五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编19-平面解析几何(直线与方程)(含解析)
专题05 平面解析几何(选择题、填空题)-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(原卷版)
专题05平面解析几何（选择题、填空题）考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：直线方程与圆的方程2022年全国II卷、2022年全国甲卷（文）2022年全国乙卷（理）近三年高考对解析几何小题的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练以下方向：（1）要重视直线方程的求法、两条直线的位置关系以及点到直线的距离公式这三个考点．（2）要重视直线与圆相交所得弦长及相切所得切线的问题．（3）要重视椭圆、双曲线、抛物线定义的运用、标准方程的求法以及简单几何性质，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，因方法多，试题灵活，在各种题型中均有体现．考点2：直线与圆的位置关系2024年北京卷、2022年全国甲卷（理）2022年天津卷、2022年北京卷2023年全国Ⅰ卷、2024年北京卷考点3：圆与圆的位置关系2022年全国I卷考点4：轨迹方程及标准方程2023年北京卷、2023年天津卷2024年全国Ⅱ卷、2022年天津卷2022年全国甲卷（文）考点5：椭圆的几何性质2022年全国I卷2023年全国甲卷（理）2023年全国甲卷（文）考点6：双曲线的几何性质2022年北京卷2023年全国乙卷（理）考点7：抛物线的几何性质2024年北京卷、2024年天津卷2023年全国乙卷（理）2023年天津卷、2023年全国Ⅱ卷2024年全国Ⅱ卷、2022年全国I卷考点8：弦长问题2022年全国乙卷（理）2023年全国甲卷（理）考点9：离心率问题2024年全国Ⅰ卷、2022年全国甲卷（文）2023年全国Ⅰ卷、2022年浙江卷2022年全国乙卷（理）2024年全国甲卷（理）2023年全国Ⅰ卷、2022年全国甲卷（理）考点10：焦半径、焦点弦问题2022年全国II卷、2023年北京卷考点11：范围与最值问题2022年全国II卷2024年全国甲卷（文）2023年全国乙卷（文）考点12：面积问题2024年天津卷、2023年全国Ⅱ卷2023年全国Ⅱ卷考点13：新定义问题2024年全国Ⅰ卷考点1：直线方程与圆的方程1．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||23MA NB MN ==l 的方程为．2．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为．3．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为．考点2：直线与圆的位置关系4．（2024年北京高考数学真题）若直线()3y k x =-与双曲线2214xy -=只有一个公共点，则k 的一个取值为．5．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =．6．（2022年新高考天津数学高考真题）若直线()00x y m m -+=>与圆()()22113x y -+-=相交所得的弦长为m ，则m =．7．（2022年新高考北京数学高考真题）若直线210x y +-=是圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （）A ．12B ．12-C ．1D ．1-8．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A ．1B ．154C ．104D 649．（2024年北京高考数学真题）圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（）A 2B ．2C ．3D ．32考点3：圆与圆的位置关系10．（2022年新高考全国I 卷数学真题）写出与圆221x y +=和22(3)(4)16x y -+-=都相切的一条直线的方程．考点4：轨迹方程及标准方程11．（2023年北京高考数学真题）已知双曲线C 的焦点为(2,0)-和(2,0)，离心率为2，则C 的方程为．12．（2023年天津高考数学真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、．过2F 向一条渐近线作垂线，垂足为P ．若22PF =，直线1PF 的斜率为24，则双曲线的方程为（）A ．22184x y -=B ．22148x y -=C ．22142x y -=D ．22124x y -=13．（2022年新高考天津数学高考真题）已知抛物线21245,,y F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=14．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（）A ．2211816x y +=B ．22198x y +=C ．22132x y +=D ．2212x y +=15．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）考点5：椭圆的几何性质16．（2022年新高考全国I 卷数学真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是．17．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:196x yC +=的两个焦点，点P 在C 上，123cos 5F PF ∠=，则||OP =（）A ．135B ．302C ．145D ．35218．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）设12,F F 为椭圆22:15x C y +=的两个焦点，点P 在C 上，若120PF PF ⋅=，则12PF PF ⋅=（）A ．1B ．2C ．4D ．5考点6：双曲线的几何性质19．（2022年新高考北京数学高考真题）已知双曲线221x y m +=的渐近线方程为3y =，则m =．20．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A ．()1,1B ．()1,2-C ．()1,3D ．()1,4--考点7：抛物线的几何性质21．（2024年北京高考数学真题）抛物线216y x =的焦点坐标为．22．（2024年天津高考数学真题）圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．23．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知点(5A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为.24．（2023年天津高考数学真题）已知过原点O 的一条直线l 与圆22:(2)3C x y ++=相切，且l 与抛物线22(0)y px p =>交于点,O P 两点，若8OP =，则p =．25．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||15PQ =C ．当||2PB =时，PA AB⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个26．（多选题）（2022年新高考全国I 卷数学真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（）A ．C 的准线为1y =-B ．直线AB 与C 相切C ．2|OP OQ OA⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>27．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设O 为坐标原点，直线)31y x =--过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则（）．A ．2p =B ．83MN =C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．OMN 为等腰三角形考点8：弦长问题28．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（）A ．2B ．22C ．3D ．3229．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>5C 的一条渐近线与圆22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则||AB =（）A 55B ．255C ．355D ．455考点9：离心率问题30．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为．31．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的一个值．32．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，11222,3F A F B F A B ⊥=- ，则C 的离心率为．33．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是．34．（多选题）（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（）A 52B ．32C ．132D ．17235．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4-，点()6,4-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A ．4B ．3C ．2D 236．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设椭圆2222122:1(1),:14x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若213e e =，则=a （）A 233B 2C 3D 637．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（）A 32B ．22C ．12D ．13考点10：焦半径、焦点弦问题38．（多选题）（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（）A ．直线AB 的斜率为26B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒39．（2023年北京高考数学真题）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线3x =-的距离为5，则||MF =（）A ．7B ．6C ．5D ．4考点11：范围与最值问题40．（2022年新高考全国II 卷数学真题）设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是．41．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线20ax y a ++-=与圆2241=0C x y y ++-：交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．642．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数,x y 满足224240x y x y +---=，则x y -的最大值是（）A ．3212+B ．4C ．132+D ．7考点12：面积问题43．（2024年天津高考数学真题）双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=44．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知直线:10l x my -+=与()22:14C x y -+= 交于A ，B 两点，写出满足“ABC 面积为85”的m 的一个值．45．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于A ，B 两点，若1F AB △ 面积是2F AB △ 面积的2倍，则m =（）．A ．23B 23C ．23D ．23-考点13：新定义问题46．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足:横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A ．2a =-B ．点(22,0)在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+。
高考数学真题分类汇编专题18：平面解析几何(综合题)
高考数学真题分类汇编专题 18：平面解析几何（综合题）姓名:________班级:________成绩:________一、 平面解析几何 (共 13 题；共 110 分)1. （10 分） (2019·鞍山模拟) 在直角坐标系 于 、 两点．（1） 求 的取值范围；中，过点且斜率为 的直线交椭圆（2） 当时，若点 关于 轴的对称点为 ，直线 交 轴于 ，证明：为定值．2. （10 分） (2017·舒城模拟) 如图，O 为坐标原点，点 F 为抛物线 C1：x2=2py（p＞0）的焦点，且抛物线 C1 上点 M 处的切线与圆 C2：x2+y2=1 相切于点 Q．（Ⅰ）当直线 MQ 的方程为时，求抛物线 C1 的方程；（Ⅱ）当正数 p 变化时，记 S1 ， S2 分别为△FMQ，△FOQ 的面积，求 的最小值．3. （10 分） (2018 高二上·蚌埠期末) 已知抛物线 ：的焦点为 ，直线交于点 ，抛物线 交于点 ，且.（1） 求抛物线 的方程；（2） 过原点 作斜率为 和 的直线分别交抛物线 于 是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，则说明理由.两点，直线 过定点与轴 ，第 1 页 共 10 页4. （10 分） (2018 高二下·遂溪月考) 已知椭圆 点到两焦点 ， 的距离之和为 4.的长轴与短轴之和为 6，椭圆上任一（1） 求椭圆的标准方程；（2） 若直线 ：与椭圆交于 ， 两点， ， 在椭圆上，且 ， 两点关于直线对称，问：是否存在实数 ，使，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.5. （10 分） (2017·晋中模拟) 已知椭圆 C：的右焦点在直线 l： x﹣y﹣3=0 上，且椭圆上任意两个关于原点对称的点与椭圆上任意一点的连线的斜率之积为﹣ ．（1）求椭圆 C 的方程；（2）若直线 t 经过点 P（1，0），且与椭圆 C 有两个交点 A，B，是否存在直线 l0：x=x0（其中 x0＞2）使得 A，B 到l0 的距离 dA，dB 满足恒成立？若存在，求出 x0 的值，若不存在，请说明理由．6. （10 分） (2018·全国Ⅲ卷理) 在平面直角坐标系中，过点且倾斜角为 的直线 与交于两点的参数方程为( 为参数)，（1） 求 的取值范围（2） 求 中点 的轨迹的参数方程7. （5 分） (2017·莆田模拟) 已知点 P 是圆 F1：（x﹣1）2+y2=8 上任意一点，点 F2 与点 F1 关于原点对称， 线段 PF2 的垂直平分线分别与 PF1 ， PF2 交于 M，N 两点．（1） 求点 M 的轨迹 C 的方程；（2） 过点的动直线 l 与点 M 的轨迹 C 交于 A，B 两点，在 y 轴上是否存在定点 Q，使以 AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．第 2 页 共 10 页8. （5 分） (2017·南海模拟) 已知椭圆 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程；的右顶点为，离心率为 ．（Ⅱ）设过右焦点 F 且斜率不为 0 的动直线 l 与椭圆交于 M，N 两点，过 M 作直线 x=a2 的垂线，垂足为 M1 ， 求 证：直线 M1N 过定点，并求出定点．9. （5 分） (2018·衡水模拟) 已知椭圆 ：，短轴长为．（1） 求椭圆 的标准方程；（2） 过 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，则 出这个最大值及直线 的方程；若不存在，请说明理由．的左右焦点分别为 ， ，离心率 的面积是否存在最大值？若存在，求10. （5 分） (2019·临川模拟) 已知椭圆 ：是椭圆的左焦点，，直线 ：.，离心率， 是椭圆的左顶点，（1） 求椭圆 方程；（2） 求椭圆 方程；（3） 直线 过点 与椭圆 交于 、 两点，直线 、 分别与直线 交于试问：以为直径的圆是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由.、 两点，（4） 直线 过点 与椭圆 交于 、 两点，直线 、 分别与直线 交于试问：以为直径的圆是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由.、 两点，11. （15 分） (2017 高二下·新疆开学考) 在平面直角坐标系 x0y 中，已知点 A（﹣ ，0），B（ ） ， E 为动点，且直线 EA 与直线 EB 的斜率之积为﹣ ．（Ⅰ）求动点 E 的轨迹 C 的方程； （Ⅱ）设过点 F（1，0）的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M，N．若点 P 在 y 轴上，且|PM|=|PN|，求点 P 的纵坐标的取值范围．第 3 页 共 10 页12. （5 分） (2017·高台模拟) 定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的． 如图，椭圆C1 与椭圆 C2 是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆 C1： 短轴长是 1，点 F1 ， F2 分别是椭圆 C1 的左焦点与右焦点，的长轴长是 4，椭圆 C2：（Ⅰ）求椭圆 C1 ， C2 的方程； （Ⅱ）过 F1 的直线交椭圆 C2 于点 M，N，求△F2MN 面积的最大值． 13. （10 分） (2015 高三上·大庆期末) 已知直线 l：（3+t）x﹣（t+1）y﹣4=0（t 为参数）和圆 C：x2+y2 ﹣6x﹣8y+16=0： （1） t∈R 时，证明直线 l 与圆 C 总相交： （2） t∈R 时，证明直线 l 与圆 C 总相交： （3） 直线 l 被圆 C 截得弦长最短，求此弦长并求此时 t 的值． （4） 直线 l 被圆 C 截得弦长最短，求此弦长并求此时 t 的值．第 4 页 共 10 页参考答案一、 平面解析几何 (共 13 题；共 110 分)1-1、答案：略 1-2、答案：略第 5 页 共 10 页2-1、 3-1、答案：略 3-2、答案：略 4-1、答案：略第 6 页 共 10 页4-2、答案：略 5-1、答案：略 5-2、答案：略 6-1、答案：略 6-2、答案：略 7-1、答案：略 7-2、答案：略8-1、 9-1、答案：略第 7 页 共 10 页9-2、答案：略 10-1、答案：略 10-2、答案：略 10-3、答案：略 10-4、答案：略第 8 页 共 10 页11-1、第 9 页 共 10 页12-1、 13-1、答案：略 13-2、答案：略 13-3、答案：略 13-4、答案：略第 10 页 共 10 页。
9-平面向量-五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编
参考答案：1．B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=-， 所以CB =3232CD CA n m -=-23m n =-+． 故选：B ． 2．C【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ， 又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b ∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ， ∴1a b ⋅= 故选：C. 3．C【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =, 故选：C 4．D【分析】先求得a b -，然后求得a b -.【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=-，所以()22435-=+-=a b .故选：D 5．D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，表示出PA ，PB ，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动， 设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，所以()3cos ,sin PA θθ=--，()cos ,4sin PB θθ=--， 所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯- 22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈-； 故选：D6．B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,,,OA a OB b OC c BA a b ====-,当AB OC ⊥时，a b -与c 垂直，，所以成立，此时a b ≠，∴不是a b =的充分条件，当a b =时，0a b -=，∴()00a b c c -⋅=⋅=,∴成立，∴是a b =的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B. 7．D【分析】计算出()a ab ⋅+、a b +的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值. 【详解】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()22222526367a b a b a a b b +=+=+⋅+=-⨯+=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 8．D【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.【详解】由已知可得：11cos 601122a b a b ︒⋅=⋅⋅=⨯⨯=. A ：因为215(2)221022a b b a b b +⋅=⋅+=+⨯=≠，所以本选项不符合题意； B ：因为21(2)221202a b b a b b +⋅=⋅+=⨯+=≠，所以本选项不符合题意；C ：因为213(2)221022a b b a b b -⋅=⋅-=-⨯=-≠，所以本选项不符合题意； D ：因为21(2)22102a b b a b b -⋅=⋅-=⨯-=，所以本选项符合题意. 故选：D.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力. 9．A【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-， 故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目. 10．C【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.【详解】()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-=故选：C【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单. 11．A【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案； 【详解】连结AC ，则AC 为ABC 的中位线， ∴111222EF AC a b ==+，故选：A 12．C【分析】由二次函数对称轴设出P 点坐标，再由向量垂直的坐标表示计算可得． 【详解】由题意函数243y x x =--图象的对称轴是2x =，设(2,)P y ，因为PA PB ⊥，所以(2,3)(6,2)12(3)(2)0PA PB y y y y ⋅=-⋅--=-+--=，解得6y =或1y =-，所以(2,6)P 或(2,1)P -，故选：C ． 13．B【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥得出向量,a b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||122||a bb b a b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π． 14．A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BD =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果. 【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A. 【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 15．C【分析】根据向量三角形法则求出t ，再求出向量的数量积.【详解】由(1,3)BC AC AB t =-=-，221(3)1BC t =+-=，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大． 16．B【详解】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 详解：因为22(2)22||(1)213,a a b a a b a ⋅-=-⋅=--=+= 所以选B.点睛：向量加减乘： 221212(,),||,cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅17．A【分析】本题先计算a b -，再根据模的概念求出||a b -．【详解】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)a b -=-=-， 所以22||(1)12a b -=-+ 故选A【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错． 18．C【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】因为向量,a b 均为单位向量 所以|3||3|a b a b -=+⇔()()2233a ba b -=+⇔22226996a a b b a a b b -⋅+=+⋅+ ⇔169961a b a b -⋅+=+⋅+ ⇔0a b ⋅=⇔a b ⊥所以“|3||3|a b a b -=+”是“a b ⊥”的充要条件 故选：C【点睛】本题考查的是向量数量积的应用和充要条件的判断，属于基础题. 19．A【详解】分析：由题意可得ABD △为等腰三角形，BCD △为等边三角形，把数量积AE BE ⋅分拆，设(01)DE tDC t =≤≤，数量积转化为关于t 的函数，用函数可求得最小值。
2023年高考数学真题实战复习(2022高考+模考题)专题19 解析几何中的抛物线问题(解析版)
专题19 解析几何中的抛物线问题【高考真题】1．(2022·全国乙理) 设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =( ) A ．2 B． C ．3 D．1．答案 B 解析 由题意得，()1,0F ，则2AF BF ==，即点A 到准线1x =-的距离为2，所以点A 的 横坐标为121-+=，不妨设点A 在x 轴上方，代入得，()1,2A ，所以AB ==选B ．2．(2022·新高考Ⅰ) 已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则( )A ．C 的准线为1y =-B ．直线AB 与C 相切 C ．2|OP OQ OA ⋅> D ．2||||||BP BQ BA ⋅>2．答案 BCD 解析 将点A 的代入抛物线方程得12p =，所以抛物线方程为2x y =，故准线方程为14y =-，A 错误；1(1)210AB k --==-，所以直线AB 的方程为21y x =-，联立221y x x y=-⎧⎪⎨=⎪⎩，可得2210x x -+=，解得1x =，故B 正确；设过B 的直线为l ，若直线l 与y 轴重合，则直线l 与抛物线C 只有一个交点，所以，直线l 的斜率存在，设其方程为1y kx =-，1122(,),(,)P x y Q x y ，联立21y kx x y=-⎧⎪⎨=⎪⎩，得210x kx -+=，所以21212Δ401k x x k x x ⎧=->⎪+=⎨⎪=⎩，所以2k >或2k <-，21212()1y yx x ==，又||OP=，||OQ所以2||||||2||OP OQ k OA ⋅=>=，故C 正确；因1|||BPx =，2|||BQ x =，所以2212||||(1)||15BP BQ k x x k ⋅=+=+>，而2||5BA =，故D 正确．故选BCD ．3．(2022·新高考Ⅰ) 已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点， 其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则( )A ．直线AB 的斜率为 B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ︒∠+∠<3．答案 ACD 解析对于A ，易得(,0)2p F ，由AF AM =可得点A 在FM 的垂直平分线上，则A 点横坐标为3224ppp +=，代入抛物线可得2233242p y p p =⋅=，则3(4p A ，则直线AB的斜率为2342p p =-，A 正确；对于B，由斜率为可得直线AB的方程为2p x y =+，联立抛物线方程得220y py p -=，设11(,)B x y1p y p +，则1y =，代入抛物线得212p x ⎛=⋅ ⎝⎭，解得13p x =，则(,3p B，则2pOB OF ==≠=，B 错误；对于C ，由抛物线定义知：325244312p p pAB p p OF =++=>=，C 正确；对于D，2333((,043434p p p p p OA OB ⎛⋅=⋅=⋅=-< ⎝⎭，则AOB ∠为钝角，又2225((,043436p p p p p MA MB ⎛⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅-=-< ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则AMB ∠为钝角，又360AOB AMB OAM OBM ∠+∠+∠+∠=，则180OAM OBM ∠+∠<，D 正确．故选ACD ．【知识总结】 1．抛物线的概念(1)定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹． (2)焦点：点F 叫做抛物线的焦点． (3)准线：直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程和简单几何性质x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R【题型突破】题型一 抛物线的标准方程1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝xB ．y 2＝2xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x1．答案 B 解析 由抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，根据抛物线的定义可得p 2＝12，∴p ＝1，所以抛物线的标准方程为y 2＝2x ．故选B ．2．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |， 且|AF |＝3，则此抛物线方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x2．答案 C 解析 法一：如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设||BF ＝a ，则由已知得||BC ＝2a ，由抛物线定义，得||BD ＝a ，故∠BCD ＝30°，在Rt △ACE 中， ∵||A E ＝|AF |＝3，||AC ＝3＋3a ，∴2||A E ＝||AC ，即3＋3a ＝6，从而得a ＝1，||FC ＝3a ＝3．∴p ＝||FG ＝12||FC ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x ，故选C ．法二：由法一可知∠CBD ＝60°，则由|AF |＝p1－cos 60°＝3，可知p ＝3⎝⎛⎭⎫1－12＝32，∴2p ＝3，∴抛物线的标准方程为y 2＝3x .3．已知圆C 1：x 2＋(y －2)2＝4，抛物线C 2：y 2＝2px (p ＞0)，C 1与C 2相交于A ，B 两点，|AB |＝855，则抛 物线C 2的方程为____________．3．答案 y 2＝325x 解析 由题意，知圆C 1与抛物线C 2的一个交点为原点，不妨记为B ，设A (m ，n )．因为|AB |＝855，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝855，m 2＋(n －2)2＝4，解得⎩⎨⎧m ＝85，n ＝165，即A ⎝⎛⎭⎫85，165．将点A 的坐标代入抛物线方程得⎝⎛⎭⎫1652＝2p ×85，所以p ＝165，所以抛物线C 2的方程为y 2＝325x ．4．已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a >0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点， 若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝8xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x4．答案 y 2＝8x 解析 将双曲线方程化为标准方程得x 2a 2－y 23a2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 23a 2＝1，y 2＝8ax⇒x ＝3a ，即点P的横坐标为3a ．而由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝12，|PF 1|－|PF 2|＝2a ⇒|PF 2|＝6－a ，又易知F 2为抛物线的焦点，∴|PF 2|＝3a ＋2a＝6－a ，得a ＝1，∴抛物线的方程为y 2＝8x ．5．抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M ．若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p 等于( ) A ．316 B ．38 C ．233 D ．4335．答案 D 经过第一象限的双曲线C 2的渐近线方程为y ＝33x .抛物线C 1的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，双曲线C 2 的右焦点为F 2(2，0)．因为y ＝12p x 2，所以y ′＝1p x ．所以抛物线C 1在点M ⎝⎛⎭⎫x 0，x 202p 处的切线斜率为33，即1p x 0＝33，所以x 0＝33p ．因为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，F 2(2，0)，M ⎝⎛⎭⎫33p ，p 6三点共线，所以p 2－00－2＝p 6－p233p －0，解得p ＝433，故选D ．6．已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－12，则抛物线C 的方程为( )A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．y 2＝8xD ．y 2＝4x6．答案 C 解析 由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p 2，消 去x 得y 2－2pmy －p 2＝0，显然方程有两个不等实根．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫my 1＋p 2⎝⎛⎭⎫my 2＋p 2＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12，得p ＝4(舍负)，即抛物线C 的方程为y 2＝8x ．7．直线l 过抛物线y 2＝－2px (p ＞0)的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝－12xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝－6xD ．y 2＝－4x7．答案 B 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可知|AB |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝8．又AB 的中 点到y 轴的距离为2，所以－x 1＋x 22＝2，所以x 1＋x 2＝－4，所以p ＝4，所以所求抛物线的方程为y 2＝－8x ．故选B ．8．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2．若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________． 8．答案x 2＝16y解析 因为双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以2＝ca＝1＋b 2a2，所 以ba ＝3，所以渐近线方程为3x ±y ＝0，因为抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，所以F 到双曲线C 1的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪p 23＋1＝2，所以p ＝8，所以抛物线C 2的方程为x 2＝16y ． 9．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0， 2)，则抛物线C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x 9．答案 C 解析 因为抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，所以焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0．设M (x ，y )，由抛物线的 性质可得|MF |＝x ＋p 2＝5，所以x ＝5－p2．因为圆心是MF 的中点，所以根据中点坐标公式可得圆心横坐标为52，又由已知可得圆的半径也为52，故可知该圆与y 轴相切于点(0，2)，故圆心纵坐标为2，则点M 的纵坐标为4，所以M ⎝⎛⎭⎫5－p2，4．将点M 的坐标代入抛物线方程，得p 2－10p ＋16＝0，所以p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ，故选C ．10．抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．10．答案 y 2＝16x 解析 设满足题意的圆的圆心为M ，根据题意可知圆心M 在抛物线上，又因为圆的面积为36π，所以圆的半径为6，则|MF |＝x M ＋p 2＝6，即x M ＝6－p 2，又由题意可知x M ＝p 4，所以p4＝6－p2，解得p ＝8．所以抛物线方程为y 2＝16x ． 题型二 抛物线中的求值11．设抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，点A 为C 上一点，若|F A |＝3，则直线F A 的倾斜角为( )A ．π3B ．π4C ．π3或2π3D ．π4或3π411．答案 C 解析 如图，作AH ⊥l 于H ，则|AH |＝|F A |＝3，作FE ⊥AH 于E ，则|AE |＝3－32＝32，在Rt △AEF中，cos ∠EAF ＝|AE ||AF |＝12，∴∠EAF ＝π3，即直线F A 的倾斜角为π3，同理点A 在x 轴下方时，直线F A的倾斜角为2π3．12．(2018·全国Ⅰ)已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k的直线与C 交于A ，B两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________．12．答案 2 解析 法一：由题意知，抛物线的焦点为(1，0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 消去y 得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x消去x 得y 2＝4⎝⎛⎭⎫1k y ＋1，即y 2－4k y －4＝0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4.由∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2．法二：设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2．取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′，又∠AMB ＝90°，点M 在准线x ＝－1上，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．又M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴，且y 0＝1，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2．13．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________． 13．答案 4 解析 [一般解法] 设AB 的方程为x ＝my ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1>x 2，将直线AB的方程代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2，4x 1x 2＝p 2.设抛物线的准线为l ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，过B 作BD ⊥l ，垂足为D ，因为|AF |＝2|BF |＝6，根据抛物线的定义知，|AF |＝|AC |＝x 1＋p 2＝6，|BF |＝|BD |＝x 2＋p2＝3，所以x 1－x 2＝3，x 1＋x 2＝9－p ，所以(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2＝4x 1x 2＝p 2，即18p －72＝0，解得p ＝4．[应用结论]法一：设直线AB 的倾斜角为α，分别过A ，B 作准线l 的垂线AA ′，BB ′，垂足分别为A ′，B ′(图略)，则|AA ′|＝6，|BB ′|＝3，过点B 作AA ′的垂线BC ，垂足为C ，则|AC |＝3，|BC |＝62，易知∠BAC ＝α，所以sin α＝629＝223，所以|AB |＝2p sin 2α＝9，解得p ＝4．法二：设直线AB 的倾斜角为α，则|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p 1＋cos α，则有p 1－cos α＝2×p1＋cos α，解得cos α＝13，又|AF |＝p1－cos α＝6，所以p ＝4．法三：∵|AF |＝6，|BF |＝3，2p ＝16＋13＝12，∴p ＝4．14．(2017·全国Ⅰ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M为FN 的中点，则|FN |＝________．14．答案 6 解析 如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF ．由题意知，F (2，0)，|FO |＝|AO |＝2．∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ，∴|MP |＝12|FO |＝1．又|BP |＝|AO |＝2，∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3．由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6．15．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A ．5B ．6C ．163D ．20315．答案 C 解析 [一般解法] 如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AD |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，可得y 1＝23，所以A (3，23)，又F (1，0)，所以直线AF 的斜率k ＝233－1＝3，所以直线AF 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得3x 2－10x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163．故选C ．[应用结论]法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝3＋13＋2＝163．法二 因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163． 16．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( )A ．4B ．92C ．5D ．616．答案 B 解析 [一般解法]易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，得x A ·x B ＝1，①．因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2(x B ＋1)，即x A ＝2x B ＋1，②．由①②解得x A ＝2，x B ＝12，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92．[应用结论]法一 由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ，则|AB |＝3m ，由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，所以tan θ＝22．则sin 2θ＝8cos 2θ，∴sin 2θ＝89．又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝92． 法二 因为|AF |＝2|BF |，1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p ＝1，解得|BF |＝32，|AF |＝3，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝92．17．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A ．334B ．938C ．6332D ．9417．答案 D 解析 [一般解法] 由已知得焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34， 即4x －43y －3＝0．与抛物线方程联立，化简得4y 2－123y －9＝0，故|y A －y B |＝(y A ＋y B )2－4y A y B ＝6．因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94．联立方程得x 2－212x ＋916＝0，故x A ＋x B ＝212．根据抛物线的定义有|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝212＋32＝12，同时原点到直线AB 的距离为h ＝|－3|42＋(－43)2＝38，因此S △OAB ＝12|AB |·h ＝94． [应用结论] 由2p ＝3，及|AB |＝2p sin 2α，得|AB |＝2p sin 2α＝3sin 230°＝12．原点到直线AB 的距离d ＝|OF |·sin 30°＝38，故S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×12×38＝94．18．过点P (2，－1)作抛物线x 2＝4y 的两条切线，切点分别为A ，B ，P A ，PB 分别交x 轴于E ，F 两点，O为坐标原点，则△PEF 与△OAB 的面积之比为( ) A ．32 B ．33 C ．12 D ．3418．答案 C 解析 解法1 设过P 点的直线方程为y ＝k (x －2)－1，代入x 2＝4y 可得x 2－4kx ＋8k ＋4＝0，令Δ＝0，可得16k 2－4(8k ＋4)＝0，解得k ＝1±2．∴直线P A ，PB 的方程分别为y ＝(1＋2)(x －2)－1，y ＝(1－2)·(x －2)－1，分别令y ＝0，可得E (2＋1，0)，F (1－2，0)，即|EF |＝22．∴S △PEF ＝12×22×1＝2，易求得A (2＋22，3＋22)，B (2－22，3－22)，∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1，|AB |＝8，又原点O 到直线AB 的距离d ＝22，∴S △OAB ＝12×8×22＝22．∴△PEF 与△OAB 的面积之比为12．故选C ．解法2 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则点A ，B 处的切线方程为x 1x ＝2(y ＋y 1)，x 2x ＝2(y ＋y 2)，所以E ⎝⎛⎭⎫2y 1x 1，0，F ⎝⎛⎭⎫2y 2x 2，0，即E ⎝⎛⎭⎫x 12，0，F ⎝⎛⎭⎫x 22，0，因为这两条切线都过点P (2，－1)，则⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝2(－1＋y 1)，2x 2＝2(－1＋y 2)，所以l AB ：x ＝－1＋y ，即l AB 过定点(0，1)，则S △PEF S OAB ＝12×1×⎪⎪⎪⎪x 12－x 2212×1×|x 1－x 2|＝12．19．(2018·全国Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →等于( )A ．5B ．6C ．7D ．819．答案 D 解析 由题意知直线MN 的方程为y ＝23(x ＋2)，联立直线与抛物线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.不妨设点M 的坐标为(1，2)，点N 的坐标为(4，4)．又∵抛物线的焦点为F (1，0)，∴FM →＝(0，2)，FN →＝(3，4)．∴FM →·FN →＝0×3＋2×4＝8．故选D ．20．如图所示，抛物线y ＝14x 2，AB 为过焦点F 的弦，过A ，B 分别作抛物线的切线，两切线交于点M ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，则：①若AB 的斜率为1，则|AB |＝4；②|AB |min ＝2；③y M ＝－1；④若AB 的斜率为1，则x M ＝1；⑤x A ·x B ＝－4．以上结论正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．420．答案 B 解析 由题意得，焦点F (0,1)，对于①，l AB 的方程为y ＝x ＋1，与抛物线的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝14x 2，消去x ，得y 2－6y ＋1＝0，所以y A ＋y B ＝6，则|AB |＝y A ＋y B ＋p ＝8，则①错误；对于②，|AB |min ＝2p ＝4，则②错误；因为y ′＝x 2，则l AM ：y －y A ＝x A 2(x －x A )，即y ＝12x A x －x 2A4，l BM ：y －y B ＝x B 2(x －x B )，即y ＝12x B x －x 2B4，联立l AM 与l BM 的方程得⎩⎨⎧y ＝12x A x －x 2A 4，y ＝12x Bx －x 2B4，解得M ⎝⎛⎭⎫x A ＋x B 2，x A ·x B 4．设l AB的方程为y ＝kx ＋1，与抛物线的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y ＝14x 2，消去y ，得x 2－4kx －4＝0，所以x A ＋x B＝4k ，x A ·x B ＝－4，所以y M ＝－1，③和⑤均正确；对于④，当AB 的斜率为1时，x M ＝2，则④错误，故选B ．题型三 抛物线中的最值与范围21．已知点M (－3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ |－|QF |的最小值是( )A ．72B ．3C ．52D ．221．答案 C 解析 抛物线的准线方程为x ＝－12，过Q 作准线的垂线，垂足为Q ′，如图．依据抛物线的定义，得|QM |－|QF |＝|QM |－|QQ ′|，则当QM 和QQ ′共线时，|QM |－|QQ ′|的值最小，最小值为⎪⎪⎪⎪－3－⎝⎛⎭⎫－12＝52． 22．已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是其焦点，点A (－2，4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________． 22．答案 ⎝⎛⎭⎫－2，12 解析 因为(－2)2＜8×4，所以点A (－2，4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图，设抛物 线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ ，由抛物线的定义可知△APF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PQ |＋|P A |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF |，当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |．因为A (－2，4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12，故使△APF 的周长最小的抛物线上的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2，12． 23．已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，若点A (3，2)，则|P A |＋|PF |取最小值时，点P 的坐标为________．23．答案 (2，2) 解析 将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝±6，∵6>2，∴A 在抛物线内部．如图，设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|P A |＋|PF |＝|P A |＋d ，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 有最小值，最小值为72，即|P A |＋|PF |的最小值为72，此时点P 纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2，2)．24．已知P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆(x －3)2＋(y －1)2＝1上的一个动点，N (1，0)是一个定点，则|PQ |＋|PN |的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．2＋124．答案 C 解析 由抛物线方程y 2＝4x ，可得抛物线的焦点F (1，0)，又N (1，0)，所以N 与F 重合．过 圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的圆心M 作抛物线准线的垂线MH ，交圆于Q ，交抛物线于P ，则|PQ |＋|PN |的最小值等于|MH |－1＝3．25．已知过抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F 的直线l 交抛物线于P ，Q 两点，若R 为线段PQ 的中点，连接OR并延长交抛物线C 于点S ，则|OS ||OR |的取值范围是( ) A ．(0，2) B ．[2，＋∞) C ．(0，2] D ．(2，＋∞)25．答案 D 解析 由题意知，抛物线y 2＝8x 的焦点F 的坐标为(2，0)，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y 2＝8x消去y 整理得k 2x 2－4(k 2＋2)x ＋4k 2＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，R (x 0，y 0)，S (x 3，y 3)，则x 1＋x 2＝4（k 2＋2）k 2，故x 0＝x 1＋x 22＝2（k 2＋2）k 2，y 0＝k (x 0－2)＝4k，所以k OS ＝y 0x 0＝2k k 2＋2，直线OS 的方程为y ＝2k k 2＋2x ，代入抛物线方程，解得x 3＝2(k 2＋2)2k 2，由条件知k 2＞0．所以|OS ||OR |＝x 3x 0＝k 2＋2＞2．选D ． 26．已知斜率为12的直线l 与抛物线y 2＝2px (p >0)交于位于x 轴上方的不同两点A ，B ，记直线OA ，OB 的 斜率分别为k 1，k 2，则k 1＋k 2的取值范围是 ．26．答案 (2，＋∞) 解析 设直线l ：x ＝2y ＋t ，联立抛物线方程消去x 得y 2＝2p (2y ＋t )⇒y 2－4py －2pt＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Δ＝16p 2＋8pt >0⇒t >－2p ，y 1＋y 2＝4p ，y 1y 2＝－2pt >0⇒t <0，即－2p <t <0．x 1x 2＝(2y 1＋t )(2y 2＋t )＝4y 1y 2＋2t (y 1＋y 2)＋t 2＝4(－2pt )＋2t ·4p ＋t 2＝t 2，k 1＋k 2＝y 1x 1＋y 2x 2＝(2y 2＋t )y 1＋(2y 1＋t )y 2x 1x 2＝t (y 1＋y 2)＋4y 1y 2x 1x 2＝4pt －8pt t 2＝－4p t ．－2p <t <0，－4p t>2，即k 1＋k 2的取值范围是(2，＋∞)．27．如图，抛物线E ：x 2＝4y 与M ：x 2＋(y －1)2＝16交于A ，B 两点，点P 为劣弧AB ︵上不同于A ，B 的一个动点，平行于y 轴的直线PN 交抛物线E 于点N ，则△PMN 的周长的取值范围是( )A ．(6，12)B ．(8，10)C ．(6，10)D ．(8，12)27．答案 B 解析 由题意可得，抛物线E 的焦点为(0，1)，圆M 的圆心为(0，1)，半径为4，所以圆心M (0，1)为抛物线的焦点，故|NM |等于点N 到准线y ＝－1的距离，又PN ∥y 轴，故|PN |＋|NM |等于点P 到准线y ＝－1的距离，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y x 2＋(y －1)2＝16，得y ＝3，又点P 为劣弧AB ︵上不同于A ，B 的一个动点，所以点P 到准线y ＝－1的距离的取值范围是(4，6)，又|PM |＝4，所以△PMN 的周长的取值范围是(8，10)，选B ．28．过抛物线y 2＝x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且直线l 的倾斜角θ≥π4，点A 在x 轴上方， 则|F A |的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎤14，1B ．⎝⎛⎭⎫14，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞D ．⎝⎛⎦⎤14，1＋22 28．答案 D 解析 记点A 的横坐标是x 1，则有|AF |＝x 1＋14＝⎝⎛⎭⎫14＋|AF |cos θ＋14＝12＋|AF |cos θ，|AF |(1－ cos θ)＝12，|AF |＝12(1－cos θ)．由π4≤θ<π得－1<cos θ≤22，2－2≤2(1－cos θ)<4，14<12(1－cos θ)≤12－2＝1＋22，即|AF |的取值范围是⎝⎛⎦⎤14，1＋22． 29．抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为A ，其准线与x 轴的交点为B ，如果在直线3x ＋4y ＋25＝0上存在点M ，使得∠AMB ＝90°，则实数p 的取值范围是________．29．答案 [10，＋∞) 解析 由题得A ⎝⎛⎭⎫p 2，0，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，0，∵M 在直线3x ＋4y ＋25＝0上，设点 M ⎝⎛⎭⎫x ，－3x －254，∴AM →＝⎝⎛⎭⎫x －p 2，－3x －254，BM →＝⎝⎛⎭⎫x ＋p 2，－3x －254，又∠AMB ＝90°，∴AM →·BM →＝⎝⎛⎭⎫x －p 2⎝⎛⎭⎫x ＋p 2＋⎝⎛⎭⎫－3x －2542＝0，即25x 2＋150x ＋625－4p 2＝0，∴Δ≥0，即1502－4×25×(625－4p 2)≥0，解得p ≥10或p ≤－10，又p >0，∴p 的取值范围是[10，＋∞)．30．如图，由抛物线y 2＝12x 与圆E ：(x －3)2＋y 2＝16的实线部分构成图形Ω，过点P (3，0)的直线始终与图形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB |的取值范围为( )A ．[4，5]B ．[7，8]C ．[6，7]D ．[5，6]30．答案 B 解析 由题意可知抛物线y 2＝12x 的焦点为F (3，0)，圆(x －3)2＋y 2＝16的圆心为E (3，0)，因此点P ，F ，E 三点重合，所以|P A |＝4，设B (x 0，y 0)，则由抛物线的定义可知|PB |＝x 0＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝12x ，(x －3)2＋y 2＝16得(x －3)2＋12x ＝16，整理得x 2＋6x －7＝0，解得x 1＝1，x 2＝－7(舍去)，设圆E 与抛物线交于C ，D 两点，所以x C ＝x D ＝1，因此0≤x 0≤1，又|AB |＝|AP |＋|BP |＝4＋x 0＋3＝x 0＋7，所以|AB |＝x 0＋7∈[7，8]，故选B ．。
高考数学历年(2018-2022)真题按知识点分类(统计)练习(附答案)
高考数学历年（2018-2022）真题按知识点分类（统计）练习一、单选题1．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差2．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（）A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D ．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.63．（2022ꞏ北京ꞏ统考高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和lg P 的关系，其中T 表示温度，单位是K ；P 表示压强，单位是bar ．下列结论中正确的是（ ）A ．当220T =，1026P =时，二氧化碳处于液态B ．当270T =，128P =时，二氧化碳处于气态C ．当300T =，9987P =时，二氧化碳处于超临界状态D ．当360T =，729P =时，二氧化碳处于超临界状态4．（2022ꞏ天津ꞏ统考高考真题）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．185．（2021ꞏ全国ꞏ高考真题）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）A ．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B ．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C ．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D ．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间6．（2021ꞏ天津ꞏ统考高考真题）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[)66,70、[)70,74、L 、[]94,98，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[)82,86内的影视作品数量是（ ）A ．20B ．40C ．64D ．807．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i = 得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（ ）A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．e x y a b =+D ．ln y a b x =+8．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）A ．14230.1,0.4p p p p ====B ．14230.4,0.1p p p p ====C ．14230.2,0.3p p p p ====D ．14230.3,0.2p p p p ====9．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设一组样本数据x 1，x 2，…，xn 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10xn 的方差为（ ） A ．0.01B ．0.1C ．1D ．1010．（2020ꞏ天津ꞏ统考高考真题）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[)[)[)[]5.31,5.33,5.33,5.35,,5.45,5.47,5.47,5.49 ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（ ）A ．10B ．18C ．20D ．3611．（2019ꞏ全国ꞏ高考真题）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差12．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半13．（2019ꞏ全国ꞏ高考真题）某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生二、多选题14．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则（ ）A ．两组样本数据的样本平均数相同B ．两组样本数据的样本中位数相同C ．两组样本数据的样本标准差相同D ．两组样本数据的样本极差相同15．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是（ ）A ．样本12,,,n x x x 的标准差B ．样本12,,,n x x x 的中位数C ．样本12,,,n x x x 的极差D ．样本12,,,n x x x 的平均数16．（2020ꞏ海南ꞏ高考真题）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是A ．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B ．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C ．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D ．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;三、填空题17．（2020ꞏ江苏ꞏ统考高考真题）已知一组数据4,2,3,5,6a a 的平均数为4，则a 的值是_____.18．（2020ꞏ山东ꞏ统考高考真题）某创新企业为了解新研发的一种产品的销售情况，从编号为001，002，…480的480个专卖店销售数据中，采用系统抽样的方法抽取一个样本，若样本中的个体编号依次为005，021，…则样本中的最后一个个体编号是______. 19．（2019ꞏ全国ꞏ高考真题）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________. 20．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．21．（2019ꞏ江苏ꞏ高考真题）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.四、解答题22．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m ）和材积量（单位：3m ），得到如下数据： 样本号ｉ1 2 3 4 5 6 7 8 9 10总和根部横截面积i x0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.060.6材积量i y0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.403.9并计算得10101022iii i i=1i=1i=10.038, 1.6158,0.2474x y x y ===∑∑∑．(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）； (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数ii( 1.377nx x y y r --≈∑．23．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.24．（2022ꞏ北京ꞏ统考高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到950m ．以上（含950m ．）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m ）： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E （X ）；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）25．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为21s 和22s ．（1）求x ，y ，21s ，22s ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y x -≥则不认为有显著提高）．26．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级 A B C D频数40 20 20 20乙分厂产品等级的频数分布表等级 A B C D频数28 17 34 21（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?27．（2019ꞏ全国ꞏ统考高考真题）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成,A B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：P C的估计值记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到()为0.70.（1）求乙离子残留百分比直方图中,a b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.28．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，29．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,17 ）建立模型①：ˆ30.413.5yt =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,7 ）建立模型②：ˆ9917.5yt =+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．30．（2019ꞏ全国ꞏ高考真题）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.y 的分组 [0.20,0)- [0,0.20) [0.20,0.40) [0.40,0.60) [0.60,0.80)企业数2 24 53 14 7（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）8.602≈.31．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量[)0,0.1 [)0.1,0.2 [)0.2,0.3 [)0.3,0.4 [)0.4,0.5 [)0.5,0.6 [)0.6,0.7频数1 32 4 9 26 5使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 [)0,0.1[)0.1,0.2[)0.2,0.3[)0.3,0.4[)0.4,0.5[)0.5,0.6频数151310165（1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于30.35m 的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）32．（2018ꞏ天津ꞏ高考真题）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查. （I ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i ）用X 表示抽取的3人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望； （ii ）设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率.33．（2019ꞏ北京ꞏ高考真题）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．34．（2018ꞏ天津ꞏ高考真题）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．35．（2019ꞏ天津ꞏ高考真题）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？A B C D E F.（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为,,,,,享受情况如下表，其中“ ”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.员工项目 A B C D E F子女教育○ ○ × ○ × ○继续教育× × ○ × ○ ○大病医疗× × × ○ × ×住房贷款利息○ ○ × × ○ ○住房租金× × ○ × × ×赡养老人○ ○ × × × ○（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.参考答案1．B【要点分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解. 【答案详解】讲座前中位数为70%75%70%2+>,所以A 错； 讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B 对；讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C 错；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%80%20%-=，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%60%35%20%-=>,所以D 错. 故选:B.2．C【要点分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案. 【答案详解】对于A 选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.37.57.42+=，A 选项结论正确.对于B 选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：6.37.47.68.18.28.28.58.68.68.68.69.09.29.39.810.18.50625816+++++++++++++++=>，B 选项结论正确.对于C 选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值60.3750.416=<， C 选项结论错误.对于D 选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值130.81250.616=>， D 选项结论正确. 故选：C3．D【要点分析】根据T 与lg P 的关系图可得正确的选项.【答案详解】当220T =，1026P =时，lg 3P >，此时二氧化碳处于固态，故A 错误.当270T =，128P =时，2lg 3P <<，此时二氧化碳处于液态，故B 错误.当300T =，9987P =时，lg P 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C 错误.当360T =，729P =时，因2lg 3P <<, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D 正确. 故选：D4．B【要点分析】结合已知条件和频率分布直方图求出志愿者的总人数，进而求出第三组的总人数，从而可以求得结果. 【答案详解】志愿者的总人数为20(0.240.16)1+⨯＝50，所以第三组人数为50×0.36＝18， 有疗效的人数为18－6＝12． 故选：B.5．C【要点分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.【答案详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%+==,故A 正确； 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.040.0230.1010%+⨯==,故B 正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.100.140.2020.6464%50%++⨯==>,故D 正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.02⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯(万元)，超过6.5万元，故C 错误. 综上，给出结论中不正确的是C. 故选：C.【名师点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于⨯频率组距组距. 6．D【要点分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间[)82,86内的影视作品数量. 【答案详解】由频率分布直方图可知，评分在区间[)82,86内的影视作品数量为4000.05480⨯⨯=.故选：D.7．D【要点分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【答案详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+. 故选：D.【名师点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.8．B【要点分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组. 【答案详解】对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65As =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=； 对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85Bs =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=； 对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05Cs =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=； 对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45Ds =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=. 因此，B 选项这一组的标准差最大. 故选：B.【名师点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.9．C【要点分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.【答案详解】因为数据(1,2,,)i ax b i n +=L ，的方差是数据(1,2,,)i x i n =L ，的方差的2a 倍， 所以所求数据方差为2100.01=1⨯ 故选：C【名师点睛】本题考查方差，考查基本要点分析求解能力，属基础题.10．B【要点分析】根据直方图确定直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可.【答案详解】根据直方图，直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率为：()6.25 5.000.020.225+⨯=，则区间[)5.43,5.47内零件的个数为：800.22518⨯=. 故选：B.【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题.11．A【要点分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【答案详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x ≤≤≤≤≤ ．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x ≤≤≤ ， 中位数仍为5x ，∴A 正确．②原始平均数1234891()9x x x x x x x =+++++ ，后来平均数234817x x x x x '=+++ （） 平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确③()()()222219119S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦ 由②易知，C 不正确． ④原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 可能相等可能变小，D 不正确．【名师点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.12．A【要点分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M ，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M ，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.【答案详解】设新农村建设前的收入为M ，而新农村建设后的收入为2M ，则新农村建设前种植收入为0.6M ，而新农村建设后的种植收入为0.74M ，所以种植收入增加了，所以A 项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M ，新农村建设后其他收入为0.1M ，故增加了一倍以上，所以B 项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M ，新农村建设后为0.6M ，所以增加了一倍，所以C 项正确； 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%28%58%50%+=>，所以超过了经济收入的一半，所以D 正确； 故选A.名师点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.13．C【要点分析】等差数列的性质．渗透了数据要点分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．【答案详解】答案详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =， 所以610n a n =+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意；若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【名师点睛】本题主要考查系统抽样.14．CD【要点分析】A 、C 利用两组数据的线性关系有()()E y E x c =+、()()D y D x =，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B 、D 的正误.【答案详解】A ：()()()E y E x c E x c =+=+且0c ≠，故平均数不相同，错误；B ：若第一组中位数为i x ，则第二组的中位数为i i y x c =+，显然不相同，错误；C ：()()()()D y D x D c D x =+=，故方差相同，正确；D ：由极差的定义知：若第一组的极差为max min x x -，则第二组的极差为max min max min max min ()()y y x c x c x x -=+-+=-，故极差相同，正确； 故选：CD15．AC【要点分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.【答案详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度； 由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势； 由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度； 由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势； 故选：AC.16．CD【要点分析】注意到折线图中有递减部分，可判定A 错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判定B 错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD 正确.【答案详解】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A 错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B 错误; 由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C 正确; 由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D 正确;【名师点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数增量的理解与观测，属中档题.17．2【要点分析】根据平均数的公式进行求解即可． 【答案详解】∵数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4。
2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：平面解析几何(附答案解析)
2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：平面解析几何一．选择题（共12小题）1．（2021秋•房山区期末）圆心为（﹣2，3）且与y轴相切的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y+3）2＝9B．（x+2）2+（y﹣3）2＝9C．（x﹣2）2+（y+3）2＝4D．（x+2）2+（y﹣3）2＝42．（2021秋•成都期末）设直线l1：ax+（a﹣2）y+1＝0，l2：x+ay﹣3＝0．若l1⊥l2，则a 的值为（）A．0或1B．0或﹣1C．1D．﹣13．（2021秋•唐山期末）圆C1：x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0与圆C2：x2+y2+4x﹣4y+4＝0的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．外离4．（2021秋•白云区期末）已知圆C的方程为x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0，则圆心C的坐标为（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣2，4）D．（2，﹣4）5．（2021秋•河南月考）已知A（﹣1，2），B（3，5），则与直线AB平行且距离为2的直线方程为（）A．3x﹣4y+21＝0B．3x﹣4y﹣1＝0C．3x﹣4y+21＝0或3x﹣4y+1＝0D．3x﹣4y﹣21＝0或3x﹣4y﹣1＝06．（2021秋•嫩江市期末）已知直线l1：（a﹣2）x+ay+2＝0，l2：x+（a﹣2）y+a＝0，则“a ＝﹣1”是“l1⊥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（2021秋•平房区校级期末）若直线l：y＝kx﹣3与直线2x+3y﹣6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．8．（2021秋•河东区期末）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，P为抛物线上一点，过点P向准线作垂线，垂足为Q，若∠FPQ＝60°，则|PF|＝（）A．1B．2C．3D．49．（2021秋•海淀区期末）若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（，1），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．210．（2021秋•重庆月考）已知椭圆的一个焦点坐标为（2，0），则m＝（）A．1B．2C．5D．911．（2021秋•榆林期末）已知直线l：mx﹣3y﹣4m+9＝0与圆C：x2+y2＝100相交于A、B 两点，则|AB|的最小值为（）A．5B．5C．10D．1012．（2021秋•重庆月考）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，抛物线E的顶点为坐标原点，焦点为F2，若直线F1A与抛物线E交于P，Q两点，且|P A|+|QA|＝4a，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题）13．（2021秋•宜春期末）已知直线的倾斜角α＝30°，且过点A（4，3），则该直线的方程为．14．（2021秋•滨海新区校级期末）在圆M：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1＝0中，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为．15．（2021秋•南岗区校级期末）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2＝上，则这个等边三角形的边长为．16．（2021秋•工农区校级期末）已知F1，F2为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线的离心率为2，点P在双曲线C的右支上，且PF1的中点N在圆O：x2+y2＝c2上，其中c为双曲线的半焦距，则sin∠F1PF2＝．三．解答题（共6小题）17．（2021秋•房山区期末）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为A（2，﹣2）、B（6，6）、C（0，6）．（Ⅰ）设线段AB的中点为M，求中线CM所在直线的方程；（Ⅱ）求边AB上的高所在直线的方程．18．（2021秋•房山区期末）已知圆M：x2+y2﹣2x＝0与圆N：x2+y2﹣8x+a＝0外切．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若直线x﹣y﹣2＝0与圆M交于A，B两点，求弦AB的长．19．（2021秋•重庆月考）已知双曲线的一条渐近线斜率为，且双曲线C经过点M（2，1）．（1）求双曲线C的方程；（2）斜率为的直线l与双曲线C交于异于M的不同两点A、B，直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，若k1+k2＝1，求直线l的方程．20．（2021秋•西固区校级期末）已知两定点A（﹣2，0），B（1，0），若动点P满足条件|P A|＝2|PB|．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）求直线l：y＝x被轨迹C所截得的线段长．21．（2021秋•让胡路区校级期末）以椭圆的中心O为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”．已知椭圆C的长轴长是短轴长的倍，且经过点，椭圆C的“准圆”的一条弦AB所在的直线与椭圆C交于M、N两点．（1）求椭圆C的标准方程及其“准圆”的方程；（2）当时，证明：弦AB的长为定值．22．（2021秋•1月份月考）如图所示，已知抛物线C：y2＝2x，过点A（2，0）的直线l与抛物线C有两个交点，若抛物线C上存在不同的两点M，N关于直线l对称，记MN的中点为T．（1）求点T的轨迹方程；（2）求S△AMT的最大值．2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：平面解析几何参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2021秋•房山区期末）圆心为（﹣2，3）且与y轴相切的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y+3）2＝9B．（x+2）2+（y﹣3）2＝9C．（x﹣2）2+（y+3）2＝4D．（x+2）2+（y﹣3）2＝4【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；对应思想；综合法；直线与圆；数学运算．【分析】由所求圆与y轴相切可得，圆心P到y轴的距离等于半径，根据P点坐标求出P到y轴的距离，得到圆的半径，由圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：点（﹣2，3）到y轴的距离为2，所以圆的半径为2，所以圆心为（﹣2，3）且与y轴相切的圆的方程为（x+2）2+（y﹣3）2＝4．故选：D．【点评】此题考查了圆的标准方程，要求学生会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程．由圆与y轴相切，根据P点横坐标的绝对值求出P到y轴的距离得到圆的半径是解本题的关键．2．（2021秋•成都期末）设直线l1：ax+（a﹣2）y+1＝0，l2：x+ay﹣3＝0．若l1⊥l2，则a 的值为（）A．0或1B．0或﹣1C．1D．﹣1【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】方程思想；定义法；直线与圆；数学运算．【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解．【解答】解：∵直线l1：ax+（a﹣2）y+1＝0，l2：x+ay﹣3＝0，l1⊥l2，∴a×1+（a﹣2）×a＝0，解得a＝0或a＝1．故选：A．【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（2021秋•唐山期末）圆C1：x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0与圆C2：x2+y2+4x﹣4y+4＝0的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．外离【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．【分析】求出两个圆的圆心与半径，通过圆心距与半径的关系判断选项即可．【解答】解：圆C1：x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0，即（x﹣2）²+（y+1）²＝9的圆心（2，﹣1），半径为3；圆C2：x2+y2+4x﹣4y+4＝0，即（x+2）²+（y﹣2）²＝4的圆心（﹣2，2），半径为2；圆心距为＝5，因为5＝3+2，所以两个圆的位置关系是外切，故选：C．【点评】本题考查圆的位置关系的判断，求解圆的圆心与半径，两个圆的圆心距与半径的关系是解题的关键，属于基础题．4．（2021秋•白云区期末）已知圆C的方程为x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0，则圆心C的坐标为（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣2，4）D．（2，﹣4）【考点】圆的一般方程．【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算．【分析】根据已知条件，将圆的一般式方程转化为标准方程，即可求解．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0，∴（x+1）2+（y﹣2）2＝9，∴圆心C的坐标为（﹣1，2）．故选：A．【点评】本题主要考查圆心的求解，属于基础题．5．（2021秋•河南月考）已知A（﹣1，2），B（3，5），则与直线AB平行且距离为2的直线方程为（）A．3x﹣4y+21＝0B．3x﹣4y﹣1＝0C．3x﹣4y+21＝0或3x﹣4y+1＝0D．3x﹣4y﹣21＝0或3x﹣4y﹣1＝0【考点】两条平行直线间的距离．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算．【分析】直接利用平行线间的距离公式的应用求出结果．【解答】解：已知A（﹣1，2），B（3，5），所以直线AB的斜率k＝，所以直线AB的方程为，整理得3x﹣4y+11＝0，设与直线AB平行的直线方程为3x﹣4y+c＝0，利用平行线间的距离公式：，解得c＝1或21．故直线的方程为3x﹣4y+21＝0或3x﹣4y+1＝0．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：平行线间的距离公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6．（2021秋•嫩江市期末）已知直线l1：（a﹣2）x+ay+2＝0，l2：x+（a﹣2）y+a＝0，则“a ＝﹣1”是“l1⊥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑；逻辑推理；数学运算．【分析】直接利用直线垂直的充要条件的应用和充分条件和必要条件的应用求出结果．【解答】解：当a＝﹣1时，则直线l1：﹣3x﹣y+2＝0，直线l2：x﹣3y﹣1＝0，则l1⊥l2，当l1⊥l2时，则（a﹣2）+a（a﹣2）＝0，整理得a2﹣a﹣2＝0，解得a＝﹣1或2，故“a＝﹣1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件；故选：A．【点评】本题考查的知识要点：直线垂直的充要条件，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．7．（2021秋•平房区校级期末）若直线l：y＝kx﹣3与直线2x+3y﹣6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．【分析】联立两直线方程到底一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点的坐标，根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于0，联立得到关于k的不等式组，求出不等式组的解集即可得到k的范围，然后根据直线的倾斜角的正切值等于斜率k，根据正切函数图象得到倾斜角的范围．【解答】解：联立两直线方程得：，将①代入②得：x＝③，把③代入①，求得y＝，所以两直线的交点坐标为（，），因为两直线的交点在第一象限，所以得到＞0，且＞0，解得：k＞1，设直线l的倾斜角为θ，则tanθ＞1，所以θ∈（，）．故选：C．【点评】本题主要考查根据两直线的方程求出交点的坐标，掌握象限点坐标的特点，掌握直线倾斜角与直线斜率的关系，是一道综合题．8．（2021秋•河东区期末）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，P为抛物线上一点，过点P向准线作垂线，垂足为Q，若∠FPQ＝60°，则|PF|＝（）A．1B．2C．3D．4【考点】抛物线的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【分析】根据题意作出简图，可得△FPQ为等边三角形，在Rt△QNF中求解可得|QF|＝4，从而得解．【解答】解：根据题意作出简图，如图所示：根据抛物线的定义可知|PF|＝|PQ|，结合∠FPQ＝60°，可得△FPQ为等边三角形，所以∠PQF＝∠QFN﹣60°，在RtΔQNF中，因为|NF|＝2，所以|QF|＝4，所以|PF|＝4．故选：D．【点评】本题考查了抛物线的定义及其简单几何性质，属于基础题．9．（2021秋•海淀区期末）若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（，1），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．【分析】求出渐近线方程，代入点的坐标，推出a，b关系，然后求解离心率即可．【解答】解：因为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（，1），所以渐近线y＝x经过点（，1），所以，从而e＝＝．故选：A．【点评】本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力．是基础题．10．（2021秋•重庆月考）已知椭圆的一个焦点坐标为（2，0），则m＝（）A．1B．2C．5D．9【考点】椭圆的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．【分析】利用椭圆方程求解a，结合焦点坐标，列出方程求解m即可．【解答】解：椭圆，可知a＝，b＝，因为椭圆的一个焦点坐标为（2，0），所以＝2，解得m＝1．故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．11．（2021秋•榆林期末）已知直线l：mx﹣3y﹣4m+9＝0与圆C：x2+y2＝100相交于A、B 两点，则|AB|的最小值为（）A．5B．5C．10D．10【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．【分析】求出直线恒过定点D，定点D在圆内，故当弦AB与CD垂直时，弦|AB|长度最小．【解答】解：依题意，直线mx﹣3y﹣4m+9＝0恒过定点D（4，3），∵D在圆C内部，故弦|AB|长度的最小时，直线AB与直线CD垂直，又|CD|＝＝5，此时|AB|＝2＝10．故选：D．【点评】本题考查了直线恒过定点的求法，考查了圆的弦长问题．考查逻辑思维能力和计算能力，本题属于中档题．12．（2021秋•重庆月考）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，抛物线E的顶点为坐标原点，焦点为F2，若直线F1A与抛物线E交于P，Q两点，且|P A|+|QA|＝4a，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【分析】由题设可得抛物线E为y2＝4cx，直线F1A为x＝y﹣c，联立方程应用韦达定理，弦长公式求，由＝，求，结合|P A|+|QA|＝|PQ|+2|P A|＝4a，得到•+﹣2a＝4a，化简可求离心率．【解答】解：由题设知：A（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），且抛物线方程为y2＝4cx，直线F1A为x＝y﹣c，联立抛物线方程有y2＝，整理得by2﹣4c2y+4bc2＝0，则Δ＝16c2（c2﹣b2）≥0，即c≥b，令P（x1，y1），Q（x2，y2）且y2＞y1＞0，则y2+y1＝，y2y1＝4c2，所以y1＝，＝•＝•，令d＝，如图可知＝，即＝，可得d＝y1﹣a，所以d＝﹣a，又|P A|+|QA|＝|PQ|+2d＝4a，所以•+﹣2a＝4a，整理得2c2＝3b2，又b2＝a2﹣c2，所以3a2＝5c2，所以e＝＝，故选：C．【点评】本题考查椭圆的离心率问题，属中档题．二．填空题（共4小题）13．（2021秋•宜春期末）已知直线的倾斜角α＝30°，且过点A（4，3），则该直线的方程为x﹣3y+9﹣4＝0．【考点】直线的点斜式方程．【专题】方程思想；定义法；直线与圆；数学运算．【分析】根据直线的倾斜角求出斜率，再根据点斜式写出直线方程，化为一般式方程．【解答】解：直线的倾斜角α＝30°，所以直线的斜率为k＝tan30°＝，又因为直线过点A（4，3），所以直线的方程为y﹣3＝（x﹣4），x﹣3y+9﹣4＝0．故答案为：x﹣3y+9﹣4＝0．【点评】本题考查了直线方程的应用问题，是基础题．14．（2021秋•滨海新区校级期末）在圆M：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1＝0中，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为12．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；整体思想；演绎法；直线与圆；逻辑推理；数学运算．【分析】首先将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而可得点E（0，1）在圆内，即可得到过点E的最长弦、最短弦弦长，即可求出四边形的面积．【解答】解：圆M：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1＝0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2＝9，圆心M（2，2），半径r＝3，点E（0，1），则（0﹣2）2+（1﹣2）2＝5＜9，所以点E（0，1）在圆内，所以过点E（0，1）的最长弦|AC|＝2r＝6，又，所以最短弦，所以．故答案为：12．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆中四边形的面积问题等知识，属于基础题．15．（2021秋•南岗区校级期末）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2＝上，则这个等边三角形的边长为6．【考点】抛物线的性质．【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．【分析】由抛物线的对称性及等边三角形的性质可得另外两点关于x轴对称，即横坐标相同，设三角形的边长，可得顶点O到底边AB的距离，即A，B的横坐标，代入抛物线的方程可得其纵坐标，可得三角形的边长．【解答】解：由抛物线的对称性可得另两个顶点关于x轴对称，设A，B两点，△OAB 为等边三角形，设边长为2a，则O到AB的距离为a，即A的横坐标为a，代入抛物线y2＝的方程可得y A2＝•a，所以|y A|＝，由题意可得2＝2a，解得a＝3，所以三角形的边长2a＝6，故答案为：6．【点评】本题考查抛物线的对称性的性质的应用及等边三角形的性质的应用，属于基础题．16．（2021秋•工农区校级期末）已知F1，F2为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线的离心率为2，点P在双曲线C的右支上，且PF1的中点N在圆O：x2+y2＝c2上，其中c为双曲线的半焦距，则sin∠F1PF2＝．【考点】双曲线的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【分析】由题意可得在△F1PF2中，|PF1|＝6a，|PF2|＝|F1F2|＝4a，利用sin∠F1PF2＝即可求解．【解答】解：如图，由题意可得|OF1|＝|ON|＝c，因为O为F1F2的中点，所以|ON|＝|PF2|，所以|PF2|＝2c，|PF1|＝2a+2c，∵双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为2，∴c＝2a，故在△F1PF2中，|PF1|＝6a，|PF2|＝|F1F2|＝4a，∵PF1的中点N，∴F2N⊥PF1，∴∠PNF2＝90°∴sin∠F1PF2＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查圆与双曲线的综合、三角形中位线定理，考查数形结合的解题思想方法，考查双曲线定义的应用，是中档题．三．解答题（共6小题）17．（2021秋•房山区期末）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为A（2，﹣2）、B（6，6）、C（0，6）．（Ⅰ）设线段AB的中点为M，求中线CM所在直线的方程；（Ⅱ）求边AB上的高所在直线的方程．【考点】直线的一般式方程与直线的性质．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．【分析】（Ⅰ）先求出线段AB的中点为M的坐标，再利用两点式求出中线CM所在直线的方程．（Ⅱ）先求出AB的斜率，可得AB边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式求出边AB 上的高所在直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵△ABC三个顶点坐标分别为A（2，﹣2），B（6，6），C（0，6），∴线段AB的中点为M（4，2），求中线CM所在直线的方程为：＝，即x+y﹣6＝0，（Ⅱ）由于直线AB的斜率为：＝2，故边AB上的高所在直线的斜率为﹣，故边AB上的高所在直线的方程为y﹣6＝﹣（x﹣0），即x+2y﹣12＝0．【点评】本题主要考查中点公式、斜率公式、两直线垂直的性质，用点斜式、两点式求直线的方程，属于基础题．18．（2021秋•房山区期末）已知圆M：x2+y2﹣2x＝0与圆N：x2+y2﹣8x+a＝0外切．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若直线x﹣y﹣2＝0与圆M交于A，B两点，求弦AB的长．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】方程思想；转化法；直线与圆；数学运算．【分析】（Ⅰ）由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由圆心距等于半径和列式求解a值；（Ⅱ）求出M到直线的距离，再由垂径定理求弦长．【解答】解：（Ⅰ）由圆M：x2+y2﹣2x＝0，得（x﹣1）2+y2＝1，则M（1，0），半径r1＝1，由圆N：x2+y2﹣8x+a＝0，得（x﹣4）2+y2＝16﹣a，则N（4，0），半径．∵两圆外切，∴|4﹣1|＝1+，即a＝12；（Ⅱ）M（1，0）到直线x﹣y﹣2＝0的距离d＝，∴弦AB的长为．【点评】本题考查直线与圆、圆与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是基础题．19．（2021秋•重庆月考）已知双曲线的一条渐近线斜率为，且双曲线C经过点M（2，1）．（1）求双曲线C的方程；（2）斜率为的直线l与双曲线C交于异于M的不同两点A、B，直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，若k1+k2＝1，求直线l的方程．【考点】双曲线的性质．【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【分析】（1）根据条件列出关于a，b的方程组，求解a，b可得双曲线方程；（2）设出直线l的方程并与双曲线方程联立，由韦达定理结合条件可求直线方程．【解答】解：（1）由题意可得，，∴，（2）设，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，因为直线l与双曲线C交于异于M的不同两点A、B，所以Δ＝16t2+16（t2+1）＞0，x1+x2＝﹣4t，，因为k1+k2＝1，所以，整理得，解得t＝1，所以直线．【点评】本题考查了双曲线的方程，直线与双曲线的位置关系，属于基础题．20．（2021秋•西固区校级期末）已知两定点A（﹣2，0），B（1，0），若动点P满足条件|P A|＝2|PB|．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）求直线l：y＝x被轨迹C所截得的线段长．【考点】轨迹方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．【分析】（1）设P点的坐标为（x，y），用坐标表示|P A|、|PB|，代入等式|P A|＝2|PB|，整理即得点P的轨迹方程；（2）求出圆心到直线的距离，利用垂径定理可求弦长．【解答】解：（1）已知两定点A（﹣2，0），B（1，0），由动点P满足|P A|＝2|PB|，设P 点的坐标为（x，y），则（x+2）2+y2＝4[（x﹣1）2+y2]，即（x﹣2）2+y2＝4；（2）由（1）知轨迹C为圆，圆心为（2，0），半径r＝2，圆心到直线l：y＝x的距离d＝＝，由垂径定理可得弦长为2，所以直线l：y＝x被轨迹C所截得的线段长为2．【点评】本题考查轨迹方程的求法与弦长的求法，属中档题．21．（2021秋•让胡路区校级期末）以椭圆的中心O为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”．已知椭圆C的长轴长是短轴长的倍，且经过点，椭圆C的“准圆”的一条弦AB所在的直线与椭圆C交于M、N两点．（1）求椭圆C的标准方程及其“准圆”的方程；（2）当时，证明：弦AB的长为定值．【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的综合．【专题】方程思想；消元法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【分析】（1）由题意解得a，b，则可写出椭圆的方程，进而可得椭圆C的“准圆”方程．（2）分两种情况：①当弦AB⊥x轴时，设得，进而可得原点O到弦AB的距离d，进而可得|AB|．②当弦AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y＝kx+m，M（x1，y1）、N（x2，y2），联立直线AB与椭圆的方程，结合韦达定理可得x1+x2，x1x2，y1y2，由得，再求出原点O到弦AB的距离d，即可得出答案．【解答】解：（1）由题意解得a＝2，所以椭圆的标准方程为椭圆C的“准圆”方程为x2+y2＝6．（2）证明：①当弦AB⊥x轴时，交点M、N关于x轴对称，又，则OM⊥ON，可设得，此时原点O到弦AB的距离，因此．②当弦AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y＝kx+m，且与椭圆C的交点M（x1，y1）、N（x2，y2），联列方程组，代入消元得：（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣4＝0，Δ＝32k2﹣8m2+16＝8（4k2﹣m2+2）＞0，由，可得，由得x1x2+y1y2＝0，即，所以，此时Δ＞0成立，则原点O到弦AB的距离，则，综上得，因此弦AB的长为定值．【点评】本题考查直线与椭圆的相交的问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22．（2021秋•1月份月考）如图所示，已知抛物线C：y2＝2x，过点A（2，0）的直线l与抛物线C有两个交点，若抛物线C上存在不同的两点M，N关于直线l对称，记MN的中点为T．（1）求点T的轨迹方程；（2）求S△AMT的最大值．【考点】直线与抛物线的综合．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；直观想象；数学运算．【分析】（1）设直线l：y＝k（x﹣2），T（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），将M，N的坐标代入抛物线方程得到y＝﹣k，再代入直线方程化简即可；（2）联立直线MN的方程和抛物线方程，将△ANM在面积表示出来，再利用S△AMT＝S求解即可．△AMN【解答】解：（1）由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l：y＝k（x﹣2），T（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），由可得：（y1+y2）（y1﹣y2）＝2（x1﹣x2），所以＝＝＝＝﹣，所以y＝﹣k，代入直线方程得：x＝1，又当x＝1时，由y2＝2x得y＝，∵T在抛物线开口方向内，∴﹣＜y＜，∴点T的轨迹方程为：x＝1（﹣＜y＜）；（2）由（1）可知直线MN：y＝﹣x﹣k+，由，可得：y2+2ky+2k2﹣2＝0，∵直线MN与抛物线交于M，N两点，∴Δ＝﹣4k2+8＞0，解得：k，y1+y2＝﹣2k，y1y2＝2k2﹣2，∴|y1﹣y2|＝＝，|MN|＝，又因为|AT|＝，∴S△AMT＝S△AMN＝|MN||AT|＝＝，令t＝k2，y＝﹣t3+3t+2（t∈（0，2）），∴y'＝﹣3t2+3，令y'＝0，得t＝1（负根舍去），当t∈（0，1）时，y随t增大而增大，当t∈（1，2）时，y随t增大而减小，∴当t＝1时，y取最大值4，∴k＝±1时，（S△AMT）max＝1．【点评】本题考查了直线和抛物线相交所产生的问题及最值问题、转化思想等，属于中档题．。
2022版新高考数学总复习真题专题--直线、平面平行的判定与性质(解析版)
2022版新高考数学总复习--§8.2直线、平面平行的判定与性质—五年高考—考点直线、平面平行的判定与性质1.(2019课标Ⅱ,文7,理7,5分)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是()A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面答案B2.(2018课标Ⅰ理,12,5分)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为()A.3√34B.2√33C.3√24D.√32答案A3.(2019上海春,15,5分)已知平面α、β、γ两两垂直,直线a、b、c满足:a⊆α,b⊆β,c⊆γ,则直线a、b、c不可能满足以下哪种关系()A.两两垂直B.两两平行C.两两相交D.两两异面答案B4.(2020江苏,15,14分)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,B1C⊥平面ABC,E,F分别是AC,B1C的中点.(1)求证:EF∥平面AB1C1;(2)求证:平面AB1C⊥平面ABB1.证明 (1)因为E ,F 分别是AC ,B 1C 的中点,所以EF ∥AB 1,又EF ⊄平面AB 1C 1,AB 1⊂平面AB 1C 1,所以EF ∥平面AB 1C 1. (2)因为B 1C ⊥平面ABC ,AB ⊂平面ABC ,所以B 1C ⊥AB.又AB ⊥AC ,B 1C ⊂平面AB 1C ,AC ⊂平面AB 1C ,B 1C ∩AC =C ,所以AB ⊥平面AB 1C ,又因为AB ⊂平面ABB 1,所以平面AB 1C ⊥平面ABB 1.5.(2019课标Ⅰ理,18,12分)如图,直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,AA 1=4,AB =2,∠BAD =60°,E ,M ,N 分别是BC ,BB 1,A 1D 的中点.(1)证明:MN ∥平面C 1DE ; (2)求二面角A -MA 1-N 的正弦值.解析 (1)证明:连接B 1C ,ME.因为M ,E 分别为BB 1,BC 的中点,所以ME ∥B 1C ,且ME =12B 1C.又因为N 为A 1D 的中点,所以ND =12A 1D.由题设知A 1B 1 DC ,可得B 1C A 1D ,故ME ND ,因此四边形MNDE 为平行四边形,MN ∥ED.又MN ⊄平面EDC 1,所以MN ∥平面C 1DE.(2)由已知可得DE ⊥DA.以D 为坐标原点,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ,则A (2,0,0),A 1(2,0,4),M (1,√3,2),N (1,0,2),A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,-4),A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,-2),A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,-2),MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-√3,0).设m =(x ,y ,z )为平面A 1MA 的法向量,则{m ·A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.所以{-x +√3y -2z =0,-4z =0.可取m =(√3,1,0).设n =(p ,q ,r )为平面A 1MN 的法向量,则{n ·MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.所以{-√3q =0,-p -2r =0.可取n =(2,0,-1).于是cos<m ,n >=m ·n |m ||n |=√32×√5=√155, 所以二面角A -MA 1-N 的正弦值为√105.思路分析 (1)要证明线面平行,可先证线线平行.通过作辅助线及题设条件可得MN ∥ED ,从而可得MN 与平面C 1DE 平行.(2)建立空间直角坐标系,找到相关点的坐标,求出平面A 1MA 与平面A 1MN 的法向量,再由向量的夹角公式求解. 6.(2019江苏,16,14分)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D ,E 分别为BC ,AC 的中点,AB =BC.求证: (1)A 1B 1∥平面DEC 1; (2)BE ⊥C 1E.证明 (1)因为D ,E 分别为BC ,AC 的中点,所以ED ∥AB. 在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB ∥A 1B 1,所以A 1B 1∥ED. 又因为ED ⊂平面DEC 1,A 1B 1⊄平面DEC 1, 所以A 1B 1∥平面DEC 1.(2)因为AB =BC ,E 为AC 的中点,所以BE ⊥AC.因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1是直棱柱,所以C 1C ⊥平面ABC.又因为BE ⊂平面ABC ,所以C 1C ⊥BE.因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1,AC ⊂平面A 1ACC 1,C 1C ∩AC =C , 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1,所以BE ⊥C 1E.7.(2020课标Ⅱ文,20,12分)如图,已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形,侧面BB 1C 1C 是矩形,M ,N 分别为BC ,B 1C 1的中点,P 为AM 上一点.过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ,交AC 于F.(1)证明:AA 1∥MN ,且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ;(2)设O 为△A 1B 1C 1的中心.若AO =AB =6,AO ∥平面EB 1C 1F ,且∠MPN =π3,求四棱锥B -EB 1C 1F 的体积.解析 (1)证明:因为M ,N 分别为BC ,B 1C 1的中点,所以MN ∥CC 1.又由已知得AA 1∥CC 1,故AA 1∥MN.因为△A 1B 1C 1是正三角形,所以B 1C 1⊥A 1N.又B 1C 1⊥MN ,故B 1C 1⊥平面A 1AMN.所以平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F.(2)AO ∥平面EB 1C 1F ,AO ⊂平面A 1AMN ,平面A 1AMN ∩平面EB 1C 1F =PN ,故AO ∥PN.又AP ∥ON ,故四边形APNO 是平行四边形,所以PN =AO =6,AP =ON =13AM =√3,PM =23AM =2√3,EF =13BC =2. 因为BC ∥平面EB 1C 1F ,所以四棱锥B -EB 1C 1F 的顶点B 到底面EB 1C 1F 的距离等于点M 到底面EB 1C 1F 的距离. 作MT ⊥PN ,垂足为T ,则由(1)知,MT ⊥平面EB 1C 1F , 故MT =PM sin ∠MPN =3.底面EB 1C 1F 的面积为12×(B 1C 1+EF )·PN =12×(6+2)×6=24.所以四棱锥B -EB 1C 1F 的体积为13×24×3=24. 8.(2020北京,16,13分)如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 为BB 1的中点. (1)求证:BC 1∥平面AD 1E ;(2)求直线AA 1与平面AD 1E 所成角的正弦值.解析 (1)证明:∵ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体, ∴D 1C 1∥A 1B 1,D 1C 1=A 1B 1. 又AB ∥A 1B 1,AB =A 1B 1, ∴D 1C 1∥AB ,D 1C 1=AB ,∴四边形ABC 1D 1为平行四边形,∴AD 1∥BC 1,又AD 1⊂平面AD 1E ,BC 1⊄平面AD 1E , ∴BC 1∥平面AD 1E.(2)不妨设正方体的棱长为2,如图,以{AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }为正交基底建立空间直角坐标系A -xyz ,则A (0,0,0),A 1(0,0,2),D 1(2,0,2),E (0,2,1), ∴AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,2),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1), 设平面AD 1E 的法向量为n =(x ,y ,z ),直线AA 1与平面AD 1E 所成的角为θ, 则{n ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即{2x +2z =0,2y +z =0,令z =-2,则{x =2,y =1, 此时n =(2,1,-2),∴sin θ=|cos<n ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n ||AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√4+1+4×2=23,∴直线AA 1与平面AD 1E 所成角的正弦值为23. 以下为教师用书专用(1—23)1.(2017课标Ⅰ,6,5分)如图,在下列四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB 与平面MNQ 不平行的是 ( )答案 A B 选项中,AB ∥MQ ,且AB ⊄平面MNQ ,MQ ⊂平面MNQ ,则AB ∥平面MNQ ;C 选项中,AB ∥MQ ,且AB ⊄平面MNQ ,MQ ⊂平面MNQ ,则AB ∥平面MNQ ;D 选项中,AB ∥NQ ,且AB ⊄平面MNQ ,NQ ⊂平面MNQ ,则AB ∥平面MNQ.故选A . 2.(2015安徽理,5,5分)已知m ,n 是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是 ( ) A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行 B.若m ,n 平行于同一平面,则m 与n 平行C.若α,β不平行···,则在α内不存在···与β平行的直线D.若m ,n 不平行···,则m 与n 不可能···垂直于同一平面答案D若α,β垂直于同一个平面γ,则α,β可以都过γ的同一条垂线,即α,β可以相交,故A错;若m,n 平行于同一个平面,则m与n可能平行,也可能相交,还可能异面,故B错;若α,β不平行,则α,β相交,设α∩β=l,在α内存在直线a,使a∥l,则a∥β,故C错;从原命题的逆否命题进行判断,若m与n垂直于同一个平面,由线面垂直的性质定理知m∥n,故D正确.3.(2015浙江文,4,5分)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β.()A.若l⊥β,则α⊥βB.若α⊥β,则l⊥mC.若l∥β,则α∥βD.若α∥β,则l∥m答案A对于选项A,由面面垂直的判定定理可知选项A正确;对于选项B,若α⊥β,l⊂α,m⊂β,则l与m可能平行,可能相交,也可能异面,所以选项B错误;对于选项C,当l平行于α与β的交线时,l∥β,但此时α与β相交,所以选项C错误;对于选项D,若α∥β,则l与m可能平行,也可能异面,所以选项D错误.故选A.4.(2014辽宁,4,5分)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α答案B若m∥α,n∥α,则m与n可能平行、相交或异面,故A错误;B正确;若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,故C错误;若m∥α,m⊥n,则n与α可能平行、相交或n⊂α,故D错误.因此选B.5.(2014广东理,7,5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定答案D由l1⊥l2,l2⊥l3可知l1与l3的位置不确定,若l1∥l3,则结合l3⊥l4,得l1⊥l4,所以排除选项B、C,若l1⊥l3,则结合l3⊥l4,知l1与l4可能不垂直,所以排除选项A.故选D.评析本题考查了空间直线之间的位置关系,考查学生的空间想象能力、思维的严密性.6.(2014浙江文,6,5分)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.()A.若m⊥n,n∥α,则m⊥αB.若m∥β,β⊥α,则m⊥αC.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥αD.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α答案C对于选项A、B、D,均能举出m∥α的反例;对于选项C,若m⊥β,n⊥β,则m∥n,又n⊥α,∴m⊥α,故选C.7.(2013课标Ⅱ理,4,5分)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则()A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l答案D若α∥β,则m∥n,这与m、n为异面直线矛盾,所以A不正确,α与β相交.将已知条件转化到正方体中,易知α与β不一定垂直,但α与β的交线一定平行于l,从而排除B、C.故选D.导师点睛对于此类题,放入正方体中判断起来比较快捷.8.(2013广东理,6,5分)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是()A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥nB.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥nC.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥βD.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β答案D若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m与n可能平行,故A错;若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m与n可能平行,也可能异面,故B错;若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α与β可能相交,也可能平行,故C错;对于D项,由m⊥α,m∥n,得n⊥α,又知n∥β,故α⊥β,所以D项正确.9.(2011辽宁理,8,5分)如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不正确．．．的是()A.AC⊥SBB.AB∥平面SCDC.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角答案D∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD.又∵SD⊥底面ABCD,∴SD⊥AC.其中SD∩BD=D,∴AC⊥面SDB,从而AC⊥SB.故A正确.易知B正确.设AC与DB交于O点,连接SO.则SA与平面SBD所成的角为∠ASO,SC与平面SBD所成的角为∠CSO,又OA=OC,SA=SC,∴∠ASO=∠CSO.故C正确.由排除法可知选D.评析本题主要考查了线面平行与垂直的判断及线面角、线线角的概念.属中档题.10.(2017课标Ⅱ理,10,5分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.√32B.√155C.√105D.√33答案 C 本题考查直棱柱的性质和异面直线所成的角.将直三棱柱ABC -A 1B 1C 1补形成直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1(如图),连接AD 1,B 1D 1,则AD 1∥BC 1.则∠B 1AD 1为异面直线AB 1与BC 1所成的角(或其补角),易求得AB 1=√5,BC 1=AD 1=√2,B 1D 1=√3.由余弦定理得cos ∠B 1AD 1=√105.故选C .方法总结 本题主要考查异面直线所成的角,求异面直线所成角的方法有两种:一是定义法,二是用向量的夹角公式求解.11.(2014大纲全国理,11,5分)已知二面角α-l -β为60°,AB ⊂α,AB ⊥l ,A 为垂足,CD ⊂β,C ∈l ,∠ACD =135°,则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 ( ) A.14B.√24C.√34D.12答案 B 在平面α内过点C 作CE ∥AB ,则∠ECD 为异面直线AB 与CD 所成的角(或其补角),不妨取CE =1,过点E 作EO ⊥β于点O.在平面β内过点O 作OH ⊥CD 于点H ,连接EH ,则EH ⊥CD. 因为AB ∥CE ,AB ⊥l ,所以CE ⊥l ,又因为EO ⊥β,所以CO ⊥l. 所以∠ECO 为二面角α-l -β的平面角,即∠ECO =60°. 因为∠ACD =135°,CD ⊥l ,所以∠OCH =45°. 在Rt △ECO 中,CO =CE ·cos ∠ECO =1×cos 60°=12. 在Rt △COH 中,CH =CO ·cos ∠OCH =12×cos 45°=√24. 在Rt △ECH中,cos ∠ECH =CH CE =√241=√24.所以异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为√24.选B .12.(2014大纲全国文,4,5分)已知正四面体ABCD 中,E 是AB 的中点,则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A.16B.√36C.13D.√33答案 B 如图,取AD 的中点F ,连接EF 、CF.因为E 、F 分别是AB 、AD 的中点,所以EF 12BD ,故∠CEF 或其补角是异面直线CE 、BD 所成的角. 设正四面体ABCD 的棱长为a ,易知CE =CF =√32a ,EF =12a.在△CEF 中,由余弦定理可得cos ∠CEF =(√32a )2+(12a )2-(√32a )22×√32a×12a=√36.故选B .13.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m ,n 满足m ∥α,n ⊥β,则 ( ) A.m ∥l B.m ∥n C.n ⊥l D.m ⊥n答案 C ∵α∩β=l ,∴l ⊂β,∵n ⊥β,∴n ⊥l.故选C .思路分析 利用直线与平面垂直的性质及平面交线的性质,判断C 正确.14.(2016课标Ⅰ,11,5分)平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α∥平面CB 1D 1,α∩平面ABCD =m ,α∩平面ABB 1A 1=n ,则m ,n 所成角的正弦值为 ( )A .√32B .√22C .√33D .13答案 A 如图,过点A 补作一个与正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1相同棱长的正方体,易知平面α为平面AF 1E ,则m ,n 所成角为∠EAF 1(或其补角),因为△EAF 1为正三角形,所以sin ∠EAF 1=sin 60°=√32,故选A .15.(2016课标Ⅱ,14,5分)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)答案②③④解析对于①,由m⊥n,m⊥α可得n∥α或n在α内,当n∥β时,α与β可能相交但不垂直,也可能平行,故①错误;对于②,过直线n作平面与平面α交于直线c,由n∥α可知n∥c,∵m⊥α,∴m⊥c,∴m⊥n,故②正确;对于③,由两个平面平行的性质可知正确;对于④,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确的有②③④.16.(2017课标Ⅲ理,16,5分)a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)答案②③解析本题考查空间直线、平面间的位置关系.过点C作直线a1∥a,b1∥b,则直线AC、a1、b1两两垂直.不妨分别以a1、b1、AC为x、y、z轴建立空间直角坐标系,取n1=(1,0,0)为a1的方向向量,n2=(0,1,0)为b1的方向向量,令A(0,0,1).可设B(cos θ,sin θ,0),则AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ,sin θ,-1).当直线AB 与a 成60°角时,|cos<n 1,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=12,∴|cos θ|=√22,|sin θ|=√22,∴|cos<n 2,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=12,即AB 与b 所成角也是60°.∵|cos<n 1,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√1×√2=√2≤√22, ∴直线AB 与a 所成角的最小值为45°.综上,②和③是正确的,①和④是错误的.故填②③.一题多解 过点B 作a 1∥a ,b 1∥b ,当直线AB 与a 成60°角时,由题意,可知AB 在由a 1,b 1确定的平面上的射影为BC ,且BC 与a 1成45°角,又a ⊥b ,故AB 与b 所成角也是60°.①错,②正确;当直线a ∥BC 时,AB 与a 所成角最小,故最小角为45°.③正确,④错误.综上,正确的是②③,错误的是①④.(注:一条斜线与平面所成角的余弦值和其在平面内的射影与平面内一条直线所成角的余弦值的乘积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦值) 17.(2015浙江,13,5分)如图,在三棱锥A -BCD 中,AB =AC =BD =CD =3,AD =BC =2,点M ,N 分别为AD ,BC 的中点,则异面直线AN ,CM 所成的角的余弦值是 .答案78解析 连接DN ,取DN 的中点H ,连接HM ,由N 、M 、H 均为中点,知|cos ∠HMC |即为所求.因为AB =AC =BD =CD =3,AD =BC =2,又M ,N 为AD ,BC 的中点,所以CM ⊥AD ,AN ⊥BC ,所以CM =√CD 2-MD 2=2√2,AN =√AC 2-NC 2=2√2,MH =12AN =√2,HC =√NC 2+NH 2=√3,则cos ∠HMC =CM 2+MH 2-HC 22CM ·MH =78.故异面直线AN ,CM 所成角的余弦值为78.18.(2017浙江,19,15分)如图,已知四棱锥P -ABCD ,△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形,BC ∥AD ,CD ⊥AD ,PC =AD =2DC =2CB ,E 为PD 的中点.(1)证明:CE ∥平面PAB ;(2)求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值.解析本题主要考查空间点、线、面的位置关系,直线与平面所成的角等基础知识,同时考查空间想象能力和运算求解能力.(1)证明:如图,设PA中点为F,连接EF,FB.因为E,F分别为PD,PA中点,所以EF∥AD且EF=1AD.2又因为BC∥AD,BC=1AD,所以EF∥BC且EF=BC,2即四边形BCEF为平行四边形,所以CE∥BF,因此CE∥平面PAB.(2)分别取BC,AD的中点为M,N.连接PN交EF于点Q,连接MQ.因为E,F,N分别是PD,PA,AD的中点,所以Q为EF中点,在平行四边形BCEF中,MQ∥CE.由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD.由DC⊥AD,N是AD的中点得BN⊥AD.所以AD⊥平面PBN,由BC∥AD得BC⊥平面PBN,那么平面PBC⊥平面PBN.过点Q作PB的垂线,垂足为H,连接MH.MH是MQ在平面PBC上的射影,所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角.设CD=1.在△PCD中,由PC=2,CD=1,PD=√2得CE=√2,,在△PBN中,由PN=BN=1,PB=√3得QH=14,MQ=√2,在Rt△MQH中,QH=14所以sin∠QMH=√2.8所以,直线CE与平面PBC所成角的正弦值是√2.8方法总结1.证明直线与平面平行的方法.(例:求证:l∥α)①线面平行的判定定理:在平面α内找到一条与直线l平行的直线m,从而得到l∥α.②面面平行的性质:过直线l找到(或作出)一个平面β,使得β∥α,从而得l∥α.2.求线面角的方法.①定义法:作出线面角,解三角形即可.②解斜线段、射影、垂线段构成的三角形.例:求AB与平面α所成角θ的正弦值,其中A∈α.只需求出点B到平面α的距离d(通常由等体积法求d),由sin θ=d得结论.AB最好是画出图形,否则容易出错.19.(2016课标Ⅲ文,19,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD 上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明MN∥平面PAB;(2)求四面体N-BCM的体积.解析(1)证明:由已知得AM=2AD=2,3取BP 的中点T ,连接AT ,TN ,由N 为PC 中点知TN ∥BC ,TN =12BC =2. (3分)又AD ∥BC ,故TN AM ,故四边形AMNT 为平行四边形,于是MN ∥AT. 因为AT ⊂平面PAB ,MN ⊄平面PAB ,所以MN ∥平面PAB.(6分)(2)因为PA ⊥平面ABCD ,N 为PC 的中点,所以N 到平面ABCD 的距离为12PA. (9分) 取BC 的中点E ,连接AE.由AB =AC =3得AE ⊥BC ,AE =√AB 2-BE 2=√5. 由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为√5, 故S △BCM =12×4×√5=2√5.所以四面体N -BCM 的体积V N -BCM =13·S △BCM ·PA 2=4√53. (12分)评析 本题考查了线面平行的判定,考查了三棱锥的体积,考查了空间想象能力.线段的中点问题一般应用三角形的中位线求解.20.(2015课标Ⅱ文,19,12分)如图,长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =16,BC =10,AA 1=8,点E ,F 分别在A 1B 1,D 1C 1上,A 1E =D 1F =4.过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 解析 (1)交线围成的正方形EHGF 如图:(2)作EM ⊥AB ,垂足为M ,则AM =A 1E =4,EB 1=12,EM =AA 1=8. 因为EHGF 为正方形,所以EH =EF =BC =10. 于是MH =√EH 2-EM 2=6,AH =10,HB =6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为97(79也正确).21.(2014课标Ⅱ文,18,12分)如图,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD ,E 为PD 的中点. (1)证明:PB ∥平面AEC ;(2)设AP =1,AD =√3,三棱锥P -ABD 的体积V =√34,求A 到平面PBC 的距离.解析 (1)证明:设BD 与AC 的交点为O ,连接EO. 因为ABCD 为矩形, 所以O 为BD 的中点. 又E 为PD 的中点, 所以EO ∥PB.EO ⊂平面AEC ,PB ⊄平面AEC ,所以PB ∥平面AEC. (2)V =16PA ·AB ·AD =√36AB. 又V =√34, 所以AB =32,所以PB =√AB 2+PA 2=√132.作AH ⊥PB 交PB 于H.由题设知BC ⊥平面PAB , 因为AH ⊂平面PAB , 所以BC ⊥AH , 又BC ∩BP =B , 故AH ⊥平面PBC. 又AH =PA ·AB PB =3√1313, 所以A 到平面PBC 的距离为3√1313. 思路分析 (1)由线线平行证出线面平行;(2)首先由题设求出AB ,然后过A 作AH ⊥PB 于H ,证明AH 就是A 到平面PBC 的距离,通过解三角形求解即可. 22.(2014安徽,19,13分)如图,四棱锥P -ABCD 的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为2√17,点G ,E ,F ,H 分别是棱PB ,AB ,CD ,PC 上共面的四点,平面GEFH ⊥平面ABCD ,BC ∥平面GEFH. (1)证明:GH ∥EF ;(2)若EB =2,求四边形GEFH 的面积.解析 (1)证明:因为BC ∥平面GEFH ,BC ⊂平面PBC ,且平面PBC ∩平面GEFH =GH ,所以GH ∥BC. 同理可证EF ∥BC , 因此GH ∥EF.(2)连接AC ,BD 交于点O ,BD 交EF 于点K ,连接OP ,GK.因为PA =PC ,O 是AC 的中点,所以PO ⊥AC ,同理可得PO ⊥BD.又BD ∩AC =O ,且AC ,BD 都在底面内,所以PO ⊥底面ABCD.又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ,且PO ⊄平面GEFH , 所以PO ∥平面GEFH. 因为平面PBD ∩平面GEFH =GK , 所以PO ∥GK ,且GK ⊥底面ABCD , 从而GK ⊥EF.所以GK 是梯形GEFH 的高.由AB =8,EB =2得EB ∶AB =KB ∶DB =1∶4, 从而KB =14DB =12OB ,即K 为OB 的中点.再由PO ∥GK 得GK =12PO ,即G 是PB 的中点,且GH =12BC =4. 由已知可得OB =4√2,PO =√PB 2-OB 2=√68-32=6, 所以GK =3.故四边形GEFH 的面积S =GH+EF 2·GK =4+82×3=18. 评析 本题考查线面平行与垂直关系的转化,同时考查空间想象能力和逻辑推理能力,解题时要有较强的分析问题、解决问题的能力.23.(2013课标Ⅱ文,18,12分)如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D ,E 分别是AB ,BB 1的中点. (1)证明:BC 1∥平面A 1CD ;(2)设AA 1=AC =CB =2,AB =2√2,求三棱锥C -A 1DE 的体积.解析(1)证明:连接AC1交A1C于点F,则F为AC1中点.由D是AB中点,连接DF,则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD,BC1⊄平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥CD.由已知AC=CB,D为AB的中点,所以CD⊥AB.又AA1∩AB=A,于是CD⊥平面ABB1A1.由AA1=AC=CB=2,AB=2√2得∠ACB=90°,CD=√2,A1D=√6,DE=√3,A1E=3,故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D.所以V C-A1DE =13×12×√6×√3×√2=1.思路分析(1)利用线面平行的判定定理在平面A1CD内找出一条直线与直线BC1平行即可;(2)先证明CD⊥平面ABB1A1,再根据题目给的条件算出三棱锥C-A1DE的高和底面面积,利用三棱锥的体积公式计算即可.一题多解证明第(1)问时,也可以利用面面平行的性质,即:取A1B1的中点G,连接C1G,GB,因为GB∥A1D,C1G∥CD,C1G⊂平面GBC1,GB⊂平面GBC1,且C1G∩GB=G,A1D⊂平面A1CD,CD⊂平面A1CD,A1D∩CD=D,所以平面GBC1∥平面A1CD.又BC1⊂平面GBC1,所以BC1∥平面A1CD.—三年模拟—A组考点基础题组考点直线、平面平行的判定与性质1.(2021湘豫名校4月联考,8)《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著,是《算经十书》中最重要的一部,其中将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”,下列说法:①“羡除”有且仅有两个面为三角形;②“羡除”一定不是台体;③不存在有两个面为平行四边形的“羡除”;④“羡除”至多有两个面为梯形.其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4答案C2.(2019福建福州3月质检,6)已知a,b是两条异面直线,直线c与a,b都垂直,则下列说法正确的是()A.若c⊂平面α,则a⊥αB.若c⊥平面α,则a∥α,b∥αC.存在平面α,使得c⊥α,a⊂α,b∥αD.存在平面α,使得c∥α,a⊥α,b⊥α答案C3.(多选题)(2021江苏常州一模,11)1982年美国数学学会出了一道题:一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等,将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起,得到一个新几何体.中学生丹尼尔做了一个如图所示的模型寄给美国数学学会,美国数学学会根据丹尼尔的模型修改了有关结论.对于该新几何体,有()A.AF∥CDB.AF⊥DEC.新几何体有7个面D.新几何体的六个顶点不能在同一个球面上答案ABD4.(2020福建漳州适应性测试,16)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点N是棱A1B1的中点,点T是棱CC1上靠近点C的三等分点,动点Q在正方形D1DAA1(包含边界)内运动,且QB∥平面D1NT,则动点Q所形成的轨迹的长为.答案√105.(2021百校大联考第6次联考,19)已知在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD⊥DC,AB∥DC,DC=2AB,Q为PC的中点.(1)求证:BQ∥平面PAD;(2)若PD=3,BC=√2,BC⊥BD,试在线段PC上确定一点S,使得三棱锥S-BCD的体积为2.3解析 (1)证明:取PD 的中点G ,连接AG ,GQ ,因为Q 为PC 的中点,所以GQ ∥DC ,且GQ =12DC , 又因为AB ∥DC ,DC =2AB ,所以GQ ∥AB ,GQ =AB , 所以四边形ABQG 是平行四边形,所以BQ ∥AG , 又BQ ⊄平面PAD ,AG ⊂平面PAD ,所以BQ ∥平面PAD. (2)因为在四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ⊥DC ,DC =2AB , 所以点B 在线段CD 的垂直平分线上, 又因为BC =√2,BC ⊥BD ,所以BD =BC =√2, 所以△BCD 的面积S =12×√2×√2=1. 设点S 到平面ABCD 的距离为h , 所以13×1×h =23,所以h =2, 又PD ⊥平面ABCD ,PD =3,所以点S 在线段PC 上靠近点P 的三等分点处.B 组 综合应用题组时间:60分钟 分值:65分一、单项选择题(每小题5分,共10分)1.(2021浙江湖州期末,4)设α,β是两个不同的平面,m 是直线且m ⊂α,则“m ∥β”是“α∥β”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B2.(2021江苏扬州大学附中2月检测,5)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B1,AB的中点,P点在线段B1C 上,则NP与平面AMC1的位置关系是()A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.要依P点的位置而定答案B二、多项选择题(每小题5分,共15分)3.(2020山东济宁期末,6)已知m、n为两条不重合的直线,α、β为两个不重合的平面,则下列说法正确的是()A.若m∥α,n∥β且α∥β,则m∥nB.若m∥n,m⊥α,n⊥β,则α∥βC.若m∥n,n⊂α,α∥β,m⊄β,则m∥βD.若m∥n,n⊥α,α⊥β,则m∥β答案BC4.(2021山东淄博二模,9)已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,且m,n⊄α,m,n⊄β,给出下列四个论断:①α∥β;②m∥n;③m∥α;④n∥β.以其中三个论断为条件,剩余论断为结论组成四个命题.其中正确的命题是()A.①②③Þ④B.①③④Þ②C.①②④Þ③D.②③④Þ① 答案 AC5.(2021广东肇庆二模,12)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =AD =1,AA 1=2,P 是线段BC 1上的一动点,则下列说法中正确的是 ( ) A.A 1P ∥平面AD 1CB.A 1P 与平面BCC 1B 1所成角的正切值的最大值是2√55C.A 1P +PC 的最小值为√1705D.以A 为球心,√2为半径的球面与侧面DCC 1D 1的交线长是π2答案 ACD三、填空题(共5分)6.(2020湖北襄阳第四中学5月检测,16)已知棱长为3的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点E 是棱AB 的中点,CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FC ⃗⃗⃗⃗⃗ 1,动点P 在正方形AA 1D 1D (包括边界)内运动,且PB 1∥平面DEF ,则PC 的取值范围为 . 答案 [3√355,√19]四、解答题(共35分)7.(2021广东珠海一模,19)如图,三棱锥P -ABC 中,PA ⊥AB ,AB ⊥AC ,AB =AC =√2,PB =PC =√6,点M 是PA 的中点,点D 是AC 的中点,点N 在PB 上,且PN =2NB.(1)证明:BD ∥平面CMN ;(2)求直线CN 与平面ABC 所成角的正切值.解析 (1)证明:如图,连接PD 交CM 于O ,O 为△PAC 的重心,PO =2OD ,连接ON ,因为PN =2NB ,所以ON ∥BD , 因为ON ⊂平面CMN ,BD ⊄平面CMN ,所以BD ∥平面CMN.(2)因为PB =PC ,AB =AC ,PA =PA ,所以△PAB ≌△PAC ,所以∠PAC =∠PAB =90°,所以PA =√PC 2-AC 2=√6-2=2,又因为PA ⊥AB ,AB ∩AC =A ,所以PA ⊥平面ABC ,过N 作NH ⊥AB 于H ,连接HC ,因为NH ∥PA ,所以NH ⊥平面ABC ,所以NH ⊥HC ,且AH =23AB ,直线CN 与平面ABC 所成角为∠NCH ,所以直线CN 与平面ABC 所成角的正切值tan ∠NCH =NHHC=13PA √AC 2+(23AB )=13×2√(√2)2+(23×√2)=√2613.8.(2021河北张家口一模,19)如图,四边形ABCD 是正方形,PA ⊥平面ABCD ,PA ∥EB ,且PA =AB =3. (1)求证:CE ∥平面PAD ;(2)若BE =13PA ,求直线PD 与平面PCE 所成角的正弦值.解析 (1)证明:因为四边形ABCD 是正方形,所以BC ∥AD.又AD ⊂平面PAD ,BC ⊄平面PAD ,所以BC ∥平面PAD. 因为PA ∥EB ,同理可证EB ∥平面PAD ,又BC ∩EB =B , 所以平面EBC ∥平面PAD ,又因为CE ⊂平面EBC ,所以CE ∥平面PAD.(2)以A 为原点,分别以AD ,AB ,AP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.因为PA =AB =3,所以BE =13PA =1, 则P (0,0,3),D (3,0,0),C (3,3,0),E (0,3,1), 则PD⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,-3),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,3,-3),PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,-2). 设平面PCE 的法向量为m =(x ,y ,z ),则{m ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(3,3,-3)=3x +3y -3z =0,m ·PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(0,3,-2)=3y -2z =0,得{x =z3,y =2z 3,令z =3,得m =(1,2,3). 设直线PD 与平面PCE 所成角的大小为θ, 则sin θ=|cos<PD⃗⃗⃗⃗⃗ ,m >|=|PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m |PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ||=|3√2×√14|=√77. 所以直线PD 与平面PCE 所成角的正弦值为√77.9.(2019福建3月质检,18)如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,底面ABC 是等边三角形,侧面BCC 1B 1是矩形,AB =A 1B ,N 是B 1C 的中点,M 是棱AA 1上的点,且AA 1⊥CM. (1)证明:MN ∥平面ABC ;(2)若AB ⊥A 1B ,求二面角A -CM -N 的余弦值.解析 (1)证明:如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,连接BM ,因为四边形BCC 1B 1是矩形, 所以BC ⊥BB 1,因为AA 1∥BB 1,所以AA 1⊥BC. (1分) 又因为AA 1⊥MC ,BC ∩MC =C ,所以AA 1⊥平面BCM , (2分)所以AA 1⊥MB ,又因为AB =A 1B , 所以M 是AA 1的中点. (3分) 取BC 的中点P ,连接NP ,AP ,因为N 是B 1C 的中点,所以NP ∥BB 1且NP =12BB 1, (4分)又AA 1 BB 1,所以NP ∥MA 且NP =MA ,所以四边形AMNP 是平行四边形,所以MN ∥AP.(5分) 因为MN ⊄平面ABC ,AP ⊂平面ABC , 所以MN ∥平面ABC. (6分)(2)因为AB ⊥A 1B ,AB =A 1B ,所以△ABA 1是等腰直角三角形,设AB =√2a ,则AA 1=2a ,BM =AM =a. 在Rt △ACM 中,AC =√2a ,所以MC =a.在△BCM 中,CM 2+BM 2=2a 2=BC 2,所以MC ⊥BM. (7分)由(1)知,MC ⊥AA 1,BM ⊥AA 1,则BM ,MC ,MA 1两两垂直.如图,以M 为坐标原点,MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,(8分)则M (0,0,0),C (0,0,a ),B 1(2a ,a ,0).所以N (a ,a 2,a2),则MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,a ),MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,a 2,a 2). (9分) 设平面CMN 的法向量为n 1=(x ,y ,z ), 则{n 1·MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{az =0,ax +a 2y +a 2z =0.取x =1,得y =-2.故平面CMN 的一个法向量为n 1=(1,-2,0).(10分) 又因为平面ACM 的一个法向量为n 2=(0,1,0), 所以cos<n 1,n 2>=n 1·n2|n 1||n 2|=-2√55. (11分)易知二面角A-CM-N为钝二面角,所以二面角A-CM-N的余弦值为-2√5.(12分)5—一年原创—1.(多选题)《九章算术·商功》记载了一个古代数学名词“堑堵”.即两底面为直角三角形的棱柱,亦即长方体的斜截平分体.如图所示,堑堵(即直三棱柱)ABC-DEF中,AB⊥AC,AB=AC=2,AD=4,G是FC的中点,则下列说法正确的是()A.BE与AG的夹角为π3B.平面ABC内存在直线平行于平面AEGC.三角形AGE为直角三角形D.点D到平面AGE的距离为4√55答案BC2.(多选题)(2021 5·3原创题)设α,β,γ为互不重合的三个平面,则下列条件中能使α∥β成立的有()A.α⊥γ,β⊥γB.α内不共线的三点到β的距离相等C.a⊥α,a⊥βD.m,n为异面直线,m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α答案CD3.(2021 5·3原创题)如图,在四棱锥S -ABCD 中,SA ⊥平面ABCD ,AD ⊥AB ,AD ∥BC ,SA =AD =2,AB =BC =1,E 为SD 上的一点.(1)证明:平面SAC ⊥平面SCD ;(2)设SE SD=λ,当λ为何值时,SB ∥平面ACE ? (3)求直线SB 与平面SCD 所成角的正弦值.解析 (1)证明:由题意知AC =CD =√2, 因为AC 2+CD 2=AD 2,所以AC ⊥CD ,又因为SA ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ,所以SA ⊥CD , 又知SA ∩AC =A ,所以CD ⊥平面SAC ,因为CD ⊂平面SCD ,所以平面SAC ⊥平面SCD. (2)当λ=13时,SB ∥平面ACE.连接BD 交AC 于点O ,连接OE ,如图所示,因为AD ∥BC ,AD =2BC , 所以OD =2OB ,即OB BD =13, 又知SE SD =13,所以SB ∥OE ,因为SB ⊄平面ACE ,OE ⊂平面ACE ,31 / 31 所以SB ∥平面ACE.(3)以A 为原点,AB ,AD ,AS 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,则B (1,0,0),S (0,0,2),C (1,1,0),D (0,2,0),所以BS⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2),SD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-2),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0), 设平面SCD 的法向量为n =(x ,y ,z ),则有{SD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,CD⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{2y -2z =0,-x +y =0, 令y =1,则x =1,z =1,即n =(1,1,1),设直线SB 与平面SCD 所成的角为θ,则sin θ=|cos<BS ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|BS ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||BS ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n |=√5×√3=√1515, 即直线SB 与平面SCD 所成角的正弦值为√1515.。
不等式经典例题选讲-五年(2018-2022)高考数学真题按知识点分类汇编
答案第1页，共2页 1．（2022·全国·统考高考真题）已知a，b，c都是正数，且3332221abc，证明： (1)19abc； (2)12abcbcacababc； 2．（2022·全国·统考高考真题）已知a，b，c均为正数，且22243abc，证明： (1)23abc；
(2)若2bc，则113ac． 3．（2021·全国·统考高考真题）已知函数3fxxax． （1）当1a时，求不等式6fx的解集; （2）若fxa，求a的取值范围． 4．（2021·全国·高考真题）已知函数()2,()2321fxxgxxx．
（1）画出yfx和ygx的图像； （2）若fxagx，求a的取值范围． 5．（2020·全国·统考高考真题）已知函数()|31|2|1|fxxx． （1）画出()yfx的图像；
（2）求不等式()(1)fxfx的解集． 答案第2页，共2页
6．（2020·全国·统考高考真题）已知函数2()|21|fxxaxa. （1）当2a时，求不等式4fx的解集； （2）若4fx，求a的取值范围. 7．（2019·全国·高考真题）已知()|||2|().fxxaxxxa （1）当1a时，求不等式()0fx的解集； （2）若(,1)x时，()0fx，求a的取值范围. 8．（2019·全国·高考真题）已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1）222111abcabc； （2）333()()()24abbcca． 9．（2019·全国·统考高考真题）设,,xyzR，且1xyz. （1）求222(1)(1)(1)xyz的最小值；
（2）若2221(2)(1)()3xyza成立，证明：3a或1a.
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五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编19-平面解析几何（直线与方程）（含解析）一、单选题1．（2022·全国·统考高考真题）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A ．32B ．22C ．12D ．132．（2022·全国·统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（ ）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.93．（2021·全国·统考高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+的距离为2p =（ ） A ．1B ．2C ．22D ．44．（2020·全国·统考高考真题）点(0，﹣1)到直线()1y k x =+距离的最大值为（ ） A ．1B 2C 3D ．25．（2020·浙江·统考高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|P A |–|PB |=2，且P 为函数y =234x -|OP |=（ ）A ．222B ．4105C ．7D ．106．（2020·山东·统考高考真题）直线2360x y +-=关于点1,2对称的直线方程是（ ）A ．32100x y --=B ．32230x y --=C ．2340x y +-=D ．2320x y +-=7．（2020·山东·统考高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角8．（2018·全国·高考真题）已知双曲线22221(00)x y C a b a b -=>>：，2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为A 2B ．2C 32D ．29．（2018·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．410．（2019·北京·高考真题）已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则点（1,0）到直线l 的距离是A ．15B ．25C ．45D ．65二、多选题11．（2022·全国·统考高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ） A ．直线AB 的斜率为6B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒三、填空题12．（2022·全国·统考高考真题）设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是________．13．（2022·全国·统考高考真题）设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为______________．14．（2021·全国·统考高考真题）双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．15．（2021·全国·统考高考真题）已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______． 16．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.四、解答题17．（2018·全国·高考真题）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.18．（2018·全国·高考真题）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠．19．（2019·江苏·高考真题）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小．．于圆．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．五、双空题20．（2020·北京·统考高考真题）已知双曲线22:163x yC-=，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．参考答案：1．A【分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b+=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解. 【详解】[方法一]：设而不求 设()11,P x y ，则()11,Q x y - 则由14AP AQk k ⋅=得：21112211114AP AQ y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+， 由2211221x y a b +=，得()2221212b a x y a-=， 所以()2221222114b a x ax a -=-+，即2214b a =， 所以椭圆C的离心率c e a == A.[方法二]：第三定义设右端点为B ，连接PB ，由椭圆的对称性知：PB AQ k k =-故14AP AQ PA AQ k k k k ⋅=⋅-=-，由椭圆第三定义得：22PA AQb k k a⋅=-，故2214b a = 所以椭圆C的离心率c e a == A.2．D【分析】设11111OD DC CB BA ====，则可得关于3k 的方程，求出其解后可得正确的选项. 【详解】设11111OD DC CB BA ====，则111213,,CC k BB k AA k ===， 依题意，有31320.2,0.1k k k k -=-=，且111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++，所以30.530.30.7254k +-=，故30.9k =，故选：D 3．B【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d ==解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B. 4．B【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即可求得结果. 【详解】由(1)y k x =+可知直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -， 当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即为||AP =故选：B.【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题. 5．D【分析】根据题意可知，点P既在双曲线的一支上，又在函数y =的图象上，即可求出点P 的坐标，得到OP 的值．【详解】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P还在函数y =由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩OP == 故选：D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 6．D【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，,则其关于点1,2对称的点的坐标为(2,4)x y ---，代入已知直线即可求得结果.【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，， 则其关于点1,2对称的点的坐标为(2,4)x y ---，因为点(2,4)x y ---在直线2360x y +-=上， 所以()()223460x y --+--=即2320x y +-=. 故选：D. 7．D【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出sin 0θ<、cos 0θ>，即可得出结果. 【详解】结合图像易知，sin 0θ<，cos 0θ>， 则角θ是第四象限角， 故选：D. 8．D【详解】分析：由离心率计算出ba，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可．详解：e c a ===1b a∴= 所以双曲线的渐近线方程为x y 0±=所以点（4，0）到渐近线的距离d==故选D点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题． 9．C【分析】P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，则根据几何意义得d 的最大值为1OA +.【详解】22cos sin 1θθ+=∴，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C.【点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化． 10．D【分析】首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可. 【详解】直线l 的普通方程为()()41320x y ---=,即4320x y -+=,点()1,0到直线l的距离65d ==,故选D. 【点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化,点到直线的距离,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查. 11．ACD【分析】由AF AM =及抛物线方程求得3(4p A ，再由斜率公式即可判断A 选项；表示出直线AB的方程，联立抛物线求得(,3p B ，即可求出OB 判断B 选项；由抛物线的定义求出2512pAB =即可判断C 选项；由0OA OB ⋅<，0MA MB ⋅<求得AOB ∠，AMB ∠为钝角即可判断D 选项.【详解】对于A ，易得(,0)2pF ，由AF AM =可得点A 在FM 的垂直平分线上，则A 点横坐标为3224p pp +=， 代入抛物线可得2233242p y p p =⋅=，则3(4p A ，则直线AB的斜率为2342p p =-A 正确；对于B，由斜率为AB的方程为2px y =+，联立抛物线方程得220y py p -=， 设11(,)B x y1p y p +=，则1y =212p x ⎛=⋅ ⎝⎭，解得13p x =，则6(,)33p p B -， 则22673332p p p p OB OF ⎛⎫⎛⎫=+-=≠= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 错误； 对于C ，由抛物线定义知：325244312p p pAB p p OF =++=>=，C 正确； 对于D ，23663663(,)(,)0423343234p p p p p p p p p OA OB ⎛⎫⋅=⋅-=⋅+⋅-=-< ⎪ ⎪⎝⎭，则AOB ∠为钝角，又26262665(,)(,)0423343236p p p p p p p p p MA MB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=-⋅-+⋅-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则AMB ∠为钝角，又360AOB AMB OAM OBM ∠+∠+∠+∠=，则180OAM OBM ∠+∠<，D 正确. 故选：ACD.12．13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】首先求出点A 关于y a =对称点A '的坐标，即可得到直线l 的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【详解】解：()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a '--，()0,B a 在直线y a =上， 所以A B '所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=； 圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =，依题意圆心到直线l 的距离1d =≤，即()()2225532a a -≤-+，解得1332a ≤≤，即13,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故答案为：13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦13．22(1)(1)5x y -++=【分析】设出点M 的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在M 上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】[方法一]：三点共圆 ∵点M 在直线210x y +-=上，∴设点M 为(,12)-a a ，又因为点(3,0)和(0,1)均在M 上，∴点M 到两点的距离相等且为半径R， ==R ， 222694415-++-+=a a a a a ，解得1a =，∴(1,1)M -，R =M 的方程为22(1)(1)5x y -++=.故答案为：22(1)(1)5x y -++= [方法二]：圆的几何性质由题可知，M 是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线210x y +-=的交点(1,-1).R =M 的方程为22(1)(1)5x y -++=.故答案为：22(1)(1)5x y-++= 14【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，3c ==，所以双曲线的右焦点为(3,0)， 所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===15．0,1【分析】结合导数的几何意义可得120x x +=，结合直线方程及两点间距离公式可得1A x M =，2B x N ，化简即可得解.【详解】由题意，()1011,0,xx x e x f x e e x <=⎧---≥⎪=⎨⎪⎩，则()0,,0xx x f x e e x ⎧-⎪=<>⎨'⎪⎩，所以点()11,1x A x e -和点()22,1x B x e -，12,x xAM BN k e k e =-=,所以12121,0x xe e x x -⋅=-+=，所以()()111111,0:,11x x x xe e x x e AM e y M x -+=---+，所以1x AM ，同理2B x N ,所以()10,1x e NAM B ===∈. 故答案为：0,1 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件120x x +=，消去一个变量后，运算即可得解. 16．4.【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【详解】当直线0x y +=平移到与曲线4y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P 到直线0x y +=的距离最小. 由2411y x '=-=-，得)x =，y =即切点Q ，则切点Q 到直线0x y +=4=，故答案为4．【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题. 17．（1）AM的方程为2y x =-y =（2）证明见解析. 【分析】（1）根据l 与x 轴垂直，且过点()1,0F ，求得直线l 的方程为=1x ，代入椭圆方程求得点A的坐标为⎛ ⎝⎭或1,⎛ ⎝⎭，利用两点式求得直线AM 的方程； （2）方法一：分直线l 与x 轴重合、l 与x 轴垂直、l 与x 轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果.【详解】（1）由已知得()1,0F ，l 的方程为=1x .由已知可得，点A的坐标为⎛ ⎝⎭或1,⎛⎝⎭. 所以AM的方程为y x =y x =. （2）［方法一］：【通性通法】分类＋常规联立 当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为()()10y k x k =-≠，1122,,,A x y B x y ，则12x x MA 、MB 的斜率之和为121222MA MB y yk k x x +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得()()()12121223422MA MB kx x k x x kk k x x -+++=--.将()1y k x =-代入2212x y +=得()2222214220k x k x k +-+-=.所以，22121222422,2121k k x x x x k k -+==++. 则()33312122441284234021k k k k kkx x k x x k k --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA 、MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠.［方法二］：角平分线定义的应用当直线l 与x 轴重合或垂直时，显然有OMA OMB ∠=∠．当直线l 与x 轴不垂直也不重合时，设直线l 的方程为1x my =+，交椭圆于()11,A x y ，()22,B x y ．由22+=12=+1x y x my ⎧⎪⎨⎪⎩得()222210m y my ++-=． 由韦达定理得12122221,22m y y y y m m --+==++． 点A 关于x 轴的对称点()11,N x y -，则直线BN 的方程为()()()()121121y y x x y y x x +-=+-．令=0y ，()()22121121************2122222222mm y x x my y y y x y x y m m x x m y y y y y y m -⋅--+++++=+====-++++，则直线BN 过点M ，OMA OMB ∠=∠． ［方法三］：直线参数方程的应用设直线l 的参数方程为=1+cos =sin x t y t αα⎧⎨⎩（t 为参数）．（*）将（*）式代入椭圆方程2212x y +=中，整理得()221sin 2cos 10t t αα++-=．则12211sin t t α-⋅=+，1222cos 1sin t t αα+=-+． 又()()11221cos ,sin ,1cos ,sin A t t B t t αααα++，则MA MB k k +=1212sin sin 1cos 21cos 2t t t t αααα+=+-+-1212sin sin cos 1cos 1t t t t αααα+=--()(()()122112sin cos 1+sin cos=cos 1cos 1t t t t t t αα-αα-α-()()()1212122sin cos sin cos 1cos 1t t t t t t ααααα-+=--()()22122sin cos 2sin cos 1sin 1sin 0cos 1cos 1t t αααααααα-+++=--， 即MA MB k k =-．所以OMA OMB ∠=∠． ［方法四］：【最优解】椭圆第二定义的应用 当直线l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒．当直线l 与x 轴不重合时，如图6，过点A ，B 分别作准线=2x 的垂线，垂足分别为C ，D ，则有AC BD x ∥∥轴．由椭圆的第二定义，有e AF AC =，||e ||BF BD =，得||||||||AF BF AC BD =，即||||||||AF AC BF BD =．由AC BD x ∥∥轴，有||||||||AF BF CM DM =，即||||||||AF CM BF DM =，于是||||||||AC CM BD DM =，且90ACM BDM ∠=∠=︒．可得AMC BMD ∠=∠，即有∠=∠AMO BMO ．［方法五］：角平分线定理逆定理＋极坐标方程的应用 椭圆22:12x C y +=以右焦点为极点，x 轴正方向为极轴，得2cos ρθ=+设()()12,,,A B ρθρθπ+．22221122||12cos ,||12cos AM BM ρρθρρθ=+-=++．所以2211112cos ||3cos ||AM AF ρρθθ+-==-22220212cos ||3cos ||BM BF ρρθθ++==-由角平分线定理的逆定理可知，命题得证． ［方法六］：角平分线定理的逆定理的应用设点O （也可选点F ）到直线,MA MB 的距离分别为12,d d ，根据角平分线定理的逆定理，要证OMA OMB ∠=∠，只需证12d d =． 当直线l 的斜率为0时，易得120d d ==．当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：()()11221,,,,x my A x y B x y =+．由方程组22+=1,2=+1,x y x my ⎧⎪⎨⎪⎩得()222210,Δ0m y my ++-=>恒成立，12222m y y m +=-+．12212y y m =-+． 直线MA 的方程为：()()1111122112220,2y y x x y y d y x ---==+-因为点A 在直线l 上，所以111x my =+，故()1122112121y d m y my =+-+．同理，2d =．()()()()12121222122222112242121121y y y y my y d d m y my m y my -+-⎡⎤⎣⎦-=⎡⎤⎡⎤+-++-+⎣⎦⎣⎦．因为()121222222022m m y y my y m m +-=-+=++，所以22120d d -=，即12d d =． 综上，OMA OMB ∠=∠．［方法七］：【通性通法】分类＋常规联立当直线l 与x 轴重合或垂直时，显然有OMA OMB ∠=∠．当直线l 与x 轴不垂直也不重合时，设直线l 的方程为1x my =+，交椭圆于()11,A x y ，()22,B x y ．由22+=12=+1x y x my ⎧⎪⎨⎪⎩得()222210m y my ++-=． 由韦达定理得12122221,22m y y y y m m --+==++． 所以()()()1212121212121220221111MA MB my y y y y y y y k k x x my my my my -++=+=+==------， 故MA 、MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. ［方法八］：定比点差法设()0,1AF FB λλ=≠±，1122,,,A x y B x y ， 所以1212+1=1++0=1+x x y y λλλλ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，由22112222222+=12+=2x y x y λλλ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩作差可得，()12121212112111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⨯+⨯=+-+-，所以， ()1221x x λλ-=-，又121x x λλ+=+，所以，()121113,322x x λλ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故()1222120111221122MA MB y y y y k k x x λλλ-+=+=+=--⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭，MA 、MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠.当1λ=时，l 与x 轴垂直，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠. 故OMA OMB ∠=∠．【整体点评】（2）方法一：通过分类以及常规联立，把角相等转化为斜率和为零，再通过韦达定理即可实现，是解决该类问题的通性通法；方法二：根据角平分线的定义可知，利用点A 关于x 轴的对称点N 在直线BM 上，证直线AN 过点M 即可；方法三：利用直线的参数方程证明斜率互为相反数；方法四：根据点M 是椭圆的右准线=2x 与x 轴的交点，用椭圆的第二定义结合平面几何知识证明，运算量极小，是该题的最优解；方法五：利用椭圆的极坐标方程以及角平分线定理的逆定理的应用，也是不错的方法选择； 方法六：类比方法五，角平分线定理的逆定理的应用； 方法七：常规联立，同方法一，只是设直线的方程形式不一样； 方法八：定比点差法的应用． 18．（1）112y x =+或112y x =--；（2）证明见解析.【分析】（1）根据题意可得直线l 的方程为=2x ，从而得出点M 的坐标为()2,2或()2,2-，利用两点式求得直线BM 的方程；（2）方法一：设直线l 的方程为2x ty =+，点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由斜率公式并结合韦达定理计算出直线BM 、BN 的斜率之和为零，从而得出所证结论成立.【详解】（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为=2x ，可得M 的坐标为()2,2或()2,2-． 所以直线BM 的方程为112y x =+或112y x =--；（2）［方法一］：【通性通法】韦达定理＋斜率公式 设l 的方程为2x ty =+，()11,M x y 、()22,N x y ，由2=+2=2x ty y x ⎧⎨⎩，得2240y ty --=，可知122y y t +=，124y y =-． 直线BM 、BN 的斜率之和为()()()()()()()()21122112121212122244222222BM BN x y x y ty y ty y y yk k x x x x x x +++++++=+==++++++()()()()()()1212121224244202222ty y y y t tx x x x ++⨯-+⨯===++++，所以0BM BN k k +=，可知BM 、BN 的倾斜角互补，所以ABM ABN ∠=∠. ［方法2］：【最优解】斜率公式＋三点共线的坐标表示因为M ，N 在抛物线上，可设()2112,2M t t ，()2222,2N t t ，故()21122,2AM t t =-，()22222,2AN t t =-．而A ，M ，N 共线，故AM AN ∥，即()()2221122222220t t t t -⋅--⋅=，化简得()()1221410t t t t +-=．而M ，N 是不同的点，故12t t ≠，可得1210t t +=．这样()()()()121212222212121220222211BM BN t t t t t t k k t t t t +++=+==++++．故ABM ABN ∠=∠． 【整体点评】（2）方法一：通过联立方程得出根与系数的关系，再直接使用斜率公式化简即可证出，是此题问题的通性通法；方法二：通过设点，根据三点共线的坐标表示寻找关系，再利用斜率公式化简证出，省略了联立过程，适当降低了运算量，是此类问题的最优解． 19．（1）15（百米）； （2）见解析；（3）17+. 【分析】解：解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .利用几何关系即可求得道路PB 的长； （2）分类讨论P 和Q 中能否有一个点选在D 处即可.（3）先讨论点P 的位置，然后再讨论点Q 的位置即可确定当d 最小时，P 、Q 两点间的距离． 解法二：（1）建立空间直角坐标系，分别确定点P 和点B 的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路PB 的长；（2）分类讨论P 和Q 中能否有一个点选在D 处即可.（3）先讨论点P 的位置，然后再讨论点Q 的位置即可确定当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【详解】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知2210AD AE ED =+， 从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115PB =， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，2222156321CQ QA AC =-=-此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O的半径.综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=321时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+321.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+321（百米）.解法二：（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3. 因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为3 4 .因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为43 -，直线PB的方程为42533 y x=--.所以P（−13，9），22(134)(93)15PB=-+++=.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），所以线段AD：36(44)4y x x=-+-.在线段AD上取点M（3，154），因为22221533454OM⎛⎫=++=⎪⎝⎭，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115PB =，此时()113,9P -；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a =>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.【点睛】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力. 20． ()3,0 【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，a =b =3c ，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x =，所以，双曲线C=故答案为：()3,0【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.答案第17页，共17页。