE 垂直平分AB ，∴BD=AD ，AB=2BE ．∴Rt △BDM ≌△ADN ，∴∠BDM=∠AND ．∴∠BDM+∠ADM =∠AND+∠ADM ＝∠MDN ．∴∠ADB=90°．∴222BD AD +=． 即2．∵在Rt △AND 中，AD 是斜边，DN 是直角边，∴AD ＞DN 22DN ．∴2BE ＞CD ．故此选项说法错误．C 、∵BD=AD ，∠ADB=90°，∴△ABD 是等腰直角三角形．∴DE=12AB ． 在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒， ∴AC=12AB ． ∴DE=AC ．故此选项说法正确．D 、∵Rt △BDM ≌△ADN ，∴BM=AN．∴CN=AC+AN=AC+BM=CM．∴BC=BM+CM=AC+2BM．∵CD=2CN，∴2CD=2CN=2AC+2BM=AC+2BM+AC．∵AC=12AB，∴2CD=12AB+BC．故此选项说法正确．故选：B．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，难度较大，准确作出辅助线并灵活运用所学知识是解题的关键．3．D解析：D【分析】根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积．则阴影部分的面积即为以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积的2倍．【详解】解：在Rt△AHC中，AC2=AH2+HC2，AH=HC，∴AC2=2AH2，∴2，同理：22，在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=6，S阴影=S△AHC+S△BFC+S△AEB=12HC•AH+12CF•BF+12AE•BE，即22211112224222++=(AC2+BC2+AB2)14=(AB 2+AB 2) 12=AB 2 2162=⨯ 18=．故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，难度适中，解题关键是运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系．4．C解析：C【分析】利用勾股定理求BC 的长度，连接AE ，然后设BE=AE=x ，结合勾股定理列方程求解．【详解】解：如图，∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∴22221086BC AB AC =-=-=，∵DE 是AB 的垂直平分线，∴BD=12AB=5，∠EDB=90°，AE=BE 连接AE ，设AE=BE=x ，则CE=x-6在Rt △ACE 中，222(6)8x x -+=，解得：253x =∴BE=AE=253 在Rt △BDE 中，ED=22222520()533BE BD -=-=． 故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形和线段垂直平分线的性质，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．5．D解析：D【分析】在Rt △ABD 及Rt △ADC 中可分别表示出BD 2及CD 2，在Rt △BDM 及Rt △CDM 中分别将BD 2及CD 2的表示形式代入表示出BM 2和MC 2，然后作差即可得出结果．【详解】解：在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，BD 2＝AB 2−AD 2，CD 2＝AC 2−AD 2，在Rt △BDM 和Rt △CDM 中，BM 2＝BD 2＋MD 2＝AB 2−AD 2＋MD 2，MC 2＝CD 2＋MD 2＝AC 2−AD 2＋MD 2，∴MC 2−MB 2＝（AC 2−AD 2＋MD 2）−（AB 2−AD 2＋MD 2）＝AC 2−AB 2＝45．故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC 2和MB 2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握．6．B解析：B【分析】连接BP ，根据已知条件求出AB=BC=1，由翻折得：BD=DE ，∠BDA=∠EDA ，AE=AB=1，1，证明△BDP ≌△EDP ，推出BP=EP ，当点P 与点D 重合时，即可求出PEC ∆的周长的最小值．【详解】连接BP ，在Rt ABC ∆中，90,45B BCA ︒∠=∠=︒，∴∠BAC=45BCA ∠=︒，AB=BC ，∴22222AB AC ===，∴AB=BC=1，由翻折得：BD=DE ，∠BDA=∠EDA ，AE=AB=1，∴1，在△BDP 和△EDP 中， BD ED BDP EDP DP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDP ≌△EDP ，∴BP=EP ，∴当点P 与点D 重合时，PE+PC=PB+PC=BC 的值最小，此时PEC ∆的周长最小， PEC ∆的周长的最小值为BC+CE=1+21-=2，故选：B ．．【点睛】此题考查翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，解题的关键是根据翻折的性质证得△BDP ≌△EDP ，由此推出当点P 与点D 重合时PEC ∆的周长最小，合情推理科学论证．7．C解析：C【分析】设绳索有x 尺长，此时绳索长，向前推出的10尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理可求解．【详解】解：设绳索有x 尺长，则102+（x+1-5）2=x 2，解得：x=14.5．故绳索长14.5尺．故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．8．D解析：D【分析】将CB 延长至点D ，使CB BD =，利用勾股定理求出AD 的长，即可求出结果．【详解】解：如图，将CB 延长至点D ，使CB BD =，∵2AC =，26CD BC ==，∴22436210AD AC CD +=+=2103AD BD +=+，一共有4个这样的长度，∴这个风车的外围周长是：()4210381012⨯+=+． 故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是利用勾股定理求直角三角形边长．9．B解析：B【分析】根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的最长长度；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答，进而求出露在杯口外的最短长度．【详解】①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16−12＝4（cm ）； ②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，底面对角线长2234+，高为12cm ，由勾股定理可得：杯里面管长22512+＝13cm ，则露在杯口外的长度最短为16−13＝3（cm ），∴34h ≤≤故选：B ．【点睛】本题考查了矩形中勾股定理的运用，解答此题的关键是要找出露在杯外面吸管最长和最短时，吸管在杯中所处的位置．10．B解析：B【分析】把此题转化成一个直角坐标系的问题，然后求各点坐标，最后利用勾股定理即可判断.【详解】设喷头在点P ，则A(6，0)，B （3，0）；C （3，3）；D （4.5；1.5）；P （14，0） 则AP=14-6=8m<10m ，故A 需调整；BP=14-3=11m>10m ，故B 不需调整；=，不需调整；=<10m ，故D 需调整；故选：B【点睛】此题考查了勾股定理的应用，根据坐标系找到相应点的坐标，根据勾股定理计算长度是解答此题的关键.11．C解析：C【分析】根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出m=3，n=4，再分两种情况利用勾股定理求出第三边．【详解】∵30m -=，30m -≥≥，∴m-3=0，n-4=0，解得m=3，n=4，当3、4都是直角三角形的直角边长时，第三边长；当3是直角边长，4是斜边长时，第三边长=故选：C ．【点睛】此题考查绝对值的非负性及算术平方根的非负性，勾股定理，根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出m=3，n=4是解题的关键．注意：没有明确给出的是直角三角形直角边长还是斜边长时，应分情况求解第三边长．12．A解析：A 【分析】根据正方形的面积及直角边的关系，列出方程组，然后求解．【详解】解：由条件可得：22131131240a b ab a b ⎧+=⎪-⎪=⎨⎪>>⎪⎩， 解之得：32a b =⎧⎨=⎩． 所以2()25a b +=，【点睛】本题考查了正方形、直角三角形的性质及分析问题的推理能力和运算能力．二、填空题13．101【分析】取AB的中点O过D作DE⊥AB于E根据勾股定理解答即可得到结论【详解】解：取AB的中点O过D作DE⊥AB于E如图2所示：由题意得：OA＝OB＝AD＝BC设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸则解析：101【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．【详解】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝12CD＝1寸，∴AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE2＋DE2＝AD2，即（r﹣1）2＋102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，故答案为：101【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．14．3【分析】利用勾股定理可求出AC=8根据折叠的性质可得BD=ABDE=AE根据线段的和差关系可得CD的长设CE=x则DE=8-x利用勾股定理列方程求出x的值即可得答案【详解】∵∠ACB＝90°BC＝解析：3【分析】利用勾股定理可求出AC=8，根据折叠的性质可得BD=AB，DE=AE，根据线段的和差关系可得CD的长，设CE=x，则DE=8-x，利用勾股定理列方程求出x的值即可得答案．∵∠ACB ＝90°，BC ＝6，AB ＝10，∴，∵BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，∴BD=AB=10，DE=AE ，∠DCE=90°，∴CD=BD-BC=10-6=4，设CE=x ，则DE=AE=AC-CE=8-x ，∴在Rt △DCE 中，DE 2=CE 2+CD 2，即（8-x ）2=x 2+42，解得：x=3，∴CE=3，故答案为：3【点睛】本题考查了翻折变换的性质及勾股定理的应用，根据翻折前后的两个图形能够重合得到相等的线段并转化到一个直角三角形中，利用勾股定理列出方程是解此类题目的关键． 15．【分析】设在中利用勾股定理求出x 值即可得到AC 和CD 的长再求出AB 的长再用勾股定理求出BC 的长即可得到结果【详解】解：设∵∴即解得或（舍去）∴∵∴∴∴故答案是：【点睛】本题考查勾股定理解题的关键是掌1【分析】设AC DC x ==，在Rt ACD △中，利用勾股定理求出x 值，即可得到AC 和CD 的长，再求出AB 的长，再用勾股定理求出BC 的长，即可得到结果．【详解】解：设AC DC x ==，∵90C ∠=︒，∴222AC CD AD +=，即222x x +=，解得1x =或1-（舍去）， ∴1AC DC ==， ∵12AC AB =， ∴2AB =，∴BC ===， ∴1BD BC CD =-=．1．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握利用勾股定理解直角三角形的方法．16．16【分析】求不规则四边形的面积可以转化为两个三角形的面积由题意可知：求出与的面积即为四边形ABCD 的面积【详解】连接AC ∵∴∴∵AB+BC=8∴∴∴故答案为：16【点睛】本题主要考查的是四边形面积解析：16【分析】求不规则四边形的面积，可以转化为两个三角形的面积，由题意B D 90∠∠==︒，可知：求出Rt ABC 与Rt ADC 的面积，即为四边形ABCD 的面积．【详解】连接AC ，∵B D 90∠∠==︒，∴222AB BC AC +=，222AD DC AC +=， ∴11=22ABC ADC ABCD S S S BC AB CD AD +=⋅+⋅四边形21122BC AB AD =⋅+ ()2221111=2224BC AB CD AB BC AB BC ⋅+=⋅++， ∵AB+BC=8， ∴222=64AB BC BC AB ++⨯，∴4464ABC ADCS S +=， ∴=16ABC ADC ABCD S SS +=四边形故答案为：16．【点睛】本题主要考查的是四边形面积的求解，三角形面积以及勾股定理，熟练运用三角形面积公式以及勾股定理是解答本题的关键．17．【分析】将容器侧面展开建立A 关于EC 的对称点A′根据两点之间线段最短可知A′B 的长度即为所求【详解】如图将容器侧面展开作A 关于EC 的对称点A′连接A′B 交EC 于F 则A′B 即为最短距离∵高为1m 底面周解析：234 5【分析】将容器侧面展开，建立A关于EC的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【详解】如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点A′，连接A′B交EC于F，则A′B即为最短距离．∵高为1m，底面周长为4m，在容器内壁离容器底部0.4m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.6m与蚊子相对的点A处，∴A′D=42=2(m)，BD=1+0.6-0.4=1.2(m)，∴在直角△A′DB中，2222234A'D BD2 1.2+=+=，故答案是：2345．【点睛】本题考查了平面展开－最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．18．8【分析】根据勾股定理求得AB的长再根据三角形的面积公式得到关于CD 的方程解方程求得CD即可【详解】解：∵在Rt△ABC中∠C＝90°AC＝6BC＝8∴AB＝10∵S△ABC＝×6×8＝×10×CD解析：8【分析】根据勾股定理求得AB的长，再根据三角形的面积公式得到关于CD的方程，解方程求得CD即可．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∵S △ABC ＝12×6×8＝12×10×CD ， ∴CD ＝4.8．故答案为：4.8．【点睛】本题考查了直角三角形中的面积的求解，解题的关键是熟知等面积法求线段的长度． 19．【分析】根据条件作出示意图根据勾股定理求解即可【详解】解：由题意可画图如下：在直角三角形ABO 中根据勾股定理可得如果梯子的顶度端下滑1米则在直角三角形中根据勾股定理得到：则梯子滑动的距离就是故答案为 解析：1m【分析】根据条件作出示意图，根据勾股定理求解即可．【详解】解：由题意可画图如下：在直角三角形ABO 中，根据勾股定理可得，22534OA =-=，如果梯子的顶度端下滑1米，则'413OA m =-=．在直角三角形''A B O 中，根据勾股定理得到：'4OB m =，则梯子滑动的距离就是'431OB OB m -=-=．故答案为：1m ．【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，根据题目画出示意图是解此题的关键． 20．【分析】根据勾股定理正方形的面积公式计算即可【详解】在Rt △ACB 中AC2+BC2＝AB2＝25则正方形ADEC 与正方形BCFG 的面积之和＝AC2+BC2＝25故答案为：25【点睛】本题考查的是勾股解析：【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可．【详解】在Rt △ACB 中，AC 2+BC 2＝AB 2＝25，则正方形ADEC 与正方形BCFG 的面积之和＝AC 2+BC 2＝25．故答案为：25．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2.三、解答题21．（1）见解析；（2）17AD =【分析】 （1）根据△ABC 和△DCE 都是等腰直角三角形可得DC CE =，BC CA =，再根据两个角的和可得BCD ACE ∠=∠，从而判断两个三角形全等；（2）根据△ACE ≌△BCD ，以及角的和可得DAE △为直角三角形，根据DCE 为等腰直角三角形，可求出DE 的长度，再根据勾股定理求出AD 的长度即可．【详解】（1）△ABC 和△DCE 都是等腰直角三角形∴90BCA DCE ∠=∠=，DC CE =，BC CA =∴BCD DCA DCA ACE ∠+∠=∠+∠∴BCD ACE ∠=∠，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）；（2）△ACE ≌△BCD∴CBD CAE ∠=∠∴90CBD BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠=∴DAE △为直角三角形DCE 为等腰直角三角形∴22223332DE DC CE =+=+=△ACE ≌△BCD∴BD=AE=1∴2218117AD DE AE =-=-=【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质、判定定理以及勾股定理得运用，熟练掌握全等三角形的性质和判定定理，熟练运用角和角之间的关系是解题的关键．22．2秒【分析】设P 、Q 两点运动x 秒时，P 、Q 两点间的距离是210厘米，先利用勾股定理求出AC 的长度，得到AP=2x 厘米，CQ=x 厘米，CP=（10﹣2x ）厘米，再利用勾股定理得到（10﹣2x ）2+x 2=（210）2求出x 的值.【详解】解：设P 、Q 两点运动x 秒时，P 、Q 两点间的距离是210厘米.在△ABC 中，∠C=90°，BC=5厘米，AB=55厘米，∴AC=2222(55)5AB BC -=-=10（厘米），∴AP=2x 厘米，CQ=x 厘米，CP=（10﹣2x ）厘米，在Rt △CPQ 内有PC 2+CQ 2=PQ 2，∴（10﹣2x ）2+x 2=（210）2，整理得：x 2﹣8x+12=0，解得：x=2或x=6，当x=6时，CP=10﹣2x=﹣2＜0，∴x=6不合题意舍去.∴P 、Q 两点运动2秒时，P 、Q 两点间的距离是210厘米.【点睛】此题考查勾股定理，动点问题与几何图形，熟练掌握勾股定理的计算公式并运用解决问题是关键.23．132【解析】 试题分析：过点B 作BC ⊥AD 于C ，可以计算出AC 、BC 的长度，在直角△ABC 中根据勾股定理即可计算AB ．试题过点B 作BC ⊥AD 于C ，所以AC=4﹣2+0．5=2．5m ，BC=4．5+1．5=6m ，在直角△ABC 中，AB 为斜边，则22225136()22AB BC AC =+=+=m,答：机器人从点A到点B之间的距离是132m．考点：勾股定理．24．（1）见解析；（2）25；（3）3【分析】（1）在平面直角坐标系中，描出A，B，C三点，然后顺次连接，即可画出△ABC；（2）由勾股定理来求线段BC的长度；（3）△ABC的底是BC的长度，高是点C的纵坐标，由三角形的面积公式进行解答．【详解】解：（1）如图所示；（2）在直角△BOC中，由勾股定理得到：BC＝22OB OC+＝2242+＝25，即线段BC的长是25；（3）S△ABC＝12AC×OC＝12×3×2＝3，即△ABC的面积是3．【点睛】本题考查了勾股定理，坐标与图形性质．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．25．（1）宽屏更适合人体工程学要求，理由见解析；（2）需要预留的长方形位置的长为178cm，宽为101cm；（3）普屏的屏幕面积大，理由见解析【分析】（1）根据人体工程学要求求出宽与长的比与0.618比较大小即可（2）根据勾股定理先求出80寸的宽屏．．电视机的长和宽，再分别加2即可（3）分别求出宽屏的屏幕面积和普屏的屏幕面积比较大小即可【详解】解：（1）宽屏更适合人体工程学要求，理由如下：∵宽屏的长宽比为16:9；∴宽屏的宽与长的比为9:16=0.5625；∴0.5625-0.618=-0.0555∵普屏的长宽比为4:3．∴普屏的宽与长的比为3:4=0.75∴0.75-0.618=0.132∴宽屏更适合人体工程学要求（2）∵宽屏的长宽比为16:9；∴设长为16xcm ，则宽为9xcm(x>0)，∵电视机屏幕为80寸，∴（16x ）2+（9x ）2=(80 2.54)⨯2， ∴18.4x=80 2.54≈⨯∴x 11≈，∴长为16x=1611=176cm ⨯，宽为9x=911=99cm ⨯∴需要预留的长方形位置的长为：176+2=178cm,宽为：99+2=101cm（3）普屏的屏幕面积大，理由如下：设相同尺寸为a 寸，宽屏电视的长宽分别为16m 和9m ，普屏电视的长宽分别为4n 和3n∴222(16m)(9m)(2.54a)+=，222(4n)(3n)(2.54a)+= ∴2222.54a m 337=，222 2.54a n =25 ∴宽屏的屏幕面积=22214416m 9m 144m =2.54a 337⨯=⨯ 普屏的屏幕面积=222124n 3n 12n =2.54a 25⨯=⨯ ∵1441233725< ∴普屏的屏幕面积大【点睛】本题考查了勾股定理的应用以及长方形的面积，读懂题意，根据已知条件得出所需内容是解题的关键26．(1)4，96；(2)196.【分析】（1）根据题意得图中的四个直角三角形都全等，可得正方形EFGH 的边长为2，即可得正方形EFGH 的面积；再利用正方形ABCD 的面积-正方形EFGH 的面积即可得四个直角三角形的面积和；（2）易求得ab 的值，和a 2+b 2的值，根据完全平方公式即可求得（a+b ）2的值，即可解题．【详解】(1)根据题意得，图中的四个直角三角形都全等，∴AB=c=10，AE-AH=b-a=2，∴正方形EFGH 的面积为22=4，正方形ABCD 的面积为102=100，∴四个直角三角形的面积和=正方形ABCD 的面积-正方形EFGH 的面积=100-4=96；(2)由(1)可知四个直角三角形的面积和为96，14962ab ∴⨯=，即296ab =. 222100a b c +==，()222210096196a b a b ab ∴+=++=+=. 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，求得ab 的值是解题的关键．。
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1
第三章《勾股定理》单元检测
（满分：130分时间：90分钟）
一、选择题(每题3分，共24分)
1．三个正方形按图示位置摆放，S表示面积，则S的大小为( )
A．10 B．500 C．300 D．30
2．在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=9，．BC=12，则点C到AB的距离是( )
A．365B．1225C．94D．
33
4
3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE是BC
的垂直平分线，点E是垂足．已知DC=5，AD=3，则图中长为4的线段的条数为
( )
A．4 B．3 C．2 D．1
4．下列命题是假命题的是( )
A．在△ABC扣，若∠B=∠C=∠A，则△ABC是直角三角形
B．在△ABC中，若a2= (b＋c)(b－c)，则△ABC是直角三角形
C．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC是直角三角形
D．在△ABC中，若a：b：c=5：4：3，则△ABC是直角三角形
5．若等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为( )
A．56 B．48 C．40 D．32
6．如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点
B落在点F处，折痕为AE．若EF=3，则AB的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，每个小正方形的边长为1，若A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数
为( )
A．90°B．60°C．45°D．30°
8．如图，将一边长为a的正方形(最中间的小正方形) 与四个边长为b的正方形(其中
2
b>a) 拼接在一起，则四边形ABCD的面积为( )
A．b2＋(b－a)2B．b2＋a2C．(b＋a)2D．a
2
＋2ab
二、填空题(每题3分，共30分)
9．如图所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是
直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，4，2，3，则最大正方形E的
面积是．
10．若一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为．
11．在△ABC中，AB=5 cm，BC=6 cm，若BC边上的中线AD=4 cm，则∠ADC= ．
12．如图，在四边形ABCD 中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1．若∠ABC=90°，则
∠
DAB=
13．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为cm
2
．
14．已知a，b，c为三个正整数，如果a＋b＋c=12，那么以a，b，c为边能组成的三
角形是：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形；④钝角三角形．以上符合
条件的正确结论是．(填序号)
15．一座垂直于两岸的桥长12米，一艘小船自桥北头出发，向正南方向驶去，因水流
原因，到达南岸后，发现已偏离桥南头9米，则小船实际行驶了米．
16．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，
则CD的长等于.
17．在锐角三角形ABC中．BC=32，∠ABC=45°，BD平分∠ABC．若M，N分别
是边BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值是．
18．如图，△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，
分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2 cm／s和1cm／s，当点P到
达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t= s时，
△PBQ为直角三角形．