等差数列第2课时
教学设计5：2.2.1 等差数列 第2课时 等差数列的性质
2.2.1 等差数列第2课时 等差数列的性质[教材·要点]等差数列的常用性质(1)对称性：a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…；(2)m ＋n ＝p ＋q ⇒a m ＋a n ＝a p ＋a q ；(3)若m ，p ，n 成等差数列，则a m ，a p ，a n 也成等差数列；(4)a n ＝a m ＋(n －m )d ；(5)若数列{a n }成等差数列，则a n ＝pn ＋q (p ，q ∈R )；(6)若数列{a n }成等差数列，则数列{λa n ＋b }(λ，b 为常数)仍为等差数列；(7){a n }和{b n }均为等差数列，则{a n ±b n }也是等差数列；(8){a n }的公差为d ，若d ＞0⇔{a n }为递增数列；d ＜0⇔{a n }为递减数列；d ＝0⇔{a n }为常数列．[问题·引入]1．如果等差数列{a n }中，m ＋n ＝2w (m ，n ，w ∈N ＋)，那么a m ＋a n ＝2a w 是否成立？[提示] 如果等差数列的项的序号成等差数列，那么对应的项也成等差数列，事实上，若m ＋n ＝2w (m ，n ，w ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝[a 1＋(m －1)d ]＋[a 1＋(n －1)d ]＝2[a 1＋12(m ＋n －2)d ] ＝2[a 1＋(w －1)d ]＝2a w .2．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，能利用等差数列的性质求a 3＋a 9的值吗？[提示] ∵a 3＋a 9＝a 2＋a 10＝2a 6.∴a 6＝13，∴a 3＋a 9＝2×13＝23. 探究一 等差数列性质的应用例1 (1)已知在等差数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2－6x －1＝0的两根，求a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11的值．(2)已知{a n }为等差数列，a 10＝5，a 30＝20，求a 50.解 (1)由已知条件得a 3＋a 15＝6＝2a 9，解得a 9＝3.因此a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＝5a 9＝15.(2)法一：∵{a n }为等差数列，∴a 10，a 20，a 30，a 40，a 50也成等差数列，设其公差为d ，∴a 30＝a 10＋2d ，∴d ＝152，a 50＝a 30＋2d ＝35. 法二：∵a 30为a 10和a 50的等差中项，∴2a 30＝a 10＋a 50，∴a 50＝35.法三：设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝a 1＋9d ＝5，a 30＝a 1＋29d ＝20， 解得⎩⎨⎧ a 1＝－74，d ＝34.∴a 50＝a 1＋49d ＝35.规律总结 等差数列的“子数列”的性质若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则(1){a n }去掉前几项后余下的项仍组成公差为d 的等差数列；(2)奇数项数列{a 2n －1}是公差为2d 的等差数列；偶数项数列{a 2n }是公差为2d 的等差数列；(3)若{k n }成等差数列，则{ak n }也是等差数列．变式训练1．(1)设{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，求a 37＋b 37；(2)在等差数列{a n }中，已知a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2·a 5＝52，求公差d .解 (1)设c n ＝a n ＋b n ，由于{a n }，{b n }都是等差数列，则{c n }也是等差数列，且c 1＝a 1＋b 1＝25＋75＝100，c 2＝a 2＋b 2＝100，∴{c n }的公差d ＝c 2－c 1＝0.∴c 37＝100，即a 37＋b 37＝100.(2)∵a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，∴a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝17.又a 2·a 5＝52，∴a 2＝13，a 5＝4或a 2＝4，a 5＝13.当a 2＝13，a 5＝4时，d ＝－3；当a 2＝4，a 5＝13时，d ＝3.探究二 等差数列的运算例2 (1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． 解 (1)法一：设等差数列的等差中项为a ，公差为d ，则这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意，3a ＝6且a (a －d )(a ＋d )＝－24，所以a ＝2，代入a (a －d )(a ＋d )＝－24，化简得d 2＝16，于是d ＝±4，故这三个数为－2,2,6或6,2，－2.法二：设首项为a ，公差为d ，则这三个数分别为a ，a ＋d ，a ＋2d ，依题意，3a ＋3d ＝6，且a (a ＋d )(a ＋2d )＝－24，所以a ＝2－d ，代入a (a ＋d )(a ＋2d )＝－24，得2(2－d )(2＋d )＝－24，整理得4－d 2＝－12，即d 2＝16，于是d ＝±4，所以，这三个数为－2,2,6或6,2，－2.(2)法一：设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )，依题意，2a ＝2，且(a －3d )(a ＋3d )＝－8，即a ＝1，a 2－9d 2＝－8，∴d 2＝1，∴d ＝1或d ＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0，∴d ＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.法二：设这四个数为a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d (公差为d )，依题意，2a ＋3d ＝2，且a (a ＋3d )＝－8，把a ＝1－32d 代入a (a ＋3d )＝－8， 得⎝⎛⎭⎫1－32d ⎝⎛⎭⎫1＋32d ＝－8，即1－94d 2＝－8， 化简得d 2＝4，所以d ＝2或－2.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0，所以d ＝2，故所求的四个数为－2,0,2,4.规律总结利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{a n }的项数n 为奇数时，可设中间一项为a ，再用公差为d 向两边分别设项：…a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，再以公差为2d 向两边分别设项：…a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，这样可减少计算量．变式训练2．在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这5个数成等差数列，则插入的三个数为 ________．【解析】法一：设a 1＝－1，a 5＝7.∴7＝－1＋(5－1)d ⇒d ＝2.∴所求的数列为－1,1,3,5,7.法二：∵－1，a ，b ，c,7成等差数列，∴b 是－1与7的等差中项．∴b ＝－1＋72＝3. 又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1. 又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5. ∴该数列为－1,1,3,5,7.【答案】1,3,53．已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这5个数． 解 设第三个数为a ，公差为d ，则这5个数分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d . 由已知有⎩⎪⎨⎪⎧ (a －2d )＋(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋(a ＋2d )＝5，(a －2d )2＋(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＋(a ＋2d )2＝859. ∴⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝5，5a 2＋10d 2＝859.∴a ＝1，d ＝±23. 所以当d ＝23时，这5个数分别是 －13，13，1，53，73. 当d ＝－23时，这5个数分别是 73，53，1，13，－13. 探究三 等差数列的实际应用 例3 某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解 由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，…，每年获利构成等差数列{a n }，且当a n <0时，该公司会出现亏损．设从第1年起，第n 年的利润为a n ，则a 1＝200，a n －a n －1＝－20，n ≥2，n ∈N ＋.所以每年的利润a n 可构成一个等差数列{a n }，且公差d ＝－20.从而a n ＝a 1＋(n －1)d ＝220－20n .若a n <0，则该公司经销这一产品将亏损，所以由a n ＝220－20n <0，得n >11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．规律总结求解与等差数列有关的应用性问题，最关键的是从实际问题中提炼出适合实际问题的等差数列模型，将实际问题转化为一个等差数列的问题进行求解．变式训练4．某产品按质量分10个档次，生产最低档次的产品的利润是8元/件，每提高一个档次，利润每件增加2元，同时每提高一个档次，产量减少3件，在相同的时间内，最低档次的产品可生产60件．试问在相同的时间内，应选择生产第几档次的产品可获得最大的利润？(设最低档次为第一档次)解 设在相同的时间内，从低到高每档产品生产件数分别为a 1，a 2，…，a 10.对应每档产品的利润分别为b 1，b 2，…，b 10.则{a n }，{b n }均为等差数列且a 1＝60，d ＝－3，b 1＝8，d ′＝2.所以a n ＝60－3(n －1)＝－3n ＋63，b n ＝8＋2(n －1)＝2n ＋6.所以利润f (n )＝a n b n ＝(－3n ＋63)(2n ＋6)＝－6n 2＋108n ＋378＝－6(n －9)2＋864.∵n ＝1,2， (10)∴当n ＝9时，f (n )max ＝f (9)＝864.故在相同时间内，生产第9档次的产品可以获得最大利润.[随堂体验落实]1．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( )A ．3B ．±3C ．－33D ．－3【解析】由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3. ∴tan(a 2＋a 12)＝tan2a 7＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3.【答案】D2．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )A ．1升B ．6766升C ．4744升D ．3733升 【解析】设所构成的等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4， 即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4. 解得⎩⎨⎧ a 1＝1322，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝6766， 故第5节的容积为6766升． 【答案】B3．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( ) A ．4B ．6C ．8D ．10【解析】由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8) ＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8. 【答案】C4．在等差数列{a n }中，a 3，a 10是方程x 2－3x －5＝0的根，则a 5＋a 8＝________.【解析】由已知得a 3＋a 10＝3.又数列{a n }为等差数列，∴a 5＋a 8＝a 3＋a 10＝3.【答案】35．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝36，求a 5＋a 8.解 法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋d ＋a 1＋2d ＋a 1＋9d ＋a 1＋10d＝4a 1＋22d ＝36，∴2a 1＋11d ＝18，∴a 5＋a 8＝2a 1＋11d ＝18.法二：∵a 2＋a 11＝a 3＋a 10＝a 5＋a 8，∴2(a 5＋a 8)＝36， ∴a 5＋a 8＝18.[感悟高手解题]已知等差数列{a n }的首项a 1＝125，a 10是第一个比1大的项，求此等差数列公差d 的取值范围．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 10＞1，a 9≤1.即⎩⎨⎧ 125＋9d ＞1，125＋8d ≤1.解得⎩⎨⎧ d ＞875，d ≤325.，∴875＜d ≤325. 故公差d 的取值范围为⎝⎛⎦⎤875，325.[点评] 将题设误解为a 10＞1，而忽视了“a 10是第一个比1大的项”，即“a 9≤1”，从而造成条件遗漏．这是容易出错的地方．。
§2 2.1 第2课时 等差数列的性质
上的一些等间隔的点，因此它与一次函数有关系. 上的一些等间隔的点，因此它与一次函数有关系.
这些等间隔的点的横坐标是正整数，其中公差d 这些等间隔的点的横坐标是正整数，其中公差d是该 直线的斜率，即自变量每增加1 函数值增加d. 直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d. >0时 为递增数列（见下图） 当d>0时，{an}为递增数列（见下图）. >0 an
等差数列的性质 思考1 等差数列的公差可以有几种算法？ 思考1：等差数列的公差可以有几种算法？
d = an −an−1 (n ≥ 2, n ∈ N + )
an −a1 d= n−1
an −am d= n−m
(n ≥ 2, n ∈ N + )
(n, m ∈ N + )
思考2 在等差数列{ 思考2：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap 特别地， ＋aq.特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.你能得到上述 结论吗？ 结论吗？
）
2、 等 数 51 在 差 列 ,47,43 L ， 一 负 项 （ ，中 第 个 数 为 A第 项 . 13 C第 项 . 12 B第 项 . 14 D第 项 . 15
）
3 已 在 差 列 n}中 a4 =−8,a8 =−20,则 列 n}的 、 知 等 数 {a ， 数 {a 通 公 an = 项 式 .
a =1 a3 =5. , 1
由a3 = a1 +2d =1+2d =5,
解 d = 2, 得
于 an = 2n −1. 是
（2）图像是直线y=2x-1上一些等间隔的点，如下图所示. 图像是直线y=2x- 上一些等间隔的点，如下图所示. y=2x
高二数学等差数列的概念第二课时
当d>0时，{an}为递增数列.
an ＝2n-1
y=2x-1
d=2>0
等差数列的图象2
（2）数列：7，4，1，-2，…
●
●
●
●
当d<0时，{an}为递减数列.
等差数列的图象3
（3）数列：4，4，4，4，4，4，4，…
●
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●
●
等差数列的图象为相应直线上的点。
当d=0时，{an}为常数列.
性质 ：设 若 则
等差数列的性质
数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq。
判断：
可推广到三项，四项等注意：等式两边作和的项数必须一样多
∴a8＝26－a2＝26－4＝22.
解析：设此数列的首项为a1，公差为d，则a5＋a13＝（a1＋4d）＋（a1＋12d） ＝2a1＋16d＝40，即a1＋8d＝20. a8＋a9＋a10＝a1＋7d）＋（a1＋8d）＋（a1＋9d） ＝3a1＋24d ＝3(a1＋8d) ＝60.
（2）已知等差数列{an}中， a3 ＋a4＋a5 ＋a6 ＋a7=150， 求a2＋a8的值
∴ a7＋a11 =a3 ＋a15=30
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1.若数列{an}是等差数列，p为常数，那么数列{an +c}、{pan} 是否为等差数列，请说明理由.
2.若数列{an}、{bn}都是等差数列,那么数列{an＋bn}，{an－bn}是否为等差数列，请说明理由.
4.2.1 等差数列的概念
第二课时等差数列的性质
2、等差数列的通项公式
高中数学人教A版必修5第二章2.2等差数列2课时课件
a2=a1+d,
实际由等差数列定义有
a3=a2+d =a1+2d, a4=a3+d =a1+3d, 由上式猜测: an=a1+(n-1)d.
a2-a1=d, a3-a2=d,
a4-a3=d, ……
an-an-1=d,
联想：形如递推公式a n
- an-1
=
f
(n)，
求通项公式可运用累加法
各式两边分别相加得
问题1. 刚才写出的 4 个数列, 它们有什么共同的 规律? 请你给有这种规律的数列设计一个名称.
(1) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, … (2) 18, 15.5, 13, 10.5, 8, 5.5, 3, 0.5. (3) 10072, 10144, 10216, 10288, 10360. (4) 60, 58, 56, 54, 52, 50, 48, 46, 44, 42.
问题1. 等差数列的应用较为广泛, 如: 能被 7 整 除的三位正整数有多少个? 一部梯子有 15 级, 最下 一级宽 61cm, 最上一级宽 40cm, 从下到上的第 10 级宽是多少? 你能用等差数列知识解决这类问题吗?
同样, 梯子的各级宽依次构成等差数列. 设这个数列为{bn}, 则 b1=61, b15=40. 由通项公式 b15=b1+(15-1)d 得
(2) 是等差数列, 它的首项是原数列首项a1, 公差是原 数列公差的 2 倍, 即2d.
(3) 也是等差数列, 它的首项是原数列首项a7, 公差是 原数列公差的 7 倍, 即7d.
5. 已知{an}是等差数列. (1) 2a5=a3+a7 是否成立? 2a5=a1+a9 呢? 为什么? (2) 2an=an-1+an+1 (n>1) 是否成立? 据此你能得出 什么结论?
等差数列的概念(第二课时)等差数列的性质 课件 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
思考：若数列 是等差数列，首项为 ，公差为 ，在 中每相邻两项之间都插入4个数，若要使之构成一个新的等差数列，你能求出它的公差吗？
解:
解1:
解2:
探究2 等差数列的综合问题
问题1：对于三个数成等差数列，某班同学给出了以下三种设法：
（1）设这三个数分别为 ， ， .
（2）设该数列的首项为 ,公差为 ,则这三个数分别为 , , .
（3）设该数列的中间项为 ,公差为 ,则这三个数分别为 , , .那么，哪种方法在计算中可能更便捷一些？
若下标成等差数列，则对应的项成等差数列.
新知运用
例1 （1）已知等差数列 ， ， ，求 的值；
（2）已知等差数列 ， ，求 的值；
（3）已知数列 ， 都是等差数列，且 ， ， ，求 的值．
[解析] （1）（法一）设 的公差为 ，则 解得 故 . （法二）因为 ，所以在等差数列 中有 ，从而 . （法三）因为5, , 成等差数列，所以 ， ， 也成等差数列，因此 ，即 ，解得 .
2A=a+b
第四章 数列
4.2 等差数列
课时2 等差数列的性质及其应用
学习目标
1.能用等差数列的定义推导等差数列的性质.2.能用等差数列的性质解决一些相关问题.3.能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题.
探究：观察等差数列: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,……说出8是哪两项的等差中项？并找到它们满足的规律？
方法总结 等差数列项的常见设法：（1）通项法.（2）对称项设法.对称项设法的优点是：若有 个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为 .
等差数列的概念(第2课时)(教学课件)高二数学(人教A版2019选修第二册)
解得 d=±2
∴当d=2时，这三个数分别为2，4，6;
当d=-2时，这三个数分别为6，4，2.
7. 某公司购置了一台价值为220万元的设备,随着设备在使用过程中老化,
其价值会逐年减少.经验表明,每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)
万元.已知这台设备的使用年限为10年,超过10年,它的价值将低于购进价
=3
7
∴ a25=a5+(25-5)d =10+20×3=70
(2) a10=a5+(10-5)d =10+5×2=20
6. 三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积也为12，求此三数.
解：设这三个数分别为a-d，a，a+d, 则
(a-d)+a+(a+d)=12，即3a=12
∴a=4
又∵ (a-d)(a+d)=12，即(4-d)(4+d)=12
第10排的座位有a10 =2 10 13 33(个 ).
n1
18，
2. 画出数列 an
的图象,并求通过图象上所有点
an1 3，1 n 6
的直线的斜率.
解：数列的图象如图示.
an
18
15
12
9
6
由等差数列定义可知,数列{an }是等差数列,且a1 18,ห้องสมุดไป่ตู้ 3. 3
个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
(1)求数列{bn} 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
分析：（1） {an}是一个确定的数列，只要把a1 ，a2表示为{bn}中的项，就可
等差数列第二课时教案
2.2等差数列第二课时人教A版必修五教学目标1.知识与技能在理解等差数列定义及如何判定等差数列, 学习等差数列通项公式的基础上, 掌握等差中项的定义及应用, 明确等差数列的性质, 并用其进行一些相关等差数列的计算.2.过程与方法以等差数列的通项公式为工具, 探究等差数列的性质, 同时进一步培养学生归纳, 总结的一些数学探究的方法.3.情感、态度与价值观在学习的过程中形成主动学习的情感与态度.在运用知识解决问题中体验数学的实际应用价值.教学重点（1）明确等差中项的定义及应用.（2）理解并掌握等差数列的性质.教学难点理解等差数列的性质的应用.教辅手段PPT,多媒体投影幕布教学过程一、复习引入——温故知新【内容设置与处理方式】借助课件引导学生共同回顾所学的等差数列的相关知识1. 等差数列的定义2. 等差数列的通项公式与公差二、 新知探究（一） 等差中项【内容设置与处理方式】直接给出等差中项的定义: 由三个数 组成的等差数列是最简单的等差数列, 此时 叫做 和 的等差中项.同样,在等差数列}{n a 中,就有212+++=n n n a a a 成立.等差中项可应用于判断一个数列是否为等差数列.（二） 等差数列的性质列举几个数列, 观察数列的特点, 研究公差与数列单调性的关系.问题1: 数列1: 1,3,5,7,9,11, ……数列2: 30, 25,20, 15,10,5, ……数列3: 8,8,8,8,8,8, ……引导学生观察, 得到等差数列的一个性质.性质1：若数列 是等差数列, 公差为 .若 >0,则是 递增数列；若 <0,则 是递减数列；若 =0,则 是常数列.2.问题2:在等差数列}{n a 中,探究等差数列中任意两项m n a a ,之间的关系.它们之间的关系可表示为:d m n a a m n )(-+=参考证明: 由等差数列的通项公式 得d m a a m )1(1-+=∴d m n d m a d n a a a m n )(])1([])1([11-=-+--+=-即等式成立由此也可得到公差的另一种表示:mn a a d m n --=性质2: d m n a a m n )(-+=;m n a a d m n --= 问题3: 在等差数列 中, 若 ,则 一定成立吗?特别地, ,则 成立?启发学生应用等差数列的通项公式来证明该问题。
4.2.1等差数列(第二课时)等差数列的证明与性质PPT课件(人教版)
1
2
1
2
=
，
2( −2)
= ，为常数( ∈ ∗ ).
1
，
2
1
2
( > 1， ∈
∗ )，记
∴数列{ }是首项为 ，公差为 的等差数列.
=
1
.求证：数
−2
新知探究
证明：(法二：等差中项法)∵ =
∴+2 =
+1
2(+1 −2)
4
=
4−
4
2(4− −2)
(m，n，p，q∈N*)
特别地，设{an}为等差数列，若m＋n＝2p，则有am＋an＝2ap. (m，n，p∈N*)
注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立.
例如，15 ≠ 7 + 8 ， 但6 + 9 = 7 + 8 ；1 + 21 ≠ 22 ，但1 + 21 = 211 .
[方法二]由等差数列的性质知30 = 37 ，则7 = 10.
故3 − 25 = 3 − (3 + 7 ) = −7 = −10.
新知探究
例3.(1)数列{an}为等差数列，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{an}的通项公式；
(2)在等差数列{an}中，a15＝8，a60＝20，求a75的值．
∴ = 1 + ( − 1) × (−20) = 220 − 20.
故从第12年起，该公司经销此产品将亏损.
04
课堂小结
课堂小结
推广：an＝am＋(n－m)d (n，m∈N*)
首末项两项之间的关系
任意两项之间的关系
an －a1
2.2等差数列的性质及应用(第2课时)
[研一题] [例1] 已知四个数成等差数列，它们的和为26，中 间两项的积为40，求这四个数．
返回
[自主解答] 法一：设这四个数分别为 a，b，c，d，根据题
b－a＝c－b＝d－c， 意，得a＋b＋c＋d＝26，
bc＝40，
a＝2， 解之得bc＝＝85，，
d＝11，
a＝11， 或bc＝＝58，，
d＝2，
∴这四个数分别为 2,5,8,11 或 11,8,5,2.
返回
法二：设此等差数列的首项为 a1，公差为 d，根据题 意，得aa1＋1＋ad1＋a1d＋＋2da＝1＋420d，＋a1＋3d＝26，
返回
化简，得4aa21＋1＋36ad1d＝＋226d，2＝40， 解得ad1＝＝32，， 或ad1＝＝－113，， ∴这四个数分别为 2,5,8,11 或 11,8,5,2.
(1) 求 证 ： f(1) ， f(3) ， f(5) ， … ， f(2n － 1)(n∈N*)成等差数列．
(2)求f(n)的解析表达式．
返回
[解] (1)∵x为奇数时，x＋1为偶数， ∴由已知条件，可得 f(x＋1)－f(x)＝1， ① f(x＋2)－f(x＋1)＝3， ② ①＋②，得f(x＋2)－f(x)＝4. 又f(x)定义在N*上， ∴f(1)，f(3)，…，f(2n－1)(n∈N*)成等差数
又 a4a7=187 ② ，
a4= 17 或 a4= 11
a7= 11
a7= 17
解 ①、 ② 得 ∴d= _2或2, 从而a14= _3或31
[变式练习]
(1)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2
＋…＋a7＝
()
A．14
(完整版)等差数列(第二课时)
探究
已知数列{an} 通项公式为an=pn+q (p、q是
常数),那么这个数列一定是等差数列吗？
若把条件和结论互换， 此说法是否仍然成立？
结论 : 数列an为等差数列 an pn q
其中p为公差.
判断一个数列是等差数列的常用方法 证明一个数列是等差数列常用的方法有： (1)定义法：利用 an－an－1＝d(常数)(n≥2 且 n∈N＋)等价 于{an}是等差数列． (2)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2 且 n∈N＋)等价于 {an}是等差数列． (3)an＝kn＋b(k，b 为常数，n∈N＋)等价于{an}是等差数 列．
等差数列an中，若m n p q,那么
am an与ap aq间存在什么样的关系？
等差数列的性质：
数列{an}是等差数列，m、n、p、 q∈N+，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq。 推广： 若m+n=2p，则am+an=2ap。
等差数列的性质应用
[典例] (1)已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋
数列an是等差数列 ， an pn q(其中p为公差)
数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N+， 且m+n=p+q，则am+an=ap+aq。
小试牛刀
(1)设 c, b 为常数，若数列{an} 为等差数列，则数 列{an b} 及{c an b} 为等差数列.
(2) 设 p, q 为常数，若数列 {an}、{bn}均为等差数列， 则数列 { p an q bn } 为等差数列.
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提示:利用累加法求出数列{an}的通项公式;利用裂项 相消法计算 { 1 } 的前10项和.
所以an=2+(n-1)×5=5n-3.
方法二:S偶-S奇=(a2+a4+…+a12)-(a1+a3+…+a11) =(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a12-a11)=6d,
S奇 27 S偶 192， S 32 ， 因为 偶 所以 S奇 162. S S 354， 偶 奇
第2课时 等差数列习题课
【题型探究】
类型一 等差数列前n项和的性质
【典例】1.等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和
Sn 2n Tn，且 则 a 5 =( ， Tn 3n 1 b5
2 A. 3 9 B. 14 20 C. 31
)
7 D. 9
S8 S4 1 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且 ， 那么 S16 S8 3
b7
【方法技巧】与等差数列前n项和Sn有关的性质 (1)数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…是公差为n2d的等差数列.
(2)数列 {Sn } 为等差数列.
n
(3)等差数列{an}前n项和公式为 Sn n a1 a n ， 由等差数
2
列的性质可得：
2m(a1 a 2m ) S2m m a m a m1 ， 2 (2m 1)(a1 a 2m1 ) S2m1 (2m 1)a m1. 2
所以S偶-S奇=192-162=6d.所以d=5. 因为S12=12a1+ 12 11×5,
2
所以a1=2.所以an=5n-3.
方法三：设{an}的首项为a1，公差为d，则
6（a 2 a12） 6（a1 a11） S偶 ，S奇 ， 2 2 S 所以 偶 a 2 a12 a 7 32 . ① S奇 a1 a11 a 6 27 因为S12= 12(a1 a12） =6(a6+a7)=354，② 2 a 6 27， 解得 a 7 32.
S4 1 2.选D.由 ， 可设S4=t,S8=3t,t≠0, S8 3
所以S8-S4=3t-t=2t,
因为等差数列{an}的前n项和为Sn,
所以S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列, 所以S12-S8=3t,S16-S12=4t,
所以S12=6t,S16=10t.
S8 3t 3 . 所以 S16 10t 10
类型二
奇数项和、偶数项和问题
发展要求
【典例】等差数列{an}的前12项和为354,前12项中奇 数项与偶数项的和之比为27∶32,求这个数列的通项公 式.
【解题探究】典例中前12项中奇数项能构成等差数列 吗?偶数项呢?偶数项的和与奇数项的和的差有何特点? 提示:前12项中奇数项、偶数项分别构成以a1,a2为首 项,2d为公差的新的等差数列.S偶-S奇=6d.
【解析】方法一:设{an}的首项为a1,公差为d,
S奇=6a1+ 6 5 ×2d=6a1+30d,
2
S偶=6(a1+d)+
65 ×2d=6a1+36d, 2
6a1 30d 27 ， d 5， 所以 6a1 36d 32 解得 a1 2. (6a 30d) (6a 36d) 354. 1 1
【解析】项数为2n+1(n∈N*),则奇数项有n+1项,偶数 项有n项,中间项为an+1,则
2 a 2 a 2n n a1 a 2n 1 （ n 1） S奇＝ ＝ n 1 a n 1＝44， S偶＝ ＝na n 1 33，
2 所以 n 1＝ 4 . 所以n=3,an+1=11. n 3
所以S110=－110.
方法二:数列S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100 成等差数列,设其公差为D,前10项和10S10+ 10 9×D=
2
S100=10⇒D=-22,所以S110-S100=S10+(11-1)D=100+10× (-22)=-120. 所以S110=-120+S100=-110.
n
2 S d S 10 100 99 所以 (100－10) 100 － 10 － － ， 2 100 10 100 10 10 d 11 所以 － . 2 100 所以 S110 S100 10 d 10 10 (－ 11 ) －， 1 110 100 2 100 100
2 2
答案:-1 -66
【补偿训练】一个等差数列的前10项之和为100,前100 项之和为10,求前110项之和. 【解析】方法一：设该等差数列的公差为d， 由于Sn= na1
n(n－ 1） 所以 d， 2
Sn d a1 (n－ 1)， n 2
所以数列{Sn } 是等差数列，其公差为 d .
计算.
【解析】选A.由S3,S6-S3,S9-S6,„,S18-S15成等差数列,
可知 S18=S3+S6-S3+S9-S6+…+S18-S156 ຫໍສະໝຸດ (－6 18) 36. 2
2.(2015·温州高一检测)等差数列{an}的通项公式是 an=1-2n,前n项和为Sn,则数列 {Sn } 的公差是
2
S偶=a2+a4+a6+…+a2n =na2+ n(n－1) ×2d=na1+n2d=72,
2
所以S偶-S奇=nd=-18,所以d=- 18 ,
n
因为等差数列{an}各项均为整数,
所以d=18 (n≥9)为整数, n
所以n=9,18, 当n=9时,d=-2, 所以9a1+92×(-2)=72,a1=26,
S奇 n 1
【补偿训练】在等差数列{an}中前m项(m为奇数且m>1) 和为77,其中偶数项和为33且a1-am=18,求这个数列的 通项公式.
【解析】设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则数列的 前m项为a1,a1+d,a1+2d,a1+3d,„,a1+(m-1)d. 前m项(m为奇数)和为77,其中偶数项之和为33,所以奇数 项之和为44, S奇=a1+(a1+2d)+(a1+4d)+…+[a1+(m-1)d] (共 m－1 1项)，
S奇 17 S偶 120， S 20 ， 因为 偶 所以 S奇 102. S S 222. 偶 奇
所以S偶-S奇=120-102=6d.所以d=3. 因为222=12a1+ 12 11 ×3,
2
所以a1=2.所以an=3n-1.
2.(变换条件、改变问法)典例中项数改为2n+1(n∈N*) 项,且奇数项和为44,偶数项和为33,求数列的中间项和 项数.
所以d=5.所以an=a6+(n-6)×5=27+5n-30=5n-3.
【延伸探究】 1.(变换条件)典例中,“354”改为“222”,“27∶32”
改为“17∶20”,其他条件不变,结果又如何?
【解析】S偶-S奇=(a2+a4+„+a12)-(a1+a3+„+a11) =(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a12-a11)=6d,
2
代入(m-1)d=-18,解得d=-3. 通项公式an=20-3(n-1)=23-3n.
【延伸探究】
1.(变换条件)本题中“77”改为“93 1 ”,“33”改为
2
“42
1 ”,“a1-am=18”改为“a1=1”,其他条件不变, 2
结果如何?
【解析】设m=2n+1， 由题意得S2n+1=(2n+1)an+1=93 1 ，
1 S奇=S2n+1-S偶=93 1 -42 =51， 2 2 2
S奇-S偶=an+1=8
1 所以 S2n1 2n 1 2 11， 所以n=5. 1 S奇 S偶 8 2 93
1 ， 2
又因为a1=1，a1+nd=8 1 ，
3 1 所以1+5d=8 ，解得d= ， 2 2 3 3n－1 所以an=1+(n-1)× . 2 2 2
2
S偶=(a1+d)+(a1+3d)+(a1+5d)+…+[a1+(m-2)d]
m－1 所以S奇-S偶=a1+ d=11,① 2 m－ 1 (共 项)， 2
因为a1-am=a1-[a1+(m-1)d]=18,
所以(m-1)d=-18,②
联立①②解得a1=20,所以am=2,
因为Sm= m (a1+am)=77,所以m=7.
2.典例2中，S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12是否成等差数 列？
提示：S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12成等差数列.
3.典例3中,联系题目条件,可以考虑应用等差数列前n
项和的哪个性质?
Sn 提示：应用数列 { } 是等差数列. n
【解析】1.选B.由题意得
9 a1 a 9 a 5 2a 5 a1 a 9 S9 29 9 2 . b5 2b5 b1 b9 9 b1 b9 T9 3 9 1 14 2
3.选C.因为数列{an}为等差数列，且前n项和为Sn，
所以数列 {Sn } 也为等差数列.