附息债券久期计算
久期与远期利率协议
久期（Duration），也叫持续期。
一、概述1．久期概念：债券所有现金流量发生时间的加权平均值，即衡量债券持有者收到现金付款之前平均需要等待多长时间。
2．权重的概念：Wt：表示某一时刻现金流量的现值与债券价格之比。
Wt=，PV现值，CFt（cash flow）3．久期表达式：===D4．久期概念的用途：考察债券价格对利率变动的敏感性的衡量指标，具体说，久期是债券价格变化与债券到期收益率变化的比例系数。
证明：∵P=（1）对（1）式相对于t求一阶导数可得= —（2）将（2）两边同除以价格P，得：×= = —，同时可得：= —D假定收益率曲线平滑，r在中短期内变化微小。
= —D×（）（3）∴D是反映收益变化影响债券价格变化的比例系数，公式负号表示利率上升，债券价格下跌,反之，则上涨。
5．修正久期的概念：定义修正久期为D*=△P= —D*×P×△r (4)二、基于久期的套期保值策略1、套期保值比率HR的确定套期保值所需合约数（张）=×到期日调整系数×加权系数到期日调整系数=举例加权系数有三种：1、转换系数模型；2、回归模型；3、久期系数1、转换系数模型：现货债券如果恰恰是最便宜可交割债券，用这种方法较为理想。
原因：期货市场价格变动与最便宜可交割债券价格变动一致。
缺点：（1）、现货需要保值的债券恰恰是最便宜可交割债券，偶然性大，不被广泛使用。
（2）、最便宜可交割债券随时都在变化，用CF作系数不实用。
2、回归模型：将期货价格与现货价格变化的历史数据作回归分析，以回归线的斜率β作为对冲系数，此方法可以作为套期保值比率系数的一个补充，一个参考。
缺点：（1）新发行债券没有历史数据（2）衍生债券也没有历史数据。
久期值模型：△Ps= —Ds*×Ps×△r (1)△Pf= —Df*×Pf×△r (2)△Ps= △Pf×HR (3)将（1）、（2）代入（3）式得：—Ds*×Ps×△r= —Df*×Pf×△r×HRHR=举例：某投资者持有1500万美元的美国国债现货债券，到期日2018年，息票利率11%，担心近期利率上涨，拟用长期国债期货套期保值，求卖出国债期货的合约数量？已知：Ds* =9.8年，Df*=10.64年，Ps =118.5，Pf =92-16HR==1.18，卖出期货合约数量=×1.18=177张三、久期值的计算1、列表法，求D 麦考莱（Macaulay）1938年，D*=（见书P119）2、封闭式久期计算法D麦=C为年利率，F为面值，r为到期收益率，n为债券剩余期限付息次数，P债券价格举例：见书表4.5已知：F=100，C=10，n=3×2=6，r=0.12年（半年为0.06）D麦= =5.32（半年）D1年麦＝＝2.66年3、有效久期计算法（1）、1996年弗兰克法波齐（Frank Fabozi）（2）、有效久期≈D* (条件：收益率发生很小变动，收益率曲线平滑)（3）、计算公式D有效＝P_ 指收益率下降x个基点债券价格P+ 指收益率上升x个基点时债券价格R_ 指初始收益率减去x个基本点R+ 指初始收益率加上x个基本点P0 指债券初始价格举例：某债券剩余期限为8年，息票利率9.5％，半年付息一次，现价90，到期收益率11.44％，我们用到期收益率5个基点的变化来计算有效久期，即①当收益率为11.44％＋0.05％，P+＝89.77；②当收益率为11.44％－0.05％，P－＝90.25D有效＝＝＝5.33用封闭公式计算D麦来验证。
债券久期和凸性的计算方法探讨
是 投 资者执行 各 种债券 投 资策略 和套 期保值 策 略的重 要基础 Ｌ ５ Ｊ 。 商 学 院学生在 学 习银行 管理 和投
，
资方面 的课程 时通 常 都有关 于久 期 和 凸性 的 内容 。
然 而 ，笔者 在 教学 实践 中发现 ，为 数不 少 的 同学都
期 会涉 及 有 “ 麦考 利久 期 ”和 “ 修 正久 期 ” 的双重
使 用 ；另 一方 面 ， 凸性 的概念 带有 较 强 的技 术 性 ， 在 同学们 缺乏 对 这些概 念 的感 性认 识 时 ，很难 做 到 透 彻理 解这 些概念 ，更 不用 说灵 活运用 。
利率 变化 也 会存 在 不 同 。因此 ，现 有教 材 上将 修 正 久期 直接 写成对 麦考 利 久期 的 一个 修正 ，这 会严 重 误 导 同学们对 修 正 久期 的理 解 ！最 后 ， 由于修 正 久
由于债券 的价 格 收益率 曲线 的形 状是 凸形 的 ， 如图１ 所 示 。这 种 凸形特 征 决定 了 当利 率变 化 幅度较 大 的
情 况 下 ，修 正久期 并 不 能完全 抓 住利 率变 化 所导 致
的债券 价 格 的变化 。在这 种情 况 下 ，为 了更 准确 衡
［ 收 稿 日期】 ２ ０ １ ２—０ ４—１ １ ［ 基 金项 目］ 国家 自然科 学基金 青年 项 目 （ ７ １ １ ０ １ ０ １ ９ ） ） ；教育 部博 士点基 金项 目 （ ２ ０ １ ０ ０ １ ７ ５ １ １ ０ ０ １ ７ ） ：中央高 校基 本科 研业 务 费 （ Ｚ ＹＧ Ｘ２ ０ ０ ９ Ｊ １ １ ７ ） ［ 作 者简 介］ 蒋 崇辉 （ １ ９ ８ ０一 ）博 士 ，电子科 技 大学经 济与 管理 学 院教师 ；马 永开 （ １ ９ ６ ３一 ）博士 ， 电子科技 大 学经济 与 管理学 院教 授．
公司金融债券利率的计算
付息票债券
贴现债（零息票债券 ） (1)T F
P y =+
息票累积债券（一次还本付息）根据情况确定，若说明按复利计算利息，就按复利；若没有说明，则按单利计算利息。
（二） 对处于最后付息周期的附息债券、贴现债券和剩余流通期限在一年以内（含一年）的到期一次还本付息债券，到期收益率计算公式为：
到期收益率 = （到期本息和-债券买入价）/（债券买入价*剩余到期年限）*100%
具体来说：
1、附息票债券
到期收益率=（债券年利息+债券面值-债券买入价）/（债券买入价*剩余到期年限）*100%
2、息票累积债券（一次还本付息债券）到期收益率的计算 到期收益率=[债券面值（1+票面利率*债券有效年限）-债券买入价] /（债券买入价*剩余到期年限）*100%
3、贴现债券（零息债券）到期收益率的计算
1t =
到期收益率=（债券面值-债券买入价）/（债券买入价*剩余到期年限）*100%
债券利率（贴现率）=[（面值-发行价）/（发行价*期限）]*100%
贴现债券的转让价格=面额-面额×{[(期限-持有天数)/360]×年贴现率}
计算到期收益率等收益率，1年都是按365天来计算；只有贴现率按一年360天计算。
上海财经大学证券投资学讲义 (4)
5
（二）利率期限结构及估计 利率期限结构——不同期限零息债券的到期收益 利率期限结构 不同期限零息债券的到期收益 率曲线。 率曲线。 息票剥离法——是将附息债券剥离成若干个零息 息票剥离法 是将附息债券剥离成若干个零息 债券， 债券，附息债券的价值就等于剥离后的若干个零 息债券的价值之和。 息债券的价值之和。
14
三、利率期限结构理论
（一）无偏预期理论 无偏预期理论认为远期利率是人们对未来即期利率 预期的普遍预期， 预期的普遍预期，如果人们预期未来的即期利率相 对于现在的即期利率会上涨， 对于现在的即期利率会上涨，则利率期限结构是向 上倾斜型的； 上倾斜型的；如果人们预期未来的即期利率相对于 现在的即期利率会下跌， 现在的即期利率会下跌，则利率期限结构是向下倾 斜的。 斜的。 用无偏预期理论能很好的解释利率期限结构的这三 种形状，但很难解释利率期限结构呈现的隆起形状。 种形状，但很难解释利率期限结构呈现的隆起形状。 同时一些学者的研究发现， 同时一些学者的研究发现，现实中的利率期限结构 一般以向上倾斜居多， 一般以向上倾斜居多，而按照无偏预期理论很难给 以解释。 以解释。
Dmac = PVCF4 0 0 0 = ×1 + ×2+ ×3+ ×4 ∑ PVCFt ∑ PVCFt ∑ PVCFt ∑ PVCFt PVCF4 ×4 = 4 PVCF4
20
y
3、永续债券的久期 永续债券（ Bond） 永续债券（Perpetual Bond）是一种每年均 会支付固定利息，但却永远不偿还本金， 会支付固定利息，但却永远不偿还本金，永 无到期日的债券。 无到期日的债券。 永续债券的久期公式： 永续债券的久期公式：
期限（ 期限（年） 面值（ 面值（元） 1 4 2 4 3 4 4 4 5 104
久期以及久期应用
久期以及久期应⽤久期全称麦考雷久期,也称持续期，是1938年由 F. R . M a c a u l a y 提出的。
它是以未来时间发⽣的现⾦流，按照⽬前的收益率折现成现值，再⽤每笔现值乘以其距离债券到期⽇的年限求和，然后以这个总和除以债券⽬前的价格得到的数值..数学定义 如果市场利率是Y，现⾦流（X1,X2,...,Xn）的麦考雷久期定义为：D(Y)=[1*X1/(1+Y)^1+2*X2/(1+Y)^2+...+n*Xn/(1+Y)^n]/[X0+x1/(1+Y)^1+X2/(1+Y)^2+...+Xn/(1+Y)^n] 即 D=(1*PVx1+...n*PVxn)/PVx 其中，PVXi表⽰第i期现⾦流的现值，D表⽰久期。
例⼦：假设有⼀债券，在未来n年的现⾦流为（X1,X2,...Xn），其中Xi表⽰第i期的现⾦流。
假设现在利率为Y0，投资者持有现⾦流不久，利率⽴即发⽣变化，变为Y，问：应该持有多长时间，才能使得其到期的价值不低于现在的价值？ 通过下⾯定理可以快速解答上⾯问题。
定理：PV(Y0)*(1+Y0)^q<=PV(Y)(1+Y)^q的必要条件是q=D(Y0)。
这⾥D(Y0)=(X1/(1+Y0)+2*X2/(1+Y0)^2+...+n*Xn/(1+Y0)^n)/PV(Y0) q即为所求时间，即为久期。
上述定理的证明可通过对Y导数求倒数，使其在Y=Y0取局部最⼩值得到。
（容易）在债券分析中，久期已经超越了时间的概念，投资者更多地把它⽤来衡量债券价格变动对利率变化的敏感度，并且经过⼀定的修正，以使其能精确地量化利率变动给债券价格造成的影响。
修正久期越⼤，债券价格对收益率的变动就越敏感，收益率上升所引起的债券价格下降幅度就越⼤，⽽收益率下降所引起的债券价格上升幅度也越⼤。
可见，同等要素条件下，修正久期⼩的债券⽐修正久期⼤的债券抗利率上升风险能⼒强，但抗利率下降风险能⼒较弱。
正是久期的上述特征给我们的债券投资提供了参照。
债券久期综合实验
金融学院金融实验教学示范中心
金融实验分析——金融计算与SAS
麦考雷 (Macaulay)久期的计算公式：
麦考雷久期(以期间计)=
1 PVCF1 2 PVCF2 3 PVCF3 ..... n PVCFn TPV
麦考雷久期(年)=麦考雷久期(以期间计)/k 其中： PVCFt为以t期对应的市场普遍收益率进行贴现得到的 债券在第t期的现金流现值； n为债券持有期内现金流的期间总数； TPV为债券各期现金流的总现值; k为每年支付现金流的次数。 金融学院金融实验教学示范中心
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金融实验分析——金融计算与SAS 债券组合的久期 债券组合的久期计算公式： 债券组合的久期= W1D1 其中：
Wi 债券i市值总和在债券组合市值总和中所占的比重；
Di 债券i的久期；
示范中心
金融实验分析——金融计算与SAS
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金融实验分析——金融计算与SAS
实验步骤和提示
久期函数定义 （ 1）输入（参数） 面值，票面利率，到期收益率，到 期年限 （ 2）输出 （返回值） 麦考雷久期
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金融实验分析——金融计算与SAS
实验步骤和提示
久期函数定义 （ 3）处理： 循环总共（2*到期年限）次 计算 pvcf(i) 累加分子 累加分母 循环结束 计算久期并返回 金融学院金融实验教学示范中心
债券久期计算实验
一、久期回顾 二、久期计算实验内容
三、实验步骤和提示
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金融实验分析——金融计算与SAS
债券久期计算实验
一、久期回顾 二、久期计算实验内容
三、实验步骤和提示
债券估值,利率期限结构,久期和凸性
债券价值评估模型
零息债券定价模型
零息债券(zero-coupon bonds)
-持有期间不支付利息，只在到期时偿付本金； -债券的发行价格和面值之间的价值，代表持有人在持有期间的收益；
PV买价
Fபைடு நூலகம்面值
零息债券估值的基本模型
PV(1F rV)n
债券价值评估模型
零息债券的价值计算
【例】假设面值为1000元、期限为2年的零息债券，如果投 资者的预期年收益率是8%，那么该债券的内在价值是多少？
( 1 y 2 ) 2 ( 1 y 1 ) ( 1 E ( r 2 ) )
第1年投资（已知）
第2年投资（预期）
根据远期利率公式有
(1y2)2 (1y1)(1f2)，则 E(r2)f2
利率的期限结构
(1 y3)3 (1 y2 )2 (1 f3) (1 y2)2(1 E(r3))
f3 E(r3)
利率的期限结构
3. 流动性溢酬理论（the liquidity preference theory） ◆ 理论内容：
通过对债券的考察，可以看到由于通货膨胀和将来利率的不确定性，即使是无违约风险 的债券也存在风险。这些风险是理解债券收益率曲线的关键。债券持有者面临着通货膨胀和 利率的风险。债券的期限越长，这两种风险就越大。既然一些债券的持有者想要在债券到期 之前出售债券，那么就存在利率风险。这些投资者要求对于他们购买的长期债券所承担的风 险进行补偿。正如在通货膨胀的情形下，到期时间越长，风险越大，因此补偿也必须随之上 升。流动性溢价理论是预期理论与分割市场理论结合的产物。
1 r n n1 0 f1 1 1 f21 2 f3 1 n 1 fn 流动性
利率的期限结构
久期与债券
2011-10-141CH04 利率风险的度量
本节要点•久期•凸度•久期和凸度公式推导•久期和凸度的经济意义
价格和收益率关系BondCouponMaturityInitial YTM
A12%5 years10%B12%30 years10%C3%30 years10%D3%30 years6%
ABCDChange in yield to maturity (%)
0
期限越长的债券价格的利率敏感性越大–ex.ABC–票面利息($)909090–面值1,000 1,000 1,000–Moody's RatingAaAaAa–期限5 yrs. 10 yrs. 15 yrs.–YTM9%10%11%–价格1,000939856–Let yields decrease by 10% (8.1%, 9%, and 9.9% respectively).
––新价格:1,0361,000931–%Price change:3.6%6.6%8.8%
债券期限长度和利率风险•债券期限越长，利率风险越大
$0$50$100$150$200$2500%2%4%6%8%10%12%14%16%RatePrice10 Year20 Year5 Year
鱼和熊掌？？债券期限票面利率面值A58%100B1010%100C1513%100
A？B?C?2011-10-142一个简单例子：•李同学向张同学借了1000元钱，没有说明什么时候还。张同学除了担心李能否还钱（本金安全）外，还担心什么？•李同学承诺三个月内还钱。有三种方式让张同学选：A、三个月后一次性还1000元；B、第一个月末还200，第二个月末还300，第三个月末还剩下的500；C、每个月末平均还1000/3元。从资金安全的角度看，张同学会选哪种？久期(Duration)•久期(duration) ：将所有影响债券利率风险的因素全考虑进去，形成一个经过修正的投资标准期限，用以衡量债券价格的利率风险程度。该标准期限越短，债券对利率的敏感度越低，风险越低；该标准期限越高，债券对利率的敏感度越高，风险亦越大。
凸性与债券价格非付息期的计算
一.久期与凸性1、久期（仅针对分次附息债券.一次还本债.贴现债久期=剩余期限）（1） 久期含义：与剩余期不同，它指债券未来一系列现金流入的平均到期时间，即完全收回本金利息的加权平均年数。
可从期限角度反映债券价格对利率（贴现率）变化反应弹性。
简化公式 （2）Macaulay 久期计算 D=1()()=⨯∑Tt PV ct tPD 1=1×[C 1/(1+r)]/p 0+2×[C 2/(1+r)2/p 0]+….+n ×[(C n +p n )/(1+r)n]/p 0当每次现金流相同,公式简化为:D 1=011/(1)()(1)-+--+〈〉⨯nr cn n r p r r每年一次现金流D 1=22011/(1/2)/22()2(1/2)/2-+--+〈〉⨯nr c n n r p r r 半年一次现金流 甲债券,3年为期,年息票80元,面值1000元,到期收益率10%,现市价950.24元.求久期?D 1=1×[80/(1+0.1)]/950.24+2×[80/(1+0.1)2/950.24]+3×[(80+1000)/(1+0.1)3]/950.24 =1×0.0766 +2×0.0696+3×0.8539=2.78年（3）修正久期: D 2 = D 1/1+r(差异在于D 1用连续复利, D 2用离散复利,常用后者) (4) Fisher —w eil 久期:D 3 =1×[C 1/(1+r 1)]/p 0+2×[C 2/(1+r 1)(1+r 2)]/p 0]+….+n ×[(C n +p n )/(1+r 1)(1+r 2)…(1+r n )]/p 0(差异在于r 随时而变) r 1、r 2…r n 用期限结构曲线计算。
组合D=1=∑ni it W D11==∑nit W其它久期计算:永久年金债券D=(1+ r)/ r固定年金债券D=[(1+ r)/r]－T/[(1+ r)T－1]T-年金支付次数 r-年金率带息债D=(1+ r)/r －{(1+ r)＋T(c －r)/c[(1+ r)T－1]＋r}c-每个付息期间息率 T-利息支付次数债券以面值出售时, D=[(1+ r)/r][1－1/(1+ r)T] 2.久期性质1)零息债息债久期=到期期限,有息债久期<到期期限 2)距到期日时间一定时,息票率越低,其久期越长, 3)当息票率一定时, 久期随距到期日时间延长而延长 4)其它因素不变, 到期收益率越低, 其久期越长, 3．久期与债券价格变化关系D 1 =1∆-+r r /∆PP ∆P P =11∆-+r D r ∆P P= —D 2×∆r 例: 乙债券, D 1为10年,到期收益率8%,现市价1000元.如r 由8%上升到9%,市价为多少?∆P P=11∆-+r D r = －10×((0.09－0.08)/1+0.08 = －9.26%∆P = －10×((0.09－0.08)/1+0.08×1000 =－92.6元P ＋∆P =1000－92.6 =907.4元4．债券凸性（1） 凸性定义；价格收益曲线弯曲度量值收益率图中切线表示为：p(r+∆r )=p(r)+(dp/dr)∆r因dp/dr =—D 2×p(r) 故：p(r+∆r )=p(r)—D 2×p(r)∆r—D 2×p(r)为曲线的斜率，斜率与修正久期关联。
债券价格计算与分析
债券价格计算与分析债券作为一种固定收益类投资品种，是投资者非常常见的选择之一。
债券价格的计算和分析对于投资者来说十分重要，因为它可以提供投资决策的依据。
本文将介绍债券价格的计算方法，并通过分析债券价格的影响因素，为投资者提供债券投资的参考。
计算债券价格的方法主要有两种，分别是久期法和现金流量法。
久期法是根据债券的久期来计算价格。
久期是债券的平均期限，它反映了债券在现金流量的时间上的权重分配。
久期越长，价格对利率的敏感度越大。
久期法的计算公式为：债券价格 = 现金流量的现值之和现金流量的计算需要考虑债券的期限、票面利率和市场利率等因素。
债券的期限越长，现金流量越多，价格越高。
票面利率越大，每期的现金流量越多，价格越高。
市场利率越低，每期的现金流量的现值越高，价格越高。
因此，久期法计算债券价格时需要考虑债券的现金流量和市场利率的变化。
现金流量法则是根据债券的现金流量来计算价格。
现金流量法的核心思想是将每期的现金流量贴现到现值，再相加得到总价值。
现金流量法计算债券价格的公式如下：债券价格 = 票面金额 / (1+市场利率)^1 + 票面金额 / (1+市场利率)^2 + ... + 票面金额 / (1+市场利率)^n其中，票面金额是债券的面值，市场利率是投资者的要求报酬率，n为债券的期数。
久期越长，价格对利率的敏感度越大。
市场利率越低，每期的现金流量的现值越高，价格越高。
除了久期和现金流量之外，还有一些其他因素也会影响债券价格。
一是到期期限，债券的到期期限越长，其风险越大，价格会相应降低。
二是流动性，流动性越高的债券，价格越高。
三是发行人信用，发行人信用越好，风险越低，价格越高。
在具体分析债券价格时，投资者还可以关注债券的久期变动和凸度。
久期变动指的是当利率发生变化时，债券价格的变动情况。
久期越长，债券价格对利率的敏感度越大。
凸度是评估久期变动的程度，凸度越大，久期变动的影响越大。
在实际投资中，投资者可以根据债券价格的计算和分析，制定相应的投资策略。