2019届人教A版(理科数学) 等差数列单元测试

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2019版数学(理)课件：6.2-等差数列(含答案)

高考理数 (课标专用)
§6.2 等差数列
五年高考
A组统一命题·课标卷题组
考点一等差数列的概念及运算
1.(2018课标Ⅰ,4,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5= ( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12
答案 B 本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式.
设等差数列{an}的公差为d,依题意得 a32=a2·a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2或d=0(舍去),又a
1=1,∴S6=6×1+ 62 5 ×(-2)=-24.故选A.
4.(2016课标Ⅰ,3,5分)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100= ( )
A.{Sn}是等差数列 C.{dn}是等差数列
B.{ Sn2 }是等差数列 D.{ dn2 }是等差数列
答案 A 不妨设该锐角的顶点为C,∠A1CB1=θ,|A1C|=a,依题意,知A1、A2、…、An顺次排列,设
|AnAn+1|=b,|BnBn+1|=c,则|CAn|=a+(n-1)b,作AnDn⊥CBn于Dn,则|AnDn|=[a+(n-1)b]sin
A.100 B.99 C.98 D.97
答案
C
设{an}的公差为d,由等差数列前n项和公式及通项公式,得

S9

9a1

98 2
d

27,
解得
a10 a1 9d 8,

a1 d
1, 1,
an=a1+(n-1)d=n-2,∴a100=100-2=98.故选C.

2019版数学人教A版必修5训练：2.2 第1课时等差数列 Word版含解析.docx

2.2等差数列第1课时等差数列课时过关·能力提升基础巩固1在等差数列{a n}中,a1a3=8,a2=3,则公差d等于 ().A.1B.-1C.±1D.±2解析:由题意解得d=±1.答案:C2在等差数列{a n}中,a2=-5,a6=a4+6,则a1等于 ().A.-9B.-8C.-7D.-4解析:设公差为d,由等差数列的通项公式,得a2=a1+d=-5,①a6=a1+5d,a4=a1+3d.∵a6=a4+6,∴a1+5d=a1+3d+6.②联立①②解得a1=-8.答案:B3已知等差数列{a n}的通项公式a n=3-2n,则它的公差为 ().A.2B.3C.-2D.-3解析:a1=3-2×1=1,a2=3-2×2=-1,故公差d=a2-a1=-1-1=-2.答案:C4等差数列0,的第项是A.C.解析:依题意,得数列的公差d=所以数列的通项公式为a n=0故a n+1=答案:A5若a≠b,则等差数列a,x1,x2,b的公差为.(用a,b表示)解析:该等差数列的首项为a,第4项为b.设公差为d,则b=a+(4-1)d,d-答案:-6在数列{a n}中,a1=2,2a n+1-2a n=1,则a101的值为.解析:∵2a n+1-2a n=1,∴a n+1-a n∴数列{a n}是以2为首项,以为公差的等差数列.∴a n=2∴a101答案:527等差数列1,-3,-7,…的通项公式为,a20=.解析:∵d=-3-1=-4,a1=1,∴a n=1-4(n-1)=-4n+5.∴a20=-80+5=-75.答案:a n=-4n+5-75≥2),则a n=.8已知在数列{a n}中,a1=1,a2且-解析:-∴数列是等差数列,公差d∴a n答案:9在等差数列{a n}中,(1)若a5=-1,a8=2,求首项a1与公差d;(2)若a1+a6=12,a4=7,求a9.-解(1)由题意知-解得(2)∴a n=1+2(n-1)=2n-1.∴a9=2×9-1=17.10已知数列{a n}的通项公式是a n=7n+2,求证:数列{lg a n}是等差数列.分析转化为证明lg a n+1-lg a n是一个与n无关的常数.证明设b n=lg a n=lg 7n+2=(n+2)lg 7,则b n+1=[(n+1)+2]lg 7=(n+3)lg 7,则b n+1-b n=(n+3)lg 7-(n+2)lg 7=lg 7为常数.所以数列{b n}是等差数列,即数列{lg a n}是等差数列.能力提升1若log32,log3(2x-1),log3(2x+11)成等差数列,则x的值为().A.7或-3B.log37C.log27D.4解析:∵log3(2x+11)-log3(2x-1)=log3(2x-1)-log32,-即22x-4·2x-21=0,-解得2x=7或2x=-3(舍去),∴x=log27.答案:C2已知数列{a n}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d等于().A.-2B.C--解析:由题意,得解得d=答案:B3在等差数列{a n}中,a2=6,a5=15,若b n=a2n,则b15等于 ().A.30B.45C.90D.186解析:设数列{a n}的公差为d,则解得∴a n=3+3(n-1)=3n,b n=a2n=6n,∴b15=6×15=90.答案:C4在等差数列{a n}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值为().A.24B.22C.20D.-8解析:设公差为d,∵a1+3a8+a15=120,∴a1+3(a1+7d)+a1+14d=120,∴5a8=120.∴a8=24.∴2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24.答案:A5已知数列{a n}是等差数列,且a n=an2+n,则实数a=.解析:∵{a n}是等差数列,∴a n+1-a n=常数.∴[a(n+1)2+(n+1)]-(an2+n)=2an+a+1=常数.∴2a=0,∴a=0.答案:0★6已知数列{a n}满足且则解析:由得∴数列是公差为4的等差数列.∵a n>0,∴a n-答案:-7夏季高山上的温度从山脚起,每升高100 m,降低0.7 ℃.已知山顶处的温度是14.8 ℃,山脚处的温度为26 ℃,问此山顶相对于山脚处的高度是多少米?解因为每升高100 m温度降低0.7 ℃,所以该处温度的变化是一个等差数列问题.山脚温度为首项a1=26,山顶温度为末项a n=14.8,所以26+(n-1)×(-0.7)=14.8.解得n=17.故此山顶相对于山脚处的高度为(17-1)×100=1 600(m).★8已知数列{a n}满足a且当n>1,n∈N*时,有---设b n n∈N*.(1)求证:数列{b n}为等差数列;(2)试问a1a2是不是数列{a n}中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.(1)证明当n>1,n∈N*时------=--b n-b n-1=4,且.故{b n}是等差数列,且公差为4,首项为5. (2)解由(1)知b n=b1+(n-1)d=5+4(n-1)=4n+1.∴a n n∈N*.∴a a1令a n解得n=11.即a1a2=a11,∴a1a2是数列{a n}中的项,是第11项.。

2019届高考数学(人教A版)一轮复习单元质检六A

单元质检六数列(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a6=15,S9=99,则等差数列{a n}的公差是()A. B.4 C.-4 D.-32.已知公比为的等比数列{a n}的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a16=()A.4B.5C.6D.73.(2017宁夏银川二模)在等差数列{a n}中,已知a4=5,a3是a2和a6的等比中项,则数列{a n}的前5项的和为()A.15B.20C.25D.15或254.已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足:3a1-+3a15=0,且a8=b10,则b3b17=()A.9B.12C.16D.365.(2017湖北武昌1月调研)设公比为q(q>0)的等比数列{a n}的前n项和为S n,若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则a1=()A.-2B.-1C. D.6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=x(1-x).若数列{a n}满足a1=,且a n+1=,则f(a11)=()A.2B.-2C.6D.-6二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.已知S n为等比数列{a n}的前n项和,且S n=2a n-1,则数列{a n}的公比q=.8.已知等比数列{a n}满足a2+8a5=0,设S n是数列的前n项和,则=.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且a2=5,S4=28.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=(-1)n a n,求数列{b n}的前2n项和T2n.10.(15分)已知数列{a n}满足a n=6-(n∈N*,n≥2).(1)求证:数列是等差数列;(2)若a1=6,求数列{lg a n}的前999项的和.11.(15分)设数列{a n}满足a1=2,a n+1-a n=3·22n-1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=na n,求数列{b n}的前n项和S n.答案：1.B解析:∵数列{a n}是等差数列,a6=15,S9=99,∴a1+a9=22,∴2a5=22,a5=11.∴公差d=a6-a5=4.2.B解析:由等比中项的性质,得a3a11==16.因为数列{a n}各项都是正数,所以a7=4.所以a16=a7q9=32.所以log2a16=5.3.A解析:∵在等差数列{a n}中,a4=5,a3是a2和a6的等比中项,∴解得a1=-1,d=2,∴S5=5a1+d=5×(-1)+5×4=15.故选A.4.D解析:由3a1-+3a15=0,得=3a1+3a15=3(a1+a15)=3×2a8,即-6a8=0.因为a8=b10≠0,所以a8=6,b10=6,所以b3b17==36.5.B解析:∵S2=3a2+2,S4=3a4+2,∴S4-S2=3(a4-a2),即a1(q3+q2)=3a1(q3-q),q>0,解得q=,代入a1(1+q)=3a1q+2,解得a1=-1.6.C解析:设x>0,则-x<0.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-[-x(1+x)]=x(1+x).由a1=,且a n+1=,得a2==2,a3==-1,a4=,……所以数列{a n}是以3为周期的周期数列,即a11=a3×3+2=a2=2.所以f(a11)=f(a2)=f(2)=2×(1+2)=6.7.2解析:∵S n=2a n-1,∴a1=2a1-1,a1+a2=2a2-1,解得a1=1,a2=2.∴等比数列{a n}的公比q=2.8.-11解析:由a2+8a5=0,得a1q+8a1q4=0,解得q=-.易知是等比数列,公比为-2,首项为,所以S2==-,S5=,所以=-11.9.解:(1)由已知条件可知解得故a n=a1+(n-1)×d=4n-3.(2)由(1)可得b n=(-1)n a n=(-1)n(4n-3),则T2n=-1+5-9+13-17+…+(8n-3)=4×n=4n.10.(1)证明:∵(n≥2),∴数列是等差数列.(2)解:∵是等差数列,且,d=,∴(n-1)=.∴a n=.∴lg a n=lg(n+1)-lg n+lg 3.设数列{lg a n}的前999项的和为S,则S=999lg 3+(lg 2-lg 1+lg 3-lg 2+…+lg 1 000-lg 999) =999lg 3+lg 1 000=3+999lg 3.11.解:(1)由已知,当n≥1时,a n+1=[(a n+1-a n)+(a n-a n-1)+…+(a2-a1)]+a1=3(22n-1+22n-3+…+2)+2=22(n+1)-1.而a1=2,所以数列{a n}的通项公式为a n=22n-1.(2)由b n=na n=n·22n-1知S n=1·2+2·23+3·25+…+n·22n-1.①从而22·S n=1·23+2·25+3·27+…+n·22n+1.②①-②,得(1-22)S n=2+23+25+…+22n-1-n·22n+1,即S n=[(3n-1)22n+1+2].。

人教A版高中数学必修五高一下学期数学单元测试题等差数列部分.doc

高一下学期数学单元测试题等差数列部分一、选择题（每小题5分，共50分）1. 若数列{}n a 的前4项分别为0，则下列各式中可作为{}n a 的通项公式的是（）①(1)12n n a ⎡⎤=-+⎣⎦；②n a =)0()n n a n =⎪⎩为偶数为奇数，．Ａ．①②③ Ｂ．①② Ｃ．②③ Ｄ．①2. 下面三个结论：①数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立点． ②数列的项数是无限的．③数列通项的表示式是唯一的．其中正确的是（）Ａ．①② Ｂ．① Ｃ．②③ Ｄ．①②③3.数列通项是n a =n 项和为9时，项数n 是（）Ａ．9Ｂ．99Ｃ．10Ｄ．1004. 在数列{}n a 中，已知前n 项和278n S n n =-，则100a 的值为（）Ａ．69200Ｂ．1400Ｃ．1415Ｄ．13855. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S =（）Ａ．36 Ｂ．72 Ｃ．18 Ｄ．1146. 首项为24-的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是（）Ａ．83d >Ｂ．3d > Ｃ．833d <≤ Ｄ．833d <≤ 7. 已知等差数列{}n a 共有21n +项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n 等于（）Ａ．9 Ｂ．10Ｃ．11Ｄ．不确定8. 若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别是n n S T ，，已知73n n S n T n =+，则55a b 等于（）Ａ．7Ｂ．23 Ｃ．278Ｄ．2149. ABC △中，ab c ，，分别为A B C ∠∠∠，，的对边，如果a b c ，，成等差数列，30B ∠=o ，ABC △的面积为32，那么b =（）Ｂ．1+Ｄ．2+10. 已知{}n a 满足，对一切自然数n 均有1n n a a +>，且2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围是（）Ａ．0λ> Ｂ．0λ< Ｃ．0λ= Ｄ．3λ>-二、填空题（每小题5分，共25分）11. 在等差数列{}n a 中，若34567450a a a a a ++++=，则28a a +=．12. 若数列{}n a 满足132()3n n a a n *++=∈N ，且10a =，则7a = ． 13. 一个凸多边形内角成等差数列，其中最小角为120o，公差为5o，则多边形的边数是．14．等差数列{}n a 中，已知12310a a a a p ++++=L，98n n n a a a q --+++=L ，则其前n项和n S = ．15.设{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0(123)n n n n n a na a a n +++-+==g L ，，，，则它的通项公式是n a = ．三、解答题（写出必要的解题过程，共计75分）16.（13分）等差数列的前n 项和为n S ，若1284S =，20460S =，求28S ． 17. （13分）已知数列{}n a 的前n 项的和为212443nS n n =++，求这个数列的通项公式． 18. （13分）等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知10203050a a ==，．（１）求通项n a ；（2）若242n S =，求n ．19. （12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，且121300S S ><，．（１）求公差d 的范围；（２）该数列前几项的和最大？说明理由．20. （12分）已知数列{}n a 各项均不为0，且满足关系式1133n n n a a a --=+(2)n ≥．（１）求证数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（２）当112a =时，求数列{}n a 的通项公式． 21. （12分）已知数列{}n a 的前n 项和210()n S n n n *=-∈N ，数列{}n b 的每一项都有n n b a =，求{}n b 的前n 项和nS '．答案一、选择题1. Ａ2. Ｂ．3. Ｂ．4. Ｄ．5. Ｂ．6. Ｄ．7. Ｂ．8. Ｄ．9. Ｂ．10. Ｃ．二、填空题11.180 12. 4 13.9 14. ()20n p q + 15. 1n三、解答题16. 解：（方法１）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差d ，则11(1)2n S na n n d =+-． 122084460S S ==，∵，11112121184212020194602a d a d ⎧+⨯⨯=⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩∴．解得1154a d =-=，．2115(1)42172n S n n n n n =-+-⨯=-∴，22822817281092S =⨯-⨯=∴．（方法２）由已知不妨设2n S an bn =+，221212802020460a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩∴，27a b ==-，∴，2217n S n n =-∴，22822817281092S =⨯-⨯=∴．17. 59,1,1265, 1.12n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩18. 解：（１）201050302201010a a d--===-，1019a a d =+，13092a =+⨯∴，112a =∴．1(1)122(1)210n a a n d n n =+-=+-=+∴．（２）242n S =，1(1)2422n n na d -+=g ，(1)1222422n n n -+⨯=， 2112420n n +-=∴，11n =或22-（舍）故11n =．19．解：（１）1111211120213121302212a d a d a d ⨯⎧+>⎪⎪⨯⎪+<⎨⎪+=⎪⎪⎩，，．整理，得1111266013780212a d a d a d +>⎧⎪+<⎨⎪+=⎩，，．解之得：2437d -<<-．（２）解法一：由0d <可知，{}n a 为一个递减函数列．因此，在112n ≤≤中，必存在一个自然数n ，使得n a ≥0，10n a +<，此时对应的n S 就是1212S S S L ，，，中的最大值．由于12671376()0130S a a S a =+>⎧⎨=<⎩于是70a <，从而60a >．因此6S 最大．20. 解：（１）111311133n n n n a a a a ---+==+， 11113n n a a -∴-=是常数， ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．（２）35n a n =+． 21．15. 解：∵数列{}n a 的前n 项和210()n S n n n *=-∈N ，9(1)112(2)n n a n n =⎧=⎨-⎩，．∴ ≥即112()n a n n *=-∈N ．又n n b a =∵，而567000a a a ><<L ，，，． (15)(6)n n n a n b a n ⎧=⎨-⎩ ≤≤∴ ≥，2210(5)1050(6)n n n n n S n n n n **⎧-∈⎪'=⎨-+∈⎪⎩N N ，，，．≤∴ ≥。

等差数列的性质及应用(练习)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)

4.2.1.2等差数列的性质及应用一、单选题1．已知数列{}n a 为等差数列，288a a +=，则159a a a ++=（） A ．8 B ．12 C ．15 D ．24【答案】B【分析】根据等差数列的性质求解即可.【解析】解：因为数列{}n a 为等差数列，288a a +=，所以2158982a a a a a +===+，解得54a =，所以，1595312a a a a ++==. 故选：B2．已知点()1,5，()2,3是等差数列{}n a 图象上的两点，则数列{}n a 为（） A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．无法确定【答案】B【分析】利用等差数列的图象所在直线的斜率判断. 【解析】等差数列{}n a 的图象所在直线的斜率532012k -==-<-，则直线呈下降趋势，故数列{}n a 单调递减. 故选：B.3．设等差数列{}n a 的公差为d ，若2n an b =，则“0d <”是“1n n b b +<（n *∈N ）”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用指数函数的单调性、数列增减性的定义以及等差数列的定义，结合充分、必要性定义判断即可.【解析】充分性：若0d <，则10n n a a d +-=<，即1n n a a +<，∴122n n a a +<，即1n n b b +<，所以充分性成立；必要性：若1n n b b +<，即122n n a a +<，∴1n n a a +<，则10n n a a d +-=<，必要性成立.因此，“0d <”是“1n n b b +<”的充要条件. 故选：C.4．若数列{an }满足a 1＝15，且3an ＋1＝3an －2，则使ak ·ak ＋1<0的k 值为（） A ．22 B ．21 C ．24 D ．23【答案】D【分析】根据3an ＋1＝3an －2，得到数列{an }是等差数列，求得an ，再由ak ·ak ＋1<0求解. 【解析】因为3an ＋1＝3an －2，所以an ＋1－an ＝－23，所以数列{an }是首项为15，公差为－23的等差数列，所以an ＝15－23·(n －1)＝－23n ＋473，因为ak ·ak ＋1<0，公差d <0, 所以ak >0，ak ＋1<0，令an ＝－23n ＋473=0，得n =23.5，所以a 23>0，a 24<0，所以使ak ·ak ＋1<0的k 值为23. 故选：D5．若数列{}n a 满足221n n a a d --=（其中d 是常数），则称数列{}n a 是“等方差数列”．已知数列{}n b 是公差为m 的等差数列，则“0m =”是“{}n b 是等方差数列”的（）． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】C【分析】由0m =得到{}n b 为常数列，从而2210n n b b --=，故{}n b 是等方差数列，充分性成立，再由{}n b 是等方差数列，也是等差数列，得到()1n n m b b d -+=，结合()11223n n b b b n d -+=+-，分析出0d =，0m =，必要性得证.【解析】若0m =，则{}n b 为常数列，满足2210n n b b --=，所以{}n b 是等方差数列，充分性成立，因为{}n b 是等方差数列，所以221n n b b d --=，则()()11n n n n b b b b d --+-=，因为数列{}n b 是公差为m 的等差数列，所以1n n b b m --=，所以()1n n m b b d -+=，由于()11223n n b b b n d -+=+-, 当0d ≠时，()11223n n b b b n d -+=+-随着n 的改变而改变， 1n n dm b b -=+不是定值，不合要求，当0d =时，112n n b b b -+=为定值，此时0m =满足题意，综上必要性成立. 故选：C6．已知函数()sin tan f x x x =+，项数为27的等差数列n a 满足(,)22n a ππ∈-，且公差0d ≠，若1227()()()0f a f a f a ++⋯+=，当()0k f a =时，则k 的值为（）A ．14B ．13C ．12D ．11【答案】A【分析】根据题意得到()sin tan f x x x =+是奇函数，结合等差数列{}n a 有27项，利用等差数列的性质，即可得到答案.【解析】由函数()sin tan f x x x =+是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点．而等差数列{}n a 有27项，(n a ∈,)22ππ-，若12327()()()()0f a f a f a f a +++⋯+=，则必有14()0f a =，所以14k =．故选：A.7．在等差数列{}n a 中，若公差为d ，m a 、n a 为数列的任意两项，则当m n ≠时，下列结论： ∴()m n a a m n d +=+；∴()m n a a m n d -=-；∴n ma a d n m-=-；∴()m n a a m n d =+-．其中必定成立的有（）． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据等差数列通项公式依次讨论即可得答案.【解析】解：由等差数列通项公式得()()111,1m n a a m d a a n d =+-=+-，m n ≠所以()122m n a a a m n d +=++-，()m n a a m n d -=-，n ma a d n m-=-，()m n a a m n d =+-. 故∴∴∴成立，∴不成立. 故选：C8．已知正项数列{}n a 中，11a =，22a 3121n n n na a a a +++=+*n ∈N ，则使不等式21(2)n nn a a +<成立的最小整数n 为（） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】D【分析】由已知得222111n n n n a a a a +++=+，有数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，根据等差数列的通项公式求得211n na n a +=+，代入不等式中可求得答案.【解析】解：∴正项数列{}n a 中，3121n n n na a a a +++=+，*n ∈N ，∴32121n n n n a a a a +++=+⇒222111n n n n a a a a +++=+，所以数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，其中1d =，首项2212a a =，所以211n na n a +=+，所以不等式21(2)nn n a a +<为()2(1)2(1)2nn n n +<⇒+<，*n ∈N ，得到最小整数6n =，故答案：D.9．数列{}n a 满足11a =，223a =，且()112n n nn a a a -++=≥，则n a 等于（） A ．21n +B ．123n -⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．23n⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．22n + 【答案】A【分析】由等差中项可知数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，利用等差数列通项公式即可求解.【解析】由()111122n n nn a a a +-+=≥，可知：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为1，公差为：211112a a -=. ∴()1111122n n n a +=+-=，∴21n a n =+. 故选：A【点睛】本题主要考查了等差中项，等差数列的通项公式，属于中档题.10．数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且0n a ≥，设2020n n n b a a -12019n ≤≤），则数列{}n b 的最大项为（） A ．1009b B ．1010b C ．1011b D ．不确定【答案】B【分析】观察到2020n n n b a a -=+有根号，且n a 与2020n a -下标之和为定值，故两边平方．平方后出现2020n n a a -+想到用等差数列性质，20202n n a a -⋅想到用基本不等式．【解析】由2020n n n b a a -=+两边平方得2202020202n n n n n b a a a a --=++⋅，由等差数列性质得20202020101020201010202010102222224n n n n n n n n =a a a a a a a a a a +----+⋅=+⋅≤++=，当且仅当2020n n =-即1010n =时成立，故{}n b 最大值为1010b ，故选B ．【点睛】本题主要考查等差数列性质：若{}n a 是等差数列，且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈，则m n p q a a a a +=+，基本不等式2ab a b ≤+11．已知数列n a 满足121,4a a ==，且()11222,111n n n na a a n n N n n n -+=+≥∈-+-，则当na n 取得最大值时，n =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】先证明数列{}n na 是等差数列，结合121,4a a ==求出{}n na 的通项公式，可得276n a n n n =-，利用配方法可得答案. 【解析】因为()11222,111n n n na a a n n N n n n -+=+≥≤-+- 所以()()()112112,n n n na n a n a n n N -+=-++≥∈ 所以数列{}n na 是等差数列，又121,4a a ==所以数列{}n na 是以1为首项，21217a a ⨯-⨯=为公差的等差数列，所以76n na n =-所以222767617496,1224n a n n n n n n -⎛⎫==-=--+ ⎪⎝⎭ 因为*n N ∈，12127<<，且122276761,2,21111222a a =-==-=>，所以当2n =时，na n取最大值2. 故选：B.【点睛】方法点睛：判定一个数列为等差数列的常见方法是：(1) 定义法：1n n a a d +-=（d 是常数），则数列{}n a 是等差数列(2) 等差中项法：1+22=+n n n a a a +（n *∈N ），则数列{}n a 是等差数列；(3) 通项公式：=n a pn q +(,p q 为常数)，则数列{}n a 是等差数列；(4) 前n 项和公式：2n S An Bn =+(,A B 为常数) ，则数列{}n a 是等差数列.12．已知数列{}n a 满足14a =，*11(2,N )n n n a n n a --=≥∈，若124(6)n a n nb na -=⋅-，且存在*N n ∈，使得2460n b m m +-≥成立，则实数m 的取值范围是（）A ．197197⎡-+⎢⎣⎦B ．137,137⎡⎣C ．10,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】根据题意，令12n n c a =-，进而证明数列{}n c 是以12-为首项，12-为公差的等差数列，故可得22n n a n+=，242n nn b -=，在结合题意将问题转化为()2max 460n b m m +-≥，再求数列{}n b 的最大值代入解一元二次不等式即可得答案. 【解析】()*11442,n n n a a n n a ---=∈N ，()()*11412,n n n a a a n n --∴=-∈N ．令12n nc a =-， 111111122422n n n n n n n n n n a a c c a a a a a a ------∴-=-=----+ ()11142241n n n n n a a a a a ----==--+-()*1112,222n n n n a a n n a a ---=-≥∈-N ，又111122c a ==--，∴数列{}n c 是以12-为首项，12-为公差的等差数列，11(1)222n n c n ∴=---=-，即122n n a =--， 22n n a n +∴=，()1224462na n n n nb na --∴=⋅-= ∴存在*n ∈N ，使得2460n b m m +-≥成立，()2max 460n b m m ∴+-．令11,,n n n n b b b b -+≥⎧⎨≥⎩得112426,222422,22n n nn n n n n -+--⎧≥⎪⎪⎨--⎪≥⎪⎩则34n ≤≤，*n ∈N ，3n ∴=或4n =．()34max 14n b b b ∴===， 2160m m ∴+-≥，即2610m m --≤，解得1132m -≤≤，∴实数m 的取值范围是11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故选：D ．二、多选题13．（多选）下列命题中，正确的是（）A ．若a ，b ，c 成等差数列，则2a ，2b ，2c 成等差数列B ．若a ，b ，c 成等差数列，则2log a ，2log b ，2log c 成等差数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则2a +，2b +，2c +成等差数列D ．若a ，b ，c 成等差数列，则2a ，2b ，2c 成等差数列【答案】AC【分析】选项A 、C 可用等差数列的定义判断，选项B 、D 举反例即可判断，【解析】∴a ，b ，c 成等差数列，∴2b a c =+，∴()2222b a c ⨯=+，∴2a ，2b ，2c 成等差数列，故A 正确；取1a =，2b =，3c =，得2log a ，2log b ，2log c 分别为0，1，2log 3，不成等差数列，故B 错误； ∴a ，b ，c 成等差数列，∴2b a c =+，∴()()()2222b a c +=+++，∴2a +，2b +，2c +成等差数列，故C 正确；取1a =，2b =，3c =，得122=，224=，328=，不成等差数列，故D 错误．故选：AC ．14．已知等差数列{}n a ，下列结论一定正确的是（） A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若120a a +<，则230a a +< C ．若120a a <<，则213a a a D ．()()21230a a a a --≤【答案】CD【分析】根据等差数列的定义和通项公式，结合基本不等式，逐项判定，即可求解. 【解析】对于A 中，由120a a +>，又由23122a a a a d +=++，因为公差d 的正负不确定，所以230a a +>不一定成立，所以A 不一定正确；对于B 中，由120a a +<，又由23122a a a a d +=++，因为公差d 的正负不确定，所以230a a +<不一定成立，所以B 不一定正确；对于C 中，因为120a a <<，可得0n a >，且1322a a a +=，又因为13132a a a a +≥，所以213a a a ≥又由13a a ≠，所以等号不成立，即213a a a >，所以C 正确.对于D 中，由等差数列的定义知()()22123()0a a a a d d d --=⨯-=-≤，所以D 正确.故选：CD.15．数列{}n a 满足11,121nn n a a a +==+，则下列说法正确的是（） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B ．数列{}n a 有最小项C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =-D ．数列{}n a 为递减数列【答案】AD【分析】首项根据11,121n n n a a a a +==+得到1112n n a a +-=，从而得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可. 【解析】对选项A ，因为121nn n a a a +=+，11a =，所以121112n n n na a a a ++==+，即1112n n a a +-=所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确.对选项B ，由A 知：()112121nn n a =+-=- 则121n a n =-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确，B 错误对选项C ，因为121n n a =-，所以121n a n =-，故C 错误.故选：AD16．已知n S 是等差数列*{}()n a n N ∈的前n 项和，且897S S S >>，有下列四个命题，其中是真命题的是（）A ．公差0d <B ．在所有0n S <中，17S 最大C ．89a a >D ．满足0n S >的n 的个数有15个【答案】ABC【解析】由已知的不等式897S S S >>，以及989S S a =+，878S S a =+，9789S S a a =++，利用不等式的性质得出8a ，9a 及89a a +的符号，进而再利用等差数列的性质及求和公式对各项进行判断，即可得到正确选项. 【解析】89S S >，且989S S a =+， 889S S a ∴>+，即90a <，又87S S >，878S S a =+， 787S a S ∴+>，即80a >，980d a a ∴=-<，故选项A ，C 为真命题； 97S S >，9789S S a a =++，7897S a a S ∴++>，即890a a +>，又11582a a a +=， ()115158151502a a S a +∴==>，又11689a a a a +=+， ()()116168916802a a S a a +∴==+>，又11792a a a +=， ()117179171702a a S a +∴==<，故选项B 为真命题，选项D 为假命题；故选：ABC .【点睛】本题考查等差数列的性质及求和公式的综合运用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.三、填空题17．已知数列{}n a ，{}n b 满足112a =，1n n ab +=，121n n n b b a +=-，则2023b =______. 【答案】20232024【分析】根据已知条件转化式子得出1111n na a ，进而求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式即得数列{}n a 的通项公式，再求出数列{}n b 的通项公式，进一步求出答案即可.【解析】1n n a b +=，1n n b a ∴=-，111n n a b +++=，111n n b a ++=-∴， ()()1121111111n n n n n n n nb a b a a a a a ++-∴====--+-+， 110n n n n a a a a ++∴--=，即：1111n na a ，1n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以首项为2，公差为1的等差数列， ()12111n n n a ∴=+-⨯=+，11n a n ∴=+， 11111n n nb a n n =--=+∴+=， 202320232024b ∴=. 故答案为：20232024. 18．已知{}n a 是首项为a ，公差为1的等差数列，1nn na b a +=，若对任意的*n N ∈，都有5n b b ≤成立，则实数a 的取值范围是________【答案】()-4-3，【分析】根据1nn na b a +=的通项公式，讨论其单调性，从而找到参数的取值范围. 【解析】由题可知：()111n b n a =+--当(),1n a ∈-∞-和()1,a -+∞，该数列单调递减.若10a -≤，则该数列在n N +∈时，单调递减，不可能满足题意；若10a ->，要满足题意，只需：()14,5a -∈ 解得：()4,3a ∈--. 故答案为：()-4-3，. 【点睛】本题考查数列的单调性，要用函数的角度去看待数列的单调性，同时也要注意其与函数不同的点. 19．已知数列{}n a 中，13a =，()111122,n n n n n n a a n n N a a a a *+-+--=≥∈--，若2041a =，则9a =______．【答案】19 【分析】先由11112n n n n n n a a a a a a +-+--=--()11112n n n n n n a a n a a a a -+-⇒-=≥--，再求得3311n t a n t t =+++，从而就容易求出结果了. 【解析】由1111111122n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a +-+-+-+--+-=⇒-=----()11112n n n n n n a a n a a a a -+-⇒-=≥--，令1211a t a a =+-，数列1n n n a a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是公差为1，首项为1t +的等差数列，所以11(1)nn na t n n t a a +=++-=+-，变形可得11n n a n t a n t+++=+，由累加法得3311n ta n t t =+++，所以121121123331211n n n n n a a a n t n t t n t a a a a a n t n t t t---++-++=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=+-+-++ 3311t n t t=+++，所以()132,1n n a a n n N t*--=≥∈+，故数列{}n a 是公差为31t +的等差数列，则{}n a 的公差2013413211919a a d t --====+，所以91838219a a d =+=+⨯=．故答案为：19.【点睛】关键点睛：求解本题的关键：（1）由11112n n n n n n a a a a a a +-+--=--得到()11112n n n n n n a a n a a a a -+--=≥--，从而得到数列1n n n a a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；（2）会利用累乘法得到3311n ta n t t=+++，进而得到{}n a 是等差数列． 20．等差数列{}n a 满足：123202012320201111a a a a a a a a ++++=-+-+-+⋯+-12320201111a a a a =++++++++，则其公差d 的取值范围为______.【答案】(][),22,-∞-+∞【分析】由题意知，等差数列{}n a 中的项一定有正有负，分成首项大于零和小于零两种情况进行讨论，结合已知条件，可知101110101,1a a ≥<-或101110101,1a a ≤->，从而可求出公差的取值范围. 【解析】解：由题意知，等差数列{}n a 中的项一定有正有负，当10,0a d <>时，由123202012320201111a a a a a a a a ++++=-+-+-+⋯+-，则10111010100a a -≥⎧⎨≤⎩ ，由123202012320201111a a a a a a a a ++++=++++++++，则10111010010a a ≥⎧⎨+≤⎩，所以101110101,1a a ≥≤-，所以10101a d +≥，即101012d a ≥-≥；当10,0a d ><时，同理可求出101012d a ≤--≤-，综上所述，公差d 的取值范围为(][),22,-∞-+∞. 故答案为: (][),22,-∞-+∞.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了数列的单调性.本题的易错点是未讨论首项的正负问题.四、解答题21．在等差数列{}n a 中．(1)已知23232448a a a a +++=，求13a ；(2)已知234534a a a a +++=，2552a a ⋅=，求公差d ．【答案】(1)12 (2)3d =-或3d =【分析】（1）根据等差数列的通项公式计算可得；（2）根据下标和性质得到2517a a +=，再解方程组，即可求出2a 、5a ，从而求出公差d ；（1）解：因为23232448a a a a +++=，所以11112222348a d a d a d a d +++++++=，即144848a d +=，所以11212a d +=，即1311212a a d =+= （2）解：因为234534a a a a +++=，2552a a ⋅=∴，又2534a a a a +=+，所以2517a a +=∴，即25255217a a a a ⋅=⎧⎨+=⎩，解得25134a a =⎧⎨=⎩或25413a a =⎧⎨=⎩，当25134a a =⎧⎨=⎩时52352a a d -==--，当25413a a =⎧⎨=⎩时52352a a d，所以3d =-或3d =22．已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=，45612131477a a a a a a +++⋅⋅⋅+++=，且13k a =，求k 的值．【答案】18k =【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意求得23d =，结合13k a =，列出方程，即可求解. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为47107317a a a a ++==，可得7173a =，又因为45612131491177a a a a a a a +++⋅⋅⋅+++==，可得97a =，所以972973a a d -==-，则()99k a a k d -=-，即()213793k -=-⨯，解得18k =． 23．已知数列{}n a 满足11a =，213a =-，21226n n n a a a n ++-+=-． (1)设1n n n b a a +=-，求数列{}n b 的通项公式； (2)求n 为何值时，n a 最小．【答案】(1)278n b n n =--(2)8n =或9n =【分析】（1）依题意可得126n n b b n +-=-，再利用累加法求出数列的通项公式；（2）利用作差法判断数列的单调性，即可得到最小的n a ； (1)解：由21226n n n a a a n ++-+=-且1n n n b a a +=-，即()()21126n n n n a a a a n +++---=-，即126n n b b n +-=-又11a =，213a =-，所以12114b a a =-=-．当2n ≥时，()()()()12132431n n n b b b b b b b b b b -=+-+-+-++-14(216)(226)(236)[2(1)6]n =-+⨯-+⨯-+⨯-++--142[123(1)]6(1)n n =-+⨯++++---1142[1(1)][2(2)][3(3)][(1)1]6(1)2n n n n n =-+⨯⨯+-++-++-++-+--14(1)6(1)n n n =-+--- 278n n =--，当1n =时，上式也成立．所以数列{}n b 的通项公式为278n b n n =--；(2)解：由（1）可知2178(1)(8)n n a a n n n n +-=--=+-．当8n <时，1n n a a +<，即1238a a a a >>>>；当8n =时，98a a =；当8n >时，1n n a a +>，即91011a a a <<<，所以当8n =或9n =时，n a 的值最小．24．已知数列{}n a 满足11a =，且()1222nn n a a n -=+≥．(1)求2a ，3a ；(2)证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；(3)求数列{}n a 的通项公式n a ．【答案】(1)2a =6，3a =20； (2)证明见解析； (3)122n n a n ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭.【分析】（1）由题设递推式写出2a ，3a ；（2）根据递推式变形得()111222n n n n a a n ---=≥，结合等差数列的定义即可证结论；（3）由（2）写出2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，即可得n a 通项公式.（1）由题设，221226a a =+=，3322220a a =+=.（2）证明：因为()1222nn n a a n -=+≥，所以()111222n n n n a a n --=+≥，即()111222n n n n a a n ---=≥，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项11122a =，公差1d =的等差数列．（3）由（2）得：()1111222n n a n n =+-⨯=-，所以122n n a n ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭．25．已知在等差数列{}n a 中，公差0d >，其前n 项和为n S ，且2345a a ⋅=，1414a a +=． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)通过nn S b n c=+构造一个新的数列{}n b ，求非零常数c ，使{}n b 也为等差数列．【答案】(1)43n a n =-； (2)12c =-.【分析】（1）利用等差中项性质及已知求得2359a a =⎧⎨=⎩，即可得通项公式；（2）由（1）写出{}n b 前三项，根据等差中项性质求出参数c 即可. （1）由题意2314234514a a a a a a =⎧⎨+=+=⎩且0d >，可得2359a a =⎧⎨=⎩或2395a a =⎧⎨=⎩（舍），所以4d =，则11a =，故43n a n =-. （2）由（1）知：()21n S n n =-，则()21nn n n S b n c n c-==++．所以111b c=+，262b c =+，3153b c =+．因为{}n b 为等差数列，所以1322b b b +=，即11512132c c c +=+++，可得12c =-或0c （舍），所以2n b n =是等差数列，有12c =-．26．1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram ）发现了“正方形筛子”： 4 7 10 13 16 … 7 12 17 22 27 … 10 17 24 31 38 … 13 22 31 40 49 … 16 27 38 49 60 … … … … … … …(1)这个“正方形筛子”的每一行有什么特点？每一列呢？ (2)“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是多少？【答案】(1)答案见解析． (2)20200【分析】（1）根据等差数列的定义判断；（2）由等差数列的通项公式计算． (1)观察“正方形筛子”得，每一行都成等差数列，每一列也都成等差数列，第n 行和第n 列的公差相等，为21n ； (2)由（1）得第100行的第一个数是4993301+⨯=，第100行的公差是201，所以第100行的第100个数是3019920120200+⨯=． 27．已知数列{}n a 满足13a =，22a =，11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求满足不等式122023n a a a ⋅⋅⋅<的最大正整数n ．【答案】(1)2n n a n+= (2)62【分析】（1）求出首项和公差，进而求出通项公式；（2）利用第一问求出的通项公式，利用累乘法化简得到()()12122n n a a a n +⋅⋅+⋅=，得到不等式，求出最大正整数解. （1）11111312a ==--，2111121a ==--，因为11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列，所以公差21111111122d a a =-=-=--，所以()111111222n n n a =+-=-，故2n n a n+= （2）由（1）得：2n n a n+=， ()()12123451212312n n n n n n a a n a ++++=⨯⨯⨯⨯⨯=-⋅⋅⋅，所以()()1222023n n <++，即()()124046n n ++<，因为636440324046⨯=<，646541604046⨯=>，所以满足不等式122023n a a a ⋅⋅⋅<的最大正整数为62.28．已知在数列{}n a 中，135a =，()*1122,n n a n n N a -=-≥∈，数列{}n b 满足()*11n n b n N a =∈-. (1)求证：数列{}n b 是等差数列；(2)求数列{}n a 中的最大项和最小项，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析(2)最小值1-，最大值3，理由见解析【分析】（1）求1n n b b --，化简后由等差数列定义证明（2）先求{}n b 的通项公式后得出{}n a 的通项公式，结合单调性求解 (1)证明：因为()*1122,n n a n n N a -=-≥∈，()*11n n b n N a =∈-，所以当2n ≥时，11111111111121n n n n n n b b a a a a -----=-=----⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 1111111n n n a a a ---=-=--. 又111512b a ==--，所以数列{}n b 是以52-为首项，1为公差的等差数列. (2)由（1）知72n b n =-，则121127nn a b n =+=+-. 设函数()2127f x x =+-，()f x 在区间7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，结合函数()f x 的图象可知，当3n =时，n a 取得最小值1-；当4n =时，n a 取得最大值3.29．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，136a a =-，22514a a a =⋅．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足；()()13n n n b a a =++，请问是否存在正整数m ，使得218m m m b b b +++=-成立？若存在，请求出正整数m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()*21N n a n n =-∈(2)存在，2m =【分析】（1）根据已知条件及等差数列的等差中项，再利用等差数列的通项公式即可求解；（2）根据已知条件及（1）的结论，得出数列{}n b 的通项公式，假设存在正整数m ，使得218m m m b b b +++=-成立，由此列出关于m 的方程即可求解. (1)∴136a a =-，即136a a +=，∴226a =，∴23a =．设等差数列{}n a 的公差为d ，（0d ≠）则∴22514a a a =⋅，∴()()2222312a d a a d +=⋅+．∴22d d =．解得0d =（舍）或2d =． ∴12321a a d =-=-=，所以数列{}n a 的通项公式为：()()*11221N n a n n n =+-⨯=-∈．(2)由（1）知，()*21N n a n n =-∈，所以()()()()1322241n n n b a a n n n n =++=+=+，假设存在正整数m ，使得218m m m b b b +++=-成立，即()()()()()418423412m m m m m m ++=++-++．化简整理，得220m m --=，即()()210m m -+=，解得2m =或1m =-（舍）．所以存在正整数2m =，使得218m m m b b b +++=-成立．30．给定一个数列{}n a ，在这个数列中，任取()*3,N m m m ≥∈项，并且不改变它们在数列{}n a 中的先后次序，得到的数列称为数列{}n a 的一个m 阶子数列．已知数列{}n a 的通项公式为1n a n a=+(*N n ∈，a 为常数)，等差数列236,,a a a 是数列{}n a 的一个3阶子数列． (1)求a 的值；(2)设等差数列12,b b ，…，m b 是{}n a 的一个()*3,N m m m ≥∈阶子数列，且11b k=(k 为常数，*N k ∈，2k ≥)，求证：1m k +≤. 【答案】(1)0a = (2)证明见解析【分析】（1）根据题意得到211326a a a=++++，再解方程即可. （2）首先设等差数列12,b b ，…，m b 的公差为d ，根据题意得到211b k ≤+，从而得到()11d k k ≤-+，再根据()()11111m m b b m d k k k -=+-≤-+求解即可. （1）因为236,,a a a 成等差数列，所以2632a a a +=. 又因为236111,,236a a a a a a===+++，所以211326a a a=++++，解得0a =. （2）设等差数列12,b b ，…，m b 的公差为d ，因为11b k =，所以211b k ≤+，从而()2211111d b b k k k k =-≤-=-++. 所以()()11111m m b b m d k k k -=+-≤-+，又因为0m b >，所以()1101m k k k -->+，即11m k -<+，所以2m k <+. 又因为*,N m k ∈，所以1m k +≤. 31．已知集合（Z 是整数集，m 是大于3的正整数）．若含有m 项的数列{}n a 满足：任意的,i j M ∈，都有i a M ∈，且当i j ≠时有i j a a ≠，当i m <时有12i i a a +-=或13i i a a +-=，则称该数列为P 数列．(1)写出所有满足5m =且11a =的P 数列；(2)若数列{}n a 为P 数列，证明：{}n a 不可能是等差数列； (3)已知含有100项的P 数列{}n a 满足5105100,,,,,(1,2,3,,20)k a a a a k =是公差为(0)d d >等差数列，求d 所有可能的值【答案】(1)1，3，5，2，4；1，4，2，5，3(2)证明见解析(3)5【分析】（1）根据P 数列的定义，可直接写出答案；（2）假设{}n a 是等差数列，公差为d ，分0d >和0d <两种情况，可得到与题意不符的结论，从而证明结论成立；（3）由题意，N*d ∈，分类讨论，说明当6d ≥时，不符题意，同理可说明 3d ≤和4d =时，推导出与题意不符的结论，继而说明5d =，符合题意，从而求得答案.（1）由题意可得满足5m =且11a =的P 数列为：1，3，5，2，4；1，4，2，5，3..（2）假设{}n a 是等差数列，公差为d ，当0d >时，由题意，2d =或3，此时1121i a a a ≥+>+(2,3,4,,)i m =，所以11a +不是等差数列{}n a 中的项，与题意不符，所以{}n a 不可能是等差数列当0d <时，由题意，2d =-或3-，此时1121i a a a ≤-<-(2,3,4,,)i m =所以11a -不是等差数列{}n a 中的项，与题意不符，所以{}n a 不可能是等差数列综上所述，{}n a 不可能是等差数列（3）由题意，N*d ∈，当6d ≥时，因为51a ≥，所以100519115a a d =+≥，与题意不符；当3d ≤时，记{}545352515,,,,(1,2,3,,20)k k k k k k M a a a a a k ----==，当{}100(1,2,3,,20)i M i ∈∈时，51004388i a ≥-⨯=，所以55()31k i a a i k d =--≥，所以k M 中的最小项314319≥-⨯=，所以1(1,2,3,20)k M k ∉=，与题意不符，当4d =时，1054a a =+，又由题意，10512342323a a x x x x =++--（*），其中N(1,2,3,4)i x i ∈=，且12345x x x x +++=，所以13242()3()4x x x x -+-=，所以13242x x x x -=⎧⎨=⎩ ，所以322225x x ++=，与N(1,2,3,4)i x i ∈=不符；当5d =时，取,541,532,522,511,5n n n k n n k a n n k n n k n n k=-⎧⎪+=-⎪⎪=+=-⎨⎪-=-⎪-=⎪⎩ ，此时的数列{}n a 满足题意，综上所述，5d =.。

2019学年人教A版高二数学单元检测卷 (数列一)含答案

（人教版）精品数学教学资料高二数学单元检测卷 (数列一)一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分． 1．数列252211，，，，的一个通项公式是 A. 33n a n =- B. 31n a n =- C. 31n a n =+ D. 33n a n =+ 2．已知数列{}n a 的首项11a =，且()1212n n a a n -=+≥，则5a 为 A ．7 B ．15 C.30 D ．313.下列各组数能组成等比数列的是A. 111,,369B. lg3,lg9,lg 27C. 6,8,10D. 3,33,9-4. 等差数列{}n a 的前m 项的和是30，前2m 项的和是100，则它的前3m 项的和是A ．130B ．170C ．210D ．2605.若{}n a 是等比数列,前n 项和21n n S =-,则2222123n a a a a ++++=A.2(21)n -B.21(21)3n - C.41n- D.1(41)3n-6.各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ⋅=，则1012222log log log a aa+++=A ．5B ．10C ．15D ．207．已知等差数列{a n }的公差d≠0,若a 5、a 9、a 15成等比数列,那么公比为 (A)(B)(C)(D)8.在等差数列{}n a 和{}n b 中，125a =，175b =，100100100a b +=，则数列{}n n a b +的前100项和为A. 0B. 100C. 1000D. 10000 9.已知等比数列{}n a 的通项公式为123n n a -=⨯，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和n S =A.31n- B.3(31)n- C.914n - D.3(91)4n -10．等比数列{}n a 中，991a a 、为方程016102=+-x x 的两根，则805020a a a ⋅⋅ 的值为A ．32B ．64C ．256D ．±6411.在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则101123a a -的值为 A. 6 B. 8 C. 10 D. 1612. 设由正数组成的等比数列，公比q=2，且3030212=a a a ……·，则30963a a a a ……··等于 A ．102 B ．202 C ．162 D ．152二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13.等差数列的前4项和为40，最后4项的和为80，所有各项的和为720，则这个数列一共有项. 14.若{}n a 是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为 .① {}2n a ② {}2n a ③ 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭④ {}lg n a 15. 已知数列{}n a 的前n 项和n n S 23+=，则n a =__________.16.在等差数列{}n a 中，14101619100a a a a a ++++=，则161913a a a -+的值是________三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）．已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数.18．（12分）.已知{}n a 满足13a =，121n n a a +=+，（1）求证：{}1n a +是等比数列；（2）求这个数列的通项公式n a .19．（12分）在数列{}n a 中，11a =，122nn n a a +=+；（1）设12nn n a b -=．证明：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 。

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一、等差数列选择题1．在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，则11S 的值是（） A ．60B ．11C ．50D ．552．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（） A ．45B ．50C ．60D ．803．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是（） A ．32n -B ．322n - C ．3122n - D ．3122n + 4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（） A ．11B ．12C ．23D ．245．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，3456720a a a a a ++++=，则9S =（） A ．24B ．36C ．48D ．646．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（） A ．121B ．161C ．141D ．1517．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，2n ≥且*n ∈N ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（）A ．214a =-B ．648211S S S =+ C ．数列{}12n n n S S S +++-的最大项为712D ．1121n n n n nT T T n n +-=++ 8．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若5620a a +=，11132S =，则{}n a 的公差为（） A ．2B ．43C ．4D ．4-9．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（） A ．10-B ．8C ．12D ．1410．已知等差数列{}n a 的公差d 为正数，()()111,211,n n n a a a tn a t +=+=+为常数，则n a =（）A ．21n -B ．43n -C ．54n -D ．n11．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（）A ．3(4)f x x =+B ．2()4f x x =C ．3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4()log f x x =12．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{}n a ，已知11a =，22a=，且满足()211+-=+-nn n a a （n *∈N ），则该医院30天入院治疗流感的共有（）人A ．225B ．255C ．365D ．46513．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =.定义数列{}n b 如下：()*1m m b m m+∈N 是使不等式()*n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值，则13519 b b b b ++++=（）A ．25B ．50C ．75D ．100 14．若等差数列{a n }满足a 2=20，a 5=8，则a 1=（）A ．24B ．23C ．17D ．1615．已知递减的等差数列{}n a 满足2219a a =，则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =（）A ．4或5B ．5或6C ．4D ．516．若数列{}n a 满足121()2n n a a n N *++=∈，且11a =，则2021a =（） A ．1010 B ．1011 C ．2020D ．202117．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若542S S =，248a a +=，则5a 等于（） A ．6B ．7C ．8D ．1018．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（）A ．3、8、13、18、23B ．4、8、12、16、20C ．5、9、13、17、21D ．6、10、14、18、2219．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()11213n n n n S S a n +++=+-+，现有如下说法：①541a a =；②222121n n a a n ++=-；③401220S =. 则正确的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．320．在等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中最大的是（） A ．21SB ．20SC ．19SD ．18S二、多选题21．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（）A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 22．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（）A ．0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B ．1(1)1n n a -=-+C ．2sin2n n a π= D ．cos(1)1n a n π=-+23．若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为（） A ．15B ．25C ．45D ．6524．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（） A ．01q <<B ．681a a >C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T25．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（） A ．59823a a S +=B ．27S S =C ．5S 最小D ．50a =26．已知数列{}n a 为等差数列，则下列说法正确的是（） A ．1n n a a d +=+（d 为常数）B ．数列{}n a -是等差数列C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列D ．1n a +是n a 与2n a +的等差中项27．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（）A ．45n a n =-B ．23n a n =+C ．223n S n n =-D ．24n S n n =+28．下列命题正确的是（）A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c可能成等差数列 D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列29．无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（）A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列30．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若90a <，100a >，则下列结论正确的是（） A ．109S S >B ．170S <C ．1819S S >D ．190S >【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．D 【分析】根据题中条件，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】因为在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，所以()1111161111552a a S a +===.故选：D. 2．C 【分析】利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解【详解】{}n a 是等差数列，3944a a a +=+，4844a a a ∴+=+，84a =1158158()15215156022a a a S a +⨯⨯====故选：C 【点睛】本题考查等差数列性质及前n 项和公式，属于基础题 3．C【分析】根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则公差为31322a a d -==，因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-. 故选：C. 4．C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ，即可求得结果. 【详解】32153S a ==，25a ∴=， 12a =，∴公差213d a a =-=， 81727323a a d ∴=+=+⨯=，故选：C. 5．B 【分析】利用等差数列的性质进行化简，由此求得9S 的值. 【详解】由等差数列的性质，可得345675520a a a a a a ++++==，则54a =19592993622a a aS +=⨯=⨯= 故选：B 6．B 【分析】由条件可得127a =，然后231223S a =，算出即可. 【详解】因为31567a a a +=+，所以15637a a a =-+，所以1537a d =+，所以1537a d -=，即127a =所以231223161S a == 故选：B 7．D 【分析】当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-代入120n n n a S S -+=可推导出数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，由221a S S =-可判断A 选项的正误；利用n S 的表达式可判断BC 选项的正误；求出n T ，可判断D 选项的正误. 【详解】当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-，由120n n n a S S -+=可得111112020n n n n n nS S S S S S ----+=⇒-+=，整理得1112n n S S --=（2n ≥且n +∈N ）. 则1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以2为首项，以2为公差的等差数列()12122n n n S ⇒=+-⋅=，12n S n ∴=. A 中，当2n =时，221111424a S S =-=-=-，A 选项正确； B 中，1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，显然有648211S S S =+，B 选项正确； C 中，记()()1212211221n n n n b S S n n n S ++=+-=+-++， ()()()1123111212223n n n n b S S S n n n ++++=+-=+-+++，()()()1111602223223n n n b b n n n n n n ++∴-=--=-<++++，故{}n b 为递减数列， ()1123max 111724612n b b S S S ∴==+-=+-=，C 选项正确； D 中，12n n S =，()()2212n n n T n n +∴==+，()()112n T n n +∴=++. ()()()()()()11112112111n n n n T T n n n n n n n n n n n n n n +-=⋅++⋅++=+--+++++222122212n n n n n n T =-++=+-≠，D 选项错误.故选：D ．【点睛】关键点点睛：利用n S 与n a 的关系求通项，一般利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解，在变形过程中要注意1a 是否适用，当利用作差法求解不方便时，应利用1n n n a S S -=-将递推关系转化为有关n S 的递推数列来求解. 8．C 【分析】由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ，再由等差数列的公式即可求得公差. 【详解】解：()11111611111322a a S a+⨯===，612a ∴=，又5620a a +=，58a ∴=，654d a a ∴=-=.故选：C ． 9．D 【分析】利用等差数列下标性质求得4a ，再利用求和公式求解即可【详解】147446=32a a a a a ++=∴=，则()177477142a a S a +=== 故选：D 10．A 【分析】由已知等式分别求出数列的前三项，由2132a a a =+列出方程，求出公差，利用等差数列的通项公式求解可得答案．【详解】11a =，()()1211n n n a a tn a ++=+,令1n =，则()()121211a a t a +=+，解得21a t =-令2n =，则()()2322121a a t a +=+，即()2311t a t -=-，若1t =，则20,1a d ==，与已知矛盾，故解得31a t =+{}n a 等差数列，2132a a a ∴=+，即()2111t t -=++，解得4t =则公差212d a a =-=，所以()1121n a a n d n =+-=-. 故选：A 11．D 【分析】把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知1n nx x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列．【详解】对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于B ，函数2()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝24n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝()222214441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于C ，函数3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝133()()44n n x x+-＝33()()144n qx⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝114444log log log log n n n nx x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；故选：D ．【点睛】方法点睛：判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法. 12．B 【分析】直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和【详解】解：当n 为奇数时，2n n a a +=，当n 为偶数时，22n n a a +-=，所以13291a a a ==⋅⋅⋅==，2430,,,a a a ⋅⋅⋅是以2为首项，2为公差的等差数列，所以30132924301514()()1515222552S a a a a a a ⨯=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+⨯+⨯=，故选：B 13．B 【分析】先求得21n a n =-，根据n a m ≥，求得12m n +≥，进而得到21212k k b --=，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，可得21n a n =-，因为n a m ≥，即21n m -≥，解得12m n +≥，当21m k =-，（*k N ∈）时，1mm b k m+=，即()()11212m m m mk m b m m +===++，即21212k k b --=，从而()13519113519502b b b b ++++=++++=.故选：B. 14．A 【分析】由题意可得5282045252a a d --===---，再由220a =可求出1a 的值【详解】解：根据题意，5282045252a a d --===---，则1220(4)24a a d =-=--=，故选：A. 15．A 【分析】由2219a a =，可得14a d =-，从而得2922n d d S n n =-，然后利用二次函数的性质求其最值即可【详解】解：设递减的等差数列{}n a 的公差为d （0d <），因为2219a a =，所以2211(8)a a d =+，化简得14a d =-，所以221(1)9422222n n n d d d dS na d dn n n n n -=+=-+-=-，对称轴为92n =，因为n ∈+N ，02d<，所以当4n =或5n =时，n S 取最大值，故选：A 16．B 【分析】根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】由121()2n n a a n N *++=∈，则11()2n n a a n N *+=+∈，即112n n a a +-=，所以数列{}n a 是以1为首项，12为公差的等差数列，所以()()11111122n n a a n d n +=+-=+-⨯=，所以2021a =2021110112+=. 故选：B 17．D 【分析】由等差数列的通项公式及前n 项和公式求出1a 和d ，即可求得5a . 【详解】解：设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则由542S S =，248a a +=，得：111154435242238a d a d a d a d ⨯⨯⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭+++=⎧⎪⎨⎪⎩，即{1132024a d a d +-+=，解得：{123a d =-=，51424310a a d ∴=+=-+⨯=.故选：D. 18．C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则171,25a a ==，则712514716a a d --===-，则这5个数依次是5，9，13，17，21. 故选：C 19．D 【分析】由()11213n n n n S S a n +++=+-+得到()11132n n n a a n ++=-+-，再分n 为奇数和偶数得到21262k k a a k +=-+-，22165k k a a k -=+-，然后再联立递推逐项判断. 【详解】因为()11213n n n n S S a n +++=+-+，所以()11132n n n a a n ++=-+-，所以()212621k k a a k +=-+-，()221652k k a a k -=+-，联立得：()212133k k a a +-+=，所以()232134k k a a +++=，故2321k k a a +-=，从而15941a a a a ===⋅⋅⋅=，22162k k a a k ++=-，222161k k a a k ++=++，则222121k k a a k ++=-，故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++，()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++，()()201411820622k k =+⨯=-==∑1220，故①②③正确. 故选：D 20．B 【分析】设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+，可得关系1392a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项. 【详解】设等差数列的公差为d .由81335a a =得，()()1137512a d a d +=+，整理得，1392a d =-. 又10a >，所以0d <，因此222120(20)2002222n d d d dS n a n n dn n d ⎛⎫=+-=-=-- ⎪⎝⎭，所以20S 最大. 故选：B.二、多选题21．ABD 【分析】根据11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，计算可知,A B 正确；根据12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，累加可知C 不正确；根据2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，累加可知D 正确. 【详解】依题意可知，11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，312112a a a =+=+=，423123a a a =+=+=，534235a a a =+=+=，645358a a a =+=+=，故A 正确； 7565813a a a =+=+=，所以712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=，故B 正确；由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，可得13572019a a a a a +++++=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =，故C 不正确；2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，所以2222212342019a a a a a +++++122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+- 20192020a a =，所以22212201920202019a a a a a +++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题.【分析】根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可. 【详解】解：因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，选项A ：不符合题设；选项B ：01(1)12,a =-+=12(1)10,a =-+=23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；选项C ：，12sin2,2a π==22sin 0,a π==332sin22a π==-不符合题设；选项D ：1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.故选：BD. 【点睛】本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 23．ABC 【分析】利用数列{}n a 满足的递推关系及135a =，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代入计算得，211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234,,,5555. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题. 24．AD 【分析】分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项.①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意. ③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .∴B ，C ，错误.故选：AD. 【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1*1n n a a q n N -=∈.25．BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出n a 、n S 的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则8118788282S a d a d ⨯=+=+，9119899362S a d a d ⨯=+=+，因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()219122n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项，59233412a a d d +=⨯=，()2888942d S d -⨯==-，A 选项错误；对于B 选项，()2229272d Sd -⨯==-，()2779772d S d -⨯==-，B 选项正确；对于C 选项，()2298192224n d d S n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误；对于D 选项，50a =，D 选项正确. 故选：BD. 【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和n S 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解. 26．ABD 【分析】由等差数列的性质直接判断AD 选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项. 【详解】A.因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，即1n n a a d +=+，所以A 正确；B. 因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，那么()()()11n n n n a a a a d ++---=--=-，所以数列{}n a -是等差数列，故B 正确；C.111111n n n n n n n n a a d a a a a a a ++++---==，不是常数，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是等差数列，故C 不正确；D.根据等差数列的性质可知122n n n a a a ++=+，所以1n a +是n a 与2n a +的等差中项，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列，属于基础题型. 27．AC 【分析】由535S =求出37a =，再由411a =可得公差为434d a a =-=，从而可求得其通项公式和前n 项和公式【详解】由题可知，53535S a ==，即37a =，所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=，所以()4445n a a n d n =+-=-，()2451232n n n S n n --==-.故选：AC. 【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力. 28．BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知0d >，{}n a 必是递增数列；C 选项：1a b c ===时，1111a b c===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立；D 选项：数列{}n a 是等差数列公差为d ，所以11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；故选：BCD 【点睛】本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题. 29．ABC 【分析】由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n =时，11a S a b c ==++．当2n ≥时，()()221112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+．当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴=所以当0c 时，{}n a 是等差数列， 00a c b ==⎧⎨≠⎩时是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列．故选：A B C 【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题． 30．ABD 【分析】先根据题意可知前9项的和最小，判断出A 正确；根据题意可知数列为递减数列，则190a >，又181919S S a =-，进而可知1516S S >，判断出C 不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知()01179179172171722a a a S a <+⨯⨯===，()1191019101921919022a a a S a +⨯⨯===>，故BD 正确. 【详解】根据题意可知数列为递增数列，90a <，100a >，∴前9项的和最小，故A 正确；()11791791721717022a a a S a +⨯⨯===<，故B 正确； ()1191019101921919022a a a S a +⨯⨯===>，故D 正确；190a >， 181919S S a ∴=-， 1819S S ∴<，故C 不正确.故选：ABD . 【点睛】本题考查等差数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.。

2019届高考数学人教A版理科第一轮复习单元测试题：单

单元质检六数列(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=5,S6=36,则a6=()A.9B.10C.11D.122.在单调递减的等比数列{a n}中,若a3=1,a2+a4=,则a1=()A.2B.4C.D.23.设a n=-n2+9n+10,则数列{a n}前n项和最大时n的值为()A.9B.10C.9或10D.124.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+5a1,a7=2,则a5=()A. B.- C.2 D.-25.(2017宁夏银川一中二模)公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n.若a4是a3与a7的等比中项,S8=16,则S10等于()A.18B.24C.30D.606.(2017辽宁沈阳三模)数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n+a n+1=3×2n-1,则S2 017=()A.22 018-1B.22 018+1C.22 017-1D.22 017+1二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.在3和一个未知数之间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去6,则三数成等比数列,则此未知数是.8.(2017河北石家庄二中模拟)已知数列{a n}满足:a1=1,a n=+2a n-1(n≥2),若b n=(n∈N*),则数列{b n}的前n项和S n=.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)已知数列{a n}的前n项和为S n,首项为a1,且,a n,S n成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)数列{b n}满足b n=(log2a2n+1)×(log2a2n+3),求数列的前n项和T n.10.(15分)已知数列{a n}和{b n}满足a1=2,b1=1,2a n+1=a n,b1+b2+b3+…+b n=b n+1-1.(1)求a n与b n;(2)记数列{a n b n}的前n项和为T n,求T n.11.(15分)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=1-,其中n∈N*.(1)设b n=,求证:数列{b n}是等差数列,并求出{a n}的通项公式.(2)设c n=,数列{c n c n+2}的前n项和为T n,是否存在正整数m,使得T n<对于n∈N*恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由.答案：1.C解析∵S6=×6=×6=36,又a3=5,∴a4=7.∴a6=a4+(6-4)×(7-5)=11.故选C.2.B解析由已知,得a1q2=1,a1q+a1q3=,∴,q2-q+1=0,∴q=(q=2舍去),∴a1=4.3.C解析令a n≥0,得n2-9n-10≤0,∴1≤n≤10.令a n+1≤0,即n2-7n-18≥0,∴n≥9.∴9≤n≤10.∴前9项和等于前10项和,它们都最大.4.A解析由条件,得∴∴a5=a1q4=×42=.5.C解析设等差数列{a n}的公差为d≠0.由题意得(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d),化为2a1+3d=0,①∵S8=16,∴8a1+×d=16,②联立①②解得a1=-,d=1.则S10=10××1=30.6.C解析由a1=1和a n+1=3×2n-1-a n,可知数列{a n}唯一确定,并且a2=2,a3=4,a4=8,猜测a n=2n-1,经验证a n=2n-1是满足题意的唯一解.∴S2 017==22 017-1.7.3或27解析设此三数为3,a,b,则解得故这个未知数为3或27.8.1-解析当n≥2时,a n+1=+2a n-1+1=(a n-1+1)2>0,两边取以2为底的对数可得log2(a n+1)=log2(a n-1+1)2=2log2(a n-1+1),则数列{log2(a n+1)}是以1为首项,2为公比的等比数列,log2(a n+1)=2n-1,a n=-1,又a n=+2a n-1(n≥2),可得a n+1=+2a n(n∈N*),两边取倒数可得,即,因此b n=,所以S n=b1+…+b n==1-,故答案为1-.9.解(1)∵,a n,S n成等差数列,∴2a n=S n+.当n=1时,2a1=S1+,即a1=;当n≥2时,a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1,即=2,故数列{a n}是首项为,公比为2的等比数列,即a n=2n-2.(2)∵b n=(log2a2n+1)×(log2a2n+3)=(log222n+1-2)×(log222n+3-2)=(2n-1)(2n+1),∴=.∴T n==.10.解(1)∵2a n+1=a n,∴{a n}是公比为的等比数列.又a1=2,∴a n=2·.∵b1+b2+b3+…+b n=b n+1-1,①∴当n=1时,b1=b2-1,故b2=2.当n≥2时,b1+b2+b3+…+b n-1=b n-1, ②①-②,得b n=b n+1-b n,得,故b n=n.(2)由(1)知a n b n=n·.故T n=+…+,则T n=+…+.以上两式相减,得T n=+…+, 故T n=8-.11.解(1)∵b n+1-b n====2(常数),∴数列{b n}是等差数列.∵a1=1,∴b1=2,因此b n=2+(n-1)×2=2n.由b n=,得a n=.(2)由c n=,a n=,得c n=,∴c n c n+2==2,∴T n=2+…+=2<3,依题意要使T n<对于n∈N*恒成立,只需≥3,即≥3, 解得m≥3或m≤-4.又m为正整数,∴m的最小值为3.。

专题16 数列(解答题)(12月)(人教A版2019)(解析版)

专题16 数列（解答题）1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10n n a a +->，23a =，且1a ，3a ，712a +成等比数列．（1）求n a 和n S ；（2）设n b =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：112n T ≤<．【试题来源】广东省湛江市2021届高三上学期高中毕业班调研测试题【答案】（1）21n a n =-，2n S n =；（2）证明见解析．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，首项为1a ，由10n n a a +->，得0d >，则223173,(12),a a a a =⎧⎨=+⎩所以121113,(2)(126).a d a d a a d +=⎧⎨+=++⎩ 解得11a =，2d =，所以21n a n =- ，()21212n n n S n +-==．（2）因为111(1)1n b n n n n ===-++．所以1111111111112233411n T n n n =-+-+-++-=-<++．因为111nT n =-+单调递增．所以112n T T ≥=，综上，112T ≤<．【名师点睛】数列求和的方法：（1）倒序相加法：如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些像可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列：或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如a n =(−1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．2．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知71a =，432S =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年高三上学期期中考试（理）【答案】（1）213n a n =-；（2）212n n S n =-，6n =时，n S 的最小值为36-．【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，由71a =，432S =-，即1161434322a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，解得1112a d =-⎧⎨=⎩，所以()11213n a a n d n =+-=-．（2）()221111122n n n S na d n n n n n -=+=-+-=-， ()2212636n S n n n =-=--，所以当6n =时，n S 的最小值为36-． 3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，且10n n S a +-=（*n N ∈）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()21log nn b n a =-+⋅，数列()*N 1n n b ⎧⎫⎬⎭∈⎨⎩的前n 项和为n S ，求证：112n S ≤<．【试题来源】四川省内江市第六中学2020-2021学年高三上学期第三次月考（文）【答案】（1）12n na =；（2）证明见解析．【解析】（1）因为10n n S a +-=①，所以()11102n n S a n --+-=≥②，①-②得112n n a a -=，2n ≥；所以数列{}n a 是首项和公比都为12的等比数列，于是1111222n n n a -⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭，*n N ∈．（2）由（1）得()()21log 1n n b n a n n =-+⋅=+，所以()111111n b n n n n ==-++，所以12111111*********11n n S b b b n n n =+++=-+-++-=-++．又易知函数()111f x x =-+在[)1,+∞上是增函数，且()1f x <，而112S =，所以112n S ≤<．【名师点睛】裂项相消法求数列和的常见类型：（1）等差型111111n n n n a a da a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列；（2=（3）指数型()11nn n a a a a +-=-；（4）对数型11log log log n aa n a n na a a a ++=-． 4．已知数列{}n a 前n 项和n S 满足()2*n S n n N =∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【试题来源】甘肃省张掖市第二中学2020-2021学年高二第一学期期中考试（文）【答案】（1）21n a n =-；（2）n 21nT n =+．【解析】（1）当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()22121n S n n n =-=-+，121n n n a S S n -=-=-，当1n =时上式也符合．所以21n a n =-．（2）由题意知，可设111111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭n 12111111(1)()()23352121n T b b b n n ⎡⎤=+++=-+-++-⎢⎥-+⎣⎦则n 11122121n T n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭． 5．从①前n 项和()2n S n p p R =+∈②611a =且122n n n a a a ++=+这两个条件中任选一个，填至横线上，并完成解答．在数列{}n a 中，11a =，________，其中n *∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1a ，n a ，m a 成等比数列，其中m ，n *∈N ，且1m n >>，求m 的最小值．（注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分）【试题来源】广东省深圳、汕头、潮州、揭阳名校2021届高三上学期联考【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．【解析】选择①：（1）当1n =时，由111S a ==，得0p =．当2n ≥时，由题意，得()211n S n -=-，所以()1212n n n a S S n n -=-=-≥．经检验，11a =符合上式，所以()*21n a n n =-∈N ．（2）由1a ，n a ，m a 成等比数列，得21nm a a a =，由（1）得()*21n a n n =-∈N，即()()221121n m -=⨯-．化简，得2211221222m n n n ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 有最小值5．选择②：（1）由122n n n a a a ++=+，得121 n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 是等差数列．设数列{}n a 的公差为d ．因为11a =，61511a a d =+=，所以2d =．所以()()*1121n a a n d n n =+-=-∈N ．（2）因为1a ，n a ，m a 成等比数列，所以21nm a a a =，即()()221121n m -=⨯-．化简，得2211221222m n n n ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 有最小值5．【名师点睛】()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩，检验11a =是否符合通项是解题的关键． 6．在数列{}n a 中，12a =，1541n n a a n +=-+，*n N ∈．（1）证明：数列{}n a n -是等比数列；（2）求{}n a 的前n 项和n S ．【试题来源】河南省焦作市2020-2021学年高二（上）期中（理）【答案】（1）证明见解析；（2）()1(1)5142n n n +-+．【解析】（1）1541n n a a n +=-+，*n N ∈，1(1)5()n n a n a n +∴-+=-．因为111a -=， ∴数列{}n a n -是首项为1，公比为5的等比数列，（2）由（1）可得15n n a n --=，15n n a n -∴=+，{}n a ∴的前n 项和211555(12)n n S n -=+++⋯⋯++++⋯⋯+()115(1)51(1)1(1)(51)15251242nnn n n n n n n ⨯-+-++=+=+=-+-- 7．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知410a =-，864S =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年高三上学期期中考试（文）【答案】（1）426n a n =-；（2）2224n S n n =-，6n =时，n S 的最小值为72-．【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，由410a =-，864S =-得11310878642a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，解得1224a d =-⎧⎨=⎩，所以{}n a 的通项公式为()2241426n a n n =-+-=-；（2）由（1）得()()1244822422n n n a a n n S n n +-===-，又222242(6)72n S n n n -=--=，所以当6n =时，n S 取得最小值，最小值为72-．8．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22S a +是12a 和4a 的等差中项，12a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令222log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【试题来源】天津市滨海新区大港一中2021届高三（上）第一次月考【答案】（1）2nn a =；（2）12443n n n +-++．【解析】（1）正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22S a +是12a 和4a 的等差中项，设公比为q ，则22142()2S a a a +=+，整理得12142(2)2a a a a +=+，由于12a =，即32(24)42q q +=+，即34q q =，因为0q >，所以解得2q ，所以2nn a =．（2）由于222log 24nn n b a a n =+=+，所以12324446424n n T n =++++++++12(2462)(444)n n =++++++++4(41)(1)41n n n -=++-12443n n n +-=++．9．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，92a =-，且满足3a ，13a ，8a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n n n b a a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使得n S 最小的n 的值．【试题来源】河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试（文）【答案】（1）329n a n =-；（2）7【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ()0d ≠，因为92a =-，3a ，13a ，8a 成等比数列，所以21338a a a =，即()()()224262d d d -+=----，整理得230d d -=，解得3d =或0d =（舍去）．故()99329n a a n d n =+-=-．（2）当19n ≤≤时，0n a <，当10n ≥时，0n a >，因为12n n n n b a a a ++=，当17n ≤≤时，0n b <，当10n ≥时，0n b >，而且()()8891052110b a a a ==-⨯-⨯=，9910112148b a a a =-⨯⨯==-，因此97S S >，所以使得n S 最小的n 为7．10．已知各项均为正数的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，且236a a ⋅=，238b b a ⋅=（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式．（2）若2221log n n n c a b +=⋅，求12n c c c +++…．【试题来源】黑龙江宾县第一中学2020-2021学年高三第一学期第二次月考（理）【答案】（1）n a n =，12n n b -=；（2）()21nn +．【解析】（1）因为{}n a 为等差数列，且11a =，所以可设公差为d ，则()11n a n d =+-，所以21a d =+，312a d =+．因为236a a ⋅=，所以()()1126d d ++=，解得1d =或52d =-．又等差数列{}n a 各项均为正数，所以52d =-不合题意，舍去，所以n a n =．因为{}n b 为等比数列，且11b =，所以可设公比为(0)q q ≠，则1n n b q -=．因为2388b b a ⋅==，所以128q q ⋅=，解得2q，满足各项均为正数，所以12n n b -=．（2）由（1）知1,2n n n a n b -==，所以2221log n n n c a b +=⋅()121n n =+111=21n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭．所以12n c c c +++111111122231n n ⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭11121n ⎛⎫=⋅- ⎪+⎝⎭()21n n =+．11．在等比数列{}n a 中，已知11a =，48a =．（1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）在等差数列{}n b 中，若15b a =，82b a =，求数列{}n b 前n 项和n S ．【试题来源】甘肃省临夏州临夏中学2019-2020学年高二（上）第二次月考（文）【答案】（1）12n na ；（2）217n S n n =-．【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题设知3418a q a ==， 2q ∴=，因此12n na ；（2）由（1）可得415216b a ===，822b a ==，∴公差81281b b d -==--，2(1)16(2)172n n n S n n n -∴=+⨯-=-． 12．已知数列{}n a 满足12a =，()121n n n a a n++=．设nn a b n=．（1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和为n S ．【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年高三上学期期中考试（文）【答案】（1）证明见解析；（2）()1122n n S n +=-+．【解析】（1）由()121n n n a a n++=，可得121n n a an n+=⋅+，即12n n b b += 则数列{}n b 是以1121a b ==为首项，2为公比的等比数列；（2）由（1）可得，2nn n a b n ==，2n n a n ∴=⋅，23122232...2n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯，则有()23412122232 (122)nn n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，两式作差得()231111212222 (22222212)n n n n n n nS n n n ++++--=++++-⨯=-⨯=--⨯-()1122n n S n +∴=-+．13．在数列{}n a 中，11a =，24a =，2134n n n a a a ++=-．（1）求证：数列{}1n n a a +-是等比数列；（2）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S m m ≥-对任意正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围．【试题来源】河南省商丘市虞城高级中学2020~2021学年高三11月质量检测（理）【答案】（1）证明见详解；（2）1⎡⎣．【解析】（1）由2134n n n a a a ++=-，得214133n n n a a a ++=-．则()1112111141113333n n n n n n n n nn n n n a a a a a a a a a a a a a ++++++++----===---，所以数列{}1n n a a +-是以213a a -=为首项，13为公比的等比数列．（2）由（1）得11211333n n n n a a -+-⎛⎫-=⨯=⎪⎝⎭．当2n ≥时，()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-01231111133333n -=+++++⋅⋅⋅+2111119134122313n n --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+=-⨯ ⎪⎝⎭-．当1n =时，11a =适合11191223n n a -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．所以11191223n n a -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭，所以1111927111273122432413nnn S n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-⨯=⨯+-⎪⎝⎭-．因为11191223n n a -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭是关于n 的递增数列，且110a =>，所以n S 也关于n 单调递增，从而n S 的最小值为11S =．因为22n S m m ≥-恒成立．所以212m m ≥-，解得11m ≤≤．即实数m的取值范围是1⎡+⎣．【名师点睛】根据数列不等式恒成立求参数时，一般通过分离参数，得到参数大于某个式子或小于某个式子恒成立的问题，再根据分离后的式子，由函数（或数列）的性质求出最值，即可求解参数范围．14．已知等差数列{}n a 满足323a a -=，2414a a +=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n S 是公比为正数的等比数列{}n b 的前n 项和，若22b a =，46b a =，求7S ．【试题来源】湖北省荆州市滩桥高级中学2019-2020学年高二下学期期末（文）【答案】（1）32n a n =-；（2）254．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为32243,14-=+=a a a a ．所以3d =，12414a d +=，解得11a =，所以()1132n a a n d n =+-=-；（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，则2124b b q a ===，341616b b q a ===，解得122b q =⎧⎨=⎩或122b q =-⎧⎨=-⎩，因为公比为正数，所以122b q =⎧⎨=⎩，所以()7721225412S ⨯-==-． 15．已知数列{}n a 为正项等比数列，12a =，数列{}n b 满足25b =，且11122332(21)2n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=+-．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若11{}n n b b +的前n 项和n T ，求n T 的取值范围．【试题来源】甘肃省永昌县第一中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学理试题【答案】（1）2nn a =，21n b n =+；（2）[11,)156．【解析】（1）令1n =，则2112(21)26a b =+-=，所以13b =，令2n =，则112226a b a b +=，所以2220a b =，因为25b =，所以24a =，设数列{}n a 的公比为q ，则212a q a ==，所以2n n a =．因为11122332(21)2n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=+-，①当2n ≥时，112233112(23)2nn n a b a b a b a b n --+++⋅⋅⋅+=+-，② 由①-②得1[2(21)2][2(23)2](21)2n n nn n a b n n n +=+--+-=+，所以21n b n =+，当1n =时也成立，所以21n b n =+，（2）由（1）可知111111()(21)(23)22123n n b b n n n n +==-++++，所以1111111[()()()]235572123n T n n =-+-+⋅⋅⋅+-++111()2323n =-+，因为n T 随着n 的增大而增大，当1n =时，1115T =，当n →+∞时，16n T →，所以n T 的取值范围是11[,)156．【名师点睛】数列求和的方法常用的有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法．要根据数列通项的特征，灵活选择方法求和． 16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且312n n S a =-*()n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n b 中，15b =，1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式．【试题来源】安徽省马鞍山市和县第二中学2020-2021学年高一上学期期中联考（理）【答案】（1）123n n a -=⋅；（2）134n n b -=+．【解析】（1）当n =1时，11312a a =-，所以 a 1=2．当2n ≥时，因为312n n S a =- ①，1131(2)2n n S a n --=-≥ ②，①-②得133(1)(1)22n n n a a a -=---，即13n n a a -=所以数列{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列，所以123n n a -=⋅．（2）因为1n n n b b a +=+，所以当2n ≥时，2123n n n b b --=+⋅ ，……，13223b b =+⋅，2123b b =+⋅，相加得 12111132(333)523413n n n n b b ----=+⋅+++=+⋅=+-．当n =1时，111345b -+==，所以 134n n b -=+．【名师点睛】递推数列求数列通项公式，对于形如a (n+1)=a n +f (n )或者a (n+1)-a n =f (n )的关系式，其中f (n )可以为常数(此时为等差数列)、也可以是关于n 的函数如一次函数、分式函数、二次函数和指数函数等，此时求解通项公式时均可使用累加法．17．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，211n n n a S S ++=+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()121213n n n a n n a b a a +=-+，求数列{}n b的前n 项和n T ．【试题来源】湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（三）【答案】（1）n a n =；（2）()1114213n n T n ⎡⎤=-⎢⎥+⋅⎣⎦．【解析】（1）由211n n n a S S ++=+，又有21n n n a S S -=+，()2n ≥，两式相减得()22112n n n n a a a a n ++-=+≥，因为0n a >，所以()112n n a a n +-=≥，又11a =，22121a a a a =++，解得22a =，满足11n n a a +-=，因此数列{}n a 是等差数列，首项1a 为1，公差d 为1，所以()11n a a n d n =+-=；（2）()()1121213n n n b n n +=⋅-+()()113111114212134213213n n n n n n n -⎡⎤⎛⎫=-⋅=-⎢⎥ ⎪-+-⋅+⋅⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以 ()()1201121111111111...41333433534213213n n n n T b b b n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅-⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1114213n n ⎡⎤=-⎢⎥+⋅⎣⎦．【名师点睛】常见的数列中可进行裂项相消的形式：（1）()11111n n n n =-++；（2）211114122121n n n ⎛⎫=- ⎪--+⎝⎭；（31=-（4）()()1121121212121n n n n n ++=-----． 18．已知数列{}n a 中，11a =，13nn n a a a +=+．（1）求证：112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足()312nn n n nb a =-⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式1(1)2n n n nT λ--<+对一切*n ∈N 恒成立，求λ的取值范围．【试题来源】河南省南阳市第一中学校2020-2021学年高三上学期第四次月考（文）【答案】（1）证明见解析，231n na =-；（2）23λ-<<．【解析】（1）由13n n n a a a +=+得13131n n n n a a a a ++==+，即11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，又111322a +=，所以112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以32是为首项，3为公比的等比数列．所以111333222n n n a -+=⨯=，即231n n a =-．（2）()12231nnnn n b an n --⋅==，所以0122111111123(1)22222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯， 211111112(1)22222n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯．两式相减得121011111222222222n n n n T n n -+=+++⋯+-⨯=-，所以1242n n n T -+=-，所以12(1)42nn λ--<-．令()()*1242n f n n -=-∈N ，易知()f n 单调递增，若n 为偶数，则()21242f n λ-<-≤，所以3λ<；若n 为奇数，则()11242f n λ--<-≤，所以2λ-<，所以2λ>-．综上所述23λ-<<．【名师点睛】利用构造等比数列可求解形如递推关系1n n a pa q -=+的通项公式；根据数列的单调性求数列的最值，可求得参数的取值范围．19．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，满足410S =，55a =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，满足()4413nn T =-，*n ∈N ．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设211log n n n n c b a a +=+，若数列{}n c 的前n 项和100n C <，求n 的最大值．【试题来源】河南省南阳市第一中学校2020-2021学年高三上学期第四次月考（文）【答案】（1）*n a n n N =∈，，4n nb ，*n N ∈；（2）9．【解析】（1）{}n a 为等差数列，因为410S =，55a =，所以14610a d +=，145a d +=，解得11a =，1d =，所以*n a n n N =∈，．因为()4413n n T =-，所以当2n ≥时，()()11444141433n n n n n n b T T --=-=---=；当1n =时，114b T ==．综上，4n n b ，*n N ∈．（2）()2111log 4211nn c n n n n n ⎛⎫=+=+- ⎪++⎝⎭，所以()12111111212312231n n C c c c n n n ⎛⎫=+++=+++++-+-++- ⎪+⎝⎭()()111111n n n n n n n ⎛⎫=++-=++ ⎪++⎝⎭，所以()11nn C n n n =+++，因为()11001n nC n n n =++<+，当1n ≥时，()1111n C n n n =++-+为关于n 的递增数列，8999010010C C <=+<，101011010011C =+>，所以n 的最大值为9．【名师点睛】已知数列的通项和前n 项和的递推关系，常采用多递推一项再相减的思想；通过研究数列的单调性，进而研究数列项的最值或解不等式，是常用的方法．20．在①112n n a a +=-，②116n n a a +-=-，③a n +1＝a n +n -8这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的S n 存在最大值，则求出最大值；若问题中的S n 不存在最大值，请说明理由．问题：设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝4，_________，求{a n }的通项公式，并判断S n 是否存在最大值．【试题来源】湖北省宜昌市秭归县第一中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】选①因为112n n a a +=-，a 1＝4，所以{a n }是首项为4，公比为12-的等比数列，所以13114()()22n n n a --=⨯-=-．当n 为奇数时，14[1()]812(1)13212n n nS --==++，因为81(1)32n +随着n 的增加而减少，所以此时S n 的最大值为S 1＝4．当n 为偶数时，81(1)32n n S =-，且818(1)4323n n S =-<<．综上，S n 存在最大值，且最大值为4．选②因为116n n a a +-=-，a 1＝4，所以{a n }是首项为4，公差为16-的等差数列，所以11254(1)()666n a n n =+--=-+．由125066n -+≥，得n ≤25，所以S n 存在最大值，且最大值为S 25（或S 24），因为2525241254()5026S ⨯=⨯+⨯-=，所以S n 的最大值为50．选③因为a n +1＝a n +n -8，所以a n +1-a n ＝n -8，所以a 2-a 1＝-7，a 3-a 2＝-6，…，a n -a n -1＝n -9，则12132n a a a a a a -=-+-+…21(79)(1)171622n n n n n n a a --+---++-==，又a 1＝4，所以217242n n n a -+=．当n ≥16时，a n ＞0，故S n 不存在最大值．21．已知数列{}n a 中，11a =，1(1)(2)1n n n a n a ++-+=*()n N ∈，n S 为数列{}n a 的前n项和．数列{}n b 满足*1()n nb n N S =∈．（1）证明：数列{}n a 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ．问是否存在正整数,(3)p q p q <<，使得3,,p q T T T 成等差数列？若存在，求出,p q 的值；若不存在，请说明理由．【试题来源】江苏省无锡市锡山高级中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】（1）证明见解析，n a n =；（2）存在，11,5q p ==或27,6q p == 【解析】（1）1(1)(2)1n n n a n a ++-+=，则()()1111211212n n a a n n n n n n +-==-++++++，设1n n a c n =+，则112c =，11112n n c c n n +-=-++，1122111111111123211n n n n n nc c c c c c c c n n n n ---=-+-+⋅⋅⋅+-+=-+⋅⋅⋅+-+=-=+++，故11n n a nc n n ==++，n a n =，11n n a a --=，故数列{}n a 为等差数列．（2）()12n n n S +=，()1211211⎛⎫===- ⎪++⎝⎭n nb S n n n n ，故1111122122311n n T n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=⎪++⎝⎭． 3,,p q T T T 成等差数列，则32p q T T T =+，即423112p q p q =+++，化简整理得到：5730pq p q +--=，即()()7532p q -+=-，3p q <<，故58q +>，且*,p q N ∈，故516q +=或532q +=，故11,5q p ==或27,6q p ==．22．在①123,1,a a a +成等差数列；②430S =；③12364a a a =三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并作答．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和．若12()n n S a a n N *=-∈，10a ≠，且满足（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11b =，*1()n n n b b a n N +-=∈，求数列{}n b 的通项公式．【试题来源】江苏省无锡市锡山高级中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】（1）2nn a =；（2）21n n b =-．【解析】（1）因为12n n S a a =-，所以1112n n S a a ++=-，所以()1111122n n n n n a S S a a a a +++--==--，化简得12n n a a +=，若选择①：因为123,1,a a a +成等差数列，所以()21321a a a +=+即()1112214a a a +=+，解得12a =，所以数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，所以2nn a =；若选择②：因为2413411530a a a a S a =+++==，所以12a =，所以数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，所以2nn a =；若选择③：因为31231864a a a a ==，所以12a =，所以数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，所以2nn a =；（3）由（1）得2nn a =，则12n n n b b +-=，所以当2n ≥时，()()()()2311213243112222n n n n b b b b b b b b b b --+-+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+= ()1122112n n ⋅-==--，当1n =时，11b =满足上式，所以21nn b =-．23．阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个关系①1112n n a a +=+，②12n n a a +=+，③21n n S a =-中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的__________处，使问题完整，并解答你构造的问题．（如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，对任意的*N n ∈，都有_________；等比数列{}n b 中，对任意的*N n ∈，都有0n b >，2123n n n b b b ++=+，且11b =，问：是否存在*N k ∈，使得对任意的*N n ∈，都有n k k n a b a b ≤？若存在，试求出k 的值；若不存在，试说明理由．【试题来源】江苏省南京市三校2020-2021学年高三上学期期中联考【答案】答案见解析【解析】设等比数列{}n b 的公比为q ．因为对任意的*n ∈N ，都有2123n n n b b b ++=+，所以223q q =+，解得1q =-或32．因为对任意的*n ∈N ，都有0n b >，所以0q >，从而32q =．又11b =，所以132n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭．显然，对任意的*n ∈N ，0n b >．所以，存在*n ∈N ，使得对任意的*n ∈N ，都有n k k n a b a b ≤，即n kn ka ab b ≤．记nn na cb =，*n ∈N ．下面分别就选择①②③作为条件进行研究． ①因为对任意的*n ∈N ，都有1112n n a a +=+，即()11222n n a a +-=-．又11a =，即1210a -=-≠，所以20n a -≠，从而12122n n a a +-=-，所以数列{}2n a -是等比数列，公比为12，得1122n n a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以1123n n n n n a c b --==，从而()1112321n n n nc c ++-=-．由()1121122132n nn n +--≤⇔≥⇔≥，得12c c =，当1n ≥时，1n n c c +<，所以，当1n =或2时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大值．所以对任意的*n ∈N ，都有2121n n a a a b b b ≤=，即11n n a b a b ≤，22n n a b a b ≤，所以存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n k k n a b a b ≤． ②因为对任意的*n ∈N ，都有12n n a a +=+，即12n n a a +-=，所以数列{}n a 是等差数列，公差为2．又11a =，所以12(1)21n a n n =+-=-．所以12(21)03n n n n a c n b -⎛⎫==-> ⎪⎝⎭，从而12(21)3(21)n n c n c n ++=-．由2(21)51253(21)2n n n n +≤⇔≥⇔≥-，得当2n ≤时，1n n c c +>；当3n ≥时，1n n c c +<，所以，当3n =时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大值．所以对任意的*n ∈N ，都有33n n a a b b ≤，即33n n a b a b ≤．所以存在3k =，使得对任意的*N n ∈，都有n k k n a b a b ≤． ③因为对任意的*N n ∈，都有21n n S a =-，所以1121n n S a ++=-，从而()1111212122n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=---=-，即12n n a a +=．又110a =>，所以0n a >，且12n na a +=，从而数列{}n a 是等比数列，公比为2，得12n na ．所以1304n n n n a c b -⎛⎫==> ⎪⎝⎭，从而1314n n c c +=<，所以1n n c c +<，所以，当1n =时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大值．所以对任意的*N n ∈，都有11n n a a b b ≤，即11n n a b a b ≤．所以存在1k =，使得对任意的*N n ∈，都有n k k n a b a b ≤． 24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21(*)n n S a n N =-∈ （1）求1a 和2a 的值；（2）证明数列{}n a 是等比数列，并求出{}n a 的通项公式；（3）设13log n n b a =，n n n c a b =，求数列{}nc 的前n 项和n T ．【试题来源】广东省东莞市第四高级中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】（1）113a =；219a =；（2）证明见解析，13n n a =；（3）n T =332443nn +-⨯．【解析】（1）1121S a =-，得113a =，当2n =时，2221S a =-，所以1222()1a a a +=-，解得219a =．（2）由21n n S a =-，1121(2)n n S a n --=-≥，两式相减得11(2)3n n a a n -=≥，即11(2)3n n a n a -=≥，所以数列{}n a 是以首项为13，公比为13的等比数列，得13n n a =．（3）13log n n b a n ==，3n n nnn c a b ==，则12n n T c c c =+++=21111112(1)3333n n n n -⨯+⨯++-⨯+⨯，得3×n T =21231333n-n++++，上两式相减得 2×n T =1+211113333n n n -+++-=311)233n n n--（，得n T =13133244323443n n nn n-+--=-⨯⨯⨯．【名师点睛】已知条件是n S 和n a 的关系的，可用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求通项公式．如果一个数列的结构是等差数列乘以等比数列，则数列求和采用错位相减求和法． 25．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S n a +=-．（1）证明数列{}1n a +是等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中，12b =，12n n b b +=-，求数列{}n n a b +的前n 项和n T ．【试题来源】云南省德宏州2020届高三上学期期末教学质量检测（文）【答案】（1）证明见解析；121n n a +=-；（2）n T 2224n n +=+-．【解析】（1）证明：当1n =时，13a =，当2n ≥时，22n n S n a +=- ①，11(1)22n n S n a --∴+-=- ②，由①－②得121n n a a -+=， 1221n n a a -∴+=+，即1121n n a a -+=+，故数列{}1n a +是以2为公比，首项为114a +=的等比数列，112n n a +∴+=，得121n n a +=-．（2）由题得12nnb b ，故{}n b 是以2为公差，2为首项的等差数列，2n b n ∴=．()231(242)222n n T n n +∴=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-()412(1)22212n n n n n --=+⨯+--2224n n +=+-．【名师点睛】本题考查数列求通项公式与求和问题，求数列和常用的方法：（1）等差+等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；（3）11n n n b a a +=（数列{}n a 为等差数列）：裂项相消法；（4）等差⨯等比数列：错位相减法．26．已知数列{}n a 满足12a =，1(1)2(2)n n n a n a ++=+ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求证：2nn S a <．【试题来源】浙江省温州市2020-2021学年高三上学期11月高考适应性测试（一模）【答案】（1）1(1)2n n a n -=+⋅；（2）证明见解析．【解析】（1）因为1(1)2(2)n n n a n a ++=+，所以12(2)(1)n n a n a n ++=+，则 1123411123134512(1)2(2)234n n n n n a a a a n a a a n n a a a a n ---+⎛⎫=⋅⋅⋅=⋅⋅⨯⨯⨯⨯=+⋅≥ ⎪⎝⎭当1n =时，12a =满足上式，所以1(1)2n n a n -=+⋅．（2）0121223242(1)2n n S n -=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅①，123122232422(1)2n n n S n n -=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅②，①-②得123122222(1)2n n n S n --=+++++-+⋅，化简得()12122(1)2212---=+-+⋅=-⋅-n nn nS n n ，所以2nn S n =⋅，又2(1)2220nnnn n a S n n -=+⋅-⋅=>，所以2n n S a <．【名师点睛】本题考查根据递推关系式求数列的通项公式，考查错位相减法求和，难度一般．（1）当数列{}n a 满足()1n na f n a +=时，可采用累乘法求通项公式；（2）当数列n n n c ab =⋅，其中{}n a 和{}n b 分别为等差数列与等比数列时，采用错位相减法求和．27．已知数列{}n a 满足122nn n a a a +=+，且12a =，数列{}n b 满足1n n n n b b a b +-=，且12b =，(n *∈N )．（1）求证：数列1na 是等差数列，并求通项n a ；（2）解关于n 的不等式：22n a nb <．【试题来源】江苏省盐城市一中、射阳中学等五校2020-2021学年高二上学期期中联考【答案】（1）证明见解析，2n a n=；（2）{}2,3,4n ∈．【解析】（1）由122nn n a a a +=+，且12a =知，0n a >，故有11112n n a a +-=得，所以数列1na 是等差数列，由于1111,22d a ==，所以12n n a =，即2n a n=；（2）由1n n n n b b a b +-=得，121n n n b n a b n++=+=，由累乘法得，(1)n b n n =+ 则不等式22na nb <可化为2(1)nn n <+，即(1)12nn n +>，令(1),2n nn n c n N *+=∈，则1n c >．当1n =时，11c =，不符合；当2n =时，2312c =>，符合；当3n =时，3312c =>，符合；当4n =时，4514c =>，符合；当5n =时，515116c =<，不符合；而当5,n n N *≥∈时，()()1111(2)1(2)(1)0222n n n nn n n n n n n c c ++++++-+-=-=<故当5,n n N *≥∈不符合；综上所述，{}2,3,4n ∈．28．已知数列1n n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和为n ，数列{}n b 满足11b =，1n n n b b a +-=，*n N ∈．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足22nnn a c b =，*n N ∈，求满足126316n c c c +++≤的最大整数n ．【试题来源】浙江省杭州地区重点中学2020-2021学年高三上学期期中【答案】（1）1n a n =+()n N ∈，(1)2n n nb +=()n N ∈；（2）证明见解析【解析】（1）因为1212111n nn a a a +++=---①， 2n ≥时，1211211111n n n a a a --+++=----②，由-①②得11n na =-，所以1(2)n a n n =+≥，当1n =时，1111a =-，12a =符合1n a n =+，所以1n a n =+()n N ∈，因为11n n n b b a n +-==+，所以()()()121321n n n b b b b b b b b -=+-+-++-1121n b a a a -=++++(1)122n nn +=+++=，当1n =时，11b =也符合，(1)2n n nb +=．（2）因为22224(21)(1)n n n a n c b n n +==+，22224(21)114()(1)(1)n n c n n n n +==-++，所以，12216341(1)16n c c c n ⎛⎫+++=-≤ ⎪+⎝⎭，21631(1)64n -≤+，211(1)64n ≥+，2(1)64n +≤，所以()18n +≤即7n ≤．所以满足126316n c c c +++≤的最大整数n 为7． 29．已知数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝a ，a n ＋1＝k (a n ＋a n ＋2)对任意n ∈N *都成立，数列{a n }的前n 项和为S n ．（1）若{a n }是等差数列，求k 的值；（2）若a ＝1，k ＝－12，求S n ．【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二第一学期第二次联考试题（文）【答案】（1）12k =；（2）()2,21,,2n n n k S k n n k*-=-⎧=∈⎨=⎩N ．【解析】（1）若{}n a 是等差数列，则对任意*n N ∈，121n n n n a a a a +++-=-，即122n n n a a a ++=+，所以()1212n n n a a a ++=+，故12k =. （2）当12k =-时，()1212n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--．所以()211n n n n a a a a ++++=-+，故()32211n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+，所以，当n 是偶数时，()()()1234112341n n n n n S a a a a a a a a a a a a --=++++++=++++++()122na a n =+=，当n 是奇数时，()23212a a a a +=-+=-，()()()12341123451n n n n n S a a a a a a a a a a a a a --=++++++=+++++++11(2)22n n -=+⨯-=- 综上，()2,21,,2n n n k S k n n k*-=-⎧=∈⎨=⎩N ．30．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，918a =，10110S =．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）设1n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二第一学期第二次联考试题（文）【答案】（1）2n a n =；（2）1n nT n =+．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由911018181045110a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得12a d ==，所以，()112n a a n d n =+-=，故数列{}n a 的通项公式2n a n =；（2）由（1）可得()()2212n n n S n n +==+，所以()111111n n b S n n n n ===-++，所以111111111122334111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【名师点睛】数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法．31．已知等比数列{}()n a n N*∈满足234a aa =，13223a a a +=．（1）定义：首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”，证明：数列{}n a 是“M -数列”；（2）记等差数列{}n b 的前n 项和记为n S ，已知59b =，864S =，求数列{}21n n b a -的前n 项的和n T ．【试题来源】内蒙古呼和浩特市2021届高三质量普查调研考试（理）【答案】（1）证明见解析；（2）()4727nn T n =-+．【解析】（1）由题意可设公比为q ，则23311a q a q =，得11a =，211123a a q a q +=得1q =或2q，所以数列{}n a 是“M -数列”．（2）设数列{}n b 的公差为d ，易得()458464b b S +==得47b =，所以542d b b =-=，得21n b n =-，由（1）知若1q =，则2143n n b a n -=-，所以()214322n n n T n n +-==-，若2q，则12n na ，所以()121432n n nb a n --=-⋅，所以()()0221125292472432n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-①，所以()()2312125292472432n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-②，①-②得()()231125292472432n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-，所以()()1812143212n n nT n ---=+---，所以()4727nn T n =-+．32．在①535S =，②13310a a +=，③113n a n a +=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，________，且1a ，412a ，9a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()1nn n b a =-，求1ni i b =∑．【试题来源】江苏省南通市平潮高级中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】（1）32n a n =-；（2）13,213,2n i i nn b n n =⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩∑是偶数是奇数【解析】{}n a 是各项均为正数的等差数列，1a ，412a ，9a 成等比数列．所以241914a a a =⋅，即()()2111348a d a a d +=⋅+，整理可得221132690a a d d +-=，若选①：535S =，则1545352a d ⨯+=，即127a d +=，由127a d +=可得172a d =-代入221132690a a d d +-=可得2230d d --=，解得3d =或1d =-（舍），所以11a =，所以()11332n a n n =+-⨯=-，若选②：13310a a +=，即152d a =-，代入221132690a a d d +-=得2111762450a a -+=，即 ()()11117450a a --=解得113a d =⎧⎨=⎩或145175017a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-<⎪⎩不符合题意；若选③：113n a n a +=+，则419a a =+，9124a a =+，代入241914a a a =⋅可得21126270a a +-= 解得113a d =⎧⎨=⎩或1273a d =-⎧⎨=⎩不符合题意；综上所述：113a d =⎧⎨=⎩，32n a n =-，（2）()()132nn b n =--，()()()()()12311231111111nn nin n i b a a a a a --==-+-+-+-+-∑()()()()114710135132n nn n -=-+-++--+--当n 为偶数时，13322ni i n n b ==⨯=∑，当n 为奇数时，()11131322ni i n nb =--=-+-⨯=∑，所以13,213,2ni i nn b n n =⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩∑是偶数是奇数．【名师点睛】本题得关键点是分别由条件①②③结合1a ，412a ，9a 成等比数列计算出1a 和d 的值，由{}n a 是各项均为正数的等差数列，所以10a >，0d >，第二问中()1nn nb a =-正负交错的数列求和，需要用奇偶并项求和，注意分n 为奇数和偶数讨论．33．已知函数f (x )=x a ( a 为常数，a >0且a ≠1 )（1）在下列条件中选择一个条件___ (仅填序号)，使得依次条件可以推出数列{a n }为等差数列，并说明理由；①数列{f (n a )}是首项为4，公比为2的等比数列； ②数列{f (n a )}是首项为4，公差为2的等差数列；③数列{f (n a )}是首项为4 ，公比为2的等比数列的前n 项和构成的数列；（2）在（1）的选择下，若a =2，b =12n⎛⎫ ⎪⎝⎭(n ∈*N )，求数列{n a ．n b }的前n 项和n S ，【试题来源】江苏省南京师大附中2020-2021学年高三上学期期中【答案】（1）选①，理由见解析（2）332n n +-【解析】（1）②③不能推出数列{a n }为等差数列，①能推出数列{a n }为等差数列．若选①，数列{f (n a )}是首项为4，公比为2的等比数列，所以f (n a )1+1422n a n n a -==⨯=，解得1log 2(1)log 2n n a a a n +==+，故数列{a n }为等差数列，若选②，数列{f (n a )}是首项为4，公差为2的等差数列，所以()42(1)22n f a n n =+-=+，即22na a n =+，解得log 22)a n a n =+（，故数列{a n }不为等差数列，若选③，数列{f (n a )}是首项为4 ，公比为2的等比数列的前n 项和构成的数列，因为首项为4 ，公比为2的等比数列的前n 项和为4(12)4(21)12n n n S -==--，所以()4(21)na n n f a a==-，解得log 4(21)n n a a =-，显然数列{a n }不为等差数列．（2）由（1）及a =2可得1n a n =+，所以11(1)22nn n n n a b n +⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭， 234345n+112222n n S =+++++，345111345n+1222222n n S +∴=+++++，两式相减可得23451111111112222222n n n n S ++∴=++++++-。

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高考数学（理）冲刺精炼
（17）等差数列
第1卷
一、选择题
1、已知为等差数列,其公差为,且是与的等比中项,为的前项和,,则的值为( )
A.-110
B.-90
C.90
D.110
2、已知等比数列满足且,则当时,( )
A.
B.
C.
D.
3、已知为等差数列，若，则的值为A．B．C．D．
4、等差数列中,,,则数列前项的和等于( )
A.66
B.99
C.144
D.297
5、设是公差为正数的等差数列,若,且,则
( )
A.120
B.105
C.90
D.75
6、如果等差数列中,,那么( )
A.14
B.21
C.28
D.35
7、设是等差数列的前项和.若,则( )
A.5
B.7
C.9
D.11
8、已知等差数列的公差为,若成等比数列, 则（）A．B．C．D．
9、将全体正整数排成如图所示的一个三角形数阵:
按照以上排列的规律,第行从左向右的第个数为.
10、已知等差数列满足:,的前项和为.
1.求及
2.令,若数列的前项和为,证明.
参考答案
一、选择题
1.答案：D
解析：由题意得,
又公差,
∴,
∴,
∴
,故选D.
2.答案：C
3.答案：A
解析：在等差数列中，则。

因为，，所以，，，，
==，故选A。

考点：本题主要考查等差数列的性质，特殊角的三角函数值。

点评：简单题，在等差数列中，则。

4.答案：B
解析：由,,
得,,解得,,
所以.
5.答案：B
解析：由得,
由得,
所以,故选B
考点:等差数列性质.
6.答案：C
解析：由等差数列的性质知,,
故
.
7.答案：A
解析：∵,
∴,
∴,
∴.故选A.
考点:等差数列.
8.答案：B
解析：成等比数列
考点：等差数列等比数列
二、填空题
9.答案：
解析：注意对数的排列结构进行分析,不难得出,前行共有自然数个,所
以第行从左向右的第三个数.
三、解答题
10.答案：1.设等差数列的公差为,因为,所以有
,解得,
所以;
2.由1知,
所以, 所以
又,所以。