2017概率作业纸答案
第一章 随机事件及其概率
§1、1 随机事件§1、2 随机事件的概率
一、单选题
1、以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A 为( D ) (A) “甲种产品滞销,乙种产品畅销”(B)“甲、乙两种产品均畅销”
(C) “甲种产品畅滞销” (D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销” 2、对于事件、A B ,有B A ?,则下述结论正确的就是( C ) (A)、A B 必同时发生; (B)A 发生,B 必发生; (C)B 发生,A 必发生; (D)B 不发生,A 必发生
3、设随机事件A 与B 同时发生时,事件C 必发生,则下列式子正确的就是( C )
(A)()()P C P AB = (B))()()(B P A P C P +=
(C)1)()()(-+≥B P A P C P (D)1)()()(-+≤B P A P C P
二、填空题
1、 设,,A B C 表示三个随机事件,用,,A B C 的关系与运算表示 (1)仅A 发生为:ABC ;
(2),,A B C 中正好有一个发生为:ABC ABC ABC ++; (3),,A B C 中至少有一个发生为:A
B C ;
(4),,A B C 中至少有一个不发生表示为:A
B
C 、
2、某市有50%住户订日报,65%住户订晚报,85%住户至少订这两种报纸中的一种,则同时订这两种报纸的住户所占的百分比就是30%.
3、 设111
()()(),()()(),(),4816
P A P B P C P AB P AC P BC P ABC ===
====则 ()P A B C ??=
7
16
;
()P ABC =
916
;
(,,)P A B C =
至多发生一个34
;
(,,P A B C =
恰好发生一个)3
16
、
§1、3古典概率
一、填空题
1、将数字1,2,3,4,5写在5张卡片上,任取3张排成3位数,则它就是奇数的概率为
35
、 2、把10本书任意放在书架上,求其中指定的3本书放在一起的概率为
!
10!8!3、 3、若袋中有3个红球,12个白球,从中不返回地取10次,每次取一个,则第一次取得红球的概率为
15,第五次取得红球的概率为1
5
、 4、 盒中有2只次品与4只正品,有放回地从中任意取两次,每次取一只,则 (1)取到的2只都就是次品
1
9
; (2)取到的2只中正品、次品各一只
49
; (3)取到的2只中至少有一只正品
89
、 二、计算题
1.一份试卷上有6道题、 某位学生在解答时由于粗心随机地犯了4处不同的错误、 试求: (1) 这4处错误发生在最后一道题上的概率; (2) 这4处错误发生在不同题上的概率; (3) 至少有3道题全对的概率、
解:4个错误发生在6道题中的可能结果共有64
=1296种,即样本点总数为1296、
(1)设A 表示“4处错误发生在最后一道题上”,只有1种情形,因此1296
1
)(=
A P ; (2)设
B 表示“4处错误发生在不同题上”,即4处错误不重复出现在6道题上,共有46P 种方式,因此有6360345=???种可能,故.18
5
1296360)(==
B P (3)设
C 表示“至少有3道题全对”相当于“至少有2个错误发生在同一题上”,而C 表示
“4处错误发生在不同题上”,B C =,18
13)(1)(=
-=B P C P 、 2、 已知N 件产品中有M 件就是不合格品,今从中随机地抽取n 件,试求: (1) n 件中恰有k 件不合格品的概率; (2) n 件中至少有一件不合格品的概率、
解:从N 件产品中抽取n 件产品的每一取法构成一基本事件,共有n
N C 种不同取法、 (1)设A 表示抽取n 件产品中恰有k 件不合格品的事件,则A 中包含样本点数为k
n k
M N M C C --,
由古典概型计算公式,()k n k M N M
n
N
C C P A C --=。 (2)设B 表示抽取n 件产品中至少有一件不合格品的事件,则B 表示n 件产品全为合格品的事件,包含n N M
C
-个样本点。则()1()1n N M
n
N
C P B P B C -=-=-。 3.一批产品共20件,其中一等品9件,二等品7件,三等品4件。从这批产品中任取3 件,求: (1) 取出的3件产品中恰有2件等级相同的概率;
(2)取出的3件产品中至少有2件等级相同的概率、 解:设事件i A 表示取出的3件产品中有2件i 等品,其中i =1,2,3;
(1)所求事件为事件1A 、2A 、3A 的与事件,由于这三个事件彼此互不相容,故
)()()()(321321A P A P A P A A A P ++=++3
20
1
16
241132711129C C C C C C C ++==0、671 (2)设事件A 表示取出的3件产品中至少有2件等级相同,那么事件A 表示取出的3件产
品中等级各不相同,则779.01)(1)(3
20
14
1719=-=-=C C C C A P A P
§1、4条件概率
一、单选题
1、设A ,B 互不相容,且()0,()0P A P B >>,则必有( D )、
(A) 0)(>A B P (B))()(A P B A P =
(C) )()()(B P A P AB P = (D) 0)(=B A P
2、已知()0.5P A =,()0.4P B =,()0.6P A B ?=,则()P A B =( D )、 (A) 0、2 (B)0、45 (C) 0、6 (D)0、75
3、已知,()0.2,()0.3A B P A P B ?==,则()P BA =( C )、
(A) 0.3 (B)0.2 (C) 0.1 (D)0.4 4、已知 ()0.4,()0.6,(|)0.5,P A P B P B A === 则 ()P A B ?=( D )、
(A) 0.9 (B) 0.8 (C) 0.7 (D) 0.6
5、 掷一枚质地均匀的骰子,设A 为“出现奇数点”,B 为“出现1点”,则()=P B A ( C )、 (A) 1/6 (B) 1/4 (C) 1/3 (D) 1/2
二、填空题
1、 已知5.0)(=A P ,6.0)(=B P 及8.0)(=A B P ,则=)(B A P 0.7 、
2、设,A B 互不相容,且(),()P A p P B q ==;则()P AB =1--p q 、
3、设事件,A B 及A B ?的概率分别为0.4,0.3,0.5,则()P AB =0.2、
4、已知事件B A ,互不相容,且()()
6.0,3.0==B A P A P ,则()B P =0.5.
5、设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为0、8, 活到25岁以上的概率为0、4、 如果一只动物现在已经活到20岁, 则它能活到25岁以上的概率就是0.5、
三、计算题
1、 一批彩电,共100台,其中有10台次品,采用不放回抽样依次抽取3次,每次抽一
台,求第3次才抽到合格品的概率、
解 设A i (i =1,2,3)为第i 次抽到合格品的事件,则有
)(321A A A P =)()()(21312A A A P A A P A P =10/100·9/99·90/98≈0、0083、
2、一个盒子装有6只乒乓球,其中4只就是新球、 第一次比赛时随机地从盒子中取出2只乒乓球,使用后放回盒子.第二次比赛时又随机地从盒子中取出2只乒乓球、 试求第二次取出的球全就是新球的概率、
1232222211
3422442222222666666B B B 4
P A 253
i i i=1
解:设:第一次取出的都是新球,:都是旧球,:一新一旧
()=P(B )P(A|B )=??+???=
∑C C C C C C C C C C C C C
3、某保险公司把被保险人分为3类:“谨慎的”、“一般的”、“冒失的”。统计资料表
明,这3种人在一年内发生事故的概率依次为0、05,0、15与0、30;如果“谨慎的”被保险人占20%, “一般的”占50%,“冒失的”占30%,一个被保险人在一年内出事故的概率就是多大?
解:设1B =“她就是谨慎的”, 2B =“她就是一般的”, 3B =“她就是冒失的”,则
321,,B B B 构成了Ω的一个划分,设事件A =“出事故”,由全概率公式:
)|()()(3
1
i i i B A P B P A P ∑==
0.0520%0.1550%0.3020%0.125.
=?+?+?=
§1、5 事件的独立性 §1、6 独立试验序列
一、单选题
1、设B A 、就是两个相互独立的随机事件,0>?)()(B P A P ,则=)(B A P ( B )
(A) )()(B P A P + (B) )()(B P A P ?-1 (C) )()(B P A P ?+1 (D) )(AB P -1
2、设甲乙两人独立射击同一目标,她们击中目标的概率分别为 0、9与0、8,则目标被击中的概率就是( B )、
(A) 0、9 (B) 0、98 (C) 0、72 (D) 0、8 3、每次试验成功率为)10(<
(1)进行10次重复试验成功4次的概率为( A )
(2)进行重复试验,直到第10次试验才取得4次成功的概率为( B ) (3)进行10次重复试验,至少成功一次的概率为( D ) (4)进行10次重复试验,10次都失败的概率为( C )
(A) 44610(1)C p p - (B) 3469(1)C p p - (C) 10
(1)p - (D) 101(1)p --
二、填空题
1、设A 与B 为两相互独立的事件,)(B A P =0、6,)(A P =0、4,则)(B P =
13
、 2、三台机器相互独立运转,设第一、二、三台机器不发生故障的概率依次为0.9,0.8,0.7,则这三台机器中至少有一台发生故障的概率0.496、
3、某人射击的命中率为4.0,独立射击10次,则至少击中1次的概率为10
10.6-、 4、某射手在三次射击中至少命中一次的概率为0、875,则这射手在一次射击中命中的概率
为 0、5 、
5、一批电子元件共有100个,次品率为0、05、 连续两次不放回地从中任取一个,则第二
次才取到正品的概率为
19
396
、 三、计算题
1、 5名篮球运动员独立地投篮,每个运动员投篮的命中率都就是80%、她们各投一次,试求:
(1) 恰有4次命中的概率; (2) 至少有4次命中的概率; (3) 至多有4次命中的概率、
解:设i i A 表示第i 个运动员命中,=1,2,3,4,5 (1)4
12345()5()50.20.80.4096=?=??=P A P A A A A A
(2) 5
12345()()()0.40960.80.7373P B P A P A A A A A =+=+= (3) 5
12345()1()10.80.6723P C P A A A A A =-=-=
2.一个工人瞧管三台车床,在一小时内车床不需要工人瞧管的概率:第一台等于0、9,第二台等于0、8,第三台等于0、7、求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人瞧管的概率、 解:设事件i A 表示第i 台车床不需要照管,事件i A 表示第i 台车床需要照管,(i =1,2,3), 根据题设条件可知:
1.0)(,9.0)(11==A P A P
2.0)(,8.0)(22==A P A P
3.0)(,7.0)(33==A P A P
设所求事件为B ,则)()(321321321321A A A A A A A A A A A A P B P +++= 根据事件的独立性与互不相容事件的关系,得到: )()()()()()()(321321A P A P A P A P A P A P B P += ++)()()(321A P A P A P )()()(321A P A P A P
3.08.09.07.02.09.07.08.01.07.08.09.0??+??+??+??=
0.902.=
3、甲、乙、丙3位同学同时独立参加《概率论与数理统计》考试,不及格的概率分别为
0.4,0.3,0.5、
(1)求恰有两位同学不及格的概率;
(2)如果已经知道这3位同学中有2位不及格,求其中一位就是同学乙的概率、 解:(1)
设{}A =恰有两位同学不及格,
1{}
B =甲考试及格,
2{}
B =乙考试及格,
3{}
B =丙考试及格、则
123123123123123123()()()()()P A P B B B B B B B B B P B B B P B B B P B B B =??=++
123123123()()()()()()()()()0.29
P B P B P B P B P B P B P B P B P B =++=
(2)
12312312312322()()()()15
()()()()29P B B B B B B P B B B P B B B P AB P B A P A P A P A ?+=
===
第二章 随机变量及其分布
§2、1 随机变量§2、2 离散型随机变量及其概率分布
一、单选题
1、 离散型随机变量X 的概率分布为k
A k X P λ==)(( ,2,1=k )的充要条件就是( A )、
(A)1
)1(-+=A λ且0>A (B)λ-=1A 且10<<λ (C)11
-=-λ
A 且1<λ (D)0>A 且10<<λ
2、 下面函数中,可以作为一个随机变量的分布函数的就是( B )、
(A)()2
11x
x F +=
(B)()21
arctan 1+=x x F π (C)()()
??
???≤>-=-.0,0;
0,121x x e x F x (D)()()()1,==??+∞∞
-∞-dt t f dt g f x F x 其中
3、 已知随机变量X 服从二项分布(6,0.5)B ~X ,则(2)P X ==( C )、
(A)
1664 (B)1516 (C) 1564
(D) 35
二、填空题
1、 已知随机变量X 的取值就是-1,0,1,2,随机变量X 取这四个数值的概率依次就是
b
b b b 162
,
85,43,21,则=b 2、 2、 (1,0.8)B ~X ,则X 的分布函数就是0,
0()0.2,0 1.1,1?
=≤?≥?
x F x x x
3、 设随机变量),3(~),,2(~p B Y p B X ,若{},95
1=
≥X P 则{}=≥1Y P 1927
、
4、重复独立地掷一枚均匀硬币,直到出现正面向上为止,则抛掷次数Y 的分布为
{}1
(),1,2,3,
2
===k P Y k k 、
三、计算题
1、 一寻呼台每分钟收到寻呼的次数服从参数为4的泊松分布、求
(1)每分钟恰有7次寻呼的概率、 (2)每分钟的寻呼次数大于10的概率、
解:,...)1,0(,!
4)(4
===-k e k k X P k
(1)0596.08893.09489.0!64!74)6()7(4
647=-=-=≤-≤--e e X P X P (2)0028.09972.01!
1041)10(14
10=-=-=≤--e X P 2、 已知盒子中有4个白球与2个红球,现从中任意取出3个,设X 表示其中白球的个数,求出X 的分布列、
解:X 的可能取值为3、4、5,又
5
3
}5{,103}4{,1011}3{352
4352335=========C C X P C C X P C X P
X 3 4 5 P
101 10
3 53
3、 设随机变量Y 的分布列为:
Y 0 1 2 3 P
2A 3A 4A 5
A 求 (1)系数A 及Y 的分布列;
(2)Y 的分布函数; (3){}{}{}13, 1.5 3.5, 2.5.P Y P Y P Y ≤≤≤≤≤
(1)∵()121520306054321+++=
+++=
A
A A A A ∴77
60=A 此时分布为
(2)()???????????≥<≤<≤<≤<=.3,
132,7765,21,77
50
,10,7730
,0,
0x x x x x x F (3)7765,7727,7747、
§2、3 连续型随机变量及其概率密度
一、单选题
1、 若函数cos ,()0,x x D
f x ∈?=?
?
其它 就是随机变量X 的概率密度,则区间D 为 ( A )
(A)π[0,]2
(B)π
π[
,]2
(C)π[0,] (D)37ππ
[
,]24
2、下列函数为随机变量的密度函数的为( D )
(A) ???∈=其他,0],0[,cos )(πx x x f (B) ?????<=其他
,
02,
2
1
)(x x f
(C) ?
????<≥=--0,
00
,21)(2
2
2)(x x e x f x σμπσ (D) ???<≥=-0,00,)(x x e x f x
3、 设随机变量X 的概率密度为()f x ,则()f x 一定满足( D ) (A)()01f x ≤≤ (B)()()x
P X x f t dt -∞
>=?
(C)
()1xf x dx +∞
-∞
=?
(D)()()x
P X x f t dt -∞
<=?
4、设),(~2
σμN X ,那么当σ增大时,则)(σμ<-X P ( C ) (A)增大 (B)减少 (C)不变 (D)增减不定 5、 设()
,2~2
,σN X 且6.0)40(=< (A)0、3 (B)0、4 (C)0、2 (D)0、 5 二、填空题 1、设连续随机变量X 的分布函数为()arctan ,F x A B x x =+-∞<<+∞ (1)A = 12; B =1 π ;(2)(11)P X -≤≤= 0、5 ;(3)概率密度()f x =2111x π+、 2、设随机变量X 在在区间[]1,2-上服从均匀分布,则 (1)(61)P x -<<-= 0 , (2) (41)P x -<<= 2/3 , (3)(23)P x -<<= 1 , (4)(16)P x <<= 1/3 、 3、 设随机变量,)9,1(~N X ,则若1 ()2 P X k <= ,k = 1 、 4、 设随机变量() 2~1,2X N ,6915.0)5.0(=Φ,则事件}20{<≤X 的概率为0、383. 5、 设随机变量),2(~2 σN X ,若3.0}40{=< 1、 设连续型随机变量X 的密度函数为 ()?????≤≤- <≤=其它 432230x x x cx x f , 求:⑴ 常数c ;⑵ 概率{}62< 解:⑴ 由密度函数的性质 ()1=?+∞ ∞ -dx x f ,得 ()()()()()?????+∞ ∞ -+∞ ∞ -+++== 4 4 3 3 1dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f ????+∞ ∞-+??? ?? -++=4 4 33 00 0220dx dx x cxdx dx 4129472294224 3 23 02+=??? ?? -+=???? ??-+=c c x x x c 所以,得6 1 = c .即随机变量X 的密度函数为 ()???? ?????≤≤- <≤=其它 04322306x x x x x f . ⑵ {}()()()()????++== <<6 4 4 3 3 2 6 2 62dx x f dx x f dx x f dx x f X P ???+??? ?? -+= 6 44 33 20226dx dx x dx x 324112542124 32 3 2 2=+=???? ??-+=x x x . 2、 设随机变量X 的分布函数为 ?? ? ??≥<≤<=,,1,1,ln ,1,0)(e x e x x x x F (1)求},2{ 3{>X P ; (2)求分布密度)(x f 、 解:(1)2ln )2(}2{}2{==≤= ,11ln 1)1()4(}41{=-=-=≤ 3 ln 1)23(1}23{-=-=>F X P (2)x dx x dF x f 1)()(==,?????<≤=, ,0, 1,1 )(其他e x x x f 3、 设k 在(0,5)上服从均匀分布,求方程02442 =+++k kx x 有实根的概率、 解:x 的二次方程02442 =+++k kx x 有实根的充要条件就是它的判别式 ,0)2(44)4(2 ≥+?-=?k k 即,0)2)(1(16≥-+k k 解得1,2-≤≥k k 或 由假设k 在区间(0,5)上服从均匀分布,其概率密度为 ?? ???<<=, ,0,50,5 1)(其他x x f k 故这个二次方程有实根的概率为 ????-∞ --∞-∞= +=+=-≤+≥=-≤≥=1 152253 051)()(} 1{}2{)}1()2{(dx dx dx x f dx x f k P k P k k P p k k §2、4 随机变量的函数及其分布 一、计算题 1、 设随机变量X 的分布列为 求2 X Y =的分布列、 解:2 X Y =所有可能取值为0,1,4,9、 2 221{0}{0},5 117{1}{1}{1}{1}, 15630 11 {4}{4}{2}{2}0, 551111 {9}{9}{3}{3}0, 3030 P Y P X P Y P X P X P X P Y P X P X P X P Y P X P X P X ==== =====+=-=+======+=-=+=== ===+=-=+= 2、设随机变量X 的概率密度2, 01()0, x x f x ≤≤?=? ?其它 ,求下列随机变量的概率密度: (1)12Y X =+; (2) 2Y X =、 解:(1)1 (y),1320Y y f y -?? =≤≤??? (2)1,01 ()0,Y y f y ≤≤?=? ? 3、 设随机变量X 在)1,0(区间内服从均匀分布,求X e Y =的分布密度、 解: Y 的分布函数)ln ()()()(y X P y e P y Y P y F x Y ≤=≤=≤= 当y>0时,y dx x f y F y Y ln )()(ln == ? ∞ -(注意x 在)1,0(有值,y 在),0(e ) y dy y dF y f Y Y 1)()(==, ?? ???≤<=其他 ,0, 1,1 )(e y y y f Y 第三章 二维随机变量及其分布 §3、1 二维随机变量及其分布 一、单选题 1、设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为 (),0,0; (,)0, .x y e x y f x y -+?>>=??其他 则()P X Y <=( A ) (A)0、5 (B)0、55 (C) 0、45 (D)0、6 2、二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数(,)F x y 就是以下哪个随机事件的的概率( B ) (A)() ()X x Y y ≤≤ (B)()()X x Y y ≤≤ (C) X x y ≤+ (D)X x y ≤- 二、填空题 1、设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为(,)(arctan )(arctan )23 x y F x y A B C =++ 则系数A = 2 1 π ,B = 2 π ,C = 2 π ,(,)X Y 的联合概率密度为 222 6 (,)(4)(9) f x y x y π= ++ 、 2、设二维随机变量,X Y ()的联合概率密度为 (2),0,0; (,)0, .x y Ae x y f x y -+?>>=??其他 则 A = 2 、 三、计算题 1、设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为: 222(,),(,)(4)(9) A f x y x y x y π= -∞<<+∞++ 求 (1)系数A ;(2)}{ 02,03P X Y <<<<、 解:(1)由于 ?? +∞∞-+∞ ∞ -=1),(y x f , 故2221(4)(9) A dxdy x y π+∞ +∞-∞ -∞ = ++?? , 2 22111(4)(9) A dx dy x y π+∞+∞-∞ -∞ = ++? ? 1,6 A =所以6A = (2)}{ 02,03P X Y <<<<232 220 06 11(4)(9) dx dy x y π= ++? ? 1 16 = 2.设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为 (6),02,24; (,)0,.k x y x y f x y --<<<=?? 其他 试求:(1)常数k ;(2)概率(1,3)P X Y <<、 解:(1)由于?? +∞∞-+∞ ∞ -=1),(y x f , 故 1)6(--=--?? +∞∞ +∞ ∞ dxdy y x k , 18=k 所以8 1 = k (2))3,1(< 3 )6(811032=--??dxdy y x 3、将三个球随机的投入三个盒子中去,每个球投入盒子的可能性就是相同的、以X 及 Y 分别表示投入第一个及第二个盒子中球的个数,求二维随机变量(,)X Y 联合概率分布、 解:3;3,2,1,0;3,2,1,0,)3 1 ()!3(!!!3),(3≤+==--===j i j i j i j i j Y i X P §3、2 边缘分布 §3、3 随机变量的独立性 1、下表列出了二维随机变量(,)X Y 联合概率分布及关于X 与关于Y 的边缘概率分布的部 分数值,试将其余值填入表中的空白处 2、已知随机变量1X 与2X 的概率分布如下 12{0} 1.P X X == 而且 (1)求1X 与2X 的联合分布;(2)问1X 与2X 就是否独立?为什么? 解: (2)1X 与2X 不独立。 3、把一枚均匀硬币抛掷三次,设X 为三次抛掷中正面出现的次数 ,而Y 为正面出现次数 与反面出现次数之差的绝对值 , 求(,)X Y 的概率分布以及关于X 、Y 的边缘概率分布、 解: X 的可能取值为0,1,2,3;Y 的可能取值为1,3 并且 (,)X Y 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3) 311 {0,3}()28 P X Y ==== 12 3113{1,1}()()228 P X Y C ==== 223113{2,1}()()228P X Y C ==== 311 {3,3}()28 P X Y ==== 得(,)X Y 的分布及关于X 、Y 的边缘概率分布为 4、已知二维随机变量X Y (,)的联合概率密度为(2)2e ,0,0 (,)0, x y x y f x y -+?>>=??其他. 判断随机变量X 与Y 就是否独立? 解: 由于 e 0()0,0x X x f x x -?>=?≤?,, 22e 0 ()0,0 y Y y f y y -?>=?≤?,。 故(,)f x y =()X f x ()Y f y 所以随机变量X 与Y 独立 第四章 随机变量的数字特征 §4、1 数学期望 一、单选题 1、设连续型随机变量X 的分布函数为3 0,0(),011,1x F x x x x ?=≤≤??>? ,则()E X =( B ) (A) 4 x dx +∞ ? (B)130 3x dx ? (C)1 4 3x dx ? (D) 33x dx +∞ -∞ ? 2、掷10颗骰子,令X 为10颗骰子的点数之与,则()E X =( C ) (A)42 (B)21/2 (C)35 (D) 21 3、设随机变量X 与Y 相互独立,且它们分别在区间[-1,3]与[2,4]上服从均匀分布,则 ()E XY =( C ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 二、填空题 1、设连续型随机变量X 的概率密度为,01, ()0,,kx x f x α?<<=?? 其它 其中,0k α>,又已知 ()0.75E X =,则k = 3 ,α= 2 、 2、设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则数学期望( )2X E X e -+= 4/3 、 3、设随机变量X 的概率密度为1,10, ()1,01,0,x x f x x x +-≤≤?? =-<≤??? 其它,则()E X = 0 、 4、已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松分布,即2 2(),0,1,2,, ! k k e P X x k k -===则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z = 4 、 三、计算题 求:()()() 2,32,.E X E X E X -+ 解:()()()31,3232 E X E X E X = -+=-+=- ()212 E X = 2、 设(,)X Y 的联合概率密度为212,01, (,)0, y y x f x y ?≤≤≤=??其它,,求()(),E X E Y 、 解:()1 20 01 4 (,)125 x y x E X xf x y dxdy xdx y dy ≤≤≤=== ????,同理()35E Y =。 3、设随机变量X 在区间[0,]π上服从均匀分布,求随机变量函数sin Y X =的数学期望、 解: 第五章 中心极限定理 00 1 1 2 sin (cos )|EY xdx x π ππ π π == -= ? 第一章 随机事件及其概率 §1.1 随机事件§1.2 随机事件的概率 一、单选题 1.以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A 为( D ) (A ) “甲种产品滞销,乙种产品畅销”(B )“甲、乙两种产品均畅销” (C ) “甲种产品畅滞销” (D )“甲种产品滞销或乙种产品畅销” 2.对于事件、A B ,有B A ?,则下述结论正确的是( C ) (A )、A B 必同时发生; (B )A 发生,B 必发生; (C )B 发生,A 必发生; (D )B 不发生,A 必发生 3.设随机事件A 和B 同时发生时,事件C 必发生,则下列式子正确的是( C ) (A)()()P C P AB = (B))()()(B P A P C P += (C)1)()()(-+≥B P A P C P (D)1)()()(-+≤B P A P C P 二、填空题 1. 设,,A B C 表示三个随机事件,用,,A B C 的关系和运算表示 (1)仅A 发生为:ABC ; (2),,A B C 中正好有一个发生为:ABC ABC ABC ++; (3),,A B C 中至少有一个发生为:U U A B C ; (4),,A B C 中至少有一个不发生表示为:U U A B C . 2.某市有50%住户订日报,65%住户订晚报,85%住户至少订这两种报纸中的一种,则同时订这两种报纸的住户所占的百分比是30%. 3. 设111 ()()(),()()(),(),4816 P A P B P C P AB P AC P BC P ABC === ====则 ()P A B C ??= 7 16 ;()P ABC =9 16;(,,)P A B C =至多发生一个34 ;(,,P A B C = 恰好发生一个)316 . 第一章随机事件与概率 一、单项选择题 1.掷一枚骰子,设A ={出现奇数点},B ={出现1或3点},则下列选项正确的是 ( B ). A.AB ={出现奇数点} B. AB ={出现5点} C. B ={出现5点} D. A B =Ω 2.设A 、B 为任意两个随机事件,则下列选项中错误的是 ( A ). A. ()A B B A +-= B. ()A B B A B A AB +-=-=- C. ()A B B A B -+=+ D.AB AB A += 3.将一枚匀称的硬币投掷两次,令A i ={第i 次正面向上}(i =1,2),则“至少有一次正面向上”可表示为 ( D ). A.1212A A A A B.12A A C.12A A D.12A A 4.某人向一目标射击3次,设A i 表示“第i 次射击命中目标”(i =1,2,3),则3次都没有命中目标表示为 ( A ). A.123A A A B.123A A A ++ C.123A A A D.123A A A 5.设A 与B 为互为对立事件,且()0,()0P A P B >>,则下列各式中错误的是 ( A ). A.(|)0P A B = B. (|)0P B A = C. ()0P AB = D. ()1P A B = 6.设事件A 与B 相互独立,P (A )=0.2, P (B )=0.4, 则(|)P A B = ( D ). A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 7.已知事件A 与B 互不相容, P (A )>0, P (B )>0, 则 ( C ). A.()1P A B = B.()()()P AB P A P B = C. ()0P AB = D.()0P AB > 8.设P (A )=0, B 为任一事件, 则 ( C ). A.A =Φ B.A B ? C.A 与B 相互独立 D. A 与B 互不相容 9.已知P (A )=0.4, P (B )=0.5, 且A B ?,则P (A |B )= ( C ). A. 0 B. 0.4 C. 0.8 D. 1 10.设A 与B 为两事件, 则AB = ( B ). A.A B B. A B C. A B D. A B 11.设事件A B ?, P (A )=0.2, P (B )=0.3,则()P A B = ( A ). A. 0.3 B. 0.2 C. 0.5 D. 0.44 12.设事件A 与B 互不相容, P (A )=0.4, P (B )=0.2, 则P (A|B )= ( D ). A. 0.08 B. 0.4 C. 0.2 D. 0 13.设A , B 为随机事件, P (B )>0, P (A |B )=1, 则必有 ( A ). A.()()P A B P A = B.A B ? C. P (A )=P (B ) D. P (AB )=P (A ) 14.从1,2,3,4,5中任意取3个数字,则这3个数字中不含5的概率为 ( A ). A. 0.4 B. 0.2 C. 0.25 D. 0.75 15.某学习小组有10名同学,其中6名男生、4名女生,从中任选4人参加社会活动,则4人中恰好2男2女的概率为 ( A ). A. 3 7 B.0.4 C. 0.25 D.16 16.某种动物活20年的概率为0.8,活25年的概率为0.6,现有一只该种动物已经活了20年,它能活到25年的概率是 ( B ). A. 0.48 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.8 17.将两封信随机地投到4个邮筒内,则前两个邮筒内各有一封信的概率为 ( A ). 第五章 数理统计的基本知识 一、选择 1. 设n X X X ,,,21 独立且服从同一分布),(2σμN ,X 是样本均值,记()∑=--=n i i X X n S 1 2 2111, ()∑=-=n i i X X n S 1 2 22 1, ()∑=--=n i i X n S 1 22 3 11μ, ()∑=-=n i i X n S 1 2 24 1μ,则下列服从)1(-n t 的是 ( A ). (A )n S X t 1μ-= (B )n S X t 2μ-= (C )n S X t 3μ-= (D )n S X t 4 μ -= (A) )(2n χ (B) )1(2-n χ (C) )1(-n t (D) )(n t 3. 设总体)4,2(~2N X ,n X X X ,,,21 为取自总体X 的一个样本,则下面结果正确的 是( D ) (A) )1,0(~42N X - (B))1,0(~16 2 N X - (C) )1,0(~2 2N X - (D))1,0(~42 N n X - 二、填空 1.已知某总体X 的样本值为99.3,98.7,100.05,101.2,98.3,99.7,99.5,10 2.1, 100.5,则样本均值X = 99.93 ,样本方差2 S = 1.43 . 2.设总体)4,(~μN X ,1220,, ,X X X 为取自总体X 的一个容量为20的样本,则概率 20 21 P[46.8()154.4]i i X X =≤-≤∑= 0.895 . 3.从总体(63,49)N 中抽取容量为16的样本,则P[60]X ≤= 0.0436 . 2. 设总体),(~2 σμN X , 则统计量~)(1 1 22 2 ∑=-=n i i X X σ χ(B ) 第三章 假设检验 课后作业参考答案 某电器元件平均电阻值一直保持Ω,今测得采用新工艺生产36个元件的平均电阻值为Ω。假设在正常条件下,电阻值服从正态分布,而且新工艺不改变电阻值的标准偏差。已知改变工艺前的标准差为Ω,问新工艺对产品的电阻值是否有显著影响(01.0=α) 解:(1)提出假设64.2:64.2:10≠=μμH H , (2)构造统计量36 /06.064 .261.2/u 00 -=-= -= n X σμ (3)否定域???? ??>=???? ??>?? ??? ??<=--21212 αααu u u u u u V (4)给定显著性水平01.0=α时,临界值575.2575.22 12 =-=- α αu u , (5) 2 αu u <,落入否定域,故拒绝原假设,认为新工艺对电阻值有显著性影响。 一种元件,要求其使用寿命不低于1000(小时),现在从一批这种元件中随机抽取25件,测 得其寿命平均值为950(小时)。已知这种元件寿命服从标准差100σ=(小时)的正态分布, 试在显著水平下确定这批元件是否合格。 解: {}01001:1000, H :1000 X 950 100 n=25 10002.5 V=u 0.05H x u αμμσμα-≥<====->=提出假设:构造统计量:此问题情形属于u 检验,故用统计量:此题中:代入上式得: 拒绝域: 本题中:0.950.950 u 1.64u 0.0u H =>∴即,拒绝原假设认为在置信水平5下这批元件不合格。 某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布( )2 ,σ μN ,其中()2 /40cm kg =σ。现从一 批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为X ,与以往正常生产时的μ相比, X 较μ大20(2/cm kg )。设总体方差不变,问在01.0=α下能否认为这批钢索质量显著提 高 解: (1)提出假设0100::μμμμ>=H H , (2)构造统计量5.13 /4020 /u 00 == -= n X σμ (3)否定域{}α->=1u u V (4)给定显著性水平01.0=α时,临界值33.21=-αu (5) α-<1u u ,在否定域之外,故接受原假设,认为这批钢索质量没有显著提高。 某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为(%): 设测定值服从正态分布,问在0.01α=下能否接受假设,这批矿砂的镍含量为 第一章 随机事件及其概率 第三节 事件的关系及运算 一、选择 1.事件AB 表示 ( C ) (A ) 事件A 与事件B 同时发生 (B ) 事件A 与事件B 都不发生 (C ) 事件A 与事件B 不同时发生 (D ) 以上都不对 2.事件B A ,,有B A ?,则=B A ( B ) (A ) A (B )B (C ) AB (D )A B 二、填空 1.设,,A B C 表示三个随机事件,用,,A B C 的关系和运算表示⑴仅A 发生为ABC ⑵,,A B C 中正好有一件发生为ABC ABC ABC ++⑶,,A B C 中至少有一件发生为 C B A 第四节 概率的古典定义 一、选择 1.将数字1、2、3、4、5写在5张卡片上,任意取出3张排列成三位数,这个数是奇数的概率是( B ) (A ) 21 (B )53 (C )103 (D )10 1 二、填空 1.从装有3只红球,2只白球的盒子中任意取出两只球,则其中有并且只有一只红球的概 率为11322 535 C C C = 2.把10本书任意放在书架上,求其中指定的3本书放在一起的概率为 ! 10! 8!3 3.为了减少比赛场次,把20个球队任意分成两组,每组10队进行比赛,则最强的两个队 被分在不同组内的概率为1910 10 20 91812=C C C 。 三、简答题 1.将3个球随机地投入4个盒子中,求下列事件的概率 (1)A ---任意3个盒子中各有一球;(2)B ---任意一个盒子中有3个球; (3)C---任意1个盒子中有2个球,其他任意1个盒子中有1个球。 解:(1)834!3)(334==C A P (2)1614)(31 4==C B P (3)169 4)(3 132314==C C C C P 第五节 概率加法定理 一、选择 1.设随机事件A 和B 同时发生时,事件C 必发生,则下列式子正确的是( C ) (A))()(AB P C P = (B))()()(B P A P C P += (C)1)()()(-+≥B P A P C P (D)1)()()(-+≤B P A P C P 2.已知41)()()(= ==C P B P A P , 0)(=AB P , 16 1 )()(==BC P AC P 。则事件A 、B 、C 全不发生的概率为( B ) (A) 82 (B) 8 3 (C) 85 (D) 86 3.已知事件A 、B 满足条件)()(B A P AB P =,且p A P =)(,则=)(B P ( A ) (A) p -1 (B) p (C) 2 p (D) 21p - 二、填空 1.从装有4只红球3只白球的盒子中任取3只球,则其中至少有一只红球的概率为 3 33734 135 C C -=(0.97) 2.掷两枚筛子,则两颗筛子上出现的点数最小为2的概率为 0.25 3.袋中放有2个伍分的钱币,3个贰分的钱币,5个壹分的钱币。任取其中5个,则总数超过一角的概率是 0.5 三、简答题 1.一批产品共20件,其中一等品9件,二等品7件,三等品4件。从这批产品中任取3 件,求: (1) 取出的3件产品中恰有2件等级相同的概率; (2)取出的3件产品中至少有2件等级相同的概率。 解:设事件i A 表示取出的3件产品中有2件i 等品,其中i =1,2,3; (1)所求事件为事件1A 、2A 、3A 的和事件,由于这三个事件彼此互不相容,故 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是:S= ; (2) 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数. 样本空间是:S= ; 2.(1) 丢一颗骰子. A :出现奇数点,则A= ;B :数点大于2,则B= . (2) 一枚硬币连丢2次, A :第一次出现正面,则A= ; B :两次出现同一面,则= ; C :至少有一次出现正面,则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件: (1)A 、B 、C 都不发生表示为: .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为: . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为: .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为: . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为: .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为: . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S :则 (1)=?B A ,(2)=AB ,(3)=B A , (4)B A ?= ,(5)B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ,则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个 签,说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球,第二盒中有5个红球5个白球,随机地取一盒,从中 随机地取一个球,求取到红球的概率。 普通高等教育“十一五”国家级规划教材 随机数学 (B) 标准化作业简答 吉林大学公共数学中心 2013.2 第一次作业 一、填空题 1.解:应填 29 . 分析:样本空间含基本事件总数2 10C ,事件所含基本事件数为10个,即(1,2),(2,3)…, (9,10),(10,1)共10个,故所求概率为 210102 9 C =. 2.应填0.6. 分析: ()()()1()1()()()P AB P A B P A B P A B P A P B P AB ==+=-+=--+, 故()1()0.6.P B P A =-= 3.应填1 3. 4. 应填172 5. 5.应填 23. 6 . 二、选择题 1.(D ).2.(C ).3.(B ).4.(C ).5.(C ).6.(A ). 三、计算题 1.将n 只球随机地放入N ()n N ≤个盒子中,设每个盒子都可以容纳n 只球,求:(1)每个盒子最多有一只球的概率1p ;(2)恰有()m m n ≤只球放入某一个指定的盒子中的概率2p ;(3)n 只球全部都放入某一个盒子中的概率3p . 解:此题为古典概型,由公式直接计算概率. (1)1n N n P p N =. (2)2(1)m n m N n C N p N --=. (3)31 1 n n N p N N -= = .2017概率作业纸答案
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