空间向量的夹角PPT教学课件
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人教版高二 空间向量的夹角和距离公式 课件
例题：
正方A体 1B1C1D1－ABC， DE、F分别C是 1C
D1A1的中点 1)求， AB,EF
2)求点 A到直E线F的距离。 D 1
C1
(用向量方法） A 1
B1
D A
C B
Homework:
P43：7、8、9
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月28日星期一2022/2/282022/2/282022/2/28 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/282022/2/282022/2/282/28/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/282022/2/28February 28, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/282022/2/282022/2/282022/2/28
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
aba 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 ;
a /b /a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 ; ( R );
a b a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 0 ;
夹角、
cosa,b ab | a||b|
a1b1a2b2a3b3
ห้องสมุดไป่ตู้
;
a12a22a32 b12b22b32
例题：书本p40：例3、4、5
如图：直三棱柱ABC A1B1C1,底面ABC中，
CA＝CB＝1，BCA＝90o，棱AA1＝2，M、
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则，即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积，满足分 配律，即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$，其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣，其中a、 b和c分别是三个平面的法向量，θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一：利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣， 其中a和b是两条直线的方向向量，
高中数学选择性必修一课件：1.4.2 空间中的夹角问题
所以nn11··AB→ →11BB＝ ＝00， ，
即 xy11－ ＋
3z1＝0， 3z1＝0，
令z1＝ 3，解得x1＝3，y1＝－3，所以n1＝(3，－3， 3)．
___[_0_，__π_]
___|n_1_||n__2|_
|自学导引|
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
【预习自测】
1．思维辨析(对的画“√”，错的画“×”)
(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．
()
(2)直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l与平面
α所成的角．
|自学导引|
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
|课堂互动|
|自学导引|
|课堂互动|
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课后提能训练
题型1 异面直线所成的角
如图，在四面体ABCD中，AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD且AB ＝BC＝6，BD＝8，E为AD中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦 值．
素养点睛：考查直观想象、数学运算的核心素养．
题型2 直线与平面所成的角 如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，
AD∥BC，∠ABC＝90°，∠APB＝90°. (1)求证：AP⊥PC； (2)设AB＝5，AP＝BC＝2AD＝4，求直线CB与平面PCD所成角的
正弦值． 素养点睛：考查直观想象、数学运算的核心素养．
|自学导引|
又因为A1O⊥AC，A1O⊥OB， 分别以OB，OC，OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标 系，如图，
|自学导引|
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
则A(0，－1,0)，B(1,0,0)，A1(0,0， 3)，C(0,1,0)． 因为A→A1＝B→B1＝(0,1， 3)， 所以O→B1＝O→B＋B→B1＝(1,1， 3)． 所以A→1B＝(1,0，－ 3)，B→C＝(－1,1,0)． 设平面A1B1B的法向量n1＝(x1，y1，z1)，
人教版新教材高中数学优质课件 第2课时 用空间向量研究夹角问题
解:以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
设BC=1,则A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),
C(2,1,0),M
1
1, 2 ,1
.
(1)证明:=(2,0,-2), =
∵
3
1,- ,1
2
3
·=(2,0,-2)· 1, − 2 , 1
∴ ⊥ .∴PB⊥DM.
若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,则cos θ= |cos<u,v>|
|·|
=
.
||||
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4.做一做:如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=
2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(
1
A.
5
2
B.
5
3
C.
5
4
D.
5
)
返回目录
解析:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空
平面β的夹角为
.
解析:设u=(1,0,-1),v=(0,-1,1),α与β的夹角为θ,
则 cos
π
答案:3
|·|
θ=|cos<u,v>|=||||
=
-1
2× 2
=
1
.所以
2
π
θ=3 .
返回目录
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的画“×”.
(1)两条异面直线所成的角与这两条直线的方向向量所成的角相等或互
∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点.
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题课件(人教版)
平面平行，或在平面内，我们说它所成的角是0°的角。
θ∈[0°，90°]
斜线l
l P 垂线
A
O
斜线l的射影
回顾旧知
5、二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，棱为l，
两个面分别为、 的二面角. 记为 -l- .
6、二面角的平面角
l
与在距二离面类角似-，l-角的度棱是l上立任体取几一何点中O另，一如个图重，要在的半度平量. 下面我们 B
2、若A( x1, y1, z1 )，B( x2 , y2 , z2 )，则 AB ( x2 x1, y2 y1 , z2 z1 )
回顾旧知
3、异面直线所成的角
已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a'//a,
b'//b，我们把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成
的角(或夹角)。 (0, ]
解：化为向量问题
如图，以{CA,CB,CD}作为基底，则MA CA CM CA 1 CB
2
CN 1 (CA CD) 设向量CN与MA的夹角为，
则直线A2M与CN夹角的余弦值等于| cos | .
B
A N D
进行向量运算
M
CN
MA
1 (CA 2
CD) (CA
1 CB) 2
12 CA
2
| CN || MA | 3 3 3
回到图形问题
22
所 以 直 线AM和CN夹 角 的 余 弦 值 为2 3
A
N
B
D
M C
思考：以上我们用向量方法解决了异面直线AM和CN所成角的问题，你
能用向量方法求直线AB与平面BCD所成的角吗？
高二数学选择性必修第一册(人教A版)教学课件第一章-1.2空间向量基本定理 课件(共28张PPT)
高中数学 选择性必修第一册 RJ·A
思考 零向量能否作为基向量？ 不能. 零向量与任意两个向量a，b都共面.
思考 怎样利用向量共线、向量共面解决几何中的证明平行、共线、共面问题？ 平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题.
(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb . (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)， 使 p＝xa＋yb .
反思感悟 求距离(长度)问题的思路 选择已知长度和夹角的三个向量作为基向量，利用基底表示向量，将距离(长度)问题转化为 向量的模的问题.
高中数学 选择性必修第一册 RJ·A
跟踪训练 正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 a，A→M＝21— MC→1，点 N 为 B1B 的中点， 则|M→N|等于（ A ）
高中数学 选择性必修第一册 RJ·A
跟踪训练 (1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：
①{a，b，x}，②{b，c，z}，③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一个基底的向量组有（B ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
解析 因为x＝a＋b，所以向量x，a，b共面.
反思感悟 证明平行、共面问题的思路 (1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行. (2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行.
高中数学 选择性必修第一册 RJ·A
延伸探究 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝13BB1，
证明
DF＝23DD1.求证：A，E，C1，F四点共面.
高中数学第一章用空间向量研究距离夹角问题第2课时夹角问题课件新人教A版选择性必修第一册
MNA与平面MNB的夹角的余弦值.
解 设正方体棱长为1.以B为坐标原点,BA,BE,BC所在直线分别为x轴、y轴、
z轴建立空间直角坐标系B-xyz(图略),则
M
1
1
,0, 2
2
,N
1 1
, ,0
2 2
,A(1,0,0),B(0,0,0).
设平面 AMN 的法向量 n1=(x,y,z).
由于 =
(1)证明 由已知得AM=
2
AD=2.
3
如图,取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC的中点知TN∥BC,TN=
1
BC=2.
2
又AD∥BC,故TN AM,所以四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.因为
AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.
(2)解 如图,取BC的中点E,连接AE.
则B1(2,2,2),M(1,1,0),D1(0,0,2),N(1,0,0),
∴1 =(-1,-1,-2),1 =(1,0,-2),
∴B1M 与 D1N 所成角的余弦值为
|cos<1 , 1 >|=
-1+4
√1+1+4× √1+4
=
√30
.
10
知识点2 利用向量方法求直线与平面所成的角
=
所以直线 AN 与平面 PMN
8√5
.
25
8√5
所成角的正弦值为 25 .
规律方法 若直线l与平面α的夹角为θ,利用法向量计算θ的步骤如下
变式训练2
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线A1B与平面
BDE所成的角为(
解 设正方体棱长为1.以B为坐标原点,BA,BE,BC所在直线分别为x轴、y轴、
z轴建立空间直角坐标系B-xyz(图略),则
M
1
1
,0, 2
2
,N
1 1
, ,0
2 2
,A(1,0,0),B(0,0,0).
设平面 AMN 的法向量 n1=(x,y,z).
由于 =
(1)证明 由已知得AM=
2
AD=2.
3
如图,取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC的中点知TN∥BC,TN=
1
BC=2.
2
又AD∥BC,故TN AM,所以四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.因为
AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.
(2)解 如图,取BC的中点E,连接AE.
则B1(2,2,2),M(1,1,0),D1(0,0,2),N(1,0,0),
∴1 =(-1,-1,-2),1 =(1,0,-2),
∴B1M 与 D1N 所成角的余弦值为
|cos<1 , 1 >|=
-1+4
√1+1+4× √1+4
=
√30
.
10
知识点2 利用向量方法求直线与平面所成的角
=
所以直线 AN 与平面 PMN
8√5
.
25
8√5
所成角的正弦值为 25 .
规律方法 若直线l与平面α的夹角为θ,利用法向量计算θ的步骤如下
变式训练2
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线A1B与平面
BDE所成的角为(
用空间向量研究距离、夹角问题(第1课时)-高二数学教材配套教学精品课件
→
2|k|
|BE·n|
2 11
于是点 B 到平面 EFG 的距离为 d＝
＝
＝
.
11
|n|
1＋1＋9|k|
新知应用
题型三：平面与平面的距离
5.正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 4，M，N，E，F 分别为 A1D1，A1B1，C1D1，
B1C1 的中点，求平面 AMN 与平面 EFBD 间的距离．
2 − ( ∙ )2 .
思考1：类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？
求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,则两条平行直线
间的距离就等于点P到直线m的距离.
∴ 两条平行直线之间的距离⟺点到直线的距离
空间中点到平面的距离
探究2：如何求平面α外一点点到平面α的距离？
设平面DA1C1的法向量为 = (, , )，所以 ⊥ 1, ⊥ 1,因为，由 ∙ 1 = 0 ，得
∙ 1 = 0
+=0
，
2 + = 0
(2)直线B1C到平面DA1C1的距离等于B1到平面DA1C1的距离．因为11=(1,0,0)，所以B1
不妨取y=1，则 = (2,1, −2) .
常见的空间中的距离有：点到直线、点到平面、两条平行线及两个平
行平面的距离;
常用的求解距离的方法有：传统方法和向量法.
02用空间向量研究距
离问题
P
A
R
T
O
N
E
空间中点到直线的距离
探究1：已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，直线外一点.如何利
用这些条件求点到直线的距离？
1.4.2-用空间向量研究距离、夹角问题
探究 已知直线l的单位方向向量为u, A是直线l上的定点，P是直线l外一点. 如何利
用这些条件求点P到直线l的距离? 如图示，向量AP在直线l上的投影向量为 AQ ，则△APQ是直角
u
P
三角形，因为A，P都是定点，所以|AP|，AP 与 u 的夹角∠PAQ都
dn
是确定的. 于 是可求 |AQ|. 再利用勾股定理，可以求出点P到直线l
点C1到平面AB1 E
的距离为 |
C1B1 |n|
n
|
1 3
.
D
A x
F
C
y
B
即直线FC1到平面AB1
E的距离为
1 3
.
3. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1DB与平面D1CB1的距离.
解 : 平面A1DB//平面D1CB1,平面A1DB与平面D1CB1的距离 z
MN AN AM
1 ( AB AF ) 1 ( AB AD)
2
2
1 (c b) 2
∴|MN|2 1 (c b )2 1 ,
4
2
∴|MN| 2 ,即MN 2 .
2
2
【巩固训练4】如图，两条异面直线a, b所成的角为θ，在直线a, b上分别取点A′, E和
点A, F，使AA′⊥a，且AA′⊥b (AA′称为异面直线a, b的公垂线). 已知A′E=m, AF=n，
易得C1 (0, 1, 1),
A(1,
0, 0),
E(0,
0,
1 ). 2
E
∴C1 A
(1,
1, 1),
AE
(1, 0,
1 ). 2
D
F
高三数学空间向量夹角与距离PPT共17页
高三数学空间向量夹角与距离
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来