数值积分和数值微分(7)
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第07章 03-高斯型求积公式
第七章
§7.7 数值微分
数值积分与微分
泰勒公式是建立数值微分的工具之一，设 h x1 x0 ，
根据泰勒公式可得：
f x0 h f x0 f x0 O h h h h f x0 f x0 2 2 f x0 O h2 h
1 t
0
1
t
2
dt 。
解：(1)首项系数为1的三次勒让德多项式为：
3 2 d x 1 3! 3 3 3 x x x 3 6! dx 5 3 3 , x1 0, x2 取其零点 x0 作为高斯点 5 5 3
第七章
§7.6 高斯求积公式
N
（充分性得证）
第七章
§7.6 高斯求积公式
数值积分与微分
定理7.6 表明，若能够找到满足
N+1次多项式 N 1 x ，则积分公式的高斯点就确定了， 从而确定了一个高斯型求积公式。为此，引入勒让德 (Legendre)多项式。 定义：一个仅以区间[-1, 1]上的高斯点 xi i 0 为零点的
j 0
N
关于高斯求积公式的误差有如下结论：高斯积分公式 的误差是可控的，稳定性比其他积分方法好。特别当
f x 在[-1, 1] 上连续时，高斯型求积公式必收敛。
第七章
数值积分与微分
总结
1 梯形求积公式和辛普生求积公式是低精度的方法，但对 于光滑性较差的函数有时比用高精度方法能得到更好的 效果。复化梯形公式和辛普生求积公式，精度较高，计 算较简，使用非常广泛。 2 龙贝格求积方法，算法简单，当节点加密提高积分近似 程度时，前面的计算结果可以为后面的计算使用，因此， 对减少计算量很有好处。并有比较简单的误差估计方法。 3 Gauss型求积，它的节点是不规则的，所以当节点增加时， 前面计算的函数值不能被后面利用。计算过程比较麻烦， 但精度高，特别是对计算无穷区间上的积分和旁义积分， 则是其他方法所不能比的。
第四章 数值积分
1
3阶 精度
令它对于 f = 1, x, x 2 , x 3 准确成立，可列出方程 解：
λ0 + λ1 + λ2 + λ3 = 1 − λ0 − 1 λ1 + 1 λ2 + λ3 = 0 3 3 1 1 1 λ0 + 9 λ1 + 9 λ2 + λ3 = 3 − λ − 1 λ + 1 λ + λ = 0 3 0 27 1 27 2
（4-8）
∫
b
a
f ( x)dx ≈ ∑ ωi f ( xi )
i =0
n
（4-9）
定义4.2 求积系数由式（4-8）确定的求积公式（4-9） 称为插值型求积公式。
4.3 Newton-Cotes公式及其复合求积公式
设将求积区间[a,b]划分为n等分，选取等分点作 为求积节点构造形如下式的求积公式，如果公 式至少有n阶精度，则称之为n阶Newton-Cotes 公式。
0.5 − 0.1 S= (0.0001 + 0.0625 + 4 × 0.0081) = 0.00633 6
0 .5 − 0 .1 C= (0.0001× 7 + 0.0625 × 7 + 12 × 0.0081 + 32 × 0.0016 + 32 × 0.0256) 90 0.4 = (0.4382 + 0.0972 + 0.8704) = 0.006248 90
解：令它对于 ( x) = 1, x, x 2 准确成立，可列出方程 f
ω0 + ω1 + ω2 = 2 − ω 0 + ω 2 = 0 ω + ω = 2 / 3 2 0
3阶 精度
令它对于 f = 1, x, x 2 , x 3 准确成立，可列出方程 解：
λ0 + λ1 + λ2 + λ3 = 1 − λ0 − 1 λ1 + 1 λ2 + λ3 = 0 3 3 1 1 1 λ0 + 9 λ1 + 9 λ2 + λ3 = 3 − λ − 1 λ + 1 λ + λ = 0 3 0 27 1 27 2
（4-8）
∫
b
a
f ( x)dx ≈ ∑ ωi f ( xi )
i =0
n
（4-9）
定义4.2 求积系数由式（4-8）确定的求积公式（4-9） 称为插值型求积公式。
4.3 Newton-Cotes公式及其复合求积公式
设将求积区间[a,b]划分为n等分，选取等分点作 为求积节点构造形如下式的求积公式，如果公 式至少有n阶精度，则称之为n阶Newton-Cotes 公式。
0.5 − 0.1 S= (0.0001 + 0.0625 + 4 × 0.0081) = 0.00633 6
0 .5 − 0 .1 C= (0.0001× 7 + 0.0625 × 7 + 12 × 0.0081 + 32 × 0.0016 + 32 × 0.0256) 90 0.4 = (0.4382 + 0.0972 + 0.8704) = 0.006248 90
解：令它对于 ( x) = 1, x, x 2 准确成立，可列出方程 f
ω0 + ω1 + ω2 = 2 − ω 0 + ω 2 = 0 ω + ω = 2 / 3 2 0
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的具体形式.
20
（1）插值型求积公式
2.由下列列表函数求L-插值多项式
x0
x1 --- xi-1
xi
xi+1
---
xn
f(x0) f(x1) --- f(xi-1) f(xi) f(xi+1) --- f(xn)
21
称为插值型求积公式，
称为求积节点， 称为求积系数，其和
22
求积系数 通过插值基函数
这称为梯形公式；
a
b
图1 梯形公式
几何意义：用梯形面积 代替f(x)作为曲边的曲边 梯形面积。
25
这称为Simpsion公式。
a
b
图2 Simpson公式
几何意义：用抛物线 作曲边的曲边
梯形面积代替f(x)作 为曲边的曲边梯形面26积。
这称为Cotes公式。
求积公式的误差（余项）
27
28
例 5. 1 分别用梯形公式、Simpson公式计算定积分
时的步长h/2就是合适的步长
6
例：
f(x)=exp(x)
h
f’(1.15) R(x)
h
f’(1.15) R(x)
0.10 0.09 0.08 0.07 0.06
3.1630 -0.0048
3.1622 3.1613 3.1607 3.1600
-0.0040 -0.0031 -0.0025 -0.0018
17
构造数值积分公式的基本思想： 由积分中值定理知，在积分区间
成立
内存在一点ξ，
问题：点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以 准确算出 的值，怎么办？
只要对平均高度 一种数值求积方法.
提供一种算法，相应地便可获得
20
（1）插值型求积公式
2.由下列列表函数求L-插值多项式
x0
x1 --- xi-1
xi
xi+1
---
xn
f(x0) f(x1) --- f(xi-1) f(xi) f(xi+1) --- f(xn)
21
称为插值型求积公式，
称为求积节点， 称为求积系数，其和
22
求积系数 通过插值基函数
这称为梯形公式；
a
b
图1 梯形公式
几何意义：用梯形面积 代替f(x)作为曲边的曲边 梯形面积。
25
这称为Simpsion公式。
a
b
图2 Simpson公式
几何意义：用抛物线 作曲边的曲边
梯形面积代替f(x)作 为曲边的曲边梯形面26积。
这称为Cotes公式。
求积公式的误差（余项）
27
28
例 5. 1 分别用梯形公式、Simpson公式计算定积分
时的步长h/2就是合适的步长
6
例：
f(x)=exp(x)
h
f’(1.15) R(x)
h
f’(1.15) R(x)
0.10 0.09 0.08 0.07 0.06
3.1630 -0.0048
3.1622 3.1613 3.1607 3.1600
-0.0040 -0.0031 -0.0025 -0.0018
17
构造数值积分公式的基本思想： 由积分中值定理知，在积分区间
成立
内存在一点ξ，
问题：点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以 准确算出 的值，怎么办？
只要对平均高度 一种数值求积方法.
提供一种算法，相应地便可获得
第2章数值微分和数值积分
f '( x) D(h) O ( h) 2 f '( x) D(h / 2) O(h / 2)
f '( x) D(h) 2 f '( x) 2D(h / 2) f '( x) D(h / 2) D(h) D(h / 2)
例：
f(x)=exp(x)
h 0.10 0.09 f’(1.15) 3.1630 3.1622 R(x) -0.0048 -0.0040 h 0.05 0.04 f’(1.15) R(x) 3.1590 3.1588 -0.0008 -0.0006
f
误差
(k )
( x) Ln ( x)
(k )
f ( n1) ( ) Rn ( x) n ( x) f ( x) Ln ( x) (n 1)! k ( n 1) d f ( ) (k ) Rn ( x) k n ( x) dx (n 1)!
1 h2 f '( x0 ) L '2 ( x0 ) 3 f ( x0 ) 4 f ( x1 ) f ( x2 ) f '''( ) 2h 3 1 h2 f '( x1 ) L '2 ( x1 ) f ( x0 ) f ( x2 ) f '''( ) 2h 6 1 h2 f '( x2 ) L '2 ( x2 ) f ( x0 ) 4 f ( x1 ) 3 f ( x2 ) f '''( ) 2h 3 1 h2 (4) f ''( x0 ) L ''2 ( x0 ) 2 f ( x0 ) 2 f ( x1 ) f ( x2 ) [ hf '''(1) f (2 )] h 6 1 h2 (4) f ''( x1 ) L ''1 ( x2 ) 2 f ( x0 ) 2 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) h 12 1 h2 (4) f ''( x2 ) L ''2 ( x2 ) 2 f ( x0 ) 2 f ( x1 ) f ( x2 ) [hf '''(1 ) f (2 )] h 6 2 Taylor展开分析，可以知道，它们都是 O(h )
牛顿-柯特斯求积公式
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例2 确定求积公式中的待定系数，使其代数精 度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度.
Байду номын сангаас
I
2h
2 h
f ( x ) d x A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h)
解 令 f (x)=1, x, x2 代入公式两端并令其相等，得
A1 A0 A1 4h A1 ( h) A1h 0 A1 A1 0 2 16 2 2 3 A1 ( h) A1h (2h) A1 A1 h 3 3 8 4 解得 A1 A1 h, A0 h 3 3
1 f ( x) 4 1 x
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以上的 4种情况都不能用牛顿—莱布尼兹公 式方便地计算该函数的定积分，满足不了实际需 要，因此，有必要研究定积分的数值计算问题； 另外，对一些函数的求导问题，其求导、微分也 相当复杂，也有必要研究求导、微分的数值计算 问题。本章主要介绍数值求积分和数值求微分的 方法。
ba 右 [1 1] b a, 2 当 f(x)=x时，
a
此时公式精确成立。
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对于求积公式
I f ( x ) d x Ak f ( x k ) I n
b a k 0
n
给定n+1个互异的求积节点 x0 , x1,, xn-1, xn ,
令求积公式对 f(x)=1, x, , xn 精确成立,即得 A0 A1 An b a 2 2 b a A x A x A x 1 1 n n 0 0 2 n 1 n 1 b a n n n A x A x A x 0 0 1 1 n n n1 求解该方程组即可确定求积系数Ak, 所得到的求积公 上页 式至少具有n 次代数精度.
例2 确定求积公式中的待定系数，使其代数精 度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度.
Байду номын сангаас
I
2h
2 h
f ( x ) d x A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h)
解 令 f (x)=1, x, x2 代入公式两端并令其相等，得
A1 A0 A1 4h A1 ( h) A1h 0 A1 A1 0 2 16 2 2 3 A1 ( h) A1h (2h) A1 A1 h 3 3 8 4 解得 A1 A1 h, A0 h 3 3
1 f ( x) 4 1 x
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以上的 4种情况都不能用牛顿—莱布尼兹公 式方便地计算该函数的定积分，满足不了实际需 要，因此，有必要研究定积分的数值计算问题； 另外，对一些函数的求导问题，其求导、微分也 相当复杂，也有必要研究求导、微分的数值计算 问题。本章主要介绍数值求积分和数值求微分的 方法。
ba 右 [1 1] b a, 2 当 f(x)=x时，
a
此时公式精确成立。
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对于求积公式
I f ( x ) d x Ak f ( x k ) I n
b a k 0
n
给定n+1个互异的求积节点 x0 , x1,, xn-1, xn ,
令求积公式对 f(x)=1, x, , xn 精确成立,即得 A0 A1 An b a 2 2 b a A x A x A x 1 1 n n 0 0 2 n 1 n 1 b a n n n A x A x A x 0 0 1 1 n n n1 求解该方程组即可确定求积系数Ak, 所得到的求积公 上页 式至少具有n 次代数精度.
数值分析--数值积分与数值微分
n 1 ( x )
(a, b)
(2―2)
第4章 数值积分与数值微分
这里yi=f(xi),对式(2―1)两边积分得
《 数 值 分 析 》
b a
f ( x )dx
n
b a
pn ( x )dx
b n
b a
Rn ( x )dx dx ] yi
[
i0 a
x xk xi xk f
《 数 值 分 析 》
相当复杂。例如定积分
的被积函数
b a
dx 1 x
4
4
1 1 x
的原函数就比较复杂,从数值计算角
度来看,计算量太大。
第4章 数值积分与数值微分
如图4.1,若用左矩形近似地代替曲边梯形,则得到左
矩形公式
b a
《 数 值 分 析 》
f ( x )dx (b a ) f (a )
k 0 k i
第4章 数值积分与数值微分
称C(n)i为柯特斯求积系数。
很显然,当n=1时,可算得
C0
《 数 值 分 析 》
(1 )
1 0
( s 1) d s 1 2
ba 2
1 2
C1
(1 )
1 0
sd s
此时式(2―5)为
b a
f ( x )dx
[ f ( a ) f ( b )]
于是
b a
f ( x )dx
ba 6
[ f (a ) 4 f (
ab 2
) f ( b )]
(2―8)
第4章 数值积分与数值微分
数值分析第四章数值积分
第四章 数值积分与数值微分
/* Numerical Integration and differentiation*/
§1 引言
近似计算 I
b
f ( x)dx
a
对f()采用不同的近似计算方法，从而得到各
种不同的求积公式。
以上三种方法都是用被积函数值的线性组合来表示积
分值。推广，一般地有
度
Cotes公式是 用不同节点
的函数值 （高度）的 加权平均来 近似区间的
平均高度
对称节点的系数相同
注：当n8时，Cotes系数有负，造成公式不稳定，因此常用
低阶Cotes公式。
Th2. n为偶数时， N-C公式至少具有n+1阶代数精度。
证明：只需证明n为偶数时， N-C公式对f(x)=xn+1的余项 R(f)=0即可。
R[ f h6
]
f
(5) (b)
f
(5) (a)
6阶收敛
例1：计算
1
dx 4
0 1 x2
解： T8
1 16
f
(0)
7
2
k 1
b a
f (x)dx b a
n
C(n) k
f
( x0
kh)
k 0
Newton—Cotes formula
n = 1:
C (1) 0
1 2
,
C (1) 1
1 2
§1 Newton-Cotes Formulae
Trapezoidal Rule
b f ( x)dx b a[ f (a) f (b)]
/* Numerical Integration and differentiation*/
§1 引言
近似计算 I
b
f ( x)dx
a
对f()采用不同的近似计算方法，从而得到各
种不同的求积公式。
以上三种方法都是用被积函数值的线性组合来表示积
分值。推广，一般地有
度
Cotes公式是 用不同节点
的函数值 （高度）的 加权平均来 近似区间的
平均高度
对称节点的系数相同
注：当n8时，Cotes系数有负，造成公式不稳定，因此常用
低阶Cotes公式。
Th2. n为偶数时， N-C公式至少具有n+1阶代数精度。
证明：只需证明n为偶数时， N-C公式对f(x)=xn+1的余项 R(f)=0即可。
R[ f h6
]
f
(5) (b)
f
(5) (a)
6阶收敛
例1：计算
1
dx 4
0 1 x2
解： T8
1 16
f
(0)
7
2
k 1
b a
f (x)dx b a
n
C(n) k
f
( x0
kh)
k 0
Newton—Cotes formula
n = 1:
C (1) 0
1 2
,
C (1) 1
1 2
§1 Newton-Cotes Formulae
Trapezoidal Rule
b f ( x)dx b a[ f (a) f (b)]
5.2 数值积分和数值微分
8000 6000 4000 2000 0 -2000 -4000 -6000 -8000 -8000 -6000 -4000 -2000
0
2000
4000
6000
8000
图5.10 卫星轨道和地球表面示意图
5.2.1 数值积分
例 5.2.1 卫星轨道长度 分析 椭圆参数方程为 x = a cos t , y = b sin t , t ∈ [0, 2π ] ， 所以椭圆长度 s 等于定积分
x∈[ a ,b ]
仍然分三种情况讨论： 仍然分三种情况讨论：
5.2.2 数值微分
（ 1 ） 中 间 点 x j ( j = 1, , n 1) ： 记 L2 ( x) 为 由
( x j 1 , y j 1 ) 、 ( x j , y j ) 和 ( x j +1 , y j +1 ) 这三个结点确定的至
式，则 {c1h 2 c2 h + c3 = y0 , c3 = y1 , c1h 2 + c2 h + c3 = y2 } ，
y2 2 y1 + y0 y2 y0 所以 c1 = , c2 = , c3 = y1 . 2 2h 2h
是由结点 ( x j , y j ) (j=0,1,2)确定的至多 2 次插值多项 确定的至多
a b
h2 I Tn ≤ (b a ) M 2 12 其中 h = (b a) n ， M 2 = max f ′′( x) .
a ≤ x ≤b
5.2.1 数值积分
证明 根据定理 5.2.1，有 ，
I Tn ≤ ∑
j =1 n n
∫
xj
x j 1
h f ( x)dx ( y j 1 + y j ) 2
微积分的数值计算方法数值微分
r=dx/dt/x =0.0283 0.0146 0.0152 0.0097 0.0093 0.0166 0.0154 0.0113 0.0100 0.0113
将节点处的增长率作 三次样条插值
年份 增长率 1900 0.0283 1901 0.0255 1902 0.0230 1935 0.0082 1936 0.0081 1937 0.0083 1953 0.0172 1954 0.0172 1979 0.0100 1980 0.0100 1981 0.0109 1989 0.0111 1990 0.0113
f ( x 0 ) 21h(3f04f1f2) f ( x n ) 21h(fn24fn13fn)
--------(11)
称(11)式为分段三点公式
实际中下面的公式很有用
f
(
xk
xk1 2
)
1( h
f k 1
fk
)
例: 回到实例(美国人口)
1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4
E 2(x0)f(3 3 )!()(x0x1)x (0x2)
ห้องสมุดไป่ตู้h2 3
f (3)( )
E 2(x1)f(3 3 )!()(x1x0)x (1x2)
h2 6
f (3)()
E 2(x2)f(3 3 )!()(x2x0)x (2x1)
h2 3
f (3)( )
f ( x0 )
21h(3f04f1f2)
1( h
f1
f0 )
h f (2)( )
将节点处的增长率作 三次样条插值
年份 增长率 1900 0.0283 1901 0.0255 1902 0.0230 1935 0.0082 1936 0.0081 1937 0.0083 1953 0.0172 1954 0.0172 1979 0.0100 1980 0.0100 1981 0.0109 1989 0.0111 1990 0.0113
f ( x 0 ) 21h(3f04f1f2) f ( x n ) 21h(fn24fn13fn)
--------(11)
称(11)式为分段三点公式
实际中下面的公式很有用
f
(
xk
xk1 2
)
1( h
f k 1
fk
)
例: 回到实例(美国人口)
1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4
E 2(x0)f(3 3 )!()(x0x1)x (0x2)
ห้องสมุดไป่ตู้h2 3
f (3)( )
E 2(x1)f(3 3 )!()(x1x0)x (1x2)
h2 6
f (3)()
E 2(x2)f(3 3 )!()(x2x0)x (2x1)
h2 3
f (3)( )
f ( x0 )
21h(3f04f1f2)
1( h
f1
f0 )
h f (2)( )
第7章 MATLAB数值微分与积分
4．梯形积分法
在科学实验和工程应用中，函数关系表达式往往是 不知道的，只有实验测定的一组样本点和样本值， 这时，人们就无法使用quad等函数计算其定积分。 在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求 定积分问题用梯形积分函数trapz，其调用格式为：
I=trapz(X,Y)
其中，向量X、Y定义函数关系Y = f(X)。X、Y是两 个等长的向量：X = (x1，x2，…，xn)，Y = (y1， y2，…，yn)，并且x1<x2<…<xn，积分区间是[x1， xn]。
用不同的方法求函数f(x)的数值导数，并在同一个 坐标系中做出f‘(x)的图像。
f=@(x) sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+(x+5).^(1/6)+5*x+2;
g=@(x) (3*x.^2+4*x-1)./sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)/2+1/6./(x+5).^(5/6)+5;
第7章 MATLAB数值微分与积分
5．累计梯形积分 在MATLAB中，提供了对数据积分逐步累计的函数 cumtrapz。该函数调用格式如下。 Z=cumtrapz(Y) Z=cumtrapz(X,Y) 对于向量Y，Z是一个与Y等长的向量；对于矩阵Y，Z 是一个与Y相同大小的矩阵，累计计算Y每列的积分。 函数其他参数的含义和用法与trapz函数的相同。例如：
f
(a)
f
(b)]
基本辛普森公式：
S2
ba[ 6
f
(a) 4
f
(a b) 2
f
(b)]
复合梯形公式：
s3
h[ f 2
在科学实验和工程应用中，函数关系表达式往往是 不知道的，只有实验测定的一组样本点和样本值， 这时，人们就无法使用quad等函数计算其定积分。 在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求 定积分问题用梯形积分函数trapz，其调用格式为：
I=trapz(X,Y)
其中，向量X、Y定义函数关系Y = f(X)。X、Y是两 个等长的向量：X = (x1，x2，…，xn)，Y = (y1， y2，…，yn)，并且x1<x2<…<xn，积分区间是[x1， xn]。
用不同的方法求函数f(x)的数值导数，并在同一个 坐标系中做出f‘(x)的图像。
f=@(x) sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+(x+5).^(1/6)+5*x+2;
g=@(x) (3*x.^2+4*x-1)./sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)/2+1/6./(x+5).^(5/6)+5;
第7章 MATLAB数值微分与积分
5．累计梯形积分 在MATLAB中，提供了对数据积分逐步累计的函数 cumtrapz。该函数调用格式如下。 Z=cumtrapz(Y) Z=cumtrapz(X,Y) 对于向量Y，Z是一个与Y等长的向量；对于矩阵Y，Z 是一个与Y相同大小的矩阵，累计计算Y每列的积分。 函数其他参数的含义和用法与trapz函数的相同。例如：
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