船舶艉轴承刚度和螺旋桨陀螺效应对轴系回旋振动特性影响的分析
螺旋桨激励下船舶推进轴系振动试验及数值分析
螺旋桨激励下船舶推进轴系振动试验及数值分析
国玉阔;周瑞平;林存明;雷俊松
【期刊名称】《舰船科学技术》
【年(卷),期】2023(45)2
【摘要】针对船舶航行过程中,螺旋桨激振力产生船舶尾部的扰动源,对尾轴承的振动磨损影响较大,开展激励力下尾轴承振动试验不可或缺。
采用有限元方向建立船桨舵一体化模型,仿真计算自航过程中螺旋桨水动力特性,建立螺旋桨水动力特殊相似关系及换算方式,进行模拟螺旋桨水动力作用下尾轴承位置振动试验。
结果表明,在尾轴承处,相同激振力作用下,随着推进轴系转速的增加,各方向加速度及位移的振动响应变大;施加任意不同激励力,各方向振动加速度级和振动位移都会变大。
同一转速下,随着施加载荷的增加,尾轴承处的振动加速度级及振动位移逐渐增加。
本文研究得到的螺旋桨水动力对尾轴承影响的一般规律,为推进轴系减振降噪提供一定理论支持。
【总页数】6页(P41-46)
【作者】国玉阔;周瑞平;林存明;雷俊松
【作者单位】武汉理工大学船海与能源动力工程学院
【正文语种】中文
【中图分类】U664.21
【相关文献】
1.船舶推进轴系扭转振动的仿真与试验研究
2.摩擦激励下螺旋桨推进轴系自激振动特性分析
3.计入船体变形激励的大型船舶推进轴系振动性能研究
4.基于冰载荷动态激励的船舶推进轴系瞬态振动计算研究
5.摩擦激励下螺旋桨推进轴系弯扭耦合振动研究
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艉轴承刚度等效形式对轴系横向振动特性的影响
艉轴承刚度等效形式对轴系横向振动特性的影响
周慧慧;李天匀;朱翔;聂睿;李清盛
【期刊名称】《中国舰船研究》
【年(卷),期】2023(18)1
【摘要】[目的]由于船舶艉轴承的长径比较大,将其简化为传统的单点支撑等效模型难以反映出轴承的实际运行情况,因此有必要探讨艉轴承等效形式对轴系横向振动特性的影响。
[方法]首先,基于能量原理,引入改进傅里叶级数方法描述推进轴系的横向振动位移,构建可用于单点、多点和连续分布式支撑的多种等效形式的推进轴系横向振动特性计算模型;然后,分别分析由液膜压力等效的支撑刚度变化对轴系横向振动特性以及螺旋桨激励对轴系振动响应的影响;最后,与文献和采用有限元方法(FEM)计算的结果进行对比,验证所提模型的正确性。
[结果]结果显示,多点支撑的计算结果收敛于连续分布式支撑计算结果,螺旋桨激励下轴系响应受转速影响。
[结论]研究表明,可采用三点支撑等效形式研究液膜压力分布对推进轴系横向振动特性的影响,所构建的计算模型收敛性好、计算精度高、代价低。
【总页数】9页(P231-239)
【作者】周慧慧;李天匀;朱翔;聂睿;李清盛
【作者单位】华中科技大学船舶与海洋工程学院;船舶与海洋水动力湖北省重点实验室;高新船舶与深海开发装备协同创新中心
【正文语种】中文
【中图分类】U664.21
【相关文献】
1.推进轴系橡胶艉轴承刚度等效研究
2.艉轴承标高对轴系横向振动的影响理论分析
3.艉轴承等效支点位置对轴系回旋振动的影响
4.船舶艉轴承刚度和螺旋桨陀螺效应对轴系回旋振动特性影响的分析
5.船舶艉轴承间隙对轴系回旋振动特性影响分析
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轴承刚度对船舶推进轴系振动传递路径影响分析
轴承刚度对船舶推进轴系振动传递路径影响分析李海峰;朱石坚;刘学伟【摘要】The matrix transfer method was used to analyze the vibration transmission paths in the ship propulsion shafting. First of all, the ship propulsion shafting was simplified to concentrated mass elements, elastic supporting elements and the beam elements with the distributed parameters. And the expression of the field transfer matrix of the ship propulsion shafting was deduced based on the modified Timoshenko beam theory. Then, the corresponding boundary conditions were introduced, and the solution of the bearing force and the displacement response of the propulsion shafting were obtained. Finally, the power flow of each bearing of the propulsion shafting was analyzed numerically from the perspective of energy and compared with the result of FEA approach. The results show that the matrix transfer method based on the modified Timoshenko beam theory is feasible and effective to calculate the propulsion shafting bending vibration. And the aft stern bearing stiffness has the largest influence on the transmission path, followed by the front stern bearing and the thrust bearing.%采用传递矩阵法，将船舶推进轴系简化为质量点单元、弹性支承单元和具有分布参数的梁单元。
螺旋桨的偏心对艉轴的强度、刚度和稳定性影响的分析
６Ｏ ５０ ４０
３Ｏ
２０ １ ０ ０
对艉 轴强 度的 影响 图 以看 出螺旋 桨偏 距 ｅ 对艉 轴强 度 的影 响是很 大 的 ， 别是 当偏 距 ｅ 图 ３ 偏 距 ｅ 特
达到 一定值 （ 图中 ｅ ４ｍ 时将成 为 主要 因素 。 ＞ ｉ ｍ）
２ ２ 刚度 分析 ．
一
—
ｅ
Ｖａｏ）业 ： Ｍ （ａ 匝＋Ｔ２ ￣ｔ一 ， ｍ ｘ ｘ
— — — 一 — — — — —
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兰
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从 式 （ ） 】 ”可 以 看 出 ， ５ 】 对艉 轴 强度 的影 响除 了艉 轴 本 身
的轴 径 、 传递 功率 、 螺旋 桨 自重 、 速外 主要 来 自于 式 中的 ａ和螺 转 旋桨 自重 的偏距 ｅ 。实际 中在满 足规 范 的要 求 下 ， 尽可 能取 小 ａ值
艉轴 载荷 简 图如 图 ２所 示 ， 中 Ｆ为 螺旋桨 的 自重偏 心所 产生 的惯性 力 。 其
图 １ 艉轴 的 力学模 型
２１ ． 强度 分 析
图 ２ 艉轴 的载 荷简 图
螺旋 桨 的 自重 Ｇ偏 心所产 生 的惯性力
Ｆ＝
＝ｇ Ｙ－ 铆 Ⅶ ０ ， 、 ３ｊ １ ３
（） １
工 作 时轴 的最 大扭距 为
Ｔ
＝
ｍ
９５ ×０÷ ．５ １。
（） ４
式 中 Ｐ为 艉轴所 传 递 的功率 （ Ｗ） ｋ 。
艉 轴受 到 的是弯 曲与 扭转 的组 合变 形 ， 采 用塑性 材 料 。我们 按第 三 强度 理论 （ ＝１如 按第 四强度 理 且 ， 论 ＝ ．５ 进行 计算 ， 险点 处的 当量 应力 为 ０７ ） 危
变刚度支撑对船舶轴系横向振动影响分析
ｄ ｅ ｃ ｒ ｅ ａ ｓ ｅ ｓ ａ ｔ ａ ｃ ｅ ｒ ｔ ａ ｉ ｎ ｄ ｉ ｒ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ， ｔ ｈ ｅ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｖ ｅ ｒ ｓ ｅ ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ ｖ ｉ ｂ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｆ ｒ ｅ ｑ ｕ ｅ ｎ ｃ ｙ ｏ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ｄ ｉ ｒ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｓ ｒ ｅ ｄ ｕ ｃ ｅ ｄ ．Ｔ ｈ ｅ ｈ ａ ｒ － ｍｏ ｎ ｉ ｃ ｒ ｅ ｓ ｐ ｏ ｎ ｓ ｅ ａ ｍｐ ｌ ｉ ｔ ｕ ｄ ｅ ｄ ｅ ｃ ｒ ｅ ａ ｓ ｅ ｓ ｔ ｏ ｏ ，ｔ ｈ ｅ ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｏ ｎ ｌ ｏ ｗ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｖ ｅ ｒ ｓ ｅ ｖ ｉ ｂ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｓ ｈ ａ ｆ ｔ ｉ ｎ ｇ ｉ ｓ ｏ ｂ ｖ ｉ ｏ ｕ ｓ ｅ ｓ ｐ ｅ ｃ ｉ ａ ｌ —
尾后轴承刚度对潜艇结构声辐射特性的影响
第22卷第2期 2018年2月船舶力学J o u rn a l o f S hip M echanicsV o l.22 N o.2F e b. 2018文章编号院 1007-7294(2018)02-0235-13尾后轴承刚度对潜艇结构声辐射特性的影响刘文玺袁周其斗，谭路，张恺(海军工程大学舰船工程系，武汉430033)摘要:研究潜艇结构振动、声辐射特性随尾后轴承刚度改变的变化规律，对潜艇减振降噪具有十分重要的意义。
从振源振动传递路径的声学设计的角度出发，以改变靠近螺旋桨的尾后轴承的刚度为具体措施，采用结构有限 元法、结构有限元耦合流体边界元方法，以辐射声功率、湿表面均方法向速度作为衡量结构噪声辐射能力的主要 衡量指标，系统地研究潜艇结构振动、辐射噪声谱峰频率和峰值的变化规律。
从计算结果可以看出:在低频段，随着尾后轴承刚度的增大，谱峰频率明显向髙频移动，第一峰值呈先减小后增大趋势，第二峰值呈明显增大趋势；尾后轴承刚度越小，除第一个谱峰频率附近的窄频带外，在整个计算频段范围内，振动和辐射噪声明显减小。
因此，改变尾后轴承刚度，可以使谱峰频率向髙频或低频移动，这样就能够使设备激振力的谱峰频率与结构振动及 辐射噪声的谱峰频率错开，实现对辐射噪声的控制；降低尾后轴承刚度，在一定频段范围内，能够明显降低潜艇 振动和辐射噪声。
关键词：尾后轴承刚度；振动和辐射噪声；谱峰频率；振动传递路径中图分类号：TB532 文献标识码：A doi: 10.3969/j.issn.1007-7294.2018.02.012Effect of rear bearing stiffness on vibro-acousticradiation of submarineLIU Wen-x i,ZHOU Qi-dou,TAN Lu,ZHANG Kai(Department of Naval Architecture Engineering,Naval University of Engineering,Wuhan430033, China)A b s tr a c t院The re la tio n betw ee n th e v ib ro-a c o u s tic ra d ia tio n o f th e s u b m a rin e h u ll and the re a r b e a rin g stiffness is v e ry im p o rta n t fo r re d u c in g v ib ra tio n and noise o f the s u b m a rin e.F rom the angle o f c o n tro llin g tra n s fe r p a th o f e x c itin g fo rc e,w ith the a d op tion o f m o d ify in g the stiffness o f the rea r b e a rin g near the p rop e lle r,the stru c tu ra l fin ite elem ent m ethod and the stru ctu ra l fin ite elem ent coupled flu id boundary elem ent m etho d are ad op te d fo r the n u m e ric a l c a lc u la tio n,and th e aco ustic ra d ia tio n p o w e r,m ean square n o rm a l v e lo c itie s o f the w et surface are adopted as the m a in indexes to estim ate the acoustic ra d ia tio n a b ility fro m the su b ro u tin e structure s and the c h a ra c te ristics o f the v ib ra tio n and acoustic ra d ia tio n fro m the w h ole stru c tu re are stu d ie d s y s te m ic a lly.F rom the re s u lt,in the lo w e r fre q u e n c y b a n d,the peak fre q u e n cie s s h ift to h ig h e r fre q u e n c y w ith the in c re a s in g o f the re a r b e a rin g stiffn e s s,and the firs t pe a k v a lu e increases at firs t the n decreases,b u t the second peak value decreases o b v io u s ly;i f the rea r b e a rin g stiffness is sm a lle r, in the w hole frequ en cy ba n d,except the narrow band near the firs t peak fre q u e n cy,the le v e l o f v ib ra tio n and noise decreases o b v io u s ly.B y m o d ify in g the rea r b e a rin g stiffn ess,the pe ak fre q u e n cie s s h ift to h ig h e r freq u en cy o r lo w e r fre q u e n c y,and so th a t the sp e ctra l pe ak fre q u e n cie s o f the e x c itin g force o f the m achines and the s p e c tra l p e a k fre q u e n c ie s o f the v ib ra tio n and noise are sep ara te d,and as a re s u lt,th e noise and 收稿日期院2017-06-29基金项目：国家自然科学基金项目（51479205);*****演示验证项目（*2011001/101)作者简介:刘文玺（1977-)，男，博士后，E-mail:wxliu777@;周其斗（1962-)男，教授，博士生导师。
船舶轴系的振动与控制分析船舶专业毕业设计毕业论文
船舶轴系的振动与控制分析摘要本文主要进行船舶轴系振动的模态分析（固有频率与固有振型），通过MATLAB 平台实现了船舶轴系纵向振动模态计算的通用程序，并且分别应用该通用程序与ANSYS中的模态分析计算了船舶轴系扭转振动与纵向振动（给定轴系）的模态，并对所计算的结果进行了对比与分析。
同时，本文也介绍了船舶轴系强迫振动的计算以及船舶轴系振动的控制分析。
本文以船舶推进轴系的振动为研究对象，查阅了国内外大量文献，首先介绍了船舶推进轴系振动的分类，接着以一种通俗的方式阐述了各种振动的机理。
其次论述了轴系振动计算的几种常用的方法：霍尔兹法、传递矩阵法与有限元法。
接着论证了传递矩阵法的可用性，以及在什么情况下使用该方法可以达到所需的精度要求。
然后通过MATLAB平台实现了船舶轴系振动（包括扭转振动与纵向振动）的通用程序。
紧随其后，使用该程序计算了一个扭转振动与纵向振动的实例，再后来使用ANSYS对同样的例子进行了计算分析，通过比对，证实了通过MATLAB平台实现的通用程序计算的结果是令人满意的。
随后介绍了轴系的强迫振动及计算强迫振动的传递矩阵法，并给出了该方法的一个简单的算例，之后介绍了避振的几种思路。
最后对研究成果和有关问题进行了总结，对研究中的不足作了说明，对今后的工作做出了展望。
关键词：纵向振动，传递矩阵法，有限元法，通用程序，强迫振动Analysis of Vibration and ControlOn Ship ShaftingAbstractThis paper is mainly researching the vibration characteristics on ship shafting (natural frequencies and mode shapes). Through the platform of MATLAB, we get the general program which can calculate the mode of the longitudinal vibration and torsional vibration on ship shafting, and using this general program, an instance is calculated. ANSYS is applied to, too. And then both of the calculated results were compared and analyzed. At the same time, the paper also describes the calculation of the forced oscillation of ship shafting and the analysis of ship shaft vibration control.In this paper, viewing vibration of ship propulsion shafting as the research object, I consulted relevant data at home and abroad. First, I have introduced the classification of ship propulsion shafting vibration, and then described in a easy manner to various vibration mechanism.Next, several commonly used methods to vibration calculations are discussed: the Holzer method, the transfer matrix method and the finite element method.Then the availability of the transfer matrix method is demonstrated, and also is the required precision when we can achieve by the method.After that, through the platform of MATLAB, we get the general program which can calculate the mode of the vibration (including the longitudinal and the torsional vibration) vibration on ship shafting. Then we use the general program to calculate an instance of longitudinal and torsional vibration. And then we use ANSYS to calculate the same example. By comparison, we confirm the results by the general program through MATLAB platform are satisfactory.Then we introduce the forced vibration of ship shafting and the transfer matrix method of the forced vibration, and a simple example is showed, after that we introduce several ideas to avoid vibration.Finally, a summary about the achievement and problems is presented. An explanation of imperfectness in the study and pieces of advisement for the future work is given.Key words: Longitudinal Vibration，Transfer Matrix Method，Finite Element Method，General Program, Forced Vibration目录摘要........................................................................................................................ I ABSTRACT ................................................................................................................. I I 目录 ................................................................................................................ III 一绪论 (1)1.课题研究的目的和意义 (1)2.国内外研究概况 (2)3.本文主要工作 (3)二船舶轴系振动简介 (5)1.纵向振动 (5)2.扭转振动 (6)3.回旋振动 (7)三轴系振动计算方法 (9)1.霍尔兹（Holzer）法 (9)2.传递矩阵法 (11)3.有限元法 (19)四轴系振动通用程序实现 (23)1.船舶轴系的构造 (23)2.轴系振动通用程序实现 (25)3.轴系振动通用程序的应用与检验 (28)五船舶轴系振动的控制 (46)1.船舶轴系的强迫振动 (46)2.船舶轴系强迫振动的传递矩阵法 (46)3.强迫振动算例 (48)4.船舶轴系避振措施 (50)六总结 (52)1.结论 (52)2.设计评价和展望 (52)致谢 (53)附录 (54)参考文献 (62)一绪论1.课题研究的目的和意义声明：本论文中除特殊说明之外出现的所有物理量的单位均为国际制单位，即长度为米，时间为秒，质量为千克等。
推力轴承轴向刚度对船舶轴系振动响应的影响
1． 1 几何模型的建立 据某型船舶结构特点，将螺旋桨轴、艉轴、推
力轴和中间轴定义为三维梁单元 Beam 188，并对 弹性联轴节根据其转动惯量和质量进行等效处 理。为满足联轴节外毂轮质量 7 800 kg、转动惯 量 6 500 kg·m2 和悬挂力臂 320 mm 的要求，将 其等效成直径 2． 23 m、密度 4 987． 2 kg / m3 的三 维梁单元。支撑轴承采用 Combine 14 进行模拟， 其中螺旋桨轴承的支点设在离螺旋桨尾端 1 /3L
2） 推力轴承轴向刚度对轴系纵振影响较大。 轴向刚度越大，在螺旋桨端附近的振动越小，在近 电机端的振动越小，在推力轴承附近出现转折点。 这说明增大推力轴承轴向刚度能有效地衰减振动 从螺旋桨端向电机端、船体的传递，降低噪声辐 射，具有较明显的减振降噪效果。
3） 为了减小轴系的纵振程度，应尽可能选取 刚度大于 3． 00 × 1010 N / mm 的推力轴承。
承轴向刚度下的轴系振动特性，分析螺旋桨激振力通过轴系的传递状况。计算结果表明，增大推力轴承轴向
刚度能有效衰减振动沿着纵向振动经过船体结构的传递，有一定减振降噪的作用。
关键词： 推力轴承； 刚度； 振动； 谐响应分析
中图分类号： U664． 21
文献标志码： A
文章编号： 1671-7953（ 2012） 04-0110-03
参考文献
［1］ 王 滨． 轴承刚度对船舶轴系振动特性的影响研究 ［J］． 齐齐哈尔大学学报，2009，25（ 6） ： 55-60．
［2］ 张金国，姚世卫，王 隽． 法兰盘式推力轴承推进轴 系振动 传 递 特 性 分 析 研 究［J］． 噪 声 与 振 动 控 制， 2008（ 2） ： 23-25．
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船舶艉轴承刚度和螺旋桨陀螺效应对轴系回旋振动特性影响的分析李小军;朱汉华;范世东;郑良焱【摘要】当船舶轴系运行工况恶劣时,由于轴系后尾轴承与轴颈之间润滑不佳,使得轴承刚度发生较大变化,处于各向异性状态,这会影响轴系回旋振动特性.文章针对某大型集装箱船,在计入螺旋桨陀螺效应的基础上,借助于有限元ANSYS软件,研究了后艉轴承水平刚度单独变化对回旋振动固有频率、临界转速和振动响应的影响.其主要结果表明,后艉轴承水平方向刚度单独降低时,该方向上的横向振动固有频率降低,逆回旋振动固有频率在此基础上进一步降低;其轴频、叶频和倍叶频的正逆回旋临界转速和回旋振动响应均与各向同性时不同.【期刊名称】《船舶力学》【年(卷),期】2019(023)007【总页数】8页(P851-858)【关键词】船舶轴系;回旋振动;陀螺效应;有限元;各向异性【作者】李小军;朱汉华;范世东;郑良焱【作者单位】武汉理工大学能源与动力工程学院,武汉 430063;武汉理工大学能源与动力工程学院,武汉 430063;武汉理工大学能源与动力工程学院,武汉 430063;武汉理工大学能源与动力工程学院,武汉 430063【正文语种】中文【中图分类】U664.210 引言船舶轴系上旋转质量的不平衡离心力，以及来自不均匀伴流场、作用在螺旋桨上的流体激振力将使轴系产生回旋振动。
回旋振动严重时将导致轴系运行不稳定，甚至影响船舶航行安全[1] 。
一般滑动轴承的水平方向的刚度相对于垂直方向要低一些。
随着船舶的大型化，船体尾部刚度逐渐下降，而螺旋桨质量和转动惯量却比较大。
后艉轴承的位置比较特殊，起着支撑艉轴和螺旋桨的作用，其承受着来自螺旋桨剧烈的动载荷作用，工作条件恶劣，润滑状态不稳定，载荷呈边缘效应，甚至导致干摩擦，这些都会引起总支承刚度的变化[2] 。
因此对于大型低速船舶，为了保证轴系运转正常和船舶航行安全，进行尾轴承刚度各向异性下的轴系回旋振动研究是有必要的。
目前对于轴系回旋振动的研究，由于资料的缺乏，以及轴承刚度的难测性，大多是建立在刚性轴承、或者轴承刚度各向同性的基础之上的，而未将轴与轴承作为“柔性轴-柔性支撑”来进行研究；还有学者将其退化为横向振动进行研究，而忽略了螺旋桨在转子结构中产生的陀螺效应[3] 。
陈之炎等[4] 对回旋振动的机理进行了详细的研究，并从理论上讨论了支承刚度各向异性的情况。
王磊等[5] 借助有限元软件，分析了螺旋桨陀螺效应、应力刚化效应和旋转软化效应等对回旋振动的影响。
本文以某TEU集装箱船的推进轴系为研究对象，借助于有限元软件ANSYS，计入螺旋桨的陀螺效应，分析船舶推进轴系后艉轴承各向异性时回旋振动的特性，包括其固有频率、坎贝尔图临界转速和回旋振动响应。
1 考虑陀螺效应的轴系振动方程根据弹性力学，对于轴系这样的多自由度弹性系统，其通用动力学运动方程为：式中：［M ］、［C］和［K］分别代表质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；｛u¨｝、｛u˙｝和｛u｝分别代表加速度向量、速度向量和位移向量；｛F｝代表广义外力。
由于船舶螺旋桨的质量和惯量都比较大，会对轴系回旋振动产生较大影响，因此在轴系回旋振动的计算中需要考虑螺旋桨的陀螺效应。
当轴承各向同性时，螺旋桨的陀螺力矩：式中：Jp为极转动惯量，Jd为径向转动惯量，j0为转动惯量比为频率比可知，陀螺力矩包含2项为哥氏惯性力矩为牵连惯性力矩。
陀螺力矩为正值时，其方向与转轴旋转方向相反，减少了轴系的弯曲变形量，相当于轴的弯曲刚度变大了，轴系的固有频率因此增加；反之，则使轴系的固有频率下降。
当轴承支承刚度各向异性时，其陀螺力矩为：式中：x 方向为轴线方向为 z方向的转角速度为 z 方向的转角加速度；同理为 y方向的转角速度为 y方向的转角加速度。
式中：［Ggyr］为陀螺效应矩阵，主要取决于自转角速度ω，与公转角速度Ω无关[6] 。
［］B为旋转阻尼矩阵，在低转速下影响较小，在本文中不计入。
在有限元软件ANSYS的固定坐标系中，计入螺旋桨陀螺效应后的转子的动力方程为：2 分析模型2.1 轴系主要参数本文采用的研究对象是某TEU船推进轴系，轴系从主机至螺旋桨全长47.763 m，中间轴轴径为795 mm，艉轴外径975 mm，内径330 mm，含三个中间轴承和一个前艉轴承、一个后艉轴承。
螺旋桨为6叶定距桨，根据Jasper给出的计算公式，螺旋桨附连水的质量、极转动惯量和径向转动惯量系数分别取1.1、1.25和1.5，得螺旋桨附水质量为120 353 kg，附水极转动惯量为454 250 kg·m2，附水径向转动惯量为272 550 kg·m2。
2.2 模型建立与简化（1）建模时为了尽可能模拟船舶推进轴系的状态，同时考虑螺旋桨的陀螺效应，选用beam188单元对轴段进行模拟，对于轴段上的联轴器，通过设置梁的截面来模拟。
（2）螺旋桨的桨毂部分，通过适当延长尾轴长度来模拟。
螺旋桨及附连水的质量和转动惯量较大，采用mass21质量单元，施加在螺旋桨的几何中心位置。
（3）对于径向轴承，采用combine14弹簧单元进行模拟，在每个支撑位置的垂直和水平方向分别设置一个弹簧单元。
弹簧的一端与轴系上的轴承对应节点相连，另一端设置为固定端。
（4）由于进行回旋振动分析，因此对弹簧单元的固定端施加全约束，对主机端的节点约束其全部自由度，约束轴系在UZ和ROTZ上的自由度[7] 。
简化后的轴系模型如图1和图2所示。
图1 轴系有限元模型（显示单元） Fig.1 Finite element model of shafting (unit displayed)图2 轴系有限元模型（显示约束）Fig.2 Finite element model ofshafting(constraints displayed)3 计算结果分析与讨论径向轴承的支承刚度是轴系回旋振动的重要影响之一，它是由若干因素决定的，例如轴承结构、轴承材料、轴承间隙、油膜等，所以精确测量支承刚度是很困难的。
在船舶轴系实际运转中，滑动轴承垂直方向上的刚度要比水平方向上的刚度值大，轴的中心环绕着的旋转中心的轨迹是一个椭圆而不是一个圆形，因此在回旋振动时可能出现水平和垂直方向上两个临界转速[7] 。
但是其差距并不大，为研究后尾轴承水平方向刚度值单独变化对回旋振动影响，在本文中将两个方向上的刚度差距放大至一个数量级，以便观察其对轴系振动影响的变化规律。
由于篇幅有限，在本文以下的研究中，用刚度符号①代指后艉轴承刚度特性为水平刚度4.6×108/N·m-1，垂直刚度4.6×108/N·m-1，用刚度符号②代指后艉轴承刚度为水平刚度4.6×108/N·m-1，垂直刚度4.6×109/N·m-1，用刚度符号③代指后艉轴承刚度为水平刚度4.6×109/N·m-1，垂直刚度4.6×109/N·m-1。
其他轴承各方向上的刚度为定值，均保持水平刚度4.6×109/N·m-1，垂直刚度4.6×109/N·m-1。
3.1 固有频率计算由于引入了螺旋桨的陀螺效应，采用QR阻尼法，所得的特征值为复数，其虚部为进动（回旋）频率，实部为衰减系数，且特征值成对出现，对应正回旋和逆回旋的固有频率。
按照上面的代指规则，依次改变后艉轴承刚度，分别在计入陀螺效应和不计入陀螺效应这两种情况下进行模态分析，得到其前三阶正逆回旋固有频率，如表1和表2所示。
表1不计陀螺效应时正逆回旋固有频率Tab.1 Natural frequency of forward and inverse whirling vibration without considering the gyroscopic effect刚度正回旋固有频率/Hz一阶二阶三阶一阶二阶三阶逆回旋固有频率/Hz①②③5.04 5.04 7.03 14.93 14.93 14.99 18.09 18.09 20.76 5.04 7.04 7.04 14.93 14.99 14.99 18.09 20.76 20.76表2计入陀螺效应时正逆回旋固有频率Tab.2 Natural frequency of forward and inverse whirling vibration considering the gyroscopic effect刚度正回旋固有频率/Hz一阶二阶三阶一阶二阶三阶逆回旋固有频率/Hz①②③4.90 5.026.70 14.90 14.93 14.99 17.36 18.09 20.75 5.19 7.05 7.38 14.94 14.99 15.00 18.87 20.76 20.77得到不同刚度下各阶回旋振动在计入（不计入）螺旋桨陀螺效应时的相对变化量，如表3所示。
对数据进行处理，采用以下公式：表3相对变化量Tab.3 The relative change amount刚度正回旋固有频率/Hz一阶二阶三阶一阶二阶三阶逆回旋固有频率/Hz①②③-2.93%-0.44%-4.76%-0.15%0.00%-0.04%-4.06%0.01%-0.03%2.85%0.20%4.87%0.11%0.00%0.04%4.31%0.00%0.03%由表1-3可知，不计入陀螺效应时，回旋振动便退化为横向振动。
当后尾轴承垂直方向的刚度与水平方向刚度相同时，轴系会出现两个成对（共轭方向）的回旋振动固有频率，其值大小相同；当后尾轴承垂直方向的刚度与水平方向刚度不相同时，例如保持垂直方向刚度不变，当水平方向的刚度单独降低，则水平方向上对应的回旋振动固有频率降低，即相应临界转速降低，而垂直方向上的回旋振动固有频率不变化。
这说明，不计陀螺效应时，轴承某一方向上的刚度变化只会影响到该方向上横向振动固有频率（临界转速），而不会影响其他方向。
计入螺旋桨陀螺效应时，相较于不计入螺旋桨陀螺效应（横向振动）而言，当水平方向刚度降低时，逆回旋固有频率会在水平横向振动固有频率的基础上进一步降低；正回旋各阶固有频率会略微提高，但是其相对变化量与逆回旋各阶固有频率的相对变化量大小相近。
这说明螺旋桨的陀螺力矩在正回旋（正进动）时提高了临界转速，在逆回旋（反进动）时降低了临界转速，且其对正逆回旋的影响相当。
比较上面后艉轴承刚度各向同性与各向异性两种情况，发现当后艉轴承刚度各向异性时，计入陀螺效应与不计入陀螺效应的相对变化量很小，即此时螺旋桨的陀螺效应远远没有各向同性时显著。
再分析公式（2）和公式（3），推断这可能是由以下两个因素造成的：（1）根据公式（2），支承各向同性时陀螺效应包含科氏力矩（由自转角速度决定）和惯性力矩JdΩωθ（由公转角速度和自转角速度决定）。