安徽省亳州市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年安徽省亳州市高二（上）期末试卷（文科数学）一、选择题1．在等比数列{an }中，已知a7•a19=8，则a3•a23=（）A．6 B．7 C．8 D．92．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，已知a=4，B=60°，C=75°，则b=（）A．2B．2C．2D．3．设非零实数a、b，则“a2+b2≥2ab”是“+≥2”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m 和n，则2m﹣n的值为（）A．B．6 C．D．95．设a，b是非零实数，若a＞b，则命题正确的是（）A．＜B．a2＞ab C．＞ D．a2＞b26．已知直线mx+ny﹣2=0（mn＞0）过点（1，1），则+有（）A．最小值4 B．最大值4 C．最小值2 D．最大值27．已知双曲线E：﹣=1的一条渐近线过点（1，﹣1），则E的离心率为（）A．B．C．D．28．函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在R上不单调，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）C．[﹣，] D．（﹣，）9．已知抛物线y 2=2px （p ＞0），过其焦点且斜率为2的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为1，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．x=1 B ．x=﹣1 C ．x=2 D ．x=﹣210．在△ABC 中的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b=2ccosA ，c=2bcosA 则△ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形11．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 2=﹣1，S 5=5，则数列{}的前2016项的和为（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣12．定义在R 上的函数f （x ）满足：f'（x ）＞2﹣f （x ），f （0）=6，f'（x ）是f （x ）的导函数，则不等式e x f （x ）＞2e x +4（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．（0，+∞）B ．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C ．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D ．（3，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．命题“任意x ∈R ，x 2+x+1≥0”的否定是 ． 14．不等式（x 2﹣2x ﹣3）（x ﹣2）＜0的解集为 ．15．抛物线C ：x 2=4y 上的点Q 到点B （4，1）与到x 轴的距离之和的最小值为 ．16．已知数列{a n }满足递推关系式a n+1=3a n +3n ﹣8（n ∈N +），且{}为等差数列，则λ的值是 ．三、解答题（共6小题，满分70分）17．设命题p ：实数x 满足x 2﹣4ax+3a 2＜0，其中a ＞0，命题q ：实数x 满足＜0．（1）若a=1且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；（2）若¬q是¬p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．如图，建立平面直角坐标系xoy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）若k=2，求炮的射程；（2）求炮的最大射程．19．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．（1）求证：b2=ac；（2）若a=2c=2，求△ABC的面积．20．已知等差数列{an }的公差d大于0，且a2，a5是方程x2﹣12x+27=0的两根，数列{bn }的前n项和为Sn，且Sn=（bn﹣1），（n∈N+）．（1）求数列{an }，{bn}的通项公式；（2）若cn =an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．21．已知椭圆C以原点为对称中心、右焦点为F（2，0），长轴长为4，直线l：y=kx+m（k≠0）交椭圆C于不同点两点A，B．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在实数k，使线段AB的垂直平分线经过点Q（0，3）？若存在求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．22．已知函数f（x）=x2+（1﹣x）e x（e为自然对数的底数），g（x）=x﹣（1+a）lnx﹣，a＜1．（1）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（2）讨论函数g（x）的极小值；（3）若对任意的x1∈[﹣1，0]，总存在x2∈[e，3]，使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数a的取值范围．2017-2018学年安徽省亳州市高二（上）期末试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题1．在等比数列{an }中，已知a7•a19=8，则a3•a23=（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式求解．【解答】解：∵在等比数列{an }中，a7•a19=8，∴a3•a23=a7•a19=8．故选：C．2．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，已知a=4，B=60°，C=75°，则b=（）A．2B．2C．2D．【考点】余弦定理．【分析】方法一，根据直角三角形的有关知识即可求出，方法二，根据正弦定理即可求出．【解答】解：法一：过点C作CD⊥AB，∵B=60°，C=75°，∴A=45°，∴AD=CD，∵BC=a=4，B=60°，∴CD=asin60°=2，∴b=AC==2，法二：∵B=60°，C=75°，∴A=45°，由正弦定理可得=，∴b===2，故选：B3．设非零实数a、b，则“a2+b2≥2ab”是“+≥2”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用基本不等式的解法，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：由a2+b2≥2ab，则a，b∈R，当ab＜0时， +＜0，则+≥2不成立，即充分性不成立，若+≥2，则＞0，即ab＞0，则不等式等价为a2+b2＞2ab，则a2+b2≥2ab成立，即必要性成立，故“a2+b2≥2ab”是“+≥2”成立的必要不充分条件，故选：B4．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m 和n，则2m﹣n的值为（）A．B．6 C．D．9【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．【解答】解：作出不等式组满足约束条件的平面区域如图由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，则当直线y=﹣2x+z经过点B时，目标函数取得最大值，经过A时，取得最小值，由，可得A（﹣1，﹣1）时，此时直线的截距最小，此时n=﹣3，由，可得B（2，﹣1）此时m=3，2m﹣n=9．故选：D．5．设a，b是非零实数，若a＞b，则命题正确的是（）A．＜B．a2＞ab C．＞ D．a2＞b2【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析四个不等式的正误，可得答案．【解答】解：若a＞0＞b，则＞0＞，则A错误；若b≤0，则a2≤ab，故B错误；当a=1，b=﹣1时，a＞b，但a2=b2，故D错误；若a＞b，则＞，即＞，故C正确；故选：C6．已知直线mx+ny﹣2=0（mn＞0）过点（1，1），则+有（）A．最小值4 B．最大值4 C．最小值2 D．最大值2【考点】基本不等式．【分析】直线mx+ny﹣2=0（mn＞0）过点（1，1），可得m+n=2，且m，n＞0．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵直线mx+ny﹣2=0（mn＞0）过点（1，1），∴m+n=2，且m，n＞0．则+=（m+n）=（2+=2，当且仅当m=n=1时取等号．故选：C．7．已知双曲线E：﹣=1的一条渐近线过点（1，﹣1），则E的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线E的方程可得其渐近线方程为y=±x，又由其一条渐近线过点（1，﹣1）可得=1，进而由离心率计算公式e==计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线E的方程为：﹣=1，其焦点在x轴上，则其渐近线方程为y=±x，又由其一条渐近线过点（1，﹣1），则有=1，则E的离心率e===；故选：A．8．函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在R上不单调，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）C．[﹣，] D．（﹣，）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，由题意得函数的导数在R上至少有一个零点，主要不能有两个相等的零点，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1，∴f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1，∵若函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在R上不是单调函数∴f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1=0有两个不等的根，即△=4a2﹣12＞0，解得a＜﹣，或a＞，故选：B．9．已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为1，则该抛物线的准线方程为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣2【考点】抛物线的简单性质．【分析】先假设A，B的坐标，根据A，B满足抛物线方程将其代入得到两个关系式，再将两个关系式相减根据直线的斜率和线段AB的中点的纵坐标的值可求出p的值，进而得到准线方程．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则有y12=2px1，y22=2px2，两式相减得：（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（x1﹣x2），又因为直线的斜率为2，所以有y 1+y 2=p ，又线段AB 的中点的纵坐标为1， 即y 1+y 2=2，所以p=2，所以抛物线的准线方程为x=﹣1． 故选B ．10．在△ABC 中的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b=2ccosA ，c=2bcosA 则△ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 【考点】三角形的形状判断．【分析】通过两个等式推出b=c ，然后求出A 的大小，即可判断三角形的形状． 【解答】解：因为在△ABC 中的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b=2ccosA ，c=2bcosA所以，所以b=c ，2bcosA=c ，所以cosA=，A=60°，所以三角形是正三角形． 故选C ．11．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 2=﹣1，S 5=5，则数列{}的前2016项的和为（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣【考点】数列的求和．【分析】设等差数列{a n }的公差为d ，由S 2=﹣1，S 5=5，可得2a 1+d=﹣1，5a 1+d=5，解得a 1，d，可得==．利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 2=﹣1，S 5=5，∴2a 1+d=﹣1，5a 1+d=5，解得a 1=﹣1，d=1， ∴a n =﹣1+（n ﹣1）=n ﹣2．∴==．则数列{}的前2016项的和=+…+==﹣．故选：D ．12．定义在R 上的函数f （x ）满足：f'（x ）＞2﹣f （x ），f （0）=6，f'（x ）是f （x ）的导函数，则不等式e x f （x ）＞2e x +4（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．（0，+∞）B ．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C ．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D ．（3，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令F （x ）=e x f （x ）﹣2e x ﹣4，从而求导F′（x ）=e x （f （x ）+f′（x ）﹣2）＞0，从而由导数求解不等式． 【解答】解：令F （x ）=e x f （x ）﹣2e x ﹣4， 则F′（x ）=e x [f （x ）+f′（x ）﹣2]＞0， 故F （x ）是R 上的单调增函数， 而F （0）=e 0f （0）﹣2e 0﹣4=0，故不等式e x f （x ）＞2e x +4（其中e 为自然对数的底数）的解集为（0，+∞） 故选：A ．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．命题“任意x∈R，x2+x+1≥0”的否定是存在x∈R，x2+x+1＜0 ．【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题否定的方法，结合已知中原命题，可得答案．【解答】解：命题“任意x∈R，x2+x+1≥0”的否定是“存在x∈R，x2+x+1＜0”故答案为：存在x∈R，x2+x+1＜014．不等式（x2﹣2x﹣3）（x﹣2）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（2，3）．【考点】其他不等式的解法．【分析】不等式即（x﹣3）（x+1）（x﹣2）＜0，再用穿根法求得它的解集．【解答】解：（x2﹣2x﹣3）（x﹣2）＜0，即（x﹣3）（x+1）（x﹣2）＜0，用穿根法求得它的解集为（﹣∞，﹣1）∪（2，3），故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，3）．15．抛物线C：x2=4y上的点Q到点B（4，1）与到x轴的距离之和的最小值为 3 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】过Q点作QA⊥l于点A，交x轴于点C，利用抛物线的定义可得QB+QC=QB+QA﹣1=QB+QF﹣1，可知当B、Q、F三点共线时，QB+QF的值最小，因此QB+QF取得最小值FB，求出即可．【解答】解：将x=4代入x2=4y，得y=4＞1，所以点B在抛物线外部．抛物线焦点为F（0，1），准线l：y=﹣1．过Q点作QA⊥l于点A，交x轴于点C，则QB+QC=QB+QA﹣1=QB+QF﹣1．由图可知，当B、Q、F三点共线时，QB+QF的值最小，所以QB+QF 的最小值为FB=4， 故QB+QC 的最小值为3． 故答案为3．16．已知数列{a n }满足递推关系式a n+1=3a n +3n ﹣8（n ∈N +），且{}为等差数列，则λ的值是 ﹣4 ． 【考点】等差数列的性质．【分析】根据题意和等差数列的定义得：，把递推公式代入化简后由整体思想求出λ的值．【解答】解：因为{}为等差数列，所以，d 为常数，因为a n+1=3a n +3n ﹣8（n ∈N +），所以，则左边===为常数，则﹣8﹣2λ=0，解得λ=﹣4，故答案为：﹣4．三、解答题（共6小题，满分70分）17．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足＜0．（1）若a=1且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬q是¬p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．【分析】（1）分别求出关于p，q的不等式，根据p真且q真取交集即可；（2）由p是q的充分不必要条件，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，又a＞0，所以a＜x＜3a，当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由实数x满足得﹣2＜x＜3，即q为真时实数x的取值范围是﹣2＜x＜3．若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是1＜x＜3．﹣﹣﹣﹣﹣（2）¬q是¬p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件由a＞0，及3a≤3得0＜a≤1，所以实数a的取值范围是0＜a≤1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．如图，建立平面直角坐标系xoy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）若k=2，求炮的射程；（2）求炮的最大射程．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）令y=0，求出对于的x的值即可；（2）令kx﹣（1+k2）x2=0，求出x=，根据基本不等式的性质求出x的最大值即可．【解答】解：（1）当k=2时，，令y=0得x1=8，x2=0（舍去），∴k=2时，炮的射程是8千米．﹣﹣﹣﹣﹣（2）在y=kx﹣（1+k2）x2，（k＞0）中，令y=0，得kx﹣（1+k2）x2=0，由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，∴x==≤=10，当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．﹣﹣﹣﹣﹣19．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．（1）求证：b2=ac；（2）若a=2c=2，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）根据三角恒等变换化简sinB（tanA+tanC）=tanAtanC，再利用正弦定理可得b2=ac；（2）根据题意求出a、c和b的值，利用余弦定理求出cosB，再根据同角的三角函数关系求出sinB，计算△ABC的面积即可．【解答】解：（1）证明：在△ABC中，由于sinB（tanA+tanC）=tanAtanC，所以sinB（+）=•，因此sinB （sinAcosC+cosAsinC ）=sinAsinC ； 又A+B+C=π，所以sin （A+C ）=sinB ， 因此sin 2B=sinAsinC ，由正弦定理可得b 2=ac ；﹣﹣﹣﹣﹣ （2）因为a=2c=2， 所以a=2，c=1，又b 2=ac ，所以b=；由余弦定理得cosB==，又因为0＜B ＜π，所以sinB=；所以△ABC 的面积为S=acsinB=．﹣﹣﹣﹣﹣20．已知等差数列{a n }的公差d 大于0，且a 2，a 5是方程x 2﹣12x+27=0的两根，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n =（b n ﹣1），（n ∈N +）． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）若c n =a n •b n ，求数列{c n }的前n 项和T n ． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由a 2，a 5是方程x 2﹣12x+27=0的两根，且数列{a n }的公差d ＞0，可得a 2=3，a 5=9，公差，即可得出a n ．利用数列递推关系与等比数列的通项公式可得b n ．（2）由（1）知，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）∵a 2，a 5是方程x 2﹣12x+27=0的两根，且数列{a n }的公差d ＞0，∴a 2=3，a 5=9，公差∴a n =a 2+（n ﹣2）d=2n ﹣1…又当n=1时，有，∴b 1=3当，∴b n =3b n ﹣1又b 1=3≠0∴数列{b n }是首项b 1=3，公比q=3的等比数列，∴…（2）由（1）知…∵（1）∴（2）…（1）﹣（2）：∴==3﹣（2n ﹣1）•3n+1﹣（32﹣3n+1）=﹣6+（2﹣2n ）•3n+1，∴．21．已知椭圆C 以原点为对称中心、右焦点为F （2，0），长轴长为4，直线l ：y=kx+m （k ≠0）交椭圆C 于不同点两点A ，B ． （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在实数k ，使线段AB 的垂直平分线经过点Q （0，3）？若存在求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设椭圆C 的方程为（a ＞b ＞0）由题意，得a 2，b 2，（2）假设存在斜率为k 的直线，其垂直平分线经过点Q （0，3），设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），AB 的中点为N （x 0，y 0），由，得（1+2k 2）x2+4mkx+2m2﹣8=0，△＞0及kNQ•k=﹣1 进行判定．【解答】解：（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），由题意，得a2=8，b2=4，所以椭圆C的方程为．…（2）假设存在斜率为k的直线，其垂直平分线经过点Q（0，3），设A（x1，y1）、B（x2，y2），AB的中点为N（x，y），由，得（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣8=0，…△=16m2k2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=64k2﹣8m2+32＞0，所以8k2﹣m2+4＞0，…，∴，，…∵线段AB的垂直平分线过点Q（0，3），∴kNQ•k=﹣1，即，∴﹣m=3+6k2，…∵△＞0，整理得36k4+28k2+5＜0，显然矛盾∴不存在满足题意的k的值．…22．已知函数f（x）=x2+（1﹣x）e x（e为自然对数的底数），g（x）=x﹣（1+a）lnx﹣，a＜1．（1）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（2）讨论函数g（x）的极小值；（3）若对任意的x1∈[﹣1，0]，总存在x2∈[e，3]，使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；（2）求出g（x）的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间，从而求出函数的极小值即可；（3）问题等价于f（x）在[﹣1，0]上的最小值大于函数g（x）在[e，3]上的最小值，分别求出f（x），g（x）的极小值，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）∵f′（x）=x（1﹣e x），∴f′（1）=1﹣e，即切线的斜率是1﹣e，又f（1）=，则切点坐标是（1，），故f（x）在x=1处的切线方程是y﹣=（1﹣e）（x﹣1），即2（e﹣1）x+2y﹣2e+1=0；（2）∵g′（x）==，a＜1，函数g（x）的定义域是{x|x＞0}，∴0＜a＜1时，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜a或x＞1，令g′（x）＜0，解得：a＜x＜1，∴g（x）在（0，a）递增，在（a，1）递减，在（1，+∞）递增，∴g（x）的极小值为g（1）=1﹣a，a≤0时，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，∴g（x）的极小值是g（1）=1﹣a，综上，函数g（x）的极小值是1﹣a；（3）若对任意的x1∈[﹣1，0]，总存在x2∈[e，3]，使得f（x1）＞g（x2）成立，等价于f（x）在[﹣1，0]上的最小值大于函数g（x）在[e，3]上的最小值，x∈[﹣1，0]时，f′（x）=x（1﹣e x）≤0，当且仅当x=0时不等式取“=”，∴f（x）在[﹣1，0]上单调递减，∴f（x）在[﹣1，0]上的最小值是f（0）=1，由（2）得，g（x）在[e，3]递减，∴g（x）在[e，3]的最小值是g（e）=e﹣（a+1）﹣，故1＞e﹣（a+1）﹣，解得：a＞，又a＜1，故a∈（，1）．。
2017-2018学年高二上期末数学文科试卷(1)含答案解析
2017-2018学年高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：（每小题5分，共60分）1．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切2．（5分）已知直线l、m，平面α、β且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β．其中正确的命题个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）已知条件p：k=；条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则￢p 是￢q的（）A．充分必要条件B．必要不充分条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）设A为圆周上一点，在圆周上等可能取点，与A连结，则弦长不超过半径的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）在对两个变量x，y进行线性回归分析时，有下列步骤：①对所求出的回归直线方程作出解释；②收集数据（x i，y i），i=1，2，…，n；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图．如果根据可形性要求能够作出变量x，y具有线性相关结论，则在下列操作顺序中正确的是（）A．①②⑤③④B．③②④⑤①C．②④③①⑤D．②⑤④③①6．（5分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣37．（5分）设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0 有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2+x﹣m=0 有实根，则m＞0B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0C．若方程x2+x﹣m=0 没有实根，则m＞0D．若方程x2+x﹣m=0 没有实根，则m≤08．（5分）命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2x0＞0 B．存在x0∈R，2x0≥0C．对任意的x∈R，2x≤0 D．对任意的x∈R，2x＞09．（5分）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）10．（5分）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是（3，0），则椭圆的标准方程为（）A．=1 B．=1C．=1 D．=111．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax ﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1 C．2 D．12．（5分）对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，第i次观测得到的数据为a i，具体如下表所示：在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图（其中是这8个数据的平均数），则输出的S的值是（）A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题：（每小题5分，共20分）13．（5分）程所表示的曲线是．（椭圆的一部分，圆的一部分，椭圆，直线的）14．（5分）直线x﹣2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，则|AB|=．15．（5分）命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为．16．（5分）已知P为椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积S=．三、解答题：17．（10分）给定两个命题，P：对任意的实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．18．（12分）某校高二年级有男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查，设其中某项问题的选择支为“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择，下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．（1）请完成此统计表；（2）试估计高二年级学生“同意”的人数；（3）从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意”的概率．19．（12分）设锐角三角形的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2bsinA．（1）求B的大小；（2）求cosA+sinC的取值范围．20．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．22．（12分）已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R，圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25．（Ⅰ）证明：直线l恒过一定点P；（Ⅱ）证明：直线l与圆C相交；（Ⅲ）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值．参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分）1．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切【解答】解：圆O1：x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2=1，圆心是O1（1，0），半径是r1=1圆O2：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4，圆心是O2（0，2），半径是r2=2∵|O1O2|=，故|r1﹣r2|＜|O1O2|＜|r1+r2|∴两圆的位置关系是相交．故选B2．（5分）已知直线l、m，平面α、β且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β．其中正确的命题个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解；①∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又∵m⊂β，∴l⊥m，①正确．②由l⊥m推不出l⊥β，②错误．③当l⊥α，α⊥β时，l可能平行β，也可能在β内，∴l与m的位置关系不能判断，③错误．④∵l⊥α，l∥m，∴m∥α，又∵m⊂β，∴α⊥β，正确；故选：B．3．（5分）已知条件p：k=；条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则￢p 是￢q的（）A．充分必要条件B．必要不充分条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，可得：=1，解得k=．∴p是q的充分不必要条件．则￢p是￢q的必要不充分条件．故选：B．4．（5分）设A为圆周上一点，在圆周上等可能取点，与A连结，则弦长不超过半径的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：在圆上其他位置任取一点B，设圆半径为R，则B点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2πR，其中满足条件AB的长度不超过半径长度的对应的弧长为•2πR，则AB弦的长度不超过半径长度的概率P=．故选：C．5．（5分）在对两个变量x，y进行线性回归分析时，有下列步骤：①对所求出的回归直线方程作出解释；②收集数据（x i，y i），i=1，2，…，n；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图．如果根据可形性要求能够作出变量x，y具有线性相关结论，则在下列操作顺序中正确的是（）A．①②⑤③④B．③②④⑤①C．②④③①⑤D．②⑤④③①【解答】解：对两个变量进行回归分析时，首先收集数据（x i，y i），i=1，2，…，n；根据所搜集的数据绘制散点图．观察散点图的形状，判断线性关系的强弱，求相关系数，写出线性回归方程，最后对所求出的回归直线方程作出解释；故正确顺序是②⑤④③①故选D．6．（5分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为（﹣1，2），代入直线3x+y+a=0得：﹣3+2+a=0，∴a=1，故选B．7．（5分）设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0 有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2+x﹣m=0 有实根，则m＞0B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0C．若方程x2+x﹣m=0 没有实根，则m＞0D．若方程x2+x﹣m=0 没有实根，则m≤0【解答】解：命题的逆否命题为，若方程x2+x﹣m=0 没有实根，则m≤0，故选：D．8．（5分）命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2x0＞0 B．存在x0∈R，2x0≥0C．对任意的x∈R，2x≤0 D．对任意的x∈R，2x＞0【解答】解：命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是对任意的x∈R，2x＞0，故选：D．9．（5分）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）【解答】解：∵直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点∴圆心到直线x﹣y+1=0的距离为∴|a+1|≤2∴﹣3≤a≤1故选C．10．（5分）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是（3，0），则椭圆的标准方程为（）A．=1 B．=1C．=1 D．=1【解答】解：设椭圆的短轴为2b（b＞0），长轴为2a，则2a+2b=18又∵个焦点的坐标是（3，0），∴椭圆在x轴上，c=3∵c2=a2﹣b2∴a2=25 b2=16所以椭圆的标准方程为故选B．11．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax ﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1 C．2 D．【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上，又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行，所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2．故选C．12．（5分）对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，第i次观测得到的数据为a i，具体如下表所示：在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图（其中是这8个数据的平均数），则输出的S的值是（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：本题在算法与统计的交汇处命题，考查了同学们的识图能力以及计算能力．本题计算的是这8个数的方差，因为所以故选B二、填空题：（每小题5分，共20分）13．（5分）程所表示的曲线是椭圆的一部分．（椭圆的一部分，圆的一部分，椭圆，直线的）【解答】解：方程，可得x≥0，方程化为：x2+4y2=1，（x≥0），方程表示焦点坐标在x轴，y轴右侧的一部分．故答案为：椭圆的一部分；14．（5分）直线x﹣2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，则|AB|=2．【解答】解：圆心为（0，0），半径为2，圆心到直线x﹣2y+5=0的距离为d=，故，得|AB|=2．故答案为：2．15．（5分）命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为[﹣2，2] ．【解答】解：原命题的否定为“∀x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”，且为真命题，则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立，只需△=9a2﹣4×2×9≤0，解得：﹣2≤a≤2．故答案为：[﹣2，2]16．（5分）已知P为椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积S=．【解答】解：由椭圆的标准方程可得：a=5，b=3，∴c=4，设|PF1|=t1，|PF2|=t2，所以根据椭圆的定义可得：t1+t2=10①，在△F1PF2中，∠F1PF2=60°，所以根据余弦定理可得：|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos60°=|F1F2|2=（2c）2=64，整理可得：t12+t22﹣t1t2=64，②把①两边平方得t12+t22+2t1•t2=100，③所以③﹣②得t1t2=12，∴∠F1PF2=3．故答案为：3．三、解答题：17．（10分）给定两个命题，P：对任意的实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．【解答】解：当P为真时，a=0，或，解得：a∈[0，4）﹣﹣（3分）当Q为真时，△=1﹣4a≥0．解得：a∈（﹣∞，]﹣﹣（6分）如果p∨q为真，p∧q为假，即p和q有且仅有一个为真，﹣﹣（8分）当p真q假时，a∈（，4）当p假q真时，a∈（﹣∞，0）a的取值范围即为：（﹣∞，0）∪（，4）﹣﹣（12分）18．（12分）某校高二年级有男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查，设其中某项问题的选择支为“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择，下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．（1）请完成此统计表；（2）试估计高二年级学生“同意”的人数；（3）从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意”的概率．【解答】解：（1）根据题意，填写被调查人答卷情况统计表如下：男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查，设其中某项问题的选择支为“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择，下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．（2）由表格可以看出女生同意的概率是，男生同意的概率是；用男女生同意的概率乘以人数，得到同意的结果数为105×+126×=105，估计高二年级学生“同意”的人数为105人；（3）设“同意”的两名学生编号为1，2，“不同意”的四名学生分别编号为3，4，5，6，选出两人则有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15种方法；其中（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），共8种满足题意；则恰有一人“同意”一人“不同意”的概率为P=．19．（12分）设锐角三角形的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2bsinA．（1）求B的大小；（2）求cosA+sinC的取值范围．【解答】解：（1）由a=2bsinA．根据正弦定理，得sinA=2sinBsinA，sinA≠0．故sinB=．因△ABC为锐角三角形，故B=．（2）cosA+sinC=cosA+sin=cosA+sin=cosA+cosA+sinA=sin．由△ABC为锐角三角形，知=﹣B＜A＜，∴＜A+＜，故＜sin＜，＜＜．故cosA+sinC的取值范围是．20．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，解得a＜x＜3a．命题q：实数x满足．化为，解得，即2＜x≤3．（1）a=1时，p：1＜x＜3．p∧q为真，可得p与q都为真命题，则，解得2＜x＜3．实数x的取值范围是（2，3）．（2）∵p是q的必要不充分条件，∴，a＞0，解得1＜a≤2．∴实数a的取值范围是（1，2]．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，∠BAP=∠CDP=90°，∴AB⊥PA，CD⊥PD，又AB∥CD，∴AB⊥PD，∵PA∩PD=P，∴AB⊥平面PAD，∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．解：（2）设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO，∵PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，平面PAB⊥平面PAD，∴PO⊥底面ABCD，且AD==，PO=，∵四棱锥P﹣ABCD的体积为，由AB⊥平面PAD，得AB⊥AD，=∴V P﹣ABCD====，解得a=2，∴PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2，PO=，∴PB=PC==2，∴该四棱锥的侧面积：S侧=S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC=+++==6+2．22．（12分）已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R，圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25．（Ⅰ）证明：直线l恒过一定点P；（Ⅱ）证明：直线l与圆C相交；（Ⅲ）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值．【解答】（本题满分12分）解：证明：（Ⅰ）直线l方程变形为（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0，由，得，∴直线l恒过定点P（3，1）．…（4分）（Ⅱ）∵P（3，1），圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的圆心C（1，2），半径r=5，∴，∴P点在圆C内部，∴直线l与圆C相交．…（8分）解：（Ⅲ）当l⊥PC时，所截得的弦长最短，此时有k l•k PC=﹣1，而，k PC=﹣，∴=﹣1，解得m=﹣．…（12分）。
2017-2018学年高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．101（9）化为十进制数为（）A．9 B．11 C．82 D．101【解答】解：由题意，101（9）=1×92+0×91+1×90=82，故选：C．2．随机事件A发生的概率的范围是（）A．P（A）＞0 B．P（A）＜1 C．0＜P（A）＜1 D．0≤P（A）≤1【解答】解：∵随机事件是指在一定条件下可能发生，也有可能不发生的事件∴随机事件A发生的概率的范围0＜P（A）＜1当A是必然事件时，p（A）=1，当A是不可能事件时，P（A）=0故选C．3．如果一组数x1，x2，…，xn的平均数是，方差是s2，则另一组数的平均数和方差分别是（）A．B．C．D．【解答】解：∵x1，x2，…，xn的平均数是，方差是s2，∴的平均数为，的方差为3s2故选C4．“﹣3＜m＜5”是“方程+=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断．【解答】解：若方程+=1表示椭圆，则，所以，即﹣3＜m＜5且m≠1．所以“﹣3＜m＜5”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B．5．某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P==，故选：B6．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是（）A．s≤B．s≤C．s≤D．s≤【解答】解：模拟执行程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，因此S=++=（此时k=6），因此可填：S≤．故选：C．7．若直线l经过A（2，1），B（1，﹣m2）（m∈R）两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（）A．0≤α≤B．＜α＜πC．≤α＜D．＜α≤【解答】解：根据题意，直线l经过A（2，1），B（1，﹣m2），则直线l的斜率k==1+m2，又由m∈R，则k=1+m2≥1，则有tanα=k≥1，又由0≤α＜π，则≤α＜；故选：C．8．从1，2，3，4，5中任取两个不同的数字，构成一个两位数，则这个数字大于40的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：从1，2，3，4，5中任取两个不同的数字，构成一个两位数有=5×4=20，这个数字大于40的有=8，∴这个数字大于40的概率是=，故选：A9．已知点P（x，y）在直线2x+y+5=0上，那么x2+y2的最小值为（）A．B．2C．5 D．2【解答】解：x2+y2的最小值可看成直线2x+y+5=0上的点与原点连线长度的平方最小值，即为原点到该直线的距离平方d2，由点到直线的距离公式易得d==．∴x2+y2的最小值为5，故选：C10．已知圆M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是（）A．内切 B．相交 C．外切 D．相离【解答】解：圆的标准方程为M：x2+（y﹣a）2=a2 （a＞0），则圆心为（0，a），半径R=a，圆心到直线x+y=0的距离d=，∵圆M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，∴2=2=2=2，即=，即a2=4，a=2，则圆心为M（0，2），半径R=2，圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的圆心为N（1，1），半径r=1，则MN==，∵R+r=3，R﹣r=1，∴R﹣r＜MN＜R+r，即两个圆相交．故选：B11．一条光线沿直线2x﹣y+2=0入射到直线x+y﹣5=0后反射，则反射光线所在的直线方程为（）A．2x+y﹣6=0 B．x+2y﹣9=0 C．x﹣y+3=0 D．x﹣2y+7=0【解答】解：由得，故入射光线与反射轴的交点为A（1，4），在入射光线上再取一点B（0，2），则点B关于反射轴x+y﹣5=0的对称点C（3，5）在反射光线上．根据A、C两点的坐标，用两点式求得反射光线的方程为，即x﹣2y+7=0．故选D．12．已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，∵MF1与x轴垂直，∴（2a+x）2=x2+4c2，∴x=∵sin∠MF2F1=，∴3x=2a+x，∴x=a，∴=a，∴a=b，∴c=a，∴e==．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．双曲线8kx2﹣ky2=8的一个焦点为（0，3），则k的值为﹣1．【解答】解：根据题意可知双曲线8kx2﹣ky2=8在y轴上，即，∵焦点坐标为（0，3），c2=9，∴，∴k=﹣1，故答案为：﹣1．14．椭圆+y2=1的弦被点（，）平分，则这条弦所在的直线方程是2x+4y﹣3=0．【解答】解：设这条弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k，则，两式相减再变形得，又弦中点为（，），故k=﹣，故这条弦所在的直线方程y﹣=﹣（x﹣），整理得2x+4y﹣3=0．故答案为：2x+4y﹣3=0．15．已知命题p：|x﹣1|+|x+1|≥3a恒成立，命题q：y=（2a﹣1）x为减函数，若p且q为真命题，则a的取值范围是（．【解答】解：∵p且q为真命题，∴命题p与命题q均为真命题．当命题p为真命题时：∵|x﹣1|+|x+1|≥3a恒成立，∴只须|x﹣1|+|x+1|的最小值≥3a即可，而有绝对值的几何意义得|x﹣1|+|x+1|≥2，即|x﹣1|+|x+1|的最小值为2，∴应有：3a≤2，解得：a≤，①．当命题q为真命题时：∵y=（2a﹣1）x为减函数，∴应有：0＜2a﹣1＜1，解得：，②．综上①②得，a的取值范围为：即：（]．故答案为：（]．16．已知椭圆+=1，当椭圆上存在不同的两点关于直线y=4x+m对称时，则实数m的范围为：﹣＜m＜．【解答】解：∵+=1，故3x2+4y2﹣12=0，设椭圆上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=4x+m对称，AB中点为M（x0，y0），则3x12+4y12﹣12=0，①3x22+4y22﹣12=0，②①﹣②得：3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，即3•2x0•（x1﹣x2）+4•2y0•（y1﹣y2）=0，∴=﹣•=﹣．∴y0=3x0，代入直线方程y=4x+m得x0=﹣m，y0=﹣3m；因为（x0，y0）在椭圆内部，∴3m2+4•（﹣3m）2＜12，即3m2+36m2＜12，解得﹣＜m＜．故答案为：﹣＜m＜三、解答题（本大题共6小题，70分）17．为了了解某地高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上为达标，试估计全体高一学生的达标率为多少？（3）通过该统计图，可以估计该地学生跳绳次数的众数是115，中位数是121.3．【解答】解：（1）∵从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．∴样本容量是=150，∴第二小组的频率是=0.08．（2）∵次数在110以上为达标，∴在这组数据中达标的个体数一共有17+15+9+3，∴全体学生的达标率估计是=0.88 …6分（3）在频率分布直方图中最高的小长方形的底边的中点就是这组数据的众数，即=115，…7分处在把频率分布直方图所有的小长方形的面积分成两部分的一条垂直与横轴的线对应的横标就是中位数121.3 …8分18．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，p：{x|1＜x＜3}，q：{x|2＜x≤3}，又p∧q为真，所以p真且q真，由得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为（2，3）（2）因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，又p：{x|a＜x＜3a}（a＞0），q：{x|2＜x≤3}，所以解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是（1，2]19．已知直线l：y=kx+1，圆C：（x﹣1）2+（y+1）2=12．（1）试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；（2）求直线l被圆C截得的最短弦长．【解答】解：（1）由，消去y得到（k2+1）x2﹣（2﹣4k）x﹣7=0，∵△=（2﹣4k）2+28k2+28＞0，∴不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；（2）设直线与圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2），则直线l被圆C截得的弦长|AB|=|x1﹣x2|=2=2，令t=，则有tk2﹣4k+（t﹣3）=0，当t=0时，k=﹣；当t≠0时，由k∈R，得到△=16﹣4t（t﹣3）≥0，解得：﹣1≤t≤4，且t≠0，则t=的最大值为4，此时|AB|最小值为2，则直线l被圆C截得的最短弦长为2．20．已知回归直线方程是：=bx+a，其中=，a=﹣b．假设学生在高中时数学成绩和物理成绩是线性相关的，若10个学生在高一下学期某次考试中数学成绩x（总分150分）和物理成绩y（总分100分）如下：X 122 131 126 111 125 136 118 113 115 112Y 87 94 92 87 90 96 83 84 79 84（1）试求这次高一数学成绩和物理成绩间的线性回归方程（系数精确到0.001）（2）若小红这次考试的物理成绩是93分，你估计她的数学成绩是多少分呢？【解答】解：（1）由题意，==120.9，==87.6，=146825，=102812，∴===0.538，a=﹣b≈22.521∴=0.538x﹣22.521，（2）由（1）=0.538x﹣22.521，当y=93时，93=0.538x﹣22.521，x≈131．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线x=﹣3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，解得c=2，a=，b=．∴椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣2，0），设T（﹣3，m），则直线TF的斜率，∵TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x=my﹣2．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立，化为（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，△＞0，∴y1+y2=，y1y2=．∴x1+x2=m（y1+y2）﹣4=．∵四边形OPTQ是平行四边形，∴，∴（x1，y1）=（﹣3﹣x2，m﹣y2），∴，解得m=±1．此时四边形OPTQ的面积S=═=．22．已知H（﹣3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足．（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（2）过点T（﹣1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E（x0，0），使得△ABE是等边三角形，求x0的值．【解答】解（1）设点M的坐标为（x，y），由．得，由，得，所以y2=4x由点Q在x轴的正半轴上，得x＞0，所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点．（2）设直线l：y=k（x+1），其中k≠0代入y2=4x，得k2x2+2（k2﹣2）x+k2=0①设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个实数根，由韦达定理得所以，线段AB的中点坐标为，线段AB的垂直平分线方程为，令，所以，点E的坐标为．因为△ABE为正三角形，所以，点E到直线AB的距离等于|AB|，而|AB|=．所以，解得，所以．。
安徽省亳州市2017-2018学年高中毕业班第三次统测数学(文科)试题Word版含答案
安徽省亳州市2017-2018学年高中毕业班第三次统测数学（文科）试题第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合()(){}|210M x x x =+-<,{}|10N x x =+<，则M N =（A ）()1,1- （B ）()2,1-（C ）()2,1--（D ） ()1,2（2）复数512ii=- （A ）2i -- （B ）12i - （C ） 2i -+ （D ）12i -+ （3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）16（4）设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =-（D ）32n n S a =-（5）椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=︒，则C 的离心率为（A （B ）13 （C ）12 （D （6）某几何体的三视图如图所示（网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（A ） 2 （B ） 3（C ） 4 （D ）6（7）设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 （A ）()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线4x π=对称（B ）()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线2x π=对称（C ）()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线4x π=对称（D ）()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线2x π=对称（8）如图所示是计算函数()ln ,20,232,3x x x y x x -≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩的值的程序框图，在①②③处应分别填入的是 （A ）()ln ,0,2x y x y y =-== （B ）()ln ,2,0x y x y y =-== （C ）()0,2,ln x y y y x ===- （D ）()0,ln ,2x y y x y ==-=（9）已知定点()12,0F -，()22,0F ，N 是圆22:1O x y +=上任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的中垂线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）双曲线 （C ）抛物线 （D ）圆（10）当实数,x y 满足不等式组0022x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，3ax y +≤恒成立，则实数a 的取值范围是（A ）0a ≤ （B ）0a ≥ （C ）02a ≤≤ （D ）3a ≤（11）在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，AC BD O = ，E 是线段1B C （含端点）上的一动点， 则①1OE BD ⊥； ②11//OE AC D 面； ③三棱锥1A BDE -的体积为定值； ④OE 与11AC 所成的最大角为90︒.上述命题中正确的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（12）定义在R 上的函数()f x 满足()()4f x f x +=，()21,1121,13x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨--+<≤⎪⎩.若关于x 的方程()0f x ax -=有5个不同实根，则正实数a 的取值范围是（A ）11,43⎛⎫⎪⎝⎭ （B ）11,64⎛⎫ ⎪⎝⎭（C）1166⎛⎫- ⎪⎝⎭ （D）1,86⎛- ⎝第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）平面向量()1,2a = ，()4,2b = ，()c ma b m R =+∈ ，且c 与a 的夹角等于c 与b的夹角，则m ＝▲ .（14）已知直线y x m =-+是曲线23ln y x x =-的一条切线，则m 的值为 ▲ .（15）设数列{}n a 满足2410a a +=，点(),n n P n a 对任意的*n N ∈，都有向量()11,2n n P P +=，则数列{}n a 的前n 项和n S = ▲ .（16）已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在2个零点12,x x ，且12,x x 都大于0，则a 的取值范围是 ▲ . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.1A（17）（本小题满分12分）已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边依次为,,a b c ，其中2b =.（Ⅰ）若sin 2sin a B A ，求B ；（Ⅱ）若,,a b c 成等比数列，求ABC ∆面积的最大值.（18）（本小题满分12分）某市房产契税标准如下：从该市某高档住宅小区，随机调查了一百户居民，获得了他们的购房总额数据，整理得到了如下的频率分布直方图：（Ⅰ）假设该小区已经出售了2000套住房，估计该小区有多少套房子的总价在300万以上，说明理由.（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，估计该小区购房者缴纳契税的平均值.（19）（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，112AD AB DC BC ====，E 是PC 的中点，面PAC ⊥面ABCD .（Ⅰ）证明：//ED PAB 面；（Ⅱ）若2PB PC ==，求点P 到面ABCD 的距离.（20）（本小题满分12分）已知圆()221:19F x y ++=，圆()222:11F x y -+=，动圆P 与圆1F 内切，与圆2F 外切.O 为坐标原点.（Ⅰ）求圆心P 的轨迹C 的方程.（Ⅱ）直线:2l y kx =-与曲线C 交于,A B 两点，求OAB ∆面积的最大值，以及取得最大值时直线l 的方程.（21）（本小题满分12分）已知函数()1ln ,1x f x x aa R x -=-∈+. （Ⅰ）讨论()f x 的单调区间；（Ⅱ）当()0,1x ∈时，()()1ln 1x x a x +<-恒成立，求a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数)， 在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为8cos .3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （Ⅰ）求曲线2C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（Ⅱ）若曲线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，求AB 的最大值和最小值.（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()1f x x =+，()2g x x a =+. （Ⅰ）当0a =，解不等式()()f x g x ≥；（Ⅱ）若存在x R ∈，使得()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围.安徽省亳州市2017-2018学年高中毕业班第三次统测数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题13．2 14． 2 15．2n 16．()0,2三、解答题（17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由sin 2sin a B A =，得2sin cos sin a B B A = （1分）由正弦定理得 2sin sin cos sin A B B B A = （2分）得cos B =（3分） 又因为()0,B π∈，所以6B π=（5分）（Ⅱ）若,,a b c 成等比数列，则有2=4b ac = （6分）222221cos 222a cb ac b B ac ac +--=≥=，当且仅当2a c ==时等号成立， （8分）()cos 0,y x π=在单调递减，且1cos32π=，所以B 的最大值为3π. （10分） 1sin 2sin 2ABC S ac B B == ，当=3B π时，ABC ∆（12分）（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，购房总价在300万以上的频率为0.10.50.10.50.10.50.15⨯+⨯+⨯=， （3分） 20000.15300⨯=，估计该小区有300套房子的总价在300万以上. （4分）（Ⅱ）由频率分布直方图，以及契税标准可知： 当购房总价是1百万时，契税为1万，频率为0.1； 当购房总价是1.5百万时，契税为1.5万，频率为0.15；当购房总价是2百万时，契税为2万，频率为0.2； 当购房总价是2.5百万时，契税为3.75万，频率为0.25； 当购房总价是3百万时，契税为4.5万，频率为0.15； 当购房总价是3.5百万时，契税为5.25万，频率为0.05； 当购房总价是4百万时，契税为6万，频率为0.05；当购房总价是4.5百万时，契税为13.5万，频率为0.05； （8分） 依题意可知该小区购房者缴纳契税的平均值为10.1 1.50.1520.2 3.750.25 4.50.15 5.250.0560.0513.50.05 3.575⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=该小区购房者缴纳契税的平均值为3.575万元. （12分）（19）（本小题满分12分） 解法一：（Ⅰ）证明：取PB 的中点F ，连接,AF EF . （1分）因为EF 是PBC ∆的中位线，所以1//2EF BC . （2分）又1//2AD BC ，所以//AD EF ，所以四边形ADEF 是平行四边形. （3分）所以//DE AF ，又,DE ABP ⊄面,AF ABP ⊂面所以//ED PAB 面. （5分）（Ⅱ）取BC 的中点M ，连接AM ，则//AD MC ，所以四边形ADCM 是平行四边形. 所以AM MC MB ==，所以A 在以BC 为直径的圆上. （6分） 所以AB AC ⊥，可得AC . （7分） 因为面PAC ⊥面ABCD ，且面PAC 面ABCD =AC ，所以AB ⊥面PAC ， （8分） 即AB PA ⊥，可得PA =（9分）在面PAC 内做PH AC ⊥于H ，又面PAC ⊥面ABCD ，且面PAC 面ABCD =AC ，所以PH ⊥面ABCD . （10分）由余弦定理可得2221cos 23PA CA PC PAC PA CA +-∠==，所以sin 3PAC ∠=.（11分）sin 3PH PA PAC =∠=，即P 到面ABCD 的距离为3. （12分） 解法二：（Ⅰ）证明：延长,BA CD 交于点K ，连接PK . （1分）因为1//2AD BC ，所以AD 是KBC ∆的中位线. （2分）1KA KD ==，所以ED 是KPC ∆的中位线，所以//ED PK . （3分）又,DE ABP ⊄面,AF ABP ⊂面所以//ED PAB 面. （5分） （Ⅱ）易得KBC ∆是等边三角形，所以AB AC ⊥. （6分） 因为面PAC ⊥面ABCD ，且面PAC 面ABCD =AC ， 所以AB ⊥面PAC ，所以AB PA ⊥. （7分） 所以=2PB PK =，三棱锥P KBC-是正四面体. （8分） 所以P 在底面KBC 的投影H是底面的中心，可得CH =. （10分）PH ==，P 到面ABCD . （12分）（20）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设动圆P 的半径为r ，依题意有123,1PF r PF r =-=+，21124PF PF FF +=>. （2分） 所以轨迹C 是以12,F F 为焦点的椭圆，且1,2c a ==，所以b = （3分） 当P 点坐标为椭圆右顶点时，0r =不符合题意，舍去. （4分）所以轨迹C 的方程()221243x y x +=≠ . （5分） （Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，联立222143y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22341640k x kx +-+=（6分）121222164,3434k x x x x k k +==++，()2161230k ∆=->，得214k > （7分）设原点到直线AB的距离为d=，（8分）12AB x=-=12AOBS AB d==（9分）(),0t t=>，则2241k t=+，AOBStt==≤=+2t=时，等号成立，（11分）即当2k=±时，OAB∆22y x=±-.（12分）（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）定义域是()0,+∞，222122(1)1'()(1)(1)a x a xf xx x x x+-+=-=++. （1分）令()22(1)1g x x a x=+-+.当()24140a∆=--≤，即02a≤≤时，()0g x≥恒成立，即()'0f x≥，所以()f x的单调增区间为()0,+∞；（2分）当()24140a∆=-->时，即0a<或2a>时，方程()0g x=有两个不等的实根，1211x a x a=-=-（3分）若0a<，由()1212210,10x x a x x+=-<=>得，120,0x x<<，所以()0g x>在()0,+∞成立，即()'0f x>，所以()f x的单调增区间为()0,+∞；（4分）若2a>，由()1212210,10x x a x x+=->=>得，120,0x x>>，由()0g x>得x的范围是()()120,,,x x+∞，由()0g x<得x的范围()12,x x，即()f x的单调递增区间为()()120,,,x x+∞，()f x的单调递减区间为()12,x x.（5分）综上所述，当2a >时，()f x 的单调递增区间为(()0,1,1a a --+∞，()f x 的单调递减区间为(11a a --； 当2a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无递减区间. （6分） （Ⅱ）由()()1ln 1x x a x +<-，得()()1ln 10x x a x +--<， 即1ln 01x x a x --<+，即()0f x <在()0,1x ∈上恒成立. （7分） 由（Ⅰ）知当2a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞，又()10f =， （8分） 所以当()0,1x ∈时，()0f x <恒成立. （9分） 由（Ⅰ）知当2a >时，()f x 在()()120,,,x x +∞单调递增，在()12,x x 单调递减，且121x x =，得121x x <<，()()110f x f >=，不符合题意. （11分）综上所述，a 的取值范围是(,2]-∞. （12分）（22）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）8cos =8cos cos sin sin 4cos 333πππρθθθθθ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（2分）24cos sin ρρθθ=+，即224x y x +=+. （4分）即()(22216x y -+-= ①，故曲线2C 是圆. （5分）（Ⅱ）将曲线1C 的参数方程代入①，化简得2sin 130t α--=. （7分）12=AB t t -== （8分）当2sin 1α=时，AB 取得最大值8；当2sin 0α=时，AB 取得最小值（10分）（23）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由()()f x g x ≥，得12x x +>， （1分）两边平方，并整理得()()3110x x +->， （2分）所以不等式的解集为1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. （4分） （Ⅱ）法一： 由()()f x g x ≥，得12x x a +≥+，即12x x a +-≥. （5分） 令()12F x x x =+-，依题意可得()max F x a ≥. （6分）()1111F x x x x x x x x =+--≤+--=-≤， （8分） 当且仅当0x =时，上述不等式的等号同时成立，所以()max 1F x =.（9分）所以a 的取值范围是,1-∞（]. （10分） 法二：由()()f x g x ≥，得12x x a +≥+，即12x x a +-≥. （5分） 令()12F x x x =+-，依题意可得()max F x a ≥. （6分）()1012=311011x x F x x x x x x x -≥⎧⎪=+-+-<<⎨⎪-≤-⎩， （7分）易得()F x 在(),0-∞上单调递增，在()0,+∞上单调递减，所以当0x =时，()F x 取得最大值1. （9分） 故a 的取值范围是,1-∞（]. （10分）。
20172018学年度第一学期期末联考试卷高二数学(文科)
2017-2018 学年度第一学期期末联考试卷高二数学（文科）注意事项1.考试时间 120 分钟，满分 150 分。
试题卷总页数：4 页。
2.全部题目一定在答题卡上作答，在试题卷、底稿纸上答题无效。
3.需要填涂的地方，一律用2B 铅笔涂满涂黑。
需要书写的地方一律用0.5MM 署名笔。
4.答题前，务势必自己的姓名、准考据号填写在答题卡规定的地点上。
5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题本大题共12 小题，每题5 分，共 60 分，在每题给出的四个备选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .1.圆心为（-1, 1），半径为 2 的圆的方程是2A （.x+1） 2 C.（x+1）(y 1)21(y 1)222B.（x-1）2D.（ x-1）(y 1)21(y 1)222. 已知抛物线方程为y 2 =4 x ，则该抛物线焦点坐标为（1,0）B. ( 1,0)C. (0, 1)D. (0,1)A.3. “x 2”是1“ x 2”建立的A.充足不用要条件B. 必需不充足条件C.充足必需条件D. 既不充足也不用要条件4. 设 m R ，命题“若m 0则方程 x 2 +x m 0 有实根”的逆否命题是 A.若方程 x 2 +x m 0 有实根，则 m 0 B. 若方程 x 2 +x m有实根，则 m 0 C.若方程 x 2 +xm 0 没有实根，则 m0 D. 若方程 x 2 +x m 0 没有实根，则 m 05. 设 m, n 是两条不一样的直线，， 是两个不一样的平面，则以下命题正确的选项是A.若m ， n ，则 m nB. 若m n，m ，则， nC.若m ， m ，则D.若m ，，则， m6.一个几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为A. B. 2C. 3D. 47. 命题“x0 (0, ),lnx 0 x0 2”的否认是A. x0 (0, ),lnx 0 x0 2B. x0 (0, ),lnx 0 x0 2C. x0 (0, ),lnx 0 x0 2D. x0 (0, ),lnx 0 x0 28. 函数 y f (x) 的导函数 y f (x) 的图像如下图，则函数y f (x) 的图像可能是9.直线x 2y 5 5=0 被圆x2 y 2 2x 4 y 0 截得的弦长为A. 4 610.函数 f (x) (x 3)e x的单一递加区间是A. ( ,2)B. (0,3)C. (1,4) D（. 2，+）11. 已知椭圆x2 y 21(a b 0) 的左、右极点分别为A1 , A2,且以线段 A1 A2为直径的C:b2a2圆与直线 bx-ay 2ab 0 相切，则椭圆 C 的离心率为6B. 3C.2 1A.3 3 D.3 312. 若0 x1 x2 1，则A. e x2 e x1 ln x2 ln x1B. e x2 e x1 ln x2 ln x1C. x2e x1 x1e x2D. x2e x1 x1 e x2二、填空题 :本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 .把答案填写在答题卡的相应地点上.13. 双曲线x2y2 （1 a>0）的一条渐近线方程为y3x ，则a=. a2 9 514.已知长方体的长、宽、高分别为3、2、 1，其极点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为.15. 已知函数 f (x) ax ln x, x (0,)，此中 a 为实数， f (x) 为 f (x) 的导函数，若f（ 1）=3 ，则a=.16. 若曲线f (x, y) 0 上两个不一样点处的切线重合，则称这条切线为曲线 f (x, y) 0 的“自公切线”，以下方程① x2 y2 1 ；② y x2 x ，③y 3sin x 4cos，则对应曲线有“自公切线”的有.三、解答题，本大题共 6 小题，共70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知Rt ABC 的极点坐标A(0, 2) ,直角极点 B( 1, 2 2) ，极点C在x轴上，求：（1）点 C 的坐标；（2）斜边所在直线的方程 .18. 已知函数 f (x) 1 x3 x2 3x ，求：3（1 ）函数y f (x) 在点（ 3,f(x) ）处的切线方程；（2 ）函数y f (x) 的极值.2 21 ，求：19. 已知圆的方程为：（x-1）y（1）斜率为 3 且与圆相切的直线的方程；（2）过定点（ 2， -3）且与圆相切的直线的方程 .20. 如图，在三棱锥P ABC 中，PA AB ,PA BC , AB BC ,D为线段AC的中点，E 为线段 PC 上一点 .（1）求证：PA BD ;（2）求证：平面BDE平面PAC.21. 已知椭圆 C 的两个极点分别为A( 2,0),B(2,0) ,焦点在x轴上，离心率为3. 2（1 ）求椭圆 C 的方程；（2 ）点 D 为x轴上一点，过点 D 作x轴的垂线交椭圆 C 于不一样的两点M,N ，过点 D 作 AM 的垂线交 BN 于点 E. 求证：BDE 于BDN 的面积之比为4:522. 设函数f (x) ax x ln x 的图像在x e处切线的斜率为 3.（1 ）务实数 a 的值；（2 ）若 k Z ,且 k f (x) 对随意 x e2恒建立，求k的最大值.x 1。
2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(文科) word版含解析
2017-2018学年高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分.在所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．cos600°=（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：cos600°=cos=cos240°=cos=﹣cos60°=﹣，故选：B．2．设集合A={x|x2﹣5x+6＜0}，B={x|2x﹣5＞0}，则A∩B=（）A．B． C． D．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣2）（x﹣3）＜0，解得：2＜x＜3，即A=（2，3），由B中不等式解得：x＞，即B=（，+∞），则A∩B=（，3），故选：C．3．复数（i是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是（）A．（2，﹣2）B．（2，2） C．（﹣2，﹣2） D．（﹣2，2）【解答】解：==2﹣2i（i是虚数单位）的共轭复数2+2i在复平面内对应的点（2，2）．故选：B．4．已知数列，则a2016=（）A．1 B．4 C．﹣4 D．5【解答】解：数列，∴a3=a2﹣a1=4，同理可得：a4=﹣1，a5=﹣5，a6=﹣4，a7=1，a8=5，…，21·世纪*教育网可得an+6=an．则a2016=a335×6+6=a6=﹣4．故选：C．5．取一根长度为4m的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得的两段长度都不小于1.5m的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：记“两段的长都不小于1.5m”为事件A，则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1.5，所以事件A发生的概率P（A）=．6．已知==2，且它们的夹角为，则=（）A． B． C．1 D．2【解答】解：根据条件：==12；∴．故选A．7．给出下列命题：①a＞b⇒ac2＞bc2；②a＞|b|⇒a2＞b2；③|a|＞b⇒a2＞b2；④a＞b⇒a3＞b3其中正确的命题是（）A．①② B．②③ C．③④ D．②④【解答】解：①a＞b⇒ac2＞bc2在c=0时不成立，故①错误；②a＞|b|⇒|a|＞|b|⇒a2＞b2，故②正确；③a=﹣2，b=1时，|a|＞b成立，但a2＞b2不成立，故③错误；④y=x3在R上为增函数，故a＞b⇒a3＞b3，故④正确；故选：D8．如图所示的程序的输出结果为S=1320，则判断框中应填（）A．i≥9 B．i≤9 C．i≤10 D．i≥10【解答】解：首先给循环变量i和累积变量S赋值12和1，判断12≥10，执行S=1×12=12，i=12﹣1=11；判断11≥10，执行S=12×11=132，i=11﹣1=10；判断10≥10，执行S=132×10=1320，i=10﹣1=9；判断9＜10，输出S的值为1320．故判断框中应填i≥10．故选：D．9．定义在R上的函数f（x）在（6，+∞）上为增函数，且函数y=f（x+6）为偶函数，则A ．f （4）＜f （7）B ．f （4）＞f （7）C ．f （5）＞f （7）D ．f （5）＜f （7） 【解答】解：根据题意，y=f （x+6）为偶函数，则函数f （x ）的图象关于x=6对称， f （4）=f （8），f （5）=f （7）； 故C 、D 错误；又由函数在（6，+∞）上为增函数，则有f （8）＞f （7）； 又由f （4）=f （8）， 故有f （4）＞f （7）； 故选：B ．10．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的四棱锥， 其底面面积S=2×2=4，高h=×2=，故体积V==，故选：C ．11．气象意义上的春季进入夏季的标志为：“连续五天每天日平均温度不低于22℃”，现在甲、乙、丙三地连续五天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位℃）：21教育名师原创作品甲地：五个数据的中位数是24，众数为22； 乙地：五个数据的中位数是27，平均数为24；丙地：五个数据中有一个数据是30，平均数是24，方差为10． 则肯定进入夏季的地区有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【解答】解：气象意义上的春季进入夏季的标志为：“连续五天每天日平均温度不低于22℃”， 由此得到：甲地肯定进入夏季，∵五个数据的中位数是24，众数为22，∴22℃至少出现两次，若有一天低于22℃，中位数就不是24℃，故甲地进入夏季； 乙地不一定进处夏季，如13，23，27，28，29，故乙地不一定进入夏季； 丙地不一定进入夏季，10×5﹣（30﹣24）2≥（24﹣x ）2， ∴（24﹣x ）2≤14，x=21时，成立，故丙地不一定进入夏季． 故选：B ．12．已知圆O 的半径为2，PA 、PB 为圆O 的两条切线，A 、B 为切点（A 与B 不重合），则的最小值为（ ）2·1·c ·n ·j ·yA ．﹣12+4B ．﹣16+4C ．﹣12+8D ．﹣16+8【解答】解：设PA 与PO 的夹角为α，则|PA|=|PB|=，y=•=||||cos2α=•cos2α=•cos2α=4记cos2α=μ．则y=4=4[（﹣μ﹣2）+]=﹣12+4（1﹣μ）+≥﹣12+8．当且仅当μ=1﹣时，y 取得最小值：8．即•的最小值为8﹣12．故选：C ．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若函数f （x ）=x2﹣|x+a|为偶函数，则实数a= 0 ． 【解答】解：∵f （x ）为偶函数 ∴f （﹣x ）=f （x ）恒成立 即x2﹣|x+a|=x2﹣|x ﹣a|恒成立 即|x+a|=|x ﹣a|恒成立 所以a=0故答案为：0．14．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是 5 ．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：第一圈k=3 a=43 b=34第二圈k=4 a=44 b=44第三圈k=5 a=45 b=54此时a＞b，退出循环，k值为5故答案为：5．15．若平面向量，满足||≤1，||≤1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角θ的取值范围是．【解答】解：∵以向量，为邻边的平行四边形的面积为，∴．∵平面向量，满足||≤1，||≤1，∴，∵θ∈（0，π），∴．∴与的夹角θ的取值范围是．故答案为：．16．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X=0）=，则随机变量X的数学期望E（X）=．【解答】解：由题意知X为该毕业生得到面试的公司个数，则X的可能取值是0，1，2，3，∵P（X=0）=，∴，∴p=，P（X=1）=+=P（X=2）==，P（X=3）=1﹣=，∴E（X）==，故答案为：三、解答题17．在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，，∠BA C=θ，a=4．（1）求bc的最大值；（2）求函数的值域．【解答】解：（1）∵=bc•cosθ=8，由余弦定理可得16=b2+c2﹣2bc•cosθ=b2+c2﹣16，∴b2+c2=32，又b2+c2≥2bc，∴bc≤16，即bc的最大值为16，当且仅当b=c=4，θ=时取得最大值；（2）结合（1）得，=bc≤16，∴cosθ≥，又0＜θ＜π，∴0＜θ≤，∴=2sin（2θ+）﹣1∵0＜θ≤，∴＜2θ+≤，∴sin（2θ+）≤1，当2θ+=，即θ=时，f（θ）min=2×，当2θ+=，即θ=时，f （θ）max=2×1﹣1=1，∴函数f （θ）的值域为[0，1]18．已知函数的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）． （1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）若存在，使f （x0）=0，求λ的取值范围．【解答】（本题满分为12分）解：（1）=sin2ωx ﹣cos2ωx ﹣λ=2sin （2ωx ﹣）﹣λ，∵函数f （x ）的图象关于直线x=π对称，∴解得：2ωx ﹣=kπ+，可得：ω=+（k ∈Z ），∵ω∈（，1）．可得k=1时，ω=，∴函数f （x ）的最小正周期T==…6分（2）令f （x0）=0，则λ=2sin （﹣），由0≤x0≤，可得：﹣≤﹣≤，则﹣≤sin （﹣）≤1，根据题意，方程λ=2sin （﹣）在[0，]内有解，∴λ的取值范围为：[﹣1，2]…12分19．向量与的夹角为θ，||=2，||=1，=t，=（1﹣t ），||在t0时取得最小值，当0＜t0＜时，夹角θ的取值范围是 ．【解答】解：由题意可得=2×1×co sθ=2cosθ，=﹣=（1﹣t ）﹣t，∴||2==（1﹣t ）2+t2﹣2t （1﹣t ）=（1﹣t ）2+4t2﹣4t （1﹣t ）cosθ =（5+4cosθ）t2+（﹣2﹣4cosθ）t+1由二次函数知当上式取最小值时，t0=，由题意可得0＜＜，解得﹣＜cosθ＜0，∴＜θ＜故答案为：20．在四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，PD ⊥DC ，底面ABCD 是梯形，AB ∥DC ，AB=AD=PD=1，CD= （1）求证：平面PBC ⊥平面PBD ；（2）设Q 为棱PC 上一点，=λ，试确定 λ的值使得二面角Q ﹣BD ﹣P 为60°．【解答】（1）证明：∵AD ⊥平面PDC ，PD ⊂平面PCD ，DC ⊂平面PDC ，图1所示．∴AD ⊥PD ，AD ⊥DC ，在梯形ABCD 中，过点作B 作BH ⊥CD 于H ， 在△BCH 中，BH=CH=1，∴∠BCH=45°， 又在△DAB 中，AD=AB=1，∴∠ADB=45°， ∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°，∴BC ⊥BD ． ∵PD ⊥AD ，PD ⊥DC ，AD ∩DC=D ． AD ⊂平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥平面ABCD ，∵BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ，∵BD ∩PD=D ，BD ⊂平面PBD ，PD ⊂平面PBD ． ∴BC ⊥平面PBD ，∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD ；（2）解：过点Q 作QM ∥BC 交PB 于点M ，过点M 作MN ⊥BD 于点N ，连QN ． 由（1）可知BC ⊥平面PDB ，∴QM ⊥平面PDB ，∴QM ⊥BD ， ∵QM ∩MN=M ，∴BD ⊥平面MNQ ，∴BD ⊥QN ，图2所示． ∴∠QNM 是二面角Q ﹣BD ﹣P 的平面角，∴∠QNM=60°，∵，∴，∵QM∥BC，∴，∴QM=λBC，由（1）知，∴，又∵PD=1，MN∥PD，∴，∴MN===1﹣λ，∵tan∠MNQ=，∴，∴．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点A（﹣，），离心率为，点F1，F2分别为其左右焦点．21教育网（1）求椭圆C的标准方程；（2）若y2=4x上存在两个点M，N，椭圆上有两个点P，Q满足，M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，且PQ⊥MN．求四边形PMQN面积的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程及a，b，c的关系，解方程，即可得到椭圆方程；（2）讨论直线MN的斜率不存在，求得弦长，求得四边形的面积；当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x﹣1）（k≠0）联立抛物线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式，计算即可得到最小值．【解答】解：（1）由题意得：，a2﹣b2=c2，得b=c，因为椭圆过点A（﹣，），则+=1，解得c=1，所以a2=2，所以椭圆C方程为．（2）当直线MN斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，易得，．当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x﹣1）（k≠0）与y2=4x联立得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，令M（x1，y1），N（x2，y2），则，x1x2=1，|MN|=•．即有，∵PQ⊥MN，∴直线PQ的方程为：y=﹣（x﹣1），将直线与椭圆联立得，（k2+2）x2﹣4x+2﹣2k2=0，令P（x3，y3），Q（x4，y4），x3+x4=，x3x4=，由弦长公式|PQ|=•，代入计算可得，∴四边形PMQN的面积S=|MN|•|PQ|=，令1+k2=t，（t＞1），上式=，所以．最小值为．22．设函数f（x）=lnx，g（x）=（m＞0）．（1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调，求m﹣n的取值范围；（3）是否存在实数a，使得f（）•f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）分别求出f（x）、g（x）的导数，求得在x=1处切线的斜率，由两直线垂直的条件，解方程即可得到n；（2）求出y=f（x）﹣g（x）的导数，可得，得的最小值为负，运用基本不等式即可求得m﹣n的范围；（3）假设存在实数a，运用构造函数，求出导数，求得单调区间和最值，结合不等式恒成立思想即有三种解法．【解答】解：（1）当m=1时，，∴y=g（x）在x=1处的切线斜率，由，∴y=f（x）在x=1处的切线斜率k=1，∴，∴n=5．（2）易知函数y=f（x）﹣g（x）的定义域为（0，+∞），又，由题意，得的最小值为负，∴m（1﹣n）＞4，由m＞0，1﹣n＞0，∴，∴m+（1﹣n）＞4或m+1﹣n＜﹣4（舍去），∴m﹣n＞3；（3）解法一、假设存在实数a，使得f（）•f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=，其中x＞0，a＞0，则θ'（x）=，设，∴δ（x）在（0，+∞）单调递减，δ（x）=0在区间（0，+∞）必存在实根，不妨设δ（x0）=0，即，可得（*）θ（x）在区间（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以θ（x）max=θ（x0），θ（x0）=（ax0﹣1）•ln2a﹣（ax0﹣1）•lnx0，代入（*）式得，根据题意恒成立．又根据基本不等式，，当且仅当时，等式成立即有，即ax0=1，即．代入（*）式得，，即，解得．解法二、假设存在实数a，使得f（）•f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0根据条件对任意正数x恒成立，即（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，∴且，解得且，即时上述条件成立，此时．解法三、假设存在实数a，使得f（）•f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0要使得（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，等价于（ax﹣1）（2a﹣x）≤0对任意正数x恒成立，即对任意正数x恒成立，设函数，则φ（x）的函数图象为开口向上，与x正半轴至少有一个交点的抛物线，因此，根据题意，抛物线只能与x轴有一个交点，即，所以．。
2017-2018学年安徽省亳州市高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年安徽省亳州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）椭圆的焦距为（）A．1B．2C．3D．42．（5分）已知2018是等差数列5，8，11，14，17，…的第n项，则n＝（）A．669B．670C．671D．6723．（5分）已知向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k 的值是（）A．1B．C．D．4．（5分）已知实数x，y满足，则z＝x+2y的最大值为（）A．4B．3C．0D．25．（5分）在△ABC中，已知，则C＝（）A．60°B．30°C．60°或120°D．120°6．（5分）“”是“（x+2）（x﹣1）≥0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）若坐标原点到抛物线y＝mx2的准线的距离为2，则m＝（）A．8B．±8C．D．8．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b＞0，则下列不等式成立的是（）A．B．C．a（c2+1）＞b|c|D．ac2＞bc29．（5分）已知A（1，2，﹣1），B（5，6，7），则直线AB与平面xOz交点的坐标是（）A．（0，1，1）B．（0，1，﹣3）C．（﹣1，0，3）D．（﹣1，0，﹣5）10．（5分）如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若点F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为（）A．5B．6C．D．11．（5分）设a，b∈R，a2+2b2＝6，则a+b的最小值是（）A．﹣2B．﹣C．﹣3D．﹣12．（5分）已知数列{a n}满足递推关系，（其中λ为正常数，n∈N*）且a1+a7＝1，a2+a6＝0．若等式a n•a n+1•a n+2＝a n+a n+1+a n+2成立，则正整数n的所有可能取值之和为（）A．3B．4C．6D．8二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）命题“∃x＞0，”的否定为．14．（5分）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝，＝，＝，则向量用，，，可表示为．15．（5分）若等比数列{a n}的前n项和恒成立，则该数列的公比q的取值范围是．16．（5分）已知双曲线的右焦点为F，若直线x＝﹣a上存在点P，使得∠OPF＝30°，其中O为坐标原点，则双曲线的离心率的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知：＝（x，4，1），＝（﹣2，y，﹣1），＝（3，﹣2，z），∥，⊥，求：（1），，；（2）（+）与（+）所成角的余弦值．18．（12分）在等差数列{a n}中，a3+a4＝12，公差d＝2，记数列{a2n+1}的前n项和为S n．（1）求S n；（2）设数列的前n项和为T n，若a2，a5，a m成等比数列，求T m．19．（12分）已知命题恒成立；命题q：方程表示双曲线．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且2a cos B＝2c﹣b．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的外接圆半径为1，试求该三角形面积的最大值．21．（12分）如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，D是侧棱CC1的中点．（1）证明：平面AB1D⊥平面ABB1A1；（2）若平面AB1D与平面ABC所成锐二面角的大小为，求四棱锥B1﹣AA1C1D的体积．22．（12分）在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，C的坐标分别为，三个内角A，B，C满足．（1）若顶点B的轨迹为W，求曲线W的方程；（2）若点P为曲线W上的一点，过点P作曲线W的切线交圆O：x2+y2＝4于不同的两点M，N（其中M在N的右侧），求四边形ACMN面积的最大值．2017-2018学年安徽省亳州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：椭圆，可得a＝2，b＝，所以c＝，椭圆的焦距为：2c＝2．故选：B．2．【解答】解：由等差数列5，8，11，14，17，…，可得此数列首项为5，公差为3．∴a n＝5+3（n﹣1）＝3n+2．令3n+2＝2018，解得n＝672．故选：D．3．【解答】解：根据题意，易得k+＝k（1，1，0）+（﹣1，0，2）＝（k﹣1，k，2），2﹣＝2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）＝（3，2，﹣2）．∵两向量垂直，∴3（k﹣1）+2k﹣2×2＝0．∴k＝，故选：D．4．【解答】解：作出实数x，y满足对应的平面区域如图：（阴影部分）由z＝x+2y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A时，直线y＝﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得x＝0，y＝2，解得A（0，2），代入目标函数z＝x+2y得z＝0+2×2＝4．即目标函数z＝x+2y的最大值为4．故选：A．5．【解答】解：由正弦定理可得＝，∴sin C＝，∴C＝60°或C＝120°，故选：C．6．【解答】解：∵可得≥0，可得x＞1或x≤﹣2；∵“（x+2）（x﹣1）≥0”可得x≥1或x≤﹣2，∴“”⇒“（x+2）（x﹣1）≥0”∴“”是“（x+2）（x﹣1）≥0”的充分不必要条件，故选：A．7．【解答】解：根据题意，抛物线y＝mx2的标准方程为x2＝y，其焦点在x轴上，且准线方程为y＝﹣，若坐标原点到抛物线y＝mx2的准线的距离为2，则有|﹣|＝2，解可得m＝±，故选：D．8．【解答】解：令a＝，b＝，可验证A错误；令a＝16，b＝4，可验证B错误；令c＝0，可验证D错误；事实上，c2+1≥2|c|≥|c|（两个等号不同时成立）故选：C．9．【解答】解：直线AB与平面xoz交点的坐标是M（x，0，z），则＝（x﹣1，﹣2，z+1），＝（4，4，8）；又与共线，∴＝λ；即，解得x＝﹣1，z＝﹣5；∴点M（﹣1，0，﹣5）．故选：D．10．【解答】解：设A、B在准线上的射影分别为为M、N，准线与横轴交于点H，则FH＝p，由于点F是AC的中点，|AF|＝4，∴AM＝4＝2p，∴p＝2，设BF＝BN＝x，则，即，解得x＝∴，故选：C．11．【解答】解：因为a，b∈R，a2+2b2＝6故可设．θ⊊R．则：a+b＝，再根据三角函数最值的求法可直接得到a+b的最小值是﹣3．故选：C．12．【解答】解：∵，∴当n≤5，时，a n+1﹣a n＝λ，即数列{a n}的前6项构成等差数列，且公差为λ，当n≥6时，，即数列{a n}从第项起构成等比数列，且公比为2λ，∵a2+a6＝0，∴a4＝0，则a1＝﹣3λ，a6＝2λ，∵a1+a7＝1，∴﹣3λ+2λ•2λ＝1，即4λ2﹣3λ﹣1＝0．解得λ＝1或．∵λ＞0，∴λ＝1．∴数列{a n}为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，4，8，…∵（﹣3）×（﹣2）×（﹣1）＝﹣3﹣2﹣1，∴当n＝1时，等式a n•a n+1•a n+2＝a n+a n+1+a n+2成立，∵（﹣1）×0×1＝﹣1+0+1，∴当n＝3时，等式a n•a n+1•a n+2＝a n+a n+1+a n+2成立，当n≠1且n≠3时，等式不成立，∴正整数n的所有可能取值之和为4．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即∀x＞0，，故答案为：∀x＞0，14．【解答】解：∵平行四边形A1B1C1D1中，对角线A1C1、B1D1相交于点M，∴向量＝＝（﹣），∵平行四边形AA1B1B中，＝；平行四边形AA1D1D中，＝，∴＝（﹣），又∵＝，∴＝＝+（﹣）＝﹣++．故答案为：﹣++15．【解答】解：根据题意，对于等比数列{a n}，其公比为q，若等比数列{a n}的前n项和恒成立，当n＝1时，a1＝S1＞0，分2种情况讨论：（1）若q＝1，则S n＝na1，只要a1＞0，S n＞0就一定成立，符合题意，（2）若q≠1，则S n＝，若S n＞0，必有＞0，又有2种情况：①当q＞1时，1﹣q n＜0恒成立，即q n＞1恒成立，由q＞1，知q n＞1成立；②当q＜1时，需1﹣q n＞0恒成立，当0＜q＜1时，1﹣q n＞0恒成立，当﹣1＜q＜0时，1﹣q n＞0也恒成立，当q＜﹣1时，当n为偶数时，1﹣q n＞0不成立，当q＝﹣1时，1﹣q n＞0也不可能恒成立，所以q的取值范围为（﹣1，0）∪（0，+∞）．16．【解答】解：设△OPF的外接圆的半径r，由|OF|＝c，正弦定理可得，2r＝＝2c，即有r＝c，且圆心m在x＝上，P在圆上，所以原题等价于直线x＝﹣a与圆M存在公共点，即有≤c﹣a，由离心率公式可得e≥2．则双曲线的离心率的最小值为2，故答案为：2．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（1）∵，∴，解得x＝2，y＝﹣4，故＝（2，4，1），＝（﹣2，﹣4，﹣1），又因为，所以＝0，即﹣6+8﹣z＝0，解得z＝2，故＝（3，﹣2，2）（2）由（1）可得＝（5，2，3），＝（1，﹣6，1），设向量与所成的角为θ，则cosθ＝＝18．【解答】解：（1）∵在等差数列{a n}中，a3+a4＝12，公差d＝2，∴（a1+2×2）+（a1+3×2）＝12，解得a1＝1，∴a n＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1．∵数列{a2n﹣1}的前n项和为S n，a2n﹣1＝2（2n﹣1）﹣1＝4n﹣3，∴{a2n﹣1}是1为首项，4为公差的等差数列，∴S n＝＝2n2﹣n．（2）∵a2，a5，a m成等比数列，∴a2a m＝a52，∴3（2m﹣1）＝92，解得m＝14．∴＝＝（﹣），∴T m＝T14＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．19．【解答】解：（1）＝（x﹣1）++2，∵x＞1，∴（x﹣1）++2≥2+2＝4，当且仅当x＝2时取得等号，故命题p为真命题时，m≤4．（2）若命题q为真命题，则（m﹣2）（m+2）＜0，所以﹣2＜m＜2，因为命题p或q为真命题，则p，q至少有一个真命题，p且q为假命题，则p，q至少有一个假命题，所以p，q一个为真命题，一个为假命题．当命题p为真命题，命题q为假命题时，，则m≤﹣2，或2≤m≤4；当命题p为假命题，命题q为真命题时，，舍去．综上，m≤﹣2，或2≤m≤4．20．【解答】解：（1）∵2a cos B＝2c﹣b，∴由正弦定理可得：2sin A cos B＝2sin C﹣sin B，可得：2sin A cos B＝2sin A cos B+2sin B cos A ﹣sin B，∴2sin B cos A＝sin B，∵sin B≠0，∴cos A＝，又0＜A＜π，∴．（2）∵，由正弦定理可得：a＝2R sin A＝，又∵a2＝3＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+c2﹣bc≥bc，可得：bc≤3，∴S＝bc sin A≤×3＝，即该三角形面积的最大值为．21．【解答】证明：（1）如图①，取AB1的中点E，AB的中点F，连接DE，EF，CF，由题意知EF BB 1，又CD，∴四边形CDEF为平行四边形，∴DE∥CF．又三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，∴△ABC为正三角形，∴CF⊥AB．∵CF⊂平面ABC，CF⊥BB1，而AB∩BB1＝B，∴CF⊥平面ABB1A1．又DE∥CF，∴DE⊥平面ABB1A1．而DE⊂平面AB1D，∴平面AB1D⊥平面ABB1A1．解：（2）（方法一）以B为原点，建立如图①所示的空间直角坐标系，设AA1＝h，则A（），D（0，2，），B1（0，0，h），则＝（﹣，h），＝（﹣）．设＝（1，y，z）为平面AB1D的一个法向量．由，得＝（1，），平面ABC的一个法向量为＝（0，0，1），|cos＜＞|＝＝＝cos＝，解得h＝2．∴四棱锥B1﹣AA1C1D的体积V＝×＝＝．（方法二）如图②，延长B1D与BC交于点M，连接AM．∵B1C1∥BC，D为CC1的中点，∴D也是B1M的中点，又∵E是AB1的中点，∴AM∥DE．∵DE⊥平面ABB1A1，∴AM⊥平面ABB1A1．∴∠B1AB为平面AB1D与平面ABC所成二面角的平面角．∴∠B1AB＝，∴AA1＝BB1＝AB＝2．四棱锥B1﹣AA1C1D的体积＝＝＝．22．【解答】解：（1）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由，得2b＝（a+c）．∵b＝2，∴a+c＝4，即|BC|+|BA|＝4．由椭圆定义知，B点轨迹是以C，A为焦点，长半轴长为2，半焦距为，短半轴长为1，中心在原点的椭圆（除去左、右顶点）．∴B点的轨迹方程为（y≠0）；（2）易知直线MN的斜率k存在，设MN：y＝kx+m，由，得（4k2+1）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，由△＝64k2m2﹣16（4k2+1）（m2﹣1）＝0，得m2＝4k2+1，∵S ACMN＝S△MON+S△MCO+S△ANO，设点O到直线MN：kx﹣y+m＝0的距离为d，则d＝，∴|MN|＝2，∴＝＝＝，由，得（k2+1）x2+2kmx+m2﹣4＝0，，，∴y1+y2＝kx1+m+kx2+m＝k（x1+x2）+2m＝，∴S△MCO+S△NAO＝＝＝，∴S ACMN＝S△MON+（S△NAO+S△MCO）＝．而m2＝4k2+1，，易知k2≥0，∴m2≥1，则|m|≥1，∴＝，当且仅当|m|＝，即m＝时取“＝”．∴四边形ACMN面积的最大值为4．。
浙江省亳州市2017-2018学年高二上学期期末质量检测数
亳州市2017-2018学年度第一学期期末高二质量检测数学试卷（文） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“b a >”是“0)ln(>-b a ”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2.抛物线py x 22=过点)2,2(-，则抛物线的准线为（ ） A ．1=y B ．21=y C ．21-=y D ．1-=y 3.实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥+111y y x y x ，则y x 2-的最大值为（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．2-4.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且9,02925==+S a a ，则=d （ ）A ．32-B ．1- C. 21- D ．21 5.不等式1223≥+-x x的解集为（ ） A ．}31|{≤x x B ．}312|{≤<-x x C. 31|{≤x x 且}2-≠xD ．}312|{≤≤-x x6.已知0>>b a ，且1,1≠≠b a ，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．bb a a 11->-B ．a b b a > C. b a a b log log > D ．b a sin sin > 7.已知焦点在y 轴上的椭圆)0(1422>=+a ay x 的焦距为34，则=a （ ） A ．8 B ．12 C. 16 D ．528.公比为21-的等比数列}{n a 中，n S 为数列的前n 项和，若52242a a S +=，则=3a （ ） A ．1- B ．21- C. 21D ．19.已知双曲线)0(14222>=-a y a x 的一条渐近线过点)1,2(-，则双曲线的离心率为（ ） A ．23 B ．43 C. 25 D ．4510.函数b ax x x f ++=3)(的极大值与极小值之和为2，且a f =)2(，则=+b a （ ） A ．9- B ．8- C. 9 D ．10 11.在ABC ∆中，有A C B C B cos 31sin )2cos()cos(cos +=-++ππ且2=a ，其中内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.则ABC ∆周长的最大值为（ ）A ．3342+B ．322+ C. 222+ D ．232+ 12.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-0,0,2)(2x e x x x x f x ，若方程mx x f =|)(|有3个根，则m 的取值范围是（ ）A ．20<<mB ．2-<m 或20<<m C. 2≤<-m e D ．e m -<或20<<m第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.命题“0ln 1,0≤->∀x xx ”的否定为 ． 14.函数x e x f x+=)(在))1(,1(f 处的切线方程为 ．15.已知52,0=+>b a ab ，则1112+++b a 的最小值为 ． 16.如图已知等边ABC ∆的边长为2，点D 在AB 上，点E 在AC 上，CD 与BE 交于点AE AC AD AB F 3,2,==，则BCF ∆的面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别是)sin )(sin ()sin (sin ,,,C B c b C A a c b a +-=-.（1）求角B ；（2）若2=b ，求ABC ∆面积的最大值.18. 已知数列}{n a 满足2≥n 时，121+=-n n a ，数列}{n b 的前n 项和为n T ，且112,2121+-=+=n T a b n n . （1）求数列}{n a 的前n 项和n S . （2）求数列}{n b 的通项公式.19. 抛物线)0(22>=p px y 上的点P 到点)0,2(pF 的距离与到直线0=x 的距离之差为1，过点)0,(p M 的直线l 交抛物线于B A ,两点. （1）求抛物线的方程；（2）若ABO ∆的面积为34，求直线l 的方程. 20. 函数R a x x a x x f ∈-+=,ln )(2. （1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）是否存在实数a ，使得不等式0)(≥x f 恒成立？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由.21. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 离心率为)1,3(,36P 为椭圆上一点. （1）求E 的方程； （2）已知斜率为33，不过点P 的动直线l 交椭圆E 于B A 、两点.证明：直线BP AP 、的斜率和为定值.22. 已知函数)0(2ln )(≠+=a x ax x f . （1）求函数)(x f 的最值；（2）函数)(x f 图像在点))1(,1(f 处的切线斜率为2)()(,1-=xx f x g 有两个零点21,x x ，求证：421>+x x .试卷答案一、选择题1-5:CBADB 6-10:ACCCB 11、12：AD 二、填空题 13. 00x ∃>，001ln 0x x -> 14. (1)y e x =+ 15. 9816. 三、解答题17. 解：（1）因为(sin sin )()(sin sin )a A C b c B C -=-+ 由正弦定理可得()()()a a c b c b c -=-+，即222a cb ac +-=由余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==.因为0B π<<，所以角3B π=. （2）因为2b =，所以224a c ac +=+又因为ac c a 222≥+，当且仅当c a =时，等号成立 所以42ac ac +≥即4ac ≤，当且仅当a c =时，等号成立 所以ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==≤18. 解：（1）2n ≥时，121n n a a -=+得：()1121n n a a -+=+； 由112b =得：112T =，所以，11a =，所以，()1121n n a a -+=+，所以，21n n a =-； 所以，122n n S n +=--；（2）由（1）知21n n a =-，所以，111n T n =-+，所以，()111n n n b T T n n -=-=+.19. 解：（1）设()00,P x y ， 由定义知02p PF x =+，所以，0012p x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以，2p =，所以，抛物线方程为24y x =；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，由（1）知()2,0M ；若直线l 的斜率不存在，则方程为2x =，此时AB =所以ABO ∆的面积为不满足，所以直线l 的斜率存在；设直线l 的方程为()2y k x =-，带入抛物线方程得：()22224140k x k x k -++= ()222161160k k ∆=+->所以，12244x x k+=+，124x x =，所以AB =，点O 到直线l 的距离为d =，=1k =±. 所以，直线l 的方程为2y x =-或2y x =--.20. 解：（1）()210af x x x'=+-=得：x =所以，当18a ≥时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当108a <<时，()f x 在⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减；当0a ≤时，()f x 在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎛ ⎝⎭上单调递减.（2）由（1）知0a >时，不等式()0f x ≥不可能恒成立，所以0a ≤时，0f ≥⎝⎭，因为()10f =1=，所以1a =-.21.解:（1）由题知22222311c e a a b a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩,解得226,2a b ==.即所求E 的方程为221.62x y +=（2）1122(,),(,)A x y B x y 设,(0)3l y x m m =+≠设方程为.联立方程组22162y m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得222360x m ++-=248120,(2,0)(0,2)m m ∆=->∈-⋃即.所以2121236,.2m x x x x -+=⋅=所以PA PB k k ==.即1212(2)()1)PA PBx x m x x m k k +-+--+==因为1212(2)()1)03x x m x x m +-+--= 故0PA PB k k +=.22.解:（1）)1(ln )('+=x a x f ，0>x当0>a 时，)(x f 在)1,0(e 上单调递减，在),1(+∞e 上单调递增，有最小值2)1(--=e ae f ，无最大值；当0<a 时，)(x f 在)1,0(e上单调递增，在),1(+∞e上单调递减，有最大值2)1(--=eaef ，无最小值.（2）依题知1)1('=f ，即1=a ，所以22ln )(-+=x x x g ，22)('xx x g -=，0>x 所以)(x g 在)2,0(上单调递减，在),2(+∞上单调递增.因为21,x x 是)(x g 的两个零点，必然一个小于2，一个大于2，不妨设2120x x <<<. 因为022ln )(111=-+=x x x g ，022ln )(222=-+=x x x g 所以22112ln 2ln x x x x +=+， 变形为0ln )(2122112>=-x xx x x x .欲证421>+x x ，只需证12211221ln 4)(2)(x xx x x x x x >-+，即证122112ln 2)(x xx x x x >-. 令)1(12>=t t x x ，则只需证t t t ln 21>-对任意的1>t 都成立.令1,ln 21)(>--=t t tt t h ，则0)11(211)('22>-=-+=tt t t h 所以)(t h 在),1(+∞上单增，0)1()(=>h t h 即t tt ln 21>-对任意的1>t 都成立. 所以421>+x x .2017—2018学年第一学期期期末考试高二文科数学·参考答案一、选择题：每小题5分，满分60分.二、填空题：每小题5分，满分20分. （13）00x ∃>，001ln 0x x -> （14）(1)y e x =+（15）98（16 三、解答题：17.解：（1）因为(sin sin )()(sin sin )a A C b c B C -=-+ 由正弦定理可得()()()a a c b c b c -=-+，即222a cb ac +-=由余弦定理可得2221cos 22a cb B ac+-== (4)分因为0B π<<，所以角3B π=.……6分 （3）因为2b =，所以224a c ac +=+又因为ac c a 222≥+，当且仅当c a =时，等号成立所以42ac ac +≥即4ac ≤，当且仅当a c =时，等号成立……8分 所以ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==≤……10分18.解：（1）2n ≥时，121n n a a -=+得：()1121n n a a -+=+； 由112b =得：112T =，所以，11a =，所以，()1121n n a a -+=+，所以，21n n a =-；……6分 所以，122n n S n +=--；……8分 （2）由（1）知21n n a =-，所以，111n T n =-+，所以，()111n n n b T T n n -=-=+.……12分19.解：（1）设()00,P x y ， 由定义知02p PF x =+，所以，0012p xx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以，2p =，所以，抛物线方程为24y x =；……5分（2）设()()1122,,,A x y B x y ，由（1）知()2,0M ；若直线l 的斜率不存在，则方程为2x =，此时AB =所以ABO ∆的面积为不满足，所以直线l 的斜率存在；设直线l 的方程为()2y k x =-，带入抛物线方程得：()22224140k x k x k -++= ()222161160k k ∆=+->所以，12244x x k+=+，124x x =，所以AB =， 点O 到直线l的距离为d =，=1k =±.所以，直线l 的方程为2y x =-或2y x =--.……12分20.解：（1）()210af x x x'=+-=得：x =所以，当18a ≥时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当108a <<时，()f x在⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减； 当0a ≤时，()f x在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎛ ⎝⎭上单调递减.………6分 （2）由（1）知0a >时，不等式()0f x ≥不可能恒成立，所以0a ≤时，0f ≥⎝⎭，因为()10f =1=，所以1a =-.………12分21.【解析】（1）由题知22222311c e a a b a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩,解得226,2a b ==.即所求E 的方程为221.62x y +=…………………………5分（2）1122(,),(,)A x y B x y 设,(0)3l y x m m =+≠设方程为.联立方程组22162y m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得222360x m ++-=，248120,(2,0)(0,2)m m ∆=->∈-⋃即.………………………………7分所以2121236,.2m x x x x -+=⋅=所以PA PB k k ==.即1212(2)()1)PA PBx x m x x m k k +-+--+==10分因为1212(2)()1)03x x m x x m +-+--= 故0PA PB k k +=.………………………………………12分22.【解析】（（1）)1(ln )('+=x a x f ，0>x ……1分当0>a 时，)(x f 在)1,0(e 上单调递减，在),1(+∞e 上单调递增，有最小值2)1(--=e ae f ，无最大值；当0<a 时，)(x f 在)1,0(e上单调递增，在),1(+∞e上单调递减，有最大值2)1(--=eaef ，无最小值.……5分（2）依题知1)1('=f ，即1=a ，所以22ln )(-+=x x x g ，22)('xx x g -=，0>x 所以)(x g 在)2,0(上单调递减，在),2(+∞上单调递增.因为21,x x 是)(x g 的两个零点，必然一个小于2，一个大于2，不妨设2120x x <<<. 因为022ln )(111=-+=x x x g ，022ln )(222=-+=x x x g 所以22112ln 2ln x x x x +=+， 变形为0ln )(2122112>=-x x x x x x .……………………………………6分 欲证421>+x x ，只需证12211221ln 4)(2)(x x x x x x x x >-+， 即证122112ln 2)(x x x x x x >-.……………………8分 令)1(12>=t t x x ，则只需证t t t ln 21>-对任意的1>t 都成立. 令1,ln 21)(>--=t t t t t h ，则0)11(211)('22>-=-+=tt t t h 所以)(t h 在),1(+∞上单增，0)1()(=>h t h 即t t t ln 21>-对任意的1>t 都成立.所以421>+x x .…………………………………………12分。
安徽省亳州市高二上学期期末数学试卷
安徽省亳州市高二上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共10题；共20分)1. （2分）直线l：x+y+3=0的倾斜角α为（）A . 30°B . 60°C . 120°D . 150°2. （2分） (2017高一上·延安期末) 以（﹣3，4）为圆心，为半径的圆的标准方程为（）A . （x﹣3）2+（y+4）2=3B . （x﹣3）2+（y﹣4）2=3C . （x+3）2+（y﹣4）2=3D .3. （2分）(2017·龙岩模拟) 数列{an}中，若存在ak ，使得“ak＞ak﹣1且ak＞ak+1”成立（其中k≥2，k∈N*），则称ak为{an}的一个H值．现有如下数列：①an=1﹣2n；②an=sinn；③an= ④an=lnn﹣n，则存在H值的数列有（）个．A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分） (2016高二上·天心期中) 与圆x2+y2=1及圆x2+y2﹣8x+12=0都外切的圆的圆心在（）A . 一个椭圆上B . 双曲线的一支上C . 一条抛物线上D . 一个圆上5. （2分）(2020·河南模拟) 已知两条直线和平面，若，则是的（）A . 充分但不必要条件B . 必要但不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件6. （2分）点B是点A（1，2，3）在坐标平面内的射影，则OB等于（）A .B .C .D .7. （2分）双曲线的两条渐近线与直线x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高一下·雅安期末) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面A1B1CD与平面ABCD所成二面角为（）A .B .C .D .9. （2分）已知抛物线上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A,B，则等于（）A . 3B . 4C .D .10. （2分）已知平面β与一圆柱斜截口（椭圆）的离心率为 ,则平面β与圆柱母线的夹角是（）A . 30°B . 60°C . 45°D . 90°二、填空题： (共7题；共8分)11. （1分） (2017高一下·启东期末) 在平面直角坐标系xOy中，直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0，则当实数k变化时，原点O到直线l的距离的最大值为________．12. （1分）(2016·绵阳模拟) 经过双曲线﹣ =1（a＞b＞0）的右焦点为F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相较于M，N两点，若O为坐标原点，△OMN的面积是 a2 ，则该双曲线的离心率是________．13. （1分） (2016高二上·绍兴期中) 一个几何体的三视图如图所示，此几何体的体积为________．14. （1分）若经过点P（﹣1，1）的直线与圆x2+y2=2相切，则此直线在y轴上的截距是________15. （2分） (2016高二上·金华期中) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD1与BD所成的角为________；若AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成的角为________．16. （1分）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为________17. （1分） (2016高二上·如东期中) 设F1 ， F2分别为椭圆的左右焦点，P为椭圆上一点，若△F1F2P为直角三角形，该三角形的面积为________．三、解答题： (共4题；共30分)18. （5分） (2018高二下·丽水期末) 设曲线．（Ⅰ）若曲线表示圆，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，若直线与曲线交于两点，且，求实数的值．19. （10分）(2018·榆林模拟) 在如图所示的空间几何体中，，四边形为矩形，点，分别为，的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．20. （10分）(2012·四川理) 如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC．（1）求直线PC与平面ABC所成角的大小；（2）求二面角B﹣AP﹣C的大小．21. （5分）(2019·郑州模拟) 设点为圆上的动点，点在轴上的投影为，动点满足，动点的轨迹为 .（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）设的左顶点为，若直线与曲线交于两点，（，不是左右顶点），且满足，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.参考答案一、选择题： (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题： (共7题；共8分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题： (共4题；共30分)18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、。
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亳州市2017-2018学年度第一学期期末高二质量检测理科数学参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213．0x ∀>1x >- 14．c b a ++-2121 15．()()1,00,-+∞ 16．217.解：（1）因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1－1，解得x ＝2,y ＝－4，这时a ＝(2,4,1)，b ＝(－2,－4,－1)．又因为b ⊥c ，所以b·c ＝0，即－6＋8－z ＝0，解得z ＝2，于是c ＝(3，－2,2)． ……5分（2）由（1）得a ＋c ＝(5,2,3)，b ＋c ＝(1，－6,1)，设(a ＋c )与(b ＋c )所成角为θ，因此cos θ＝5－12＋338·38＝－219. ……10分 18.解：（1）∵3412a a +=，∴112521012a d a +=+=，∴11a =，∴21n a n =-， ∴212(21)143n a n n -=--=-，2(143)22n n n S n n +-==-. ……6分 （2）若25,,m a a a 成等比数列，则225m a a a =， 即23(21)9m -=，∴14m =∵11111()(21)(21)22121n n na S n n n n +==--+-+， ∴141111111114(1)(1)2335272922929m T T ==-+-++-=-=. ……12分19.解：（1）()()2211112111x x x x x x -+==-++---，∵(1,)x ∈+∞，∴()11241x x -++≥-，故命题p 为真命题时，4m ≤． ……5分（2）若命题q 为真命题，则(2)(2)0m m -+<，所以22m -<<， ……7分 因为命题""p q ∨为真命题，则,p q 至少有一个真命题，""p q ∧为假命题，则,p q 至少有一个假命题，所以,p q 一个为真命题，一个为假命题. ……9分当命题p 为真命题，命题q 为假命题时，422m m m ≤⎧⎨≤-≥⎩或，则2m ≤-，或24m ≤≤；当命题p 为假命题，命题q 为真命题时，422m m >⎧⎨-<<⎩， 舍去．综上，2m ≤-，或24m ≤≤. ……12分20. 解：（1） 2cos 22sin cos 2sin sin 212sin cos sin ,cos 420.63a B c bA B C BB A B A A A ππ=-∴=-∴=∴=<<∴=分分又分（2）3sin 2==A R a ， ……8分 又bc bc c b A bc c b a ≥-+=-+=22222cos 2，"",3==≤∴取当且仅当c b bc ， ……10分43343sin 21≤==∴bc A bc S ，即4ABC ∆面积的最大值为……12分 21.解：（1）如图①，取1AB 的中点E ，AB 的中点F ，连接,,DE EF CF ，易知//1EF BB = 又//112CD BB =，∴四边形CDEF 为平行四边形，∴//DE CF . 又三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱，∴ABC ∆为正三角形，∴CF AB ⊥.∵CF ⊂平面ABC ，1CF BB ⊥,而1AB BB B ⋂=，∴CF ⊥平面11ABB A .又//DE CF ，∴DE ⊥平面11ABB A .而DE ⊂平面1AB D ，所以平面1AB D ⊥平面11ABB A .……6分（2）（方法一）建立如图①所示的空间直角坐标系，设1AA h =，则()()13,1,0,0,2,,0,0,2h A D B h ⎛⎫ ⎪⎝⎭，得()13,1,,3,1,2h AB h AD ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭. 设()1,,n y z =为平面1AB D 的一个法向量.由130,302n AB y hz hz n AD y ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩得3,343,3y z h ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即3431,,33n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.显然平面ABC 的一个法向量为()0,0,1m =， 24323cos ,cos 42116133m n h m n m n hπ⋅====⋅++ 所以221634161332h h +=， 即216124162h h =⇒=+.所以()11111111312233332B AACD AA C D V S -=⨯=⨯+⨯⨯=. ……12分 （方法二）如图②，延长1B D 与BC 交于点M ,连接AM .∵11//B C BC ,D 为1CC 的中点，∴D 也是1B M 的中点,又∵E 是1AB 的中点,∴//AM DE .∵DE ⊥平面11ABB A ,∴AM ⊥平面11ABB A .∴1B AB ∠为平面1AB D 与平面ABC 所成二面角的平面角.所以14B AB π∠=,∴112AA BB AB ===.∵作B 1M A 1C 1与A 1C 1交于点M ，∵正三棱柱ABC-A 1B 1C 1∴B 1M AA 1C 1 D ，∴B 1M 是高，所以……12分22.解：（1）设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===.∵2sin 3(sin sin )B A C =+，∴23()b a c =+. ∵23b = ∴4a c += 即||||4BC BA +=.由椭圆定义知，B 点轨迹是以C ，A 为焦点，长半轴长为2，半焦距为3，短半轴长为1，中心在原点(0,0)的椭圆（除去左、右顶点）.。
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亳州市 2017-2018 学年度第一学期期末高二质量检测理科数学参考答案123456789101112B D D ACA D C DBC B13．x 0 ， x x 114．1 a 1b c2215．1,00,16．217.解：（ 1）因a ∥b ，所以 x ＝ 4＝ 1 ，解得 x ＝ 2,y ＝－ 4， a ＝ (2,4,1) ，b ＝ (－ 2,－－ 2 y － 14,－ 1)．又因 b ⊥ c ，所以 b ·c ＝0，即－ 6＋8－ z ＝ 0，解得 z ＝ 2，于是 c ＝ (3，－ 2,2)． ⋯⋯5分（2）由（ 1）得 a ＋ c ＝ (5,2,3) ， b ＋ c ＝ (1，－ 6,1)， (a ＋ c )与 (b ＋ c )所成角θ，因此 cos θ＝5－ 12＋3－＝38· 38219.⋯⋯ 10分18.解：（ 1）∵ a 3 a 4 12 ，∴ 2a 1 5d 2a 1 10 12 ，∴ a 1 1，∴ a n2n 1，∴ a 2 n 1 2(2 n 1) 1 4n 3 ， S(14n 3) n 2n 2 n .⋯⋯6n2分（2）若 a 2 ,a 5 , a m 成等比数列， a 2 a m a 52 ，即 3(2m 1) 92 ，∴ m 14∵n(2 n 11) 1 ( 1 1 ) ， a n 1Sn1)(2n 2 2n 1 2n 1∴ T mT 141(1 1 1 1 1 1 ) 1(11 ) 14 . ⋯⋯ 122 3 35272922929分x221 111xx 1(1, ) ，∴ x2 4，故19.解：（1）1x 12 ，∵ x1x x1x 1命p真命，m 4 ．⋯⋯5分（2）若命 q 真命 ， (m 2)( m 2) 0 ，所以2 m 2 ，⋯⋯7分因 命 " pq" 真命 ， p, q 至少有一个真命 ，" p q" 假命 ，p,q 至少有一个假命 ，所以p,q 一个 真命 ，一个 假命 .⋯⋯9分当命 p 真命，命m42 ，或 2 m 4 ；q 假命，， mm2或m 2当命 p 假命，命m4q 真命，，舍去．2m 2上， m 2 ，或 2 m 4 .⋯⋯ 12分20.解：（ 1）2a cos B2c b2sin A cos B2sin C sin B2分2sin B cos A sin B,cos A 14分2又 0AA.6分3（2）a2R sin A 3 ，⋯⋯8分又 a2b2c22bc cos A b2c2bc bc ，bc3,当且仅当 b c取"" ，⋯⋯ 10分S 1333 bc s i nA bc4，24即ABC 面积的最大值为3 3 .⋯⋯ 12分421.解：（ 1）如①，取 AB1的中点E，AB的中点F，接 DE , EF , CF ，易知 EF / /BB1又 CD//1 BB1，∴四形CDEF平行四形，∴DE / /CF .2又三棱柱 ABC A1 B1C1是正三棱柱，∴ABC 正三角形，∴ CF AB .∵ CF平面 ABC ，CF BB1 ,而 AB BB1 B ，∴CF平面 ABB1 A1 .又DE / /CF，∴DE平面ABB1 A1而DE 平面 AB1D ，所以平面AB1D 平面 ABB1 A1..⋯⋯6分（2）（方法一）建立如 ① 所示的空 直角坐 系，AA 1 h ，Ah 0,0, h ，得 AB 13, 1, h , AD3,1,h 3,1,0 , D 0,2, , B 1.22n AB 13 y hz0, n1, y, z 平面 AB 1 D 的一个法向量 .由3 yhzn AD23y ,得3z4 3,3h即 n1, 3,43. 然平面 ABC 的一个法向量 m0,0,1，334 316 cos m,nm n 3h cos2 所以3h 2 ， m n1 16 1642 4113h 23 3h 223即1611S AA 1C 1 D1 1 22 h 2 .所以 V B 1 AA 1C 1 D31 2 2 33.⋯⋯12分4h1633 2（方法二）如 ② ，延 B 1D 与BC 交于点 M , 接 AM .∵ B 1C 1 / /BC , D CC 1 的中点，∴D 也是 B 1M 的中点 ,又∵ E 是 AB 1的中点 ,∴ AM //DE .∵ DE平面 ABB 1 A 1 ,∴ AM 平面 ABB 1 A 1 .∴ B 1 AB平面 AB 1 D 与平面 ABC 所成二面角的平面角.所以B 1 AB,∴ AA 1 BB 1 AB2 .4∵作 B 1MA 1C 1 与 A 1C 1 交于点 M ，∵正三棱柱 ABC-A 1B 1C 1∴ B 1MAA 1C 1 D ，∴ B 1M 是高，所以⋯⋯ 12分22. 解：（ 1 ） △ ABC 的三个内角A ，B ，C 所 的 分 a ， b ， c ， 由正弦定理 a b c .∵ 2sin B3(sin A sin C) ，∴ 2b3( a c) .sin A sinB 2RsinC∵ b2 3∴ a c 4即|BC| | BA | 4 .由 定 知， B 点 迹是以 C ， A 焦点，半 2 ，半焦距3 ，短半 1，中心在原点 (0,0) 的 （除去左、右 点）.2∴B 点的 迹方程x y 2 1( y0) .⋯⋯⋯5分4（2）易知直 MN 的斜率 k 存在， MN : y kx m ，y kx mx 22x 2kx m14k 2 1 x 2 8kmx 4 m210 ，y24 14= 8km 216 4k21 m210, 4k 2 m21 0 ，即 m24k21 ，因 S ACMNSMNOSNAOS MCO , 点 O 到直 MN : kx y m0 的距离 d ，dm，MN 2 OM2d 22 4 m 2 ，k 2k 2 11mm4k 2 42m 222m3 mSMNO1 2 4 m 1k 2 14 k m 1k 21k 2 1k 2 12 k 22，⋯⋯8分由y kx m x2kx m 2 4k 2 1 x22kmx m24 0 ，x 2y24x 1 x 22kmk 2 1，m24x 1x 2k 21y 1 +y 2kx 1m kx 2 m k x 1 x 22m k2km 2m 2m ，k 2 1 k 2 1SMCOSNAO13 y 11 3 y 23 y 1y 23 y 1 y 23 m ，k 2 12222S ACMNS MNO (S NAOS MCO )= 3 m 3 m 2 3 m .⋯⋯10 分k 2 1k21k21而 m24k21，k2=m21，易知 k 2 0 ，m 21,m 1 ，4S ACMN2 3 m 8 3 m8 38 34， m21m23 m3 2 314m"=" 当且仅当 m = 3时，即 m3取 到 ，mSABF F4 .⋯⋯12 分1 2max。