《弹性力学》第六章温度应力问题的基本解法.
弹塑性力学应力函数解法详细讲解
1 x y E 1 y y x E 21 代入到本构方程 xy xy E
x
x xy fx 0 x y xy x y y fy 0
f f 2 x y x y
V x V F y y F x
式子中的V为体力势函数。 同样可以引进一个airy函数，使得他满足下面的 关系式 2 x V 2
y
此时微分方程自动满足
y
xy
2 V x 2 2 xy
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弹塑性平面问题的应力函数解法
相容方程可简化为
( x y ) 0
2
引进函数 ，使得它 满足如下的关系式
x, y
2 2 4 0 4 x x y y
4 4 4
x 2 / y 2 y 2 / x 2 xy 2 / xy
其中是拉普拉 斯算子
2 2 2 x 2 y 2 z 2
• 将airy函数代入平衡微 分方程，则平衡方程 自动满足，代入应变 协调方程 得到
上式可简化为
0
4 2 2
弹塑性平面问题的应力函数解法
2. 体力为有势的情况 即 代入平面微分方程化为
( x V ) xy 0 x y xy ( y V ) 0 x y
Z
将上式 代入本构方程得平 面 方程
应力问题中的物理方程即
1 x y E 1 y y x E
应变问题中的物理
x
1 xy G E 其中G 21
xy
1 2 x ( x y) E 1 1 2 y ( y x) E 1 21 xy xy E z xz yz 0
弹性力学第六章
介绍温度应力的基本 概念及其求解过程
温度应力基本概念
物体表面和内部温度发生变化会引起物体膨 胀与收缩
¾ 若物体不受任何阻力，则不引起内力；但物 体与外界总有接触，它的某一部分的伸缩受到 限制，产生阻止自由伸缩的内力—热应力； ¾ 物体内部单元间的变形不能任意，互相之间 有约束—产生阻止自由伸缩的内力—热应力；
−
Eα [
b
Trdr
+
A] + C
=0
a2
b2 a
∫ ∫ A = a 2
b
Trdr ,
C=
Eα
b
Trdr
b2 − a2 a
b2 − a2 a
∫ ∫ σ r
=
Eα r2
[r2 b2
− a2 − a2
b
r
Trdr − Trdr]
a
a
∫ ∫ σθ
=
Eα [ r 2 r2 b2
+ a2 − a2
b
Trdr
+
荷，则满足相容方程的应力函数可以取为：
ϕ = cy 2
相应地，应力分量为：
σ ′x′
=
∂ 2ϕ ∂y 2
=
2c
σ
′y′
=
∂ 2ϕ ∂x 2
=
0
τ ′x′y
=
−
∂ 2ϕ ∂x∂y
=
0
总的应力分量为：
σ
x
=σ
′x
+σ
′x′
=
2c
−
EαT0 (1 −
y2 b2
)
σ y = σ ′y + σ ′y′ = 0 τ xy = τ ′xy + τ ′x′y = 0
温度应力问题
K=
1+ ν α∆T 4(1 − ν )
2GK (2 ln b − 2 ln r − 1) ln b − ln a
d 2 T 1 dT 1 d dT ∇ T= 2 + = r r dr r dr dr dr
2
=0
•
•
其通解为
T=C1lnr+C2 lnr+C
• 边界条件
(T )r =a = Ta′ − T0 = Ta
Tb − Ta C1 = ln (b a )
(T )r =b = Tb′ − T0 = Tb
• 不满足边界条件
(σ ′r )r = a
1 = −2GK 2 + = − q1 ln b − ln a
2GK = −q 2 ln b − ln a
(σ ′r )r =b = −
• 求齐次解：在圆筒内外壁分别受均匀拉力q1和q2 • 最终解为
2 αETa ln b − ln r b 2 − r 2 a σr = − − ln b − ln a b 2 − a 2 r 2(1 − ν )
∂v ∂u ∂v ∂v ∂v ∂w αE∆T λθl + G l + m + n + G l + m + n − m=0 ∂x ∂y ∂y ∂z ∂y ∂y 1 − 2ν
∂w ∂w ∂w ∂v ∂w αE∆T ∂u λθl + G l+ m+ n + G l + m + n − n=0 ∂x ∂y ∂z ∂z ∂z ∂z 1 − 2ν
弹性力学的应力分析与优化
弹性力学的应力分析与优化弹性力学是一门研究物体在受力作用下的变形和恢复性质的学科。
在工程领域中，弹性力学的应用十分广泛，特别是在结构设计和材料优化方面。
本文将探讨弹性力学中的应力分析与优化方法。
一、应力分析弹性力学的应力分析研究了物体在受力作用下的应力分布情况。
应力是物体内部分子间相互作用的结果，是描述物体抵抗外力的能力的物理量。
应力在弹性力学中分为三种类型：拉应力、剪应力和压应力。
拉应力（tensile stress）是指物体在受拉力作用下产生的应力，通常用符号σ表示。
拉应力的计算公式为：σ = F / A其中，F为物体上的拉力，A为物体上受力截面的面积。
拉应力越大，物体的变形程度越大。
剪应力（shear stress）是指物体在受剪力作用下产生的应力，通常用符号τ表示。
剪应力的计算公式为：τ = F / A其中，F为物体上的剪切力，A为物体上受力截面的面积。
剪应力越大，物体的变形程度越大。
压应力（compressive stress）是指物体在受压力作用下产生的应力，通常也用符号σ表示。
压应力的计算公式与拉应力相同，即：σ = F / A不同的是，压应力与拉应力的方向相反。
压应力越大，物体的变形程度越大。
在应力分析过程中，我们可以通过解析法或数值模拟法来求解物体内部的应力分布情况。
解析法主要适用于简单几何形状的物体，例如直杆或简支梁。
数值模拟法则可以用来求解复杂几何形状的物体，例如复杂结构的建筑或机械零件。
二、优化设计在弹性力学的应用中，我们常常需要通过优化设计来提高物体的性能或减少材料的使用量。
优化设计旨在寻找最优的结构形式或材料参数，使得物体在给定的约束条件下达到最佳的性能指标。
优化设计可以分为两种类型：形状优化和拓朴优化。
形状优化主要是通过改变物体的几何形状来优化结构。
例如，在某一受力部位增加材料的厚度或减小切削孔的直径，以提高物体的刚度或承载能力。
形状优化的方法有很多，包括拟合法、参数法和拓扑有机化等。
弹性力学热应力
第一节 温度场与热传导的基本概念 第二节 热传导方程 第三节 温度场的边值条件 第四节 按位移求解温度应力的平面问题 第五节 微分方程的求解 第六节 轴对称温度场平面热应力问题 第七节 稳定温度场的差分解 第八节 应力函数差分解
第一节 温度场与热传导的基本概念
当弹性体的温度变化时，其体积将会有改变的 趋势，但是弹性体受外在约束及其本身各部分之间 的相互约束，这种体积改变的趋势不能自由地发生， 从而产生应力，称为温度应力。
为了能够求解热传导微分方程，从而求得温 度场，必须已知物体在初始瞬间的温度分布，即 所谓初始条件，同时还要知道初始瞬间以后物体 表面与周围介质之间热交换的规律, 即所谓边界 条件。二者合成边值条件。
初始条件一般表示如下：
(T)t=0=f(x,y,z)
边界条件有四种形式： 第一类边界条件 已知物体表面上任 一点在所有瞬间的温度，即：
函数φ（x,y），使
u' v'
x
y
u.’v’为微分方程的特解。
代入微分方程（14）并化简得：
x33 x3y2
(1)T
x
3 3 (1)T
y3 yx2
x
即为
(22)(1)T
x x2 y2
x
(22)(1)T
y x2 y2
y
又u.v都是常量，所以取：
22(1)T
(16)
x2 y2
时， φ（x,y）满足(14)式，因此可以作为微分方 程(14)的一组特解。
Ts=f(t) 其中Ts表示物体表面的温度。
第二类边界条件 已知物体表面上任一点 点处的法向热流密度，即：
(qn)s=f(t)
第三类边界条件 已知物体边界上任一点在
弹性力学简介及其求解方法
弹性力学简介及其求解方法2010-08-27弹性力学简介及其求解方法弹性力学又称弹性理论，是固体力学的一个分支，是研究弹性体由于外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。
确定弹性体的各质点应力、应变和位移的目的就是确定构件设计中的强度和刚度指标，以此用来解决实际工程结构中的强度、刚度和稳定性问题。
材料力学、结构力学三门学科所研究的内容和目的相同，但是研究对象和研究方法不同。
材料力学研究对象是杆状构件，结构力学是在材料力学基础上研究由多杆构成的杆系结构的强度和刚度问题。
而对于一般弹性实体结构，如板与壳结构、挡土墙与堤坝、地基以及其他三维实体结构来说，相应的强度和刚度问题要用弹性理论的方法来解决。
在研究方法上，弹性力学和材料力学都从静力学、几何关系、物理方程三方面着手来进行分析，但不同点是材料力学常借助于直观和实验现象做一些假设。
在具体问题计算时材料力学与结构力学都利用解决单一变量的常微分方程，在数学上求解容易。
弹性力学需解决的是满足边界条件的高阶多变量偏微分方程，在数学上求解困难，一般弹性体问题很难得到解析解。
所以，与材料力学相比，弹性力学的研究对象更加广泛，研究方法更加严密，能解决更加复杂的实际问题，因此需要用较多的数学工具。
弹性力学问题可以归结为边值问题：在弹性体内必须满足基本方程，即平衡微分方程、几何方程和物理方程；在应力边界上应满足应力边界条件；在位移边界上应满足位移边界条件；在混合边界上应满足相应的应力边界和位移边界条件。
满足基本方程的解答叫做弹性力学解；既满足基本方程，又满足边界条件的解答叫做弹性力学问题的解。
在求解弹性力学问题时，通常已知的是物体的形状、尺寸、约束情况和外载荷以及材料的物理常数。
需要求解的是应力、应变和位移，它们都是物体内点的坐标的函数。
对于空间问题，一共有15个未知函数：3个位移分量、6个应变分量和6个应力分量。
可利用的独立方程也有15个，即3个平衡微分方程、6个几何方程和6个物理方程。
弹性力学 第六章 简单问题
(7b)
代入侧面应力边界条件(2c)重的第一、二式得
[λ(b − 2a) − 2µa]ν x = 0 [λ(b − 2a) − 2µa]ν y = 0
(8)
第三式恒为零。由(6.1.8)式得到
a
=
λ
2(λ +
µ)b
= νb
(9)
ν 是 Possion 比。再由上底应力边界条件(2a)式得
ν
Tz
= σ zz
=
λ(b − 2a) + 2µb
(10)
用 (9) 式，并利用杨氏模量的定义得
60
第六章 简 单 问 题
σ zz
=
(3λ + 2µ)µ
λ+µ
b
=
Eb
上底的边界条件应写成(3b’), 故可设
σ zz
=
P A
由(11)式，有
b= P EA
式中
E = (3λ + 2µ )µ
λ+µ
利用(9)(13)和(5)式得到位移表达式为
=
M Jz
y,
ν
ν
Ty =Tz =0
⑵
满足
ν
ν
∫∫T xdA = 0, ∫∫T x ydA = M
⑶
A
A
61
第六章 简 单 问 题
求位移：由 Hooke 定律(4.1.7b)式得
e xx
=
M EJ z
y
e yy
= − νM EJ z
y
⑷
e zz
= − νM EJ z
y
exy = eyz = ezx = 0
引起的位移和应力？
6-3 一弹性体受一对大小相等方向相反的力 P 的作用，求其引起的体积缩小。
弹性力学热应力完美版PPT
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节
温度场与热传导的根本概念 热传导方程
温度场的边值条件 按位移求解温度应力的平面问题
微分方程的求解 轴对称温度场平面热应力问题 稳定温度场的差分解 应力函数差分解
第一节 温度场与热传导的根本概念
当弹性体的温度变化时，其体积将会有改变的 趋势，但是弹性体受外在约束及其本身各局部之间 的相互约束，这种体积改变的趋势不能自由地发生， 从而产生应力，称为温度应力。
如 图 取 微 小 六 面 体 如边界是绝热边界或对称轴，(qx)0=0,前二式可化简为：
第二节 热传导方程
dxdydz,假定该六面体的 第四类边界条件 以知两物体完全接触，并以热传导方式进行热交换。
(qn)s=β(Ts-Te)
即
T=T〔x,y,z,t〕
一般说来，温度场是位移和时间的函数。
u = u’+ u’’
温度在dt时间内升高了
T t
，
它所积蓄热量是
T ρc dxdydz dt ,
t 其中ρ是物体密度，c是比热容。
在时间dt内，由六面体ABA’B’ 面传入的热量 为qxdxdydzdt ,由CDC’D’面传入的热量为
(qxqxxdx)dydzdt
传入的静热量为：
由式
qx dxdydzdt x
qx
T
由式〔1〕和〔4〕知
q T
n
热流密度在坐标轴上的投影
qx
Tc
n
ons,x()
qy
Tcons,y()
n
(6)
qz
Tcons,z()
n
式〔6〕与式〔2〕比较得
qx
T x
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t
在同一段时间dt内，由六面体左面传入热量qxdydzdt， 由右面传出热量 (qx qx dx )dydzdt 。因此，传入的净热量为
x
将 q x
T 代入可见： x
q x dxdydzdt x
2T 2 dxdydzdt x 2T dydzdxdt 2
y 2T dzdxdydt z 2
由左右两面传入的净热量为： 由上下两面传入的净热量为： 由前后两面传入的净热量为：
2T 2T 2T 因此，传入六面体的总净热量为： ( x 2 y 2 z 2 )dxdydzdt
简记为：
2Tdxdydzdt
假定物体内部有正热源供热，在单位时间、单位体积供 热为W，则该热源在时间dt内所供热量为Wdxdydzdt。
当弹性体的温度变化时，其体积将趋于膨胀和收缩，若 外部的约束或内部的变形协调要求而使膨胀或收缩不能自由 发生时，结构中就会出现附加的应力。这种因温度变化而引 起的应力称为热应力，或温度应力。 忽略变温对材料性能的影响，为了求得温度应力，需要 进行两方面的计算：（1）由问题的初始条件、边界条件， 按热传导方程求解弹性体的温度场，而前后两个温度场之差 就是弹性体的变温。（2）按热弹性力学的基本方程求解弹 性体的温度应力。本章将对这两方面的计算进行简单的介绍。
Ts Te
§6-4
按位移求解温度应力的平面问题
设弹性体内各点的温变为T。对于各向同性体，若不受约束，则弹性体 内各点的微小长度，都将产生正应变 T （ 是弹性体的膨胀系数），这样， 弹性体内各点的形变分量为
x y z T , yz zx xy 0
但是，由于弹性体所受的外在约束以及体内各部分之间的相互约束，上 述形变并不能自由发生，于是就产生了应力，即所谓温度应力。这个温度应 力又将由于物体的弹性而引起附加的形变，如虎克定理所示。因此，弹性体 总的形变分量是：
根据热量平衡原理得：
c T dxdydzdt 2Tdxdydzdt Wdxdydzdt x
T 2 W T t c c
化简后得： 记 则
a
c
T W 2 a T t c
这就是热传导微分方程。
§6-3
温度场的边值条件
为了能够求解热传导微分方程，从而求得温度场，必须已知物体在 初瞬时的温度，即所谓初始条件；同时还必须已知初瞬时以后物体表面 与周围介质之间热交换的规律，即所谓边界条件。初始条件和边界条件 合称为初值条件。
取 n0 为等温面法线方向且指向增温方向的单位矢量，则有
△T n0
T n
（1）
4.热流速度：在单位时间内通过等温面面积S 表示。
dQ 的热量。用 dt
热流密度：通过等温面单位面积的热流速度。用 q 表示， 则有
q n0 dQ /S dt
(2)
其大小为
q dQ /S dt
5.热传导基本定理：热流密度与温度梯度成正比而方向相反。 即
q △T
(3)
称为导热系数。由（1）、（2）、（3）式得
dQ T / S dt n
可见，导热系数表示“在单位温度梯度下通过等温面单位面积 的热流速度”。 由（1）和（3）可见，热流密度的大小
q T n
热流密度在坐标轴上的投影
q x qy qz T x T y T z
不稳定温度场或非定常温度场：温度场的温度随时间而变化。
即
T=T（x，y，z，t坐标的函数。
即 T=T（x，y，z）
平面温度场：温度场的温度只随平面内的两个位置坐标而变。
y
即
T=T（x，y，t）
2.等温面：在任一瞬时，连接温度场 内温度相同各点的曲面。显然，沿着 等温面，温度不变；沿着等温面的法 线方向，温度的变化率最大。
初始条件： (T )t 0
f ( x, y, z)
边界条件分四种形式：
第一类边界条件 已知物体表面上任意一点在所有瞬时的温度，即
Ts f (t ) (qn ) s f (t )
向。
其中Ts 是物体表面温度。 其中角码 s 表示“表面”，角码n 表示法
第二类边界条件 已知物体表面上任意一点的法向热流密度，即
第六章 温度应力问题的基本解法
§6-1 §6-2 §6-3 §6-4 §6-5 §6-6 温度场和热传导的基本概念 热传导微分方程 温度场的边界条件 按位移求解温度应力的平面问题 位移势函数的引用 轴对称温度场平面热应力问题
§6-1 温度场和热传导的基本概念
1.温度场：在任一瞬时，弹性体内所有各点的温度值的总体。用T表示。
第三类边界条件 已知物体边界上任意一点在所有瞬时 的运流（对流）放热情况。按照热量的运流定理，在单位时 间内从物体表面传向周围介质的热流密度，是和两者的温差 成正比的，即
(qn ) s (Ts Te )
其中Te是周围介质的温度； 称为运流放热系数，或简称热 系数。 第四类边界条件 式进行热交换。即 已知两物体完全接触，并以热传导方
x
T+2△T T T+△T T-△T
o
3.温度梯度：沿等温面的法线方向，指向温度增大方向的矢 T 量。用△T表示，其大小用 n 表示。其中n为等温面的法线方 向。温度梯度在各坐标轴的分量为
T T COS（n ，x） x n T T COS（n ，y） y n T T COS（n ，z） z n
可见：热流密度在任一方向的分量，等于导热系数乘以 温度在该方向的递减率。
§6-2 热传导微分方程
热量平衡原理：在任意一段时间内，物体的任一微小部 分所积蓄的热量，等于传入该微小部分的热量加上内部热源 所供给的热量。 y
qx
qx q x dx x
z
x
取图示微小六面体dxdydz。假定该六面体的温度在dt时 间内由T 升高到T T dt 。由温度所积蓄的热量是 Cdxdydz T dt ， 其中 是物体的密度，C 是单位质量的物体升高一度时所需 的热量——比热容。