2014年中考数学试题汇编直角三角形与勾股定理
2014年中考数学试题汇编直角三角形与勾股定理
一、选择题
1. （2014•山东枣庄，第3题3分）如图，AB∥CD，AE交CD于C，∠A=34°，∠DEC=90°，则∠D的度数为（）
A．17°B．34°C．56°D．124°
考点：平行线的性质；直角三角形的性质
分析：根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠A，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
解答：解：∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠A=34°，
∵∠DEC=90°，
∴∠D=90°﹣∠DCE=90°﹣34°=56°．
故选C．
点评：本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．2. 1．（2014•湖南张家界，第7题，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD=2，则AC的长是（）
A．4 B． 4 C．8 D．8
考点：线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
分析：求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可．
解答：解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=60°，
∴∠A=30°．
∵DE垂直平分斜边AC，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD=30°，
∴∠DCB=60°﹣30°=30°，
∵BD=2，
∴CD=AD=4，
∴AB=2+4+2=6，
在△BCD中，由勾股定理得：CB=2 ，
在△ABC中，由勾股定理得：AC= =4 ，
故选：B．
点评：本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中．
3. （2014•十堰9．（3分））如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（）
A．2 B．C．2 D．
考点：勾股定理；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
分析：根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG，根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA，根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD，再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD，根据等腰三角形的性质可得CD=DG，再根据勾股定理即可求解．解答：解：∵AD∥BC，DE⊥BC，
∴DE⊥AD，∠CAD=∠ACB
∵点G为AF的中点，
∴DG=AG，
∴∠GAD=∠GDA，
∴∠CGD=2∠CAD，
∵∠ACD=2∠ACB，
∴∠ACD=∠CGD，
∴CD=DG=3，
在Rt△CED中，DE= =2 ．
故选：C．
点评：综合考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD=DG=3．
4. （2014•娄底8．（3分））下列命题中，错误的是（）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．菱形的对角线互相垂直平分
C．矩形的对角线相等且互相垂直平分
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
考点：命题与定理．
分析：根据平行四边形的性质对A进行判断；根据菱形的性质对B进行判断；根据矩形的性质对C进行判断；根据角平分线的性质对D进行判断．
解答：解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以A选项的说法正确；
B、菱形的对角线互相垂直平分，所以B选项的说法正确；
C、矩形的对角线相等且互相平分，所以C选项的说法错误；
D、角平分线上的点到角两边的距离相等，所以D选项的说法正确．
故选C．
点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
5. （2014•山东淄博,第10题4分）如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C．则矩形的一边AB的长度为（）
A．1 B．C．D． 2
考点：勾股定理；线段垂直平分线的性质；矩形的性质
分析：本题要依靠辅助线的帮助，连接CE，首先利用线段垂直平分线的性质证明BC=EC．求出EC后根据勾股定理即可求解．
解答：解：如图，连接EC．
∵FC垂直平分BE，
∴BC=EC（线段垂直平分线的性质）
又∵点E是AD的中点，AE=1，AD=BC，
故EC=2
利用勾股定理可得AB=CD= = ．
故选：C．
点评：本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质以及矩形的性质，本题的关键是要画出辅助线，证明BC=EC后易求解．本题难度中等。
中考数学专题复习之直角三角形与勾股定理
将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米.则小巷的宽度为
A.0.7米
B.1.5米
C.2.2米
图22-6
( C )
D.2.4米
基
础
知
识
巩
固
2.[2017·丰台二模]三国时期吴国赵爽创制了“勾股圆方图”(如图22-7)证明了勾股
图 22-2
D.5
基
础
知
识
巩
固
高
.[2018·昌平期末]小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后,
又进一步进行练习:首先画出数轴,如图22-3,设原点为点O,在数轴上的2个单位长
度的位置找点A,然后过点A作AB⊥OA,且AB=3.以点O为圆心,OB为半径作弧,设
与数轴右侧交点为点P,则点P的位置在数轴上 ( C )
7.直角三角形中两条边长分别为3和4,则第三边长为 5 或 7 .
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
考向一 勾股定理
例 1 下列各组数中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是
( B )
A. 3, 4, 5
B.1, 2, 3
C.6,7,8
D.2,3,4
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
| 考向精练 |
1.[2018·房山二模]如图22-6,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯
2
2
2
图22-10
基
础
中考数学直角三角形与勾股定理专题训练(含答案)
中考数学直角三角形与勾股定理专题训练一、选择题1. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1，EC=2，那么正方形ABCD 的面积为()A.B.3 C.D.52. 如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为()A.B.C.D.3. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为()A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米4. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点，则点D的个数共有()B，C)，若线段AD长为正整数．．．A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个5.小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图)．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间6. 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE ⊥AB，垂足为E.若DE=1，则BC的长为()A.2+B.+C.2+D.37. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则()A. x－y2＝3B. 2x－y2＝9C. 3x－y2＝15D. 4x－y2＝218. 已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为()A.32B.332C.32D. 不能确定二、填空题9. 如图所示的网格是正方形网格，则∠P AB+∠PBA=°(点A，B，P是网格线交点).10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8.分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F.过点E，F作直线EF，交AB于点D，连接CD，则CD的长是________．11. 三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，点B 在ED 上，AB ∥CF ，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，则CD 的长度是 .12. 如图，△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°得到△DEC ，连接BD ，则BD 2的值是 .13. (2019•通辽)腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．14. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝15，AC ＝20，点D 在边AC 上，AD ＝5，DE ⊥BC 于点E ，连接AE ，则△ABE 的面积等于________．15. 在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，点P 为边BC 的三等分点，连接AP ，则AP 的长为________．16. (2019•伊春)一张直角三角形纸片ABC ，90ACB ∠=︒，10AB =，6AC =，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的△是直角三角形时，则CD的长为__________．点E处，当BDE三、解答题17. 如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB.(1)线段DC=;(2)求线段DB的长度.18. 已知:整式A=(n2-1)2+(2n)2，整式B>0.[尝试] 化简整式A.[发现] A=B2，求整式B.[联想] 由上可知，B2=(n2-1)2+(2n)2，当n>1时，n2-1，2n，B为直角三角形的三边长，如图.填写下表中B的值:直角三角形三边n2-1 2n B勾股数组Ⅰ8勾股数组Ⅱ3519. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF ∥AB交ED的延长线于点F.(1)求证:△BDE≌△CDF;(2)当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长.20. 在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完．．．．．．．．．．．．．成解答过程．．．．．21.如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港．(1)求A，C两港之间的距离(结果保留到0.1 km，参考数据：2≈1.414，3≈1. 732)；(2)确定C港在A港的什么方向．22. 已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】D[解析]如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC=90°，∴AC===5.∴sin∠BAC==.故选D.3. 【答案】C[解析]在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A'BD中，∵∠A'DB=90°，A'D=2米，BD2+A'D2=A'B2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD>0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(米).4. 【答案】C【解析】如解图，当AD⊥BC时，∵AB＝AC，∴D为BC的中点，BD＝CD＝12BC＝4，∴AD＝AB2－BD2＝3；又∵AB＝AC＝5，∴在BD和CD之间一定存在AD＝4的两种情况，∴点D的个数共有3个．5. 【答案】C【解析】由作法过程可知，OA=2，AB=3，∵∠OAB=90°，∴OB=22222313+=+=，∴P点所表示的数就是OA AB13，∵91316<<，<<，∴3134即点P所表示的数介于3和4之间，故选C．6. 【答案】A[解析]过点D作DF⊥AC于F，如图所示，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF=1.在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=2.在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CD=DF=，∴BC=BD+CD=2+.7. 【答案】B【解析】连接DE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，过E作EG⊥BC，垂足为G.∵AB＝AC，AF⊥BC，BC＝12，∴BF＝FC＝6，又∵E是AC的中点，EG⊥BC，∴EG∥AF，∴CG＝FG＝12CF＝3，∵在Rt△CEG中，tan C＝EG CG，∴EG＝CG×tan C＝3y；∴DG＝BF＋FG－BD＝6＋3－x＝9－x，∵HD是BE的垂直平分线，∴BD＝DE＝x，∵在Rt△EGD中，由勾股定理得，ED2＝DG2＋EG2，∴x2＝(9－x)2＋(3y)2，化简整理得，2x－y2＝9.8. 【答案】B【解析】如解图，△ABC是等边三角形，AB＝3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AH⊥BC于点H，则BH＝32，AH＝AB2－BH2＝332.连接P A，PB，PC，则S△P AB＋S△PBC＋S△PCA＝S△ABC，∴12AB·PD＋12BC·PE＋12CA·PF＝12BC·AH，∴PD＋PE＋PF＝AH＝332.二、填空题9. 【答案】45[解析]本题考查三角形的外角，可延长AP交正方形网格于点Q，连接BQ，如图所示，经计算PQ=BQ=，PB=，∴PQ2+BQ2=PB2，即△PBQ为等腰直角三角形，∴∠BPQ=45°，∴∠P AB+∠PBA=∠BPQ=45°，故答案为45.10. 【答案】5【解析】由题意知EF垂直平分AB，∴点D是AB的中点，∵∠ACB＝90°，∴CD为斜边AB的中线，∴CD＝12AB.∵BC＝6，AC＝8，∴AB＝AC2＋BC2＝82＋62＝10，∴CD＝5.11. 【答案】15-5[解析]过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=10×tan60°=10.∵AB∥CF，∴∠BCM=∠ABC=30°，∴BM=BC×sin30°=10=5，CM=BC×cos30°=15.在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴MD=BM=5，∴CD=CM-MD=15-5.12. 【答案】8+4[解析]如图，连接AD，设AC与BD交于点O，由题意得CA=CD，∠ACD=60°，∴△ACD为等边三角形，∴AD=CD，∠DAC=∠DCA=∠ADC=60°.∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴AC=CD=2.∵AB=BC，CD=AD，∴BD垂直平分AC，∴BO=AC=，OD=CD·sin60°=，∴BD=，∴BD 2=()2=8+4.13. 【答案】6或25或45【解析】①如图1，当5AB AC ==，4AD =，则3BD CD ==，∴底边长为6；②如图2，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD =，∴2BD =，∴222425BC =+=，∴此时底边长为25；③如图3，当5AB AC ==，4CD =时，则223AD AC CD =-=，∴8BD =，∴45BC = ∴此时底边长为56或54514. 【答案】78 【解析】如解图，过A 作AH ⊥BC ，∵AB ＝15，AC ＝20，∠BAC＝90°，∴由勾股定理得，BC ＝152＋202＝25，∵AD ＝5，∴DC ＝20－5＝15，∵DE ⊥BC ，∠BAC ＝90°，∴△CDE ∽△CBA ，∴CE CA ＝CD CB ，∴CE ＝1525×20＝12.法一：BC·AH ＝AB·AC ，AH ＝AB·AC BC ＝15×2025＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.法二：DE ＝152－122＝9，由△CDE ∽△CAH 可得，CD CA ＝ED HA ，∴AH ＝9×2015＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.15. 【答案】13 或10 【解析】(1)如解图①所示，当P 点靠近B 点时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝2，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝13；(2)如解图②所示，当P 点靠近C 点时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝1，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝10.综上可得：AP 长为13 或10.16. 【答案】3或247【解析】分两种情况：①若90DEB ∠=︒，则90AED C ∠=︒=∠，CD ED =，连接AD ，则Rt Rt ACD EAD △≌△，∴6AE AC ==，1064BE =-=，设CD DE x ==，则8BD x =-，∵Rt BDE △中，222DE BE BD +=，∴2224(8)x x +=-，解得3x =，∴3CD =；②若90BDE ∠=︒，则90CDE DEF C ∠=∠=∠=︒，CD DE =，∴四边形CDEF 是正方形，∴90AFE EDB ∠=∠=︒，AEF B ∠=∠， ∴AEF EBD △∽△，∴AF EF ED BD=， 设CD x =，则EF DF x ==，6AF x =-，8BD x =-， ∴68x x x x -=-，解得247x =，∴247CD =， 综上所述，CD 的长为3或247，故答案为：3或247．三、解答题17. 【答案】解:(1)4(2)∵AC=AD ，∠CAD=60°，∴△CAD 是等边三角形，∴CD=AC=4，∠ACD=60°.过点D 作DE ⊥BC 于E ，∵AC ⊥BC ，∠ACD=60°，∴∠BCD=30°.在Rt △CDE 中，CD=4，∠BCD=30°，∴DE=CD=2，CE=2，∴BE=，在Rt△DEB中，由勾股定理得DB=.18. 【答案】解:[尝试] A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2. [发现] ∵A=B2，B>0，∴B==n2+1.[联想] ∵2n=8，∴n=4，∴B=n2+1=42+1=17.∵n2-1=35，∴B=n2+1=37.∴填表如下:直角三角形三n2-1 2n B边勾股数组Ⅰ8 17勾股数组Ⅱ35 3719. 【答案】解:(1)证明:∵CF∥AB，∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F.∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△BDE≌△CDF.(2)∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2，∴AB=AE+BE=1+2=3.∵AD⊥BC，BD=CD，∴AC=AB=3.20. 【答案】解：如解图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，设BD＝x，则CD＝14－x，根据勾股定理可得：AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2，即152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.(3分)∴AD2＝152－x2＝152－92＝144.(5分)∵AD>0，∴AD＝12.(8分)∴S△ABC＝12BC·AD＝12×14×12＝84.(10分)21. 【答案】(1)由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°．∵AB=BC=10，∴22AB BC102．答：A、C两地之间的距离为14.1 km．(2)由(1)知，△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，∴C港在A港北偏东15°的方向上．22. 【答案】13证明：(1)∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴CD ＝CE ，AC ＝BC ，∠ECD ＝∠ACB ＝90°，∴∠ECD －∠ACD ＝∠ACB －∠ACD ，即∠ACE ＝∠BCD ，(1分) 在△ACE 与△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧EC ＝DC ∠ACE ＝∠BCD AC ＝BC，(3分)∴△ACE ≌△BCD(SAS )．(4分)(2)∵△ACE ≌△BCD ，∴AE ＝BD ，∠EAC ＝∠B ＝45°，(6分)∴∠EAD ＝∠EAC ＋∠CAD ＝90°，在Rt △EAD 中，ED 2＝AD 2＋AE 2，∴ED 2＝AD 2＋BD 2，(8分)又ED 2＝EC 2＋CD 2＝2CD 2，∴2CD 2＝AD 2＋DB 2.(10分)。
中考数学直角三角形与勾股定理
专题39直角三角形与勾股定理一、选择题1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是【】A．B．C．D．2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是【】A．20 B．10 C．5 D．5 23. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为【】A．90 B．100 C．110 D．121【答案】C。
【考点】勾股定理的证明。
【分析】如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，所以，四边形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7。
所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，因此，矩形KLMJ的面积为10×11=110。
故选C。
4. 将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠ 的度数是【】A ．45oB ．60oC ．75oD ．90o【答案】 C 。
【考点】三角形的外角性质，直角三角形的性质。
【分析】如图，∵∠1=90°-60°=30°，∴∠α=45°+30°=75°。
故选C 。
5. （2012四川绵阳3分）已知△ABC 中，∠C=90°，tanA=12，D 是AC 上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=【 】。
A ．35 BC ．310D【答案】A 。
【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义。
【分析】如图，作DE ⊥AB 于点E 。
∵∠CBD=∠A ，∴BC CD DE 1tanA tan CBD AC BC AE 2=∠====。
2014年中考数学试题分类汇编23 直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理一、选择题1. （2014•湘潭，第7题，3分）以下四个命题正确的是（）2. （2014•湘潭，14题，3分）如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，P A 切⊙O于A点，则P A=4．（第2题图）3. （2014•泰州，第6题，3分）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（），4. （2014•扬州，第7题，3分）如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）（第4题图）5.（2014•扬州，第8题，3分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（）（第5题图）．．．﹣26. （2014•安徽省,第8题4分）如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）A．B．C． 4 D． 57. （2014•广西贺州，第11题3分）如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1．则弧BD的长是（）A．B．C．D．8.（2014•滨州，第7题3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（），9．（2014年山东泰安，第8题3分）如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为（）A．6 B．7C．8D．1010．（2014年山东泰安，第12题3分）如图①是一个直角三角形纸片，∠A=30°，BC=4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为（）A．cm B．2cm C．2cm D．3cm二.填空题1. （2014•福建泉州，第14题4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，AB=10cm，则CD的长为5cm．2. （ 2014•广东，第14题4分）如图，在⊙O 中，已知半径为5，弦AB 的长为8，那么圆心O 到AB 的距离为 3 ．3．（2014•新疆，第14题5分）如图，Rt △ABC 中，∠ABC =90°，DE 垂直平分AC ，垂足为O ，AD ∥BC ，且AB =3，BC =4，则AD 的长为 ．4.（2014•邵阳，第17题3分）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D 为AB 的中点，DE ⊥AC 于点E ．∠A =30°，AB =8，则DE 的长度是 2 ．5.（2014·云南昆明，第10题3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AC =10cm ，点D 为AC 的中点，则BD = cm .三.解答题1. （2014•湘潭，第19题）如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C 在AB 的延长线上，设想过C 点作直线AB 的垂线L ，过点B 作一直线（在山的旁边经过），与L 相交于D 点，经测量∠ABD =135°，BD =800米，求直线L 上距离D 点多远的C 处开挖？（≈1.414，精确到1米）第10题图DCBA2. （2014•益阳，第20题，10分）如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．（1）求a，k的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．（第2题图）3. （2014•益阳，第21题，12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x．（1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值．（第3题图）4. （2014•株洲，第21题，6分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．5. （2014•株洲，第22题，8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF）．（1）求证：△ACE≌△AFE；（2）求tan∠CAE的值．6. （2014•株洲，第23题，8分）如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆运动（含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形AB C．（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求△ABC的面积（图1）；（2）设∠AOB=α，当线段AB、与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α的范围（图2，直接写出答案）；（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AO⊥PM于点N，求CM的长度（图3）．（第6题图）7. （2014•泰州，第23题，10分）如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥A C．（1）求证：BE=AF；（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积．（第7题图）8.（2014•泰州，第25题，12分）如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+b（b 为常数，b＞0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方．（第8题图）（1）若直线AB与有两个交点F、G．①求∠CFE的度数；②用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范围；（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．9. （2014•扬州，第28题，12分）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．（第9题图）（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、O A．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；（3）如图2，，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．10．（2014•安徽省,第19题10分）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线与⊙O的交点．若OE=4，OF=6，求⊙O的半径和CD的长．11. （2014•珠海，第18题7分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，线段AB为半圆O的直径，将Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF，DF与BC交于点H．（1）求BE的长；（2）求Rt△ABC与△DEF重叠（阴影）部分的面积．12．（2014•温州，第22题8分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣A．∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+a B．又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）∴b2+ab=c2+a（b﹣a）∴a2+b2=c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2。
中考数学复习《勾股定理》专项练习题-附带有答案
中考数学复习《勾股定理》专项练习题-附带有答案一、单选题1．线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．Ba= √41，b=4，c=5C．a= 34，b=1，c= 54D．a=40，b=50，c=602．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）A．65B．95C．125D．1653．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为7和9，则b的面积为（）A．16 B．2 C．32 D．1304．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在图中找出格点C，使得△ABC是腰长为无理数的等腰三角形，点C的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．75．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中S A=10，S B=8，S C=9，S D=4则下列判断不正确的是（）A．S E=18B．S F=13C．S M=31D．S M−S E=176．如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A．2.1B．√5C．2√2D．2√37．我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a、b，那么(a+b)2的值为（）.A．49 B．25 C．13 D．18．如图，在△ABC中∠C=60°，AC=4，BC=3 .分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧交于M、N两点，作直线MN交AC于点D，则CD的长为（）A．1 B．75C．32D．3二、填空题9．如图，△ABC中AB=AC=10，BC=16，△ABC的面积是.10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，且OC＝4 √2，则BC＝．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB上，AD＝AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是12．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为2m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为m．13．活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.如已知△ABC中∠A=30°，AC=3，∠A所对的边为√3，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为三、解答题14．如图，点C在∠DAB内部，CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B，CD＝CB，若AD＝5，求AB的长．15．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．AD＝1，BD＝4，CD＝2．求证：∠ACB＝90°．16．如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB=20米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离AC=25米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C 点的距离．17．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，E为AC边上一点，且满足∠AED＝2∠DCB．（1）求证：DE∥BC；（2）若∠B＝90°，AD＝6，AE＝9，求CE的长．18．如图，在正△ABC的AC，BC上各取一点D，E，使AD=CE，AE，BD相交于点M（1）如图1，求∠BME的度数；（2）如图2，过点B作直线AE的垂线BH，垂足为H①求证：2MH+DM=AE；②若BE=2EC=2，求BH的长．答案1．D2．C3．A4．C5．D6．B7．A8．B9．4810．511．1.512．2.213．2√3或√314．解：解法一：连结AC∵CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B∴∠CDA=∠CBA=90°在Rt△ABC与Rt△ADC中有AC=AC，CD=CB∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）∴AB=AD=5解法二：连结AC∵CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B∴∠CDA=∠CBA=90°∵CD=CB∴由勾股定理得：AB= √AC2−BC2 = √AC2−CD2 =AD=515．证明：∵CD是△ABC的高∴∠ADC=∠BDC=90°．∵AD=1，BD=4，CD=2∴AC2=AD2+CD2=12+22=5，BC2=BD2+CD2=42+22=20，AB2=（1+4）2=25．∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC是直角三角形∴∠ACB=90°．16．解：由勾股定理得；BC2=AC2−AB2=252−202=225∴BC=15（米）∵BD=AB−AD=20−12=8（米）∴在Rt△BCD中，由勾股定理得CD=√DB2+BC2=√82+152=17∴此时小鸟到地面C点的距离17米．答；此时小鸟到地面C点的距离为17米．17．（1）证明：∵CD平分∠ACB∴∠ACD=∠DCB即∠ACB=2∠DCB又∵∠AED=2∠DCB∴∠ACB=∠AED∴DE//BC；（2）解：∵DE//BC∴∠EDC=∠BCD，∠B=∠ADE=90°∵∠BCD=∠ECD∴∠EDC=∠ECD∴ED=CE∵AD=6，AE=9∴DE=√AE2−AD2=√92−62=3√5∴CE=3√5．18．（1）解：∵△ABC是等边三角形∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°又∵AD=CE ∴△ABD≌△CAE(SAS)∴∠BME=∠ABD+∠BAE=∠CAE+∠BAE=∠BAC=60°（2）解：①∵BH⊥AE ∠BME=60°∴∠HBM=30°∴BM=2MH∵△ABD≌△CAE ∴AE=BD=BM+MD=2MH+MD②过点E作EG⊥AB于点GBE=2EC=2 ∴AB=BC=3∴使用ABC=60°∴BG=1，AG=2，由勾股定理可得，GE= √3，AE= √7设HE=x，则AH= √7 -x由勾股定理得32-（√7 -x）2=22-x2解得x= √77再由勾般定理可得：BH= 3√21.7。
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中考数学真题三角函数汇总1、（2014?黄冈）如图，在南北方向的海岸线 MN 上，有A 、B 两艘巡逻船，现均收到故障船 C 的求救信号.已知A 、B 两船相距100 （汀卞+1）海里，船C 在船A 的北偏东60。
方向上，船C 在船B 的东南方向上，MN 上有一观测 点D ，测得船C 正好在观测点D 的南偏东75方向上.（1）分别求出A 与C , A 与D 之间的距离AC 和AD （如果运算结果有根号，请保留根号） .（2）已知距观测点 危险？（参考数D 处100海里范围内有暗礁.若巡逻船 A 沿直线AC 去营救船C ,在去营救的途中有无触暗礁血勺.41,需勺.73）端A 处，视线与水平线夹角 / ADE 为39°且高CD 为1.5米，求建筑物的高度 AB .（结果精确到0.1米）（参考数据：sin39°0.63, cos39°0.78, tan39°0.81） 3、（2014?兰州）如图，在电线杆上的 C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线 CE 和地面成60°角，在离电线杆6米 的B 处安置测角仪，在 A 处测得电线杆上 C 处的仰角为30°已知测角仪高 AB 为1.5米，求拉线CE 的长（结果 保留根号）4、（2014?泸州）海中两个灯塔 A 、B ,其中B 位于A 的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C 处测得灯塔A 在西北方向上，灯塔 B 在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行 30海里到达点D ，这是测得灯 6、（2014绵阳）如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东30°方向，距离灯塔 80海里的A 处，它沿正南方向航行一段 时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东45°方向上的B 处，这时，海轮所在的B 处与灯塔P 的距离为（）24M2题图2、18. （ 7分）（2014?长春）如图，为测量某建筑物的高度 AB ，在离该建筑物底部 24米的点C 处，目测建筑物顶B 间的距离.（计算结果用根号表示，不取近似值）/ ABC=62 °坡面长度AB=25米（图为横截面） ，为了使堤坝更加牢固,/ ADB=50 °贝毗时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01 米)（参考数sin62° 出88, cos62° M7, tan50° 核0) 1题图塔A 在北偏西60方向上，求灯塔 A 、A. 40 「海里 B . 40：；海里C. 80海里D. 40.:海里图① 團② 圉③ 囿④7、（2014?遂宁）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：2 2 2 2 2 2 sin A i +sin B i = ______________ ； sin A 2+sin B 2= ___ ； sin A 3+sin B 3= .（1）观察上述等式，猜想：在 Rt △ ABC 中，/ C=90 °都有sin 2A+sin 2B=（2）如图④，在Rt △ ABC 中，/ C=90 ° / A 、/ B 、/ C 的对边分别是 a 、b 、c ,利用三角函数的定义和勾股定 理，证明你的猜想.（3）已知：/ A+ / B=90 °且sinA=^，求sinB .138 （ 2014山东日照）如图某天上午9时，向阳号轮船位于 A 处，观测到某港口城市 P 位于轮船的北偏西 67.5 ；轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B 处，这时观测到城市 P 位于该船的南偏西 36.9方向， （8题图） 9、 （2014年湖北荆门）钓鱼岛自古以来就是中国的领土•如图，我国甲、乙两艘海监执法船某天在钓鱼岛附近海域 巡航，某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的A 处和正东方向的B 处，这时两船同时接到立即赶往C 处海域巡查的任务，并测得 C 处位于A 处北偏东59°方向、位于B 处北偏西44°方向•若甲、乙两船分别沿 AC , BC 方 向航行，其平均速度分别是 20海里/小时，18海里/小时，试估算哪艘船先赶到 C 处.（cos59° 0^2, sin46 ° 0.72）10、 （2014?临沂）如图，在某监测点 B 处望见一艘正在作业的渔船在南偏西 15方向的A 处，若渔船沿北偏西 75° 方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达 C 处，在C 处观测到B 在C 的北偏东60方向上，贝U B 、C 之 间的距离为（ ）A . 20海里B . 10.二海里C . 20二海里D . 30海里11. 如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路 MN ,已知C 点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN 上的点A 处测得C 在A 的北偏东45°方向上，从 A 向东走600米到达B 处，测得C 在点B 的北偏西60°方亠,tan67.5°13.3〜1.732 ） （2）若修路工程顺利进行，要使3 3求此时轮船所处位置 B 与城市P 的距离？（参考数据：sin36.9°恙，tan36.9°= , sin67.5 （第 21 题）向上.（1）MN是否穿过原始森林保护区？为什么？（参考数据:修路工程比原计划提前 5天完成，需将原定的工作效率提高 25%，则原计划完成这项工程需要多少天12.1题图 2. 某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示.BAD 60o ，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造•经地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC 削进到E 处，问BE 至少是多少米(结3.如图，AC 是我市某大楼的高，在地面上B 点处测得楼顶 A 的仰角为450,沿BC 方向前进18米到达D 点，5测得tan / ADC = 5 •现打算从大楼顶端 A 点悬挂一幅庆祝建国 60周年的大型标语，若标语底端距地面15m ，请你3 计算标语AE 的长度应为多少？D 点是洞的入口，游人从入口进洞游览后， 可经山洞到达山顶的出口凉亭 A AB 返回山脚下的B 处•在同一平面内，若测得斜坡 BD 的长为100米，坡 角 DBC 10°，在B 处测得A 的仰角 ABC 40°在D 处测得A 的仰角 ADF 85° ,过D 点作地面BE 的 垂线，垂足为C •(1) 求 ADB 的度数；(2) 求索道AB 的长.(结果保留根号)1. •如图，山顶建有一座铁塔，塔高 CD 30m ，某人在点求此人距CD 的水平距离 AB • (参考数据： sin 20 0 〜0.342, cos 20 0 〜0.940, tan 20sin 23o ~ 0.391 , cos 23o ~ 0.921 , tan 23o ~ 0.424 ) A 处测得塔底C 的仰角为20o ，塔顶D 的仰角为23o ,』・：：• C~ 0.364 ,A 4 23BC // AD ,斜坡AB 40米，坡角4.某旅游区有一个景观奇异的望天洞，处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道 2题图.答案1、解直角三角形的应用-方向角问题.分析：(1)作CE 丄AB，设AE=x 海里，贝U BE=CE= _ 住海里.根据AB=AE+BE=x+ 一_;x=100 (屆1),求得x的值后即可求得AC的长；过点D作DF丄AC于点F,同理求出AD的长；(2)作DF丄AC于点F,根据AD的长和/ DAF的度数求线段DF的长后与100比较即可得到答案.解答：解：（1）如图，作CE丄AB ,由题意得：/ ABC=45 ° / BAC=60 °设AE=x海里，在Rt△ AEC 中，CE=AE?tan60° ：；x; 在Rt△ BCE 中，BE=CE=#G x.•AE+BE=x+ . '：x=100 （ .「；+1）,解得：x=100 .AC=2x=200 .在厶ACD 中，/ DAC=60 ° / ADC=75 ° 则/ ACD=45 °过点D作DF丄AC于点F,设AF=y，则DF=CF= 「;y,•AC=y+ : ；y=200 ,解得：y=100 （「；- 1）,•AD=2y=200 （頒-1）.答：A与C之间的距离AC为200海里，A与D之间的距离AD为200 （ :- - 1）海里.(2)由(1)可知，DF=U1AF二巫X100 (虧-1) -127•/ 127> 100,所以巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险.2、考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.分析：过D作DE丄AB于点E,继而可得出四边形BCDE为矩形，DE=BC=24米，CD=BE=1.5 米，根据/ ADE=39 °在Rt△ ADE中利用三角函数求出AE的长度，继而可求得AB 的长度.解答：解：过D作DE丄AB于点E,•••四边形BCDE为矩形，DE=BC=24 米，CD=BE=1.5 米，在Rt△ ADE 中，•/ / ADE=39 °••• tan / ADE= —=tan39 °0.81 ,DE• AE=DE ?tan39°24 >0.81=19.44 （米）, • AB=E+EB=19.44+1.5=20.94 P0.9 （米）. 答：建筑物的高度 AB 约为20.9米.点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用仰角构造直角三角形，禾U 用三角函数求解.3、考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 专题：计算题；压轴题.分析：由题意可先过点 A 作AH 丄CD 于H .在Rt △ ACH 中，可求出CH ，进而CD=CH+HD=CH+AB ，再在 Rt △ CED 中，求出 CE 的长.解答：解：过点A 作AH 丄CD ,垂足为H ,由题意可知四边形 ABDH 为矩形，/ CAH=30 ° • AB=DH=1.5 , BD=AH=6 , 在 Rt △ ACH 中，tan / CAH=丄, AH• CH=AH ?tan / CAH ,• CH=AH ?tan / CAH=6tan30 °6 > 丄，:.（米）, •/ DH=1.5 , • CD=2品\+1.5, 在 Rt △ CDE 中， •// CED=60 ° sin / CED=—,CE=（4+ .；）（米），4、考点：解直角三角形的应用-方向角问题.分析：根据方向角的定义以及锐角三角函数关系得出AN , NC 的长进而求出BN 即可得出答案.解答：解：如图所示：由题意可得出： / FCA= / ACN=45 ° / NCB=30 ° / ADE=60 ° 过点A 作AF 丄FD ,垂足为F ,• CE=贝U / FAD=60 ° / FAC= / FCA=45 ° / ADF=30 ° ,• AF=FC=AN=NC ,设AF=FC=x ,6、考点： 解直角三角形的应用一方向角问题.分析： 根据题意画出图形，进而得出 PA , PC 的长，即可得出答案.解答： 解：过点P 作PC 丄AB 于点C ,由题意可得出：/ A = 30° / B = 45° AP = 80海里， 故CP =」AP = 40 （海里），\2则PB =——=40 2 （海里）.sin45c故选：A .5、FD X-F30 3解得：x=15 （-汁1）,B W15(V3+1)解得：BN=15+5 -；••• AB=AN+BN=15 ( :;+1 ) +15+5. ；=30+20 .:,考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题.分析：过A 点作AE 丄CD 于E .在Rt △ ABE 中，根据三角函数可得 中，根据三角函数可得 DE ，再根据DB=DC - BE 即可求解.解答：解：过A 点作AE 丄CD 于E .AE , BE ,在 Rt △ ADE在 Rt △ ABE 中，/ ABE=62• AE=AB ?sin62 °25 >0.88=22 米,BE=AB米,在 Rt △ ADE 中，/ ADB=50 °DE=AE tanSO*• DB=DC - BE£58 米. 故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米.答：灯塔A 、B 间的距离为（30+20 ：■;）海里.勾股定理；互余两角三角函数的关系；解直角三角形. -(1)由前面的结论，即可猜想出：在Rt△ ABC中，/ C=90 °都有sin2A+sin2B=1(2)在Rt△ ABC中，/ C=90 °利用锐角三角函数的定义得出sinA=2sinB±，则c csin2A+sin2B=且，再根据勾股定理得到a 2+b2=c2，从而证明sin2A+sin2B=1 ;(3)利用关系式sin2A+sin2B=1，结合已知条件sinA=§，进行求解.13解答：解：(1) 1.(2)如图，在Rt△ ABC 中，/ C=90°■/ sinA=2, sinB=±, q |c2 , , 2.2 2 a + b…sin2A+sin 2B= ----- :—c•••/ ADB=90 °••• BD2+AD2=AB2,2 2•- sin2A+cos2A=1 .9、考点：解直角三角形的应用-方向角冋题.(3) •/ sinA=-,13.2 2sin2A+sin 2B=1 ,PC在Rt△ APC 中，T tan/ A=—ACPC 在Rt△ PCB 中，T tan/ B=—BC5x 4x T AC + BC=AB=21 X5,^ 一12 3c PC5xAC = ....... 3分tan 67.512xBC=4x...... 5分ta n36.9321 5，解得x60.sin B PC,•PBPC• PBsin B6060 5100 (海里).sin 36.9 3B与城市P的距离为100海里.考点：分析：&过点P作PC丄AB,垂足为C,设PC=x海里.•向阳号轮船所处位置分析： 作CD 丄AB 于点D ,由题意得：/ ACD=59 ° / DCB=44 °设CD 的长为a 海里，分别在 Rt △ ACD 中, 和在Rt △ BCD 中，用a 表示出AC 和BC ,然后除以速度即可求得时间，比较即可确定答案 解答： 解：如图，作CD 丄AB 于点D , 由题意得：/ ACD=59 ° / DCB=44 ° 设CD 的长为a 海里，•••在 Rt △ ACD 中，-lU=cos Z ACD ,AC••• AC= __ QU _ =—5—羽.92a ;casZ^ACD 0. 52•••在 Rt △ BCD 中，丄=cos / BCD , BC•• BC= ___ 丄 __ =―J 羽.39a ；casZ^BCD 0. 72• •其平均速度分别是 20海里/小时，18海里/小时, • 1.92a 吃0=0.096a.1.39a T 8=0.077a ,a > 0,10、考点：解直角三角形的应用-方向角问题分析：如图，根据题意易求厶ABC 是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求 解答：解：如图，•••/ ABE=15 ° / DAB= / ABE , •••/ DAB=15 °•••/ CAB= / CAD+ / DAB=90 °又•••/ FCB=60 ° / CBE= / FCB ,/ CBA+ / ABE= / CBE , •••/ CBA=45 °•在直角△ ABC 中，sin / ABC= • BC=20 二海里.0.096a > 0.077a ,••乙先到达.钓鱼岛4OX1V2 B CBC2BC 的长度.。
中考数学复习之直角三角形的性质、勾股定理,考点过关与基础练习题
23. 直角三角形和勾股定理➢ 知识过关1.直角三角形性质梳理： 1. 从边与角的角度来考虑①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______．②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； 勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形．2. 添加一些特殊的元素（中线或30°角）①直角三角形斜边上的中线等于______________；如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形．②30°角所对的直角边是_____________________；在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这 条直角边所对的锐角等于_____________．3. 特殊的直角三角形➢ 考点分类考点1直角三角形的性质例117．如图，在△ACD 中，BC ⊥AD 于B ，AC ＝AD ＝3，AB ＝2，则CD ＝（ ）A ．6B ．√6C ．√5D ．4ACB 45°1130°234211BCABCA BCAa 2+b 2=c2CBAC B A A BC ABC C BA2mm AB C 30°考点2勾股定理及其逆定理例2如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，AD ⊥BC 于D ，M 为AD 上任一点，则MC 2﹣MB 2等于（ ）A ．29B ．32C ．36D ．45例3等面积法例3若直角三角形两条直角边的长分别为7和24，在这个三角形内有一点P 到各边的距离都相等，则这个距离是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1➢ 真题演练1．如图，在边长为1的正方形网格中，A 、B 、C 均在正方形格点上，则C 点到AB 的距离为（ ）A ．3√1010B ．2√105C ．5√104D ．4√1052．如图，AB ＝AC ＝13，BP ⊥CP ，BP ＝8，CP ＝6，则四边形ABPC 的面积为（ ）A ．48B ．60C ．36D ．723．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝6，若以AC 边和BC 边向外作等腰直角三角形AFC 和等腰直角三角形BEC ．若△BEC 的面积为S 1，△AFC 的面积为S 2，则S 1+S 2＝（ ）A ．36B ．18C ．9D ．44．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 在边AB 上，AD ＝AC ，AE ⊥CD ，垂足为F ，与BC 交于点E ，则BE 的长是（ ）A ．3B ．5C ．163D ．65．如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，则BC 边长的高为（ ）A ．√302B ．85√5 C ．45√5 D ．√1326．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE ＝5，AB ＝13，则EF 的值是（ ）A ．7B ．2√3C ．√13D ．7√27．如图，∠ABC ＝∠ADB ＝90°，DA ＝DB ，AB 与CD 交于点E ，若BC ＝2，AB ＝4，则点D 到AC 的距离是（ ）A.5√56B ．6√55C ．4√55D ．5√548．如图，将一副直角三角尺重叠摆放，使得60°角的顶点与等腰直角三角形的直角顶点重合，且DE⊥AB于点D，与BC交于点F，则∠FCE的度数为（）A．60°B．65°C．75°D．85°9．如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝8，则△BCD的面积为（）A．8B．12C．14D．1610．如图，四边形ABCD中，连接BD，O为BD中点，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDA＝30°，∠BDC＝45°，则∠CAO＝（）A．15°B．18°C．22.5°D．30°➢课后练习1.如图，等边△ABD和等边△BCE中，A、B、C三点共线，AE和CD相交于点F，下列结论中正确的个数是（）①△ABE≌△DBC②BF平分∠AFC③AF＝DF+BF④∠AFD＝60°A．1B．2C．3D．42．如图，△ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC于点G，BD平分∠ABC交AC 于点D，AG、BD相交于点F，BE⊥AG交AG的延长线于点E，连接CE，下列结论中正确的有（）①若∠BAD＝70°，则∠EBC＝5°；②BF＝2EF；③BE＝CE；④AB＝BG+AD；⑤S△BFGS△AFD =BFAF．A．5个B．4个C．3个D．2个3．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于E、F，给出以下四个结论：当∠EPF在△ABC内绕P旋转时（点E不与A、B重合），①AE＝CF；②EF＝AP；③△EPF是等腰直角三角形；④S四边形AEPF= 12S△ABC；⑤EF的最小值为√2；⑥BE2+CF2＝EF2．则正确结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个4．如图，O是正△ABC内一点，OA＝6，OB＝8，OC＝10，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为8；③∠AOB＝150°；④四边形AOBO′的面积是24+16√3；⑤S△AOC+S△AOB＝24+9√3 4．其中正确结论有（）个．A．5B．4C．3D．25．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF ⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②AD＝PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE=74S△ABP；⑤S△APH＝S△ADE，其中正确的结论是（）A．①②③B．②③④C．①②④⑤D．①②⑤6．如图，O为△ABC内的一点，D为AB边上的一点，OD＝OB，OA＝OC，∠AOC＝∠BOD ＝90°，连接CD．下列结论：①AB＝CD；②AB⊥CD；③∠AOD+∠OCD＝45°；④S △BOC＝S△AOD．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．①②③D．①②③④➢冲击A+如图1，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，连接CB，过C作CD⊥AB于点D，过点C 作∠BCE，使∠BCE＝∠BCD，其中CE交AB的延长线于点E．（1）求证：CE是圆O的切线；（2）如图2，点F在圆O上，且满足∠FCE＝2∠ABC，连接AF并延长交EC的延长线于点G．①求证：CF＝2CD；②若CD＝4，BD＝2，求线段FG的长．。
2014年浙江省宁波市中考数学试题(含答案)
浙江省宁波市2014年中考数学试卷一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）（2014•宁波）下列各数中，既不是正数也不是负数的是（）A．0B．﹣1 C．D．2考点：实数；正数和负数．分析：根据实数的分类，可得答案．解答：解：0既不是正数也不是负数，故选：A．点评：本题考查了实数，大于0的数是正数，小于0的数是负数，0既不是正数也不是负数．2．（4分）（2014•宁波）宁波轨道交通1号线、2号线建设总投资亿元，其中亿用科学记数法表示为（）A．×108B．×109C．×1010D．×1011考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：亿×1010，故选：C．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（4分）（2014•宁波）用矩形纸片折出直角的平分线，下列折法正确的是（）A．B．C．D．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：根据图形翻折变换的性质及角平分线的定义对各选项进行逐一判断．解答：解：A．当长方形如A所示对折时，其重叠部分两角的和一个顶点处小于90°，另一顶点处大于90°，故本选项错误；B．当如B所示折叠时，其重叠部分两角的和小于90°，故本选项错误；C．当如C所示折叠时，折痕不经过长方形任何一角的顶点，所以不可能是角的平分线，故本选项错误；D．当如D所示折叠时，两角的和是90°，由折叠的性质可知其折痕必是其角的平分线，正确．故选：D．点评：本题考查的是角平分线的定义及图形折叠的性质，熟知图形折叠的性质是解答此题的关键．4．（4分）（2014•宁波）杨梅开始采摘啦！每框杨梅以5千克为基准，超过的千克数记为A．千克B．千克C．千克D．千克考点：正数和负数分析：根据有理数的加法，可得答案．解答：﹣）+5×（千克），故选：C．点评：本题考查了正数和负数，有理数的加法运算是解题关键．5．（4分）（2014•宁波）圆锥的母线长为4，底面半径为2，则此圆锥的侧面积是（）A．6πB．8πC．12πD．16π考点：圆锥的计算专题：计算题．分析：根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．解答：解：此圆锥的侧面积=•4•2π•2=8π．故选B．点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．6．（4分）（2014•宁波）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是（）A．10 B．8C．6D．5考点：菱形的性质；勾股定理．分析：根据菱形的性质及勾股定理即可求得菱形的边长．解答：解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，∴OB=OD=3，OA=OC=4，AC⊥BD，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB===5，即菱形ABCD的边长AB=BC=CD=AD=5，故选D．点评：本题考查了菱形的性质和勾股定理，关键是求出OA、O B的长，注意：菱形的对角线互相平分且垂直．7．（4分）（2014•宁波）如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是（）A．B．C．D．考点：概率公式专题：网格型．分析：找到可以组成直角三角形的点，根据概率公式解答即可．解答：解：如图，C1，C2，C3，均可与点A和B组成直角三角形．P=，故选C．点评：本题考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．8．（4分）（2014•宁波）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．：考点：相似三角形的判定与性质．分析：先求出△CBA∽△ACD，求出=，COS∠ACB•COS∠DAC=，得出△ABC与△DCA的面积比=．解答：解：∵AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC又∵∠B=∠ACD=90°，∴△CBA∽△ACD==，AB=2，DC=3，∴===，∴=，∴COS∠ACB==，COS∠DAC==∴•=×=，∴=，∵△ABC与△DCA的面积比=，∴△ABC与△DCA的面积比=，故选：C．点评：本题主要考查了三角形相似的判定及性质，解决本题的关键是明确△ABC与△DCA的面积比=．9．（4分）（2014•宁波）已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，当b＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（）A．b=﹣1 B．b=2 C．b=﹣2 D．b=0考点：命题与定理；根的判别式专题：常规题型．分析：先根据判别式得到△=b2﹣4，在满足b＜0的前提下，取b=﹣1得到△＜0，根据判别式的意义得到方程没有实数解，于是b=﹣1可作为说明这个命题是假命题的一个反例．解答：解：△=b2﹣4，由于当b=﹣1时，满足b＜0，而△＜0，方程没有实数解，所以当b=﹣1时，可说明这个命题是假命题．故选A．点评：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了根的判别式．10．（4分）（2014•宁波）如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（）A．五棱柱B．六棱柱C．七棱柱D．八棱柱考点：认识立体图形分析：根据棱锥的特点可得九棱锥侧面有9条棱，底面是九边形，也有9条棱，共9+9=18条棱，然后分析四个选项中的棱柱棱的条数可得答案．解答：解：九棱锥侧面有9条棱，底面是九边形，也有9条棱，共9+9=18条棱，A、五棱柱共15条棱，故此选项错误；B、六棱柱共18条棱，故此选项正确；C、七棱柱共21条棱，故此选项错误；D、九棱柱共27条棱，故此选项错误；故选：B．点评：此题主要考查了认识立体图形，关键是掌握棱柱和棱锥的形状．11．（4分）（2014•宁波）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．B．C．D．2考点：直角三角形斜边上的中线；勾股定理；勾股定理的逆定理．分析：连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．解答：解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，∴AC=，CF=3，∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，由勾股定理得，AF===2，∵H是AF的中点，∴CH=AF=×2=．故选B．点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．12．（4分）（2014•宁波）已知点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x+4x+10上，则点A A．（﹣3，7）B．（﹣1，7）C．（﹣4，10）D．（0，10）考点：二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-对称．分析：把点A坐标代入二次函数解析式并利用完全平方公式整理，然后根据非负数的性质列式求出a、b，再求出点A的坐标，然后求出抛物线的对称轴，再根据对称性求解即可．解答：解：∵点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，∴（a﹣2b）2+4×（a﹣2b）+10=2﹣4ab，a2﹣4ab+4b2+4a﹣8ab+10=2﹣4ab，（a+2）2+4（b﹣1）2=0，∴a+2=0，b﹣1=0，解得a=﹣2，b=1，∴a﹣2b=﹣2﹣2×1=﹣4，2﹣4ab=2﹣4×（﹣2）×1=10，∴点A的坐标为（﹣4，10），∵对称轴为直线x=﹣=﹣2，∴点A关于对称轴的对称点的坐标为（0，10）．故选D．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，坐标与图形的变化﹣对称，把点的坐标代入抛物线解析式并整理成非负数的形式是解题的关键．二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）（2014•宁波）﹣4的绝对值是4．考点：绝对值专题：计算题．分析：计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．解答：解：|﹣4|=4．点评：此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际运算当中．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．14．（4分）（2014•宁波）方程=的根x= ﹣1．考点：解分式方程专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x=﹣1，经检验x=﹣1是分式方程的解．故答案为：﹣1．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．15．（4分）（2014•宁波）某冷饮店一天售出各种口味雪糕数量的扇形统计图如图，其中售出红豆口味的雪糕200支，那么售出水果口味雪糕的数量是150支．考点：扇形统计图分析：首先根据红豆口味的雪糕的数量和其所占的百分比确定售出雪糕的总量，然后乘以水果口味的所占的百分比即可求得其数量．解答：解：观察扇形统计图知：售出红豆口味的雪糕200支，占40%，∴售出雪糕总量为200÷40%=500支，∵水果口味的占30%，∴水果口味的有500×30%=150支，故答案为150．点评：本题考查了扇形统计图的知识，解题的关键是正确的从扇形统计图中整理出进一步解题的有关信息．16．（4分）（2014•宁波）一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是ab（用a、b的代数式表示）．考点：平方差公式的几何背景分析：利用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可求解．解答：解：设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为x2，由图①和②列出方程组得，解得，大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积=（）2﹣（）2=ab．故答案为：ab．点评：本题考查了平方差公式的几何背景，正确求出大小正方形的边长列代数式，以及整式的化简，正确对整式进行化简是关键．17．（4分）（2014•宁波）为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出17个这样的停车位．（）考点：解直角三角形的应用．分析：如图，根据三角函数可求BC，CE，则BE=BC+CE可求，再根据三角函数可求EF，再根据停车位的个数=（56﹣BE）÷EF+1，列式计算即可求解．解答：×sin45°×米，CE=5×sin45°=5×米，BE=BC+CE≈，÷sin45°÷米，（56﹣）÷÷≈16+1=17（个）．故这个路段最多可以划出17个这样的停车位．故答案为：17．点评：考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．18．（4分）（2014•宁波）如图，半径为6cm的⊙O中，C、D为直径AB的三等分点，点E、F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE=∠BDF=60°，连接AE、BF，则图中两个阴影部分的面积为6cm2．考点：垂径定理；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．分析：作三角形DBF的轴对称图形，得到三角形AGE，三角形AGE的面积就是阴影部分的面积．解答：解：如图作△DBF的轴对称图形△HAG，作AM⊥CG，ON⊥CE，∵△DBF的轴对称图形△HAG，∴△ACG≌△BDF，∴∠ACG=∠BDF=60°，∵∠ECB=60°，∴G、C、E三点共线，∵AM⊥CG，ON⊥CE，∴AM∥ON，∴==，在RT△ONC中，∠OCN=60°，∴ON=sin∠OCN•OC=•OC，∵OC=OA=2，∴ON=，∴AM=2，∵ON⊥GE，∴NE=GN=GE，连接OE，在RT△ONE中，NE===，∴GE=2NE=2，∴S△AGE=GE•AM=×2×2=6，∴图中两个阴影部分的面积为6，故答案为6．点评：本题考查了平行线的性质，垂径定理，勾股定理的应用．三、解答题（本大题有8小题，共78分）19．（6分）（2014•宁波）（1）化简：（a+b）2+（a﹣b）（a+b）﹣2ab；考点：整式的混合运算；解一元一次不等式分析：（1）先运用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项即可；（2）先去括号，再移项、合并同类项．解答：解：（1）原式=a2+2ab+b2+a2﹣b2﹣2ab=2a2；（2）去括号，得5x﹣10﹣2x﹣2＞3，移项、合并同类项得3x＞15，系数化为1，得x＞5．点评：本题考查了整式的混合运算以及解一元一次不等式，是基础知识要熟练掌握．20．（8分）（2014•宁波）作为宁波市政府民生实事之一的公共自行车建设工作已基本完成，某部门对今年4月份中的7天进行了公共自行车日租车量的统计，结果如图：（1）求这7天日租车量的众数、中位数和平均数；（2）用（1）中的平均数估计4月份（30天）共租车多少万车次；（3）市政府在公共自行车建设项目中共投入9600万元，估计2014年共租车3200万车次，每车次平均收入租车费元，求2014年租车费收入占总投入的百分率（精确到）．考点：条形统计图；加权平均数；中位数；众数专题：计算题．分析：（1）找出租车量中车次最多的即为众数，将数据按照从小到大顺序排列，找出中间的数即为中位数，求出数据的平均数即可；（2）由（1）求出的平均数乘以30即可得到结果；（3）求出2014年的租车费，除以总投入即可得到结果．解答：解：（1）根据条形统计图得：出现次数最多的为8，即众数为8；，8，8，8，9，9，10，中位数为8；）÷；（2）根据题意得：30×（万车次），则估计4月份（30天）共租车255万车次；（3）根据题意得：=，则2014年租车费收入占总投入的百分率为．点评：此题考查了条形统计图，加权平均数，中位数，以及众数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．21．（8分）（2014•宁波）如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．（1）求改直的公路AB的长；考点：解直角三角形的应用分析：（1）作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，根据三角函数求得CH，AH，在Rt△BCH中，根据三角函数求得BH，再根据AB=AH+BH即可求解；（2）在Rt△BCH中，根据三角函数求得BC，再根据AC+BC﹣AB列式计算即可求解．解答：解：（1）作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，CH=AC•sin∠CAB=AC•sin25°≈10×千米，AH=AC•cos∠CAB=AC•cos25°≈10×千米，在Rt△BCH中，BH=CH÷tan∠÷tan37°≈÷千米，∴千米．故改直的公路AB的长千米；（2）在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠÷sin37°≈÷千米，则AC+BC﹣AB=10+7﹣千米．千米．点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．22．（10分）（2014•宁波）如图，点A、B分别在x，y轴上，点D在第一象限内，DC⊥x轴于点C，AO=CD=2，AB=DA=，反比例函数y=（k＞0）的图象过CD的中点E．（1）求证：△AOB≌△DCA；（2）求k的值；（3）△BFG和△DCA关于某点成中心对称，其中点F在y轴上，是判断点G是否在反比例函数的图象上，并说明理由．考点：反比例函数综合题．专题：综合题．分析：（1）利用“HL”证明△AOB≌△DCA；（2）先利用勾股定理计算出AC=1，再确定C点坐标，然后根据点E为CD的中点可得到点E的坐标为（3，1），则可根据反比例函数图象上点的坐标特征求得k=3；（3）根据中心对称的性质得△BFG≌△DCA，所以FG=CA=1，BF=DC=2，∠BFG=∠DCA=90°，则可得到G点坐标为（1，3），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征判断G点是否在函数y=的图象上．解答：（1）证明：∵点A、B分别在x，y轴上，点D在第一象限内，DC⊥x 轴，∴∠AOB=∠DCA=90°，在Rt△AOB和Rt△DCA中，∴Rt△AOB≌Rt△DCA；（2）解：在Rt△ACD中，CD=2，AD=，∴AC==1，∴OC=OA+AC=2+1=3，∴D点坐标为（3，2），∵点E为CD的中点，∴点E的坐标为（3，1），∴k=3×1=3；（3）解：点G是否在反比例函数的图象上．理由如下：∵△BFG和△DCA关于某点成中心对称，∴△BFG≌△DCA，∴FG=CA=1，BF=DC=2，∠BFG=∠DCA=90°，而OB=AC=1，∴OF=OB+BF=1+2=3，∴G点坐标为（1，3），∵1×3=3，∴G（1，3）在反比例函数y=的图象上．点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、中心对称的性质和三角形全等的判定与性质；会利用勾股定理进行几何计算．23．（10分）（2014•宁波）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．考点：待定系数法求二次函数解析式；一次函数的图象；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）分析：（1）根据二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点，代入得出关于a，b，c的三元一次方程组，求得a，b，c，从而得出二次函数的解析式；（2）令y=0，解一元二次方程，求得x的值，从而得出与x轴的另一个交点坐标；（3）画出图象，再根据图象直接得出答案．解答：解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C （4，5）三点，∴，∴a=，b=﹣，c=﹣1，∴二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣1；（2）当y=0时，得x2﹣x﹣1=0；解得x1=2，x2=﹣1，∴点D坐标为（﹣1，0）；（3）图象如图，当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是﹣1＜x＜4．点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及一次函数的图象、抛物线与x轴的交点问题，是中档题，要熟练掌握．个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．（1）用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？考点：一元一次方程的应用；列代数式．分析：（1）由x张用A方法，就有（19﹣x）张用B方法，就可以分别表示出侧面个数和底面个数；（2）由侧面个数和底面个数比为3：2建立方程求出x的值，求出侧面的总数就可以求出结论．解答：解：（1）∵裁剪时x张用A方法，∴裁剪时（19﹣x）张用B方法．∴侧面的个数为：6x+4（19﹣x）=（2x+76）个，底面的个数为：5（19﹣x）=（95﹣5x）个；（2）由题意，得，解得：x=7，∴盒子的个数为：=30．答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做30个盒子．点评：本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，列代数式的运用，解答时根据裁剪出的侧面和底面个数相等建立方程是关键．形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；（3）如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三考点：相似形综合题；图形的剪拼分析：（1）45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形，则易得一种情况．第二种情形可以考虑题例中给出的方法，试着同样以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底脚被分为45°和°，再以°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形．即又一三分线作法．（2）用量角器，直尺标准作30°角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再标准作图实验﹣﹣分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾AEC在同一直线上，易得2种三角形ABC．根据图形易得x的值．（3）因为∠C=2∠B，作∠C的角平分线，则可得第一个等腰三角形．而后借用圆规，以边长画弧，根据交点，寻找是否存在三分线，易得如图4图形为三分线．则可根据外角等于内角之和及腰相等等情况列出等量关系，求解方程可知各线的长．解答：解：（1）如图2作图，（2）如图3 ①、②作△ABC．①当AD=AE时，∵2x+x=30+30，∴x=20．②当AD=DE时，∵30+30+2x+x=180，∴x=40．（3）如图4，CD、AE就是所求的三分线．设∠B=a，则∠DCB=∠DCA=∠EAC=a，∠ADE=∠AED=2a，此时△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，设AE=AD=x，BD=CD=y，∵△AEC∽△BDC，∴x：y=2：3，∵△ACD∽△ABC，∴2x=（x+y）：2，所以联立得方程组，解得，即三分线长分别是和．点评：本题考查了学生学习的理解能力及动手创新能力，知识方面重点考查三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，是一道很锻炼学生能力的题目．的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C、O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．（1）写出方案一中圆的半径；（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3）在方案四中，设CE=x（0＜x＜1），圆的半径为y．①求y关于x的函数解析式；②当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．考点：圆的综合题分析：（1）观察图易知，截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，由已知长宽分别为3，2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1．（2）方案二、方案三中求圆的半径是常规的利用勾股定理或三角形相似中对应边长成比例等性质解直角三角形求边长的题目．一般都先设出所求边长，而后利用关系代入表示其他相关边长，方案二中可利用△O1O2E为直角三角形，则满足勾股定理整理方程，方案三可利用△AOM∽△OFN后对应边成比例整理方程，进而可求r的值．（3）①类似（1）截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，虽然方案四中新拼的图象不一定为矩形，但直径也不得超过横纵向方向跨度．则选择最小跨度，取其，即为半径．由EC为x，则新拼图形水平方向跨度为3﹣x，竖直方向跨度为2+x，则需要先判断大小，而后分别讨论结论．②已有关系表达式，则直接根据不等式性质易得方案四中的最大半径．另与前三方案比较，即得最终结论．解答：解：（1）方案一中的最大半径为1．分析如下：因为长方形的长宽分别为3，2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1．（2）如图1，方案二中连接O1，O2，过O1作O1E⊥AB于E，方案三中，过点O分别作AB，BF的垂线，交于M，N，此时M，N恰为⊙O与AB，BF的切点．方案二：设半径为r，在Rt△O1O2E中，∵O1O2=2r，O1E=BC=2，O2E=AB﹣AO1﹣CO2=3﹣2r，∴（2r）2=22+（3﹣2r）2，解得r=．方案三：设半径为r，在△AOM和△OFN中，，∴△AOM∽△OFN，∴，∴，解得r=．比较知，方案三半径较大．（3）方案四：①∵EC=x，∴新拼图形水平方向跨度为3﹣x，竖直方向跨度为2+x．类似（1），所截出圆的直径最大为3﹣x或2+x较小的．1．当3﹣x＜2+x时，即当x＞时，r=（3﹣x）；2．当3﹣x=2+x时，即当x=时，r=（3﹣）=；3．当3﹣x＞2+x时，即当x＜时，r=（2+x）．②当x＞时，r=（3﹣x）＜（3﹣）=；当x=时，r=（3﹣）=；当x＜时，r=（2+x）＜（2+）=，∴方案四，当x=时，r最大为．∵1＜＜＜，∴方案四时可取的圆桌面积最大．点评：本题考查了圆的基本性质及通过勾股定理、三角形相似等性质求解边长及分段函数的表示与性质讨论等内容，题目虽看似新颖不易找到思路，但仔细观察每一小问都是常规的基础考点，所以总体来说是一道质量很高的题目，值得认真练习．。
2014中考数学分类汇编：勾股定理
2013中考全国100份试卷分类汇编勾股定理1、（2013?昆明）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A , B重合），对角线AC，BD相交于点O,过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E, F, 交AD，BC于点M，N .下列结论：2 2 2①△ APE AME ;② PM+PN=AC ;③ PE +PF =PO ；④△ POF s △ BNF ;⑤当△ PMN AMP时，点P是AB的中点.其中正确的结论有（）A . 5个B . 4个C. 3个 D . 2个考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质分析：依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断△ APM和厶BPN以及△ APE、△ BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形，从而作出判断.解答：解：•••四边形ABCD是正方形，••• / BAC= / DAC=45 °•/在厶APE和△ AME中，[ZBAC=ZDACAE=AE ,ZAEP=ZAEN• △ APE◎△ AME，故① 正确；• PE=EM==PM,同理，FP=FN=2NP.[2•/正方形ABCD中AC丄BD ,又•/ PE丄AC , PF丄BD ,• / PEO= / EOF= / PFO=90 ° 且△ APE 中AE=PE•四边形PEOF是矩形.• PF=OE,• PE+PF=OA ,又••• PE=EM=^PM , FP=FN=^NP, OA』AC ,2 2 2• PM+PN=AC，故② 正确；•••四边形PEOF是矩形，• PE=OF,2 2 2在直角△ OPF 中，OF +PF =PO ,••• PE2+PF2=PO2，故③正确.•/ △ BNF是等腰直角三角形，而△ POF不- -定是，故④错误；•/ △ AMP是等腰直角三角形，当△ PMN AMP时，△ PMN是等腰直角三角形.• PM=PN,又•••△ AMP和厶BPN都是等腰直角三角形，• AP=BP，即P时AB的中点.故⑤正确.故选B.点评：本题是正方形的性质、矩形的判定、勾股定理得综合应用，认识△ APM和厶BPN以及厶APE、△ BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形是关键.2、（2013 达州）如图，在Rt △ ABC 中，/ B=90 °, AB=3, BC=4,点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有D ADCE中，DE最小的值是（）A . 2B . 3C. 4 D . 5答案：B解析：由勾股定理，得AC = 5,因为平行边形的对角线互相平分，所以，DE 一定经过AC中点0,当DE丄BC时，DE最小，3此时0D = ?,所以最小值DE = 323、（2013?自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6 , AD=9 , / BAD的平分线交BC于E,交DC的延长线于F, BG丄AE于G, BG= ，则△ EFC的周长为（）C. 9考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质.分析：判断出△ ADF是等腰三角形，△ ABE是等腰三角形，DF的长度，继而得到EC的长度，在Rt△ BGE中求出GE，继而得到AE，求出△ ABE的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△ EFC的周长.解答：解：•.•在？ABCD中，AB=CD=6 , AD=BC=9 , / BAD的平分线交BC于点E, •/ BAF= / DAF ,•/ AB // DF , AD // BC,•/ BAF= / F=Z DAF , / BAE= / AEB ,• AB=BE=6 , AD=DF=9 ,•△ ADF是等腰三角形，△ ABE是等腰三角形，（第9题图｝•/ AD // BC ,•△ EFC是等腰三角形，且FC=CE,••• EC=FC=9 - 6=3,在厶ABG 中，BG 丄AE , AB=6 , BG=4 -：,• AG=」.]_ | :' J=2，• AE=2AG=4 ,•△ ABE的周长等于16 ,又•••△ CEF s △ BEA，相似比为1: 2,•△ CEF的周长为8点评：本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大.4、（2013?资阳）如图，点E在正方形ABCD内，满足/ AEB=90 ° AE=6 , BE=8，则阴影部分的面积是（）考点：勾股定理；正方形的性质.分析：由已知得厶ABE为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长AB，用S阴影部分=S正方形ABCD - S A ABE 求面积.解答：解:•/ / AEB=90 °, AE=6 , BE=8 ,2 2 2•在Rt A ABE 中，AB2=AE2+BE2=100 ,2 1• S 阴影部分=S 正方形ABCD - S A ABE=AB - —MAE X3E|2=100 -4x5>82=76.故选C.点评：本题考查了勾股定理的运用，正方形的性质.关键是判断△ ABE为直角三角形，运用勾股定理及面积公式求解.5、（2012?泸州）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O,若AC=6 , BD=4 ,则菱形ABCD 的周长是（）B . 60 C. 76 D. 80A . 48考点：菱形的性质；勾股定理.分析：由菱形ABCD 的两条对角线相交于O , AC=6 , BD=4，即可得AC 丄BD ，求得OA 与 OB 的长，然后利用勾股定理，求得AB 的长，继而求得答案.解答：解：•••四边形ABCD 是菱形，AC=6 , BD=4 ,••• AC 丄 BD , OA=AC=3 , 0B=BD=2 , AB=BC=CD=AD , •••在 Rt A AOB 中，AB= -i 【上常， •菱形的周长是：4AB=4 V 故选C .点评：此题考查了菱形的性质与勾股定理•此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.6、（ 2013泰安）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=4 , / BAD 的平分线与 BC 的延长线 交于点E ,与DC 交于点F ，且点F 为边DC 的中点，DG 丄AE ，垂足为G ,若DG=1，则考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；含 30度角的直角三角形；勾股定理. 专题：计算题.分析：由AE 为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD 为平行四边形，得到 AD 与BE 平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DF ，由F 为DC 中点，AB=CD ，求出AD 与DF 的长，得出三角形 ADF 为等腰三角形，根据三线 合一得到G 为AF 中点，在直角三角形 ADG 中，由AD 与DG 的长，利用勾股定理求出 AG 的长，进而求出 AF 的长，再由三角形 ADF 与三角形ECF 全等，得出AF=EF ，即可求出 AE 的长. 解答：解：•/ AE 为/ ADB 的平分线， • / DAE= / BAE , •/ DC // AB , • / BAE= / DFA , • / DAE= / DFA , • AD=FD , 又F 为DC 的中点，B . 16C . 4 I';DA . 242••• DF=CF ,••• AD=DF=DC=AB=2 ,在Rt △ ADG 中，根据勾股定理得： AG=.二 则 AF=2AG=2 .；, 在厶ADF 和厶ECF 中，ZDAF=ZE DF^CF• △ ADF ◎△ ECF （AAS ）,• AF=EF ,则 AE=2AF=4 .「；. 故选B点评：此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质， 勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键.7、（ 2013?苏州）如图，在平面直角坐标系中， Rt A OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上.顶点 B 的坐标为（3，頒）点C 的坐标为（吉，0）,点P 为斜边OB 上的一个动点，则 PA+PC考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质.分析：作A 关于OB 的对称点D ，连接CD 交OB 于P ,连接AP ,过D 作DN 丄OA 于N , 则此时PA+PC 的值最小，求出 AM ，求出AD ，求出DN 、CN ，根据勾股定理求出 CD ，即可得出答案.解答：解：作A 关于OB 的对称点D ,连接CD 交OB 于P ,连接AP ，过D 作DN 丄OA 于N ,则此时PA+PC 的值最小， •/ DP=PA ,• PA+PC=PD+PC=CD , ••• B （ 3,乎），• AB=M^, OA=3 , / B=60 ° 由勾股定理得：OB=2、/^ , 由三角形面积公式得： 丄 >OA >AB=¥ >OB >AM ,幺 龙3• AM#,[C .丨••D . 2 -的最小值为（A . 8B . 8C . 10D . 12••• AD=2 ==3,1•/ Z AMB=90 ° /B=60 ° • Z BAM=30 ° •/ Z BAO=90 ° • Z OAM=60 ° , •/ DN 丄 OA , • Z NDA=30 ° °• AN =2AD =£，由勾股定理得:2 2•- C （二，0）,11 3• • CN=3 一 ^一 一=1 ,2 2即PA+PC 的最小值是二_!■2点评：本题考查了三角形的内角和定理，轴对称-最短路线问题，勾股定理，含 30度角的8、( 2013?鄂州)如图，已知直线 a // b ,且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为 2,点B 到直线b 的距离为3, AB=.试在直线a 上找一点M ,在直线b 上找一点N ,满足MN 丄a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时 AM+NB=()在Rt △ DNC 中，由勾股定理得:直角三角形性质的应用，关键是求出P 点的位置，题目比较好，难度适中. 故选B ・考点：勾股定理的应用；线段的性质：两点之间线段最短；平行线之间的距离.分析：MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB的值最小即可，作点A关于直线a的对称点A连接A 'B交直线b与点N,过点N作NM丄直线a,连接AM，则可判断四边形AA NM是平行四边形，得出AM=A 'N，由两点之间线段最短，可得此时AM+NB的值最小.过点B作BE丄AA :交AA于点E,在Rt△ ABE 中求出BE，在Rt△ A BE 中求出 A B即可得出AM+NB .解答：解：作点A关于直线a的对称点A '，连接A B交直线b与点N，过点N作NM丄直线a,连接AM ,•/ A到直线a的距离为2, a与b之间的距离为4,••• AA =MN=4 ,•••四边形AA NM是平行四边形，• AM+NB=A N+NB=A B,过点B作BE丄A A '，交AA于点E,易得AE=2+4+3=9 , AB=2』订-，A E=2+3=5 ,在Rt△ AEB中，BE= J胡2 _人护応^,在Rt△ A EB 中，A B= 「=8.点评：本题考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，解答本题的关键是找到点M、点N 的位置，难度较大，注意掌握两点之间线段最短.9、（2013?绥化）已知：如图在△ ABC , △ ADE 中，/ BAC= / DAE=90 ° AB=AC , AD=AE , 点C, D, E三点在同一条直线上，连接BD , BE .以下四个结论：2 2 2①BD=CE ;② BD 丄CE;③ / ACE+ / DBC=45 ° ④ BE =2 （AD +AB ）,其中结论正确的个数是（）A . 1B . 2 C. 3 D. 4考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形.专题：计算题.分析：①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD 与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE，本选项正确；②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；③由等腰直角三角形的性质得到 / ABD+ / DBC=45 °等量代换得到/ ACE+ / DBC=45 °本选项正确；④由BD垂直于CE,在直角三角形BDE中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断.解答：解：①••• / BAC= / DAE=90 °••• / BAC+ / CAD= / DAE+ / CAD，即 / BAD= / CAE ,•••在△ BAD 和厶CAE中，[AB=ACZBAT^ZCAE ,AD=AE• △ BAD ◎△ CAE （SAS）,• BD=CE，本选项正确；②•/ △ BAD ◎△ CAE ,• / ABD= / ACE ,•/ / ABD+ / DBC=45 °• / ACE+ / DBC=45 °• / DBC+ / DCB= / DBC+ / ACE+ / ACB=90 °则BD丄CE，本选项正确；③•/ △ ABC为等腰直角三角形，• / ABC= / ACB=45 °• / ABD+ / DBC=45 °•/ / ABD= / ACE• / ACE+ / DBC=45 °本选项正确；④•/ BD 丄CE ,•在RtA BDE中，利用勾股定理得：BE2=BD2+DE2,••• △ ADE为等腰直角三角形，• DE= 一'AD，即DE2=2AD2,2 2 2 2 2• BE =BD +DE =BD +2AD ,而BD2吃AB2,本选项错误，综上，正确的个数为3个.故选C点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.10、（2013?黔西南州）一直角三角形的两边长分别为3和4 .则第三边的长为（）A . 5B .「C. 口D. 5 或一丁E -------------------------- D点评：本题考查正确运用勾股定理•善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.12、（2013年佛山市）如图，若/ A=60° , AC=20m ,贝U BC 大约是（结果精确到0.1m ）（A . 34.64m D . 17.3mB . 34.6mC . 28.3m 分析：首先计算出/ B 的度数，再根据直角三角形的性质可得 AB=40m ，再利用勾股定理计算出BC 长即可解：•••/ A=60 °, / C=90 °, •••/ B=30 °, ••• AB=2AC , v AC=20m , AB=40m ,考点：勾股定理. 专题：分类讨论.分析：本题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析. 解答：解：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5,（2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为 [-.：■ ■ ■!，故选D .点评：题主要考查学生对勾股定理的运用，注意分情况进行分析.11、（2013安顺）如图，有两颗树，一颗高 10米，另一颗高4米，两树相距8米.一只鸟 从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（） A . 8 米 B . 10 米 C . 12 米 D . 14 米 考点：勾股定理的应用. 专题：应用题.分析：根据两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最 短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出. 解答：解：如图，设大树高为 AB=10m ,小树高为CD=4m ,过C 点作CE 丄AB 于E ,贝U EBDC 是矩形， 连接AC ,/• EB=4m , EC=8m , AE=AB - EB=10 - 4=6m , 在 Rt △ AEC 中，AC=] ” …=10m ,故选B .AC第7题图二 BC珂qoo W1 颁3 詣4.6 （m ）,故选：B -点评：此题主要考查了勾股定理， 以及直角三角形的性质， 关键是掌握在直角三角形中， 30角所对的直角边等于斜边的一半. 在任何一个直角三角形中， 两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方13、（2013台湾、14）如图，△ ABC 中，D 为AB 中点，E 在AC 上，且BE 丄AC .若DE=10 , ）12 D . 13 考点：勾股定理；直角三角形斜边上的中线. 分析：根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半着一性质可求出 据勾股定理即可求出 BE 的长.解答：解：T BE 丄AC , • △ AEB 是直角三角形，•/ D 为 AB 中点，DE=10 ,• AB=20 ,•/ AE=16 ,故选C .点评：本题考查了勾股定理的运用、 直角三角形的性质： 直角三角形中，斜边上的中线等于 斜边的一半，题目的综合性很好，难度不大.14、（ 10-4图形变换综合与创新• 2013东营中考）如图，圆柱形容器中，高为1.2m , 底面周长为1m ，在容器内壁.离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器 外壁，离容器上沿0.3m 与蚊子相对的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m （容器厚度忽略不计）.AB 的长，再根••• BE= A /AB 2 - AE 2=12,16. 1.3.解析：因为壁虎与蚊子在相对的位置，则壁虎在圆柱展开图矩形两边中点的连线上，如图所示，要求壁虎捉蚊子的最短距离，实际上是求在EF上找一点P,使PA+PB最短，过A作EF的对称点A，连接A B，则A B与EF的交点就是所求的点P,过B作BM AA于点M,在Rt A MB 中，AM 1.2，BM 1，所以A B A M 2BM 2 1.3，因2为AB AP PB，所以壁虎捉蚊子的最短距离为 1.3m.15、（2013?滨州）在△ ABC 中，/ C=90 ° AB=7 , BC=5，则边AC 的长为考点：勾股定理.专题：计算题.分析：根据勾股定理列式计算即可得解.解答：解：•••/ C=90 ° AB=7 , BC=5 ,•-AC=J配2 _氏2=弁_5览2后•故答案为：2.・.点评：本题考查了勾股定理的应用，是基础题，作出图形更形象直观.16、（2013山西，1，2分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上,将厶DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A'处，则AE的长为【答案】3【解析】由勾股定理求得:DA=D A'=BC=5 ,Z D A'E=Z DAE=90，设AE=x,贝U A' E=x, BE=12- x, B A'=13-5 = 8,10 10解得：x=，即AE的长为3 317、（2013?黄冈）已知△ ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E,使CE=CD=1 , 连接DE,贝U DE=_考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质.分析：根据等腰三角形和三角形外角性质求出BD=DE，求出BC,在Rt△△ BDC中，由勾股定理求出BD即可.解答：解：•••△ ABC为等边三角形，••• / ABC= / ACB=60 °, AB=BC ,••• BD为中线，BD=13 ,在Rt△ E A'B 中，(12 x)2• / DBC=2/ ABC=30 °,•/ CD=CE ,• / E=Z CDE ,•/ / E+Z CDE= / ACB ,••• Z E=30 °Z DBC ,••• BD=DE ,•/ BD 是AC 中线，CD=1 ,• AD=DC=1 ,••• △ABC是等边三角形，• BC=AC=1 + 1=2 , BD 丄AC ,在Rt△△ BDC中，由勾股定理得：BD=Jrj2 _即DE=BD= 故答案为：J H.点评：本题考查了等边三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质等知识点的应用，关键是求出DE=BD和求出BD的长.18、（2013四川宜宾）如图，在厶ABC中，Z ABC=90 ° BD为AC的中线，过点C作CE丄BD 于点E,过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD ,连接BG、DF .若AG=13 , CF=6，则四边形BDFG的周长为20 .考点：菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理.分析：首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD，则可判断四边形BGFD是菱形，设GF=x,则AF=13 - x,AC=2x,在Rt A ACF 中利用勾股定理可求出x的值.解答：解：•/ AG// BD, BD=FG ,•四边形BGFD是平行四边形，•/ CF 丄BD,• CF 丄AG,又•••点D是AC中点，•BD=DF=AC,•四边形BGFD是菱形，设GF=x，贝U AF=13 - x, AC=2x,在 Rt A ACF 中,AF 2+CF 2=AC 2,即(13 -x ) 2+62= (2x ) 2, 解得：x=5,故四边形BDFG 的周长=4GF=20 . 故答案为：20.点评：本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质， 解答本题的关键是判断出四边形 BGFD 是菱形. Rt A ABC 中，/ ACB=90 ° D 是AB 的中点，过 D 点作AB 的sinA=F ，贝U DE= ―:.5-4-考点： 解直角三角形；线段垂直平分线的性质；勾股定理. 分析： 在Rt △ ABC 中，先求出 AB , AC 继而得出 AD ，再由△ ADE ACB ，利用对应边成比例可求出 DE . 解答: 解: •/ BC=6 , sinA=t ,5••• AB=10 ,••• AC= 」=8,•/ D 是AB 的中点,•/ △ ADE ACB , .DE AD 日 口 D£ 5… = ，即 =,BC AC 6 8解得：DE= —.故答案为：一.点评：本题考查了解直角三角形的知识,定理的表达式.20、（2013?张家界）如图， OP=1，过P 作PP 1丄OP ,得OP 仁一：；再过P 1作P 1P 2丄OP 1且 P 1P 2=1，得OP 2=.；；又过P 2作P 2P 3丄OP 2且P 2P 3=1，得OP 3=2 ； ••依此法继续作下去，得 OP 2012=—I " _.19、（2013?荆门）如图，在 垂线交AC 于点E , BC=6 ,解答本题的关键是熟练掌握三角函数的定义及勾股AD=考点：勾股定理.专题：规律型.分析：首先根据勾股定理求出0P4,再由0P1 , 0P2, 0P3的长度找到规律进而求出OP2012 的长.解已°解：由勾股定理得：0P4^y2十],••• OP1= . :■:; 得0P2― ■；；依此类推可得0P n=. ,• •• 0P2O12h jL[ ’ ,故答案为：一」；.点评：本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是由已知数据找到规律.21、（2013?包头）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE ,将△ ABE绕点B 顺时针旋转90°到厶CBE的位置.若AE=1 , BE=2 , CE=3，则/ BE C= 135 度.考点：勾股定理的逆定理；正方形的性质；旋转的性质.分析：首先根据旋转的性质得出 / EBE =90°, BE=BE =2 , AE=E C=1，进而根据勾股定理的逆定理求出△ EE C是直角三角形，进而得出答案.解答：解：连接EE•••将△ ABE绕点B顺时针旋转90°到厶CBE的位置，AE=1 , BE=2 , CE=3,•/ EBE =90 ° BE=BE =2 , AE=E C=1 ,• EE =2 二，/ BE E=45 °•/ E 'E2+E 'C2=8+1=9 ,2EC =9,222• E E +E C =EC ,•△ EE C是直角三角形，•/ EE C=90 °•/ BE C=135 °故答案为：135.4n点评：此题主要考查了勾股定理以及逆定理，根据已知得出△ EE'C是直角三角形是解题关键.22、 (2013?巴中)若直角三角形的两直角边长为a、b,且满足-:一一-卜-一-,则该直角三角形的斜边长为 5 .考点：勾股定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根.分析：根据非负数的性质求得a、b的值，然后利用勾股定理即可求得该直角三角形的斜边长.解答.解：••冷/ _ 6乩+9+ q |二0，2a—6a+9=0, b - 4=0,解得a=3, b=4,T直角三角形的两直角边长为a、b,•••该直角三角形的斜边长=_ •]'=；二‘=5.故答案是：5.点评：本题考查了勾股定理，非负数的性质-绝对值、算术平方根.任意一个数的绝对值(二次根式)都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.23、(2013?雅安)在平面直角坐标系中，已知点A (-ME, 0) , B 伍,0)，点C在坐标轴上，且AC+BC=6 ,写出满足条件的所有点C的坐标(0, 2), (0, - 2), (- 3, 0), ( 3, 0)_.考点：勾股定理；坐标与图形性质.专题：分类讨论.分析：需要分类讨论：①当点C位于x轴上时，根据线段间的和差关系即可求得点C的坐标；②当点C位于y轴上时，根据勾股定理求点C的坐标.解答：解：如图，①当点C位于y轴上时，设C (0, b).则.I - -- + } 2=6，解得，b=2 或b=- 2,此时 C (0, 2),或 C (0,- 2).如图，②当点C位于x轴上时，设C (a, 0).则|-卜刃-a|+|a—一刁=6, 即卩2a=6 或-2a=6,解得a=3或a= - 3,此时 C (- 3, 0),或 C (3, 0).综上所述，点 C 的坐标是：(0, 2), ( 0,- 2) , (- 3, 0), (3, 0).故答案是： (0, 2), (0, - 2), (- 3, 0), (3, 0).点评：本题考查了勾股定理、坐标与图形的性质•解题时，要分类讨论，以防漏解•另外, 当点C在y 轴上时，也可以根据两点间的距离公式来求点C的坐标.24、（2013?眉山）如图， / BAC= / DAF=90 ° AB=AC , AD=AF，点D、E 为BC 边上的两点，且/ DAE=45 °连接EF、BF，则下列结论：2 2 2①△ AED AEF ;②△ ABE ACD ;③ BE+DC > DE ;④ BE +DC =DE , 其中正确的有（）个.A . 1B . 2 C. 3 D. 4考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理.分析：根据/DAF=90 ° / DAE=45 ° 得出 / FAE=45 ° 利用SAS 证明△ AED AEF，判定①正确；如果△ ABE s △ ACD ,那么 / BAE= / CAD ,由 / ABE= / C=45 ° ,贝U / AED= / ADE , AD=AE ,而由已知不能得出此条件，判定② 错误；先由/ BAC= / DAF=90 ° ° 得出/ CAD= / BAF ,再利用SAS 证明△ ACD 也△ ABF , 得出CD=BF ,又①知DE=EF ,那么在△ BEF中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF > EF ,等量代换后判定③ 正确；先由△ ACD ◎△ ABF ,得出/ C= / ABF=45 ° 进而得出 / EBF=90 ° ° 然后在Rt△ BEF 中，运用勾股定理得出BE2+BF2=EF2 ,等量代换后判定④正确.解答:解：①•••/ DAF=90 ° , / DAE=45 ° ,••• / FAE= / DAF - / DAE=45 ° 在厶AED与厶AEF中，AD=AF ZEAE=Z?AE=456 ，AE=AE:,△ AED ◎△ AEF ( SAS ),① 正确； ② •/ / BAC=90 ° AB=AC ,••• / ABE= / C=45 °•••点D 、E 为BC 边上的两点， / DAE=45 °• AD 与AE 不一定相等， / AED 与/ ADE 不一定相等， •/ / AED=45 ° / BAE , / ADE=45 ° / CAD , • / BAE 与/ CAD 不一定相等，• △ ABE 与厶ACD 不一定相似， ② 错误； ③ •/ / BAC= / DAF=90 °• / BAC - / BAD= / DAF - / BAD ，即 / CAD= / BAF . 在厶ACD 与厶ABF 中，AC=AB AD=AF• △ ACD ◎△ ABF ( SAS ), • CD=BF ,由①知厶AED ◎△ AEF , • DE=EF .在厶 BEF 中，•/ BE+BF > EF , • BE+DC > DE ,③ 正确； ④由③知厶ACD ABF ,• / C=Z ABF=45 °•/ / ABE=45 °,• / EBF= / ABE+ / ABF=90 °,在Rt △ BEF 中，由勾股定理，得 BE 2+BF 2=EF 2 , •/ BF=DC , EF=DE , • BE 2+DC 2=DE 2,④ 正确. 所以正确的结论有①③④ .故选C .点评：本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细1[分析，有一定难度.25、（2013哈尔滨）在厶ABC中，AB=2..2 , BC=1, / ABC=45°,以AB为一边作等腰直角三角形ABD使/ ABD=90,连接CD则线段CD的长为____________________________ .考点：解直角三角形，钝角三角形的高分析：双解问题，画等腰直角三角形ABD使/ ABD=90,分两种情况，点D与C在AB同侧，D与C在AB异侧，考虑要全面；J2解答：当点D与C在AB同侧，BD=AB=2 2 ,作CEL BD于E,CD=BD^ ,23 2 —ED= ,由勾股定理CD= 5当点D与C在AB异侧，BD=AB=2 2 , / BDC=135,作DE L 2BC于E,BE=ED=2,EC=3 由勾股定理CD=/i3故填5或1326、（2013哈尔滨）如图。
2014届中考数学(华师版)复习方案：20直角三角形与勾股定理
勾股数
考点聚焦
归类探究
回归教材
第20课时┃ 直角三角形与勾股定理
考点3
互逆命题、互逆定理及其关系
如果两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做 互逆命题
原命题 ，那么另一个叫做 互逆命题，如果我们把其中一个叫做 _________ 逆命题 它的_________
互逆定理
若一个定理的逆命题是正确的，那么它就是这个定理的
[方法点析] 勾股定理的作用： (1)已知直角三角形的两边求第三 边；(2)已知直角三角形的一边求另两边的关系；(3)用于证明平方关 系的问题．
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第20课时┃ 直角三角形与勾股定理 探究三 利用勾股定理解决生活中的实际问题
命题角度： 1. 求最短路线问题； 2. 求有关长度问题．
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图20－2
第20课时┃ 直角三角形与勾股定理
解
析
过点C作CD⊥AD，∴CD＝3 cm.
在直角三角形ADC中， ∵∠CAD＝30°，∴AC＝2CD＝2×3＝6(cm)． 又图中三角板是有45°角的三角板， ∴AB＝AC＝6 cm， ∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋62＝72， ∴BC＝6 cm，故选D.
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第20课时┃ 直角三角形与勾股定理
[方法点析] 用勾股定理可以帮助我们解决生活中的许多实 际问题，其关键是把实际问题转化到一个相应的数学模型中， 即将实际问题转化到直角三角形中，再运用勾股定理来解决．
判定
(1)两个内角互余的三角形是直角三角形 (2)一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形 1 1 (1)SRt△ABC＝2ch＝2ab，其中 a，b 为两直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高； (2)Rt△ABC 内切圆半径 r＝