中考压轴题动态几何之线动形成的面积问题
中考压轴题动态几何之线动形成的面积问题
数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况．以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射．
动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双（多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题．本专题原创编写双（多）动点形成的面积问题模拟题．
在中考压轴题中，线动形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类．[来源:学_科_网]
原创模拟预测题1．如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）
A．B．C．D．
【答案】B．
【解析】
试题分析：当点P在AD上时，△ABP的底AB不变，高增大，所以△ABP的面积S随着时间t的增大而增大；
当点P在D E上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；
当点P在EF上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小；当点P在FG上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；
当点P在GB上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小；
故选B．
考点：动点问题的函数图象；分段函数；分类讨论；压轴题．
原创模拟预测题2．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（）
A．M处B．N处C．P处D．Q处【答案】D．
考点：动点问题的函数图象．
原创模拟预测题3．如图1，已知直线
3
y x
=+与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线
在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折线”）．（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；
（2）如图2，双曲线
k
y
x
=
与新函数的图象交于点C（1，a），点
D是线段AC上一动点（不
包括端点），过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．
①试求△PAD的面积的最大值；
②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）函数的最小值为0；函数图象的对称轴为直线x=﹣3；
3 (3)
3 (3)
x x
y
x x
+≥-
?
=?
--<-
?；（2）①
25
8；②四边形PAEC不能为平行四边形．
【解析】
试题解析：（1）如图1，均是正整数新函数的两条性质：①函数的最小值为0，②函数图象的对称轴为直线x=﹣3；
由题意得A点坐标为（﹣3，0）．分两种情况：①x≥﹣3时，显然y=x+3；
②当x＜﹣3时，设其解析式为y kx b
=+．在直线y=x+3中，当x=﹣4时，y=﹣1，则点（﹣
4，﹣1）关于x轴的对称点为（﹣4，1）．把（﹣4，1），（﹣3，0）代入y kx b
=+，得：
41
30
k b
k b
-+=
?
?
-+=
?，
解得：
1
3
k
b
=-
?
?
=-
?，∴y=﹣x﹣3．综上所述，新函数的解析式为
3 (3)
3 (3)
x x
y
x x
+≥-
?
=?
--<-
?；
（2）如图2，①∵点C（1，a）在直线y=x+3上，∴a=1+3=4．∵点C（1，4）在双曲线
k y
x =
上，∴k=1×4=4，∴
4
y
x
=
．∵点D是线段AC上一动点（不包括端点），∴可设点D的坐
标为（m，m+3），且﹣3＜m＜1．∵DP∥x轴，且点P在双曲线上，∴P（
4
3
m+，m+3），
∴PD=
4
3
m
m
-
+，∴△PAD的面积为
S=14
()(3)
23
m m
m
-?+
+=
2
13
2
22
m m
--+
=
2
1325
()
228
m
-++
，∵a=
1
2
-
＜0，∴当
m=
3
2
-
时，S有最大值，为
25
8，又∵﹣3＜
3
2
-
＜1，∴△PAD的面积的最大值为
25
8；
②在点D运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形．理由如下：
当点D为AC的中点时，其坐标为（﹣1，2），此时P点的坐标为（2，2），E点的坐标为（﹣5，2），∵DP=3，DE=4，∴EP与AC不能互相平分，∴四边形PAEC不能为平行四边形．
考点：反比例函数综合题；分段函数；动点型；最值问题；二次函数的最值；探究型；综合题；压轴题．
原创模拟预测题4．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒．
（1）在运动过程中，求P，Q两点间距离的最大值；
（2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；
（3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQC为等腰三角形？若存在，求出
此时的t
值；若不存在，请说明理由（
5≈2.24，结果保留一位小数）．
【答案】（1）35；（2）S=
2
2
3
(05)
5
1640 (58)
t t
t t t
?
<≤
?
?
?-+-<≤
?；（3）t=
16
5或t=
40
11或t=3.4．
试题解析：（1）如图1，过Q作QE⊥AC于E，连接PQ，∵∠C=90°，∴QE∥BC，∴△
ABC∽△AQE，∴AQ AE QE
AB AC BC
==
，∵AQ=2t，AP=t，∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，
∴2
1086
t t PE QE
+
==
，∴PE=
3
5
t
，QE=
6
5
t
，∴
222
PQ QE PE
=+，∴PQ=
35
5
t
，当Q
与B重合时，PQ的值最大，∴当t=5时，PQ的最大值=
35；（2）如图1，△ABC被直线PQ扫过的面积=ΔAQP
S
当Q在AB边上时，S=1
2AP?QE=
16
25
t t
?
=
2
3
5
t
，（0＜t≤5）
当Q在BC边上时，△ABC被直线PQ扫过的面积=S四边形ABQP，
∴S四边形ABQP=S△ABC﹣S△PQC=1
2×8×6﹣
1
2（8﹣t）?（16﹣2t）=21640
t t
-+-，
（5＜t≤8）；
∴经过t秒的运动，△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式：
S=
2
2
3
(05)
5
1640 (58) t t
t t t
?
<≤
?
?
?-+-<≤
?；
（3）存在，如图2，连接CQ，PQ，
由（1）知QE=6
5
t
，CE=AC﹣AE=
8
8
5
t
-
，PQ=
35
，
∴
22
QE CE
+
22
68
()(8)
55
t t
+-2
32
16
5
t t
-+
①当CQ=CP时，即：
2
32
216
5
t t
-+
=
8t-，解得；t=
16
5，
②当PQ=CQ时，即；
35
t
=
2
32
216
5
t t
-+
，解得：t=
40
11，t=
88
11（不合题意舍去），③当PQ=PC时，即
35
5
t
=8t-，解得：t=6510
-≈3.4；
综上所述：当t=
16
5，t=
40
11，t=3.4时，△PQC为等腰三角形．
考点：相似形综合题；分段函数；分类讨论；存在型；动点型；最值问题；压轴题．
原创模拟预测题5．如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD=4cm，DC=5cm，AB=8cm．如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB 方向向点B匀速运动，它们的速度均为1cm/s，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t s，解答下列问题：
（1）当t为何值时，P，Q两点同时停止运动？
（2）设△PQB的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值；
（3）当△PQB为等腰三角形时，求t的值．
【答案】（1）5；（2）当t=4时，S的最大值是
32
5；（3）t=
40
11秒或t=
48
11秒或t=4秒．
【解析】
试题分析：（1）计算BC的长，找出AB、BC中较短的线段，根据速度公式可以直接求得；（2）由已知条件，把△PQB的边QB用含t的代数式表示出来，三角形的高可由相似三角形的性质也用含t的代数式表示出来，代入三角形的面积公式可得到一个二次函数，即可求出S的最值；
（3）分三种情况讨论：①当PQ=PB时，②当PQ=BQ时，③当QB=BP．
（3）∵cos∠B=
3
5
BE FB
BC BP
==
，∴
BF=
3
5
t
，∴QF=AB﹣AQ﹣BF=
8
8
5
t
-
，∴QP=
22
QF PF
+
=
22
84
(8)()
55
t t
-+
=
2
18
44
55
t t
-+
①当PQ=PB时，∵PF⊥QB，∴BF=QF，∴BQ=2BF，即：
3
82
5
t t
-=?
，解得t=
40
11；
②当PQ=BQ时，即
2
18
44
55
t t
-+
=8﹣t，即：2
11480
t t
-=，解得：10
t=
（舍去），
2
48
11
t=
；
③当QB=BP，即8﹣t=t，解得：t=4．
综上所述：当t=
40
11秒或t=
48
11秒或t=4秒时，△PQB为等腰三角形．
考点：四边形综合题；动点型；二次函数的最值；最值问题；分类讨论；压轴题．
原创模拟预测题6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线
2
3
333
4
y x x
=-++
x 轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与x轴的交点为D．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点E（m，0），F（m+2，0）为x轴上两点，其中2＜m＜4，EE′，FF′分别垂直于x轴，交抛物线于点E′，F′，交BC于点M，N，当ME′+NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使
|RF′﹣RE′|的值最大，请求出R点的坐标及|RF′﹣RE′|的最大值；
（3）如图2，已知x轴上一点P
（
9
2，0），现以P为顶点，23为边长在x轴上方作等边
三角形QPG，使GP⊥x轴，现将△QPG沿PA方向以每秒1个单位长度的速度平移，当点P到达点A时停止，记平移后的△QPG为△Q′P′G′．设△Q′P′G′与△ADC的重叠部分面积为s．当Q′到x轴的距离与点Q′到直线AW的距离相等时，求s的值．
【答案】（1
）
363
y x
=-+；（2）R（0，
273
4），4；（3）S=
13132093
-
或
7631193
-
．
【解析】
试题分析：（1）求出抛物线与x轴的交点坐标和顶点坐标，用待定系数法求解析式即可；（2）先求出E′、F′的坐标表示，然后求出E′M、F′N，用二次函数的顶点坐标求出当m=3时，ME′+NF′的值最大，得到E′、F′的坐标，再求出E′F′的解析式，当点R在直线E′F′与y 轴的交点时，|RF′﹣RE′|的最大值，从而求出R点的坐标及|RF′﹣RE′|的最大值；
（3）分类两种情况讨论：①Q点在∠WAB的角平分线上；②当Q点在∠CAB的外角平分线上时，运用三角形相似求出相应线段，在求出△Q′P′G′与△ADC的重叠部分面积为S．
（2）如图1，∵点E（m，0），F（m+2，0），∴E′（m，
2
3
333
4
m
-++
，F′（m+2，
23434m -+），∴E′M=23333(363)4m m m -++--+=2323334m m -+-，F′N=2343(343)4
m m -+--+=2334m m -+，∴E′M+F′N=
22332333(3)44m m m m -+-+-+=2333332m m -+-，当
33332()2m =-=?-时，E′M+F′N 的值最大，∴此时，E′（3，1534）F′（5，734），∴直
线E′F′的解析式为：27334y x =-+，∴R （0，2734），根据勾股定理可得：RF′=10，RE′=6，∴|RF′﹣RE′|的值最大值是4；
（3）由题意得，Q 点在∠WAB 的角平分线或外角平分线上，
①如图2，当Q 点在∠W AB 的角平分线上时，3，31RMQ′∽△
WOA ，∴''RQ MQ WA AO =，∴RQ′=93，∴RN=933，∵△ARN ∽△AWO ，∴AO WO AN RN =，∴AN=231+，∴DN=AD ﹣AN=23110314+-，∴S=13132093
-；
②如图3，当Q 点在∠CAB 的外角平分线上时，∵△Q′RN ∽△W AO ，∴RQ′=93
，∴
RM=933，∵△RAM ∽△WOA ，∴AM=312-，在RtQ′MP′中，3，
∴AP′=MP′﹣AM=
3123--=1131-，在Rt △AP′S 中，P′S=3AP′=31131-，∴S=7631193
-．
考点：二次函数综合题；动点型；分类讨论；最值问题；综合题；压轴题．
原创模拟预测题7．如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O 出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题：
（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；
（2）设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）N（x，3
4
x
）；（2）
2
33
82
S x x
=-+
（0＜x＜4），当x=2时，S有最大值，最
大值是3
2；（3）2秒或
64
41秒．
【解析】
试题分析：（1）由勾股定理求出OB，作NP⊥OA于P，则NP∥AB，得出△OPN∽△OAB，
得出比例式PN OP ON
AB OA OB
==
，求出OP、PN，即可得出点N的坐标；
（2）由三角形的面积公式得出S是x的二次函数，即可得出S的最大值；
（3）分两种情况：①若∠OMN=90°，则MN∥AB，由平行线得出△OMN∽△OAB，得出比例式，即可求出x的值；
②若∠ONM=90°，则∠ONM=∠OAB，证出△OMN∽△OBA，得出比例式，求出x的值即
可．
（3）存在某一时刻，使△OMN是直角三角形，理由如下：
分两种情况：①若∠OMN=90°，如图2所示，则MN∥AB，此时OM=4﹣x，ON=1.25x，
∵MN∥AB，∴△OMN∽△OAB，∴OM ON
OA OB
=
，即
4
1.25
45
x x
-
=
，解得：x=2；
②若∠ONM=90°，如图3所示，则∠ONM=∠OAB，此时OM=4﹣x，ON=1.25x，∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA，∴△OMN∽△OBA，∴
OM ON
OB OA
=
，即
4 1.25
54
x x
-
=
，解得：x=
64
41；
综上所述：x的值是2秒或
64
41秒．
考点：相似形综合题；二次函数的最值；最值问题；分类讨论；动点型；综合题；压轴题．
中考压轴题系列动态几何之面动形成的函数关系问题完整版
中考压轴题系列动态几何之面动形成的函数关 系问题 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
《中考压轴题全揭秘》第二辑原创模拟预测题 专题26：动态几何之面动形成的函数关系问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 动态几何形成的函数关系和图象问题是动态几何中的基本问题，包括单动点形成的函数关系和图象问题，双（多）动点形成的函数关系和图象问题，线动形成的函数关系和图象问题，面动形成的函数关系和图象问题。本专题原创编写面动形成的函数关系问题模拟题。 面动问题就是在一些基本几何图形上，设计一个动面（包括平移和旋转），或由点动、线动形成面动，并对面在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究 在中考压轴题中，面动形成的函数关系问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。 原创模拟预测题1.如图，点G、E、A、B在一条直线上，等腰直角△EFG从如图所示是位置出发，沿直线AB以1单位/秒向右匀速运动，当点G与B重合时停止运动。已知AD=1，AB=2，设△EFG与矩形ABCD重合部分的面积为S平方单位，运动时间为t秒，则S与t的函数关系 是。 【答案】 () () () 2 2 1 t t0t1 2 1 S1 2013中考数学压轴题动态几何题型精选解析（三） 例题如图1，在直角坐标系中，已知点A（0，2）、点B（﹣2，0），过点B和线段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE． （1）填空：点D的坐标为，点E的坐标为． （2）若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、D、E三点，求该抛物线的解析式． （3）若正方形和抛物线均以每秒个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E落在y 轴上时，正方形和抛物线均停止运动． ①在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为s，求s关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围． ②运动停止时，求抛物线的顶点坐标． 思路分析： （1）构造全等三角形，由全等三角形对应线段之间的相等关系，求出点D、点E的坐标； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （3）本问非常复杂，须小心思考与计算： ①为求s的表达式，需要识别正方形（与抛物线）的运动过程．正方形的平移，从开始到结束，总共历时秒，期间可以划分成三个阶段：当0＜t≤时，对应图（3）a；当＜t≤1时，对应图（3）b；当1＜t≤时，对应图（3）c．每个阶段的表达式不同，请对照图形认真思考； ②当运动停止时，点E到达y轴，点E（﹣3，2）运动到点E′（0，），可知整条抛物线向右平移了3个单位，向上平移了个单位．由此得到平移之后的抛物线解析式，进而求出其顶点坐标． 解：（1）由题意可知：OB=2，OC=1． 如图（1）所示，过D点作DH⊥y轴于H，过E点作EG⊥x轴于G． 易证△CDH≌△BCO，∴DH=OC=1，CH=OB=2，∴D（﹣1，3）； 同理△EBG≌△BCO，∴BG=OC=1，EG=OB=2，∴E（﹣3，2）． ∴D（﹣1，3）、E（﹣3，2）． （2）抛物线经过（0，2）、（﹣1，3）、（﹣3，2）， 则 解得 C 专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题． 1．（09年徐汇区）如图，ABC ?中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且 4=BD ，以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ． （1）当6=AE 时，求AF 的长； （2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时， 求BE 的长； （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长． [题型背景和区分度测量点] 本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例六,典型的一线三角(三等角)问题,试题在原题的基础上改编出第一小题,当E 点在AB 边上运动时，渗透入圆与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第二小题,加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第三小题．区分度测量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,从而利用方程思想来求解． [区分度性小题处理手法] 1．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r 建立方程． 2．圆与圆的位置关系的存在性(相切问题)的处理方法：利用d=R ±r(r R >)建立方程． 3．解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段. 解：（1） 证明CDF ?∽EBD ?∴BE CD BD CF = ，代入数据得8=CF ，∴AF=2 （2） 设BE=x ,则,10==AC d ,10x AE -=利用（1）的方法 x CF 32 = ， 相切时分外切和内切两种情况考虑： 外切， x x 32 1010+ -=，24=x ； 内切， x x 32 1010- -=，17210±=x ．100< 中考压轴题动态几何之其他问题 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况．以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射． 动态几何之其他问题（平面几何）是除前述动态几何问题以外的平面几何问题，本专题原创编写动态几何之其他问题（平面几何）模拟题． 在中考压轴题中，其他问题（平面几何）的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究． 原创模拟预测题1．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发．按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（） A．B．C．D． 【答案】D． 考点：动点问题的函数图象；压轴题；动点型；分段函数． 原创模拟预测题2．如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为t时，蚂蚁与O点的距离为s，则s关于t的函数图象大致是（） A．B．C．D． 【答案】B． 考点：动点问题的函数图象；分段函数． 原创模拟预测题3．如图是自行车骑行训练场地的一部分，半圆O的直径AB=100，在半圆弧上有一运动员C从B点沿半圆周匀速运动到M（最高点），此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同的速度运动到A点停止．设运动时间为t，点B到直线OC的距离为d，则下列图象能大致刻画d与t之间的关系是（）学科网 A．B．C．D． 【答案】C． 考点：动点问题的函数图象． 原创模拟预测题4．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC的距离为（） 中考数学压轴题专题十动态几何问题 试题特点 用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为动态几何问题，此类问题的显著特点是图形中的某个元素（如点、线段、三角形等）或整个图形按照某种规律运动，图形的各个元素在运动变化过程中互相依存、和谐统一，体现了数学中“变”与“不变” 、“一般” 与“特殊”的辩证思想．其主要类型有：1．点的运动（单点运动、多点运动）；2．线段 （直线）的运动；3．图形的运动（三角形运动、四边形运动、圆运动等）． 方式趋势 动态几何题已成为中考试题的一大热点题型．在近几年各地的中考试卷中，以动点问题、平面图形的平移、翻折、旋转、剪拼问题等为代表的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，总体呈现源于教材、高于教材，入口宽、难易适度、梯度分明，考查同学们对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力． 热点解析 一、点的运动 4 【题1】（2011 盐城）如图1，已知一次函数y＝－x＋7 与正比例函数y＝x 的图象3 交于点A ，且与x 轴交于点B． （1）求点A 和点B 的坐标； （2）过点A 作AC⊥y轴于点C，过点B 作直线l∥y 轴，动点P 从点O 出发，以每秒1 个单位长的速度，沿O－C－A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R，交线 段BA 或线段AO 于点Q．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运 动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒． ①当t 为何值时，以A、P、R 为顶点的三角形的面积为8? ②是否存在以A 、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请说明 理由． 求t 的值；若不存在， 4 【思路】（1）联立方程y＝－x＋7 和y＝3x 即可求出点A 的坐标，令－x＋7＝0 即 3 可得点B 的坐标． （2）①只要把三角形的面积用t 表示，求出即可．应注意分P 在OC 上运动和P 在CA 中考数学压轴题全面突破之一?动态几何 题型特点 动态几何问题，是在几何知识和具体的几何图形背景下，通过点、线、形的运动，图形的平移、旋转、对称等来探究图形有关性质和图形之间的数量关系、位置关系的问题．常结合图形面积、存在性问题等考查． 处理原则 ①研究基本图形，分析运动状态，确定分段； ②画图，表达线段长； ③借助几何特征建等式． 难点拆解 解决动态几何问题需要注意分段和线段长表达． ①分段关键是找状态转折点． 动点问题状态转折点通常是折线转折处或动点相遇处； 图形运动问题状态转折点通常是边与顶点的交点． ②线段长表达的方法有：s vt，线段和差、边角关系、勾股定理及相 似． 对于复杂的动态几何问题，如：起始时刻不同、往返运动、运动过程中速度变化等类型，需注意：表达线段长时找准对应的速度和时间． 1.（2011山西太原改编）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边 形，直线l经过O，C两点，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(11，4)．动 点P 在线段OA 上从点O 出发以每秒1个单位长度的速度向点A 运动，同时动点Q 从点A 出发以每秒2个单位长度的速度沿A →B →C 的方向向点C 运动．过点P 作PM 垂直于x 轴，与折线OC ﹣CB 相交于点M ，当P ，Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P ，Q 运动的时间为t 秒（t >0），△MPQ 的面积为S ． （1）点C 的坐标为________，直线l 的解析式为__________． （2）试求点Q 与点M 相遇前S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围． （3）随着P ，Q 两点的运动，当点M 在线段CB 上运动时，设PM 的延长线与直线l 相交于点N ．试探究：当t 为何值时，△QMN 为等腰三角形？ 2. （2012重庆）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AD =2，BC =6，AB =3．E 为BC 边上一点，以BE 为边作正方形BEFG ，使正方形BEFG 和梯形ABCD 在BC 的同侧． l y x C B A Q M P O l y O A B C l y O A B C l y O A B C 中考数学专题 动态几何问题 第一部分 真题精讲 【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）． C M B （1）当MN AB ∥时，求t 的值； （2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形． 【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M ，N 是在动，意味着BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB 时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。 【解析】 解：（1）由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，如图①，过D 作DE AB ∥交BC 于E 点，则四边形ABED 是平行四边形． A B M C N E D ∵AB DE ∥，AB MN ∥． ∴DE MN ∥． （根据第一讲我们说梯形辅助线的常用做法，成功将MN 放在三角形，将动态问题转化成平行时候的静态问题） ∴MC NC EC CD =． （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） ∴ 1021035 t t -=-．解得50 17t =． 【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC 即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN 这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解 【解析】 （2）分三种情况讨论： ① 当MN NC =时，如图②作NF BC ⊥交BC 于F ，则有2MC FC =即．（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质） ∵4 sin 5DF C CD ∠==， ∴3 cos 5C ∠=， ∴310225t t -=?， 解得25 8 t =． A B M C N F D ② 当MN MC =时，如图③，过M 作MH CD ⊥于H ． 则2CN CH =， ∴()3 21025 t t =-?． ∴6017 t =． A B M C N H D ③ 当MC CN =时， 则102t t -=． 10 3t =． 综上所述，当258t = 、6017或103 时，MNC △为等腰三角形． 动态几何证明及实验题 所谓动态几何是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目．解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题．此类题目注重对几何图形运动变化能力的考查．动态几何问题是近几年各地试题中常见的压轴试题，它能考查学生的多种能力，有较强的选拔功能。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。解动态几何题一般方法是针对这些点在运动变化的过程中相伴随着的数量关系（如等量关系、变量关系）、图形位置关系（如图形的特殊状态、图形间的特殊关系）等进行研究考察．抓住变化中的“不变量”，以不变应万变． 实验操作 【要点导航】 通过实验操作——观察猜想——科学论证，使我们体验和学到了发现、获得知识的过程和方法. 实验操作探索——理解题意、实验操作是基本保证，观察猜想、探索结论是关键，论证猜想的结论是落实. 【典例精析】 例1取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如下： 第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图1；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B'，得R t△AB'E，如图2；第三步：沿EB'线折叠得折痕EF，使A点落在EC的延长线上，如图3．利用展开图4探究： （1）△AEF是什么三角形？证明你的结论； （2）对于任一矩形，按照上述方法能否折出这种三角形？请说明你的理由． 【思路分析】 1．图形翻折后能重叠部分的图形全等，所以∠BEA=∠AEB'=∠FEC，它们都是60°角，所以△AEF是等边三角形． 2．由操作可知AF>AD时，不能完整折出这种三角形．当图3中的点F、D重合时，便可求得矩形的长与宽的比例为2︰3． 解（1）△AEF是等边三角形．由折叠过程可得：60 BEA AEF FEC ∠=∠=∠=?．因为BC∥AD，所以60 AFE FEC ∠=∠=?．所以△AEF是等边三角形． 图1 图2 图3 图4 动态几何压轴题“压点”分析及教学启示 石树伟（江苏省扬州市广陵区教育局教研室）1 摘 要：动态几何压轴题是近年来数学中考命题的一个热点，其中真正具有区分选拔功能的“压点”常常是有规律可循的.从数学思想维度分析，“压点”常有数形结合思想、分类思想、方程思想；从数学知识维度分析，“压点”常有相似三角形和函数．针对这些“压点”提出了一些教学建议. 关键词：动态几何压轴题；“压点”分析；数学思想维度；数学知识维度；教学启示 动态几何题是近几年来数学中考命题的一个热点.根据运动元素，动态几何题可以分为“点动型”、“线动型”、“平面图形运动型”，它们通常对在图形的运动变化过程中相伴随着的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究考察.这类问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性，因此常常成为许多省市数学中考试卷的压轴题，肩负一定的区分选拔功能. 分析各地的数学中考试卷，动态几何压轴题虽然变化万端，但也是有规律可循的，特别是真正具有区分选拔功能的“压点”常常是“英雄所见略同”.下面通过几道试题，分别从数学思想和数学知识两个维度分析动态几何压轴题“压点”的规律，并提出相应的教学建议． 一、动态几何压轴题“压点”分析——数学思想维度 各地的中考试题都十分重视对数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解题过程都蕴含着重要的数学思想方法．作为肩负区分选拔功能的压轴题，数学思想更是在其解决过程中起着统领解题策略和思维的作用． 例1 (2009年江苏卷)如图1，已知射线DE 与x 轴和y 轴分别交于点(30)D ，和点(04)E ，．动点C 从点(50)M ，出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向左作匀速运动，与此同时，动点P 从点D 出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE 的方向作匀速运动．设运动时间为t 秒． （1）请用含t 的代数式分别表示出点C 与点P 的坐标； （2）以点C 为圆心、12 t 个单位长度为半径的C ⊙与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），连接P A 、PB ．①当C ⊙与射线DE 有公共点时，求t 的取值范围； ②当PAB △为 收稿日期：2013－04－08 作者简介：石树伟(1971－ )，男，江苏宝应人，中学高级教师，主要从事中学数学教育教学和命题研究． 中考压轴题动态几何之其他问题2 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况．以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射． 动态几何之其他问题（解析几何）是除前述动态几何问题以外的平面几何问题，本专题原创编写动态几何之其他问题（解析几何）模拟题． 在中考压轴题中，其他问题（解析几何）的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究． 原创模拟预测题1．在平面直角坐标系中，点P （x ，0）是x 轴上一动点，它与坐标原点O 的距离为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A ． 【解析】 试题分析：x ＜0时，y=﹣x ，x ＞0时，y=x ．故选A ． 考点：动点问题的函数图象． 原创模拟预测题2．如图，已知直线334y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，P 是抛物线 21252y x x =-++的一个动点，其横坐标为a ，过点P 且平行于y 轴的直线交直线334y x =-+于点Q ，则当PQ=BQ 时，a 的值是 ． 【答案】﹣1，4，425+，425- 【解析】 中考压轴题动态几何之其他存在性问题 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况．以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射． 动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等．本专题原创编写动态几何之其他存在性问题模拟题． 在中考压轴题中，动态几何之其他存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类． 原创模拟预测题1．如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=55， 且 4 3 OD OE = ，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l： 2 11 162 y x x c =-++ 经过点E，且与AB边相交于点F． （1）求证：△ABD∽△ODE； （2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD； （3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）Q（﹣4，0）或（12，0）． 【解析】 中考压轴题动态几何之线动形成的面积问题 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况．以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射． 动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双（多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题．本专题原创编写双（多）动点形成的面积问题模拟题． 在中考压轴题中，线动形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类．[来源:学_科_网] 原创模拟预测题1．如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（） A．B．C．D． 【答案】B． 【解析】 试题分析：当点P在AD上时，△ABP的底AB不变，高增大，所以△ABP的面积S随着时间t的增大而增大； 当点P在D E上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变； 当点P在EF上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小；当点P在FG上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变； 当点P在GB上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小； 故选B． 考点：动点问题的函数图象；分段函数；分类讨论；压轴题． 原创模拟预测题2．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（） 动点问题、动态几何问题专题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 【专题一：建立动点问题的函数解析式】 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式 例1(2000上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P ,PH ⊥OA ,垂足为H ,△OPH 的重心为G . (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). 2013中考数学压轴题动态几何题型精选解析 例题 如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1分别与两坐标轴交于B，A两点，C为该直线上 的一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动，作等边△CDE，点D 和点E都在x轴上，以点C为顶点的抛物线y=a（x﹣m）2+n经过点E．⊙M与x轴、直线AB 都相切，其半径为3（1﹣）a． （1）求点A的坐标和∠ABO的度数； （2）当点C与点A重合时，求a的值； （3）点C移动多少秒时，等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切？ 思路分析： （1）已知直线AB的解析式，令解析式的x=0，能得到A点坐标；令y=0，能得到B点坐标；在Rt△OAB中，知道OA、OB的长，用正切函数即可得到∠ABO的读数． （2）当C、A重合时，就告诉了点C的坐标，然后结合OC的长以及等边三角形的特性求出OD、OE的长，即可得到D、E的坐标，利用待定系数即可确定a的值． （3）此题需要结合图形来解，首先画出第一次相切时的示意图（详见解答图）；已知的条件只有圆的半径，那么先连接圆心与三个切点以及点E，首先能判断出四边形CPMN是正方形，那么CP与⊙M的半径相等，只要再求出PE就能进一步求得C点坐标；那么可以从PE=EQ，即Rt△MEP入手，首先∠CED=60°，而∠MEP=∠MEQ，易求得这两个角的度数，通过解直角三角形不难得到PE的长，即可求出PE及点C、E的坐标．然后利用C、E的坐标确定a的值，进而可求出AC的长，由此得解． 解：（1）当x=0时，y=1；当y=0时，x=﹣， ∴OA=1，OB=，∴A的坐标是（0，1） ∠ABO=30°． （2）∵△CDE为等边△，点A（0，1），∴tan30°=，∴， ∴D的坐标是（﹣，0）， E的坐标是（，0）， 把点A（0，1），D（﹣，0），E（，0）代入 y=a（x﹣m）2+n， 解得：a=﹣3． （3）如图，设切点分别是Q，N，P，连接MQ，MN，MP，ME，过点C作CH⊥x轴，H为垂足，过A作AF⊥CH，F为垂足． ∵△CDE是等边三角形，∠ABO=30° ∴∠BCE=90°，∠ECN=90° ∵CE，AB分别与⊙M相切，∴∠MPC=∠CNM=90°，∴四边形MPCN为矩形，∵MP=MN ∴四边形MPCN为正方形…6分 ∴MP=MN=CP=CN=3（1﹣）a（a＜0）． ∵EC和x轴都与⊙M相切，∴EP=EQ． ∵∠NBQ+∠NMQ=180°，∴∠PMQ=60° ∴∠EMQ，=30°，∴在Rt△MEP中，tan30°=，∴PE=（﹣3）a ∴CE=CP+PE=3（1﹣）a+（﹣3）a=﹣2 a ∴DH=HE=﹣a，CH=﹣3a，BH=﹣3a， ∴OH=﹣3a﹣，OE=﹣4a﹣ ∴E（﹣4a﹣，0） ∴C（﹣3a﹣，﹣3a） 设二次函数的解析式为：y=a（x+3a+）2﹣3a ∵E在该抛物线上 中考数学专题3 动态几何问题 第一部分 真题精讲 【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）． （1）当MN AB ∥时，求t 的值； （2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形． 【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动 态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本 题而言，M ，N 是在动，意味着BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB 时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。 【解析】 解：（1）由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，如图①，过D 作DE AB ∥交BC 于E 点，则四边形ABED 是平行四边形． ∵AB DE ∥，AB MN ∥． ∴DE MN ∥． （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN 放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） ∴MC NC EC CD =． （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） ∴ 1021035t t -=-．解得5017t = ． 【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC 即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN 这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解 【解析】 （2）分三种情况讨论： ① 当MN NC =时，如图②作NF BC ⊥交BC 于F ，则有2MC FC =即．（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质） ∵4sin 5DF C CD ∠==，∴3cos 5C ∠=，∴310225t t -=?，解得25 8 t = ． ② 当MN MC =时，如图③，过M 作 MH CD ⊥于H ． 则2CN CH =，∴()321025t t =-?．∴60 17 t =． C M B A B M C N E D A B M C N F D 中考压轴题动态几何之面动形成的最值问题 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 动态几何形成的最值问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的最值问题，双（多）动点形成的最值问题，线动形成的最值问题，面动形成的最值问题。本专题原创编写面动形成的最值问题模拟题。 在中考压轴题中，面动形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和选择正确的解题方法。 原创模拟预测题1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是______ ． 原创模拟预测题2．如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB=2．对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G．有如下结论： ①∠ABN=60°；②AM=1；③QN 3 BMG是等边三角形；⑤P为线段BM上一动点，H 是BN的中点，则PN+PH3．其中正确结论的序号是． 中考动点专题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种 C 动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题． 1．（09年徐汇区）如图，ABC ?中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ， 以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ． （1）当6=AE 时，求AF 的长； （2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时， 求BE 的长； （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长． [题型背景和区分度测量点] 本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例六,典型的一线三角(三等角)问题,试题在原题的基础上改编出第一小题,当E 点在AB 边上运动时，渗透入圆与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第二小题,加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第三小题．区分度测量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,从而利用方程思想来求解． [区分度性小题处理手法] 1．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r 建立方程． 2．圆与圆的位置关系的存在性(相切问题)的处理方法：利用d=R ±r(r R >)建立方程． 3．解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段. [ 略解] 解：（1） 证明CDF ?∽EBD ?∴ BE CD BD CF = ，代入数据得8=CF ，∴AF=2 （2） 设BE=x ,则,10==AC d ,10x AE -=利用（1）的方法 x CF 32 = ， 相切时分外切和切两种情况考虑： 外切， x x 32 1010+ -=，24=x ； 一、三年中考概况； 近年来运动问题是以三角形或四边形为背景，用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题．这类题的特点是：图形中的某些元素(如点、线段、角等)或整个图形按某种规律运动，图形的各个元素在运动变化过程中相互依存，相互制约．考查学生的分类讨论、转化、数形结合、函数与方程等思想方法. 二、马年中考策略； “动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。解决动点问题的关键是“动中求静”.点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 动态几何特点－－－－问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 解决运动型问题常用的数学思想是方程思想，数学建模思想，函数思想，转化思想等；常用的数学方法有：分类讨论法，数形结合法等. 三、三年中考回放； 类型一建立动点问题的函数解析式（或函数图象） 例1 （2013?兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运 一（中考数学专题3） 动态几何问题 【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）． C M B （1）当MN AB ∥时，求t 的值； （2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形． 【例3】在△ABC 中，∠ACB=45o．点D （与点B 、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ． （1）如果AB=AC ．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关系，并证明你的 结论． （2）如果AB ≠AC ，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ，设AC ＝3=BC ，CD=x ，求线段CP 的长．（用含x 的式子表示） 【例4】已知如图，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形． （1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形； （2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =?∠保持不变．设PC x MQ y ==，，求y 与x 的函数关系式； （3）在（2）中，当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由． A D M Q 60 【例5】已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF BD ⊥交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG CG ，． （1）直接写出线段EG 与CG 的数量关系； （2）将图1中BEF ?绕B 点逆时针旋转45?，如图2所示，取DF 中点G ，连接EG CG ，， ． 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． （3）将图1中BEF ?绕B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然 成立？（不要求证明） 图3 图2 图1 F E A B C D A B C D E F G G F E D C B A 【例6】已知正方形ABCD 的边长为6cm ，点E 是射线BC 上的一个动点，连接AE 交射线DC 于点F ，将△ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点B′ 处． （1）当 CE BE =1 时，CF=______cm ，（2）当CE BE =2 时，求sin ∠DAB ′ 的值； （3）当CE BE = x 时（点C 与点E 不重合），请写出△ABE 翻折后与正方形ABCD 公共部分的面积y 与 x 的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）． 【总结】 通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出,所以难度不言而喻,但是希望考生拿到题以后不要慌张,因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析,一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了.为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如下： 第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量，要分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。 C A D B中考数学压轴题动态几何题型精选解析
专题二：动态几何型压轴题(中考压轴解析)
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九年级数学复习专题动态几何问题
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2014年九年级数学中考动态几何问题压轴题
中考数学动态几何问题(经典)