等价、相似、合同的关系
合同线性代数[工作范文]
![合同线性代数[工作范文]](https://img.taocdn.com/s3/m/5baf74ed2cc58bd63186bdea.png)
合同线性代数篇一：线性代数中的合同关系、正定矩阵什么是线性代数中的合同？惯性定律？“合同”是矩阵之间的一种关系。
两个n阶方阵A与B 叫做合同的，是说存在一个满秩n阶方阵P,使得P′AP＝B.“合同”这种关系，是一种“等价关系”。
按照它可以对n 阶方阵的全体进行分类。
对于n阶实对称矩阵而言，线性代数中有两个结果。
①每个n阶实对称矩阵，都一定与实对角矩阵合同，并且此时P也是实的。
②对于一个n阶实对称矩阵A，与它合同的实对角矩阵当然不只一个，（相应的P也变化）。
但是这些实对角矩阵的对角元中，正数的个数是一定的（叫A的正惯性指数），负数的个数也是一定的（叫A的负惯性指数）。
结果②就是“惯性定理”。
一个矩阵是正定矩阵的充要条件是:矩阵的主对角线元素全大于0.这个命题是否正确不对，反例： 1221只有主对角矩阵才能说对角元素全大与0就正定设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量X=(x_1,...x_n) 都有 XMX′>0，就称M正定(PositiveDefinite)。
正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。
所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。
另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵.正定矩阵的一些判别方法由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数。
证明：若，则有∴λ＞0反之，必存在U使即： A正定由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负。
特征值都在主对角线上运算你知道的吧。
行列式小结一、行列式定义行列式归根结底就是一个数值，只不过它是由一大堆数字经过一种特殊运算规则而得出的数而已。
当然这堆数排列成相当规范的n行n列的数表形式了。
所以我们可以把行列式当成一个数值来进行加减乘除等运算。
举个例子：比如说电视机（看做一个行列式），是由很多个小的元件（行列式中的元素）构成的，经过元件的相互作用、联系最终成为一台电视机（行列式）。
矩阵的合同变换
矩阵的合同变换摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。
在《高等代数》里,我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。
关键词：矩阵秩合同对角化定义1：如果矩阵A可以经过一系列初等变换变成B，则积A与B等价，记为定义2:设A，B都是数域F上的n阶方阵，如果存在数域F上的n阶段可逆矩阵P使得，则称A和B相似定义3：设A,B都是数域F上的n阶矩阵，如果存在数域F上的一个n阶可逆矩阵P，使得那么就说，在数域F上B与A合同。
以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、性。
定理1：合同变换与相似变换都是等价变换证明：仅证合同变换，相似变换完全相似因为P可逆,所以P存在一系列初等矩阵的乘积，即。
此时边为一系列初等矩阵的乘积若则B由A经过一系列初等变换得到。
所以，从而知合同变换是等价变换.定理2:合同变换与相似变换，不改变矩阵的秩证明:由知,合同变换与相似变换都是等价变换,所以不改变秩定理3：相似矩阵有相同特征多项式证明:共又因为为对称矩阵所以注①合同不一定有相同特征多项式定理4：如果A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同特征根，则A与B相似且合同论:设A，B为特征根均为，因为A与B实对称矩阵,所以则在n阶正矩阵，使得从而有由从而有从而又由于为正交矩阵所以且定时5:两合同矩阵，若即，若A为对称矩阵,则B为对称阵，而两相似矩阵则不一定有些性质证明:即，若对称阵，则所以B边为对称阵[注］：相似矩阵对此结论不具有一般性，它在什么情况下成立呢?引理6：对称矩阵相似于对角阵A的每一个特征根有秩，S为的重数。
证明：任给对称的n阶矩阵A一个特征根,以其重数以秩，则，线性无关的解向量个数为个，即5个又因属不同特征根的特征向量线性无关n阶对称阵A有n个线性无关的特征向量n阶对称阵可对角化从定理5,引理6中我们发现了合同在应用中的侧重点，如对二次型应用例求一非线性替换，把二次型二次型矩阵为对A相同列与行初等变换,对矩阵E,施行列初等变换可把二次型化为标准型解法（2）此时此时非线性退化替换为发现在注[1]：任意对称阵合同的对角阵及其变换阵不是唯一确定的特性1:在合同变换中具有变换和结果的多样性［注]:在对角阵上元素相等及其它元素元素边相等情况下又有哪些性质呢?例3．用可逆性变换化二次型解:对二次型矩阵为标准形，则［注］当P改变两行的位置交换后，发现定理2：在A为对角线上元素相等，其余元素也相等，则若有，则调整P的任意两行，对角阵形式不变.证明：设初等变换的对调变换矩阵为J，显然于是有而P与JP相比仅是行的排列顺序不同，因此任意调整P的行，所得对角阵相同.［注]以上为特殊条件下成立，如果在一般情况下呢?例4．求实对称矩阵求可逆阵P使得为对角阵我们得到定理7：设对称矩阵,B为对角矩阵,若要调换B对角线上任意两个元素的位置得到，则只要调控B中对左的两列，可得到P，使得，即P的列与B中元素的对应性。
什么是等价_等价的介绍
什么是等价_等价的介绍对于两个命题p,q，如果p⇒q且q⇒p，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件，也称p与q等价。
那么你对等价了解多少呢?以下是由店铺整理关于什么是等价的内容，希望大家喜欢!什么是等价设有两个命题p和q,如果由p作为条件能使得结论q成立，则称p是q的充分条件;若由q能使p成立则称p是q的必要条件;如果p 与q能互推(即无论是由q推出p还是p推出q都成立)，则称p是q 的充分必要条件，简称充要条件，也称p与q等价。
集合中的等价关系定义若关系R在集合A中是自反、对称和传递的，则称R为A上的等价关系。
所谓关系R 就是笛卡尔积 A×A 中的一个子集。
A中的两个元素x,y有关系R, 如果(x,y)∈R.我们常简记为 xRy.自反: 任意x属于A,则x与自己具有关系R,即xRx;对称: 任意x,y属于A,如果x与y具有关系R，即xRy,则y与x也具有关系R，即yRx;传递: 任意x,y,z属于A,如果xRy且yRz,则xRzx,y具有等价关系R，则称x,y R等价，有时亦简称等价。
举例例如：在全体人的集合A中，室友是A上的一种关系,如果认为自己跟自己可以称为室友，则满足自反性，但如果甲是乙的室友，则必定乙是甲的室友，满足对称性，同时，如果甲是乙的室友，乙是丙的室友，则甲是丙的室友，满足传递性;因此，室友关系可以称为等价关系。
于是在代表宿舍参加活动这一点上，宿舍成员身份是等同的，不论甲还是乙，对外不加区别，即甲乙等价。
其他等价的定义另外，三角形的全等也是等价关系。
因为A全等A;A全等B=>B 全等A,;A全等B，B全等C=>A全等CA中与元素x 等价的所有元素构成的子集叫做x 所在等价类，x 也称为这个等价类的代表元。
集合A可以划分为一些等价类的并集，这些等价类两两不相交。
任何元素都必定落在某个等价类里面。
更广泛意义的等价，是集合在某种变换下保持不变性。
如：矩阵A与称为等价的，如果B可以是A经过一系列初等变换得到。
线代合同的条件
线代合同的条件线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量空间和线性映射等概念及其性质。
在线性代数中，合同是一个常见的概念，用于描述两个矩阵之间的相似关系。
在本文中，我们将详细介绍线性代数中合同的条件。
合同的定义在线性代数中，给定两个n阶方阵A和B，如果存在一个可逆方阵P使得P-1AP = B，则称矩阵A与B合同。
合同关系是一种等价关系，即满足以下三个条件：1.自反性：任意方阵A都与自身合同。
2.对称性：如果A与B合同，则B与A也合同。
3.传递性：如果A与B合同，并且B与C合同，则A与C也合同。
合同的条件要判断两个矩阵是否合同，需要满足以下条件：1.维度相等：两个矩阵A和B必须具有相同的维度n×n。
2.特征值相等：矩阵A和B必须具有相同的特征值。
特征值是指方阵A满足|λI - A| = 0时的λ。
3.特征向量相等：对于每个特征值λ，矩阵A和B必须具有相同的特征向量。
特征向量是指方阵A满足(A - λI)x = 0时的非零向量x。
4.秩相等：矩阵A和B的秩必须相等。
秩是指矩阵A经过初等行变换或初等列变换后的非零行数或非零列数。
5.对角化条件：如果矩阵A与B合同，则它们都可以对角化，即存在可逆方阵P和对角阵D，使得P-1AP = D和P-1BP = D。
合同的性质合同关系具有以下性质：1.线性性质：如果矩阵A与B合同，则对于任意标量c，cA与cB也合同；对于任意两个矩阵C和D，如果C与D合同，则A+C与B+D也合同。
2.迹不变性：如果矩阵A与B合同，则它们的迹相等，即tr(A) = tr(B)。
迹是指方阵主对角线上元素之和。
3.行列式不变性：如果矩阵A与B合同，则它们的行列式相等，即det(A) =det(B)。
行列式是指方阵的特征值之积。
合同的应用合同关系在线性代数中有广泛的应用，包括：1.矩阵相似性：合同关系是矩阵相似性的一种特殊情况。
如果两个矩阵A和B合同，则它们是相似矩阵，具有相同的特征值和特征向量。
等价矩阵 (自动保存的)
矩阵的三种等价关系及其一些应用姓名：郭长琦学号200740510208 指导教师：刘敏摘要：高等代数范围内,有关矩阵等价关系的计算是一个具有普遍重要的基本问题，在有限维线性空间中，矩阵的等价关系运算往往用到线性变换，由于线性变换在高等代数中的重要性，使得矩阵等价关系在高等代数中占有重要的地位。
本文主要简单地讨论了矩阵等价、矩阵合同、矩阵相似的条件及其应用，给出了这三种矩阵关系间的联系，即合同阵、相似阵必是等价阵;反之，不一定成立；正交相似与正交合同是一致的，并给出说明．关键词：等价矩阵相似矩阵合同矩阵Ｔhree kinds equivalence relation of the matrix and some applicationsAbstract: matrix equivalence relation in higher algebra occupies an important position. This paper briefly discusses matrix equivalent, matrix contract, matrix similar conditions and its application, give the relation between these three matrix of contact, namely contract array, similar array is equivalent array; Conversely, not necessarily to be formed; Orthogonal similarity and orthogonal contract is consistent, and give instructions.Keywords: rotation matrix similar matrix contract matrix矩阵是高等代数中最重要的知识点，贯穿于高等代数中，矩阵等价、矩阵合同、矩阵相似则是矩阵的三种基本关系，故首先给出其基本定义。
矩阵合同的性质
矩阵合同的性质矩阵合同是线性代数中一个重要的概念，它描述了两个矩阵之间的一种等价关系。
具体地说，如果存在一个可逆矩阵P，使得两个矩阵A和B满足等式A = PBP^-1，那么我们称矩阵A和B是合同的。
矩阵合同有以下几个性质：1.自反性：任意矩阵A与自身都是合同的，即A和A是合同的。
这是因为可以取P为单位矩阵，使得A = IA = PAP^-1成立。
2.对称性：如果矩阵A和B是合同的，那么矩阵B和A也必然是合同的。
这是因为如果A = PBP^-1，那么将等式两边同时左乘P^-1并右乘P，得到等式B = (P^-1AP)(PP^-1) = (P^-1AP)I = (P^-1AP)，即B和A也是合同的。
3.传递性：如果矩阵A和B是合同的，矩阵B和C也是合同的，那么矩阵A和C也必然是合同的。
这可以通过合同的定义推导得出：如果A = PBP^-1且B = QCQ^-1，那么A =P(QCQ^-1)P^-1 = (PQ)C(Q^-1P^-1)，即矩阵A和C是合同的。
4.等价类：由矩阵合同所定义的等价关系可以将所有的矩阵划分为不同的等价类。
对于任意的矩阵A，其所属的等价类可以表示为[A] = {B | A 与 B 是合同的}。
等价类具有以下性质：(1)等价类是一个非空的集合；(2)等价类之间是互不相交的；(3)所有矩阵的集合可以表示为不同等价类的并集：{所有矩阵} =[A1]∪[A2]∪...∪[An]。
5.合同矩阵的性质：合同的矩阵具有一些相同的性质。
例如，对于合同矩阵A和B，它们具有相同的秩、特征值和迹。
此外，如果A经过相似变换变为B，那么A和B也是合同的。
矩阵合同的性质是线性代数中的基础性质之一。
它不仅在理论上有重要意义，还在实际问题中有着广泛的应用。
矩阵合同的概念和性质为我们理解矩阵之间的关系提供了一个有效的方法，并且为矩阵的运算和分析提供了便利。
矩阵的相似名词解释
矩阵的相似名词解释矩阵是线性代数中的重要概念，也是许多科学领域和工程应用中常见的数学工具。
在矩阵的研究中，我们经常会遇到相似矩阵、合同矩阵和共轭矩阵等名词。
本文将对这些名词进行解释，并探讨它们之间的联系与区别。
相似矩阵是矩阵理论中一种重要的关系。
给定两个n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP = B，则称矩阵A和B相似。
矩阵的相似关系具有如下的性质：1. 相似关系是一种等价关系：即对于任意矩阵A，它与自身相似，且如果A与B相似，则B与A相似。
2. 相似矩阵具有相同的特征值：即A和B相似，则它们的特征多项式相同，从而它们的特征值也相同。
3. 相似矩阵具有相同的特征向量：即如果A和B相似，则它们对应的特征向量空间相同。
在实际应用中，矩阵的相似关系具有重要的意义。
比如，在数量上相似的矩阵可以表示相似的变换关系或物理过程。
相似矩阵的研究还与线性代数中的矩阵对角化和特征值问题密切相关。
与相似矩阵类似，合同矩阵也是一种与矩阵间关系相关的概念。
给定两个n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^TAP = B，则称矩阵A和B合同。
合同矩阵的研究在对称矩阵的性质和对角化问题中具有重要应用。
合同矩阵的相似性质与相似矩阵类似，比如具有相同的特征值和特征向量。
另一种常见的矩阵概念是共轭矩阵。
对于一个复数矩阵A，它的共轭矩阵记作A^*，其中A^*的第(i,j)个元素等于A的第(i,j)个元素的共轭复数。
共轭矩阵的研究在复数矩阵线性代数的应用中具有重要作用。
共轭矩阵与原矩阵有相似的性质，比如共轭矩阵的共轭还是原矩阵本身，共轭矩阵的转置等于原矩阵的转置的共轭。
虽然相似矩阵、合同矩阵和共轭矩阵都是矩阵间的关系，但它们之间并不完全相同。
相似矩阵和合同矩阵是定义在实数域上的概念，而共轭矩阵是定义在复数域上的概念。
相似矩阵和合同矩阵具有相同的特征值和特征向量，而共轭矩阵则保持了原矩阵的结构和属性。
此外，相似矩阵和合同矩阵是可逆线性变换的关系，而共轭矩阵则是复数域上的共轭变换。
矩阵合同的定义
矩阵合同的定义
矩阵合同是线性代数中的一个重要概念，它描述了两个矩阵之间的一种特定关系。
在矩阵合同的定义中，我们将会探讨矩阵合同的概念、性质以及在实际问题中的应用。
首先，让我们来看一下矩阵合同的定义。
给定两个n阶矩阵A和B，如果存在
一个n阶可逆矩阵P，使得A = P^TBP，那么我们称矩阵A和B是合同的。
换句话说，矩阵A和B是通过一个可逆矩阵P相似的。
接下来，让我们来探讨一下矩阵合同的性质。
首先，矩阵合同是一种等价关系，即满足自反性、对称性和传递性。
其次，矩阵合同保持了矩阵的一些重要性质，比如秩、行列式、特征值等。
另外，矩阵合同还满足一些运算性质，比如矩阵的转置、逆矩阵等。
最后，矩阵合同与矩阵相似有着密切的联系，它们在一定条件下是等价的。
在实际问题中，矩阵合同有着广泛的应用。
首先，在线性代数中，矩阵合同可
以用来简化矩阵的运算，比如求矩阵的秩、行列式、特征值等。
其次，在矩阵分析中，矩阵合同可以用来研究矩阵的结构和性质，比如正定矩阵、对称矩阵等。
另外，在工程和科学领域，矩阵合同也有着重要的应用，比如在信号处理、控制系统、优化问题等方面。
总之，矩阵合同是线性代数中一个重要且有着丰富性质的概念。
它不仅可以用
来描述矩阵之间的相似关系，还可以用来简化矩阵的运算和研究矩阵的性质。
在实际问题中，矩阵合同也有着广泛的应用，为我们解决问题提供了有力的工具。
因此，对于矩阵合同的理解和应用，对于我们深入理解线性代数和解决实际问题都具有重要的意义。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
矩阵等价、相似与合同的区别与联系
等价、相似与合同是矩阵的三大变换.应了解其定义，关系及有关性険.
1）定义及相互之间的关系
设川，舟是曲X并矩璋.若花 S阶可逆矩阵卩和用阶可逆矩阵0,使得PAQ=B t则称£与j?等价，记为A=B■设〃是科谕方阵，若存在用阶可龙矩阵尸，使^P-i AP = Bf则称Z 与苏祸似，记为A -肌若存在闯阶可湮矩阵P使猱戸AP= E贝U称』与舟合同-记为4R ;若存总艸阶正交矩阵0 使得Q l AQ= Q^AQ= B则称M与E正交相f以.由定文可知其关系*如下图所示*
2）性质
（1）等价、相似与合同都具有反身性、对称性及传递性，即
A - At At A a A （反身性）；
若A", A~ R,则丹=』，E- A A｛对称性）；
若』卷R,
若A", K〜C则貝〜C；若, B^C则/ = C（传递性）•
（2） A = E O A 与耳司型＞且rank A = rank S・若rank 4 = F *则（£A= r，称旨者为矩阵』的等价标准形
O O
⑶rank A= rank B ? det A - det B J A与E的释3E 澄7冃司“
注听给閔都是必要条件，即由rank A= rank B?或det A = dctB ,或J4
与必的特征值相同不能筆知』〜J!.但若/与J?都可对兔址，旦特花值相同，则4- J?.
（3）用正交相似变换可将/化简成
Q J AQ=Q-l AQ^
对实对称矩阵/的这三种变换，一个比一个特殊，一个比一个限毛:更多，各有其优诀点•总的来说则为：限制越少则化简后的形式越简单，但变换后丢掉原矩阵的性质就越多.如（1）的形式量简单.但变换后只保留了秩不变：（2）的形式虽然比（1）稍复杂.叵变换后保留秩不变，对称性不变，正、负惯性指数不变；（3）的形式又更复杂一点，但变换后保留秩不变，对称性不变，正、负惯性指数不变，特征值不变.。