第二章插补与刀补计算原理

❖ 下面推导该递推式:
❖ 根据式（2—1）及式（2—2）可以看出，新加工点的 偏差完全可以用前一加工点的偏差递推出来。
❖ 综上所述，逐点比较法的直线插补过程为每走一步要 进行以下4个节拍（步骤），即判别、进给、运算、比较。
❖ （1） 判别。根据偏差值确定刀具位置是在直线的上 方（或线上），还是在直线的下方。
Fi1, j Fi, j 2xi 1
设加工点P(xi, yj)在圆弧的内侧，则
Fi, j 0
那么，y坐标需向正方向进给一步(+Δy)，移到新加工 点P(xi+1, yj)，此时新加工点的x坐标值仍为xi,y坐标值则 改为yj+1，新加工点P(xi, yj+1)的加工偏差为
Fi, j1 xi2 x02 ( y j 1)2 y02
§2—2 逐点比较法
❖ 逐点比较法，顾名思义，就是每走一步都要将加工点的 瞬时坐标同规定的图形轨迹相比较，判断其偏差，然后决定 下一步的走向，如果加工点走到图形外面去了，那么下一步 就要向图形里面走；如果加工点在图形里面，那么下一步就 要向图形外面走，以缩小偏差。这样就能得出一个非常接近 规定图形的轨迹，最大偏差不超过一个脉冲当量。
表2-3 △x,△y脉冲分配的12种类型
表2—3可以看出，对于直线（G01）来说，按照第Ⅰ象 限直线偏差计算公式得到的Δx和Δy脉冲，根据不同的象 限，分配到机床不同坐标（X，Y）的正负方向上。即若是 第Ⅱ象限直线，则Δx应发往+Y坐标；若是第Ⅲ象限直线， 则Δx应发往 X坐标，等等。
象限逆圆弧为例导出其偏差计算公式。设要加工图2—2所示
第Ⅰ象限逆时针走向的圆弧，半径为R，以原点为圆心，起点
坐标为A( x0 , y0 ),对于圆弧上任一加工点的坐标设为P(xi,
yj) ，P点与圆心的距离Rp的平方为 这一加工点的加工偏差。
Rp2

xi 2

yj2
，现在讨论
Y
E
P(xi,yi)
Rp F<0
❖ （4） 比较。在计算偏差的同时，还要进行一次终点 比较，以确定是否到达了终点。若已经到达，就不再进行 运算，并发出停机或转换新程序段的信号。
序号 1 2 3 4 5 6 7 8
第1拍:判别 F00=0 F10(= -3)<0 F11(= 2)>0 F21(= -1) <0 F22(= 4)>0 F32(= 1)>0 F42(= -2)<0 F43(= 3)>0
❖ 对于图2—1的加工直线OA，我们运用上述法则，根 据偏差判别函数值，就可以获得如图中折线段那样的近似 直线。
❖ 但是按照上述法则进行Fij 的运算时，要作乘法和减法 运算，这对于计算过程以及具体电路实现起来都不很方便。 对于计算机而言，这样会影响速度；对于专用控制机而言， 会增加硬件设备。因此应简化运算，通常采用的是迭代法， 或称递推法，即每走一步后新加工点的加工偏差值用前一 点的加工偏差递推出来。
表2-1 逐点比较法直线插补运算举例
工作节
拍
第2拍:进给
第3拍:运算
+∆x +∆y +∆x +∆y +∆x +∆x +∆y +∆x
F10= F00-ye=0-3= -3 F11 = F10+xe= -3+5=2 F21= F11-ye=2-3= -1 F22= F21+xe= -1+5=4 F32= F22-ye=4-3= 1 F42 = F32-ye=1-3= -2 F43= F42+xe= -2+5=3 F53= F43-ye=3-3=0
❖ （2） 进给。根据判别的结果，决定控制哪个坐标（x 或y）移动一步。
❖ （3） 运算。计算出刀具移动后的新偏差，提供给下 一步作判别依据。根据式（2—1）及式（2—2）来计算新 加工点的偏差，使运算大大简化。
❖ 但是每一新加工点的偏差是由前一点偏差Fij推算出来 的，并且一直递推下去，这样就要知道开始加工时那一点 的偏差是多少。当开始加工时，我们是以人工方式将刀具 移到加工起点，即所谓“对刀”，这一点当然没有偏差， 所以开始加工点的Fij=0。
第二章 插补与刀补计算原理
❖ §2—1 概述
❖ 机床数控的轮廓控制主要问题就是怎样控制刀具或工件 的运动轨迹。无论是硬件数控（NC）系统，还是计算机数 控（CNC）系统或者微机数控（MNC）系统，都必须有完 成插补功能的部分，只是采取的方式不同而已。在CNC或 MNC中，以软件（程序）完成插补或软、硬件结合实现插补， 而在NC中有一个专门完成脉冲分配计算（即插补计算）的 计算装置——插补器。无论是软件数控还是硬件数控，其插 补的运算原理基本相同，其作用都是根据给定的信息进行数 字计算，在计算过程中不断向各个坐标发出相互协调的进给 脉冲，使被控机械部件按指定的路线移动。
还可以看出，按NR1线型插补时，把运算公式的坐标x 和y对调，以x作y，以y作x，那么就得到SR1的走向。按上 述原理，应用SR1同一运算公式，适当改变进给方向也可 获得其余线型SR3，NR2，NR4的走向。这就是说，若针对 不同象限建立类似于第Ⅰ象限的坐标，就可得到与第Ⅰ象 限直线和第Ⅰ象限逆圆的类似情况，从而可以用统一公式 作插补计算，然后根据象限的不同发出不同方向的脉冲。 图2—6（a）、（b）分别为8种圆弧和4种直线的坐标建立 情况，据此可以得到表2—3的进给脉冲分配类型。
设加工点P(xi, yj)在圆弧外侧或圆弧上，则加工偏差 为
Fij (xi2 x02 ) ( y j2 y02 ) 0
x坐标需向负方向进给一步(—Δx)，移到新的加工点 P(xi, yj)位置，此时新加工点的x坐标值为xi-1，y坐标值 仍为yj，新加工点P(xi+1, yj)的加工偏差为
下面举例说明插补过程。设欲加工第Ⅰ象限逆时针走向 的圆弧 (见图2—3)， 起点A的坐标是 x0 4, y0 3 ，终点E的坐标是 xe 0, ye 5 ，终 点判别值：
E (x0 xe ) ( ye y0 ) (4 0) (5 3) 6
加工过程的运算节拍见表2—2，插补后获得的实际轨迹 如图2—3折线所示。
❖ 有关插补算法问题，除了要保证插补计算的精度之外， 还要求算法简单。这对于硬件数控来说，可以简化控制电 路，采用较简单的运算器。而对于计算机数控系统来说， 则能提高运算速度，使控制系统较快且均匀地输给进给脉 冲。
❖ 经过多年的发展，插补原理不断成熟，类型众多。从 产生的数学模型来分，有直线插补、二次曲线插补等；从 插补计算输出的数值形式来分，有基准脉冲插补（又称脉 冲增量插补）和数据采样插补。在基准脉冲插补中，按基 本原理又分为以区域判别为特征的逐点比较法插补，以矢 量运算为基础的矢量判别法插补，兼备逐点比较和数字积 分特征的比较积分法插补，等等。
xeyj - xi ye 0
若任意点 P(xi,yj) 在直线ＯＡ 的上方（严格地说，在直线ＯＡ 与y轴所成夹角区域内），那么有下述关系成立：
亦即:
yj ye xi xe
xeyj - xi ye 0
由此可以取偏差判别函数 为： Fij
Fij＝xeyj - xi ye
由 F的ij 数值（称为“偏差”）就可以判别出P点与直线的 相对位置。即：
逐点比较法插补第Ⅰ象限直线和第Ⅰ象限逆圆弧的计算 流程图分别见图2—3和图2—4。 Y
E(0,5)
A(4,3)
O
X
图 2-3 圆 弧 实 际 轨 迹
表2-2 逐点比较法圆弧插补运算举例
图2-4 直线插补计算流程图
图2-5 圆弧插补计算流程图
三、 坐标转换和终点判别问题
1．象限与坐标变换
前面所讨论的用逐点比较法进行直线及圆弧插补的原理 和计算公式，只适用于第Ⅰ象限直线和第Ⅰ象限逆时针圆弧 那种特定的情况。对于不同象限的直线和不同象限、不同走 向的圆弧来说，其插补计算公式和脉冲进给方向都是不同的。 为了将各象限直线的插补公式统一于第Ⅰ象限的公式，将不 同象限、不同走向的8种圆弧的插补公式统一于第Ⅰ象限逆 圆的计算公式，就需要将坐标和进给方向根据象限等的不同 而进行变换，这样，不管哪个象限的圆弧和直线都按第Ⅰ象 限逆圆和直线进行插补计算。而进给脉冲的方向则按实际象 限和线型来决定，采用逻辑电路或程序将进给脉冲分别发到 +X,-X,+Y,-Y四个通道上去，以控制机床工作台沿X和Y向的 运动。
R
F>0
A(x0,y0)
O
X
图2-2圆弧差补过程
图2-3 圆弧插补过程 若点P(xi, yj)正好落在圆弧上，则下式成立：
xi2 y j 2 x02 y02 R2
若点P(xi, yj)正好落在圆弧外侧，则Rp>R，即
xi2 y j 2 x02 y02
若加工点P(xi, yj)正好落在圆弧内侧，则Rp<R，即
展开上式，并真理得
Fi, j1 Fi, j 2 y j 1
综上所述可知：当 Fi,j 0 时，应走—Δx，新偏差
为 ，动点(加工点)坐标为 ； Fi1, j Fi, j 2xi 1
xi1 xi 1, y j y j
当 Fij 0 ，应走+Δy，新偏差为 Fi, j1 Fi, j 2 y j 1 ，动点
坐标为 xi xi , y j1 y j 1。
可见，圆弧插补偏差计算的递推公式也是比较简单的。 但计算偏差的同时，还要对动点，除偏差计算外，还要进行终点判别 计算。每走一步，都要从两坐标方向总步数中减去1，直 至总步数被减为零(发终点到达信号)时为止，才终止计算。
❖ 在逐点比较法中，每进给一步都需要进行偏差判别、坐 标进给、新偏差计算和终点比较四个节拍。