高等流体力学第2章
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《高等流体力学》第2章 流体动力学积分形式的基本方程
τ0
（φ 为广延量）
取τ= τ0(t)为控制体， A= A0(t)为控制面：
A2 ( A02 )
τ 03
′ A02
v∆t
A1 ( A01 )
′ A01
n
τ 02
v∆t
τ 01
dA0
τ = τ 0 (t )
A = A0 ( t )
n
′ ( t + ∆t ) = A′ A0
∆ = I I ( t + ∆t ) − I ( = t)
I在∆t内的增量为：
∫∫∫τ
01 +τ 02
φ ( r , t + ∆t ) dτ 0 − ∫∫∫
τ 01 +τ 03
φ ( r , t ) dτ 0
∫∫∫τ
φ ( r , t + ∆t ) − φ ( r , t ) dτ 0 + ∫∫∫ φ ( r , t + ∆t ) dτ 0 τ 02 01
D ∂φ Dφ φ dτ 0 = + ∇ φ= v + φ∇ ⋅ v ⇒ ∫∫∫ τ 0 Dt ∂t Dt Dt ∂t
( )
Dφ + φ∇ ⋅ v dτ ∫∫∫τ Dt
Dρ + ρ∇ ⋅ v = 0 （微分形式连续方程） 如果 φ = ρ ，则： Dt (2) D D ( ρφ ) ρφ dτ 0 ∫∫∫ = + ρφ∇ ⋅ v dτ ∫∫∫ τ τ 0 Dt Dt ρ Dφ ρ Dφ Dρ dτ = ∫∫∫ +φ + ρ∇ = ⋅ v dτ ∫∫∫ τ τ Dt Dt Dt
∂x′ ′ = ∇xα iβ α i′α = ∂xβ ∂φ ∂x′ ∂φ ∂φ ∴∇′φ = i′α = iβ α = iβ = ∇φ ′ ′ ∂xα ∂xβ ∂xα ∂xβ
（φ 为广延量）
取τ= τ0(t)为控制体， A= A0(t)为控制面：
A2 ( A02 )
τ 03
′ A02
v∆t
A1 ( A01 )
′ A01
n
τ 02
v∆t
τ 01
dA0
τ = τ 0 (t )
A = A0 ( t )
n
′ ( t + ∆t ) = A′ A0
∆ = I I ( t + ∆t ) − I ( = t)
I在∆t内的增量为：
∫∫∫τ
01 +τ 02
φ ( r , t + ∆t ) dτ 0 − ∫∫∫
τ 01 +τ 03
φ ( r , t ) dτ 0
∫∫∫τ
φ ( r , t + ∆t ) − φ ( r , t ) dτ 0 + ∫∫∫ φ ( r , t + ∆t ) dτ 0 τ 02 01
D ∂φ Dφ φ dτ 0 = + ∇ φ= v + φ∇ ⋅ v ⇒ ∫∫∫ τ 0 Dt ∂t Dt Dt ∂t
( )
Dφ + φ∇ ⋅ v dτ ∫∫∫τ Dt
Dρ + ρ∇ ⋅ v = 0 （微分形式连续方程） 如果 φ = ρ ，则： Dt (2) D D ( ρφ ) ρφ dτ 0 ∫∫∫ = + ρφ∇ ⋅ v dτ ∫∫∫ τ τ 0 Dt Dt ρ Dφ ρ Dφ Dρ dτ = ∫∫∫ +φ + ρ∇ = ⋅ v dτ ∫∫∫ τ τ Dt Dt Dt
∂x′ ′ = ∇xα iβ α i′α = ∂xβ ∂φ ∂x′ ∂φ ∂φ ∴∇′φ = i′α = iβ α = iβ = ∇φ ′ ′ ∂xα ∂xβ ∂xα ∂xβ
《流体力学》第二章流体静力学
z4
p z C g
pa 4 3 真空 1
p2 g
p=0
z1
z3
2
z=0
p 为压强水头 g
z 为位置水头
2.3 重力场中的平衡流体 重要结论
p p0 gh
(1) 在重力作用下的静止液体中，静压强随深度按线性 规律变化，即随深度的增加，静压强值成正比增大。 (2)在静止液体中，任意一点的静压强由两部分组成： 一部分是自由液面上的压强P0；另一部分是该点到自由 液面的单位面积上的液柱重量ρgh。 (3)在静止液体中，位于同一深度(h＝常数)的各点的静 压强相等，即任一水平面都是等压面。
2.2 流体平衡微分方程 一、欧拉平衡方程
p dx 1 p dx 1 p dx p 2 3 x 2 2 x 2 6 x 2
2 3
2
3
p dx 1 p dx 1 p dx p 2 3 x 2 2 x 2 6 x 2
dA dA n
dF pdAn
F pdAn
A
流体静压力：作用在某一面积上的总压力； （矢量） 流体静压强：作用在某一面积上的平均压强或某一点的 （标量） 没有方向性 压强。
2.1 平衡流体上的作用力 证明：
z A
pn px
微元四面体受力分析
py
dx C x
dz O dy B y
y
p x p y p z pn
C x
pz
f
↑
z
表 面 力 质 量 力
1 d yd z 2 1 Py p y d zd x 2 1 P p d yd x z z 2 P n pn d A P x px
p z C g
pa 4 3 真空 1
p2 g
p=0
z1
z3
2
z=0
p 为压强水头 g
z 为位置水头
2.3 重力场中的平衡流体 重要结论
p p0 gh
(1) 在重力作用下的静止液体中，静压强随深度按线性 规律变化，即随深度的增加，静压强值成正比增大。 (2)在静止液体中，任意一点的静压强由两部分组成： 一部分是自由液面上的压强P0；另一部分是该点到自由 液面的单位面积上的液柱重量ρgh。 (3)在静止液体中，位于同一深度(h＝常数)的各点的静 压强相等，即任一水平面都是等压面。
2.2 流体平衡微分方程 一、欧拉平衡方程
p dx 1 p dx 1 p dx p 2 3 x 2 2 x 2 6 x 2
2 3
2
3
p dx 1 p dx 1 p dx p 2 3 x 2 2 x 2 6 x 2
dA dA n
dF pdAn
F pdAn
A
流体静压力：作用在某一面积上的总压力； （矢量） 流体静压强：作用在某一面积上的平均压强或某一点的 （标量） 没有方向性 压强。
2.1 平衡流体上的作用力 证明：
z A
pn px
微元四面体受力分析
py
dx C x
dz O dy B y
y
p x p y p z pn
C x
pz
f
↑
z
表 面 力 质 量 力
1 d yd z 2 1 Py p y d zd x 2 1 P p d yd x z z 2 P n pn d A P x px
流体力学第2章水静力学--用
同理 py=pn, pz=pn
由此得证，静止流体中任一点压强与作用的方位无关。 由此可知，流体静压强只是空间坐标的函数，即
p f x,y,z
且dppdxpdypdz x y z
§2-2 流体平衡微分方程
一、静止流体平衡微分方程及其积分
取泰勒级数展
在静止流体中取六面体微团dx，dy，dz，并取开坐式标的如前图两所项示。
Evaluation only. eated（w静各it止h向CA流等osp体值pyo中r性isg任e）h.一tS2l点i0d1e的9s静-f2o压0r1强.N9与EAT作sp3用o.s5的eC方Pli位teyn无Lt 关tPdr.ofile 5.2.0
1.方向特性 ：证明
由液体的性质可知，静止的 液体不能承受剪切力，也不
x
dx
由静平衡关系 Fx 0有：
p1pd x dyd p z1pd x dyd X d z xd 0 ydz
2x 2x
可得：
X 1 p 0
x
eat同ed理w，i对thyCA,ozsp方py向orisg可eh得.tS：2lEYZi0dv1ea119slu-f2ppyzao0tri1o00.N9nEAoTsn流也pl3y体称o..s5静 欧eC平拉Pl衡平itey微衡nL分微t tP方分dr.程方of式程ile，。5.2.0
的数值C反op映y了rig压h强t 2的01大9小-2。019( hAspp)ose Pty Ltd.
三者关系： 1 P工程=1.0Kgf/cm2=10mH2O=98KPa 1 P标准 = 101.3KPa =760mmHg=10.336mH2O
第2章 水静力学
二 静水压强基本特性
流体静压强总是指向作用面的内法线方向 (垂直指向性）
由此得证，静止流体中任一点压强与作用的方位无关。 由此可知，流体静压强只是空间坐标的函数，即
p f x,y,z
且dppdxpdypdz x y z
§2-2 流体平衡微分方程
一、静止流体平衡微分方程及其积分
取泰勒级数展
在静止流体中取六面体微团dx，dy，dz，并取开坐式标的如前图两所项示。
Evaluation only. eated（w静各it止h向CA流等osp体值pyo中r性isg任e）h.一tS2l点i0d1e的9s静-f2o压0r1强.N9与EAT作sp3用o.s5的eC方Pli位teyn无Lt 关tPdr.ofile 5.2.0
1.方向特性 ：证明
由液体的性质可知，静止的 液体不能承受剪切力，也不
x
dx
由静平衡关系 Fx 0有：
p1pd x dyd p z1pd x dyd X d z xd 0 ydz
2x 2x
可得：
X 1 p 0
x
eat同ed理w，i对thyCA,ozsp方py向orisg可eh得.tS：2lEYZi0dv1ea119slu-f2ppyzao0tri1o00.N9nEAoTsn流也pl3y体称o..s5静 欧eC平拉Pl衡平itey微衡nL分微t tP方分dr.程方of式程ile，。5.2.0
的数值C反op映y了rig压h强t 2的01大9小-2。019( hAspp)ose Pty Ltd.
三者关系： 1 P工程=1.0Kgf/cm2=10mH2O=98KPa 1 P标准 = 101.3KPa =760mmHg=10.336mH2O
第2章 水静力学
二 静水压强基本特性
流体静压强总是指向作用面的内法线方向 (垂直指向性）
高等流体力学第二部分ppt课件.ppt
E
X
第二章 流体静力学
N、O亦分别为两个面的中心点。则两点坐标位置:
N点（x-dx/2，y，z）、O点（x+dx/2，y，z）
对以上两点压强,按泰勒级数展开,
(f (x) = f (x
) + f ′(x
)(x - x
f ′′(x ) )+ 0 (x
-x
)2
++R
(x))
忽略二阶及0二阶以0上无穷0 小：2!
而在直角坐标系中， gx gy 0 , gz -g
因此，而在直角坐标系中：X 0 , Y 0 , Z -g
2、表面力
第二章 流体静力学
作用在流体表面，且与作用的表面积大小成正
比的力。
粘性力
表面力
紊流力 非粘性压力
表面张力、附着力
不仅指作用于流体外表面，而且也包括作用于流体内部任一表面
分解
根据公式p=p0+ρgh
第二章 流体静力学
若液面上p0有所增减，p→ p0±△p0 则，液体中压强也有类似的增减，假设液体中增减为
p±△p，根据以上公式，
p±△p=p0±△p0+ρgh ∴ △p=△p0 (p=p0+ρgh)
—— Pascal’law
(4) 同一容器的静止流体中，所有各点测压 管水头均相等。
沿表面内法线方向的压力 沿表面切向的摩擦力
第二章 流体静力学
流体中取一流体微团，表面为△A，若作用在
表面上的力为△F，将△F分解沿法向分量
△P和切向方向分量△T。
p
ΔP ΔA
平均压强
△F △P
△T
τ
ΔT ΔA
平均切应力
高等流体力学-第二讲
14
第二章 流体运动基本方程
当流体不可压时， 当流体不可压时，有：
∂ 1 ∂v i ∂v j 1 ∂ ∂v j r r ∇⋅s = = [ ( + )] = ( ) = (∇ ⋅ ∇)v = ∆v ∂x i ∂x i 2 ∂x j ∂x i 2 ∂x i ∂x i
∂s ij
N—S方程为 方程为
1 ∂p µ ∂ ∂v j 张量表示： 张量表示： = fj − + + vi ( ) ∂xi ∂t ρ ∂x j ρ ∂xi ∂xi
2
第二章 流体运动基本方程
2、雷诺输运定理（Reynolds’ Transport Theorem） 、雷诺输运定理（ ）
考虑一物理量在质量体上的体积分的随时间的变化率与相应控制体 上体积分随时间的变化率间的关系。 上体积分随时间的变化率间的关系。 （1）定义 ） 对一物理量Φ x,y,z,t ,z,t）， 对一物理量Φ（x,y,z,t）， 质量体体积为： 质量体体积为：VM； 时刻，对应控制的体积为： t时刻，对应控制的体积为：VC； 此时取控制体的截面积为质量体的界面： 此时取控制体的截面积为质量体的界面：S 质量体内总量： 质量体内总量：
r r d r ma = (mv ) = ΣF dt
r ρv dτ
r ∫∫∫ ρv dτ
VM
动量平衡的表示： 动量平衡的表示：
r D r r ∫∫∫ ρ v d τ = ∫∫∫ ρ f d τ + ∫∫ p n ds V S Dt V
M M
8
第二章 流体运动基本方程
（3）动量矩平衡的概念 ） 动量矩对时间的导数： 动量矩对时间的导数： d
2）微分形式 ） 未增加独立方程，仅证明应力张量的对称性。 未增加独立方程，仅证明应力张量的对称性。
高等流体力学 第二章 流体力学的基本概念
流体的体积m3vmv对于各点密度不同的非均质流体在流体的空间中某点取包含该点的微小体积则该点的密度为lim0该体积内流体的质量122流体的相对密度流体的相对密度是指某种流体的密度与4时水的密度的比值用符号d来表示的比值用符号d来表示
第二章 流体力学的基本概念
连续介质假设 流动性 压缩性 粘性
1
第一节 流体的特征和连续介质假设
表1-4
压强 p （10 Pa）
5
0℃水在不同压强下的 值
4.9 0.539 9.8 0.537 19.6 0.531 39.2 0.523 78.4 0.515
（×10 -9 m2 /N）
17
气体的压缩性要比液体的压缩性大得多，这是由于气 体的密度随着温度和压强的改变将发生显著的变化。对于 完全气体，其密度与温度和压强的关系可用热力学中的状 态方程表示，即 p RT （1-6）
气体的压缩性都很大。从热力学中可知，当温度不变 时，完全气体的体积与压强成反比，压强增加一倍，体积 减小为原来的一半；当压强不变时，温度升高1℃体积就 比0℃时的体积膨胀1/273。所以，通常把气体看成是可压 缩流体，即它的密度不能作为常数，而是随压强和温度的 变化而变化的。我们把密度随温度和压强变化的流体称为 可压缩流体。 把液体看作是不可压缩流体，气体看作是可压缩流体， 都不是绝对的。在实际工程中，要不要考虑流体的压缩性， 要视具体情况而定。例如，研究管道中水击和水下爆炸时， 水的压强变化较大，而且变化过程非常迅速，这
动 力 黏 度 104 （ P a·s） 10.1 10.6 — 11.6 6.5 9.7 — 14900 2.9 19.2 72 — 0.21 2.8 15.6
11
表1-2
在标准大气压和20℃常用气体性质
第二章 流体力学的基本概念
连续介质假设 流动性 压缩性 粘性
1
第一节 流体的特征和连续介质假设
表1-4
压强 p （10 Pa）
5
0℃水在不同压强下的 值
4.9 0.539 9.8 0.537 19.6 0.531 39.2 0.523 78.4 0.515
（×10 -9 m2 /N）
17
气体的压缩性要比液体的压缩性大得多，这是由于气 体的密度随着温度和压强的改变将发生显著的变化。对于 完全气体，其密度与温度和压强的关系可用热力学中的状 态方程表示，即 p RT （1-6）
气体的压缩性都很大。从热力学中可知，当温度不变 时，完全气体的体积与压强成反比，压强增加一倍，体积 减小为原来的一半；当压强不变时，温度升高1℃体积就 比0℃时的体积膨胀1/273。所以，通常把气体看成是可压 缩流体，即它的密度不能作为常数，而是随压强和温度的 变化而变化的。我们把密度随温度和压强变化的流体称为 可压缩流体。 把液体看作是不可压缩流体，气体看作是可压缩流体， 都不是绝对的。在实际工程中，要不要考虑流体的压缩性， 要视具体情况而定。例如，研究管道中水击和水下爆炸时， 水的压强变化较大，而且变化过程非常迅速，这
动 力 黏 度 104 （ P a·s） 10.1 10.6 — 11.6 6.5 9.7 — 14900 2.9 19.2 72 — 0.21 2.8 15.6
11
表1-2
在标准大气压和20℃常用气体性质
经典：流体力学-第二章-水静力学
23
压力体可分为实压力体和虚压力体
实压力体判定方法： 绘出的压力体图形与实际的水体居于受压曲面同侧（重叠），
为实压力体。方向向下。
虚压力体判定方法： 绘出的压力体图形与实际的水体分居受压曲面两侧（不重叠），
为虚压力体。方向向上。
对于复式断面，先根据压力体的三个面围出压力体，再根据上述原 则判定虚、实。
第二章流体静力学25作用在平面上的静水总压力一用解析法求任意平面上的静水总压力二用压力图法求矩形平面上的静水总压力26作用在曲面上的静水总压力一曲面上静水压力二压力体27浮力与浮潜体的稳定一浮力二潜体的平衡与稳定性三浮体的平衡及稳定性第四讲25作用在平面上的静水总压力工程实践中需要解决作用在结构物表面上的液体静压力的问题
2.合力P对Ox轴取力矩
总压力P对Ox轴的力矩为： P y D g sa ix n y S D g sa i c A n y y D
3.据力矩定理
得：
yD
Ix Sx
Ix yc A
6
yD
Ix Sx
Ix yc A
上式表明：平面上静水总压力作用点D的纵坐标yD等于受压面面积A对Ox 轴的惯性矩与静矩之比。
其中
为图形对形心轴
的静矩，其值应等于零，则得
IyIyca2A
结论：同一平面内对所有相互平行的坐标轴的惯性矩，对形心轴的最小 。 在使用惯性矩移轴公式时应注意a ，b的正负号。
8
故对于本问题有： Ix Ay 2 d A A (y c a )2 d A Ay c 2 d A 2 y cA a d A a A 2 d A Ix Ic y c2 A
2.液体总压力Ｐ的铅直分力Pz：
B' F' E'A'
压力体可分为实压力体和虚压力体
实压力体判定方法： 绘出的压力体图形与实际的水体居于受压曲面同侧（重叠），
为实压力体。方向向下。
虚压力体判定方法： 绘出的压力体图形与实际的水体分居受压曲面两侧（不重叠），
为虚压力体。方向向上。
对于复式断面，先根据压力体的三个面围出压力体，再根据上述原 则判定虚、实。
第二章流体静力学25作用在平面上的静水总压力一用解析法求任意平面上的静水总压力二用压力图法求矩形平面上的静水总压力26作用在曲面上的静水总压力一曲面上静水压力二压力体27浮力与浮潜体的稳定一浮力二潜体的平衡与稳定性三浮体的平衡及稳定性第四讲25作用在平面上的静水总压力工程实践中需要解决作用在结构物表面上的液体静压力的问题
2.合力P对Ox轴取力矩
总压力P对Ox轴的力矩为： P y D g sa ix n y S D g sa i c A n y y D
3.据力矩定理
得：
yD
Ix Sx
Ix yc A
6
yD
Ix Sx
Ix yc A
上式表明：平面上静水总压力作用点D的纵坐标yD等于受压面面积A对Ox 轴的惯性矩与静矩之比。
其中
为图形对形心轴
的静矩，其值应等于零，则得
IyIyca2A
结论：同一平面内对所有相互平行的坐标轴的惯性矩，对形心轴的最小 。 在使用惯性矩移轴公式时应注意a ，b的正负号。
8
故对于本问题有： Ix Ay 2 d A A (y c a )2 d A Ay c 2 d A 2 y cA a d A a A 2 d A Ix Ic y c2 A
2.液体总压力Ｐ的铅直分力Pz：
B' F' E'A'
高等流体力学讲义流体力学基本方程(课堂PPT)
方程右边第一项是应力张量的散度，表示作用在单位体积流体上 的表面力；第二项表示作用在单位体积流体上的质量力。
.
10
2.2 动量守恒定理
守恒形式的动量方程
D p v D n V tn v σ u d , v n vσ S p d nS d s V σ f d d V v
S
V
V ( tu v ) u v u v d v V σ d v Vf v d v
.
6
2.2 动量守恒定理
.
7
2.2 动量守恒定理
积分形式的动量方程
系统中流体动量的变化率等于作用在该系统上的质量力和表面力之和。
系统的动量， 作用在系统上的质量力
Vu dv Vf dv
作用在系统上的表面力
pnds S
由动量定理得积分形式的动量方程
D DV tu d vS p nd sV f dv
高斯定理
S u v p v n d s S u v n v σ d s S n v σ u v d s V σ u r d v
nqds qdv
S
V
D e 1 u u d v σ u d v u f d v q dv
一个确定的流体团也可看作一个热力学系统，流体质 点总在流动中，设该系统偏离平衡态不远：系统总能量 的变化率（包括内能和动能）等于外力对系统的作功功 率与通过导热向系统的传热功率之和。
.
13
2.3 能量方程
积分形式的能量守恒方程
任取流动系统体积V，外表面S，表面外法线单位矢量为 n
系统总能量， e1uudv， e 为单位质量流体的内能； V 2
D 0
Dt
上述定义并不要求这个流体质点与
另一个流体质点的密度相等，即不
.
10
2.2 动量守恒定理
守恒形式的动量方程
D p v D n V tn v σ u d , v n vσ S p d nS d s V σ f d d V v
S
V
V ( tu v ) u v u v d v V σ d v Vf v d v
.
6
2.2 动量守恒定理
.
7
2.2 动量守恒定理
积分形式的动量方程
系统中流体动量的变化率等于作用在该系统上的质量力和表面力之和。
系统的动量， 作用在系统上的质量力
Vu dv Vf dv
作用在系统上的表面力
pnds S
由动量定理得积分形式的动量方程
D DV tu d vS p nd sV f dv
高斯定理
S u v p v n d s S u v n v σ d s S n v σ u v d s V σ u r d v
nqds qdv
S
V
D e 1 u u d v σ u d v u f d v q dv
一个确定的流体团也可看作一个热力学系统，流体质 点总在流动中，设该系统偏离平衡态不远：系统总能量 的变化率（包括内能和动能）等于外力对系统的作功功 率与通过导热向系统的传热功率之和。
.
13
2.3 能量方程
积分形式的能量守恒方程
任取流动系统体积V，外表面S，表面外法线单位矢量为 n
系统总能量， e1uudv， e 为单位质量流体的内能； V 2
D 0
Dt
上述定义并不要求这个流体质点与
另一个流体质点的密度相等，即不
高等流体力学-第2章
连续：
x
j
V
j
0
(1)
动量：
V
j
Vi x
j
1 p
xi
0
(2)
能量：
1 2 i 0 V j i Vk 0 Dt x j 2 D
(3)
6
状态方程：
等熵过程 或音速公式
2
p RT DS/ Dt=0
zz
2
x y
xy
y z
yz
z x
zx
2V
y
xy z
xz
0
利用能量方程消去a:
V
2
2
a
2
2
1
2
V 2
2
a
2
1
uu v w
2 2 2
a a
1
2
2 V
17
代入(B)，并通除以 a 2
，可得
xx
yy
1 M
2
xx
yy
zz
M
2
2 2 2 u 1 u 1 v w 1 2 2 V 2 V 2 V 2 2 2 u 1 v 1 u w 1 2 2 V 2 V 2 V 2 2 2 u 1 w 1 u v 1 2 2 V 2 V 2 V
V j2 i0 s i 1 p T xi xi xi x i xi 2
高等工程流体力学(新)
V (t )
S (t )
q ndS
V (t )
q i dV xi
应用雷诺第二输运方程即得欧拉型能量方程的积分形式：
d 1 e u i u i dV V dt (t ) 2
V (t )
d 1 e u i u i dV dt 2
F F (u ) F F ( u )dV F u）dV （ V ( t ) t V ( t ) t F dV F u） （ dV V ( t ) t V (t )
i V (t ) V (t ) i S (t ) j ji
i ji V (t ) V (t ) i V (t ) j
向量形式为：
ji dui f i dt x j
（3-13）
du f dt
（3-14）
3-6 能量方程
能量方程是能量守恒原理在流体运动中的表现形式。 令e代表单位质量流体所具内能， e 则为单位体积流体所 1 1 u u u 代表单位体积动能，从而单位体积流 具内能。 2 2 1 体所包含的总能量 E e u 2。能பைடு நூலகம்守恒原理可表示为：
12 13 11 ij 21 22 23 31 32 33
（3-11）
n p
写为张量形式为
或
pi ji n j
（3-12）
于是动量方程式可写为：
此即为拉格朗日型积分形式的动量方程。右侧第一项 为体积力，第二项为面积力。由雷诺第二输运方程，此式 改为： du dV f dV n dS dt
S (t )
q ndS
V (t )
q i dV xi
应用雷诺第二输运方程即得欧拉型能量方程的积分形式：
d 1 e u i u i dV V dt (t ) 2
V (t )
d 1 e u i u i dV dt 2
F F (u ) F F ( u )dV F u）dV （ V ( t ) t V ( t ) t F dV F u） （ dV V ( t ) t V (t )
i V (t ) V (t ) i S (t ) j ji
i ji V (t ) V (t ) i V (t ) j
向量形式为：
ji dui f i dt x j
（3-13）
du f dt
（3-14）
3-6 能量方程
能量方程是能量守恒原理在流体运动中的表现形式。 令e代表单位质量流体所具内能， e 则为单位体积流体所 1 1 u u u 代表单位体积动能，从而单位体积流 具内能。 2 2 1 体所包含的总能量 E e u 2。能பைடு நூலகம்守恒原理可表示为：
12 13 11 ij 21 22 23 31 32 33
（3-11）
n p
写为张量形式为
或
pi ji n j
（3-12）
于是动量方程式可写为：
此即为拉格朗日型积分形式的动量方程。右侧第一项 为体积力，第二项为面积力。由雷诺第二输运方程，此式 改为： du dV f dV n dS dt
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两种特殊情况的连续性方程：
(1) 定常运动
0 t
divv 0
表示从单位体 积内净流出的 质量为零。
(2) 不可压缩流体
D 0 Dt
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表明流体不可压 缩时，体积不膨 胀不收缩。
divv 0
高等流体力学
第二章 流体运动的基本方程组
22
第四节 微分形式的连续性方程
二、拉格朗日型的连续性方程
三、拉格朗日型的微分形式的连续性方程 流体系统： t = t0 ：微元体积dτ0，密度ρ0 t = t ： 微元体积dτ， 密度ρ 质量守恒：
d 0d 0
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高等流体力学
第二章 流体运动的基本方程组
23
第四节 微分形式的连续性方程
二、拉格朗日型的连续性方程
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高等流体力学
第二章 流体运动的基本方程组
20
第四节 微分形式的连续性方程 二、欧拉型的连续性方程 u v w D 散度公式 ：divv v
x y z
二、欧拉型的微分形式的连续性方程
Dt
t
欧拉型的微分形式的连续性方程：
系统：
系统指某一确定的流体质点的集合。拉格 朗日描述中，以系统作为研究对象。 • 系统以外的环境称为外界；
• 系统与外界的界面称为系统的边界。
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高等流体力学
第二章 流体运动的基本方程组
4
第一节 系统与控制体
一、系 统
系统的特点：
• 系统将随系统内的质点一起运动，系统 内的质点始终包含在系统内；
欧拉型基本方程：
• 以欧拉变量为自变量的流体力学方程。 • 侧重于研究流体物理量的分布(场分布)。
说明：
由于流体力学中大多数问题是想获得流 体物理量的场分布，因此常常采用欧拉 型基本方程。
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高等流体力学
第二章 流体运动的基本方程组
17
第三节 基本方程组的一般论述
二、数学表达形式
2. 积分形式方程与微分形式方程
第二章 流体运动的基本方程组
11
高等流体力学
第二节 雷诺输运定理
二、雷诺输运定理
D D I t t f r, t d Dt Dt f r, t d f r, t v ndA S t
雷诺输运定理：
某一时刻 系统 总物理量的时间变化率，等于 该时刻流体所在控制体(空间域)中物理量的时 间变化率与单位时间通过该 控制体 边界净输 运的流体物理量之和。
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高等流体力学
第二章 流体运动的基本方程组
12
第二节 雷诺输运定理
二、雷诺输运定理
说明：
D D I t t f r, t d Dt Dt f r, t d f r, t v ndA S t
• 控制体运动时，应用雷诺输运定理时，系统 总物理量的时间变化率(方程左边项)需相对 于随控制体一起运动的坐标系进行计算。 • 方程右边第二项代表单位时间通过控制体表 面的流体净输运物理量，式中的速度应为流 体质点相对于控制体表面的速度。
• 系统边界的形状和所包围空间的大小， 可以随运动而发生变化； • 系统与外界之间可以有力的作用及能量 的交换，但无质量的交换。
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高等流体力学
第二章 流体运动的基本方程组
5
第一节 系统与控制体
一、系 统
说明：
• 由于力学中的一些基本定律是建立在质点 和质点系上的，因此，当以系统作为研究 对象时，流体力学的力学定律就可以直接 用原始的数学形式进行表达。
第二章 流体运动的基本方程组
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高等流体力学
第二章 流体运动的基本方程组
1
由这些物理定律建立的方程组应为 封闭方程组，在给定的边界条件及 初始条件下，存在适定解。
建立完整的流体力学基本方程组，是从理 论上(包括分析方法和数值方法)，解决流体 力学问题的最重要的第一步，也是流体力 学理论的核心和关键。 建立流体力学基本方程组的依据：流体运 动所遵循的物理定律：
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高等流体力学
第二章 流体运动的基本方程组
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第三节 基本方程组的一般论述
一、描述流体运动的基本定律
第三节 基本方程组的一般论述
一、描述流体运动的基本定律
制约流体 运动的最 基本的物 理定律
在流体力学里，流体运动必须遵循的定律：
• 质量守恒定律 力学定律
• • • •
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高等流体力学
第二章 流体运动的基本方程组
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第四节 微分形式的连续性方程
一、质量守恒定律
第四节 微分形式的连续性方程
一、质量守恒定律Biblioteka 对系统而言的质量守恒定律：
包含在流体系统中的流体质量在运动过程 中保持不变。
对控制体而言的质量守恒定律：
一个固定空间中的流体质量的变化率等于 通过其表面的质量通量。
u v w 0 t x y z
或： 或：
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div v 0 t D divv 0 Dt
第二章 流体运动的基本方程组
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高等流体力学
D divv 0 div v 0 Dt t 第四节 微分形式的连续性方程 二、欧拉型的连续性方程
26
第五节 微分形式的运动方程
一、运动方程
作用于单位体 积流体上的质 量力
一、运动方程
根据动量守恒定律，通过一微六面体的受力 分析，可以推得 微分形式的运动方程：
单位体积流 体的惯性力
Dv ρFb divP Dt
p x p y p z divP x y z
作用于单位体 积流体上的表 面力
积分形式基本方程：
• 基本运动定律的数学表达式以积分的形式 出现。
• 在推导积分形式基本方程时，需在流体中 取一个有限体积，通过运用基本定律经积 分即可得到积分形式的基本方程。 • 积分形式基本方程在求总体性流体物理量 (如求压强的合力、流量等)时比较简单，但 不能获得物理量的场分布。
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D 0 D0
第二章 流体运动的基本方程组
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高等流体力学
第五节 微分形式的运动方程
第五节 微分形式的运动方程
数学表达式即为 运动方程
动量守恒定律：
对一个给定的流体系统，其动量的时间变 化率等于作用于其上的外力总和。
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高等流体力学
第二章 流体运动的基本方程组
• • • •
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物理定律以数学方程的形式 表达即可得流体力学方程； 数学表达式可是微分形式， 也可是积分形式。
• 质量守恒 • 动量守恒 • 动量矩守恒 能量守恒(热力学第一定律)
高等流体力学
热力学第二定律 状态方程 本构方程
第二章 流体运动的基本方程组
2
主要内容
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 第九节 第十节
高等流体力学
第二章 流体运动的基本方程组
18
第三节 基本方程组的一般论述
二、数学表达形式
微分形式基本方程：
• 基本运动定律的数学表达式以微分的形式 出现。 • 在推导微分形式基本方程时，需在流体内 取一流体微元，对该流体微元运用基本定 律，即可直接得到微分形式的基本方程。 • 通过微分形式基本方程的求解，可以获得 物理量的场分布。
通过推导可得：
某一时刻流 体中取定体 积上系统总 物理量
D D I t t f r, t d Dt Dt f r, t d f r, t v ndA S t
控制体(空间域) 中物理量的时间 变化率
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单位时间通过控制 体(空间域)边界净 输运的流体物理量 之和
高等流体力学
第二章 流体运动的基本方程组
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第二节 雷诺输运定理
一、物理量的定义
第二节 雷诺输运定理
一、物理量的定义
f r, t
— t 时刻的流场中，单位体积的流体所 具有的物理量。
I f r , t d — t 时刻，流体域τ上流体的总物理量。
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高等流体力学
t0 和 t 时刻流体质点的位臵用质点的拉格朗日 变数表示为：
x0 x a, b, c, t0 y0 y a, b, c, t0 z z a, b, c, t 0 0 x xa, b, c, t y y a, b, c, t z z a, b, c, t
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高等流体力学
第二章 流体运动的基本方程组
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第一节 系统与控制体
二、控制体
控制体的特点：
• 控制体的形状大小不变，并且相对于坐 标系固定不动(坐标系可以运动)； • 控制体可通过控制面与外界环境有质量 交换(控制体内的流体质点的组成是可变 的)、能量交换以及力的相互作用。
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其中：
x0 a x0 D0 b x0 c
y0 a y0 b y0 c
z0 a z0 b z0 c
x a x D b x c
y a y b y c
z a z b z c
拉格朗日型的微分形式的连续性方程：
d 0d 0
动量守恒定律 动量矩守恒定律 能量守恒定律(热力学第一定律) 熵不等式(热力学第二定律)
高等流体力学
热力学定律
第二章 流体运动的基本方程组