2019-2020数学高考一模试题附答案

2019-2020数学高考一模试题附答案

一、选择题

1．设1i

2i 1i

z -=++，则||z =

A ．0

B ．

12

C ．1 D

2．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ） A ．

12

B ．

13

C ．

23

D ．

34

3．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于xOy 平面对称 C ．关于坐标原点对称 D ．以上都不对

4．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ B ．若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则a b ∥ C ．若a b a b αβ??P ，，，则αβ∥ D ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥r r

5．设函数()()21,04,0

x log x x f x x ?-<=?≥?，则()()233f f log -+=（ ）

A ．9

B ．11

C ．13

D ．15 6．设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则M ?N 中元素的个数为( ) A ．2

B ．3

C ．5

D ．7

7．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则(A |B)P 等于（ ） A ．

49

B ．

29

C ．

12

D ．

13

8．若奇函数()f x 在[1,3]上为增函数，且有最小值0，则它在[3,1]--上 （ ） A ．是减函数，有最小值0 B ．是增函数，有最小值0 C ．是减函数，有最大值0 D ．是增函数，有最大值0

9．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab += B ．4a b +> C ．()()2

2

112

a b -+-<

D ．228a b +>

10．不等式2x 2-5x -3≥0成立的一个必要不充分条件是（ ）

A ．1x <-或4x >

B ．0x …或2x -?

C ．0x <或2x >

D ．1

2

x -

?或3x …

11．已知a 为函数f （x ）=x 3–12x 的极小值点，则a= A ．–4

B ．–2

C ．4

D ．2

12．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是（ ）

A ．158

B ．162

C ．182

D ．324

二、填空题

13．设n S 是等差数列{}*

()n a n N ∈的前n 项和，且141,7a a ==，则5______S =

14．在ABC V 中，60A =?，1b =3sin sin sin a b c

A B C

++=++________．

15．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）

16．双曲线22

221x y a b

-=(0a >，0b >)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直

线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则a=_______________. 17．设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,

12sin x y θθ

=+??=+?（θ为参数）相切，则a 的值为

____.

18．函数2()log 1f x x =-________．

19．在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则

a =__________．

20．计算：1726

cos()sin 43

ππ-

+=_____． 三、解答题

21．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行

调查，通过抽样，获得某年100为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照

分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

（1）求直方图的的值；

（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； （3）估计居民月用水量的中位数.

22．已知复数12i z m =-，复数21i z n =-，其中i 是虚数单位，m ，n 为实数. （1）若1m =，1n =-，求12z z +的值； （2）若21

2z z =，求m ，n 的值.

23．（辽宁省葫芦岛市2018年二模）直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为

21x tcos y tsin α

α=+??

=+?

(t 为参数)，在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为6cos ρθ=.

（1）求圆C 的直角坐标方程；

（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P 的坐标为()2,1，求PA PB +的最小值. 24．如图所示，在四面体PABC 中，PC⊥AB，点D ，E ，F ，G 分别是棱AP ，AC ，BC ，PB 的中点，求证： (1)DE∥平面BCP ； (2)四边形DEFG 为矩形．

25．某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示

（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y （单位：百万元）与月份代码x 之间的关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；

（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有,A B 两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对,A B 两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表： 使用寿命/材料类型 1个月 2个月 3个月 4个月 总计 A 20 35 35 10 100 B

10

30

40

20

100

如果你是甲公司的负责人，你会选择采购哪款新型材料？ 参考数据：

6

1

96i

i y

==∑ 6

1

371i i i x y ==∑

参考公式：回归直线方程???y

bx a =+，其中()()()

()1

1

2

22

1

1

?=

n n

i

i

i i

i i n

n

i

i

i i x x y y x y nxy

b x x x

nx

====---=--∑∑∑∑

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【解析】

分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模.

详解：

()()

()()

1i1i

1i

2i2i 1i1i1i

z

--

-

=+=+ +-+

i2i i

=-+=，

则1

z=，故选c.

点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

2．B

解析：B

【解析】

试题分析：由题意知本题是一个古典概型概率的计算问题．

从这4张卡片中随机抽取2张，总的方法数是2

46

C=种，数学之和为偶数的有13,24

++

两种，所以所求概率为1

3

，选B．

考点：古典概型．

3．A

解析：A

【解析】点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的x坐标相同，而y、z坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称．

考点：空间两点间的距离.

4．D

解析：D

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：A项中两直线a b

，还可能相交或异面,错误；

B项中两直线a b

，还可能相交或异面,错误；

C项两平面αβ

，还可能是相交平面，错误；

故选D.

5．B

解析：B

【解析】

【分析】

根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案.

【详解】

∵函数2log (1),0()4,0x

x x f x x -

， ∴()2l 23

og 2(3)log 3log 44f f -+=+=2+9=11．

故选B ． 【点睛】

本题考查函数值的求法，考查指对函数的运算性质，是基础题．

6．B

解析：B 【解析】

试题分析：{1,2,6)M N ?=.故选B. 考点：集合的运算.

7．C

解析：C 【解析】 【分析】

这是求甲独自去一个景点的前提下，三个人去的景点不同的概率，求出相应的基本事件的个数，即可得出结果. 【详解】

甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙、丙只能在剩下的两个景点选择，根据分步乘法计数原理可得，对应的基本事件有32212??=种；另外，三个人去不同景点对应的基本事件有3216??=种，所以61

(/)122

P A B =

=，故选C. 【点睛】

本题主要考查条件概率，确定相应的基本事件个数是解决本题的关键.

8．D

解析：D 【解析】 【分析】 【详解】

因为()f x 为奇函数，且在[1,3]上为增函数，且有最小值0， 所以()f x 在[3,1]--上为增函数，且有最大值0，选D.

9．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据236a b ==即可得出21l 3og a =+，31l 2og b =+，根据23log log 132?=，

33log log 222+>，即可判断出结果．

∵236a b ==；

∴226log 1og 3l a ==+，336log 1og 2l b ==+；

∴2332log 2log 4a b +=++>，2332log og 42l ab =++>，故,A B 正确；

()()

()()23222

2

3211log log 2log 323log 22a b =>?-+-+=，故C 错误；

∵()()()2

2

232223log log 2log 2323log 2a b =+++++

232l 23og log 82>+=?，故D 正确

故C ． 【点睛】

本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：a b +≥和不等式222a b ab +≥的应用，属于中档题

10．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据题意，解不等式2x 2-5x-3≥0可得x≤-12或x≥3，题目可以转化为找x≤-1

2

或x≥3的必要不充分条件条件，依次分析选项即可得答案． 【详解】

根据题意，解不等式2x 2-5x-3≥0可得x≤-12或x≥3，则2x 2-5x-3≥0?x≤1

2

-或3x …

，所以可以转化为找x≤-

1

2

或x≥3的必要不充分条件； 依次选项可得：x 1<-或x 4>是1

2

x ≤-

或x≥3成立的充分不必要条件； x 0≥或x 2≤-是1

2x ≤-或x≥3成立的既不充分也不必要条件

x 0<或x 2>是1

2

x ≤-或x≥3成立的必要不充分条件；

x≤-12或x≥3是1

2x ≤-或x≥3成立的充要条件； 故选C ． 【点睛】

本题考查了充分必要条件，涉及一元二次不等式的解答，关键是正确解不等式2x 2-5x-3≥0．

11．D

解析：D

试题分析：()()()2

312322f x x x x ==+'--，令()0f x '=得2x =-或2x =，易得

()f x 在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()f x 的极小值点为2，即

2a =，故选D.

【考点】函数的导数与极值点

【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解，但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，如果0x x <时，'()0f x <，0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点，如果0x x <时，'()0f x >，0x x >时，'()0f x <，则0x 是极大值点.

12．B

解析：B 【解析】 【分析】

先由三视图还原出原几何体，再进行计算 【详解】

由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为

26

4633616222++???+??=

???

. 故选B. . 【点睛】

本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心计算

二、填空题

13．25【解析】由可得所以

解析：25 【解析】

由141,7a a ==可得11,2,21n a d a n ===-，所以5(19)5

252

S +?=

=． 14．【解析】【分析】由已知利用三角形面积公式可求c 进而利用余弦定理可求a 的值根据正弦定理即可计算求解【详解】面积为解得由余弦定理可得：所以故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形面积公式余弦定理正弦定理在

解析：

3

【解析】

【分析】

由已知利用三角形面积公式可求c，进而利用余弦定理可求a的值，根据正弦定理即可计算求解.

【详解】

60

A=?

Q，1

b=

11

sin1

222

bc A c

==???,

解得4

c=，

由余弦定理可得：

a===，

所以sin sin sin sin3

a b c a

A B C A

++

===

++,

故答案为：

3

【点睛】

本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.

15．660【解析】【分析】【详解】第一类先选女男有种这人选人作为队长和副队有种故有种；第二类先选女男有种这人选人作为队长和副队有种故有种根据分类计数原理共有种故答案为

解析：660

【解析】

【分析】

【详解】

第一类，先选1女3男，有31

62

40

C C=种，这4人选2人作为队长和副队有2

4

12

A=种，故有4012480

?=种；第二类，先选2女2男，有22

62

15

C C=种，这4人选2人作为队长和

副队有2

4

12

A=种，故有1512180

?=种，根据分类计数原理共有480180660

+=种，故答案为660.

16．2【解析】试题分析：因为四边形是正方形所以所以直线的方程为此为双曲线的渐近线因此又由题意知所以故答案为2【考点】双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中渐近线是其独特的一种性质也是考查的重点内容

解析：2

【解析】

试题分析：因为四边形OABC 是正方形，所以45AOB ∠=?，所以直线OA 的方程为

y x =，此为双曲线的渐近线，因此a b =，又由题意知22OB =，所以22222(22)a b a a +=+=，2a =．故答案为2．

【考点】双曲线的性质

【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.

求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为

的形式，当

，

，

时为椭圆，当

时为双曲线.

17．【解析】【分析】根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标再根据直线与圆相切的条件得出满足的方程解之解得【详解】圆化为普通方程为圆心坐标为圆的半径为由直线与圆相切则有解得【点睛】直线与圆的位置关系可以使

解析：3

4

【解析】 【分析】

根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出a 满足的方程，解之解得。 【详解】

圆22cos ,12sin x y θθ

=+??=+?化为普通方程为22(2)(1)2x y -+-=， 圆心坐标为(2,1)，圆的半径为2，

22121

a a +=+，解得34

a =

。 【点睛】

直线与圆的位置关系可以使用判别式法，但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小作出判断。

18．2+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式解对数不等式得函数定义域详解：要使函数有意义则解得即函数的定义域为点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题

解析：[2，+∞） 【解析】

分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.

详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为

[2,)+∞.

点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.

19．【解析】【分析】根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程再根据圆心到直线距离等于半径解出【详解】因为由得由得即即因为直线与圆相切所以【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程只要运用公式及直接代入并化

解析：1【解析】 【分析】

根据2

2

2

,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出a . 【详解】

因为2

2

2

,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==， 由cos sin (0)a a ρθρθ+=>，得(0)x y a a +=>，

由2cos ρθ=，得2

=2cos ρρθ，即22=2x y x +，即22(1)1x y -+=，

1101a a a =∴=±>∴=+Q ，，

【点睛】

（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可；

（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2

cos ,sin ,ρθρθρ的形式，

进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.

20．【解析】【分析】利用诱导公式化简题目所给表达式根据特殊角的三角函数值求得运算的结果【详解】依题意原式【点睛】本小题主要考查利用诱导公式化简求值考查特殊角的三角函数值考查化归与转化的数学思想方法属于基

【解析】 【分析】

利用诱导公式化简题目所给表达式，根据特殊角的三角函数值求得运算的结果. 【详解】 依题意，原式

17π26ππ2π

cos

sin cos 4πsin 8π4343????=+=+++ ? ?????π2πcos sin 432=+=. 【点睛】 本小题主要考查利用诱导公式化简求值，考查特殊角的三角函数值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.利用诱导公式化简，首先将题目所给的角，利用诱导公式变为正

角，然后转化为较小的角的形式，再利用诱导公式进行化简，化简过程中一定要注意角的三角函数值的符号.

三、解答题

21．(1) ； (2)36000；（3）

.

【解析】 【分析】

本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（Ⅰ）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a 的值；第（Ⅱ）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（Ⅲ）问，将前5组的频率之和与前4组的频率之和进行比较，得出2≤x<2.5，再估计月均用水量的中位数. 【详解】

（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5）的频率为0.08×

0.5=0.04. 同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.

由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a ， 解得a=0.30.

（Ⅱ）由（Ⅰ）100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12. 由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36000. （Ⅲ）设中位数为x 吨.

因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5， 而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5 所以2≤x<2.5.

由0.50×（x –2）=0.5–0.48，解得x=2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨. 【考点】 频率分布直方图 【名师点睛】

本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n 个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．

22．（15（2）0,1.m n =??=?

【解析】 【分析】

（1）根据题意求出()()121212i z i z i +=-++=-，即可得到模长；

（2）根据212z z =，化简得()2212m i n ni -=--，列方程组即可求解.

【详解】

（1）当1m =，1n =-时112z i =-，21z i =+， 所以()()121212i z i z i +=-++=-，所以

12z z +==.

（2）若21

2z z =，则()

2

21m i ni -=-，

所以()2

212m i n ni -=--，所以2122m n n ?=-?-=-?

解得0,1.m n =??=?

【点睛】

此题考查复数模长的计算和乘法运算，根据两个复数相等，求参数的取值范围. 23．（1）()2

239x y -+=（

2） 【解析】

分析：（1）将6cos ρθ=两边同乘ρ，根据直角坐标与极坐标的对应关系得出直角坐标方程；

（2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，根据参数的几何意义与根与系数的关系得出

PA PB +．

详解：

（1）由2

6cos ,6cos ρθρρθ==得，化为直角坐标方程为2

2

6x y x +=， 即()2

239x y -+=

（2）将l 的参数方程带入圆C 的直角坐标方程，得()2

2cos sin 70t t αα+--=

因为0V >，可设12,t t 是上述方程的两根，()

12122cos sin 7t t t t αα?+=--?

?=-?

所以 又因为（2，1）为直线所过定点，

1212

PA PB t t t t ∴+=+=-=

=≥=

所以PA PB 的最小值为∴+点睛：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程的几何意义与应用，属于基础题．

24．(1)见解析； (2)见解析. 【解析】 【分析】

（1）根据DE 平行PC 即可证明（2）利用PC ，可知DE 与FG 平行且相等，即可证明. 【详解】

证明：(1)因为D ，E 分别为AP ，AC 的中点，所以DE∥PC. 又因为DE ?平面BCP ，PC ?平面BCP ，所以DE∥平面BCP. (2)因为D ，E ，F ，G 分别为AP ，AC ，BC ，PB 的中点， 所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF. 所以四边形DEFG 为平行四边形． 又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG. 所以四边形DEFG 为矩形． 【点睛】

本题主要考查了直线与平面平行的判定及中位线的性质，属于中档题.

25．(1) ?29y

x =+ , 31百万元；(2) B 型新材料. 【解析】 【分析】

(1)根据所给的数据，做出变量,x y 的平均数，求出最小二乘法所需要的数据，可得线性回归方程的系数b ,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出a 的值，写出线性回归方程；将11x =代入所求线性回归方程，求出对应的y 的值即可得结果； (2)求出A 型新材料对应产品的使用寿命的平均数与B 型新材料对应产品的使用寿命的平均数，比较其大小即可得结果. 【详解】

（1）由折线图可知统计数据(),x y 共有6组，

即(1,11)，(2,13)，(3,16)，(4,15)，(5,20)，(6,21)， 计算可得123456

3.56

x +++++=

=，

6111

91666

i i y ==?=∑ 所以()

12

2

1

?n

i i i n i i x y nxy

b

x n x ==-==-∑∑

37163.516

217.5

-??=，

1??62 3.59?a

y bx =-=-?=， 所以月度利润y 与月份代码x 之间的线性回归方程为?29y x =+. 当11x =时，211931?y

=?+=. 故预计甲公司2019年3月份的利润为31百万元.

（2）A 型新材料对应产品的使用寿命的平均数为1 2.35x =，B 型新材料对应的产品的使

用寿命的平均数为2 2.7x =，12x x

应该采购B 型新材料. 【点睛】

本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样

本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算,x y 的值；③计算回归系数??,a

b ；④写出回归直线方程为???y

bx a =+； 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回

归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.