第三章 零息债券与附息债券

• 市场高估了C债券。
第三节 寻找套利机会
• 一、套利定义 • 指利用证券定价之间的不一致，进行资金 转移，从中赚取无风险利润的行为。要实 实套利必须满足以下条件： • 第一是存在价差，即一物二价； • 第二是同时性和等额性，即同时买卖等额 资产。
• 三种套利情况 • 第一种情况：在时点0实现净现金流入，在 其他时点，净现金流为0； • 第二种情况：在0时点融资，在1到n时点， 可以得到净现金流。 • 第三种情况：在0到n-1时点，投资者净现 金流都为0，在n时点实现现金流为正。
第三章 零息债券与附息债券
第一节 零息债券
• 一、概念 • 零息票债券指到期一次还本付息的债券。 不论计息与否，也不论单利或复利，只要 到期一次还本付息，都属于零息票债券。 • 二、复制出来的零息票债券 • 假设有一个10年期付息国债，票面利率为 6%，1年支付一次利息，总面值10亿。 • 复制零息票债券：该债券的现金流相当于 10个零息票债券，前9个零息票债券的面值
例3-6：假定你是一个无风险套利者。现有四 个债券，都没有违约风险，而且都在时点3 或者之前到期。这四个债券的介格与现金流 的情况如下表所示。
时点 A B C D 0 100.2 93 92.85 110 1 10 100 5 15 2 10 105 15 3 110
115
问：是否存在套利机会，如果有，如何实现这 一机会？
• 四、用年金证券、零息债券、远期利率复 制附息债券 • 前面分析基于完全一致的到期日，如果到 期日不相同，则需要存在一个远期利率协 议，就可以对价格计算。 • 例上例ABC债券，B债券到期日11年，如果 存在第10期到11期远期利率10f11，我们就 可以得到d11。
d11 d10 1 1 10 f11
• 答：先求取折现因子，再给其他债券定价， 如果定价结果与市场价格不一致，那么就 存在套利机会。 • 1）B债券为一年期零息票债券，通过计算 得：93=100d1；d1=0.93 • 2）C债券是两年期债券，已知d1我们可以 求出d2：92.85=5×0.93+105d2；d2 =0.84 • 3）A债券为3年期债券，已经知d1、d2，可 求d3 ：100.2=10×0.93+10×0.84+110d3 • d3=0.75
3
C3
105
110
0
• 问题：如何构建一个零息债券：面值100,1 年期限，如何投资? • 也就是如何决定附息债券A、B、C的购买数 量NA、NB、NC，使得组合的现金流量满足以 下要求: 5 N A 10 N B 15 NC 100
5 N A 10 N B 115 NC 0 105 N A 110 N B 0 NC 0
• 都是0.6亿元，期限分别为1-9年，最后一个 零息票债券，期限为10年，面值是10.6亿 元。 • 中介可以托这一国债，发行10个零息票债 券。投资者很欢迎这一类没有再投资风险、 且没有违约风险的债券。
第二章 债券合成
• 零息票债券、附息债券和年金债券等非含 权债券可以统一起来。 • 一、用零息票债券复制含息债券 • 由上面的例子可知，任何确定的现金流都 是零息票债券的复合物。其现值为：
• 3. 用年金证券与零息票证券复制附息债券 • 有等额现金流的证券称为年金证券。因此 可以把附息债券分解为一个年金证券和一 个零息票证券。基于年金可使用公式：
P0 C dt Fd n
t 1
n
117.83 8 dt 100d10
t 1
10
87.46 4 dt 100d10
• 二、套利机会的寻找 • 例3-3：假定到期收益率曲线向下倾斜，有效年收 益率为：y1=9.9%，y2=9.3%，y3=9.1%。已知票 面利率为11%，债券价格为102，问是否存在套 利机会，如何利用这一机会。 • 债券的价格为：
11 11 11 104.69 102 2 3 1.099 1.093 1.091
• 这是个联立方程组，有Q个变量，有Q个方程，投 资者知道全部的Cit和Wi，求Ni。 • 如果市场超过Q种债券，那机会就更多。
• 三、用年金证券与零息票债券复制附息债券 • 1. 基于到期收益率比较不同附息债券 • 例3-2，有三个证券，期限10年，面值100元，到 期日相同，利息都在同一时点支付，票面利率如 下，问哪个债券可投。基于到期收益率使用公式：
Hale Waihona Puke • 4）用上式求得的折现因子，对债券D定价 • 15×0.93+15×0.84+115×0.75=112.8 • 市场价格为110。市场低估了债券D。存在 套利机会。 • 套利方式：购买证券D，卖空A、B、C的资 产组合。要求该组合的现金流量与D的现金 流完全一样。
10 N A 100 N B 5NC 15 10 N A 105NC 15 110 N A 115
1 n 1 ( ) n 1 F F 1 y P0 C C( ) t n n (1 y ) (1 y ) y (1 y ) t 1
面值 100 100 100 债券 A B C 票面利率 8% 6% 4% 价格 117.83 103.64 87.46 到期收益率 5.62% 5.52% 5.68% C 8 6 4 (1+y)^10 1.727673 1.711385 1.737513 1/上式 0.578813 0.584322 0.575535 年金折现 7.494428 7.5304 7.47297 117.83674 103.61459 87.44541
• 存在套利机会。以102价格买入债券，同时卖出 面值为11元的1、2、3年的零息票债券。
• 例3-4：在时点0有无风险债券A和B。债券 A在时点1,2,3各支付1元. A的价格为 2.24元。 债券 B 在时点1和3支付1元，在时点2支付0 元。B的价格为$1.6。
• 1） 计算2年期零息债券的到期收益率 2）如果存在债券C，在时点2支付 1 元 ，价格为0.74元. 如何获得2元的无 风险收益。A,B,C都可以卖空。
t 1 10
10
• 两式相减：
30.37 4 dt
t 1
d
t 1
10
t
7.5925
100d10 57.09
• B债券价值：
PB 6 dt 100d10 6 7.5925 57.09 102.645
t 1 10
• B债券高估。 • 我们无法确定哪一个证券不合理，但是可 以判断哪个证券相对另两个不合理。
时点 A B C 0 2.24 1.6 0.74 1 1 1 0 2 1 0 1 3 1 1
• 1）由A-B可以得到如下现金流
时点 A B A-B 0 1 2 3
2.24 1.6 0.64
1 1 0
1 0 1
1 1 0
1 0.64 (1 y2 )2
y2 25%
2）通过A-B复制了一个两年期零息票债券。卖空 一张C债券，购买复制的债券A-B，可以获得0.1 元，扩大20倍，就可以获得2元无风险收益。具体 而言，卖空20张C，卖空20张B，买入20张A债券。
23 10 10 N A ; NB ; NC 22 231 231
• 例3-7：一个退休基金账户，所有资产都是随时 可以交易的。现在总规模是11000万元。通过精 确计算，可知明年没有退休，从后年起，需要 支付的金额迅速增加，具体数额如下：
时点 支付 1 0 2 2000 3 4500 4 8000
• 投资者希望在时点1产生现金流W1，在时点2产生 现金流W2…，在时点Q产生WQ现金流。 • 因此可以构建： N1C11 N 2C21 N Q CQ1 W1
N1C12 N 2C22 N Q CQ 2 W2 N1C1Q N 2C2Q N Q CQQ WQ
V
d C
t 1 t
i
t
• 其中dt、Ct分别为t期折现因子和当期现金流。
• 例：不规则现金流的定价 期限 1 2 3 到期收益率 4.05056% 4.6753% 4.8377% 折现因子 0.9569 0.9127 0.8679 现金流量 200 300 500 现值 191.38 273.8 433.93
4 5
合计
4.9927% 4.1404%
0.8229 0.7783
250 150
205.73 116.75 1221.58
• 二、用附息债券复制零息债券 • 可以用做多某组附息债券和做空另一组附息债券的方 法复制零息票债券。 • 1. 举例：有下面三种附息债券和一种零息债券：
时间点 0 1 2 现金流量 A -P C1 C2 -100.47 5 5 B -114.16 10 10 C D -119.31 -95.95 15 115 100
1 n 1 ( ) n 1 F F 1 y P0 C C( ) t n (1 y ) (1 y ) y (1 y ) n t 1
债券 A B F 100 100 票面利率 6% 3% C 6 3 P0 100 94 n 5 5 求取y
C
100
5%
5
99
5
由于是4次以上的多项式，直接求不出来，只能求取近似值。
• 解方程：NA=-25.3；NB=24.15；NC=-1
• 债券合成的成本为95.69，低于95.95。在 不考虑成本的情况下，投资者可以选择合 成债券。当然也存在套利机会，每单零息 票债券获利0.26元。 • 2. 合成债券的一般方法 • 令Cit为债券i在时间t产生的现金流，在全部 Q个时点上，有Q个时点上，有Q个产生不 同的现金流量的债券。一个债券由Q个债券 组成，数量分别是N1，N2，…，NQ。
资产管管理人计划精准组合来免除风险，即完全 吻合负债现金流的资产组合。多余的资金可以购 买股票等风险资产。根据零息票债券得到的折现 因子如下 1 2 时点 折现因子 0.9091 0.800 3 0.7143 4 0.6250