(华东师大版)数学初二下册 分式的加减(基础)知识讲解

分式的加减（基础）
【学习目标】
1．能利用分式的基本性质通分．
2．会进行同分母分式的加减法．
3．会进行异分母分式的加减法．
【要点梳理】
【高清课堂403995 分式的加减运算 知识讲解】
要点一、同分母分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
上述法则可用式子表为：
. 要点诠释：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用
括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是
分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.
（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.
要点二、异分母分式的加减
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
上述法则可用式子表为：
. 要点诠释：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变
成同分母分式的加减法.
（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，
③把结果化成最简分式.
【典型例题】
类型一、同分母分式的加减
【高清课堂403995 分式的加减运算 例1（5）（6）】
1、计算：（1）； （2）； （3）； （4） 【答案与解析】
解：（1）； （2）
a b a b c c c
±±=a c ad bc ad bc b d bd bd bd
±±=±=22222333a b a b a b a b a b a b
+--+-222422x x x x x +-+--2111x x x
-+--222222222a ab b a b b a a b ++---22222333a b a b a b a b a b a b +--+-222222333a b a b a b a a b a b ab
++--+===2222
24242222
x x x x x x x x x x +-+-+=-----()222224222x x x x x x -+--===--
（3）； （4） . 【总结升华】本例为同分母分式加减法的运算，计算时注意运算符号，结果一定要化简． 举一反三：
【变式】（2016春·广州校级月考）化简：222
1122a a a a a a --+-- 【答案】
解：原式=2221122a a a a a a
----- =()()
12a a a a -- =12
a a -- 类型二、异分母分式的加减
2、计算：
（1）；（2）；（3）． 【思路点拨】（1）题中的两个分母都是单项式，最简公分母为；（2）题是异分母分式
的加减，为了减少错误应先把分母按字母降幂排列，并且使最高次项系数为正，再将分母因
式分解；（3）题是分式与即的和，可将整式部分当成一个整体，且分母为1，使运算简化．
【答案与解析】
解：（1）原式； （2）原式 ； 2121213111111
x x x x x x x x x x ---+-+=-==-------2222
222222222222
22a ab b a ab b a b b a a b a b a b a b ++=-+------2()()()a b a b a b a b a b
--==+-+21132a ab +2312224x x x x
+-+--211a a a ---26a b 2
1
a a -(1)a --(1)a -+2222323666
b a b a a b a b a b +=
+=2312224x x x x =-++--31222(2)(2)
x x x x x =-++--+3(2)(2)24(2)4(2)(2)(2)(2)2x x x x x x x x x --++-=
==-+-++
（3）原式． 【总结升华】（1）异分母分式的加减法关键是确定最简公分母；（2）整式和分式相加减时，把整式看作分母是1的“分式”，按异分母分式的加减法的步骤进行运算．
举一反三：
【变式】计算：（1）
；（2）. 【答案】
解：（1） ． （2） . 类型三、分式的加减运算的应用
3、（白云区期末）设A 、B 两地的距离为s ，甲、乙两人同时从A 地步行到B 地，甲的速度为v ，乙用v 的速度行走了一半的距离，再用v 的速度走完另一半的距离，那么谁先到达B 地，说明理由．
【思路点拨】分别求出甲乙两人走完全程的时间，比较即可．
【答案与解析】
解：甲走完全程的时间为，
乙走完全程的时间为+=+=2524•， ∵2524
•＞， ∴甲先到达B 地．
【总结升华】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4、将一个分数的分子、分母同时加上一个正数，这个分数是变大了，还是变小了？请先举例发现其中的规律，再设法说明理由．
【答案与解析】
222222211(1)111111111
a a a a a a a a a a a a a a +----+=-=-===------212293m m ---112323x y x y ++-212293m m ---122(3)(3)(3)(3)(3)
m m m m m +=-+--+12262(3)2(3)(3)(3)(3)3
m m m m m m m ---===-+-+-+()()()()
112323232323232323x y x y x y x y x y x y x y x y -++=++-+-+-()()
2223234232349x y x y x x y x y x y -++==+--
解：应选择不同特点的分数来试验探索．
；； ；；… 我们发现：对于正的真分数，分子、分母都加相同的正数时分数变大；对于正的假分数，分子、分母都加相同的正数时分数变小；对于负分数，结论与上两条恰好相反．
说明：（1）对于（，均为正整数，且），分子、分母同时加上正数，则变成．因为，所以．① （2）对于
（，均为正数，且），分子、分母同时加上正数，则变成了，因为，所以．② （3）对于负分数的情形，只要将①、②两式两边同乘－1即得结论．
【总结升华】通过特例发现问题，得出一般结论，并去证明，是我们常用研究、探索问题的手段．
1112122132+=>+:5527544264
+=<+:2224233253+--=-<-+:882823323
+--=->-+:b a
a b a b >m b m
a m ++()()()()
b m b a b m b a m a m a a a m a a m +++-=-+++()0()()am bm m a b a a m a a m --==>++b m b a m a
+>+b a a b a b <m b m a m ++()0()b m b m a b a m a a a m +--=<++b m b a m a
+<+。