第19章 四边形单元复习 八年级数学下册同步备课系列(沪科版)

针对训练
1.一个正多边形的每一个内角都等于120 °，则其边数 是6 .
【解析】 因为该多边形的每一个内角都等于120度，所以它 的每一个外角都等于60 °.所以边数是6.
考点二 平行四边形的性质
例2 如图，在平行四边形ABCD中，下列结论
中错误的是（ D ）
A．∠1=∠2
B．∠BAD=∠BCD
C．AB=CD
D
A
O
C
B
图1
图2
图3
4.如图 2，在正方形 ABCD 中，E为对角线 AC 上的一点，连
接EB，ED.延长 BE 交 AD 于点 F，若∠DEB＝140°，那么
∠AFE 的度数是 65° . 5.如图3，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8，DB=6，
DE⊥BC于点E，则DE的长为 4.8 .
6.过正方形ABCD对角线BD上的一点P，作PE⊥BC于E，
②当△ABC满足什么条件时，四边形DAEF是菱形？
③当△ABC满足什么条件时，以D,A,E,F为顶点的四边形不
存在？
④当△ABC满足什么条件时，平行四边形是正方形. F
D
①∠BAC=150° ③∠BAC=60°
②AB=AC
④AB=AC且∠BAC=150°
B
E A
C
2．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延 长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF， ∠1＝∠2，∠3＝∠4.(1)证明：△ABE≌△DAF；
在 Rt△ADF 中，∠AFD＝90°，AD＝2，∴AF＝ 3，DF＝1.
由(1) 得△A B E≌△DA F，
∴AE＝DF＝1，∴EF＝AF－AE＝ 3－1 .
题型四 中点四边形及三角形中位线
1.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、 BC、CD、DA的中点，请添加一个条件即 AC=BD ，
解题要点： 1.先利用勾股定理求出AC=5； 2.设BE=x,则CE=4-x,由折叠可知 AE=CE=4-x,在Rt△ABE中利用 勾股定理建立方程求得x=7/8; 3.EF是折痕，AC被EF垂直平分， 在Rt△AEO中，求得EO=15/8； 4.EF=15/4.
9.(1) 如图所示-1，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC， CD 上，AE，BF 交于点 O，∠AOF＝90°.求证：BE＝CF；
针对训练
2.如图，已知▱ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分 别交BC、AD于E、F．求证：AF=EC．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AD=BC，AB=CD，∠BAD=∠BCD，
（平行四边形的对角相等，对边相等）
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠EAB= 1∠BAD，∠FCD= 1∠BCD，∴∠EAB= ∠FCD，
轴对称图形
3.几种特殊四边形的常用判定方法：
四边形 平行
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ四边形
矩形
菱形 正方形
条件
1.定义：两组对边分别平行的四边形 2.两组对边分别相等的四边形 3.一组对边平行且相等的四边形 4.对角线互相平分的四边形 1.定义：有一角是直角的平行四边形 2.三个角是直角的四边形 3.对角线相等的平行四边形
1.定义：一组邻边相等的平行四边形 2.四条边都相等的四边形 3.对角线互相垂直的平行四边形 1.定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 2.有一组邻边相等的矩形 3、有一个角是直角的菱形
菱形
对边平行
且四边相等
正方形
对角相等 邻角互补
四个角 都是直角 对角相等 邻角互补
四个角 都是直角
对角线互相平分
中心对称 图形
对角线互相平 中心对称图形
分且相等
轴对称图形
对角线互相垂直平 中心对称图形
分，且每一条对角 线平分一组对角
轴对称图形
对角线互相垂直平分 中心对称图形
且相等，每一条对角
线平分一组对角
△AEF的周长= 9 cm.
A
F
D
E O
B
C
2．如图2， P 是菱形 ABCD 对角线 BD 上的一点，PE⊥AB
于点 E，PE＝4 cm，则点 P 到 BC 的距离是____4____cm.
3．如图1 四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，BD=6cm, 那么∠BAD= 60 ° ，AB= 6 cm, AC= 6 3 cm.
D．小于7或大于1
7.如图，正方形 ABCD 的边长为 4，∠DAC 的平分线交 DC 于点 E，若点 P，Q 分别是 AD 和 AE 上的动点，则 DQ＋PQ 的 最小值是__2___2___．
第 7 题图
8.矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使C点与 点A重合，求折痕EF的长.
（1）证题思路：
D
先要证明△FDB≌△CAB（SAS）可得
AC=DF，再由△AEC是等边三角形，
则有AC=AE，所以有AE=DF；同理可
B
证得AD=EF，故命题得证。
F
E A
C
1.如图，在△ABC中，分别以AB,AC,BC为边在BC的同侧作
等边三角形ABD,ACE,BC
（2）探究下列问题
①当△ABC满足什么条件时，四边形DAEF是矩形？
A．14
第 4 题图
B．10 C．5 D．2.5
5．如图，在▱ ABCD 中，已知 AD＝6 cm，AB＝4 cm，AE 平
分∠BAD 交 BC 边于点 E，则 EC＝___2_____ cm.
第 5 题图
6.如果平行四边形的两邻边分别为3，4，那么其对角线必
A．大于1
B．小于7
(C )
C．大于1且小于7
考题分类
题型一 平行四边形的性质与判定
1.如图，口ABCD与口DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，
∠F=110°，则∠DAE的度数为 25°．
第1题图
第2题图
2．如图 ，在平行四边形 ABCD中，已知∠ODA＝90°，
AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为（ ） A
A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm
尺创 规新 作作 图图
O
A
F
P
EB
2.如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上任意一点，请你 仅用无刻度直尺、用连线的方法，分别在图（1）、图（2） 中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.
（1）在图（1）中，AB边上求作一点N，连接CN，使CN=AM ；
（2）在图（2）中，AB边上求作一点Q，连接CQ，使CN//AM ；
D．AC=BC
【解析】A.∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∴∠1=∠2，故A正确； B.∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD=∠BCD，故B正确； C.∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，故C正确；
方法总结
主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握 平行四边形对边相等且平行，对角相等.
PF⊥CD于F.
A
D
求证：AP=EF.
证明：连结AC、PC
P
F
∵四边形ABCD是正方形
∴BD垂直且平分AC
B E
C
∴PA=PC
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD=90°
∴四边形PECF是矩形 ∴EF=PC ∴AP=EF
题型三 特殊平行四形的综合应用
1.如图，在△ABC中，分别以AB,AC,BC为边在BC的同侧作 等边三角形ABD,ACE,BC （1）求证：四边形DAEF是平行四边形；
(2)解：连接EC、AF，则EF与AC满足EF＝ AC时，四边形AECF是矩形．
理由如下： 由(1)可知△AOE≌△COF， ∴OE＝OF. ∵AO＝CO， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵EF＝AC， ∴四边形AECF是矩形．
题型二 特殊平行四边形的性质与判定应用
1.如图1，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点 E，F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm ,BC=8cm,则
[答案] 略
第 9 题图-1
(2) 如图所示-2，在正方形 ABCD 中，点 E，H，F，G 分别在 边 AB，BC，CD，DA 上，EF，GH 交于点 O，∠FOH＝90°， EF ＝4.求 GH 的长；
[答案] 4
第 9 题图-2
(3) 已知点 E，H，F，G 分别在矩形 ABCD 的边 AB，BC，CD， DA 上，EF，GH 交于点 O，∠FOH＝90°，EF＝4.求解下列两题：
①如图所示-3，矩形 ABCD 由两个全等的正方形组成，求 GH 的长；
[答案] 8
第 8 题图－3
②如图所示-4 所示，矩形 ABCD 由 n 个全等的正方形组成，求 GH 的长(用 n 的代数式表示)．
[答案] 4n
第 8 题图-4
考点讲练
考点一 多边形的内角和与外角和 例1:已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数 的 1 ，求这个多边形的边数.
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3．如图,□ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线 与BA、DC的延长线分别交于点E、F.
(1)求证：△AOE≌△COF；
(2)请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形
AECF是矩形？并说明理由．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝OC，AB∥CD. ∴∠E＝∠F.又∠AOE＝∠COF. ∴△AOE≌△COF(AAS)．
(2)若∠AGB＝30°，求EF的长．
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴A B＝A D. 在△ABE 和△DAF 中，
∴△A B E≌△ DAF.
(2)∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠1＋∠4＝90°，∵∠3＝∠4， ∴∠1＋∠3＝90°，∴∠ A FD＝90° . 在正方形 ABCD 中， AD∥BC，∴∠1＝∠AGB＝30°.