专题8 数列-2020届高三理科数学2年高三模拟题原创题分类汇编含解析答案
专题8数列1．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试】已知等差数列{}n a的公差不为零，n S为其前n项和，39S=，且21a-，31a-，51a-构成等比数列，则5S=（）A．15B．-15C．30D．25 【答案】D【解析】解：设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠， 由题意，，解得112a d =⎧⎨=⎩．∴．故选：D ．2．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷】已知等比数列{}n a 的公比12q =-，该数列前9项的乘积为1，则1a =（ ） A ．8 B ．16 C ．32 D ．64【答案】B 【解析】 由已知，又，所以951a = ，即51a =，所以，116a = ，故选B.3．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺】已知数列{}n a 满足，数列的前n 项和为n S ，则( ) A ．110B ．111C ．211D ．15【答案】B 【解析】 因为，所以，两式作差，可得21nn a =，即，又当1n =时，121a =，即112a =满足12n n a =，因此；所以；因为数列的前n 项和为n S ，所以，因此.故选B4．【辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第八次模拟】已知公比不为1的等比数列{}n a 满足，若210m a =，则m =（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】B 【解析】由等比数列性质得：21010a ∴= 10m ∴=本题正确选项：B5．【重庆南开中学2019届高三第四次教学检测】在等比数列{}n a 中，若，则62a a =( ) A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】D 【解析】，则44,q =∴ 4624a q a == 故选：D6．【黑龙江省大庆第一中学2019届高三第三次模拟考试】在各项不为零的等差数列{}n a 中，，数列{}n b 是等比数列，且20182018b a =，则的值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C 【解析】因为等差数列{}n a 中，所以，因为各项不为零，所以2018=4a ， 因为数列{}n b 是等比数列，所以所以，故选C.7．【山西省2019届高三高考考前适应性训练（三)】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足，则下面选项为等差数列的是（ ）A ．{}1n S +B ．{}1n S -C ．11n S ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭D ．11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭【答案】C 【解析】 因为，代入得，故所以1n S +不是等差数列，故A 错误；同理1513S -=-，2714S -=-，3915S -=-，所以1n S -不是等差数列，故B 错误； 11315S =--，21417S =--，31519S =--，所以11n S -不是等差数列，故D 错误 ，故选C.8．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月)综合练习】已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠，则“139,,a a a 成等比数列” 是“1a d =”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】根据题意，设数列{}n a 的公差为d ，若139,,a a a 成等比数列，则2319a a a =，即（a 1+2d ）2=a 1•（a 1+8d ），变形可得：a 1=d ，则“139,,a a a 成等比数列”是“a 1=d”的充分条件；若a 1=d ，则a 3=a 1+2d=3d ，a 9=a 1+8d=9d ，则有2319a a a =，则“139,,a a a 成等比数列”是“a 1=d”的必要条件；综合可得：“139,,a a a 成等比数列”是“1a d =”的充要条件； 故选：C ．9．【甘、青、宁2019届高三5月联考】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足，则（ ）A ．100101B ．102101C ．200201D ．202201【答案】A 【解析】 当1n =时，，解得11a =；当2n ≥时，，两式相减可得，，可得，所以，.，所以.故选A.10．【内蒙古2019届高三高考一模】《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得100,60,36,21.6个单位,递减的比例为40%,今共有粮(0)m m >石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和为164石,则“衰分比”与m 的值分别为（ ） A ．20% 369 B ．80% 369C ．40% 360D ．60% 365【答案】A 【解析】解：设“衰分比”为a ,甲衰分得b 石,由题意得,解得125b =,20%a =,369m =． 故选：A ．11．【山东省聊城市2019届高三三模】我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入33⨯的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数21,2,3,,n 填入n n ⨯个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的对角线上的数字之和为n N ，如图三阶幻方的315N =，那么 9N 的值为（ ）A ．41B ．45C ．369D ．321【答案】C 【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，，，，⋯．故.故选：C12．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月)】已知数列{}n a 满足，设数列{}n b 满足：121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）A ．1[,)4+∞ B ．1(,)4+∞C ．3[,)8+∞D ．3(,)8+∞【答案】D 【解析】 解：数列{}n a 满足，①当2n ≥时，，②①﹣②得：12n a n n=， 故：22n a n =，数列{}n b 满足：，则：，由于恒成立，故：，整理得：244n n λ+>+，因为在*n N ∈上单调递减，故当1n =时，所以38λ>． 故选：D ．13．【北京市房山区2019年第二次高考模拟】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，14a =，6812a a +=，则7S =____.【答案】35 【解析】由等差数列的性质，得：，所以，76a =，14．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试】等差数列{}n a 中，410a =且3a ，6a ，10a 成等比数列，数列{}n a 前20项的和20S =____ 【答案】200或330 【解析】设数列{}n a 的公差为d ，则，，由3610,,a a a 成等比数列，得23106a a a =，即，整理得，解得0d =或1d =，当0d =时，；当1d =时，，于是，故答案为200或330.15．【北京市昌平区2019年高三年级第二次统一练习】等差数列{}n a 满足，则a 5=______；若116a =，则n=______时，{a n }的前n 项和取得最大值． 【答案】4 6 【解析】等差数列{}n a 满足，所以，即54a =，116a =，所以，所以3d =-．令100n n a a +>⎧⎨<⎩，解得6n =，所以{}n a 的前6项和取得最大值．故填：4，6．16．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测】已知数列{}n a 满足11a =，，若集合中有3个元素，则实数t 的取值范围是__________．【答案】514t ≤≤. 【解析】由题，因为数列{}n a 满足11a =，，所以即数列{1}n a +是以2为首项，公比为2的等比数列， 所以 所以，化简可得(1)2nn n t +≤记当，此时(n)f 是单调递减的；因为当5n ≥，5()4f n <集合中有3个元素，所以这三个元素只能是335,,224所以514t <≤故答案为514t <≤17．【安徽省定远中学2019届高三全国高考猜题预测卷】已知数列{}n a 满足11a =，，n n b a n =+.（1）证明：数列{}n b 为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和. 【答案】（1）见证明；（2）【解析】证明：（1）∵n n b a n =+，∴.又∵，∴.又∵，∴数列{}n b 是首项为2，公比为4的等比数列.解：（2）由（1）求解知，124n n b -=⨯，∴，∴.18．【山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测（三模)】在公差不为0的等差数列{}n a 中，1a ，3a ，9a 成公比为3a 的等比数列，又数列{}n b 满足．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前2n 项和2n T ． 【答案】（1）n a n =；（2）【解析】（1）公差d 不为0的等差数列{}n a 中，1a ，3a ，9a 成公比为3a 的等比数列，可得2319a a a =，313a a a =，可得，11a =，化简可得11a d ==，即有n a n =； （2）由（1）可得，*k N ∈；前2n 项和．19．【四川省名校联盟2019届高考模拟信息卷（一)】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足.（Ⅰ）求证：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （Ⅱ）求数列{}1n a -的前n 项和n T . 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】 （Ⅰ），当2n ≥时，，两式相减，得，即.∴，所以数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列。
（Ⅱ）由，得113a =.由（Ⅰ）知，数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以16-为首项，13为公比的等比数列。
所以，∴，∴，∴.20．【江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）已知对于N n *∈，不等式恒成立，求实数M 的最小值；【答案】（1）12n n a +=；（2）229. 【解析】 （1）1n =时，，又0n a >，所以11a =，当2n ≥时，，作差整理得：，因为0n a >，故，所以，故数列{}n a为等差数列，所以12nna+=．（2）由（1）知，所以，从而．所以229M≥，故M的最小值为229．原创题：1．已知公差为正数的等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且a2，S2+1，a8成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1＝1，nb n+1＝2a n b n，求数列{a n+b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d（d＞0），∵a1＝1．a2．S2+1．a8成等比数列，即（S2+1）2＝a2a8，∴（3+d）2＝（1+d）（1+7d），∴3d2+d﹣4＝0，∴（3d+4）（d﹣1）＝0，∵d＞0，∴d＝1，∴a n＝1+（n﹣1）＝n；（2）∵nb n+1＝2a n b n．由（1）得nb n+1＝2nb n，可得，又b1＝1，所以{b n}是以1为首项，以2为公比的等比数列，b n＝2n﹣1，a n+b n＝n+2n﹣1，则前n项和T n＝（1+2+…+n）+（1+2+…+2n﹣1）n（n+1）n（n+1）+2n﹣1．2．已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝（a n﹣1）（a n+2），且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）2S n＝（a n﹣1）（a n+2），可得2a1＝2S1＝（a1﹣1）（a1+2），解得a1＝2（﹣1舍去）；当n≥2时，2S n﹣1＝（a n﹣1﹣1）（a n﹣1+2），且2S n＝（a n﹣1）（a n+2），两式相减可得2a n＝a n2﹣a n﹣12+a n﹣a n﹣1，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）＝0，可得a n﹣a n﹣1＝1，数列{a n}的通项公式为a n＝n+1；（2）b n，即有前n项和T n3．3．设S n为等差数列{a n}的前n项和，且a2＝15，S5＝65．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}的前n项和为T n，且T n＝S n﹣10，求数列{|b n|}的前n项和R n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，则由a2＝15，S5＝65．得a1+d＝15，5a1+10d＝65，解得a1＝17，d＝﹣2，故a n＝17﹣2（n﹣1）＝﹣2n+19；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，易知，当1≤n≤9时，b n＞0；当n≥10时，b n＜0，∴1°当1≤n≤9时，2°当n≥10时，R n＝|b1|+|b2|+…+|b n|＝b1+b2+…+b9﹣（b10+b11+…+b n）．故．4．已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N*），{b n}是首项为的等比数列，且公比大于0，b2+b3＝3，b4＝a3﹣a1，S9＝b8+17．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求{a n b2n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）{b n}是首项为的等比数列，且公比q大于0，，即（q+q2）＝3，解得q＝2或﹣3（舍），{a n}为公差为d的等差数列，由b4＝a3﹣a1，可得2d＝4，即d＝2，又S9＝17+b8，可得9a5＝17+64＝81，即a1+8＝9，即a1＝1，即有a n＝2n﹣1，b n＝2n﹣2；（Ⅱ），，，，化简可得．5．已知数列{a n}满足，n∈N*，且0＜a1＜1．（1）求证：0＜a n＜1；（2）令b n＝lg（1﹣a n），且，试求无穷数列的所有项和；（3）求证：n∈N*，当n≥2时，．【解答】解：（1）当n＝1时，0＜a1＜1成立；假设当n＝k时，0＜a k＜1，当n＝k+1时，a k+1＝1﹣（1﹣a k）2，由0＜a k＜1，可得0＜a k+1＜1，即n＝k+1时，不等式成立．综上可得对n∈N*时，0＜a n＜1；（2）b n＝lg（1﹣a n），且，由1﹣a n＝（1﹣a n﹣1）2，可得lg（1﹣a n）＝2lg（1﹣a n﹣1），即b n＝2b n﹣1，可得b n＝b1•2n﹣1＝﹣2n﹣1，，即有无穷数列的所有项和为S2；（3）证明：a n﹣13+a n3﹣a n﹣12a n﹣1＝（a n﹣1﹣a n）a n﹣12+（a n3﹣1），由a n﹣a n﹣1＝a n﹣1（1﹣a n﹣1）＞0，可得a n﹣1﹣a n＜0，a n3﹣1＜0，可得a n﹣13+a n3﹣a n﹣12a n＜1，由a n3+a13﹣a n2a1﹣1＝a1（a1﹣a n）（a1+a n）+a n3﹣1＜0，可得a n3+a13﹣a n2a1＜1，则a13+a23﹣a12a2＜1，a23+a33﹣a22a3＜1，…，a n﹣13+a n3﹣a n﹣12a n＜1，a n3+a13﹣a n2a1＜1，上面各式相加可得n∈N*，当n≥2时，．。
2020年高考数学模拟卷(全国Ⅱ卷理科)
2020年高考数学模拟卷（全国Ⅱ卷理科）时间：120分钟满分：150分命卷人：* 审核人：一、选择题（每小题5分,共60分）1. 已知集合,,则( )A. B.C. D.2. 若复数满足,则( )A. B.C. D.3. 从中任取一个,则直线被圆截得的弦长大于的概率为( )A. B.C. D.4. 《张丘建算经》是早于《九章算术》的我国另一部数学著作,在《算经》中有一题:某女子善于织布,一天比一天织的快,而且每天增加的数量相同,已知第一天织布尺,天共织布尺,则该女子织布每天增加( )A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺5. 某兴趣小组合作用纸片制作了一个封闭的手工制品,并将其绘制成如图所示的三视图,其中侧视图中的圆的半径为,则制作该手工制品所需材料最少为( )A. B.C. D.6. 从某中学抽取名学生进行阅读调查,发现每年读短篇文章量都在篇至篇之间,频率分布直方图如图所示,则对这名学生的阅读量判断正确的为( )A. 的值为B. 平均数约为C. 中位数大约为D. 众数约为7. 已知的展开式中各项系数之和为,则该展开式的常数项是( )A. B.C. D.8. 已知双曲线的中心为坐标原点,焦点在坐标轴上,且双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为( )A. B.C. 或D. 或9. 已知正项数列为等比数列,为其前项和,且有,,则第2019项的个位数为( )A. 1B. 2C. 8D. 910. 已知函数 的图象在处的切线与直线 垂直.执行如图所示的程序框图,若输出的 的值为 ,则判断框中 的值可以为( )A.B.C.D.11. 已知函数在上至少存在两个不同的 满足 ,且函数 在上具有单调性, 和 分别为函数 图象的一个对称中心和一条对称轴,则下列命题中正确的是A. 函数 图象的两条相邻对称轴之间的距离为B. 函数 图象关于直线对称 C. 函数 图象关于点对称 D. 函数 在上是单调递减函数12. 已知函数 在上恒有 ,其中 为函数 的导数,若 为锐角三角形的两个内角,则（ ）A.B. C. D.二、填空题（每小题5分,共20分）13. 设满足约束条件,若目标函数的最大值与最小值之和为,则__________.14. 若向量满足，，则向量在方向上投影的最小值为__________.15. 在三棱锥中,,若平面平面,则三棱锥外接球的表面积为__________.16. 直线与抛物线交于,两点,为轴上的一点，满足,则点的坐标为__________.三、解答题（每小题12分,共60分）17. 在中,内角,,所对的边分别为,,.已知.求的值及角的取值范围.18. 如图,在平面多边形中,,,,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且,连接. (1)求证:平面平面; (2)求平面与平面所成二面角的余弦值.19. 某研究公司为了调查公众对某事件的关注程度,在某年的连续6个月内,月份 和关注人数 (单位:百) 数据做了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.(1)由散点图看出,可用线性回归模百元)与调查人数满足函数关系,求材料费用的最小值,并预测此时的调查人数; (3)现从这6个月中,随机抽取3个月份,试根据(1)中的回归方程,预测关注人数不低于1600人的月份个数分布列与数学期望. 参考公式:相关系数,若,则与的线性相关程度相当高,可用线性回归模型拟合与的关系.回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为,.20. 已知椭圆左、右焦点分别为、,上顶点为，离心率为. (1)求的方程; (2)直线与相切于点,直线过点经点被直线反射得反射光线.问:直线是否经过轴上一个定点?若经过,求出该点的坐标;若不经过,说明理由.21. 已知函数 . (1)讨论函数 的单调性; (2)当 时,令函数 ,当 时,恒有 ,求实数 的取值范围.四、选做题（每小题10分,共20分）22A. 选修4-4:在直角坐标系 中,直线 的参数方程为( 为参数).以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 . (1)求曲线 的普通方程; (2)已知 ,直线 与曲线 交于 , 两点,求的最大值.22B. 已知函数. (1)求不等式 的解集; (2)设函数,若存在 使 成立,求实数 的取值范围.2019年高考数学押题卷（全国Ⅱ卷理科）答案和解析第1题： 【答案】B【解析】由得,,即,由,得,所以,所以,所以.第2题： 【答案】C 【解析】由,得,所以,所以.第3题： 【答案】A【解析】所给圆的圆心为坐标原点,半径为,当弦长大于时,圆心到直线的距离小于,即,所以,故所求概率.第4题： 【答案】B【解析】本题可以转为等差数列问题:已知首项,前项的和,求公差. 由等差数列的前项公式可得,,解得.第5题： 【答案】D【解析】由三视图可知,该手工制品是由两部分构成,每一部分都是相同圆锥的四分之一,且圆锥的底面半径为,高为,故母线长为,故每部分的表面积为,故两部分表面积为.第6题： 【答案】C【解析】由,解得,故A 错; 由A 可知,,所以平均数为,故B 错误; 居民月用电量在的频率为:, 居民月用电量在的频率为:, ∴这户居民月用电量的中位数大约为,故C 正确; 由频率分布直方图可知,众数大约为,故D 错误.第7题： 【答案】D【解析】令,则有,所以,又展开式的通项为，令,则的展开式中含项的系数为,令,则的展开式中常数项为,故展开式的常数项为.第8题：【答案】D【解析】当双曲线的焦点在轴上时,设的方程为,则其渐近方程为,所以,所以,所以;当双曲线的焦点在轴上时,设C 的方程为,则其渐近方程为,所以,所以所以，所以.第9题：【答案】C【解析】由,得,即,又>0,所以=180,从而,由,得,即,所以,所以,又,所以,代入,得,所以，故其个位数为8.第10题： 【答案】B【解析】,则的图象在处的切线斜率,由于切线与直线垂直,则有,则,所以,所以,所以,由于输出的的值为,故总共循环了次,此时,故的值可以为.第11题： 【答案】D【解析】由于函数在上具有单调性,所以,即,所以,又由于函数在上至少存在两个不同的满足,所以,即,所以,故有,又和分别为函数图象的一个对称中心和一条对称轴,所以,,所以,,所以,故,又为函数图象的一个对称中心,所以,,所以,,又,所以,所以.由于函数的周期为,所以相邻两条对称轴之间的距离为,故A 错误;,且,故B,C 错误;由于函数的单调递减区间为,,当时,得其中的一个单调递减区间为,而,故D 正确.第12题：【答案】B 【解析】令,则,由于,且,所以,故函数在单调递增.又为锐角三角形的两个内角,则,所以,即,所以,即,所以.第13题：【答案】【解析】满足约束条件的可行域如下图:由,得,由,得,将目标函数化为,由图可知,当直线经过点时目标函数取得最小值,所以;当直线经过点B 时目标函数取得最大值,所以,所以有=,解得.第14题：【答案】 【解析】,所以,又向量在方向上投影为,当且仅当“”时取等号.第15题：【答案】【解析】取的中点,的中点,连接,因为,所以是以为斜边的直角三角形,从而点为外接圆的圆心,又,所以是以为斜边的直角三角形,从而点为外接圆的圆心,又因为,所以,又平面平面,且平面平面,所以平面,所以点为三棱锥外接球的球心,所以外接球的半径,故外接球的表面积.第16题：【答案】 【解析】设,,,把代入抛物线方程得,由可得， 所以,,因为,即, 即,所以,即,由于,所以,故.第17题：【答案】见解析【解析】(1)∵, ∴,即, ∴, ∴. 如图,过点作,为垂足.在中,,由题意可知,,所以有,从而,又因为,所以或,又,所以,即角的取值范围为.第18题：【答案】见解析【解析】(1)在中,设,由余弦定理得,, ∴, ∴,即, 又∵, ∴平面, 又∵平面, ∴, 又∵, ∴平面, 又∵平面, ∴平面平面; (2)由(1)可知,直线两两垂直,故以为原点,分别以的方向为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示:设, 则,,,从而,设为平面的一个法向量. 则,即令,则, 由(1)可知,轴平面,故平面的一个法向量, ∴,即平面与平面所成二面角的余弦值为.第19题：【答案】见解析【解析】(1), ∴, 又∵,, ∴相关系数, 由于关于的相关系数, 这说明关于的线性相关程度相当高,可用线性回归模型拟合与的关系; 又,且, ∴, ∴回归方程为(2),即调查材料最低成本为1800元,此时,所以; (3)可能的取值为0,1,2,3, 且;;;. 所以的分布列为所以.第20题：【答案】见解析 【解析】(1)设,由题意得,,又,所以有,故的方程为. (2)当直线的斜率为0时,则直线与相切于短轴的一个顶点,由椭圆的对称性可知,直线经过轴上的点. 当直线斜率存在时,设其方程为,将代入得,,整理得,,从而,所以,即,所以. 设关于直线的对称点为,则有,解得,即. 所以. 又, 所以,即,,三点共线,所以直线经过点.当直线斜率不存在时,直线即为轴,也经过点. 综上,直线经过轴上一个定点.第21题：【答案】见解析【解析】(1). ①当时,在上,,函数f(x)单调递减;在上,,函数f(x)单调递增; ②当时,在上,,函数f(x)单调递增;在上,,函数单调递减. 综上,当时,递减区间为,递增区间为;当时,递增区间为,递减区间为. (2), ∵,∴, 当时,由于,所以,即, 当时,由于,所以,即, 当时,, 综上,当时,函数单调递增, 所以由可得,即, 等价于,即, 令,, 则, 由,且,得, 当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减. 所以, 所以,即A 的取值范围为.第22A 题：【答案】见解析【解析】(1)∵, ∴, ∴,即. (2)将直线的参数方程(为参数)代入的普通方程,得, 则,所以, 所以,即的最大值为.第22B 题：【答案】见解析上,原不等式的解集为. (2)由得, 又, 所以,即,解得, 所以的取值范围为.。
专题08 数列-2022年高考真题和模拟题数学分类汇编(解析版)
专题08 数列1．【2022年全国乙卷】已知等比数列{a n }的前3项和为168，a 2−a 5=42，则a 6=（ ） A ．14 B ．12 C ．6 D ．3【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列{a n }的公比为q,q ≠0，易得q ≠1，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解. 【详解】解：设等比数列{a n }的公比为q,q ≠0， 若q =1，则a 2−a 5=0，与题意矛盾， 所以q ≠1，则{a 1+a 2+a 3=a 1(1−q 3)1−q =168a 2−a 5=a 1q −a 1q 4=42，解得{a 1=96q =12 ， 所以a 6=a 1q 5=3. 故选：D .2．【2022年全国乙卷】嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{b n }：b 1=1+1α1，b 2=1+1α1+1α2，b 3=1+1α1+1α2+1α3，…，依此类推，其中αk ∈N ∗(k =1,2,⋯)．则（ ） A ．b 1<b 5 B ．b 3<b 8C ．b 6<b 2D ．b 4<b 7【答案】D 【解析】 【分析】根据αk ∈N ∗(k =1,2,…)，再利用数列{b n }与αk 的关系判断{b n }中各项的大小，即可求解. 【详解】解：因为αk ∈N ∗(k =1,2,⋯)，所以α1<α1+1α2，1α1>1α1+1α2，得到b 1>b 2，同理α1+1α2>α1+1α2+1α3，可得b 2<b 3，b 1>b 3又因为1α2>1α2+1α3+1α4, α1+1α2+1α3<α1+1α2+1α3+1α4，故b 2<b 4，b 3>b 4；以此类推，可得b 1>b 3>b 5>b 7>⋯，b 7>b 8，故A 错误； b 1>b 7>b 8，故B 错误；1α2>1α2+1α3+⋯1α6，得b 2<b 6，故C 错误；α1+1α2+1α3+1α4>α1+1α2+⋯1α6+1α7，得b 4<b 7，故D 正确.故选：D.3．【2022年新高考2卷】中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，DD 1,CC 1,BB 1,AA 1是举， OD 1,DC 1,CB 1,BA 1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD 1OD 1=0.5,CC 1DC 1=k 1,BB 1CB 1=k 2,AA1BA 1=k 3，若k 1,k 2,k 3是公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则k 3=（ ）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.9【答案】D 【解析】 【分析】设OD 1=DC 1=CB 1=BA 1=1，则可得关于k 3的方程，求出其解后可得正确的选项. 【详解】设OD 1=DC 1=CB 1=BA 1=1，则CC 1=k 1,BB 1=k 2,AA 1=k 3，依题意，有k3−0.2=k1,k3−0.1=k2，且DD1+CC1+BB1+AA1OD1+DC1+CB1+BA1=0.725，所以0.5+3k3−0.34=0.725，故k3=0.9，故选：D4．【2022年北京】设{a n}是公差不为0的无穷等差数列，则“{a n}为递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，a n>0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】设等差数列{a n}的公差为d，则d≠0，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】设等差数列{a n}的公差为d，则d≠0，记[x]为不超过x的最大整数.若{a n}为单调递增数列，则d>0，若a1≥0，则当n≥2时，a n>a1≥0；若a1<0，则a n=a1+(n−1)d，由a n=a1+(n−1)d>0可得n>1−a1d ，取N0=[1−a1d]+1，则当n>N0时，a n>0，所以，“{a n}是递增数列”⇒“存在正整数N0，当n>N0时，a n>0”；若存在正整数N0，当n>N0时，a n>0，取k∈N∗且k>N0，a k>0，假设d<0，令a n=a k+(n−k)d<0可得n>k−a kd ，且k−a kd>k，当n>[k−a kd]+1时，a n<0，与题设矛盾，假设不成立，则d>0，即数列{a n}是递增数列.所以，“{a n}是递增数列”⇐“存在正整数N0，当n>N0时，a n>0”.所以，“{a n}是递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，a n>0”的充分必要条件.故选：C.5．【2022年浙江】已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=a n−13a n2(n∈N∗)，则（）A．2<100a100<52B．52<100a100<3C．3<100a100<72D．72<100a100<4【答案】B【解析】【分析】先通过递推关系式确定{a n}除去a1，其他项都在(0,1)范围内，再利用递推公式变形得到1 a n+1−1a n=13−a n>13，累加可求出1a n>13(n+2)，得出100a100<3，再利用1a n+1−1a n=13−a n<1 3−3n+2=13(1+1n+1)，累加可求出1a n−1<13(n−1)+13(12+13+⋯+1n)，再次放缩可得出100a100>52．【详解】∵a1=1，易得a2=23∈(0,1)，依次类推可得a n∈(0,1)由题意，a n+1=a n(1−13a n)，即1a n+1=3a n(3−a n)=1a n+13−a n，∴1a n+1−1a n=13−a n>13，即1a2−1a1>13，1a3−1a2>13，1a4−1a3>13，…，1a n−1a n−1>13,(n≥2)，累加可得1a n −1>13(n−1)，即1a n>13(n+2),(n≥2)，∴a n<3n+2,(n≥2)，即a100<134，100a100<10034<3,又1a n+1−1a n=13−a n<13−3n+2=13(1+1n+1),(n≥2)，∴1a2−1a1=13(1+12)，1a3−1a2<13(1+13)，1a4−1a3<13(1+14)，…，1a n−1a n−1<13(1+1n),(n≥3)，累加可得1a n −1<13(n−1)+13(12+13+⋯+1n),(n≥3)，∴1a100−1<33+13(12+13+⋯+199)<33+13(12×4+16×94)<39，即1a100<40，∴a100>140，即100a100>52；综上：52<100a100<3．故选：B．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.6．【2022年全国乙卷】记S n为等差数列{a n}的前n项和．若2S3=3S2+6，则公差d=_______．【答案】2【解析】【分析】转化条件为2(a1+2d)=2a1+d+6，即可得解.【详解】由2S3=3S2+6可得2(a1+a2+a3)=3(a1+a2)+6，化简得2a3=a1+a2+6，即2(a1+2d)=2a1+d+6，解得d=2.故答案为：2.7．【2022年北京】己知数列{a n}各项均为正数，其前n项和S n满足a n⋅S n=9(n=1,2,⋯)．给出下列四个结论：①{a n}的第2项小于3；②{a n}为等比数列；③{a n}为递减数列；④{a n}中存在小于1100的项．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①③④【解析】【分析】推导出a n=9an −9a n−1，求出a1、a2的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.【详解】由题意可知，∀n∈N∗，a n>0，当n=1时，a12=9，可得a1=3；当n≥2时，由S n=9an 可得S n−1=9an−1，两式作差可得a n=9an−9a n−1，所以，9a n−1=9a n−a n，则9a2−a2=3，整理可得a22+3a2−9=0，因为a2>0，解得a2=3√5−32<3，①对；假设数列{a n}为等比数列，设其公比为q，则a22=a1a3，即(9S2)2=81S1S3，所以，S22=S1S3，可得a12(1+q)2=a12(1+q+q2)，解得q=0，不合乎题意，故数列{a n}不是等比数列，②错；当n ≥2时，a n =9a n−9an−1=9(a n−1−a n )a n a n−1>0，可得a n <a n−1，所以，数列{a n }为递减数列，③对；假设对任意的n ∈N ∗，a n ≥1100，则S 100000≥100000×1100=1000， 所以，a 100000=9S100000≤91000<1100，与假设矛盾，假设不成立，④对.故答案为：①③④. 【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.8．【2022年全国甲卷】记S n 为数列{a n }的前n 项和．已知2S n n+n =2a n +1．(1)证明：{a n }是等差数列；(2)若a 4,a 7,a 9成等比数列，求S n 的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)−78． 【解析】 【分析】（1）依题意可得2S n +n 2=2na n +n ，根据a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2 ，作差即可得到a n −a n−1=1，从而得证；（2）由（1）及等比中项的性质求出a 1，即可得到{a n }的通项公式与前n 项和，再根据二次函数的性质计算可得． (1) 解：因为2S n n+n =2a n +1，即2S n +n 2=2na n +n ①，当n ≥2时，2S n−1+(n −1)2=2(n −1)a n−1+(n −1)②，①−②得，2S n +n 2−2S n−1−(n −1)2=2na n +n −2(n −1)a n−1−(n −1)， 即2a n +2n −1=2na n −2(n −1)a n−1+1，即2(n −1)a n −2(n −1)a n−1=2(n −1)，所以a n −a n−1=1，n ≥2且n ∈N*， 所以{a n }是以1为公差的等差数列． (2)解：由（1）可得a 4=a 1+3，a 7=a 1+6，a 9=a 1+8，又a 4，a 7，a 9成等比数列，所以a 72=a 4⋅a 9，即(a 1+6)2=(a 1+3)⋅(a 1+8)，解得a 1=−12， 所以a n =n −13，所以S n =−12n +n(n−1)2=12n 2−252n =12(n −252)2−6258，所以，当n =12或n =13时(S n )min =−78．9．【2022年新高考1卷】记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1=1,{S na n}是公差为13的等差数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)证明：1a 1+1a 2+⋯+1a n<2．【答案】(1)a n =n (n+1)2(2)见解析 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得S na n=1+13(n −1)=n+23，得到S n =(n+2)a n3，利用和与项的关系得到当n ≥2时，a n =S n −S n−1=(n+2)a n3−(n+1)a n−13,进而得：a nan−1=n+1n−1，利用累乘法求得a n =n (n+1)2，检验对于n =1也成立，得到{a n }的通项公式a n =n (n+1)2；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到1a 1+1a 2+⋯+1a n=2(1−1n+1)，进而证得.(1)∵a 1=1，∴S 1=a 1=1,∴S1a 1=1,又∵{S na n}是公差为13的等差数列，∴S na n=1+13(n −1)=n+23,∴S n =(n+2)a n3,∴当n ≥2时，S n−1=(n+1)a n−13，∴a n =S n −S n−1=(n+2)a n3−(n+1)a n−13,整理得：(n −1)a n =(n +1)a n−1, 即a nan−1=n+1n−1,∴a n =a 1×a2a 1×a3a 2×…×an−1a n−2×ana n−1=1×32×43×…×nn−2×n+1n−1=n(n+1)2，显然对于n=1也成立，∴{a n}的通项公式a n=n(n+1)2；(2)1 a n =2n(n+1)=2(1n−1n+1),∴1a1+1a2+⋯+1a n=2[(1−12)+(12−13)+⋯(1n−1n+1)]=2(1−1n+1)<210．【2022年新高考2卷】已知{a n}为等差数列，{b n}是公比为2的等比数列，且a2−b2= a3−b3=b4−a4．(1)证明：a1=b1；(2)求集合{k|b k=a m+a1,1≤m≤500}中元素个数．【答案】(1)证明见解析；(2)9．【解析】【分析】（1）设数列{a n}的公差为d，根据题意列出方程组即可证出；（2）根据题意化简可得m=2k−2，即可解出．(1)设数列{a n}的公差为d，所以，{a1+d−2b1=a1+2d−4b1a1+d−2b1=8b1−(a1+3d)，即可解得，b1=a1=d2，所以原命题得证．(2)由（1）知，b1=a1=d2，所以b k=a m+a1⇔b1×2k−1=a1+(m−1)d+a1，即2k−1=2m，亦即m=2k−2∈[1,500]，解得2≤k≤10，所以满足等式的解k=2,3,4,⋯,10，故集合{k |b k=a m+a1,1≤m≤500}中的元素个数为10−2+1=9．11．【2022年北京】已知Q:a1,a2,⋯,a k为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的n∈{1, 2,⋯,m}，在Q中存在a i,a i+1,a i+2,⋯,a i+j(j≥0)，使得a i+a i+1+a i+2+⋯+a i+j=n，则称Q为m−连续可表数列．(1)判断Q:2,1,4是否为5−连续可表数列？是否为6−连续可表数列？说明理由；(2)若Q:a1,a2,⋯,a k为8−连续可表数列，求证：k的最小值为4；(3)若Q:a1,a2,⋯,a k为20−连续可表数列，且a1+a2+⋯+a k<20，求证：k≥7．【答案】(1)是5−连续可表数列；不是6−连续可表数列．(2)证明见解析．(3)证明见解析．【解析】【分析】（1）直接利用定义验证即可；（2）先考虑k≤3不符合，再列举一个k=4合题即可；（3）k≤5时，根据和的个数易得显然不行，再讨论k=6时，由a1+a2+⋯+a6<20可知里面必然有负数，再确定负数只能是−1，然后分类讨论验证不行即可．(1)a2=1，a1=2，a1+a2=3，a3=4，a2+a3=5，所以Q是5−连续可表数列；易知，不存在i,j使得a i+a i+1+⋯+a i+j=6，所以Q不是6−连续可表数列．(2)若k≤3,设为Q:a,b,c,则至多a+b,b+c,a+b+c,a,b,c，6个数字，没有8个，矛盾；当k=4时,数列Q:1,4,1,2，满足a1=1，a4=2，a3+a4=3，a2=4，a1+a2=5，a1+a2+ a3=6，a2+a3+a4=7，a1+a2+a3+a4=8，∴k min=4．(3)Q:a1,a2,⋯,a k，若i=j最多有k种，若i≠j，最多有C k2种，所以最多有k+C k2=k(k+1)种，2=15个数，矛盾,若k≤5，则a1,a2,…,a k至多可表5(5+1)2=21个数，从而若k<7,则k=6，a,b,c,d,e,f至多可表6(6+1)2而a+b+c+d+e+f<20，所以其中有负的，从而a,b,c,d,e,f可表1~20及那个负数（恰21个），这表明a~f中仅一个负的，没有0，且这个负的在a~f中绝对值最小，同时a~f中没有两数相同,设那个负数为−m(m≥1)，则所有数之和≥m+1+m+2+⋯+m+5−m=4m+15，4m+15≤19⇒m=1，∴{a,b,c,d,e,f}={−1,2,3,4,5,6}，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足20个，∵1=−1+2（仅一种方式），∴−1与2相邻，若−1不在两端,则"x , −1 , 2 , __,__,__"形式，若x=6，则5=6+(−1)（有2种结果相同，方式矛盾），∴x≠6，同理x≠5,4,3，故−1在一端，不妨为"−1 ,2, A, B, C, D"形式，若A=3,则5=2+3（有2种结果相同，矛盾），A=4同理不行，A=5，则6=−1+2+5（有2种结果相同，矛盾），从而A=6，由于7=−1+2+6,由表法唯一知3,4不相邻,、故只能−1,2,6,3,5,4，①或−1,2,6,4,5,3，②这2种情形，对①：9=6+3=5+4，矛盾，对②：8=2+6=5+3，也矛盾，综上k≠6∴k≥7．【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为m−可表数列核心就是是否存在连续的几项（可以是一项）之和能表示从1到m中间的任意一个值．本题第二问k≤3时，通过和值可能个数否定k≤3；第三问先通过和值的可能个数否定k≤5，再验证k=6时，数列中的几项如果符合必然是{−1,2,3,4,5,6}的一个排序，可验证这组数不合题．12．【2022年浙江】已知等差数列{a n}的首项a1=−1，公差d>1．记{a n}的前n项和为S n(n ∈N∗)．(1)若S4−2a2a3+6=0，求S n；(2)若对于每个n∈N∗，存在实数c n，使a n+c n,a n+1+4c n,a n+2+15c n成等比数列，求d的取值范围．(n∈N∗)【答案】(1)S n=3n2−5n2(2)1<d≤2【解析】【分析】（1）利用等差数列通项公式及前n项和公式化简条件，求出d，再求S n；(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求d的范围.(1)因为S4−2a2a3+6=0，a1=−1，所以−4+6d−2(−1+d)(−1+2d)+6=0，所以d 2−3d =0，又d >1， 所以d =3， 所以a n =3n −4， 所以S n =(a 1+a n )n2=3n 2−5n2，(2)因为a n +c n ，a n+1+4c n ，a n+2+15c n 成等比数列， 所以(a n+1+4c n )2=(a n +c n )(a n+2+15c n )，(nd −1+4c n )2=(−1+nd −d +c n )(−1+nd +d +15c n )，c n 2+(14d −8nd +8)c n +d 2=0，由已知方程c n 2+(14d −8nd +8)c n +d 2=0的判别式大于等于0，所以Δ=(14d −8nd +8)2−4d 2≥0，所以(16d −8nd +8)(12d −8nd +8)≥0对于任意的n ∈N ∗恒成立， 所以[(n −2)d −1][(2n −3)d −2]≥0对于任意的n ∈N ∗恒成立， 当n =1时，[(n −2)d −1][(2n −3)d −2]=(d +1)(d +2)≥0， 当n =2时，由(2d −2d −1)(4d −3d −2)≥0，可得d ≤2 当n ≥3时，[(n −2)d −1][(2n −3)d −2]>(n −3)(2n −5)≥0， 又d >1 所以1<d ≤21．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））在等差数列{}n a 中，35a =，1511109a a +=，则15a a ⋅=（ ）A ．92B ．9C ．10D ．12【答案】B 【解析】 【分析】将已知等式变形，由等差数列下标和计算即可得到结果. 【详解】 由1511109a a +=得：153********a a a a a a a +==，315995aa a ∴⋅==.故选：B.2．（2022·福建省德化第一中学模拟预测）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若728S =，则237a a a ++的值为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．14【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式，求得44a =，结合等差数列的性质，化简得到27433a a a a =++，即可求解. 【详解】因为728S =，由等差数列的性质和求和公式得17747()7282a a S a +===，即44a =， 则112374393(3)312a d a a a a a d =+=+==++. 故选：C.3．（2022·北京·北大附中三模）已知数列{}n a 满足2123n a a a a n =，其中1,2,3,n =，则数列{}n a （ ） A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项 D ．无最大项，无最小项【答案】A 【解析】 【分析】求得数列{}n a 的通项公式，再分析数列的单调性即可 【详解】依题意，因为2123n a a a a n =，其中1,2,3,n =，当1n =时，2111a ==，当2n ≥时，21231(1)n a a a a n -=-，2123n a a a a n =，两式相除有22211,2(1)1n n a n n n ⎛⎫=+≥ ⎪--⎝⎭=，易得n a 随着n 的增大而减小，故24n a a ≤=，且11n a a >=，故最小项为11a =，最大项为24a = 故选：A4．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知数列{}()*N n a n ∈是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若1a 、数列{}2n a 的第2项、数列{}2n a 的第5项恰好构成等比数列，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．21n a n =- B ．21n a n =+ C ．1n a n =- D ．1n a n =+【答案】A 【解析】 【分析】根据题意设()11n a n d =+-，所以()2121n d a n =+-，()2211n d a n =+-，所以1，13d +，124d +构成等比数列，即()()2131124d d +=⨯+，求出d 即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为()0d d >，所以()11n a n d =+-，所以()2121n d a n =+-， ()2211n d a n =+-，又1a 、数列{}2n a 的第2项、数列{}2n a 的第5项恰好构成等比数列，即1，13d +，124d +构成等比数列，所以()()2131124d d +=⨯+， 解得2d =，0d =（舍去），所以21n a n =-. 故选：A.5．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，若存在实数λ使{}n a 是等差数列，则{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．2λD ．λ【答案】B 【解析】 【分析】利用1(2)n n n S S a n --=≥得{}n a 的递推关系，从而求得λ与公差d 的关系，再由21a a d -=求得d ．【详解】 设公差为d ，因为11n n n a a S λ+=-，所以2n ≥时，111n n n a a S λ--=-， 两式相减得：111()()n n n n n n a a a S S a λλ+---=-=， 因为0n a ≠，所以112n n a a d λ+--==，由1211a a S λ=-121da =-得221a d =-．从而21211a a d d -=--=，2d =， 故选：B ．6．（2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）已知正项等比数列{}n a 满足3212a a a =+，若存在m a 、n a ，使得2116m n a a a ⋅=，则14m n+的最小值为（ ） A ．83B ．16C ．114 D ．32【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，根据已知条件求出q 的值，由已知条件可得出6m n +=，将代数式14m n +与()16m n +相乘，利用基本不等式可求得14m n+的最小值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由3212a a a =+可得220q q --=，解得2q，因为2116m n a a a ⋅=，则2112112216m n a a --⋅⋅=，24m n ∴+-=，可得6m n +=，由已知m 、N n *∈，所以，()1411414566m n m n m n m n n m ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13562⎛≥+= ⎝， 当且仅当24n m ==时，等号成立， 因此，14m n +的最小值为32. 故选：D.7．（2022·浙江·三模）设数列{}n a 满足()21192,24n n n a a a n N a *+=-+∈=，记数列221n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项的和为n S ，则（ ） A ．10127a < B ．存在k *∈N ，使1k k a a += C ．1012S < D ．数列{}n a 不具有单调性【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意求得54n a ≥，进而得到132n a +-与32n a -同号，结合作差法比较法，可判定B 、D 错误；由()()11214n n n n a a a a +-=--+，得到114n n a a +-≥，利用叠加法，可判定A 错误；化简得到1111133222n n n a a a +=----，利用裂项法求和，可判定C 正确. 【详解】由于()211551,244n n a a a +=-+≥=，则54n a ≥，又由21333122422n n n n n a a a a a +⎛⎫⎛⎫-=-+=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则132n a +-与32n a -同号． 又由12a =，则32n a >，可得221933042n n nn n a a a a a +⎛⎫-=-+=-> ⎪⎝⎭， 所以数列{}n a 单调递增，故B 、D 错误； 又因为()()11214n n n n a a a a +-=--+， 由数列{}n a 单调递增，且12a =，所以20,10n n a a ->->，所以114n n a a +-≥， 累加得1011100254a a -≥=，所以10127a ≥，故A 错误； 由21924n nn a a a +=-+可得1111133222n n n a a a +=----， 因为12n a a >=，所以101110211112333222S a a a =-<=---，故C 正确．故选：C ．8．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））数列{}n a 为等差数列，前n 项的和为n S ，若10110a <，101110120a a +>，则当0n S <时，n 的最大值为（ ）A ．1011B ．1012C ．2021D ．2022【答案】C 【解析】 【分析】分析数列{}n a 的单调性，计算2021S 、2022S ，即可得出结论. 【详解】因为10110a <，101110120a a +>，则10120a >，故数列{}n a 为递增数列， 因为()12021202110112021202102a a S a +==<，()()120222022101110122022101102a a S a a +==+>，且当1012n ≥时，10120n a a ≥>，所以，当2022n ≥时，20220n S S ≥>， 所以，满足当0n S <时，n 的最大值为2021. 故选：C.9．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()552sin 2350a a +--=，()201820182sin 2370a a +--=，则下列结论正确的是（ ） A ．20222022S =，且52018a a > B ．20222022S =-，且52018a a < C ．20224044S =-，且52018a a > D ．20224044S =，且52018a a <【答案】C 【解析】 【分析】根据题意构造函数()2sin 3f x x x =-，确定函数的奇偶性及单调性，进而根据()()520182,2f a f a ++的关系即可确定答案.【详解】设函数()2sin 3f x x x =-，则()f x 为奇函数，且()2cos 30f x x '=-<，所以()f x 在R 上递减，由已知可得()()552sin 2321a a +-+=-，()()201820182sin 2321a a +-+=，有()521f a +=-，()201821f a +=，所以()()5201822f a f a +<+，且()()5201822f a f a +=-+，所以520185201822a a a a +>+⇒>，且()5201822a a +=-+，所以520184a a +=-，120222022520182022()1011()40442a a S a a +==+=-.故选：C.10．（2022·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足对任意的*n ∈N ，总存在*m ∈N ，使得n m S a =，则n a 可能等于（ ） A ．2022n B ．2022n C ．22022n D ．2022n【答案】B 【解析】 【分析】A 选项，利用等比数列求和公式列出方程，令n ＝2时，得到120222023m -=，m 不存在，A 错误；B 选项，利用等差数列求和公式进行求解得到方程()101112022n n m +=，取()12n n m +=即可，C 选项，利用平方和公式得到()()21216n n n m ++=，当n ＝2时，25m =，m 不存在；D 选项，当n ＝2时，1112m+=，m 不存在. 【详解】对于选项A ：当2022nn a =时，则{}n a 是等比数列，因为n m S a =所以()20222022120222021n m -=，当n ＝2时，120222023m -=，m 不存在，A 错误；对于选项B ：当2022n a n =时，{}n a 是等差数列，因为n m S a =，则()()120221*********n n n S n n m +=⨯=+=，取()12n n m +=即可，B 正确； 对于选项C ：当22022n a n =时，n m S a =，则()()()2222121202212202220226n n n n S n m ++=⨯++⋅⋅⋅+=⨯=，当n ＝2时，25m =，m 不存在，C 错误； 对于选项D ：当2022n a n =时，n m S a =，则11120222022123n m ⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪⎝⎭，当n ＝2时，1112m+=，m 不存在，D 错误． 故选：B ．11．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知数列{}n a 各项都不为0，121,3a a ==且满足141n n n a a S +=-，(1)求{}n a 的通项公式； (2)若114n n n a b a -=-，{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 取得最小值时的n 的值． 【答案】(1)21n a n =-； (2)7n =. 【解析】 【分析】（1）由141n n n a a S +=-得2n ≥时，1141n n n a a S --=-， ①-②得114n n a a +--=，分奇偶项即可求出n a （2）由114n n n a b a -=-得22215n n b n -=-，当7n ≤时，0n b ≤，当7n >时，0n b > 当7n =时，n T 取得最小值 (1)141n n n a a S +=-①当2n ≥时，1141n n n a a S --=-② ①-②114n n n n n a a a a a +-⇒-=0n a ≠114n n a a +-∴-={}n a ∴的奇数项和偶数项各自成等差数列且121,3a a ==()()21141432211,21(n n a n n n a n n -∴=+-=-=--∴=-为奇数），()234141221,21n n a n n n a n =+-=-=⋅-∴=-（n 为偶数),21n a n ∴=-(2)22131215215n n b n n -==+--，当7n ≤时，0n b ≤， 当7n >时，0n b >∴当7n =时，n T 取得最小值12．（2022·福建·厦门双十中学模拟预测）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知19a =，2a 为整数，且5n S S ≤. (1)求{}n a 的通项公式； (2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)112n a n =- (2)()992n nT n =-【解析】 【分析】（1）根据题意得公差d 为整数，且50a ≥，60a ≤，分析求出d 即可；（2）111292112n b n n ⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，再利用裂项相消法求和即可.(1)由19a =，2a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数. 又5n S S ≤，故50a ≥，60a ≤. 于是940d +≥，950d +≤，解得9945d -≤≤-， 因此2d =-，故数列{}n a 的通项公式为112n a n =-. (2)()()111111292292112n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，于是1211111112795792112n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1112929992n n n ⎛⎫=-= ⎪--⎝⎭. 13．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（理））已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且22b =，34b =，11a b =，851a b +=．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； (2)设11n n n a c b ++=，数列{}n c 的前n 项和为n S ，若不等式12n n nS λ-<+对任意的*n ∈恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】(1)21n a n =-，12n n b -=；(2)(),2-∞. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列()11n a a n d +-=，等比数列11n n b b q -=代入计算；（2）利用错位相减法可得1242n n n S -+=-，令2142nn c -=-，由{}n c 为递增数列，结合恒成立思想可得答案． (1)解：因为数列{}n b 是等比数列，则可得2123124b b q b b q ==⎧⎨==⎩，解得112b q =⎧⎨=⎩， 所以12n n b -=．因为数列{}n a 是等差数列，且111a b ==，8117116a a d +=++=，则公差2d =， 所以()12121n a n n =+-=-．故21n a n =-，12n n b -=；(2)解：由（1）得：1112n n n n a nc b -++==， 数列{}n c 的前n 项和为121231222n n nS -=+++⋅⋅⋅+①所以22111231222222n n n n n S --=+++⋅⋅⋅++②由①-②得：121111112121222222222n n n n n n n n n S -+⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-=--=- ⎪⎝⎭，所以1242n n n S -+=-．不等式12n n n S λ-<+恒成立，化为不等式2142n λ-<-恒成立，令2142n n c -=-且{}n c 为递增数列，即转化为()min n c λ<当1n =时，()12min 1422n c -=-=，所以2λ<． 综上可得：实数λ的取值范围是(),2-∞．14．（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）已知等差数列{}n a 满足11a =，且前四项和为28，数列{}n b 的前n 项和n S 满足()233n n S b R λλ=-∈.(1)求数列{}n a 的通项公式，并判断{}n b 是否为等比数列；(2)对于集合A ，B ，定义集合{}A B x x A x B -=∈∉且.若1λ=，设数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合A ，B ，将集合A B -的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 的前30项和30T .【答案】(1)43n a n =-，判断答案见解析 (2)1926 【解析】 【分析】（1）根据等数列的前n 项和公式和通项公式可求出{}n a 的通项公式，根据等比数列的定义可判断{}n b 是否为等比数列；（2）结合等差数列的前n 项和，等差数列与等比数列的通项公式可求出结果. (1)∵{}n a 是等差数列，11a =，且前四项和为28， ∵43441282S d ⨯=⨯+⨯=，解得4d =∵()14143n a n n =+-=-.∵233n nn S b λ=-，∵当2n ≥时，11233n n S b λ--=-，两式相减得()12332n n n b b b n -=-≥， 即()132n n b b n -=≥，又11233b b λ=-∵13b λ=∵当0λ=时，数列{}n b 的通项公式为0n b =.不是等比数列当0λ≠时，数列{}n b 是首项为，公比为3的等比数列，∵3nn b λ=.(2)由（1）知3nn b =，则4581,243b b ==因为304303127a =⨯-=， 所以4305b a b <<，所以，30T 中要去掉{}n b 的项最多4项，即3,9,27,81， 其中9,81是{}n a 和{}n b 的公共项，所以数列{}n c 的前30项和30T 由{}n a 的前32项和，去掉9,81， ()()()330122321+1259+81=-90=19262a a a T ⨯=++⋅⋅⋅+-所以数列{}n c 的前30项和30T 为1926.15．（2022·浙江省江山中学模拟预测）在数列{}n a 中，121,2a a ==，且对任意的n *∈N ，都有2132n n n a a a ++=-． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若{}1234A x x x x x x x =<<<<或，定义集合A 的长度为4321x x x x -+-．已知数列{}n b 的通项公式为()()()()12111n n na xb n a x a x a x *=∈+++N ，若关于x 不等式1220221b bb +++>的解集A ，求集合A 的长度． 【答案】(1)12n na(2)101121(1)34-【解析】 【分析】(1)构造等比数列结合累加法即可求通项；(2)根据不等式特点，巧用作差转换成高次不等式求解. (1)21211()322n n n n n n n a a a a a a a +++++==-⇒--，211a a -=，所以112n n n a a -+-=，12112132112()()()11221212n n n n n n a a a a a a a a -----=+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+=+=-，即12n na ；(2) 因为()()()()12111n n na xb n a x a x a x *=∈+++N ，1220221b bb +++>即就是2021202124211(1)(21)(1)(21)(41)(1)(21)(2+1)x x x x x x x x x x x x x +++⋅⋅⋅+>++++++++⋅⋅⋅， 2021202124211(1)(21)(1)(21)(41)(1)(21)(2+1)11x x x x x x x x x x x x x x ++⋅⋅⋅+>-=+++++++⋅⋅⋅++，2021202142121(1)(21)(41)(1)(21)(2+1)1(1)(21)(1)(21)x x x x x x x x x x x x x x +⋅⋅⋅+>-=+++++⋅⋅⋅+++++，⋅⋅⋅，202110(1)(21)(41)(2+1)x x x x >+++⋅⋅⋅，即2021(1)(21)(41)(2+1)0x x x x +++⋅⋅⋅<，根据数轴标根法可知不等式的解集为1|12A x x ⎧=-<<-⎨⎩或1148x -<<-或⋅⋅⋅或202020211122x ⎫-<<-⎬⎭，集合A 的长度为10112021101111[1()]1112124(1)12823414-++⋅⋅⋅+==--. 【点睛】数列求通项分方法有构造等比或等差数列法，累加法，累乘法等.。
2020年高考理科数学模拟试题含答案及解析5套)
绝密 ★ 启用前2020年高考模拟试题（一）理科数学时间：120分钟 分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a ，b 都是实数，那么“22a b >”是“22a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为（ ）A ．,02p ⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,08p ⎛⎫⎪⎝⎭C ．0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8p ⎛⎫ ⎪⎝⎭3．十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则行车路线共有（ ）A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种4．设x ，y 满足约束条件36020 0,0x y x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩---≤≥≥≥，则目标函数2z x y =-+的最小值为（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．2 5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（ ）A ．5B ．34C ．41D ．526． ()()()()sin ,00,xf x x x=∈-ππ大致的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号7．函数()sin cos (0)f x x x ωωω=->ω的取值不可能为（ ） A ．14B ．15C ．12D ．348．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数ay x =，()0,x ∈+∞是增函数的概率为（ ） A ．35B ．45C ．34D ．37开始输出y结束是否3x =-3x ≤22y x x=+1x x =+9．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（ ） A ．(),1-∞-B ．(),2-∞-C ．(),3-∞-D ．(),4-∞-10．在四面体ABCD 中，若AB CD ==，2AC BD ==，AD BC ==体ABCD 的外接球的表面积为（ ） A ．2π B ．4πC ．6πD ．8π11．设1x =是函数()()32121n n n f x a x a x a x n +++=--+∈N 的极值点，数列{}n a 满足11a =，22a =，21log n n b a +=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b b b b ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦=（ ）A ．2017B ．2018C ．2019D ．202012．[]0,1上单调递增，则实数a 的取值范围（ ） A ．()1,1- B ．()1,-+∞C ．[]1,1-D ．(]0,+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13．命题“00x ∃>，20020x mx +->”的否定是__________．14．在ABC △中，角B2π3C =，BC =，则AB =__________．15．抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且满足4AFBF =，点O 为原点，则AOF △的面积为__________．16．已知函数()()2cos2cos0222xxxf x ωωωω=+>的周期为2π3，当π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()()g x f x m=+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题：共70分。
2020届高三第二次模拟考试数学(理科)试题 Word版含解析
2020年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1.设351i z i i=++，则z =（ ）A. 2B.12C.22D.102【★答案★】C 【解析】 【分析】根据复数运算法则求得1122z i =-+，根据模长的定义求得结果. 【详解】()351111222i i i z i i i i --=+=+=-++ 112442z ∴=+= 本题正确选项：C【点睛】本题考查复数模长的求解问题，关键是能够通过复数的运算求得复数，属于基础题. 2.已知集合{}2670A x x x =--<，{}B x x x ==-，则A B =（ ）A. (]1,0-B. (]7,0-C. [)0,7D. [)0,1【★答案★】A 【解析】 【分析】分别求解出集合A 和集合B ，根据交集的定义求得结果. 【详解】{}()26701,7A x x x =--<=-，{}(],0B x x x ==-=-∞(]1,0A B ∴=-本题正确选项：A【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 3.函数()()22ln x xf x x -=+的图象大致为（ ）A. B.C. D.【★答案★】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数，图象关于y 轴对称，排除D ；根据()0,1x ∈时，()0f x <，排除,A C ，从而得到正确选项.【详解】()f x 定义域为{}0x x ≠，且()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C . 本题正确选项：B【点睛】本题考查函数图象的辨析，关键是能够通过函数的奇偶性、特殊值的符号来进行排除. 4.已知向量a ，b 满足||2a =，||1b =，且||2b a -=则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ） A.22B.23C.24D.25【★答案★】C 【解析】 分析】先由向量模的计算公式，根据题中数据，求出12a b ⋅=，再由向量夹角公式，即可得出结果. 【详解】因为向量a ，b 满足||2a =，||1b =，且||2b a -=，所以2||2-=b a ，即2222+-⋅=b a a b ，因此12a b ⋅=， 所以12cos ,422⋅<>===a b a b a b. 故选：C【点睛】本题主要考查由向量的模求向量夹角余弦值，熟记向量夹角公式，以及模的计算公式即可，属于常考题型.5.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的准线l 与圆22:(1)(2)16M x y -+-=相切，则(p = )A. 6B. 8C. 3D. 4【★答案★】D 【解析】 【分析】根据题意，求出圆的圆心为()1,2和半径为4，以及抛物线的准线方程:2pl y =-，利用直线与圆相切的性质得出242p+=，即可求出p 的值． 【详解】解：由题可知，圆22:(1)(2)16M x y -+-=的圆心为()1,2，半径为4，抛物线2:2(0)C x py p =>的准线:2p l y =-与圆22:(1)(2)16M x y -+-=相切， 则有242p+=，解得：4p =． 故选：D .【点睛】本题考查圆的标准方程和抛物线的简单性质，以及直线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查．6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1231112a a a ++=，22a =，则3S =（ ） A. 8B. 7C. 6D. 4【★答案★】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，得到13123322123132221111a a a a a S a a a a a a a a +++++=+==，结合题中数据，即可得出结果.【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1231112a a a ++=，22a =， 则13123321231322111124a a a a a S a a a a a a a +++++=+===,则38S =. 故选A【点睛】本题考查等比数列的性质，熟记等比数列的性质即可，属于常考题型. 7.“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（ ）（参考数据：32.09460.8269≈）A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413【★答案★】A 【解析】 【分析】先设圆的半径为r ，表示出圆的面积和正六边形的面积，再由题中所给概率，即可得出结果. 【详解】设圆的半径为r ，则圆的面积为2r π，正六边形的面积为213336222r r r ⨯⨯⨯=，因而所求该实验的概率为22333320.82692rr ππ==，则33 3.141920.8269π=≈⨯.故选A【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型. 8.已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（ ） A.π6B.π3C.2π3D.5π6【★答案★】B 【解析】 【分析】先由最小正周期，求出ω，再由对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭恒成立，得到2,3k k Z πϕπ=+∈，进而可得()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，求出其单调递减区间，即可得出结果. 【详解】因为函数()()cos f x x ωϕ=+的最小正周期为π，所以22πωπ==，又对任意的x ，都使得()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 在3x π=上取得最小值，则223k πϕππ+=+，k Z ∈， 即2,3k k Z πϕπ=+∈，所以()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ，则函数()y f x =在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故a 的最大值是3π.故选B【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力.9.已知函数||2()2x f x x =+，设21(log )3m f =，0.1(7)n f -=，()4log 25p f =，则m ，n ，p 的大小关系为（ ） A. m p n >> B. p n m >>C. p m n >>D. n p m >>【★答案★】C 【解析】 【分析】先由函数奇偶性的概念判断函数()f x 的奇偶性，再得到其单调性，确定21log 3，0.17-，4log 25的范围，即可得出结果.【详解】因为()22xf x x =+，所以()222()2()xxf x x x f x --=+-=+=，因此()22xf x x =+为偶函数，且易知函数()f x 在()0,∞+上单调递增，又()221log log 31,23=∈，()0.170,1-∈，()42log 25log 52,3=∈， 所以0.1421log 25log 73->>， 因此p m n >>. 故选C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，熟记函数性质即可，属于常考题型.10.已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A. x 2212y -=1B. 22134x y -= C. 221169x y -= D. 221916x y -=【★答案★】D 【解析】 【分析】由向量的加减运算和数量积的性质，可得221||||2AF F F c ==，由双曲线的定义可得1||22AF a c =+，再由三角形的余弦定理，可得35c a =，45c b =，即可判断出所求双曲线的可能方程． 【详解】解：由题可知，1212F A F F F A →→→=-+，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，即为2221210F F F F A F F A →→→→⎛⎫+⋅ ⎛⎫-+⎪⎝ ⎭⎪⎭=⎝， 可得21222F AF F →→=，即有221||||2AF F F c ==，由双曲线的定义可知122AF AF a -=， 可得1||22AF a c =+， 由于过F 2的直线斜率为247， 所以在等腰三角形12AF F 中，2124tan 7AF F ∠=-， 则217cos 25AF F ∠=-， 由余弦定理得：22221744(22)cos 25222c c a c AF F c c+-+∠=-=，化简得：35c a =， 即35a c =，45b c =， 可得:3:4a b =，22:9:16a b =，所以此双曲线的标准方程可能为：221916x y -=.故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质，以及三角形的余弦定理，考查运算能力，属于中档题．11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1B P平面1A BM ，则1C P 的最小值是（ ）A.305 B.2305C. 275D.475【★答案★】B【解析】 【分析】在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD ，根据面面平行的判定定理可知平面1//B QDN 平面1A BM ，从而可得P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）；由垂直关系可知当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值；利用面积桥和勾股定理可求得最小值.【详解】如图，在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD//DN BM ，1//DQ A M 且DNDQ D =，1BMA M M =∴平面1//B QDN 平面1A BM ，则动点P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）又1CC ⊥平面ABCD ，则当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值此时，22212512CP ⨯==+ 2212230255C P ⎛⎫∴≥+= ⎪⎝⎭本题正确选项：B【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹及最值的求解问题，关键是能够通过面面平行关系得到动点的轨迹，从而找到最值取得的点.12.已知函数()2ln 2xx f x e x =+-的极值点为1x ，函数()2xg x e x =+-的零点为2x ，函数()ln 2xh x x=的最大值为3x ，则（ ） A. 123x x x >> B. 213x x x >>C. 312x x x >>D. 321x x x >>【★答案★】A 【解析】 【分析】根据()f x '在()0,∞+上单调递增，且11024f f ⎛⎫⎛⎫''⋅<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知导函数零点在区间11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内，即()f x 的极值点111,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；根据()g x 单调递增且11024g g ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知211,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；通过判断()()12g x g x >，结合()g x 单调性可得12x x >；利用导数可求得()max 1124h x e =<，即314x <，从而可得三者的大小关系. 【详解】()1x f x e x x'=+-在()0,∞+上单调递增且1213022f e ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，14115044f e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭111,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭且11110x e x x +-= 函数()2xg x e x =+-在()0,∞+上单调递增且1213022g e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，14112044g e ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭211,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭又()()11111211112220xg x e x x x g x x x ⎛⎫=+-=-+-=->=⎪⎝⎭且()g x 单调递增 12x x ∴> 由()21ln 2x h x x-'=可得：()()max 12h x h e e ==，即31124x e =< 123x x x ∴>>本题正确选项：A【点睛】本题考查函数极值点、零点、最值的判断和求解问题，涉及到零点存在定理的应用，易错点是判断12,x x 大小关系时，未结合()g x 单调性判断出()()12g x g x >，造成求解困难. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把★答案★填在答题卡中的横线上.13.设x ，y 满足约束条件2020260x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最小值是________.【★答案★】0 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线0x y +=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知当:0l x y +=平移到过点(2,2)-时，min 0z =.【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力. 14.某公司对2019年1～4月份的获利情况进行了数据统计，如表所示：利用线性回归分析思想，预测出2019年8月份的利润为11.6万元，则y 关于x 的线性回归方程为_____【★答案★】0.954y x =+ 【解析】 【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，结合已知列关于b 与a 的方程组，求解即可得到y 关于x 的线性回归方程.【详解】解：由已知表格中的数据可得，12342.54x +++==，56 6.5825.544y +++==，∴25.52.54b a =+，① 又11.68b a =+，②联立①②解得：0.95b =，4a =.∴y 关于x 的线性回归方程为0.954y x =+.故★答案★为：0.954y x =+.【点睛】本题考查线性回归方程，直接利用公司计算即可，属于基础题15.若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为_______. 【★答案★】8π. 【解析】 【分析】作出圆柱与其外接球的轴截面，结合题中数据，求出外接球半径，再由球的表面积公式，即可得出结果.【详解】作出圆柱与其外接球的轴截面如下：设圆柱的底面圆半径为r ，则2BC r =，所以轴截面的面积为()224ABCD S r ==正方形，解得1r =，因此，该圆柱的外接球的半径2222222BD R +===， 所以球的表面积为()2428S ππ==.故★答案★8π【点睛】本题主要考查圆柱外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型.16.数列{}n a 为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出11a =，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是21a =，32a =，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是41a =，51a =，62a =，73a =，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则2019a =______. 【★答案★】1 【解析】 【分析】根据数列构造方法可知：21n a n -=，即()21121n nk k a a k -+=≤<-；根据变化规律可得20192a a =，从而得到结果.【详解】由数列{}n a 的构造方法可知11a =，32a =，73a =，154a =，可得：21n a n -= 即：()21121n nk k a a k -+=≤<-201999648523010340921a a a a a a a a ∴========本题正确结果：1【点睛】本题考查根据数列的构造规律求解数列中的项，关键是能够根据构造特点得到数列各项之间的关系，考查学生的归纳总结能力.三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求A 的大小； （2）若2a =，π3B =，求ABC ∆的面积.【★答案★】(1) 4A π=.(2) 334ABC S ∆+=【解析】 【分析】（1）先由正弦定理，将2sin sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭化为222bc b c a a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，结合余弦定理，即可求出角A ；（2）先求出sin C ，再由正弦定理求出b ，根据三角形面积公式，即可得出结果.【详解】（1）因为2sin sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得：222bc b c a a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 即2222b c a bc +-=，再由余弦定理可得2cos 2bc A bc =，即2cos 2A =, 所以4A π=；（2）因为3B π=，所以()62sin sin 4C A B +=+=， 由正弦定理sin sin a b A B=，可得3b =. 133sin 24ABC S ab C ∆+==. 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理、余弦定理即可，属于常考题型.18.如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，A 1D 与AD 1交于点E ，AA 1＝AD ＝2AB ＝4.（1）证明：AE ⊥平面ECD.（2）求直线A 1C 与平面EAC 所成角的正弦值. 【★答案★】（1）证明见解析；（2）69【解析】 【分析】（1）证明AA 1⊥CD，CD⊥AD，推出CD⊥平面AA 1D 1D ，得到CD⊥AE.证明AE⊥ED.即可证明AE⊥平面ECD ；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解直线A 1C 与平面EAC 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是直四棱柱， 所以AA 1⊥平面ABCD ，则AA 1⊥CD.又CD ⊥AD ，AA 1∩AD ＝A ，1,AA AD ⊂平面AA 1D 1D ， 所以CD ⊥平面AA 1D 1D ，所以CD ⊥AE.因为AA1⊥AD，AA1＝AD，所以AA1D1D是正方形，所以AE⊥ED.又CD∩ED＝D，,CD ED⊂平面ECD.所以AE⊥平面ECD.（2）如图，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以1AA所在直线为z轴，建立如图所示的坐标系，A1D与AD1交于点E，AA1＝AD＝2AB＝4.A（0，0，0），A1（0，0，4），C（2，4，0），D（0，4，0），所以E（0，2，2），(0,2,2)AE=，(2,4,0)AC=，1AC=（2，4，﹣4），设平面EAC的法向量为n=（x，y ，z），可得n ACn AE⎧⋅=⎨⋅=⎩，即240220x yy z+=⎧⎨+=⎩，不妨n=（﹣2，1，-1），所以直线A1C与平面EAC 所成角的正弦值为11||444|46966|636nA CA Cn⋅-++===⋅.【点睛】本题主要考查空间直线平面的位置关系的证明，考查空间线面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.某工厂预购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取工厂60元，对于提供的软件服务每次10元；方案二：软件服务公司每日收取工厂200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．（1）设日收费为y 元，每天软件服务的次数为x ，试写出两种方案中y 与x 的函数关系式； （2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由．【★答案★】(1) 方案一中:1060,y x x N =+∈,方案二：200,15,20100,15,x x Ny x x x N ≤∈⎧=⎨->∈⎩.(2) 从节约成本的角度考虑，选择方案一. 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，建立等量关系，即可得出所需函数关系；（2）分别设两种方案的日收费为X ，Y ，由题中条形图，得到X ，Y 的分布列，求出对应期望，比较大小，即可得出结果.【详解】（1）由题可知，方案一中的日收费y 与x 的函数关系式为1060,y x x N =+∈方案二中的日收费y 与x 的函数关系式为200,15,20100,15,x x Ny x x x N ≤∈⎧=⎨->∈⎩.（2）设方案一种的日收费为X ，由条形图可得X 的分布列为X190 200 210 220 230 P0.10.40.10.20.2所以()1900.12000.42100.12200.22300.2210E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元） 方案二中的日收费为Y ，由条形图可得Y 的分布列为Y200 220 240 P0.60.20.2()2000.62200.22400.2212E Y =⨯+⨯+⨯=（元）所以从节约成本的角度考虑，选择方案一.【点睛】本题主要考查函数的应用，以及离散型随机变量的分布列与期望，熟记相关概念即可，属于常考题型.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为32，焦距为23.（1）求C 的方程； （2）若斜率为12-的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），O 为坐标原点. ①证明：直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列. ②若Q '与Q 关于x 轴对称，证明：4tan 3POQ '∠>. 【★答案★】（1）2214x y +=； （2）①见解析；②见解析.【解析】 【分析】（1）根据离心率、焦距和222b a c =-可解出,,a b c ，从而得到椭圆方程；（2）①设直线l 的方程为：12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y ，将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，从而求得12y y ；整理可知：2121214Q Q O O P P y y k k k x x ===，从而证得结论；②Q '与Q 关于x 轴对称可知xOQ xOQ'∠=∠，由①知1tan tan 4xOQ xOP '∠⋅∠=，则()tan tan POQ xOQ xOP ''∠=∠+∠，利用两角和差正切公式展开整理，根据基本不等式求得最小值，经验证等号无法取得，从而证得结论.【详解】（1）由题意可得：32223c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得：23a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ 2221b a c ∴=-=∴椭圆C 的方程为：2214x y += （2）证明：①设直线l 的方程为：12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y由221214y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：()222210x mx m -+-= 则()()222481420m m m∆=--=->，且122xx m +=，()21221x x m =-()22121212121111122422m y y x m x m x x m x x m -⎛⎫⎛⎫∴=-+-+=-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2212212112421OP OQPQ m y y k k k x x m -∴====- 即直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列 ②由题可知：xOQ xOQ '∠=∠ 由①可知：1tan tan 4xOQ xOP '∠⋅∠=，tan 0xOQ '∠>，tan 0xOP ∠> ()tan tan tan tan 1tan tan xOQ xOP POQ xOQ xOP xOQ xOP'∠+∠''∴∠=∠+∠='-∠⋅∠()44tan tan 2tan tan 3343xOQ xOP xOQ xOP ''=∠+∠⨯⋅∠=≥∠ 若xOQ xOP '∠=∠，则,P Q 两点重合，不符合题意；可知无法取得等号4tan 3POQ '∴∠>【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、直线与椭圆综合应用问题，涉及到斜率关系的证明和不等式的证明.证明不等式的关键是能够利用倾斜角的关系，利用两角和差正切公式构造出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最值；易错点是忽略对于取等条件能否成立的验证.21.已知函数()xf x e ax b =++，曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为20ex y --=．（1）求函数()f x 的解析式，并证明：()1f x x -．（2）已知()2g x kx =-，且函数()f x 与函数()g x 的图象交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点，且线段AB 的中点为0(P x ，0)y ，证明：0()f x g <（1）0y <.【★答案★】（1）()2xf x e =-；证明见解析；（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据题意，对()f x 求导得()x f x a e '=+，利用导数的几何意义和切线方程求出a 和b ，即可求出()f x 的解析式，令()()11x h x f x x e x =-+=--，利用导数研究函数得单调性和最值得出()0h x ≥，即可证明不等式；（2）结合分析法，把所要证明的问题转化为证明212121221112x x x x x x e e x x e----+<<-，设210t x x =->，进而转化为只需证：22tte e t -->，构造函数22()ttF t e e t -=--，利用导数研究函数的单调性，从而可证明出0()f x g <（1）0y <.【详解】解：（1）由题可知，()xf x e ax b =++，则()x f x a e '=+，由于()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为20ex y --=， 所以f （1）2e a b e =++=-，即2a b +=-， 即f '（1）e a e =+=，则0a =，解得：2b =-， 则()2xf x e =-．令()()11x h x f x x e x =-+=--，()1xh x e '=-，令()0h x '=，即10x e -=，解得：0x =，则0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减；0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增， 所以函数()h x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，()(0)0h x h ∴=，则()1f x x -．（2）由题可知，()2g x kx =-，且12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，则1202()22x x x f x e e+=-=-，12120422x x y y e e y ++-==， 要证0()f x g <（1）0y <成立， 只需证：121224222x x x x e e ek ++--<-<，即证：121222x x x x e k e e++<<，即证：1122122212xx x x x x e e e x e e x +-+<<-， 只需证：212121221112x x x x x x e e x x e----+<<-， 不妨设210t x x =->，即证：2112tt t e e e t -+<<， 要证21t t e e t-<，只需证：22t t e e t -->，令22()t t F t e et -=--，则221()()102t tF t e e -'=+->，()F t ∴在(0,)+∞上为增函数，()(0)0F t F ∴>=，即21t t e e t-<成立； 要证112t t e e t -+<，只需证：112t t e t e -<+，令1()12t t e tG t e -=-+，则22222214(1)(1)()0(1)22(1)2(1)t t t t t t t e e e e G t e e e -+--'=-==<+++， ()G t ∴在(0,)+∞上为减函数，()(0)0G t G ∴<=，即112t te e t -+<成立． ∴2112tt t e e e t -+<<，0t >成立， 0()f x g ∴<（1）0y <成立．【点睛】本题考查导数的几何意义的应用和利用导数证明不等式，还涉及利用导数研究函数的单调性和最值，属于导数知识的综合应用，考查转化思想和运算能力．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为0x y a +-=，曲线C 的参数方程为2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且直线OA 与OB 的斜率之积为54，求a . 【★答案★】（1）l :cos sin0a ，C ：()2224sin cos 4ρθθ+=；（2）12a =±. 【解析】 【分析】（1）利用直角坐标与极坐标换算公式直接可得； （2）联立直线l 与曲线C 的极坐标方程，得()()22224sincos 4cos sin aθθθθ++=，设()()1122,,,A B ρθρθ，则125tan tan 4O O B A k k θθ==，解得a 即可. 【详解】（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入0x y a +-=的方程中，所以直线l 的极坐标方程为cos sin 0a .在曲线C 的参数方程中，消去α，可得2214x y +=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入2214x y +=的方程中，所以曲线C 的极坐标方程为()2224sincos 4ρθθ+=.（2）直线l 与曲线C 的公共点的极坐标满足方程组()222cos sin 04sin cos 4a ρθρθρθθ+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，由方程组得()()22224sin cos 4cos sin a θθθθ++=， ()2222224sin cos 4si 2cos n sin cos a a θθθθθθ+=++，两边同除2cos θ，可化为22224tan 48tan 4tan a a θθθ+=++，即()22244tan 8tan 40a a θθ--+-=， 设()()1122,,,A B ρθρθ，则212245tan tan 444O OB A a k k a θθ-===-，解得12a =±. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，普通方程之间的换算关系．考查了直线与椭圆极坐标方程的应用．属于中档题． [选修4-5：不等式选讲] 23.已知函数()|2|f x x =+.（1）求不等式()(2)4f x f x x +-<+的解集；（2）若x ∀∈R ，使得()()(2)f x a f x f a ++恒成立，求a 的取值范围.【★答案★】(1) {}22x x -<<.(2) 22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）先由题意得24x x x ++<+，再分别讨论2x -≤，20x -<≤，0x >三种情况，即可得出结果；（2）先由含绝对值不等式的性质，得到()()22f x a f x x a x a ++=++++≥，再由题意，可得22a a ≥+，求解，即可得出结果.【详解】（1）不等式()()24f x f x x +-<+ 可化为24x x x ++<+，当2x -≤时，224x x --<+ ，2x >-，所以无解；当20x -<≤时，24x <+ 所以20x -<≤；当0x >时，224x x +<+，2x < ，所以02x <<，综上，不等式()()24f x f x x +-<+的解集是{}|22x x -<<.（2）因为()()22f x a f x x a x a ++=++++≥又x R ∀∈，使得()()()2f x a f x f a ++≥ 恒成立，则22a a ≥+，()2222a a ≥+，解得223a -≤≤-. 所以a 的取值范围为22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的思想，以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
2020北京各区高三二模数学分类汇编---数列
2020北京各区高三二模数学分类汇编----数列一、选填问题：1.（2020昌平二模）设{}n a 是等差数列，且13a =，12n n a a +=-，则数列{}n a 的前n 项和n S = ． 答案 24n S n n =-+2.（2020密云二模）已知n S 是数列{n a }的前n 项和，且211(*)n S n n n =-∈N ，则1a =_________，n S 的最小值为_______． 答案10-；30-3. （2020顺义二模）设{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为其前n 项和.已知1316a a ⋅=, 314S =,若存在0n 使得012,n a a a ⋅⋅⋅，，的乘积最大，则0n 的一个可能值是 （A ）4 （B ）5（C ）6（D ）7答案A4. （2020顺义二模）设{}n a 是等差数列，且12a =，248a a +=，则{}n a 的通项公式为__________. 答案 1,N n a n n *=+∈5.（2020西城二模）答案 306.（2020海淀二模）数列{}n a 中，12a =，12n n a a +=，*n N Î. 若其前k 项和为126，则k =_______. 答案 67.（2020丰台二模）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，则23a a +=（A ）3 （B ）6（C ）7（D ）8答案 B二、解答题部分：8.（2020海淀二模）已知{}n a 是公差为d 的无穷等差数列，其前n 项和为n S .又，且540S =，是否存在大于1的正整数k ,使得1k S S =？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由.从①14a =，②2d =-这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。
答案解：选择条件①，不存在正整数(1)k k >,使得1k S S =.解法1 理由如下：在等差数列{}n a 中，5115455102S a d a d ⨯=+=+，又14a =，540S =.所以由 114,51040a a d =⎧⎨+=⎩得 2.d = 所以 1(1)42(1)22n a a n d n n =+-=+-=+. 又因为110n n n S S a ++-=>，所以数列{}n S 为递增数列.即1k ∀>，都有1k S S >. 所以不存在正整数(1)k k >,使得1k S S =. 解法2理由如下：在等差数列{}n a 中，5115455102S a d a d ⨯=+=+，又14a =，540S =. 所以由 114,51040a a d =⎧⎨+=⎩得 2.d =所以21(1)(1)42322k k k k k S ka d k k k --=+=+⨯=+.令14k S S ==，即2340k k +-=.解得1k =或4k =-.因为1k >，所以1k =与4k =-均不符合要求. 所以不存在正整数(1)k k >,使得1k S S =. 选择条件②，存在正整数12k =,使得1k S S =.理由如下：在等差数列{}n a 中，5115455102S a d a d ⨯=+=+，又2d =-，540S =. 所以由 12,51040d a d =-⎧⎨+=⎩得112.a =所以21(1)(1)12(2)1322k k k k k S ka d k k k --=+=+⨯-=-+.令112k S S ==，即21312k k -+=. 整理得213120k k -+=.解得1k =或12k =.因为1k >，所以12k =.所以当12k =时，1k S S =.9.（2020东城二模）已知{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，且满足31a =，3231S a =+.{}n b 为等差数列，其前n 项和为n T ，如图____，n T 的图象经过A ,B 两个点． （Ⅰ）求n S ；（Ⅱ）若存在正整数n ，使得n n b S >，求n 的最小值.从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
2020年高考数学(理)真题与模拟题分类训练 专题08 数列(教师版含解析)
1．【2020年高考全国II卷理数】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)
等差数列 的前 项和公式为 ，
等比数列 的前 项和公式为 ，
依题意 ，即 ，
通过对比系数可知 ，故 .
故答案为： .
【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前 项和公式，属于中档题.
6．【2020年高考山东】将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
(1)求 的通项公式；
(2)记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前 项和 ．
【解析】(1)设 的公比为 ．由题设得 ， ．
解得 (舍去)， ．由题设得 ．
所以 的通项公式为 ．
(2)由题设及(1)知 ，且当 时， ．
所以
．
(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
(2)求数列{2nan}的前n项和Sn．
【解析】(1) 猜想 由已知可得
，
，
……
.
因为 ，所以
(2)由(1)得 ，所以
.①
从而
.②
得
，
所以
9．【2020年高考江苏】已知数列 的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有 成立，则称此数列为“λ～k”数列．
7．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】
设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项．
2020年高考各省市模拟试题分类汇编： 数列(解析版)
2020年高考各省市模拟试题分类汇编： 数列1．（2020·东北师大附中高三模拟（文））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，286a a +=-，则n S 的最小值等于（ ） A ．-34 B ．-36C ．-6D ．6【答案】B【解析】设数列{}n a 的公差为d ， ∵286a a +=-， ∴1286a d +=-， 又111a =-， ∴2d =， ∴n S ()112n n dna -=+()111n n n =-+-212n n =-()2636n =--，∴当6n =时，n S 有最小值636S =-，故选B 。
2．（2020·安徽省滁州市定远育才学校高三模拟（文））在等比数列{}n a 中，182n a a +=，3281n a a -=，且前n 项和121n S =，则此数列的项数n 等于（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的性质可得：13281n n a a a a -==， 又182n a a +=，1a ∴和n a 是方程282810x x -+=的两根，解方程得1x =或81x =. 若等比数列{}n a 递增，则11a =，81n a =，121n S =Q ，118112111n a a q qq q--==--解得3q =，18113n -∴=⨯，解得5n =； 若等比数列{}n a 递减，则181a =，1n a =，121n S =Q ，18112111n a a q q q q --==--，解得13q =，118113n -⎛⎫∴=⨯ ⎪⎝⎭，解得5n =. 则此数列的项数n 等于5，故选B 。
3．（2020·福建省华安一中、龙海二中高三联考（文））在等差数列{}n a 中，15487a a a +==，，则5a =（ ） A ．11 B ．10C ．7D ．3【答案】B【解析】依题意，有11148,37a a d a d ++=+=，解得1512,3,410a d a a d =-==+=。
专题08 数列——2020年高考真题和模拟题理科数学分类汇编(解析版).doc
（3）月亮越升越高，穿过一缕一缕轻纱似的微云。
（缩句）（4）黑甲虫走进了村子。
（扩句，至少扩2处）（5）李明同学说：“我愿意和他们一起去打扫教室的卫生。
”（改为转述句）（6）例句：母爱是一缕阳光，让你的心灵即使在寒冷的冬天也能感到温暖如春。
（仿写）母爱是__________________________________________________________________父爱是____________________________________________________________3、关联词填空。
（3分）（1）刘胡兰（）在敌人的残酷审讯中死去，（）愿把共产党的祕密告诉敌人。
（2）闰土（）头戴一顶小毡帽，（）颈上还套有一个明晃晃的银项圈。
（3）（）我们居住的地球看起来是很大的，（）与茫茫的宇宙相比，地球却是很渺小的。
4、当你读完课文《匆匆》后，你对时间有了什么新的认识？展开你丰富的想象，填写在横线上。
（2分）阅读能力考查（35分）一、课内阅读（16分）《为人民服务》选段人总是要死的，但死的意义有不同。
中国古时候有个文学家叫做司马迁的说过：为人民利益而死，就比泰山还重；替法西斯卖力，替剥削人民和压迫人民的人去死，就比鸿毛还轻。
张思德同志是为人民利益而死的，他的死是比泰山还要重的。
（）我们是为人民服务的，（）,我们（）有缺点，（）不怕别人批评指出。
（）是什么人，谁向我们指出（）行。
（）你说得对，我们（）改正。
你说的办法对人民有好处，我们就照你的办。
"精兵简政”这一条意见，就是党外人士李鼎铭先生提出来的；他提得好，对人民有好处，我们就采用了。
只要我们为人民的利益坚持好的，为人民的利益改正错的，我们这个队伍就一定会兴旺起来。
1、把短文补充完整。
（3分）2、用波浪线画出文中运用了对比论证的句子。
（2分）3、本文的作者是（）0全文是他于（）年9月8日在中央直属机关为（）同志举行的追悼会上所作的演讲。
2020届高三第二次模拟考试卷 理科数学(二) 解析版
12020届高三第二次模拟考试卷理 科 数 学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|1}A x x =<，2{|log 1}B x x =<，则（ ）A ．{|1}AB x x =<U B ．{|2}A B x x =<UC ．{|1}A B x x =<ID ．{|2}A B x x =<I【答案】B【解析】{|1}A x x =<，{|02}B x x =<<，{|01}A B x x =<<I ，{|2}A B x x =<U ． 2．i 是虚数单位，4i1iz =-，则||z =（ ） A ．2 B ．22C ．4D ．42【答案】B【解析】由题意得4i 4i(1i)2i(1i)22i 1i (1i)(1i)z +===+=-+--+，∴22||(2)222z =-+=． 故选B ．3．已知某公司按照工作年限发放年终奖金并且进行年终表彰．若该公司有工作10年以上的员工100人，工作510:年的员工400人，工作05:年的员工200人，现按照工作年限进行分层抽样，在公司的所有员工中抽取28人作为员工代表上台接受表彰，则工作510:年的员工代表有（ ） A ．8人 B ．16人C ．4人D ．24人【答案】B【解析】依题意知，该公司的所有员工中工作10年以上、工作510:年、工作05:年的员工人数比例为1:4:2，所以工作510:年的员工代表有428167⨯=． 4．已知向量||2=a ，||1=b ，(2)2⋅-=a a b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．90︒ D ．150︒【答案】B【解析】∵2(2)2422⋅-=-⋅=-⋅=a a b a a b a b ，∴1⋅=a b ． 设a 与b 的夹角为θ，则1cos ||||2θ⋅==a b a b ，又0180θ︒≤≤︒，∴60θ=︒，即a 与b 的夹角为60︒．5．长方体1111ABCD A B C D -，1AB =，2AD =，13AA =，则异面直线11A B 与1AC 所成角的 余弦值为（ ） A ．1414B ．8314C ．1313D ．13【答案】A【解析】∵1111C D A B ∥，∴异面直线11A B 与1AC 所成的角即为11C D 与1AC 所成的角11AC D ∠， 在11AC D Rt △中，111C D =，222112314AC =++=， ∴11111114cos 1414C D AC D AC ∠===，故选A ． 6．执行下图的程序框图，若输出的结果为10，则判断框中的条件是（ ）A ．4?i <B ．5?i <C ．6?i <D ．7?i <【答案】B此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号。
2020届北京各区高三二模数学分类汇编—数列与创新压轴题(含答案)
2020北京各区高三二模数学分类汇编—数列与创新压轴题1．（2020▪丰台高三二模） 已知数列的前项和，则（A ）3（B ）（C ）（D ）2.（2020▪海淀二模）数列中，，，. 若其前项和为，则_______.3. （2020▪西城高三（下）6月模拟）在等差数列中,若,则;使得数列前项的和取到最大值的.4（2020▪昌平高三二模）设是等差数列，且，，则数列的前n 项和．5．（2020▪丰台高三二模） 天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如下表：2049年是己巳年，则2059年是_____年；使用干支纪年法可以得到______种不同的干支纪年. 6.（2020▪密云高三二模） 已知是数列{}的前n 项和，且，则=_________，的最小值为_______．7.（2020▪海淀二模）（本小题共14分）已知是公差为的无穷等差数列，其前项和为.又，且，是否存在大于的正整数,使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由.从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。
8．（2020▪西城高三二模）（本小题满分14分）{}n a n 2n S n n =-23a a +=678{}n a 12a =12n n a a +=*n N Îk 126k ={}n a 12516,1a a a +==1a ={}n a n n S n ={}n a d n n S 540S =1k 1k S S =k 14a =2d =-从①前项和，②，③且这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答．在数列中，，_______，其中． （Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若成等比数列，其中，且，求的最小值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 9.（2020▪东城高三二模）（本小题14分）已知为等比数列，其前项和为，且满足，.为等差数列，其前项和为，如图____，的图象经过,两个点．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若存在正整数，使得，求的最小值.从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。