高三数学能力提升达标检测51
四川省达州市2024高三冲刺(高考数学)统编版(五四制)能力评测(提分卷)完整试卷
四川省达州市2024高三冲刺（高考数学）统编版（五四制）能力评测(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．第(2)题在平面直角坐标系中，两点间的“L-距离”定义为则平面内与轴上两个不同的定点的“L-距离”之和等于定值（大于）的点的轨迹可以是（）A．B．C．D．第(3)题已知事件A和B相互独立，且，则（）A．B．C．D．第(4)题的展开式中，项的系数为（）A．1B．6C．20D．15第(5)题设函数，且函数在恰好有5个零点，则正实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(6)题复数A．i B．C．D．第(7)题的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，则（）A．B．C．D．第(8)题设集合，，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知点，为坐标原点，A，B为曲线C：上的两点，F为其焦点.下列说法正确的是（）A．点的坐标为B．周长的最小值为C．若P为线段AB的中点，则直线AB的斜率为－2D．若直线AB过点F，且是与等比中项，则第(2)题若椭圆的左，右焦点分别为，则下列的值，能使以为直径的圆与椭圆有公共点的有（）A．B．C．D．第(3)题已知函数，给出下列四个命题，其中正确的是（）A ．的最小正周期为B．的图象关于点中心对称C．在区间上单调递增D．的值域为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题函数的定义域为______．第(2)题已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是______．第(3)题曲线在x=0处的切线方程为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数，，．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若的最大值为，存在最小值，且，求证：．第(2)题已知函数．（1）若在R上是减函数，求m的取值范围；（2）如果有一个极小值点和一个极大值点，求证有三个零点．第(3)题在中，所对边分别为，已知.（1）求的值；（2）若，求.第(4)题已知函数．(1)求的极值；(2)若过点可以作两条直线与曲线相切，证明：．第(5)题已知为数列的前项和，满足，．再从条件①②③中选择一个作为已知条件，完成下列问题：（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．条件①；②（为常数）；③．注：如果选择多个问题分别解答，按第一个解答计分．。
河南省濮阳市2024-2025学年高三9月质量检测考试数学试题(含解析)
2024—2025学年高三9月质量检测考试数 学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，i 为虚数单位，为z 的共轭复数，则（ ）A.B. 4C. 3D.2.已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 3. 半径为4的实心球与半径为2的实心球体积之差的绝对值为（ ）A.B. C. D.4. 已知向量，，其中，若，则（ ）A. 40B. 48C. 51D. 625. 已知的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且，，则（ ）A. 5B. C. 4D. 36. 已知点在抛物线C：上，则C 的焦点与点之间的距离为（ ）A. 4B.C. 2D.7. 已知a ，且，，，则（ ）24i z =+z 1z -=(){}3log 22M x y x ==+<{}2024x N y y ==M N = ()2,7-()2,3-()0,7()7,+∞1O 2O 224π376π75π215π3()1,54a λ=+ ()2,8b λ=+ 0λ≥a b ∥ ()a ab ⋅+=ABC △20ac =4cos 5B =b =121,34A p p ⎛⎫++ ⎪⎝⎭()220x py p =>()1,2b ∈R 0b ≠1a b ≠-1sin 1a b a bα-=+ab =A.B. C.D. 8. 已知当时，恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知直线与圆D ：有两个交点，则整数m 的可能取值有（ ）A. 0B. －3C. 1D. 310. 已知对数函数，则下列说法正确的有（ ）A. 的定义域为B. 有解C. 不存在极值点D. 11. 北京时间2024年8月12日凌晨，第33届法国巴黎奥运会闭幕式正式举行，中国体育代表团以出色的表现再次证明了自己的实力，最终取得了40枚金牌、27枚银牌和24枚铜牌的最佳境外参赛成绩，也向世界展示了中国体育的蓬勃发展和运动员们顽强拼搏的精神.某校社团为发扬奥运体育精神举办了竞技比赛，此比赛共有5名同学参加，赛后经数据统计得到该5名同学在此次比赛中所得成绩的平均数为8，方差为4，比赛成绩，且，则该5名同学中比赛成绩的最高分可能为（ ）A. 13B. 12C. 11D. 10三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 曲线在点处的切线方程为______.13. 被10除的余数为______.14. 在中，若，，三点分别在边，，上（均不在端点上），则，，的外接圆交于一点O ，称为密克点.在梯形ABCD 中，，，M 为CD 的中点，动点P 在BC 边上（不包含端点），与的外接圆交于点Q （异于点P ），则BQ 的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知椭圆C ：的焦距为.（1）求C 的标准方程；1cos 1cos αα-+πtan 4α⎛⎫+⎪⎝⎭1sin 1sin αα-+2πtan 42α⎛⎫+ ⎪⎝⎭0x >ln e ln x x x x a -≥(],1-∞(21,e ⎤⎦(],2-∞[)e,+∞y x =22224x y my m +-=-()()log 1x f x x =+()f x ()0,+∞()2f x =()f x ()()()11f x f x x >+>[]0,15x ∈*x ∈N 21e1x y x -=-()1,0203111A B C △1M 1N 1P 11A B 11B C 11C A 111A M P △111B M N △111C N P △60B C ∠=∠=︒22AB AD ==ABP △CMP △()222210x y a b a b +=>>（2）若，直线l ：交椭圆C 于E ，F 两点，且，求t 的值.16.（15分）交通强国，铁路先行，每年我国铁路部门都会根据运输需求进行铁路调图，一铁路线l 上有自东向西依次编号为1，2，…，21的21个车站.（1）为调查乘客对调图的满意度，在编号为10和11两个站点多次乘坐列车P 的旅客中，随机抽取100名旅客，得出数据（不完整）如下表所示：车站编号满意不满意合计102840113合计85完善表格数据并计算分析：依据小概率值的独立性检验，在这两个车站中，能否认为旅客满意程度与车站编号有关联？（2）根据以往调图经验，列车P 在编号为8至14的终到站每次调图时有的概率改为当前终到站的西侧一站，有的概率改为当前终到站的东侧一站，每次调图之间相互独立.已知原定终到站编号为11的列车P 经历了3次调图，第3次调图后的终到站编号记为X ，求X 的分布列及均值.附：，其中.0.10.010.0012.7066.63510.82817.（15分）如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，.（1）仅用无刻度直尺作出四棱锥的高PH ，写出作图过程并证明；（2）若平面平面PCD ，平面平面PBC ，证明：四边形ABCD 是菱形.18.（17分）已知.（1）证明：是奇函数；5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭()302x ty t =+>AEF △0.001α=1323()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++αx αP ABCD -AP CP =BP DP =P ABCD -PAB ⊥PAD ⊥()()ln 0x a f x ax a x a -⎛⎫=+>⎪+⎝⎭()f x（2）若，证明在上有一个零点，且.19.（17分）对于一个正项数列，若存在一正实数，使得且，有，我们就称是-有限数列.（1）若数列满足，，，证明：数列为1-有限数列；（2）若数列是-有限数列，，使得且，，证明：.()()()12120f x f x x x =<<()f x (),a +∞0x 2102x x x -≤{}n a λ*n ∀∈N 2n ≥121n n a a a a λ-+++≥ {}n a λ{}n a 11a =21a =()123n n n a a a n --=+≥{}n a {}n a λ0M ∃>*n ∀∈N 2n ≥n a M ≤222111121111n i in a a M a a a a λ=⎛⎫≥+- ⎪+++⎝⎭∑2024—2025学年高三9月质量检测考试数学参考答案1. A 【解析】由，可得.故选A.2. C 【解析】由可得，则；，故，则.故选C.3. A【解析】由题意可知体积之差的绝对值为.故选A.4. C 【解析】因为，，且，故，解得或（舍去），经检验当时，，故.故选C.5. B 【解析】由题意可得，，由余弦定理可得，，解得.故选B.6. D 【解析】因为点在抛物线C 上，所以，整理得，解得或（舍去），故焦点为，故C 的焦点与点之间的距离为故选D.7. D 【解析】由题意可得，解得.24i z =+24i 11i 14z --=-==-=()3log 22x +<029x <+<()2,7M =-20240xy =>()0,N =+∞()0,7M N = 334425632224π4π2πππ33333⨯-⨯=-=()1,54a λ=+ ()2,8b λ=+a b ∥ ()()54218λλ++=⨯0λ=145-0λ=a b ∥ ()()()1,43,121341251a a b ⋅+=⋅=⨯+⨯= 20ac =2b a c =+()2222282cos 24725b ac ac B a c ac ac b =+-=+--=-b =121,34A p p ⎛⎫++⎪⎝⎭()2121234p p p ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭272102p p --=2p =14-()0,1()1,2=1sin 1ab a bα-=+2222sin cos 2sincos1sin 22221sin sin cos 2sin cos 2222a b αααααααααα+++==-+-22222sin cos 1tan π222tan 42sin cos 1tan 222ααααααα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=故选D.8. A 【解析】由对恒成立，令，则，令，得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即.令，，，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.故选A.9. AC 【解析】联立，消去x 可得，则，解得故选AC.10. BCD 【解析】对于A 选项，由对数函数的定义知的定义域为，故A 错误.对于B 选项，令，则，即，解得（负值舍去），故B 正确.对于C 选项，，可知，ln e ln x x x x a -≥0x >()ln f x x x =()ln 1f x x ='+()0f x '=1ex =10e x <<()0f x '<1e x >()0f x '>()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()11e ef x f ⎛⎫≥=-⎪⎝⎭1ln e x x ≥-ln t x x =()1e e t g t t t ⎛⎫=-≥- ⎪⎝⎭()e 1t g t '=-10e t -≤<()0g t '<0t >()0g t '>()g t 1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭()0,+∞()()min 01g t g ==1a ≤22224y xx y my m=⎧⎨+-=-⎩222240y my m -+-=()()222840m m ∆=--->m -<<()f x ()()0,11,+∞ ()log 12x x +=21x x =+210x x --=x =()()()ln 1log 1ln x x f x x x+=+=()()()()2ln 1ln 11ln x x x x f x x x x-+++'=设函数，可知，令，解得，则在上单调递减，在上单调递增，且在上，则的图象为的图象向左平移一个单位长度，易得两者无交点，则无零点，即不存在极值点，故C 正确.对于D 选项，方法一：由的单调性可知，D 正确.方法二：作差有，且，故，D 正确.故选BCD.11. BC 【解析】设该5名同学在此次比赛中所得成绩分别为，，，，，易得，则，且，则，不妨设最大.对于A 选项，若，则不成立，故A 错误；对于B 选项，若，例如7，7，7，7，12，满足题意，故B 正确；对于C 选项，若，例如5，7，8，9，11，满足题意，故C 正确；对于D 选项，若，则，可得，可知该方程组无正整数解，故D 错误.故选BC.12. 【解析】，故时，，故曲线在点处的切线方程为.13. 1 【解析】()ln g x x x =()ln 1g x x ='+()0g x '=1e x =()g x 10,e ⎛⎫⎪⎝⎭1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()0,1()0g x <()()1ln 1y x x =++()g x ()f x '()f x ()f x ()()()()()11log 1log 2x x f x f x x x +-+=+-+()()()2ln 1ln ln 2ln ln 1x x x x x +-⋅+⋅+=()()()()222ln ln 22ln 1ln ln 2ln 122x x x x x x ⎡⎤⎡⎤+++⋅+<<=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()11f x f x x >+>1x 2x 3x 4x 5x ()12345185x x x x x x =++++=1234540x x x x x ++++=()()()()()2222212243588814588x s x x x x -+-+-+-+⎡⎤==⎣⎦-()()()()()22222123458888820x x x x x -+-+-+-+-=5x 513x =()()()()2222123488885x x x x -+-+-+-=-512x =511x =510x =()()()()22221234888816x x x x -+-+-+-=12342222123430496x x x x x x x x +++=⎧⎨+++=⎩33y x =-()212e x y x x -'=+1x =3y '=21e 1x y x -=-()1,033y x =-()10201010192891010103910110C 10C 10C 101==-=-⨯+⨯--⨯+，所以被10除的余数为1.14.【解析】如图，延长BA ，CD 交于点E ，则为正三角形.由题设结论，，，的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点Q ，故点Q 在的外接圆上.由题意得，，则是直角三角形，故其外接圆半径.在中，由余弦定理可知，，当Q 在线段BD 上，且时，BQ.15. 解：（1）由题意得，，（2分）又，（4分）则，（5分）所以C 的标准方程为.（6分）（2）由题意设，，联立，整理得，（7分）则，，（8分）故.（10分）设直线l 与x 轴的交点为，()9182791010101010C 10C 10C 1⨯-⨯+⨯--=+ 2031-EBC △ABP △CMP △AME △AME △120BAD ∠=︒90BAM ∠=︒AME △1R AD ==ABD △BD ==1QD =1-2c =c =c e a ==2a =2222b a c =-=22142x y +=()11,E x y ()22,F x y 2232142x ty x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()2272304t y ty ++-=12232ty y t +=-+()122742y y t =-+12y y -===3,02D ⎛⎫⎪⎝⎭又，则，（11分）故，（12分）解得.（13分）16. 解：（1）补充列联表如下：车站编号满意不满意合计102812401157360合计8515100（3分）零假设为：旅客满意程度与车站编号无关，则，（6分）所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为旅客满意程度与车站编号有关联.（7分）（2）经分析，X 的可能取值为8，10，12，14.（8分）；（9分）；（10分）；（11分），（12分）则X 的分布列为X 8101214P（13分）所以.（15分）17. 解：（1）连接AC ，BD 交于点H ，连接PH ，5,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭35422AD ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭12122AEF S AD y y =⋅-==△t =0H ()220.001100283571220010.8284060851517x χ⨯⨯-⨯==>=⨯⨯⨯0.001α=0H ()3288327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()2214103339P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭()2122123339P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭()31114327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭8274929127()8421810121410279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=则PH 是四棱锥的高.（2分）由于该四棱锥底面为平行四边形，故点H 为AC 与BD 的中点.（3分）又，，故有，，（4分）又，AC ，平面ABCD ，故平面ABCD ，即PH 为四棱锥的高.（6分）（2）（方法一）证明：以H 为原点，以、的方向分别为x 轴、z 轴的正方向，以垂直于BC 的直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.（7分）设，，，，.则，，.（8分）设平面PAB 、平面PCD 的法向量分别为，，则，，（9分）令，解得，.所以，.（10分）因为平面平面PCD ，所以，①（11分）同理可得平面PAD 、平面PBC 的一个法向量分别为，.故，即，②（12分）P ABCD -AP CP =BP DP =PH AC ⊥PH BD ⊥AC BD H = BD ⊂PH ⊥P ABCD -BC HP (),,0A a d (),,0B b d -(),,0C a d --(),,0D b d -()0,0,P h (),2,0BA CD a b d ==- (),,BP b d h =- (),,DP b d h =-()1111,,n x y z = ()2222,,n x y z =()11111200a b x dy bx dy hz ⎧-+=⎨-++=⎩()22222200a b x dy bx dy hz ⎧-+=⎨-+=⎩122x x dh ==1112()()x dh y b a h z b a d =⎧⎪=-⎨⎪=+⎩2222()()x dh y b a h z b a d =⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩()()()12,,n dh b a h b a d =-+ ()()()22,,n dh b a h b a d =--+PAB ⊥()()2222221240n n d h b a h a b d ⋅=+--+= ()30,,n h d = ()40,,n h d =-22340n n h d ⋅=-= h d =①②联立解得.（13分）因此，.（14分）故，而四边形ABCD 是平行四边形，故四边形ABCD 是菱形.（15分）（方法二）证明：过点H 作交AB 于点E ，交CD 于点F ，过点H 作交BC 于点M ，交AD 于点N ，连接PE ，PF ，PM ，PN ，因为平面ABCD ，AB ，平面ABCD ，所以，.（7分）因为EF ，平面PEF ，所以平面PEF ，又平面PEF ，所以.（8分）易得平面PAB 与平面PCD 的交线平行于AB ，又平面平面PCD ，平面PAB ，所以平面PCD ，又平面PCD ，所以.（10分）因为MN ，平面PMN ，所以平面PMN ，又平面PMN ，所以.（11分）易得平面PAD 与平面PBC 的交线平行于BC ，又平面平面PBC ，平面PBC ，所以平面PAD ，又平面PAD ，所以.（13分）因为H 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以，，所以，所以，（14分）又，所以，所以平行四边形ABCD 是菱形.（15分）18. 证明：（1）易得的定义域为，（2分）.由奇函数的定义知是奇函数.（6分）2ab d =AD a b =--AB a b ===--AB AD =EF AB ⊥MN BC ⊥PH ⊥BC ⊂PH AB ⊥PH BC ⊥PH ⊂AB ⊥PE ⊂AB PE ⊥PAB ⊥PE ⊂PE ⊥PF ⊂PE PF ⊥PH ⊂BC ⊥PM ⊂BC PM ⊥PAD ⊥PM ⊂PM ⊥PN ⊂PM PN ⊥HE HF =HM HN =1122PH EF MN ==EF MN =AB EF BC MN ⋅=⋅AB BC =()f x ()(),,a a -∞-+∞ ()()ln x a f x a x x a --⎛⎫--=--- ⎪-+⎝⎭()ln ln x a x a ax ax f x x a x a -+-⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=--()f x（2）由对称性，不妨取，则，（7分）而.（8分）下证，设，，，，则（当且仅当，，即时取等号）.（14分）另一方面，的定义域为，.由对称性，不妨取，则，故在上单调递增.（15分）当时，；当时，.由零点存在定理知在上有一个零点，（16分）故.（17分）19. 证明：（1）当时，；（2分）当时，，（6分）故数列是1-有限数列.（7分）（2）由，得，（9分）31x x =-()()()()()()()23232323ln 0x a x a f x f x a x x x a x a ⎡⎤--+=++=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦()()()()()2232323232ln 2x a x a x x f a x x x a x a ⎡⎤-+-+⎛⎫=++⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()2323202x x f f x f x +⎛⎫≥=+ ⎪⎝⎭2x a m -=3x a n -=2x a p +=3x a q +=()()()()()()()()()()22232322323x a x a x a x a m n mn x a x a x a x a pq p q ⎡⎤-+---+-=-⎢⎥++++++⎢⎥⎣⎦()()()()()()2222pq m n mn p q pm qn qm pn p q pq p q pq +-+--++==()()()22323220a x x x x p q pq +-=≥+m n =p q =23x x =()f x ()(),,a a -∞-+∞ ()()()2a f x a x a x a =++-'x a >()0f x a '>>()f x (),a +∞x a →()f x →-∞x →+∞()f x →+∞()f x (),a +∞0x 2102x x x -≤2n =121a a ==2n >122121n n n n n a a a a a a a ----++++>+= {}n a 121n n a a a a λ-+++≥ ()2221211n n a a a a λ-≥+++于是有（13分）.（17分）()222212112111nn i i i i a a a a a λ==-≥++++∑∑ ()()2221121121n i i i a a a a a a a λ=-≥+++++++∑ 222112112111n i i i i a a a a a a a a λ=-⎛⎫+⋅-≥ ⎪++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎝⎭=∑222112112111n i i i a M a a a a a a λ=-⎛⎫+⋅- ⎪++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎝⎭∑221112111n a M a a a a λ⎛⎫+- ⎪+=++⎝⎭。
高三数学第一轮复习课时作业(51)直线与圆锥曲线的位置关系
课时作业(五十一) 第51讲 直线与圆锥曲线的位置关系时间：45分钟 分值：100分基础热身1．2011²哈尔滨二模 已知椭圆C ：x24＋y2b＝1，直线l ：y ＝mx ＋1，若对任意的m ∈R ，直线l 与椭圆C 恒有公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．1,4)B ．1，＋∞)C ．1,4)∪(4，＋∞)D ．(4，＋∞)2．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3．直线x －y ＋3＝0与曲线y 29－x |x |4＝1的交点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．14．2011²西铁一中二模 若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1531 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎪⎫－1530 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，153 能力提升5．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，与x 轴正向的夹角为60°，则||为( )A.21p 4B.21p 2C.136p D.1336p 6．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在7．2011²舟山七校联考 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，A ，B 是椭圆上关于x 、y轴均不对称的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P (1,0)．设AB 的中点为C (x 0，y 0)，则x 0的值为( )A.95B.94C.49D.598．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.2239．2011²全国卷 已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点．则cos ∠AFB ＝( )A.45B.35C ．－35D ．－4510．若直线l ：tx －y ＋6＝0与曲线C ：x 2－y 2＝2有两个不同交点，则实数t 的取值范围是________．11．过点(0,2)的双曲线x 2－y 2＝2的切线方程是________．12．设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点为(2,2)，则直线l 的方程为________．13．已知双曲线x29－y216＝1，过其右焦点F 的直线交双曲线于P ，Q 两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则|MF ||PQ |＝________.14．(10分)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的对称轴上的定点M (m,0)(m >0)，过点M 作直线AB 与抛物线相交于A ，B 两点．(1)试证明A ，B 两点的纵坐标之积为定值；(2)若点N 是定直线l ：x ＝－m 上的任一点，证明：直线AN ，MN ，BN 的斜率成等差数列．15．(13分)2011²江西卷 P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．难点突破16．(12分)2011²银川一中月考 已知曲线C 上任意一点M 到点F (0,1)的距离比它到直线l ：y ＝－2的距离小1.(1)求曲线C 的方程； (2)过点P (2,2)的直线m 与曲线C 交于A 、B 两点，设＝λ，当△AOB 的面积为42时(O 为坐标原点)，求λ的值．课时作业(五十一)【基础热身】1．C 解析 直线恒过定点(0,1)，只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要b ≥1且b ≠4.2．C 解析 点(2，0)恰是双曲线的一个顶点，过该点仅有一条直线与双曲线相切，而过该点与双曲线的渐近线平行的两条直线也与双曲线仅有一个公共点，故这样的直线有3条．3．B 解析 当x ≥0时，方程是y29－x24＝1，当x <0时，方程是y29＋x24＝1，作图即知．4．A 解析 联立方程⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6，消去y 后得 (1－k 2)x 2－4kx －10＝0，设交点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则1－k 2≠0，Δ＝(－4k )2＋40(1－k 2)>0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2>0，x 1x 2＝－101－k2>0，解不等式组得－153<k <－1. 【能力提升】5．B 解析 过A 作AD ⊥x 轴于D ，令|FD |＝m ，则|FA |＝2m ，p ＋m ＝2m ，m ＝p ， ∴OA ＝⎝⎛⎭⎫p 2＋p 2＋(3p )2＝212p .6．B 解析 方法1：该抛物线的通径长为4，而这样的弦AB 的长为x A ＋x B ＋p ＝7，故这样的直线有且仅有两条．方法二：①当该直线的斜率不存在时，它们的横坐标之和等于2，不合题意． ②当该直线的斜率存在时，设该直线方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程得 k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，由x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝5⇒k 2＝43⇒k ＝±233.故这样的直线有且仅有两条．7．B 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由于点A ，B 在椭圆x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)上，所以x 21a ＋y 21b1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0.设直线AB 的斜率为k ，则得k ＝－b 2x 0a 2y 0，从而线段AB 的垂直平分线的斜率为a 2y 0b 2x 0，线段AB 的垂直平分线的方程为y －y 0＝a 2y 0b 2x 0x－x 0)．由于线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P (1,0)，所以0－y 0＝a 2y 0b 2x 0(1－x 0)，解得x 0＝a2a 2－b2.a 2a 2－b 2＝a 2c 2＝⎝⎛⎭⎫1e 2.所以x 0＝94. 8．D 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线y ＝k (x ＋2)与抛物线y 2＝8x 联立，消掉y 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.根据韦达定理x 1x 2＝4，(1)．根据焦点半径公式，有|FA |＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋2，由|FA |＝2|FB |，得x 1＝2x 2＋2，(2)，由(1)(2)解得x 2＝1(负值舍去)，故点B 的坐标为(1,22)，将其代入y ＝k (x ＋2)(k >0)得k ＝223. 9．D 解析 法一：联立直线与抛物线的方程，消去y 得x 2－5x ＋4＝0，∴x ＝1或4，得A (1，－2)，B (4,4)，则|AF |＝2，|BF |＝5，|AB |＝35，由余弦定理得cos ∠AFB ＝－45.法二：联立方程⎩⎨⎧y ＝2x －4，y 2＝4x ，解得x ＝1或x ＝4，所以交点坐标分别为A (1，－2)，B (4,4)，又F (1,0)，∴＝(3,4)，＝(0，－2)，所以cos ∠AFB ＝＝－85³2＝－45.10．(－2，－1)∪(－1,1)∪(1,2) 解析 直线与曲线方程联立，消掉y 得(1－t 2)x 2－26tx －8＝0，直线与双曲线交于不同两点的充要条件是1－t 2≠0且Δ＝(26t )2－4(1－t 2)³(－8)>0，解得t 2<4且t 2≠1.11．y ＝±3x ＋2 解析 设切线方程为y ＝kx ＋2，代入双曲线方程得(1－k 2)x 2－4kx －6＝0，由Δ＝16k 2＋24(1－k 2)＝0，解得k ＝±3，故所求的切线方程为y ＝±3x ＋2.12．y ＝x 解析 由已知抛物线方程为y 2＝4x .直线l 的斜率不存在时，根据抛物线的对称性，点(2,2)不可能是AB 的中点，故直线l 的斜率存在，设直线方程斜率为k ，则直线l 的方程是y－2＝k (x －2)且k ≠0，与抛物线方程y 2＝4x 联立消去x ，则y 2－4⎝⎛⎭⎫y －2k ＋2＝0，即y 2－4k y ＋8k－8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k y 1＋y 22＝2，即2k＝2，解得k ＝1，故所求的直线方程是y －2＝x －2，即y ＝x .13.56 解析 右焦点F 的坐标是(5,0)，设直线PQ 的方程是x ＝my ＋5，代入双曲线方程得(16m2－9)y 2＋160my ＋162＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－160m 16m 2－9，y 1y 2＝16216m 2－9， 则|PQ |＝1＋m2⎝⎛⎭⎫－160m 16m 2－92－4²16216m 2－9＝96(1＋m 2)|16m 2－9|. 设PQ 的中点N (x 0，y 0)，则y 0＝－80m 16m 2－9，x 0＝－80m 216m 2－9＋5＝－4516m 2－9. 设M (t,0)，则y 0x 0－t ＝－m ，即t ＝y 0m ＋x 0＝－12516m 2－9故|MF |＝|t －5|＝⎪⎪⎪⎪－12516m 2－9－5＝80(1＋m 2)|16m 2－9|. 所以|MF ||PQ |＝8096＝56.14．解答 (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 1y 2＝－2pm ，下证之：设直线AB 的方程为：x ＝ty ＋m ，与y 2＝2px 联立得⎩⎨⎧y 2＝2px ，x ＝ty ＋m ，消去x ，得y 2－2pty －2pm＝0，由韦达定理得y 1y 2＝－2pm .(2)证明：设点N (－m ，n )，则直线AN 的斜率为k AN ＝y 1－n x 1＋m ，直线BN 的斜率为k BN ＝y 2－nx 2＋m， ∴k AN ＋k BN ＝y 1－n y 212p ＋m ＋y 2－n y 222p ＋m ＝2p (y 1－n )y 21＋2pm ＋2p (y 2－n )y 22＋2pm ＝2p ⎝⎛⎫y 1－n y 1－y 1y 2＋y 2－n y 2－y 1y 2＝2p ²y 2(y 1－n )－y 1(y 2－n )y 1y 2(y 1－y 2)＝2p ²n (y 1－y 2)y 1y 2(y 1－y 2)＝2p ²n y 1y 2＝2p ²n －2pm ＝－nm又∵直线MN 的斜率为k MN ＝n －0－m －m ＝－n2m，∴k AN ＋k BN ＝2k MN ，即直线AN ，MN ，BN 的斜率成等差数列．15．解答 (1)点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线a 2－b 2＝1上，有x 20a 2－y 2b2＝1，由题意又有y 0x 0－a ²y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，则e ＝c a ＝305.(2)联立⎩⎨⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c得4x 2－10cx ＋35b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2＝35b24.①设＝(x 3，y 3)，＝λ＋，即⎩⎨⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2，又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2，化简得：λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2. 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.②由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2，得：λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4. 【难点突破】16．解答 (1)∵点M 到点F (0,1)的距离比它到直线l ：y ＝－2的距离小1，∴点M 在直线l 的上方，点M 到F (0,1)的距离与它到直线l ′∶y ＝－1的距离相等， ∴点M 的轨迹C 是以F 为焦点，l ′为准线的抛物线，∴曲线C 的方程为x 2＝4y .(2)当直线m 的斜率不存在时，它与曲线C 只有一个交点，不合题意， 设直线m 的方程为y －2＝k (x －2)，即y ＝kx ＋(2－2k )，代入x 2＝4y 得x 2－4kx ＋8(k －1)＝0(*)，Δ＝16(k 2－2k ＋2)>0对k ∈R 恒成立，所以直线m 与曲线C 恒有两个不同的交点． 设交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8(k －1)． ∴|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)[(x 2＋x 1)2－4x 1x 2]＝4(1＋k 2)(k 2－2k ＋2)，点O 到直线m 的距离d ＝|2－2k |1＋k2，∴S △ABO ＝12|AB |d ＝4|k －1|k 2－2k ＋2＝4(k －1)4＋(k －1)2，∵S △ABO ＝42，∴4(k －1)4＋(k －1)2＝42，∴(k －1)4＋(k －1)2－2＝0，∴(k －1)2＝1或(k －1)2＝－2(舍去)， ∴k ＝0或k ＝2.当k＝0时，方程(*)的解为x＝±2 2. 若x1＝22，x2＝－22，2－22＝3－22；则λ＝－22－2若x1＝－22，x2＝22，2＋22＝3＋2 2.则λ＝22－2当k＝2时，方程(*)的解为4±2 2. 若x1＝4＋22，x2＝4－22，－2－22则λ＝＝3＋22；2－22若x1＝4－22，x2＝4＋22，－2＋22则λ＝＝3－2 2.2＋22所以λ＝3＋22或3－2 2.。
2024届重庆市普通高中高三第三次教学质量检测试题考试数学试题
2024届重庆市普通高中高三第三次教学质量检测试题考试数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[)12,0,x x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1ln6,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．1ln3,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C ．1ln3,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．1ln6,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦2．执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）A ．36B ．45C ．36-D ．45- 3．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．4．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A ．i -B ．iC ．1D ．1-6．己知函数()()1,0,ln ,0,kx x f x x x ->⎧=⎨--<⎩若函数()f x 的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．()0,1C ．()0,∞+D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭7．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ） A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形8．已知集合2{|1}A x x =<，{|ln 1}B x x =<，则 A ．{|0e}A B x x =<< B ．{|e}A B x x =< C ．{|0e}A B x x =<<D ．{|1e}AB x x =-<<9．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|lg(1)B x y x ==-，则A B =（ ）A ．{2}B ．{1,0}-C ．{}1-D ．{1,0,1}-10．已知i 为虚数单位，实数,x y 满足(2)x i i y i +=-，则||x yi -= ( ) A ．1B ．2C ．3D ．511．如图，点E 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（ ）A ．在点F 的运动过程中，存在EF //BC 1B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值 12．51(1)x x-+展开项中的常数项为 A ．1B ．11C ．-19D ．51二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学试题-高三数学能力提升达标检测57 最新
技能演练 基 础 强 化 1．下列叙述正确的是( ) A．数列1,3,5,7与7,5,3,1是同一数列 B．数列0,1,2,3，…的通项公式为an＝n C. 0,1,0,1，…是常数列
D．数列nn＋1是递增数列 答案 D 2．数列23，45，67，89，…的第10项是( )
A.1617 B.1819 C.2021 D.2223 答案 C 3．数列1,3,6,10，x,21…中，x的值是( ) A．12 B．13 C．15 D．16 答案 C 4．下列说法不正确的是( ) A．数列可以用图形表示 B．数列的通项公式不唯一 C．数列的项不能相等 D．数列可能没有通项公式 答案 C 5．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是( ) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 解析 由an＋1－an－3＝0，得an＋1＝an＋3， ∴数列{an}是递增数列． 答案 A 6．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A．an＋1＝an＋n(n∈N*) B．an＝an－1＋n(n∈N*，n≥2) C．an＋1＝an＋(n＋1)(n∈N*，n≥2) D．an＝an－1＋(n－1)(n∈N*，n≥2) 解析 把数的前5项代入验证，知an＝an－1＋n适合． 答案 B 7．观察数列的特点，用适当的一个数填空：1，3，5，7，________，11，…. 答案 3
8．在数列－1,0，19，18，…，n－2n2，…中，0.18是它的第________项． 解析 令n－2n2＝0.18，得 2n2－25n＋50＝0，解得n＝10，或n＝52(舍去)，∴a10＝0.18. 答案 10 能 力 提 升 9．根据数列的通项公式，写出下列数列的前5项，并用图像表示出来． (1)an＝(－1)n＋2； (2)an＝2nn＋1. 解 (1)∵an＝(－1)n＋2， ∴a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1. ∴数列的前5项是1,3,1,3,1. 图像如图①.
2020届高考数学(理)一轮必刷题 专题51 双曲线(解析版)
考点51 双曲线1．（天津市河西区2018-2019学年高三第二学期总复习质量调查二)数学试题理）已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线在x 轴上方的一个交点，若直线AF，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】B 【解析】因为抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，所以2p c =,由224y px cx ==，22221x y a b-=得2222222()4()0c a x a cx a c a ----=解得12()(),a c a a c a x x c a c a +--==-+，所以(),A a c a x c a+=- 不妨设c,0F（）,则222343()()A A AF A A A A y y k cx x c x c x c ==⇒=⇒=---, 因此222222()()43()4()3(2)a c a a c a cc ca c a a ac c c a c a++=-∴-=+---，2224324(1)3(12),31661630e e e e e e e e ∴-=+--+++=，222(341)(43)013e e e e e e +∴----=>∴=或2e =， 因为点A 在x 轴上方，所以2()20,112A a c a x c e e e e c a+=>∴+-<>∴<<-因此23e +=，选B. 2．（陕西省西北工业大学附属中学2019届高三考前模拟练习数学理）已知双曲线22:14y x C m -=(0)m >的0y ±=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C D ．2【答案】B 【解析】已知双曲线C y 0±=，且0m >=，得12m =.4c ==，所以双曲线C 的离心率为c e a ===故选：B3．（天津市河北区2019届高三一模数学理）在平面直角坐标系中，经过点P ，渐近线方程为y =的双曲线的标准方程为（ ）A ．22142-=x yB ．221714x y -=C ．22136x y -=D ．221147y x -=【答案】B 【解析】∵双曲线的渐近线方程为y =∴设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．又(在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为222x y 14-=，∴双曲线的标准方程为22x y 1714-=故选：B4．（天津市红桥区2019届高三一模数学理）双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别|为1F 、2F ，点P 在C 上，且123PF PF b +=，1294PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（ ）A ．43B ．53C D【答案】B 【解析】解：由双曲线的定义得：|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ，（不妨设该点在右支上） 又|PF 1|+|PF 2|＝3b ，所以()()1211233222PF a b PF b a =+=-，，两式相乘得()22199444b a ab -=．结合c 2＝a 2+b 2得53c a =． 故e 53=． 故选：B ．5．（天津市部分区2019届高三联考一模数学理）已知离心率为53的双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，若点P 是抛物线212y x =的准线与C 的渐近线的一个交点，且满足12PF PF ⊥，则双曲线的方程是（ ）A ．221169x y -=B ．22134x y -=C ．221916x y -=D ．22143x y -=【答案】C 【解析】对于A ，221169x y -=的离心率为54e =，不合题意；对于B ，22134x y -=的离心率为3e =，不合题意；对于D ，22143x y -=的离心率为e =，不合题意；对于C ，221916x y -=的离心率为53e =，符合题意.故选C.6．（2017届四川省成都市石室中学高三二诊模拟考试数学理）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，,A B 是圆222()4x c y c ++=与C 位于x 轴上方的两个交点，且12//F A F B ，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D 【答案】C 【解析】连接12,BF AF ,由双曲线的定义可得:212AF AF a -=, 122BF BF a -=,由112BF AF c ==,可得2222,22AF a c BF c a =+=-,在12AF F ∆中,可得()2222212244222cos 2?2?22c c a c c ac a AF F c cc +-+--∠==,在12BF F ∆中,可得()()222214224cos 2?2?222c c a c c aBF F c c a c+---∠==-,由12//F A F B ，可得2112BF F AF F π∠+∠=,即有2112cos cos 0BF F AF F ∠+∠=,可得22222c ac a c --+02c ac -=,化为22230c ac a --=,得22310e e --=,解得e =34+ ,负值舍去,故选C. 7．（2017届辽宁省沈阳市省示范协作校高三第一次模拟考试数学理）设1F 和2F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点，若12(0,2)F F b ，是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．3y x =± B ．y = C ．7y x =±D ．3y x =±【答案】B 【解析】22243c b c =⇒=，即223bb a a=⇒=B 。
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知识改变命运
技能演练
基 础 强 化
1．有关正弦定理的叙述：
①正弦定理仅适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角
形；③正弦定理仅适用于钝角三角形；④在给定三角形中，各边与它
的对角的正弦的比为定值；⑤在△ABC中，sinA:sinB:sinC＝a:b:c.
其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ①②③不正确，④⑤正确．
答案 B
2．在△ABC中，已知a:b:c＝4:3:5，则2sinA－sinBsinC＝________.
解析 设a＝4k，b＝3k，c＝5k(k>0)，由正弦定理，得
2sinA－sinBsinC＝2×4k－3k
5k
＝1.
答案 1
3．在△ABC中，已知b＝2，c＝1，B＝45°，则a等于( )
A.6－22 B.6＋22
C.2＋1 D．3－2
解析 由正弦定理，得sinC＝
csinBb＝sin45°2＝1
2
，又b>c，∴C＝
30°，从而A＝180°－(B＋C)＝105°，∴a＝bsinAsinB，得a＝6＋22.
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知识改变命运
答案 B
4．在△ABC中，已知3b＝23asinB，cosB＝cosC，则△ABC的
形状是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析 利用正弦定理及第一个等式，可得sinA＝
3
2，A＝π3，或2π3
，
但由第二个等式及B与C的范围，知B＝C，故△ABC必为等腰三角
形．
答案 B
5．在△ABC中，若3a＝2bsinA，则B等于( )
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
解析 ∵3a＝2bsinA，
∴3sinA＝2sinBsinA.
∵sinA≠0，∴sinB＝32，
又0°
6．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A＝105°，
B＝45°，b＝22，则边c＝________.
解析 由A＋B＋C＝180°，知C＝30°，
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知识改变命运
由csinC＝bsinB，得c＝bsinCsinB＝22×1222＝2.
答案 2
7．在△ABC中，若tanA＝13，C＝150°，BC＝1，则AB＝_____ ___.
解析 ∵tanA＝13，∴sinA＝110 .
在△ABC中，ABsinC＝BCsinA，
∴AB＝BCsinA·sinC＝10×12＝
10
2
.
答案 102
8．在△ABC中，若A:B:C＝1:2:3，则a:b:c＝________.
解析 由A＋B＋C＝180°及A:B:C＝1:2:3，知A＝180°×
1
6
＝30°，
B＝180°×
26＝60°，C＝180°×3
6
＝90°.
∴a:b:c＝sin30°:sin60°:sin90°＝
12:3
2
:1＝1:3:2.
答案 1:3:2
能 力 提 升
9．如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠
ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2.
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知识改变命运
(1)求cos∠CBE的值；
(2)求AE.
解 (1)∵∠BCD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD，∴∠CBE＝15°.
∴cos∠CBE＝cos15°＝cos(45°－30°)＝
6＋2
4
.
(2)在△ABE中，AB＝2，
由正弦定理，得
AEsin45°－15°＝2
sin90°＋15°
，
故AE＝2sin30°sin75°＝2×126＋24＝6－2.
10．△ABC三边各不相等，角A，B，C的对边分别为a，b，c
且acosA＝bcosB，求a＋bc的取值范围．
解 ∵acosA＝bcosB，∴sinAcosA＝sinBcosB，
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知识改变命运
∴sin2A＝sin2B.
∵2A,2B∈(0,2π)，∴2A＝2B，或2A＋2B＝π，
∴A＝B，或A＋B＝
π
2
.
如果A＝B，那么a＝b不合题意，∴A＋B＝
π
2
.
∴a＋bc＝sinA＋sinBsinC＝sinA＋sinB＝sinA＋cosA
＝2sin
A＋
π
4
.
∵a≠b，C＝π2，∴A∈0，π2，且A≠π4，
∴a＋bc∈(1，2)．
品 味 高 考
11．(2010·广东)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，
C所对的边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sinA＝________.
解析 由A＋B＋C＝180°，A＋C＝2B，
得B＝60°.
由正弦定理asinA＝bsinB，
得sinA＝asinBb＝13×32＝
1
2
.
答案 12
12．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos(A－
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C)＋cosB＝32，b2＝ac，求B.
解 由cos(A－C)＋cosB＝
3
2
及B＝π－(A＋C)，得
cos(A－C)－cos(A＋C)＝
3
2
，
cosAcosC＋sinAsinC－(cosAcosC－sinAsinC)＝
3
2
，
sinAsinC＝34.
又由b2＝ac及正弦定理，得sin
2
B＝sinAsinC，
故sin2B＝34，sinB＝32，或sinB＝－
3
2
(舍去)，
于是B＝π3，或B＝2π3.又由b2＝ac，知b≤a，或b≤c，∴B＝
π
3
.
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
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山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。