专题22 数列中的探究性问题(解析版)

专题22 数列中的探究性问题数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来进行求解，本题的解题思路就是来源于此；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤： ①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．②归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，从而得出原命题结论成立． 一、题型选讲题型一 、数列中项存在的问题例1、(2018无锡期末）已知数列{a n }满足⎝⎛⎭⎫1－1a 1⎝⎛⎭⎫1－1a 2·…·⎝⎛⎭⎫1－1a n ＝1a n ，n ∈N *，S n 是数列{a n }的前n 项和．(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若a p ，30，S q 成等差数列，a p ，18，S q 成等比数列，求正整数p ，q 的值；(3) 是否存在k ∈N *，使得a k a k ＋1＋16为数列{a n }中的项？若存在，求出所有满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由．例2、(2019苏州期初调查）已知数列{a n }的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列{a n }前n 项和为S n ，且满足S 3＝a 4，a 5＝a 2＋a 3. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若a m a m ＋1＝a m ＋2，求正整数m 的值；(3) 是否存在正整数m ，使得S 2mS 2m －1恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由．题型二、数列中的等差数列或者等比数列的存在问题例3、(2018扬州期末）已知各项都是正数的数列{a n}的前n项和为S n，且2S n＝a2n＋a n，数列{b n}满足b1＝12，2b n＋1＝b n＋b na n.(1) 求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2) 设数列{c n}满足c n＝b n＋2S n，求和c1＋c2＋…＋c n；(3) 是否存在正整数p，q，r(p<q<r)，使得b p，b q，b r成等差数列？若存在，求出所有满足要求的p，q，r；若不存在，请说明理由．例4、(2019常州期末）已知数列{a n}中，a1＝1，且a n＋1＋3a n＋4＝0，n∈N*.(1) 求证：{a n＋1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；(2) 数列{a n}中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求满足条件的项；若不存在，说明理由．题型三、数列中的有序实数对的问题例5、(2018苏中三市、苏北四市三调）已知数列{}n a 满足15(1)()2n n n n aa n *+++-=∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）求13a a +的值； （2）若1532a a a +=．① 求证：数列{}2n a 为等差数列；② 求满足224()p m S S p m *=∈N ，的所有数对()p m ，．题型四、数列中的参数的问题例6、(2019苏州期末）定义：对于任意n ∈N *，x n ＋x n ＋2－x n ＋1仍为数列{x n }中的项，则称数列{x n }为“回归数列”．(1) 已知a n ＝2n (n ∈N *)，判断数列{a n }是否为“回归数列”，并说明理由；(2) 若数列{b n }为“回归数列”，b 3＝3，b 9＝9，且对于任意n ∈N *，均有b n <b n ＋1成立． ①求数列{b n }的通项公式；②求所有的正整数s ，t ，使得等式b 2s＋3s ＋1－1b 2s ＋3s －1＝b t 成立．二、达标训练1、已知数列{}n a 的通项公式为27n a n =-，若12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项，则m =____ 2、(2019扬州期末）记无穷数列{a n }的前n 项中最大值为M n ，最小值为m n ，令b n ＝M n ＋m n2，数列{a n }的前n 项和为A n ，数列{b n }的前n 项和为B n .(1) 若数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，求B n .(2) 若数列{b n }是等差数列，试问数列{a n }是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明．3、(2019苏北三市期末）已知数列{a n }满足对任意的n ∈N *，都有a n (q n a n －1)＋2q n a n a n ＋1＝a n ＋1·(1－q n a n＋1)，且a n ＋1＋a n ≠0，其中a 1＝2，q ≠0.记T n ＝a 1＋qa 2＋q 2a 3＋…＋q n －1a n . (1) 若q ＝1，求T 2019的值．(2) 设数列{b n }满足b n ＝(1＋q )T n －q n a n . ①求数列{b n }的通项公式；②若数列{c n }满足c 1＝1，且当n ≥2时，c n ＝2b n －1－1，是否存在正整数k ，t ，使c 1，c k －c 1，c t －c k 成等比数列？若存在，求出所有k ，t 的值；若不存在，说明理由．4、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =-，1320n n a S +++=（*n ∈N ）.（1）求2a ，3a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在整数对(,)m n ，使得等式248n n a m a m -⋅=+成立？若存在，请求出所有满足条件的(,)m n；若不存在，请说明理由.5、(2019南京、盐城一模）已知数列{a n}，其中n∈N*.(1) 若{a n}满足a n＋1－a n＝q n－1(q>0，n∈N*)．①当q＝2，且a1＝1时，求a4的值；②若存在互不相等的正整数r，s，t，满足2s＝r＋t，且a r，a s，a t成等差数列，求q的值；(2)设数列{a n}的前n项和为b n，数列{b n}的前n项和为c n，c n＝b n＋2－3，n∈N*，若a1＝1，a2＝2，且|a2n＋1－a n a n＋2|≤k恒成立，求k的最小值．6、(2017南京学情调研）已知数列{a n}是公差为正数的等差数列，其前n项和为S n，且a2·a3＝15，S4＝16.(1) 求数列{a n}的通项公式．(2) 设数列{b n}满足b1＝a1，b n＋1－b n＝1a n·a n＋1.①求数列{b n}的通项公式；②是否存在正整数m，n(m≠n)，使得b2，b m，b n成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．专题22 数列中的探究性问题数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来进行求解，本题的解题思路就是来源于此；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤： ①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．②归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，从而得出原命题结论成立． 一、题型选讲题型一 、数列中项存在的问题例1、(2018无锡期末）已知数列{a n }满足⎝⎛⎭⎫1－1a 1⎝⎛⎭⎫1－1a 2·…·⎝⎛⎭⎫1－1a n ＝1a n ，n ∈N *，S n 是数列{a n }的前n 项和．(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若a p ，30，S q 成等差数列，a p ，18，S q 成等比数列，求正整数p ，q 的值；(3) 是否存在k ∈N *，使得a k a k ＋1＋16为数列{a n }中的项？若存在，求出所有满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由．思路分析 (1)利用关系式⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n ＝1a n 对一切n ∈N *恒成立，通过赋值，整体处理，将复杂的递推关系式转化为a n 与a n －1的关系式，根据定义可求得数列{a n }的通项公式，这也是处理复杂递推数列关系式常用的方法；(2)利用等差中项、等比中项的性质得到关于正整数p ，q 的方程，通过简单的分类讨论即可解决； (3)本题的难点在于对式子（k ＋1）（k ＋2）＋16＝m ＋1的处理，两边平方得k 2＋3k ＋18＝m 2＋2m ＋1，两边同乘以4得4k 2＋12k ＋72＝4m 2＋8m ＋4，分组配方得(2m ＋2)2－(2k ＋3)2＝63，利用平方差公式因式分解得(2m ＋2k ＋5)(2m －2k －1)＝63，因式分解及一定的代数变形技巧是解决这类不定方程问题的关键． 规范解答 (1) 因为⎝⎛⎭⎫1－1a 1⎝⎛⎭⎫1－1a 2·…·⎝⎛⎭⎫1－1a n ＝1a n ，n ∈N *， 所以当n ＝1时，1－1a 1＝1a 1，所以a 1＝2，(1分)当n ≥2时，由⎝⎛⎭⎫1－1a 1⎝⎛⎭⎫1－1a 2·…·⎝⎛⎭⎫1－1a n ＝1a n 和⎝⎛⎭⎫1－1a 1⎝⎛⎭⎫1－1a 2…⎝⎛⎭⎫1－1a n －1＝1a n －1，两式相除可得1－1a n ＝a n －1a n，即a n －a n －1＝1(n ≥2)，所以，数列{a n }是首项为2，公差为1的等差数列， 于是，a n ＝n ＋1.(4分)(2) 因为a p ，30，S q 成等差数列，a p ，18，S q 成等比数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a p ＋S q ＝60，a p S q ＝182，于是⎩⎪⎨⎪⎧a p ＝6，S q ＝54，或⎩⎪⎨⎪⎧a p ＝54，S q ＝6.(7分) 当⎩⎪⎨⎪⎧a p ＝6，S q ＝54时，⎩⎪⎨⎪⎧p ＋1＝6，（q ＋3）q 2＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝5，q ＝9， 当⎩⎪⎨⎪⎧a p ＝54，S q ＝6时，⎩⎪⎨⎪⎧p ＋1＝54，（q ＋3）q 2＝6，无正整数解， 所以p ＝5，q ＝9.(10分)(3)假设存在满足条件的正整数k ，使得a k a k ＋1＋16＝a m (m ∈N *)，则（k ＋1）（k ＋2）＋16＝m ＋1， 平方并化简得，(2m ＋2)2－(2k ＋3)2＝63，(11分) 则(2m ＋2k ＋5)(2m －2k －1)＝63，(12分)所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋2k ＋5＝63，2m －2k －1＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋2k ＋5＝21，2m －2k －1＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋2k ＋5＝9，2m －2k －1＝7，(14分) 解得m ＝15，k ＝14或m ＝5，k ＝3或m ＝3，k ＝－1(舍去)． 综上所述，k ＝3或14.(16分)例2、(2019苏州期初调查）已知数列{a n }的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列{a n }前n 项和为S n ，且满足S 3＝a 4，a 5＝a 2＋a 3. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若a m a m ＋1＝a m ＋2，求正整数m 的值；(3) 是否存在正整数m ，使得S 2m S 2m －1恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由．思路分析 (1)建立方程组，求出公比和公差，用分段的形式写出{a n }的通项公式． (2)对m 分奇、偶数，根据通项公式和a m a m ＋1＝a m ＋2建立方程，求出m 的值． (3)运用求和公式求出S 2m 和S 2m －1，计算S 2mS 2m －1，通过分析其值只能为a 1，a 2，a 3，分情况讨论，解方程，求m 的值．规范解答 (1)设奇数项的等差数列公差为d ，偶数项的等比数列公比为q. 所以数列{a n }的前5项依次为1，2，1＋d ，2q ，1＋2d.因为{S 3＝a 4，a 5＝a 2＋a 3，所以{4＋d ＝2q ，1＋2d ＝3＋d ，解得{d ＝2，q ＝3.(2分) 所以a n ＝⎩⎨⎧n ，n 为奇数，2·332－1，n 为偶数.(4分)(2)因为a m a m ＋1＝a m ＋2. 1° 若m ＝2k(k ∈N *)，则a 2k a 2k ＋1＝a 2k ＋2，所以2·3k －1·(2k ＋1)＝2·3k ，即2k ＋1＝3，所以k ＝1，即m ＝2.(6分) 2° 若m ＝2k －1(k ∈N *)，则a 2k －1a 2k ＝a 2k ＋1，所以(2k －1)×2·3k －1＝2k ＋1，所以2·3k －1＝2k ＋12k －1＝1＋22k －1.因为2·3k－1为整数，所以22k －1必为整数，所以2k －1＝1，所以k ＝1，此时2·30≠3.不合题意．(8分)综上可知m ＝2.(9分)(3) 因为S 2m ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2m －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2m ) ＝m （1＋2m －1）2＋2（1－3m ）1－3＝3m ＋m 2－1.(10分)S 2m －1＝S 2m －a 2m ＝3m ＋m 2－1－2·3m －1＝3m －1＋m 2－1.(11分) 所以S 2mS 2m －1＝3m ＋m 2－13m －1＋m 2－1＝3－2（m 2－1）3m －1＋m 2－1≤3.(12分)若S 2mS 2m －1为数列{a n }中的项，则只能为a 1，a 2，a 3. 1° S 2m S 2m －1＝1，则3－2（m 2－1）3m －1＋m 2－1＝1，所以3m －1＝0，m 无解．(13分) 2° S 2m S 2m －1＝2，则3－2（m 2－1）3m －1＋m 2－1＝2，所以3m －1＋1－m 2＝0. 当m ＝1时，等式不成立； 当m ＝2时，等式成立；当m ≥3时，令f (x )＝3x －1＋1－x 2＝13·3x ＋1－x 2.所以f ′(x )＝ln33·3x －2x ，f ″(x )＝ln 233·3x－2.因为f ″(x )在(14分)3° S 2mS 2m －1＝3，则3－2（m 2－1）3m －1＋m 2－1＝3，所以m 2－1＝0，即m ＝1.(15分)综上可知m ＝1或m ＝2.(16分)题型二、 数列中的等差数列或者等比数列的存在问题例3、(2018扬州期末）已知各项都是正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝a 2n ＋a n ，数列{b n }满足b 1＝12，2b n ＋1＝b n ＋b n a n. (1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2) 设数列{c n }满足c n ＝b n ＋2S n，求和c 1＋c 2＋…＋c n ； (3) 是否存在正整数p ，q ，r(p<q<r)，使得b p ，b q ，b r 成等差数列？若存在，求出所有满足要求的p ，q ，r ；若不存在，请说明理由． 规范解答 (1) 2S n ＝a 2n ＋a n ①，2S n ＋1＝a 2n ＋1＋a n ＋1 ②，②－①得2a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋a n ＋1－a n ，即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －1)＝0.因为{a n }是正数数列，所以a n ＋1－a n －1＝0，即a n ＋1－a n ＝1，所以{a n }是等差数列，其中公差为1. 在2S n ＝a 2n ＋a n 中，令n ＝1，得a 1＝1， 所以a n ＝n.(2分)由2b n ＋1＝b n ＋b n a n 得b n ＋1n ＋1＝12·b n n，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n n 是等比数列，其中首项为12，公比为12，所以b n n ＝⎝⎛⎭⎫12n ，即b n ＝n2n .(5分)(注：也可累乘求b n 的通项．)(2) 由(1)得c n ＝b n ＋2S n ＝n ＋2（n 2＋n ）2n ＋1，所以c n ＝1n ·2n －1（n ＋1）2n ＋1，(7分) 所以c 1＋c 2＋…＋c n ＝12－1（n ＋1）2n ＋1＝（n ＋1）2n －1（n ＋1）2n ＋1.(9分)(3) 假设存在正整数p ，q ，r(p<q<r)，使得b p ，b q ，b r 成等差数列，则b p ＋b r ＝2b q ，即p 2p ＋r 2r ＝2q2q .因为b n ＋1－b n ＝n ＋12n ＋1－n 2n ＝1－n2n ＋1，所以数列{b n }从第二项起单调递减． 当p ＝1时，12＋r 2r ＝2q2q .若q ＝2，则r 2r ＝12，此时无解；若q ＝3，则r 2r ＝14，且{b n }从第二项起递减，故r ＝4，所以p ＝1，q ＝3，r ＝4符合要求；(11分)若q ≥4，则b 1b q ≥b 1b 4＝2，即b 1≥2b q ，又因为b 1＋b r ＝2b q ，所以b 1<2b q ，矛盾．此时无解．(12分)当p ≥2时，一定有q －p ＝1.若q －p ≥2，则b p b q ≥b p b p ＋2＝4p p ＋2＝41＋2p ≥2，即b p ≥2b q ，这与b p ＋b r ＝2b q 矛盾，所以q －p ＝1.此时r 2r ＝12p ，则r ＝2r －p .令r －p ＝m ＋1，则r ＝2m ＋1，所以p ＝2m ＋1－m －1，q ＝2m ＋1－m ，m ∈N *.综上得，存在p ＝1，q ＝3，r ＝4或p ＝2m ＋1－m －1，q ＝2m ＋1－m ，r ＝2m ＋1(m ∈N *)满足要求．(16分) 例4、(2019常州期末）已知数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋1＋3a n ＋4＝0，n ∈N *. (1) 求证：{a n ＋1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2) 数列{a n }中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求满足条件的项；若不存在，说明理由．规范解答 (1) 由a n ＋1＋3a n ＋4＝0得a n ＋1＋1＝－3(a n ＋1)，n ∈N *.(2分) 其中a 1＝1，所以a 1＋1＝2≠0，可得a n ＋1≠0，n ∈N *.(4分)所以a n ＋1＋1a n ＋1＝－3，n ∈N *，所以{a n ＋1}是以2为首项，－3为公比的等比数列．(6分)所以a n ＋1＝2(－3)n －1，即a n ＝2(－3)n －1－1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝2(－3)n －1－1，n ∈N *.(8分) (2)若数列{a n }中存在三项a m ，a n ，a k (m <n <k )符合题意，其中k －n ，k －m ，n －m 都是正整数．(9分) 分以下三种情形：①a m 位于中间，则2a m ＝a n ＋a k ，即2＝2(－3)n －1－1＋2(－3)k －1－1，所以2(－3)m ＝(－3)n ＋(－3)k ，两边同时除以(－3)m 得2＝(－3)n －m ＋(－3)k －m ，等式右边是3的倍数，等式不成立，舍去；②a n 位于中间，则2a n ＝a m ＋a k ，即2＝2(－3)m －1－1＋2(－3)k －1－1，所以2(－3)n ＝(－3)m ＋(－3)k ，两边同时除以(－3)m 得2(－3)n －m ＝1＋(－3)k －m ，即1＝2(－3)n －m －(－3)k－m，等式右边是3的倍数，等式不成立，舍去；③a k 位于中间，则2a k ＝a m ＋a n ，即2＝2(－3)m －1－1＋2(－3)n －1－1，所以2(－3)k ＝(－3)m ＋(－3)n ，两边同时除以(－3)m ，得2(－3)k －m ＝1＋(－3)n －m ，即1＝2(－3)k －m －(－3)n－m，等式右边是3的倍数，等式不成立，舍去．(15分) 综上可得，数列{a n }中不存在三项满足题意．(16分) 题型三、数列中的有序实数对的问题例5、(2018苏中三市、苏北四市三调）已知数列{}n a 满足15(1)()2n n n n aa n *+++-=∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）求13a a +的值； （2）若1532a a a +=．① 求证：数列{}2n a 为等差数列；② 求满足224()pm S S p m *=∈N ，的所有数对()p m ，．【思路分析】（1）直接令1,2n得到关系式，两式相减，求出13a a +的值（2）分别赋值21,2n n ，得到关系式，两式相减，得到212112n n a a -++=，结合1532a a a +=，计算出114a ，从而求2114n a -=，代入关系式，得出294n a n =+，利用定义法证明{}2n a 为等差数列（3）求和得到2n S ，代入关系式整理得()2234322p m p m +=+，需要转化两个因数相乘的形式，变形处理，利用平方差公式得到(29)(23)27m p m p ++-+=，因为2912m p ++≥且2923m p m p ++-+，均为正整数，则两个因数只能为27和1，从而求出p m ，的值.规范解答 （1）由条件，得2132372a a a a -=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②，②-①得 1312a a +=．……………………… 3分 （2）①证明：因为15(1)2n n n n a a +++-=，所以221212242252n n n n n a an a a -++⎧-=⎪⎨+⎪+=⎩③④，④-③得 212112n n a a -++=， ……………………………………………… 6分于是13353111()()422a a a a a =+=+++=，所以314a =，从而114a =． ……………………………………………… 8分所以121231111()(1)()0444n n n a a a ----=--==--=，所以2114n a -=，将其代入③式，得294n a n =+，所以2(1)21n n a a +-=（常数），所以数列{}2n a 为等差数列．……………………………………………… 10分 ②注意到121n a a +=， 所以2122n n S a a a =+++2345221()()()n n a a a a a a +=++++++2125322nk k n n =+==+∑，…………………………………………… 12分 由224pm S S =知()2234322p m p m +=+．所以22(26)(3)27m p +=++，即(29)(23)27m p m p ++-+=，又*p m ∈N ，， 所以2912m p ++≥且2923m p m p ++-+，均为正整数， 所以2927231m p m p ++=⎧⎨-+=⎩，解得104p m ==，，所以所求数对为(104)，．………………………………………………… 16分题型四、数列中的参数的问题例6、(2019苏州期末）定义：对于任意n ∈N *，x n ＋x n ＋2－x n ＋1仍为数列{x n }中的项，则称数列{x n }为“回归数列”．(1) 已知a n ＝2n (n ∈N *)，判断数列{a n }是否为“回归数列”，并说明理由；(2) 若数列{b n }为“回归数列”，b 3＝3，b 9＝9，且对于任意n ∈N *，均有b n <b n ＋1成立． ①求数列{b n }的通项公式；②求所有的正整数s ，t ，使得等式b 2s＋3s ＋1－1b 2s ＋3s －1＝b t 成立．思路分析 (1) 验证a n ＋a n ＋2－a n ＋1是否是数列{a n }中的项．对于否定结论也可举反例． (2) ①利用数列{b n }是单调递增数列，可得数列{b n }等差数列，易得b n ＝n ；②先得b 2s ＋3s ＋1－1b 22＋3s －1＝s 2＋3s ＋1－1s 2＋3s －1∈(1，3]，从而t 的可能取值为2或3.解：(1) 假设{a n }是“回归数列”，则对任意n ∈N *，总存在k ∈N *，使a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a k 成立，即2n ＋4·2n －2·2n ＝2k ，即3·2n ＝2k ，(2分)此时等式左边为奇数，右边为偶数，不成立，所以假设不成立， 所以{a n }不是“回归数列”；(4分) (2) ①因为b n <b n ＋1，所以b n ＋1<b n ＋2，所以b n ＋b n ＋2－b n ＋1>b n 且b n ＋b n ＋2－b n ＋1＝b n ＋2－(b n ＋1－b n )<b n ＋2. 又因为{b n }为“回归数列”，所以b n ＋b n ＋2－b n ＋1＝b n ＋1， 即b n ＋b n ＋2＝2b n ＋1，所以数列{b n }为等差数列．(6分) 又因为b 3＝3，b 9＝9，所以b n ＝n (n ∈N *)．(8分) (注：猜出b n ＝n 给1分)②因为b 2s ＋3s ＋1－1b 2s ＋3s －1＝b t ，所以t ＝38＋1＋s 2－13s ＋s 2－1，(*)因为t －3＝2（1－s 2）3s ＋s 2－1≤0，所以t ≤3，又因为t ∈N *，所以t ＝1，2，3.(10分)当t ＝1时，(*)式整理为3s ＝0，不成立．(11分) 当t ＝2时，(*)式整理为s 2－13s ＝1.设c n ＝n 2－13n (n ∈N *)，因为c n ＋1－c n ＝2n （1－n ）＋33n ＋1， 所以n ＝1时，c n <c n ＋1；n ≥2时，c n >c n ＋1. 所以(c n )max ＝c 2＝13<1，所以s 无解．(14分)当t ＝3时，(*)式整理为s 2＝1，因为s ∈N *，所以s ＝1.综合所述，使得等式成立的所有的正整数s ，t 的值是s ＝1，t ＝3.(16分)二、达标训练1、已知数列{}n a 的通项公式为27n a n =-，若12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项，则m =____ 【答案】2m =【解析】()()12272523m m m m m a a a m ++--=-，{}n a 中的项为大于等于5-（15a =-）的奇数，所以考虑将12m m m a a a ++向奇数形式变形：()()()()23423227252323m m m m m m --⋅--⎡⎤⎡⎤--⎣⎦⎣⎦=--()88236292323m m m m =--+=-+--，可得823m -应该为大于等于4的偶数，所以8423m =-或8823m =-，解得52m =（舍）或2m =2、(2019扬州期末）记无穷数列{a n }的前n 项中最大值为M n ，最小值为m n ，令b n ＝M n ＋m n2，数列{a n }的前n 项和为A n ，数列{b n }的前n 项和为B n .(1) 若数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，求B n .(2) 若数列{b n }是等差数列，试问数列{a n }是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明． 规范解答 (1)因为数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n ，所以m n ＝2，M n ＝a n ＝2n ， 则有b n ＝2＋2n 2＝1＋2n －1，从而B n ＝n ＋1－2n 1－2×1＝2n －1＋n.(4分)(2)解法1(参数讨论法) 若数列{b n }是等差数列，设其公差为d′. b n －b n －1＝M n ＋m n 2－M n －1＋m n －12＝M n －M n －12＋m n －m n －12＝d′. 根据M n ，m n 的定义，有以下结论：M n ≥M n －1，m n ≤m n －1，且两个不等式中至少有一个取等号．(6分)说明：若两不等式均不取等号，即M n >M n －1，m n <m n －1，则a n ＝M n >M n －1≥a n －1，则a n >a n －1>…>a 2>a 1，而此时有m n ＝m n －1＝a 1，不合题意，故两不等式中至少有一个取等号．①若d′>0，则必有M n >M n －1，所以a n ＝M n >M n －1≥a n －1，即对n ≥2，n ∈N *，都有a n >a n －1， 所以M n ＝a n ，m n ＝a 1，b n －b n －1＝M n ＋m n 2－M n －1＋m n －12＝a n ＋a 12－a n －1＋a 12＝a n －a n －12＝d ′，所以a n －a n －1＝2d ′，即{a n }为等差数列．(7分)②若d ′<0时，则必有m n <m n －1，所以a n ＝m n <m n －1≤a n －1，即对n ≥2，n ∈N *，都有a n <a －1， 所以M n ＝a 1，m n ＝a n ，b n －b n －1＝M n ＋m n 2－M n －1＋M n －12＝a 1＋a n 2－a 1＋a n －12＝a n －a n －12＝d ′，所以a n －a n －1＝2d ′，即{a n }为等差数列；③当d ′＝0，b n －b n －1＝M n ＋m n 2－M n －1＋m n －12＝M n －M n －12＋m n －m n －12＝0.因为M n －M n －1，m n －m n －1中必有一个为0，所以根据上式，一个为0，则另一个亦为0， 即M n ＝M n －1，m n ＝m n －1，所以{a n }为常数数列，也是等差数列， 综上，数列{a n }一定是等差数列．(10分)解法2(增项讨论法) 若数列{b n }是等差数列，设通项公式为b n ＝pn ＋q(p ，q ∈R )，则b n ＋1－b n ＝p . 对于数列{a n }：a 1，a 2，…，a n ，增加a n ＋1时，有下列情况：①若a n ＋1>M n 时，则M n ＋1＝a n ＋1，m n ＋1＝m n ，此时a n ＋1＝M n ＋1>M n ≥a n ，所以a n ＋1>a n 对n ∈N *恒成立， 则M n ＝a n ，m n ＋1＝m n ＝a 1，所以b n ＋1－b n ＝M n ＋1＋M n ＋12－M n ＋m n 2－a n ＋1＋a 12－a n ＋a 12＝a n ＋1－a n2＝p ，即a n ＋1－a n ＝2p ，为常数，则数列{a n }是等差数列．(7分) ②若m n ≤a n ＋1≤M n 时，则M n ＋1＝M n ，m n ＋1＝m n, 所以b n ＋1＝b n . 因为数列{b n }是等差数列且b n ＝pn ＋q ，所以p ＝0，b n ＝q ，所以M n ＋1＝M n ＝M n －1＝…＝M 1＝a 1＝q ，m n ＋1＝m n ＝m n －1＝…＝m 1＝a 1＝q ，所以q ≤a n ＋1≤q ，即a n ＝q ，即{a n }为常数数列，所以数列{a n }是公差为0的等差数列．(8分)③若a n ＋1<m n 时，则M n ＋1＝M n ，m n ＋1＝a n ＋1，此时a n ＋1＝m n ＋1<m n ≤a n ，所以a n ＋1<a n 对n ∈N *恒成立， 则M n ＋1＝M n ＝a 1，m n ＝a n ，所以b n ＋1－b n ＝M n ＋1＋m n ＋12－M n ＋m n 2＝a 1＋a n ＋12－a 1＋a n 2＝a n ＋1－a n2＝p ，即a n ＋1－a n ＝2p ，为常数，则数列{a n }是等差数列．(10分)3、(2019苏北三市期末）已知数列{a n }满足对任意的n ∈N *，都有a n (q n a n －1)＋2q n a n a n ＋1＝a n ＋1·(1－q n a n＋1)，且a n ＋1＋a n ≠0，其中a 1＝2，q ≠0.记T n ＝a 1＋qa 2＋q 2a 3＋…＋q n －1a n . (1) 若q ＝1，求T 2019的值．(2) 设数列{b n }满足b n ＝(1＋q )T n －q n a n . ①求数列{b n }的通项公式；②若数列{c n }满足c 1＝1，且当n ≥2时，c n ＝2b n －1－1，是否存在正整数k ，t ，使c 1，c k －c 1，c t －c k 成等比数列？若存在，求出所有k ，t 的值；若不存在，说明理由．思路分析 第(2)问中第一小问，展开并整理后，得到一个完全平方公式，得到a n ＋1＋a n ＝1q n 后就可以顺利解决．第2小问求出c n 以后，根据成等比数列，再利用整数的奇偶性分析解决即可．规范解答 (1)当q ＝1时，由a n (q n a n －1)＋2q n a n a n ＋1＝a n ＋1(1－q n a n ＋1)，得(a n ＋1＋a n )2＝a n ＋1＋a n .又a n ＋1＋a n ≠0，所以a n ＋1＋a n ＝1.(2分)又a 1＝2，所以T 2019＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2018＋a 2019)＝1011.(4分)(2)①由a n (q n a n －1)＋2q n a n a n ＋1＝a n ＋1(1－q n a n ＋1)，得q n (a n ＋1＋a n )2＝a n ＋1＋a n .又a n ＋1＋a n ≠0，所以a n ＋1＋a n ＝1qn .(6分) 又因为T n ＝a 1＋qa 2＋q 2a 3＋…＋q n －1a n ，所以qT n ＝qa 1＋q 2a 2＋q 3a 3＋…＋q n a n ，所以(1＋q)T n ＝a 1＋q(a 1＋a 2)＋q 2(a 2＋a 3)＋q 3(a 3＋a 4)＋…＋q n －1(a n －1＋a n )＋q n a n ，b n ＝(1＋q)T n －q n a n ＝a 1＋1＋1＋…＋1＋q n a n －q n a n ＝a 1＋n －1＝n ＋1，所以b n ＝n ＋1. (10分)②由题意，得c n ＝2b n －1－1＝2n －1，n ≥2.若c 1，c k －c 1，c t －c k 成等比数列，则(c k －c 1)2＝c 1(c t －c k )，即(2k －2)2＝2t －2k, (12分) 所以2t ＝(2k )2－3由于c k －c 1≠0，所以k ≠1，即k ≥2. 当k ＝2时，2t ＝8，得t ＝3.(14分)当k ≥3时，由(*)，得(2k －1)2－3·2k －2＋1为奇数，所以t －2＝0，即t ＝2，代入(*)得22k －2－3＝0，即2k ＝3，此时k 无正整数解．综上，k ＝2，t ＝3满足题意．(16分)4、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =-，1320n n a S +++=（*n ∈N ）. （1）求2a ，3a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在整数对(,)m n ，使得等式248n n a m a m -⋅=+成立？若存在，请求出所有满足条件的(,)m n ；若不存在，请说明理由.解：（1）在1320n n a S +++=中，令1n =，得：21320a S ++=21123234a S a ∴=--=--=再令2n =，得：3233208a S a ++=⇒=-（2）由1320n n a S +++= ①，可得：()13202n n a S n -++=≥② ①-②可得：()113022n n n n n a a a a a n ++-+=⇒=-≥{}n a ∴从第二项开始成等比关系，公比为2-()()()22222n nn a a n -∴=⋅-=-≥ 而12a =-符合上式()2nn a ∴=-由（2）得：()()22248nnm m ---=+()()()()()()22282168824242424n n n n n nm ⎡⎤⎡⎤----+⎣⎦⎣⎦∴===--+-+-+-+ m Z ∈ 且()24nZ --∈ ∴只需()824nZ ∈-+，即()241,2,4,8n-+=±±±±经计算可得：1,2,3n =时，()824nZ ∈-+∴ 解得：123,,2114n n n m m m ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨=-==-⎩⎩⎩∴ 共有三组符合题意：()()()2,1,1,2,14,3--5、(2019南京、盐城一模）已知数列{a n }，其中n ∈N *. (1) 若{a n }满足a n ＋1－a n ＝q n －1(q >0，n ∈N *)． ①当q ＝2，且a 1＝1时，求a 4的值；②若存在互不相等的正整数r ，s ，t ，满足2s ＝r ＋t ，且a r ，a s ，a t 成等差数列，求q 的值；(2) 设数列{a n }的前n 项和为b n ，数列{b n }的前n 项和为c n ，c n ＝b n ＋2－3，n ∈N *，若a 1＝1，a 2＝2，且|a 2n ＋1－a n a n ＋2|≤k 恒成立，求k 的最小值．规范解答 (1)①由a 4－a 3＝4，a 3－a 2＝2，a 2－a 1＝1，a 1＝1，累加得a 4＝8.(3分) ②因a n ＋1－a n ＝q n －1，所以n ≥2时，a n －a n －1＝q n －2，…，a 2－a 1＝1.(i )当q ＝1时，a n ＝n －1＋a 1 (n ≥2)．又因为a 1满足a n ＝n －1＋a 1，所以a n ＝n －1＋a 1 (n ∈N *)． 因为2s ＝r ＋t ，所以2a s ＝a r ＋a t ，所以q ＝1满足条件． (ii)当q ≠1且q ＞0时，a n ＝1－q n －11－q＋a 1 (n ≥2)．又因为a 1满足a n ＝1－q n －11－q ＋a 1，所以a n ＝1－q n －11－q＋a 1 (n ∈N *.(5分)因为2s ＝r ＋t ，若存在r ，s ，t 满足条件，即2a s ＝a r ＋a t ，化简得2q s ＝q r ＋q t ，则2＝q r －s ＋q t －s ≥2q r ＋t －2s＝2，此时r ＝t ＝s ，这与r ，s ，t 互不相等矛盾． 所以q ≠1且q ＞0不满足条件．(7分) 综上所述，符合条件q 的值为1. (8分)(2)由c n ＝b n ＋2－3，n ∈N *，可知c n ＋1＝b n ＋3－3，两式作差可得b n ＋3＝b n ＋2＋b n ＋1.又因为a 1＝1，a 2＝2，所以b 1＝1，b 2＝3，从而c 1＝1，c 2＝4，可得b 3＝4，b 4＝7，故b 3＝b 2＋b 1， 所以b n ＋2＝b n ＋1＋b n 对一切的n ∈N *恒成立．(11分)对b n ＋3＝b n ＋2＋b n ＋1，b n ＋2＝b n ＋1＋b n 两式进行作差可得a n ＋3＝a n ＋2＋a n ＋1. 又由b 3＝4，b 4＝7，可知a 3＝1，a 4＝3，故a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，(n ≥2)．(13分)又由a 2n ＋2－a n ＋1a n ＋3＝(a n ＋1＋a n )2－a n ＋1·(a n ＋2＋a n ＋1)＝(a n ＋1＋a n )2－a n ＋1·(a n ＋2a n ＋1)＝－a 2n ＋1＋a n a n ＋2，n≥2，所以|a 2n ＋2－a n ＋1a n ＋3|＝|a 2n ＋1－a n a n ＋2|，(15分)所以当n ≥2时，|a 2n ＋1－a n a n ＋2|＝5，当n ＝1时|a 2n ＋1－a n a n ＋2|＝3，故k 的最小值为5.(16分)6、(2017南京学情调研）已知数列{a n }是公差为正数的等差数列，其前n 项和为S n ，且a 2·a 3＝15，S 4＝16.(1) 求数列{a n }的通项公式．(2) 设数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1a n ·a n ＋1.①求数列{b n }的通项公式；②是否存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．规范解答 (1) 设数列{a n }的公差为d ，则d ＞0.由a 2·a 3＝15，S 4＝16，得⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋d )(a 1＋2d )＝15，4a 1＋6d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝－2(舍去)．所以a n ＝2n －1.(4分) (2) ①因为b 1＝a 1＝1，b n ＋1－b n ＝1a n ·a n ＋1＝1(2n －1)·(2n ＋1)＝12·⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， (6分)即b 2－b 1＝12⎝⎛⎭⎫1－13， b 3－b 2＝12⎝⎛⎭⎫13－15， …b n －b n －1＝12⎝⎛⎭⎫12n －3－12n －1，n ≥2，累加得b n －b 1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n －1＝n －12n －1，(9分)所以b n ＝b 1＋n －12n －1＝1＋n －12n －1＝3n －22n －1.又b 1＝1也符合上式，故b n ＝3n －22n －1，n ∈N *.(11分) ②假设存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列，则b 2＋b n ＝2b m . 又b 2＝43，b n ＝3n －22n －1＝32－14n －2，b m ＝32－14m －2，所以43＋⎝⎛⎭⎫32－14n －2＝2⎝⎛⎭⎫32－14m －2，即12m －1＝16＋14n －2，化简得2m ＝7n －2n ＋1＝7－9n ＋1.(14分)当n ＋1＝3，即n ＝2时，m ＝2(舍去)； 当n ＋1＝9，即n ＝8时，m ＝3，符合题意．所以存在正整数m ＝3，n ＝8，使得b 2，b m ，b n 成等差数列．(16分)。