椭圆与直线间的关系例题祥解
18直线与椭圆的位置关系2
①相交
②相切
ห้องสมุดไป่ตู้
③相离
三种位置关系的处理方法
1、形方面：交点个数； 2、数方面：转化为一元二次方程利 用判别式。
0 0 0
相交
相切
相离
弦长公式：
| PQ | 1 k | x1 x2 | 1 k
2 2
( x1 x2 ) 4 x1 x2
例题讲解
12 y 标原点.若 OA OB ,求直线 l 的倾斜角. 5 A
Ｆ１
o
Ｆ２
x
B
在直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点 (0， 3) ， (0，3) 的距离 之和等于 4，设点 P 的轨迹为 C ，直线 y kx 1 与 C 交于 A， B 两点． （Ⅰ）写出 C 的方程；
（Ⅱ）若 OA OB ，求 k 的值；
（Ⅰ）设 P（x，y） ，由椭圆定义可知，点 P 的轨迹 C 是
(0 以 (0， 3)，，3) 为焦点，长半轴为 2 的椭圆．它的短半轴
y b 2 ( 3) 1 ，故曲线 C 的方程为 x 1 ． 4
2 2
2
2
（Ⅱ）设 A( x1，y1 )，B( x2，y2 ) ，其坐标满足
2 y2 1， x 2 2 消去 y 并整理得 (k 4) x 2kx 3 0 ， 4 y kx 1. 2k 3 故 x1 x2 2 ． ，x1 x2 2 k 4 k 4 2 若 OA OB ，即 x1 x2 y1 y2 0 ．而 y1 y2 k x1 x2 k ( x1 x2 ) 1 ，
2
1 1 | PQ | 1 2 | y1 y2 | 1 2 ( y1 y2 ) 2 4 y1 y2 k k
线段和椭圆的位置关系 专题练习题 含答案
线段和椭圆的位置关系专题练习题含答案题目一设直线方程为 `y = 2x + 3`，椭圆的标准方程为 `4(x - 2)^2 + 9(y + 1)^2 = 36`，求直线与椭圆的位置关系。
解答首先，我们可以观察到直线方程的斜率为 2，表示直线的倾斜程度。
而椭圆的标准方程可以转化为 `(x - 2)^2/9 + (y + 1)^2/4 = 1`，由此可知椭圆的中心坐标为 (2, -1)，长轴为 6，短轴为 4。
根据直线与椭圆的位置关系，我们有以下几种情况：1. 直线与椭圆相交：当直线穿过椭圆时，方程组 `y = 2x + 3`和 `(x - 2)^2/9 + (y + 1)^2/4 = 1` 有解。
我们可以将直线方程代入椭圆方程，得到一个二次方程，求解该方程即可得到交点的坐标。
2. 直线与椭圆相切：当直线与椭圆只有一个交点时，方程组 `y = 2x + 3` 和 `(x - 2)^2/9 + (y + 1)^2/4 = 1` 有且仅有一个解。
我们可以将直线方程代入椭圆方程，得到一个二次方程，判断该方程的根的个数即可。
3. 直线与椭圆不相交也不相切：当直线与椭圆没有交点时，方程组 `y = 2x + 3` 和 `(x - 2)^2/9 + (y + 1)^2/4 = 1` 无解。
我们可以将直线方程代入椭圆方程，得到一个二次方程，判断该方程无解即可。
根据以上思路，我们可以进一步分析出直线与椭圆的具体位置关系。
题目二设直线方程为 `4x - 3y + 6 = 0`，椭圆的标准方程为 `9(x + 2)^2+ 4(y + 1)^2 = 36`，求直线与椭圆的位置关系。
解答首先，我们可以观察到直线方程的系数相对较大，表示直线的倾斜程度较小。
而椭圆的标准方程可以转化为 `(x + 2)^2/4 + (y + 1)^2/9 = 1`，由此可知椭圆的中心坐标为 (-2, -1)，短轴为 6，长轴为 4。
根据直线与椭圆的位置关系，我们有以下几种情况：1. 直线与椭圆相交：当直线穿过椭圆时，方程组 `4x - 3y + 6 = 0` 和 `(x + 2)^2/4 + (y + 1)^2/9 = 1` 有解。
1127直线与椭圆位置关系
（2）设直线与椭圆的交点A（x1,y1），
2m B（x2,y2），则由（1）得 x1 x 2 5 , 2 AB 1 k | x1 x 2 | m2 1 x x . 1 2 2 5 2 1 k x1 x 2 4x1x 2
2 4 4
因为AB是等腰△PAB的底边， 所以PE⊥AB.
m 4 1, 解得m=2. 所以PE的斜率 k 3m 3 4 2 2
此时方程①为4x +12x=0, 解得x1=-3,x2=0, 所以y1=-1,y2=2. 所以 AB 3 2.
此时，点P(-3,2)到直线AB：x-y+2=0的距离
G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点
为P(-3,2).(1)求椭圆G的方程；(2)求△PAB的面
积.
解 (1)由已知得 c 2 2,
c 6 , a 3 P
Y
a 2 3. 解得b2=a2-c2=4,
椭圆G的方程为 x 2
A
y 1. 12 4
2
X
B
Y P
(2)设直线l的方程为y=x+m，
4 与椭圆的交点为 P（1， 5） （1, 4 5） ,Q , 5 5
8 5 PQ 5 5， 5 3
∴直线l的斜率应存在,设l：y=k(x-1)，与椭圆方程联立消
去y得:（4+5k2）x2-10k2x+5k2-20=0.
10k 2 5k 2 20 x1 x 2 , x1 x 2 2 4 5k 4 5k 2
4 2 1 k m 25
2
4 m 2 1 5
高考数学专题03 直线与椭圆相结合问题(第五篇)(解析版)
备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第五篇解析几何专题03 直线与椭圆相结合问题【典例1】【陕西省榆林市2019届高考第三次模拟测试】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，直线l 和椭圆C 交于A ，B 两点，当直线l 过椭圆C 的焦点，且与x轴垂直时，23AB =. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点(1,0)且倾斜角为钝角，P 为弦AB 的中点，当OPB ∠最大时，求直线l 的方程. 【思路引导】（1）由题意列方程组可得29a =，21b =，据此可得椭圆方程；（2）设()1,0M ，直线l 的方程为：1(0)x my m =+<，联立直线方程与椭圆方程可得229,99m P m m ⎛⎫-⎪++⎝⎭，结合向量知识可得cos OPB ∠=45≥-，由等号成立的条件可得直线方程. 【详解】（1）由题意：2222223119c ac a bc a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩，∴29a =，21b =，∴椭圆C 的标准方程为：2219x y +=；（2）设()1,0M ，直线l 的方程为：1(0)x my m =+<，联立方程22991x y x my ⎧+=⎨=+⎩可得：()229280m y my ++-=，∴229,99m P m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，取OP 的方向向量为()9,m OP m λ==-u u u v v ，取MP 的方向向量为(),1n MP m μ==u u u v v，∴,m n cos OPB cos m n m n v vv v v v ⋅∠====45≥-， 当且仅当2281m m=，即：3m =-时取等号，此时OPB ∠最大， 直线l 的方程为：310x y +-=.【典例2】【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测】已知点)F是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的一个焦点,点12M ⎫⎪⎭在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）若直线l 与椭圆 C 交于不同的,A B 两点,且12OA OB k k +=- ( O 为坐标原点),求直线l 斜率的取值范围. 【思路引导】（1）由题可知，椭圆的另一个焦点为()，利用椭圆的定义，求得2a =，再理由椭圆中222c a b =-，求得b 的值，即可得到椭圆的方程；（2）设l 直线的方程为y kx m =+，联立方程组，利用根与系数的关系，求得1212,x x x x +，在由12OA OB k k +=-，进而可求解斜率的取值范围，得到答案。
高二数学直线与椭圆的位置关系
（ C ）
A、（0，1）
B、（0，5 ）
D、（1，+ ∞ ）
C、[ 1，5）∪（5，+ ∞ ）
3、过椭圆 x2-2y2=4 的左焦点作倾斜角为300的直线，
则弦长 |AB|= _______ , 通径长是 _______
小 结:
1、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件； 2、弦长的计算方法： （1）垂径定理：|AB|= 2 r 2 d 2 （只适用于圆） （2）弦长公式： |AB|=
2b 2 a
例2、已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的两准
线间的距离为2，若椭圆被直线x+y+1=0截得的 2 弦的中点的横坐标是 ，求椭圆的方程. 3
练习 中心在原点，一个焦点为F（0，
50 ）的椭圆被
直线 y=3x-2所截得弦的中点横坐标是1/2，求椭圆
方程。
例3
x2 y2 1 椭圆 45 20
起来：“守夜也有秦顺儿呢！哪儿轮得到您们！”两各丫环晓得爷那是动咯气，吓得别敢再吱声，乖乖地放下手中の热水和中衣，壹并退咯下去。回到水清の房间，月影只见晚 膳还胡乱地摆在桌子上，上前看咯看，有些动咯，有些壹点儿也没什么动，看样子仆役用咯壹些，但都别多。再往里屋探身壹看，水清已经和衣躺在床上咯，深感失职の月影赶 快冲咯进去：“仆役，奴婢回来咯，奴婢那就服侍您歇息。”水清随便用咯些晚膳之后，原本是拿咯壹本书，壹边看书壹边等月影，结果因为壹天の旅途劳累，看咯没壹会儿就 有些迷迷糊糊地睡着咯，被月影叫醒后，她赶快问道：“爷那里怎么样咯？都伺候完咯吗？”“嗯，是爷让我们回来の，说有秦公公服侍就可以咯。”“噢，那您们赶快吃饭吧， 都有些凉咯呢。”“奴婢别饿の，仆役，赶快让奴婢帮您安置咯吧。”“我那里也没什么啥啊事情……”别待水清说完，月影已经手脚麻利地开始为水清拆头发，拔簪子，卸容 妆，水清也好由着她做那些，晓得她那是心中愧疚，只有壹刻别停地忙碌着才能让她心安理得壹些。吉尔眼见着月影进咯里间屋伺候侧福晋，她在外间屋没敢贸然地进去。由于 是初次服侍侧福晋，既别好跟月影那各老人抢差事，又别晓得如何跟侧福晋解释啥啊，更是别晓得那各侧福晋是啥啊性子，她贸然进屋会别会惹主子别高兴。于是吉尔赶快很有 眼力劲儿地在外间屋将桌子收拾干净，又将行李归置整齐。她那么手脚别停地干活儿，也是想让自己能够心安壹些。由于水清别习惯有人在跟前值夜，于是两各丫环就在外间屋 踏踏实实地睡咯壹晚。前壹天被两各小丫环弄得只有招架之功，没什么还手之力の王爷急于摆脱被动挨打の局面，于是壹大清早儿就让秦顺儿给水清传话：“您壹会儿跟侧福晋 传爷の吩咐，月影和吉尔两各人专门负责伺候侧福晋，别用到爷那里当差来咯。” 水清听完咯秦顺儿壹字别落の传话，心里别由得咯噔地壹下：昨天晚上发生啥啊事情咯？爷怎 么会专门来传那各吩咐？爷の身边没各丫环，光指着秦顺儿壹各小太监怎么能行？况且福晋姐姐那次之所以特意将吉尔派来同行，还别是担心她和月影两各人没什么经验，生怕 别能把爷伺候好吗？现在吉尔假设成咯自己の专用丫环，把爷の事情给耽误咯，既辜负咯福晋の壹番心意，更是要把福晋姐姐得罪咯。第壹卷 第552章 抢功生怕辜负咯福晋壹 片信任の水清想到那里，赶快对秦顺儿说道：“您跟爷回各话，我那里有月影壹各人就行咯，还是让吉尔专心伺候爷吧。”别但秦顺儿听明白咯水清の吩咐，连两各丫环都听得 真真切切。吉尔の心中是暗暗欢喜、感激别已，月影却是急得别行、心生埋怨，于是顾别得礼仪，开口对水清说道：“仆役，要别，让奴婢去服侍爷吧，吉尔留下来伺候 您。”“月影？！”水清惊呆咯！月影可是她从娘家带过来の陪嫁丫环，她们同进共退，同甘共苦，在那陌生の王府里相依为命，度过咯六年の时光！那各丫头可是她在王府里 唯壹の壹各亲人，最为亲近、最为信赖の奴才，怎么现在居然为咯去伺候爷，将她那各正经主子扔在壹边别管咯？难道说为咯攀上王爷那各高枝，她们六年多の主仆之情全都忘 到咯脑后咯？可是，月影别是那种人啊？六年多咯都别去攀附王爷那根高枝，怎么现在突然开窍咯？百思别解の水清根本别打算再理会月影，转身继续对秦顺儿说道：“就照我 刚才の吩咐去给爷传口信吧。”王爷听咯秦顺儿の回复，想想自己手边上只秦顺儿壹各人也确实是有些忙别过来，刚才之所以让两各丫环都留给水清，完全还是因为昨天晚上の 事情在赌气。现在看到水清主动让咯步，心里舒坦咯许多，于是就点头同意咯。秦顺儿见王爷别但同意咯，而且脸色有咯好转，他那心里也跟着高兴起来，于是忍别住就又多咯 壹句嘴：“启禀爷，月影那姑娘其实也想来伺候您呢，侧福晋没答应。”“啥啊？”那各情况大大出乎王爷の意料，再联想到昨天晚上月影那破天荒の殷勤劲儿，更是让他糊涂 别已！以前那丫头见着他就像老鼠见到猫似の，别是战战兢兢，就是退避三舍，偶尔他去咯怡然居，眼见着躲别掉咯，别得已只好硬着头皮上前来伺候他。而从昨天晚上开始の 月影那番脱胎换骨の巨大变化，简直是让他丈二和尚摸别到头脑咯！谢天谢地，幸好水清留下咯月影，否则他还真别晓得怎么面对她。于是他朝秦顺儿挥咯挥手，让他先退下咯。 吉尔听到秦顺儿の禀报，心中自是欢喜别已，辞别咯水清，赶快随着秦顺儿去王爷那里服侍，生怕壹会儿侧福晋又变咯卦。月影眼见着吉尔欢天喜地地去咯王爷那里，急得她顾 别得礼数，壹把拉住水清：“仆役啊！您怎么让吉尔壹各人去服侍爷咯？您怎么那么糊涂啊！”月影急别择言，如此大逆别道の话语未经大脑就脱口而出。好在水清与她壹直情 同姐妹，所以也没什么太在意她の失礼，只是笑咯笑，然后说道：“月影啊，您最近那是怎么？变得我都要别认识咯呢！您现在老老实实跟我交代，昨天晚上到底发生咯啥啊事 情，气得爷都别让您去跟前伺候咯呢。”第壹卷 第553章 和尚月影早就想跟水清好好地说壹说那各事情，现在见水清主动提咯起来，难得碍事の吉尔又别在身边，她也打算打 开天窗说亮话。虽然她们情同姐妹，但毕竟也有主仆之分，于是她先是费咯好大の劲儿才总算是略微压住咯心中の怒火，开口说道：“仆役，昨天晚上没什么发生啥
直线与椭圆的位置关系-高中数学复习
点， O 为坐标原点，若 AB ∥ OP ，则椭圆的焦距为（
C. 1
）
D. 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
目录
高中总复习·数学
解析： 由题意知， F 1（－ c ，0）， A （ a ，0）， B （0，1），
1
1
则点 P （－ c ， ），所以直线 BA 的斜率 kBA ＝－ ，直线 PO 的斜
1
1
1
1
率 kPO ＝ ＝－ .由 BA ∥ PO ，得 kBA ＝ kPO ，所以－ ＝－ ，则
−
c ＝1，所以椭圆的焦距为2 c ＝2.故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
目录
高中总复习·数学
4.
2
（2023·新高考Ⅱ卷5题）已知椭圆 C ： ＋ y 2＝1的左、右焦点分别
2
＋
（1 ＋2 )(1 −2 ）
＝0，
1 −2
2 1 ＋2
2
1
∴
＝－ 2 ×
＝2，∴ 2 ＝ ，
1 −2
2
1 ＋2
2
故椭圆的离心率 e ＝ ＝
1−
2
2
＝ .
2
2
目录
高中总复习·数学
1
2
2
（2）已知斜率为－ 且不经过坐标原点 O 的直线与椭圆 ＋ ＝1相
高二数学直线与椭圆的位置关系
∆<0
∆=0
∆>0
这是求解直线与二次曲线有关问题的通法。
小结：直线与二次曲线相交弦长的求法
1、直线与圆相交的弦长
d
l 2
r
2、直线与其它二次曲线相交的弦长 （1）联立方程组 （2）消去一个未知数 （3）利用弦长公式:
A（x1,y1）
|AB| =
通法
2 1 k 2 （x1 x2） 4 x1 x2
变式： OA⊥OB
2 ，且 2
| AB | 2 2
练习：
x2 y2 1 的弦被（4，2）平分，那 1、如果椭圆被 36 9
么这弦所在直线方程为（
A、x-2y=0
D
）
D、x+2y-8=0
B、x+2y- 4=0 C、2x+3y-12=0
x2 y2 1 恰有公共点，则m的范围 2、y=kx+1与椭圆 5 m
直线与椭圆的位置关系
问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
怎么判断它们之间的位置关系？ 几何法： d>r 代数法：∆<0
d=r d<r
∆=0
∆>0
问题2：椭圆与直线的位置关系？
问题3：怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？
不能！ 因为他们不像圆一样有统一的半径。
所以只能用代数法----求解直线与二次曲线有关问题的通法。
2 1 k 2 （x1 x2） 4 x1 x2
1 2 1 （ y y ） 4 y1 y2 = 1 2 2 k
（适用于任何曲线）
3、弦中点问题的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； （2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。
直线和椭圆的位置关系
判断直线与椭圆的位置关系的常用方法为：联立 判断直线与椭圆的位置关系的常用方法为： 直线与椭圆方程，消去y或x，得到关于x或y的一 直线与椭圆方程， 元二次方程☆，记方程☆的判别式为Δ，则 的判别式为Δ (1)直线与椭圆相交 Δ>0； (1)直线与椭圆相交⇔Δ>0； 直线与椭圆相交⇔ (2)直线与椭圆相切 (2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0； 直线与椭圆相切⇔ (3)直线与椭圆相离 (3)直线与椭圆相离⇔Δ<0. 直线与椭圆相离⇔
直线和椭圆的位关系
已知椭圆4 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.当直线和椭圆 有公共点时，求实数m的取值范围． 有公共点时， 的取值范围．
4x2＋y2＝1 由 得 5x2＋2mx＋m2－1＝0. ＋ ＝ ＝ ＋ y＝x＋m
【解】
因为直线与椭圆有公共点， 因为直线与椭圆有公共点， 所以 ∆＝4m2－20(m2－1)≥0. ＝ ≥ 5 5 解得－ 解得－ ≤m≤ . ≤ 2 2
x 2 y2 过椭圆 ＋ ＝1 内一点 P(2,1)作一条直线交椭圆于 A、B 作一条直线交椭圆于 、 16 4 两点， 点平分，求此直线的方程． 两点，使线段 AB 被 P 点平分，求此直线的方程．
如图， 【解】 ：如图，设所求直线的方程为 y－1＝k(x－2)， － ＝ － ， 代入椭圆方程并整理， 代入椭圆方程并整理，得 (4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0， ＋ － ＝ ， 又设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， ， ， 方程的两个根， 则 x1、x2 是(*)方程的两个根， 方程的两个根 8(2k2－k) ( ) . ∴x1＋x2＝ 4k2＋1 的中点， ∵P 为弦 AB 的中点， x1＋x2 4(2k2－k) ( ) 1 .解得 k＝－ ， ＝ 解得 ＝－ ∴2＝ ＝ 2 2 2 4k ＋1 ∴所求直线的方程为 x＋2y－4＝0. ＋ － ＝ (*)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
椭圆与直线间的关系例题祥解（1）相离→①相离无解⇔+==+⎧⎨⎪⎩⎪x a y b y kx b 22221（2）相切①相切有一解⇔+==+⎧⎨⎪⎩⎪x a y b y kx b 22221②过椭圆上一点，的椭圆的切线方程为P x y xx a yy b00002021()+= ()312222相交有两解⇔+==+⎧⎨⎪⎩⎪x a y b y kx b①弦长公式： ||()()AB x x y y =-+-122122=++-14212212kx x x x ()=+-1212k x x || =+12k a ·∆||例题1：椭圆141622=+y x 上的点到直线02y 2x =-+的最大距离是（ ）． A ．3 B ．11 C ．22 D ．10法一，参数方程法设椭圆上的点为P （4cos θ,2sin θ）,P 点到直线的距离为：10522252)4sin(24524)cos 4sin(852)22)cos(22sin(2(452sin 4)2sin(421|2sin 4cos 4|d 22=--≤-θ+π=-πθ+π=-θ-θ+πθ+θ+π=-θ+θ+π=+-θ+θ=法二，数形结合，求平行线间距离设与直线02y 2x =-+平行的直线为x+2y+m=0，与椭圆联立得,016y 4)m y 2(22=-+--，即 0m 16m y 4y 822=+-+，到直线02y 2x =-+的最大距离点是切点，上述方程的判别式0512m 16m 32512m 16222=+-=-+=∆，∴32m 2=，24m ±=两平行线间的距离为：10524221242d 22=--≤+-=即24m =时，距离最大，为10练习1. 已知椭圆，在椭圆上求一点，使到直线：x y P P l x y 228840+=-+= 的距离最小并求出距离的最小值（或最大值）？ 解一 设，由参数方程得P (cos sin )()22θθ则d =-+=--|cos sin ||sin()|2242342θθθϕ 其中，当时，tan min ϕθϕπ=-===2221222d 此时，cos sin sin cos θϕθϕ=-=-==22313即点坐标为，P P ()-8313解二 因与椭圆相离，故把直线平移至，使与椭圆相切，则与的距离，l l l l l l '''即为所求的最小值，切点为所求点最大('')l →设：，则由消得l x y m x y m x y x '-+=-+=+=⎧⎨⎩0088229280449802222y my m m m -+-==--=，令×∆() 解之得±，为最大，由图得m m =-=-333()此时，，由平行线间距离得P l ()min -=831322附录：1. 点到直线的距离公式: 点),(000y x P 到直线0:=++C By Ax l的距离为：2200||BA C By Ax d +++=2. 两平行线0:11=++C By Ax l 、0:22=++C By Ax l 间的距离公式为：2221||BA C C d +-=3. 三角函数公式：sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sin(2π+a) = cosa 4. 椭圆参数方程如图以原点为圆心，分别以a 、b （a>b>0）为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BN ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕O 旋转时点M 的轨迹的参数方程。
解：参数。
那么∴x ON OA y NM OB x a y b ======⎧⎨⎩||cos ||sin cos sin ()ϕϕϕϕ1说明：<1> 对上述方程（1）消参即得 xay bx a y b ==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒+=cos sin ϕϕ22221普通方程 <2>由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。
例题2：已知，，是椭圆的右焦点，点在椭圆上移动，当A F x y M ()-+=231612122|MA|＋2|MF|取最小值时，求点M 的坐标。
分析：椭圆上一点到定点的距离→椭圆的第2定义→准线| AA ||MP ||MA ||MF |2|MA ≥+=+解：P l MP l ，垂足为⊥是椭圆的右准线，设直线MF e1|MP |e |MP ||MF |==，则MF 2|MF |e1|MP |21e 2c 32b 4a ======，由此得，∴，，由已知方程得，| AA ||MP ||MA ||MF |2|MA |≥+=+内分点时，等号成立，是三点共线且、、当点AP M P A M )332(M |MF |2|MA |，的坐标为取得最小值，点此时+附录：椭圆的第二定义：第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。
注意：①对对应于右焦点，的准线称为右准线，x a y b a b F c 22222100+=>>()()方程是，对应于左焦点，的准线为左准线x a c F c x a c=-=-2120()②e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。
2. 焦半径及焦半径公式：椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。
对于椭圆，设，为椭圆上一点，由第二定义：x a y b a b P x y 222102+=>>()()左焦半径∴·左左r x a cca r ex c a a ca ex 02020+==+=+右焦半径右右r a cx car a ex 200-=⇒=-例题3：时，点P 横坐标的取值范围是_______________。
（2000年全国高考题） 分析：∠F 1PF 2为钝角→90度时P 点横坐标如何？ ∠F 1PF 2为钝角→焦半径∠F 1PF 2为钝角→余弦定理 解1：设P(x,y),()()()353353259535352222++-<⇔<-<<x x x x ，应填 解2：由此可得点的横坐标±，点在轴上时，∠；点在轴上P x P x F PF P y ==35012附录：余弦定理余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA , 222cos 2b c a A bc+-=；证明：如图ΔABC 中，sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===-22222222sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A=+=+-=+-当A 、B 是钝角时，类似可证。
例题4：过椭圆内一点，引一条弦，使弦被点平分，求这条x y M M 22164121+=()弦所在的直线方程。
分析：本例的实质是求出直线的斜率，弦被平分→中点→中点坐标2x x 21+→韦达定理 解一 设所求直线方程为，代入椭圆方程并整理，得y k x -=-12()()()()4124211602222k x k k x k +--+--=，又设直线与椭圆的交点为B，是方程的两个根，于是、，则，、，1k 4)k k 2(8x x x x )y x (B )y x (A 2221212211+-=+又为的中点，∴，解之得，故所求直线方M AB x x k k k k 122224241212+=-+==-() 程为x y +-=240解二 设直线与椭圆的交点为，、，，，为的中点，A x y B x y M AB ()()()112221∴，，又、两点在椭圆上，则，x x y y A B x y x y 121212122222424164+=+=+=+ =-+-=164012221222，两式相减得()()x x y y∴y y x x x x y y 12121212412--=-++=-()即，故所求直线为k x y AB =-+-=12240 解三：设所求直线与椭圆的一个交点为A （x ，y ），由于中点为M （2，1），则另一个交点为，B x y ()42--∵、两点在椭圆上，∴有①，②A B x y x y 222241644216+=-+-=()() ①②得：-+-=x y 240由于过、的直线只有一条，故所求直线方程为A B x y +-=240解四 直线方程为x t y t =+=+⎧⎨⎩21cos sin αα代入椭圆得：(cos )(sin )24116022+++-=t t αα ∴444841602222+++++-=t t t t cos cos sin sin αααα ∴(sin cos )(sin cos )48480222αααα+++-=t t ∵，∴t t 122208440+=-++=sin cos sin cos αααα∴820sin cos αα+= ∴，8212sin cos tan ααα=-=-即，故所求直线为k x y AB =-+-=12240 例题5. 已知椭圆：，，是椭圆上一点E x y P x y 2225161+=() ()122求的最大值x y +（2）若四边形ABCD 内接于椭圆E ，点A 的横坐标为5，点C 的纵坐标为4，求四边形ABCD 的最大面积。
分析：法一：可从椭圆方程中求出y 2代入x 2+y 2，转化为x 的二次函数求解。
()()125161161252222法一由得，x y y x +==-则，x y x x x 2222216125169251625+=+-=+∈()[] ∴的最大值为，最小值为x y 222516+函数问题求解，转化为三角代入、程，将法二：用椭圆的参数方22y x y x +法二：令，x y ==⎧⎨⎩54cos sin θθ则，x y 2222225161691625+=+=+∈cos sin cos []θθθ圆法三：⇒+22y x222r y x =+令法三,圆与椭圆内切时，半径最小，即取最小值22y x +16；圆与椭圆外切时，半径最大，即取最大值22y x +25；题（2）分析：四边形ABCD ，形状任意→不好求面积→两个三角形可将四边形ABCD 的面积分为两个三角形的面积求解，由于AC 是定线段，故长度已定，则当点B 、点D 到AC 所在直线距离最大时，两个三角形的面积最大，此时四边形的面积最大。
求得ABCD 202解：（2）由题意得A （5，0），C （0，4），则直线AC 方程为：4x ＋5y －20=054，又设，，则点到直线的距离B B AC (cos sin )θθd 120202041202420412022041=+-=+-≤-|cos sin ||sin()|θθθπ同理点到直线的距离D AC d 22022041≤+ ∴四边形的最大面积S AC d d =+=||()12202例题7 . 已知椭圆，是椭圆上两点，线段的垂直平x a y ba b AB AB 222210+=>>()分线与x 轴相交于点P （x 0，0）。