理论力学平面力系

第二章平面力系
2-1 平面汇交力系
2-2 平面里对点之矩²平面力偶
2-3 平面任意力系的简化
2-4 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
2-5 物体系的平衡²静定和超静定问题
2-6 平面简单桁架的内力计算
一平面汇交力系合成的几何法
§2-1 平面汇交力系
平面汇交力系：各力的作用线在同一平面且汇交到同一点的力系。

如图所示，根据力的平行四边形法则，逐步两两合成求力，最后求得一个通过汇交点A的合力FR；还可以用更
F3
简便的方法求此合力FR的大小与方向。

任取一点a将各分力的矢量首尾相连，由此组成一个不封闭的力多边形
abcde 。

二 .平面汇交力系平衡的几何条件
由于平面汇交力系可用其合理来代替，显然，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。

即
∑Fi=0
在平衡情形下，力多边形中最后一力的终点与第一力的起点重合，此时的力多边形成为封闭的力多边形。

于是，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的力多边形自行封闭，这是平衡的几何条件。

例2-1 支架的横梁AB 与斜杆DC 彼此以铰链C 相联接，并各以铰链A,D 连接于铅直墙上。

已知AC=CB ；杆DC 与水平线成45°角；载荷F=10kN,作用于B 处。

设梁和杆的重量忽略不计，求铰链A 的约束力和杆DC
所受的
F 4 F R F a b
选取横梁AB 为研究对象。

横梁在B 处受载荷F 作用。

DC 为二力杆，它对横梁C 处的约束力FC 的作用线必沿两铰链D,C 中心的连线。

铰链A 的约束力FA 的作用线可根据三力平衡汇交定理确定E 。

根据平面汇交力系平衡的几何条件，这三个力应组成一封闭的力三角形。

F
F
C E
在力三角形中，线段bd 和da 分别表示力FC 和FA 的大小，量出它们的长度，按比例可求的FC 和FA 的大小。

但一般都是利用三角公式计算，得
FC=28.3kN, FA=22.4kN
a
b
b
d F C F
F A a
三.平面汇交力系合成的解析法
设有n个力组成的平面汇交力系作用于一个刚体上，剪力指教坐标系Oxy，如图所示。

此汇交力系的合力FR的解析表达式为
FR=FRx+FRy=FRxi+FRyj
由图得，
FRx=FRcosθ，FRy=FRcos β
合力矢的大小和方向余弦为
四.平面汇交力系的平衡方程
由式（2-3）知，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力FR等于零。

由式（2-6）有
∑Fx=0，∑Fy=0 (2-8)
于是，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。

式（2-8）称为平面汇交力系的平衡方程。

这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。

例2-2 如图所示，P=20kN ，用钢丝绳挂在绞车D 及滑轮B 上。

A,B,C 处为光滑铰链连接。

忽略绳、杆和滑轮自重以及摩擦和滑轮大小，求平衡时杆AB 和BC 所受的力。

（1）取研究对象。

由于AB,BC 两杆都是二力杆，假设杆AB 受拉力，杆BC 受压力。

如上图。

F
BA BC F x y
F 1 F 2
F BA
F BC B 30° 60°
（2）画受力图。

如上图
（3）列平衡方程。

∑Fx=0,-FBA+F1cos60°-F2cos30°=0
∑Fy=0,FBC-F1cos30°-F2cos60°=0
(4)求解方程，得FBA=-7.321kN FBC=27.32kN §2-2 平面力对点之矩²平面力偶
力对刚体的作用效应使刚体的运动状态发生改变（包括移动与转动），其中力对刚体的移动效应可用力矢来度量；而力对刚体的转动效应可用力对点的矩（简称力矩）来度量，即力矩是度量力对刚体转动效应的物理量。

一.力对点之矩（力矩）
如图所示，力F与点O位于同一平面内，点O称为矩心，点O到力的作用线的垂直距离h称为力臂。

力F 对于点O 的矩以MO （F ）=±Fh=±2A △OAB 其中A △OAB 为三角形OAB 的面积
力矩的单位通常用N ²m 或kN ²m
在平面问题中，力对点的矩定义如下：
力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负可按下法规定：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负。

二.合力矩定理与力矩的解析表达式
合力矩定理：平面汇交力系的合成对于平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。

即 MO(FR)=∑
MO(Fi) B
M o
例2-3 如图，圆柱直齿轮，受到齿合力F的作用。

设F=1400N。

压力角θ=20°，齿轮的节圆的半径r=60mm，试计算力F对于轴心O的力矩。

如图所示，
可直接按照力矩的定义求得，即
MO(F)=Fh=Frcosθ=
1400N×60×10-3m×cos20°
=78.93N·m
F
也可以根据合力矩定理，将力F分解为圆周力Ft和径向力Fr，由于径向力Fr通过矩心O，则
MO(F)=MO(Ft)+MO(Fr)
=Fcosθ·r
三.力偶与力偶矩
由两个大小相等、方向相反且不贡献的平行力组成的力系，称为力偶。

如图所示，几座（F,F’)。

力偶的两力之间的距离d称为力偶臂，力偶所在的平面称为力偶的作用面。

1
由于力偶不能合成为一个力，故力偶也不能用一个力来平衡。

因此，力和力偶是静力学的两个基本要素。

力偶是由两个力组成的特殊力系，它的作用只改变物体的转动状态。

因此，力偶对物体的转动效应，可用力偶矩来度量，而力偶矩的大小为力偶中的力与力偶臂的乘积即Fd。

在图中表明，力偶对任意点的矩都等于力偶矩，二与矩心位置无关。

力偶在平面内的转向不同，其作用效应也不相同。

因此，
平面力偶对物体的作用效应，由以下两个因素决定： （1）力偶矩的大小； （2）力偶在作用面内的转向。

M=±Fd=2A △ABC
于是可得结论：力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的专项：一般以逆时针转向为正，反之则为负。

力偶矩的单位为N ²m 。

四.同平面力偶的等效定理
定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效。

推论：
C
（1）任一力偶可以再它的作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用。

因此，力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关。

（2）只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。

由此可见，力偶的臂与力的大小都不是力偶的特征量，只有力偶矩是平面内力偶作用的唯一量度。

常用的符号表示力偶。

M 为力偶矩。

五.
平面力偶系的合成和平衡条件 （1）平面力偶系的合成
在同平面内的任意个力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和，可写成为 M=∑Mi
（2）平面力偶系的平衡条件
由合成结果可知，力偶系平衡时，其合力偶的矩等于零。

因此平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零，即 ∑Mi=0
例 2-4 如图所示，工件中有三个力偶。

三个力偶矩分别为：M1=M2=10N ²m ，M3=20N ²m ；固定螺柱A 和B 的距离l=200mm 。

求两个光滑螺柱所受的水平力。

F 1
F 2
F 3
3
F
选工件为研究对象。

工件在水平面内受三个力偶和两个螺柱的水平约束力的作用。

根据力偶系的合成定理，三个力偶合成后仍为一力偶，如果工件平衡，必有一力偶与它相平衡。

因此螺柱A 和B 的水平约束力FA 和FB 必组成一力偶，它们的方向假设如图所示，则FA=FB 。

由力偶系的平衡条件知
∑M=0，FAl-M1-M2-M3=0 解得
例2-6 图2-14a 所示机构的自重不计。

圆轮上的梢子A 放在摇杆BC 上的光滑倒槽内。

圆轮上作用一力偶，其力偶矩M1=2kN ²m ，OA=r=0.5m 。

图示位置时OA 与OB
F B
垂直，θ=30°，且系统平衡。

求作用于摇杆BC 上力偶的矩M2及铰链0，B 出的约束力。

先取圆轮为研究对象。

由力偶平衡条件
A
∑M=0，M1-FAsin θ=0 解得
FA=M1/rsin30° 再以BC 为研究对象。

由平衡条件
∑M=0,-M2+F ’Ar/sin θ=0 解得 M2=4M1=8kN ²m
FO 与FA 组成力偶，FB 与F ’A 组成力偶，则
B
C
B
FO=FB=FA=M1/rsinθ=8kN。