基于倒立摆顺摆控制的建模与仿真研究
基于SimulinkS-Function倒立摆仿真和实时控制研究(新)
摘要倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。
本文阐述了倒立摆控制系统的研究背景和发展现状，研究了二级直线式倒立摆系统的物理结构，采用拉格朗日方程建立系统的数学模型，对数学模型在平衡位置进行了线性化，从而得到倒立摆系统的线性状态空间方程，同时分析了系统的稳定性和能控能观性。
在此基础上研究了极点配置，LQR控制理论，设计了二级倒立摆系统的极点配置控制器和LQR控制器，并利用Matlab软件的Simulink平台对倒立摆模型及控制器进行仿真，通过调试参数，使倒立摆倒立。
最后利用C语言编写控制器S-Function对倒立摆进行了实时控制。
关键词：倒立摆；极点配置；LQR；S-FunctionABSTRACTInverted pendulum is a combination of robotics techniques, control theory and computer control, the controlled system itself is an unstable, higher-order, multivariable, strongly coupled nonlinear system, which can be used as a typical control object to study it.This paper demonstrates the research background of inverted pendulum control system and the current development tendency, investigates the physical structure of 2-order linear-type inverted pendulum, adopts Lagrange's Equation to build the mathematical model, linearize the model in the balance position, achieves the linear state space equation of inverted pendulum, analyzes the stability, controllability and observability of the system.Furthermore, this paper investigates Pole Placement and LQR control theory, introduces a design of controller based on Pole Placement and LQR control theory for two-order inverted pendulum, simulates the performance of the controller through Simulink in Matlab and adjusts the parameters so that inverted pendulum could be inverted. Finally, a C-langrage controller is designed in S-Function of Matlab for real-time control of inverted pendulum.Key word：Inverted pendulum; pole placement; LQR; S-Function目录第1章绪论 (1)1.1课题研究的目的及意义 (1)1.2倒立摆系统简介 (1)1.3倒立摆的国内外研究情况 (3)1.4本文研究的主要内容及本文思路 (6)第2章二级直线式倒立摆系统建模和分析 (8)2.1系统建模 (8)2.1.1二级直线式倒立摆的结构 (8)2.1.2拉格朗日法建立系统数学模型 (9)2.1.3二级倒立摆系统数学模型的线性化 (14)2.2二级倒立摆系统分析 (16)2.2.1二级倒立摆系统的能控性 (17)2.2.2二级倒立摆系统的能观性 (17)2.2.3二级倒立摆系统的稳定性 (18)2.3本章小结 (18)第3章二级直线式倒立摆的极点配置控制 (19)3.1极点配置原理 (19)3.2单输入状态反馈极点配置算法 (20)3.3二级倒立摆极点配置控制仿真 (21)3.4本章小结 (24)第4章二级直线式倒立摆的LQR控制 (26)4.1线性二次最优控制LQR控制原理简介 (26)4.2直线二级倒立摆LQR控制器的设计和仿真 (29)4.3本章小结 (35)第5章利用S-Function对倒立摆进行实时控制 (36)5.1S-函数的基本概念 (36)5.2S-函数工作的基本原理 (36)5.2.1S-函数的数学模型 (36)5.2.2仿真阶段 (37)5.2.3S-函数的回调方式 (38)5.2.4S-函数的实现 (39)5.3用C语言编写S-Function对倒立摆进行实时控制 (40)5.3.1开头部分的预处理 (40)5.3.2S-函数例程的实现 (41)5.3.3倒立摆实时控制的实现过程 (45)5.4本章小结 (45)结论 (46)参考文献 (47)致谢 (49)附录 (50)第1章绪论1.1课题研究的目的及意义倒立摆是一个高阶次、非线性、快速、多变量、强耦合、不稳定的系统。
基于PID一阶倒立摆控制与仿真
目录0. 前言 (1)1 PID控制和编码器基本理论 (2)2 方案设计 (3)2.1 系统模型及分析 (3)2.2 比例（P）控制 (4)2.3 积分（I）控制 (4)2.4 微分（D）控制 (4)3 系统模型建立 (5)3.1 一阶倒立摆的微分方程模型 (5)3.2 传递函数 (7)3.3 状态空间方程 (7)4 软件编程与仿真 (8)4.1 实际系统参数 (8)4.2 PID控制设计分析 (8)4.3 PID参数的确定 (10)4.4 Simulink仿真 (11)4.5 单极倒立摆建模 (13)4.6 软件编程 (15)5 系统调试和结果分析 (18)6 结论及进一步设想 (19)课设体会 (21)基于PID一阶倒立摆控制与仿真亲摘要：本文主要研究目的是通过PID的调解实现对一阶倒立摆的控制，设计一个倒立摆的控制系统，使倒立摆这样一个不稳定的被控对象通过引入适当的控制策略使之成为一个能够满足各种性能指标的稳定系统。
首先对平面一级倒立摆系统进行分析，根据具体参数建立数学模型，通过对模型的分析判断，设计倒立摆PID控制器。
通过MATLAB软件进行仿真和实际系统实验，实现对倒立摆的稳定控制。
但是由于PID控制器为单输入单输出系统，所以只能控制摆杆的角度，并不能控制小车的位置，所以小车会往一个方向运动。
可以通过应用现代控制理论等单输入（小车加速度）多输出（摆杆角度和小车位置）的控制算法使系统更加的稳定。
关键词：倒立摆；PID控制；MATLAB仿真；0. 前言倒立摆是日常生活中许多重心在上、支点在下的控制问题的抽象模型，本身是一种自然不稳定体，它在控制过程中能有效地反映控制中许多抽象而关键的问题，如系统的非线性、可控性、鲁棒性等问题。
对倒立摆系统的控制就是使小车以及摆杆尽快地达到预期的平衡位置，而且还要使它们不会有太强的振荡幅度、速度以及角速度，当倒立摆系统达到期望位置后，系统能克服一定范围的扰动而保持平衡。
倒立摆
(4-2)
其中 i＝1,2,3……n， f i 为系统在第 i 个广义坐标上的外力， 在一级顺摆系统中， 系统的广义坐标有三个广义坐标，分别为 x, φ 。 首先计算系统的动能：
T = TM + Tm
其中
TM , Tm 分别为小车的动能，摆杆 1 的动能。
小车的动能：
TM =
. 2 1 Mx 2
下面计算摆杆的动能：
运行程序得到：
k11 = 0 k12 = − k13 = 0 k14 = 0 k15 = −
3 4l
. .
3g 4l
设 X = {x, x, φ , φ} ，系统状态空间方程为：
& = AX + Bu X y = CX + Du
©Googol 2005
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第 4 章 直线一级顺摆建模和实验
则有：
(4-3)
⎡x⎤ ⎢ &⎥ ⎡ x ⎤ ⎡1 0 0 0⎤ ⎢ x ⎥ + ⎡0⎤ u y=⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣φ ⎦ ⎣0 0 1 0⎦ ⎢φ ⎥ ⎣0⎦ ⎢ &⎥ ⎢φ ⎦ ⎥ ⎣
通过转化可以得到：
&& = − φ
摆杆角度和小车位置的传递函数为：
3g 3 & φ− & x 4l 4l
−3 2 s Φ(s) = 4l 3g X (s) s2 + 4l 摆杆角度和小车加速度的传递函数为： −3 Φ(s) 4l = 3g V (s) s2 + 4l
或直接利用计算可控性矩阵的 ctrb 命令和计算可观性的矩阵 obsv 命令来计 算。
©Googol 2005
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第 4 章 直线一级顺摆建模和实验
三级倒立摆建模与控制器设计仿真
>> [K,P,r2]=lqr(A,B,Q,R)
综上所述，式（2）所示的线性定常系统为不稳定的能控、能观系统，可加外控制器实现系统的稳定。
线性最有调节器的设计
定义状态方程⑵的二次性能指标函数为： ⑶
正定R阵的作用在于限制控制器的输出不会太大而导致难于实现，所以不失一般性，可以将其设为1，LQR方法中，Q阵可以选为非负的对角阵，Q=diag（ ）.各主对角系数的相对大小对系统的整体控制性能有很大的影响，目前普遍采用试探实验的方法来确定加权矩阵Q的系数大小。观察知： 大小的变化对小车的位移影响很大，因为小车位移大小受直线导轨长度的物理限制，所以， 取值可以固定为一个适当大小的数，使小车位移不至过大； ， 次之， 的影响较小。取值时可以去 ,取Q=diag(500,500,300,100,0,0,0,0),R=1.求解Riccati代数方程
>>B=[0;0;0;0;8.72;-29.621;32.238;-3.341];
>> C=[1,0,0,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0,0,0;0,0,0,1,0,0,0,0];
>> D=[0;0;0;0];
>> r1=eig(A)
>> q1=500;q2=500;q3=300;q4=100;q5=0;q6=0;q7=0;q8=0;
倒立摆控制器设计与仿真
摘要倒立摆系统是一个非线性自然不稳定系统, 是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。
许多抽象的控制概念如控制系统的稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以通过倒立摆系统直观的表现出来。
除教学用途外，倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合等特性使得许多现代控制理论的研究人员一直将它视为研究对象。
本课题以固高倒立摆系统为研究对象，通过Simulink搭建非线性模型然后将其线性化，并与数学方法近似的线性模型进行了比较。
采用根轨迹法设计出确定参数下的使系统稳定的控制器，并将其应用于倒立摆实际控制中，在摆杆角度控制器方面获得了很好的的控制效果。
最后，在MATLAB/Simulink环境下分别观察了线性模型和非线性模型的仿真情况。
本文以直线一级倒立摆系统为核心，掌握了在倒立摆系统控制方面国内外的研究情况。
通过实现对倒立摆的稳定控制，进而掌握了控制系统设计的一些基本方法。
一、绪论（一）课题研究的背景及意义倒立摆的最初研究始于上世纪50年代，由美国麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器的原理设计而来，随着研究的深入和实际问题的推动而不断发展至今，已发展出了三级摆和四级摆。
这些研究成果具有重要的工程前景，在控制等领域中发挥了巨大的作用。
作为研究控制理论的一种非常典型的实验装置，倒立摆系统具有形象直观、结构简单、成本低廉、构件组成参数和形状易于改变的特点。
倒立摆是多种技术、多个领域的有机结合，包括机器人技术、控制理论技术、计算机控制技术等。
很多抽象的控制概念，如控制系统的稳定性、系统的可控性、系统收敛速度和抗干扰能力等，都可通过倒立摆系统直观形象的表现出来。
倒立摆控制系统本身又是一个多变量、高阶次、强耦合的非线性自然不稳定系统系统，在自动控制领域中，倒立摆仿真或者实物控制实验，已成为检验一种新的控制理论是否有效的试金石，同时也是产生一种新的控制方法所必须依据的基础实验平台。
倒立摆控制系统的Simulink仿真
倒立摆控制系统的Simulink 仿真本文针对一个倒立摆系统进行了系统的建模、求解、控制系统的设计，并且使用Simulink 对控制算法进行了仿真。
一、模型的描述倒立摆系统如图（1），设有一个倒立摆装在只能沿x 轴方向移动的小车上，图中1m 为小车的质量，2m 为摆球的质量，g 为重力加速度，l 为摆长，J 为摆的转动惯量。
当小车受到外力()f t 的作用时，小车产生位移()x t ，且摆产生角位移()t θ。
二、模型的建立下面针对该倒立摆系统进行建模求解。
当小车1m 在外力作用下产生位移()x t 时，摆球受力情况如图（2）所示。
图中2m g 为摆球2m 所受重力，222()d x t m dt 为x 方向的惯性力，2sin ()m g t θ为垂直于摆杆方向的重力分量。
在x 方向上，小车的惯性力矩为212()d x t m dt ，摆球产生的位移量为()sin ()x t l t θ+；在垂直于摆杆的方向上，摆球的转动惯性力为22()d t J dt θ；222()d x t m dt的分力为222()cos ()d x t m t dt θ。
图（1）装有倒立摆的小车 图（2）倒立摆受力图根据牛顿运动定律，按照力的平衡原理，可以分别列出该系统在x 方向上和垂直于摆杆方向上的的运动方程222122222()()[sin ()]()d x t d x t d l t m m m f t dt dt dt θ++=（1） 222222()()cos ()sin ()d t d x t J m l t m lg t dt dtθθθ+= （2） 三、模型的求解3.1微分方程组的求解联立式（1）、（2），经过方程组的恒等变形得2222222122222()()2[()cos ()]sin 2()2sin ()()2()d x t d t m m J m l t m l g t Jm l t dt dtJf t θθθθ+-=-++ （3） 2222222212221222()()[cos ()()]sin ()cos ()()()sin ()()d t d t m l t m m J m l t t dt dtm m m lg t m lf t θθθθθθ-+=-++ （4） 由式（3）、（4）令''121343()(),(),()(),()()x t t x x t x t x t x t x t θ====，可建立如下的微分方程组进行求解'12'2222221222222122'34'222422222122()()1()()(sin ()cos ()()()sin ()cos ()()())()()1()()(sin 2()2sin ()()2())2[()cos ()]x t x t d t x t x m l t t m m m lg t m l t m m J dt m lf t x t x t d t x t m l g t Jm l t Jf t m m J m l t dt θθθθθθθθθ⎧=⎪⎪=-+⎪-+⎪+⎨==-+++-⎪⎪⎪⎪⎩3.2控制系统的分析与设计在该模型中，对该倒立摆系统实施角度环、速度换的控制，并假设小车在运行过程中受到空气阻力，阻力大小与小车的速度成正比。
直线二级倒立摆建模与matlab仿真LQR
直线二级倒立摆建模与仿真1、直线二级倒立摆建模为进行性线控制器的设计,首先需要对被控制系统进行建模.二级倒立摆系统数学模型的建立基于以下假设：1)每一级摆杆都是刚体；2)在实验过程中同步带长保持不变；3)驱动力与放大器输入成正比，没有延迟直接拖加于小车；4)在实验过程中动摩擦、库仑摩擦等所有摩擦力足够小，可以忽略不计。
图1 二级摆物理模型二级倒立摆的参数定义如下：M 小车质量m1摆杆1的质量m2摆杆2的质量m3质量块的质量l1摆杆1到转动中心的距离l2摆杆2到转动中心的距离θ1摆杆1到转动与竖直方向的夹角θ2摆杆2到转动与竖直方向的夹角F 作用在系统上的外力利用拉格朗日方程推导运动学方程拉格朗日方程为：其中L 为拉格朗日算子，q 为系统的广义坐标，T 为系统的动能，V 为系统的势能其中错误!未找到引用源。
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为系统在第i 个广义坐标上的外力，在二级倒立摆系统中，系统有三个广义坐标，分别为x,θ1,θ2,θ3。
首先计算系统的动能：其中错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
分别为小车的动能，摆杆1的动能，摆杆2的动能和质量块的动能。
小车的动能：错误!未找到引用源。
,其中错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
分别为摆杆1的平动动能和转动动能。
错误!未找到引用源。
，其中错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
分别为摆杆2的平动动能和转动动能。
对于系统，设以下变量： xpend1摆杆1质心横坐标 xpend2摆杆2质心横坐标 yangle1摆杆1质心纵坐标 yangle2摆杆2质心纵坐标 xmass 质量块质心横坐标 ymass 质量块质心纵坐标 又有：(,)(,)(,)L q q T q q V q q =-则有：系统总动能：系统总势能：则有：求解状态方程：可解得：使用MATLAB对得到的系统进行阶跃响应分析，执行命令：A=[0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 01;0 0 0 0 0 0;0 86.69 -21.62 0 0 0;0 -40.31 39.45 0 0 0];B=[0;0;0;1;6.64;-0.808];C=[1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0];D=[0;0;0];sys=ss(A,B,C,D);t=0:0.001:5;step(sys,t)求取系统的单位阶跃响应曲线：图2 二级摆阶跃响应曲线由图示可知系统小车位置、摆杆1角度和摆杆2角度均发散，需要设计控制器以满足期望要求。
倒立摆的控制算法研究
倒立摆的控制算法研究倒立摆是一种常见的控制系统，它由一个垂直的柱子和一个连接在柱子上的摆组成，摆的长度和重量可以不同。
倒立摆的目的是通过控制柱子上的电机来保持摆的平衡。
由于其简单的结构和容易理解的物理规律，倒立摆被广泛应用于控制系统的研究和教学领域。
本文将对倒立摆的控制算法进行研究和讨论。
一、倒立摆的动力学模型在控制倒立摆之前，我们需要了解倒立摆的动力学模型。
可以将倒立摆的动力学模型建模为一个非线性系统。
其中，摆的角度相当于系统的状态，而摆的角度速度则是系统的输入。
通过运用牛顿第二定律和动量守恒原理，可以得出如下的倒立摆动力学模型：$\begin{cases} \dot \theta = \omega \\ \dot \omega = -\dfrac{g}{l} \sin(\theta) -\dfrac{c}{Ml^2} \omega + \dfrac{u}{Ml^2} \end{cases}$其中，$\theta$表示摆的角度，$\omega$表示摆的角速度，$u$表示电机输出的控制力，$g$表示重力加速度，$l$表示摆的长度，$M$表示摆的质量，$c$表示阻尼系数。
二、经典的PID控制算法经典的PID控制算法是控制倒立摆的一种常见方法。
它由比例控制器、积分控制器和微分控制器组成。
这三种控制器的作用分别是输出和输入的误差乘以比例系数、积分系数和微分系数的和，并将这个和作为电机输出的控制力。
以比例控制器为例，假设倒立摆的目标位置为$\theta_d$，当前位置为$\theta$，比例系数为$K_p$。
则比例控制器的输出为：$u = K_p(\theta_d - \theta)$将其代入倒立摆的动力学模型中，则可以进行模拟计算，以求出控制器的性能指标。
三、模型预测控制算法模型预测控制是一种先进的控制算法，它不仅考虑到当前状态的误差，还考虑到未来状态的误差。
由于倒立摆是一个非线性系统，经典的PID控制算法无法很好地解决这个问题。
倒立摆仿真实验报告(连续、离散)
倒立摆仿真实验报告倒立摆是一个非线性、不稳定的系统，是经常作为研究比较不同控制方法的典型例子。
有许多抽象的控制概念，如控制系统的稳定性、可控性、系统抗干扰能力等，都可以通过倒立摆系统直观地表现出来，倒立摆系统的高阶次，不稳定，多变量，非线性和强耦合等特性，使得许多现代控制理论的研究人员一直将它视为研究对象。
倒立摆系统具有3个特性，即：不确定性，耦合性，开环不稳定性。
直线型倒立摆系统，是由沿直线导轨运动的小车以及一端固定于小车上的匀质长杆组成的系统，小车可以通过传动装置由交流伺服电机驱动，小车导轨一般有固定的行程，因而小车的运动范围是受到限制的。
一阶倒立摆建模在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示M ：小车质量；x ：小车位置；m ：摆杆质量J ：摆杆惯量；F ：加在小车上的力；l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度；θ：摆杆与垂直向上方向的夹角。
图1 倒立摆示意图倒立摆的数学模型为πθθπθθθθ180cos )3/4(]sin )180/([cos sin 22⨯-+-=l m ml l m f mg p p 我们可以实时量测角度θ（◦），并计算出角速度θ （◦/s ），控制的任务是产生合适的作用力f,以使倒立摆保持直立状态。
一 连续模糊控制器1、论域的正规化首先设定 15=m θ，s m/60 =θ，N F m 10=，将θ，θ ，f 的实际值分别除以m θ，mθ ，m F ，并加以1±限幅后，得到正规化的输入输出变量：其中]1,1[,,-∈z y x 2、定义模糊几何及其隶属函数对正规化的输入输出变量x,y,z 各定义五个模糊集合：NL ，NS ，Z ，PS ，PL ，分别用51~A A ，21~B B ，21~C C 来代表，x,y,z 三个变量的模糊集合的隶属函数均是对称，均匀分布，全交迭的三角形，如图2所示。
图2 变量的隶属函数 3、设计模糊控制规则集x 和y 各有五个模糊集合，所以最多有2552=条规则，根据经验只用11条规则即可，如表1所示。
倒立摆系统的控制算法及仿真
倒立摆系统的控制算法及仿真1．1 倒立摆控制算法1．1．1 倒立摆控制算法概述单级倒立摆的稳定控制，实际上是一单输入多输出系统的稳定控制。
此时系统输入是电机控制电压u，输出是倒立摆竖直方向角度θ和旋臂位置ϕ。
对方程(2.5)进行变形即得θ与u 之间的输入输出方程,很明显,它是一个不稳定的二阶系统。
控制倒立摆使之稳定的方法很多,当前已有的倒立摆控制规律可总结为:(1)PID控制,通过对倒立摆物理模型的分析，建立倒立摆的动力学模型,然后使用状态空间理论推导出其非线性模型，再在平衡点处进行线性化得到倒立摆系统的状态方程和输出方程，于是就可设计出PID控制器实现其控制；(2)状态反馈H∞控制，通过对倒立摆物理模型的分析,建立倒立摆的动力学模型,然后使用状态空间理论推导出状态方程和输出方程，于是就可应用H∞状态反馈和Kalman 滤波相结合的方法,实现对倒立摆的控制；(3)利用云模型实现对倒立摆的控制，用云模型构成语言值,用语言值构成规则,形成一种定性的推理机制。
这种拟人控制不要求给出被控对象精确的数学模型，仅仅依据人的经验、感受和逻辑判断，将人用自然语言表达的控制经验,通过语言原子和云模型转换到语言控制规则器中，就能解决非线性问题和不确定性问题；(4)神经网络控制，业已证明神经网络(NeuralNetwork ,NN) 能够任意充分地逼近复杂的非线性关系，NN 能够学习与适应严重不确定性系统的动态特性，所有定量或定性的信息都等势分布贮存于网络内的各种神经元，故有很强的鲁棒性和容错性，也可将Q学习算法和BP神经网络有效结合，实现状态未离散化的倒立摆的无模型学习控制；(5)遗传算法( Genetic Algorithms , GA)，高晓智在Michine 的倒立摆控制Boxes 方案的基础上，利用GA 对每个BOX 中的控制作用进行了寻优，结果表明GA可以有效地解决倒立摆的平衡问题；(6)自适应控制，主要是为倒立摆设计出自适应控制器；(7)模糊控制，主要是确定模糊规则，设计出模糊控制器实现对倒立摆的控制；(8)使用几种智能控制算法相结合实现倒立摆的控制，比如模糊自适应控制，分散鲁棒自适应控制等等，(9)采用GA 与NN 相结合的算法，首先建立倒立摆系统的数学模型，然后为其设计出神经网络控制器，再利用改进的贵传算法训练神经网络的权值，从而实现对倒立摆的控制，采用GA 学习的NN 控制器兼有NN 的广泛映射能力和GA 快速收敛以及增强式学习等性能。
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基于倒立摆顺摆控制的建模与仿真研究
基于倒立摆顺摆控制的建模与仿真研究
倒立摆是一种经典的非线性控制系统，其稳定性分析和控制方法一直
是控制理论研究的热点。
本文将介绍基于倒立摆顺摆控制的建模与仿
真研究。
一、倒立摆系统建模
倒立摆系统由一个质量为m、长度为l的杆和一个质量为M的小车组成，杆与小车通过一根无摩擦的轴连接。
小车可以在水平方向上移动，杆可以在竖直方向上旋转。
系统的状态变量为小车的位置x、小车的速度v、杆的角度θ和杆的角速度ω。
根据牛顿第二定律和杆的运动方程，可以得到系统的动力学方程：
m x'' = F - m g sinθ - m l θ'^2
M x'' = F + m l θ'' cosθ - m l θ'^2 sinθ
l θ'' + g sinθ = x'' cosθ
其中，F为小车受到的外力，g为重力加速度。
二、顺摆控制
顺摆控制是一种基于状态反馈的控制方法，其目的是使倒立摆系统保持在竖直方向上。
顺摆控制器的设计需要满足系统的稳定性和性能要求。
首先，需要将系统的动力学方程转化为状态空间形式：
x' = Ax + Bu
y = Cx
其中，x为状态向量，u为控制输入，y为输出向量，A、B和C为系统的矩阵。
然后，可以设计状态反馈控制器：
u = -Kx
其中，K为状态反馈矩阵。
最后，可以通过极点配置法或线性二次调节法来确定状态反馈矩阵K，以满足系统的稳定性和性能要求。
三、仿真研究
为了验证顺摆控制器的有效性，可以进行仿真研究。
使用
MATLAB/Simulink软件，可以建立倒立摆系统的仿真模型，并进行
控制器的设计和仿真。
首先，需要建立倒立摆系统的仿真模型。
可以使用Simulink中的Simscape Multibody工具箱，将倒立摆系统建模为一个多体动力学
系统。
然后，可以添加控制器模块，设计顺摆控制器，并将其与倒立
摆系统相连。
然后，可以进行仿真实验。
通过改变控制器的参数，可以观察系统的
响应特性。
可以绘制小车位置、杆角度和控制输入等变量的时域曲线，以评估控制器的性能。
最后，可以进行参数优化。
通过调整控制器的参数，可以使系统的响
应更加稳定和快速。
可以使用优化算法，如遗传算法或粒子群算法，
来寻找最优的控制器参数。
总之，基于倒立摆顺摆控制的建模与仿真研究是控制理论研究的重要方向。
通过建立系统的动力学模型，设计有效的控制器，并进行仿真实验和参数优化，可以提高控制系统的稳定性和性能，为实际应用提供有力支持。