无穷小量与无穷大量极限运算法则
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高数1-3无穷小无穷大与极限运算法则
lim f ( x) A , lim g ( x) B,
且 f ( x) g ( x),
则
A B .
( P45 定理 5 ) 提示: 令 ( x) f ( x) g ( x)
1.lim(2 x 1)
x 1
x 1 2.lim 2 x 2 x 5 x 3
3
*. 设有分式函数
n n
(1) lim ( xn yn ) A B
n
(2) lim xn yn AB
n
xn A (3) 当 yn 0 且 B 0时, lim n y n B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 直接得出结论 .
定理 5 :若
3. 求 解法 1 原式 = lim
x x2 1 x
x
lim
x
1 1 1 1 2 1 2 x
1 则 t 0 令t , x 2 1 1 1 1 t 1 原式 = lim 2 1 lim t0 t t0 t t2 t 1 1 lim 2 2 t 0 1 t 1
定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设
0 ,
当 当
时,有 时,有
取 min 1 , 2 , 则当 0 x x0 时, 有
2 2
因此
这说明当
时,
为无穷小量 .
定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小。
备选题 设
求 解:
是多项式 , 且
利用前一极限式可令
f ( x) 2 x 3 2 x 2 a x b
高数无穷小、无穷大极限运算法则
y 1 sin 1 xx
(1) 取 xk
1
2k
2
y( xk ) 2k 2 ,
(2)
取
xk
1 2k
(k 0,1,2,3,)
当k充分大时, y( xk ) M . (k 0,1,2,3,)
无界，
当 k 充分大时, xk ,
但 y( xk ) 2ksin 2k 0 M .
不是无穷大．
lim
n
xn
A,
lim
n
yn
B
,则有
(n )
A B
(2)
lim
n
xn
yn
AB
(3)
当 yn
0且 B
0时,
lim
n
xn yn
A B
Hint: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由
直接得出结论 。
求极限方法举例
例1
求
lim
x2
x2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
lim 1 0, x x
函数 1 是当x 时的无穷小. x
lim (1)n n n
0,
数列{(1)n }是当n n
时的无穷小.
注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.
2、无穷小与函数极限的关系:
定理 1 lim f ( x) A f ( x) A ( x), x x0
f (x)
若
为无穷小, 且
f (x) 0, 则
1 为无穷大. f (x)
(自证)
Note: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
无穷小无穷大
即lim 2 arctan x 0
x ?
即lim arctan x
x ?
2
1 只有当x ,即 lim x 2 arctan x
作
业
习题二 (P73) 5. 6.（3）（4） 7.（3）（4）
一.无穷小量
极限为 0 的变量称为无穷小量，简称无穷小。 性质1： 性质2： 性质3： 推论：
推论2：常数因子可以提到极限号外，即：lim cy = c lim y （ c 为常数）。 推论3：如果 n 为正整数，且limy存在,则： lim y n (limy)n 如果 n 为正整数，且limy存在,则： lim y (limy )
1 n 1 n
f(x) 法则3：若 lim f(x) = A， limg(x) = B 0，则 lim 存在， g(x) f(x) lim f (x) A 且 lim g(x) lim g( x ) B
x x0 x x0
a0 x n a1 x n1 ... an f ( x0 ) 0 0
3 x 1 (注：对于有理分式函数，首先 例2：求 lim 2 x2 x 6 要验证分母极限是否为零。)
解： 因为 lim( x 2 6) (lim x )2 lim 6 22 6 10 0
大。因此，无穷大可有如下定义： 若 正数 M（无论多么大），变量 y 在某变化 过程中，总有那么一个时刻，在那时刻之后，恒有 | y |>M 成立，则称变量 y 在该变化过程中为无穷大。
练习:
1 当x ?时, 是无穷小量. ln(3 x )
1 解:若 是无穷小, 则 ln(3 x )应该为无穷大. ln(3 x )
四、五节 无穷小与无穷大极限运算法则
1，定义：绝对值无限增大的变量称为无穷大 ，定义：绝对值无限增大的变量称为无穷大. 无穷大
特殊情形：正无穷大，负无穷大． 特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x → x0 ( x→∞ )
lim f ( x ) = +∞ (或 lim f ( x ) = −∞ )
x → x0 ( x→∞ )
注意 （1）无穷大是变量 不是一个很大的数，它能大于任 不是一个很大的数， ）无穷大是变量,不是一个很大的数 意大的数; 意大的数
0
x−3 例3 求 lim 2 x →3 x − 9
B、x -->∞ 时求函数极限 、
例4
2x − 3 求 lim 2 x →1 x − 5 x + 4
3x3 + 4 x2 + 2 例5 求 lim 3 x→∞ 7 x + 5 x2 − 3
3 x2 − 2 x − 1 例6 求 lim 3 2 x→∞ 2x − x + 5
极限的四则运算法则
定理
设 lim f ( x) = A, lim g( x) = B, 则 (1) lim f ( x) ± g( x)] = A± B; [ (2) lim f ( x) ⋅ g( x)] = A⋅ B; [ f ( x) A (3) lim B = , 其中 ≠ 0. g( x) B
第五节 极限的运算法则
本节讲述极限的四则运算法则。为此先介绍两个定理。 定理1：有限个无穷小的和还是无穷小。 有限个无穷小的和还是无穷小 定理 有限个无穷小的和还是无穷小 定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 定理 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小。 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论 常数与无穷小的乘积是无穷小 （常数是有界的） 推论2：有限个无穷小的乘积是无穷小。 有限个无穷小的乘积是无穷小 推论 有限个无穷小的乘积是无穷小 （无穷小是有界的）
特殊情形：正无穷大，负无穷大． 特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x → x0 ( x→∞ )
lim f ( x ) = +∞ (或 lim f ( x ) = −∞ )
x → x0 ( x→∞ )
注意 （1）无穷大是变量 不是一个很大的数，它能大于任 不是一个很大的数， ）无穷大是变量,不是一个很大的数 意大的数; 意大的数
0
x−3 例3 求 lim 2 x →3 x − 9
B、x -->∞ 时求函数极限 、
例4
2x − 3 求 lim 2 x →1 x − 5 x + 4
3x3 + 4 x2 + 2 例5 求 lim 3 x→∞ 7 x + 5 x2 − 3
3 x2 − 2 x − 1 例6 求 lim 3 2 x→∞ 2x − x + 5
极限的四则运算法则
定理
设 lim f ( x) = A, lim g( x) = B, 则 (1) lim f ( x) ± g( x)] = A± B; [ (2) lim f ( x) ⋅ g( x)] = A⋅ B; [ f ( x) A (3) lim B = , 其中 ≠ 0. g( x) B
第五节 极限的运算法则
本节讲述极限的四则运算法则。为此先介绍两个定理。 定理1：有限个无穷小的和还是无穷小。 有限个无穷小的和还是无穷小 定理 有限个无穷小的和还是无穷小 定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 定理 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小。 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论 常数与无穷小的乘积是无穷小 （常数是有界的） 推论2：有限个无穷小的乘积是无穷小。 有限个无穷小的乘积是无穷小 推论 有限个无穷小的乘积是无穷小 （无穷小是有界的）
1.5无穷小与无穷大,极限运算法则
3
型)
先用 x 去除分子分母
, 分出无穷小
, 再求极限
.
lim
2x 7x
3 3
3x 4x
2 2
5 1
2 lim
x
3 x 4 x
5 x 1 x
3
x
2 7
.
7
3
(无穷小因子分出法)
小结:当 a 0 0 , b 0 0 , m 和 n 为非负整数时有
极限运算法则
本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变 量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂 的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。 首先来介绍无穷小。
一、无穷小
在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。 对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有 理论价值，值得我们单独给出定义
1.定义:
定义 1
f ( x ) , 则直线 x x 0 是函数 y f ( x ) .
的图形的铅直渐近线
三、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证
设 lim
x x0
f (x) .
0 , 0 , 使得当 0 x x 0 时 恒有 f ( x ) 1 ,
2
1 x
都是无穷小
二、无穷大
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
定义 2 如果对于任意给定的正数 M (不论它多么 小),总存在正数 (或正数X ),使得对于适合不等式
0 x x 0 (或 x X )的一切 x ,所对应的函数
值 f ( x ) 都满足不等式
f ( x) M ,
型)
先用 x 去除分子分母
, 分出无穷小
, 再求极限
.
lim
2x 7x
3 3
3x 4x
2 2
5 1
2 lim
x
3 x 4 x
5 x 1 x
3
x
2 7
.
7
3
(无穷小因子分出法)
小结:当 a 0 0 , b 0 0 , m 和 n 为非负整数时有
极限运算法则
本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变 量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂 的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。 首先来介绍无穷小。
一、无穷小
在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。 对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有 理论价值，值得我们单独给出定义
1.定义:
定义 1
f ( x ) , 则直线 x x 0 是函数 y f ( x ) .
的图形的铅直渐近线
三、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证
设 lim
x x0
f (x) .
0 , 0 , 使得当 0 x x 0 时 恒有 f ( x ) 1 ,
2
1 x
都是无穷小
二、无穷大
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
定义 2 如果对于任意给定的正数 M (不论它多么 小),总存在正数 (或正数X ),使得对于适合不等式
0 x x 0 (或 x X )的一切 x ,所对应的函数
值 f ( x ) 都满足不等式
f ( x) M ,
无穷大量与无穷小量
f (x) = 1 = o(1), (x → ∞). x
f (x) = ex = o(1), (x → −∞).
f (x) = arcsin x = o(1), (x → 0). f (x) = 0 = o(1), (x → X ).
2018/10/11
Edited by Lin Guojian
1
例: 证明设 lim f (x) = A ⇔ f (x) − A = o(1), (x → X ). x→X
例 : 设f (x) = 6x3, g(x) = 3x3,则当x → 0时, f (x) = o(1), g(x) = o(1)(x → 0), 则lim f (x) = 6x3 = 2,即f (x)与g(x)同阶无穷小. x→0 g(x) 3x3
例 : 设f (x) = sin x = o(1), g(x) = x = o(1)(x → 0),
f (x) 2
x→X
从而0 ≤ f (x)g(x) ≤ M f (x) , (x → X ).
由于f (x) = o(1), (x → X ),故 lim M f (x) = M lim f (x) = 0.
x→X
x→X
由夹逼定理知 : lim f (x)g(x) = 0. x→X
从而f (x)g(x) = o(1), (x → X ).
x→0
x
例: lim x2 sin x→0
1 x3
= 0,
lim x cos 1 = 0,
x→0
x
lim(ln x)⋅sin 1 = 0.
x→1
x −1
1
1
注 : lim sin 不存在,lim cos 不存在.
x→0
2.无穷小量、无穷大量、极限的四则运算
lim x
2
1
1
2 x2
1
例1-21
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
.
解 x 时, 分子,分母的极限都是无穷大. ( 型 )
先用x 3去除分子分母 , 分出无穷小, 再求极限.
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
lim
x
[ f (x) g(x)] (A B) (A )(B ) AB (A B) 0. (2)成立.
推论1 若lim f (x)存在,而c为常数,则
lim cf (x) c lim f (x)
即:常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 若lim f (x)存在,而n为正整数,则
1．无穷大量 2．无穷小量 ３．极限的四则运算
作业 P14-P15
➢ 1、 3(2，3，8，12，14) ➢ 2、 6
0
222
由夹逼法则
limsin x 0, limcos x 1
x0
x0
3．无穷小量的比较与阶
在自变量 x 的同一变化过程中，两个无穷小趋于零的
快慢可能会有所不同．
如：函数x和x2，当x 0时x2变化比x快.
两个无穷小趋于零的快慢，可根据两个无穷小的商是否 会有极限来判断．
例如 lim x 2 0 x0 x
即:若函数 f ( x)以为A极限,则函数 f ( x) A是无穷小; 反之,若 f ( x) A 是无穷小,则 f ( x)以A为极限. 因此,通常将
lim f ( x) A 表达为 f ( x) A (lim 0).
江苏省专转本高等数学第三节 极限的运算法则第四节 无穷小(量)和无穷大(量)
推论1
如果lim u存在, 而c为常数, 则
lim( cu) c lim u .
如果lim u存在, 而n是正整数, 则
推论2
lim u (lim u) .
n n
n 前已证 lim x x0 , 所 以 lim x n x0 . x x
0
x x0
2 例1 lim ( x 3 x 1) lim x lim 3 x 1 2 x 2 x 2 x 2
定理表明： 极限概念可以用无穷小量概念来描述.
无穷小量的性质：
定理 1° 有限多个无穷小量之和仍是无穷小量；
2° 无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量； 3° 有限多个无穷小量之积仍是无穷小量。
7
sin x 例1 求 lim . x x
1 解 当x 时, 为无穷小, x
而 sin x是有界函数.
n( n 1) 1 lim . 2 n 2n 2
25
因为 lim a
n 2n
0 , 所以原极限为-1；
an an 1 a 2 n 1, lim 当 a 1 时， lim n n 2 n n a a n 1 a 1 , 0 a 1 a n a n 所以 lim n 0, a 1 . n n a a 1, a 1
x1 1 lim . x 1 x 3 2
5
第四节
定义
无穷小(量)和无穷大(量)
一、无穷小(量)
以零为极限的函数(或数列)称为无穷小(量).
. 例如, lim sin x 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小 x 0 1 1 lim 0, 函数 是当x 时的无穷小 . x x x ( 1) n ( 1) n lim 0, 数列{ }是当n 时的无穷小. n n n
如果lim u存在, 而c为常数, 则
lim( cu) c lim u .
如果lim u存在, 而n是正整数, 则
推论2
lim u (lim u) .
n n
n 前已证 lim x x0 , 所 以 lim x n x0 . x x
0
x x0
2 例1 lim ( x 3 x 1) lim x lim 3 x 1 2 x 2 x 2 x 2
定理表明： 极限概念可以用无穷小量概念来描述.
无穷小量的性质：
定理 1° 有限多个无穷小量之和仍是无穷小量；
2° 无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量； 3° 有限多个无穷小量之积仍是无穷小量。
7
sin x 例1 求 lim . x x
1 解 当x 时, 为无穷小, x
而 sin x是有界函数.
n( n 1) 1 lim . 2 n 2n 2
25
因为 lim a
n 2n
0 , 所以原极限为-1；
an an 1 a 2 n 1, lim 当 a 1 时， lim n n 2 n n a a n 1 a 1 , 0 a 1 a n a n 所以 lim n 0, a 1 . n n a a 1, a 1
x1 1 lim . x 1 x 3 2
5
第四节
定义
无穷小(量)和无穷大(量)
一、无穷小(量)
以零为极限的函数(或数列)称为无穷小(量).
. 例如, lim sin x 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小 x 0 1 1 lim 0, 函数 是当x 时的无穷小 . x x x ( 1) n ( 1) n lim 0, 数列{ }是当n 时的无穷小. n n n
无穷大量与无穷小量
2.4 无穷大量与无穷小量
一.无穷小量
无穷小量
注意
（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.
对于x→x0： >0,>0，使得当0<|x-x0|<时, |f(x)|<,恒成立. 对于x→∞： >0,M>0，使得当|x|>M时, |f(x)|<,恒成立.
无穷小量
例如：
无穷小与函数极限的关系:
证
必要性
充分性
意义
证
无穷小的运算性质: 将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 都是无穷小
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.
四. 无穷小量的阶
四. 无穷小量的阶 例如, 观察各极限 不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
定义：,是相同一过程的两个无穷小量.如果 :
例1
解
例2
解
常用等价无穷小: 注 上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、指、三）必须熟练掌握
2、几点注意:
02
五.小结
思考题
思考题解答
不能保证. 例 有
一、填空题:
练 习 题
练习题答案
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较.
1.无穷小的比较:
2.等价无穷小的替换:
一.无穷小量
无穷小量
注意
（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.
对于x→x0： >0,>0，使得当0<|x-x0|<时, |f(x)|<,恒成立. 对于x→∞： >0,M>0，使得当|x|>M时, |f(x)|<,恒成立.
无穷小量
例如：
无穷小与函数极限的关系:
证
必要性
充分性
意义
证
无穷小的运算性质: 将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 都是无穷小
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.
四. 无穷小量的阶
四. 无穷小量的阶 例如, 观察各极限 不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
定义：,是相同一过程的两个无穷小量.如果 :
例1
解
例2
解
常用等价无穷小: 注 上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、指、三）必须熟练掌握
2、几点注意:
02
五.小结
思考题
思考题解答
不能保证. 例 有
一、填空题:
练 习 题
练习题答案
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较.
1.无穷小的比较:
2.等价无穷小的替换:
1.4无穷小、无穷大、极限运算法则
返回 返回
三、无穷小的比较
引例 . x →0时, 1 Y=x Y=x2 1 1 2 0.1 0.01
x, x2 都是无穷小, 但
3 0.01 4 0.001 …… –> 0 –>0
0.000 0.0001 …… 001
所以无穷小趋于零的速度不一样， 所以无穷小趋于零的速度不一样，因此引入阶的概念
返回 返回
例如： − 是很小的数， 穷小量。 例如： 1010000000000 是很小的数，但不是无 穷小量。
2.零是可以作为无穷小的唯一的数. 零是可以作为无穷小的唯一的数 零是可以作为无穷小的唯一的 3.分析 f (x) 是否为无穷小一定要考虑自变 分析 变化过程.如 量 x 的 变化过程 如 x → 2时 x − 2 是无穷 不是无穷小。 小，但 x → 3时，则 x − 2 不是无穷小。 返回 返回
定义: 定义:设α, β是同一过程中的两个无 , 且α ≠ 0. 穷小 β (1) 如果lim = 0, 就说β是比α高阶的无穷小 , α 记作β = o(α); β β α低阶的无穷小. (2)如果lim = ∞, 就说 是比 低阶的无穷小. α β (3) 如果lim = C(C ≠ 0),就说β与α是同阶的无穷小 ; α β ; 特殊地如果lim = 1, 则称β与α是等价的无穷小 α 记作α ~ β;
β β′ α′ = lim ⋅ lim ⋅ lim = lim β ′ . β′ α′ α α′
返回 返回
tan 2x . 例5 求lim x→0 1 − cos x
1 2 解 当x →0时, 1 − cos x ~ x , tan2x ~ 2x. 2 2 (2x) 原式= lim = 8. x→0 1 → 2 x 2
三、无穷小的比较
引例 . x →0时, 1 Y=x Y=x2 1 1 2 0.1 0.01
x, x2 都是无穷小, 但
3 0.01 4 0.001 …… –> 0 –>0
0.000 0.0001 …… 001
所以无穷小趋于零的速度不一样， 所以无穷小趋于零的速度不一样，因此引入阶的概念
返回 返回
例如： − 是很小的数， 穷小量。 例如： 1010000000000 是很小的数，但不是无 穷小量。
2.零是可以作为无穷小的唯一的数. 零是可以作为无穷小的唯一的数 零是可以作为无穷小的唯一的 3.分析 f (x) 是否为无穷小一定要考虑自变 分析 变化过程.如 量 x 的 变化过程 如 x → 2时 x − 2 是无穷 不是无穷小。 小，但 x → 3时，则 x − 2 不是无穷小。 返回 返回
定义: 定义:设α, β是同一过程中的两个无 , 且α ≠ 0. 穷小 β (1) 如果lim = 0, 就说β是比α高阶的无穷小 , α 记作β = o(α); β β α低阶的无穷小. (2)如果lim = ∞, 就说 是比 低阶的无穷小. α β (3) 如果lim = C(C ≠ 0),就说β与α是同阶的无穷小 ; α β ; 特殊地如果lim = 1, 则称β与α是等价的无穷小 α 记作α ~ β;
β β′ α′ = lim ⋅ lim ⋅ lim = lim β ′ . β′ α′ α α′
返回 返回
tan 2x . 例5 求lim x→0 1 − cos x
1 2 解 当x →0时, 1 − cos x ~ x , tan2x ~ 2x. 2 2 (2x) 原式= lim = 8. x→0 1 → 2 x 2
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性质3：有限个无穷小的乘积也是无穷小.
1 1 例如： lim 0. 2 x x (1 x ) 三、无穷大量
1.定义: 如果在自变量的同一变化过程中,变量(函 数)f(x)的绝对值无限增大,则称该变量是这个变化过 程中的无穷大量。记作limf(x)=。
1 1 例如： lim ， 是x 0时的无穷大. x 0 x x x lim e ， ∵ e x是x 时的正无穷大量.
把求一般的极限问题转化为求特殊极限(无穷小)的问题;
n2 2 2 n2 如： 1 , lim 0, lim 1. n n n n n n
3、无穷小的运算性质: 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 性质1： 注意：无穷多个无穷小的代数和不一定是无穷小.
1 1 1 例如： lim ... 1 0 n lim f ( x) A.
x x
2
2.
x x0 时， f ( x ) 的极限.
注： x x0包含了x x0 和 x x0 两个极限过程.
定理： lim f ( x ) A f ( x0 0) f ( x0 0) A.
x
10
注意:
(1)记号limf(x)没有指明自变量的变化过程，指的
是任意一种变化过程。
(2)无穷大是函数(变量),不能与很大的常数混淆; (3)切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在.
x x0
(4)无穷大的概念是反映变量的变化趋势，因此 谈及无穷大,一定指明 自变量的变化趋势. 1 1 1 不是无穷大. . 而x 2 呢？ 例 lim x 1 x 1 x 1
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注意 (1)无穷小是函数(变量),不是一个很小的常数;
(2)零是可以作为无穷小的唯一的常数.
lim 0 0
(3)说一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势.
1 x 1 时呢？ 1 x 1 即 x 1时， 就不是无穷小. x
5
1 如： x
是当
x 时的 无穷小.
二、无穷小与函数极限的关系 lim f ( x ) A f ( x) A ( x) 1、定理1：
记作 lim f ( x ) 0 (或 lim x x a 例如：
f ( x ) 0).
lim x 0, 所以函数x是当 x ∵
x 0
0 时的无穷小.
1 1 ∵ lim 0, 所以函数 是当 x 时的无穷小. x x x
1 1 是当 lim 0, 所以 时的无穷小. n ∵ n n 1 n1
其中： ( x ) 是当 x x0 时的无穷小.
x x0
证 必要性 设 lim f ( x ) A, 令 ( x ) f ( x ) A,
则有 lim ( x ) 0, f ( x ) A ( x ).
x x0
x x0
充分性 设 f ( x ) A ( x ),
2-3 无穷小量与无穷大量
1
1.
x 时， f ( x) 的极限.
x
复习
" ε X "定 义 lim f ( x ) A
恒有 f ( x) A ε. ε 0, X 0, 使当 x X 时，
注： x 包含了x 和 x 两个极限过程. 定理： lim f ( x ) A
其中 ( x )是当x x0时的无穷小 ,
则 lim f ( x ) lim ( A ( x )) A lim ( x ) A. x x x x x x
0 0
0
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lim f ( x ) A 定理1：
2、作用
x x0
f ( x) A ( x)
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性质2：有界变量与无穷小的乘积是无穷小.
推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小.
1000 例如： lim =0. x x
推论2：在同一极限过程中,有极限的变量与无穷小 的乘积是无穷小. 例如：lim x 2 arctan1 0， l i m arctanx 0. x x 0 x x
n个
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性质2：有界变量与无穷小的乘积是无穷小.
1 例 求 l i m si n x . x x
1 解 对任意 x ( , ),| si n x | 1, 且 l i m 0 x x 1 故 得l i m si n x 0 x x
1 1 x cos 2 0 思考： lim x sin 0, lim x 0 x 0 x x
x x0
(1) 该定理常用于求分段函数在分界点的极限问题 (即考察左右极限是否存在且相等).
0 (2)x x0 实际上是 x 在x0 的某邻域 U ( x0 , )内变化，
f(x)的极限是否存在与函数在 x= x0是否有定义“无”关.
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第三节 无穷小量与无穷大量
一、无穷小量与无穷大量
1.无穷小量定义： 极限为零的变量称为无穷小
11
(5) 无穷大一定无界,但无界不一定是无穷大.
1 1 如 f ( x ) sin , 当x 0时，就不是无穷大量. x x
2.无穷大量的性质 性质1 两个无穷大量的乘积还是无穷大量. 性质2 有界量与无穷大量的和还是无穷大量. 注意: 两个无穷大量的和未必还是无穷大量;有 界量与无穷大量的乘积也未必还是无穷大量.
1 lim x ( x ) 0, lim n 1. x n n
12
3.铅直渐近线 (垂直于x 轴的渐近线)
或 lim f ( x ) ， 或 lim f ( x ) 如果lim f ( x ) ，
x a x a x a
(a 为常数),那么x a 就是 y f ( x ) 的垂直渐近线.
性质3：有限个无穷小的乘积也是无穷小.
1 1 例如： lim 0. 2 x x (1 x ) 三、无穷大量
1.定义: 如果在自变量的同一变化过程中,变量(函 数)f(x)的绝对值无限增大,则称该变量是这个变化过 程中的无穷大量。记作limf(x)=。
1 1 例如： lim ， 是x 0时的无穷大. x 0 x x x lim e ， ∵ e x是x 时的正无穷大量.
把求一般的极限问题转化为求特殊极限(无穷小)的问题;
n2 2 2 n2 如： 1 , lim 0, lim 1. n n n n n n
3、无穷小的运算性质: 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 性质1： 注意：无穷多个无穷小的代数和不一定是无穷小.
1 1 1 例如： lim ... 1 0 n lim f ( x) A.
x x
2
2.
x x0 时， f ( x ) 的极限.
注： x x0包含了x x0 和 x x0 两个极限过程.
定理： lim f ( x ) A f ( x0 0) f ( x0 0) A.
x
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注意:
(1)记号limf(x)没有指明自变量的变化过程，指的
是任意一种变化过程。
(2)无穷大是函数(变量),不能与很大的常数混淆; (3)切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在.
x x0
(4)无穷大的概念是反映变量的变化趋势，因此 谈及无穷大,一定指明 自变量的变化趋势. 1 1 1 不是无穷大. . 而x 2 呢？ 例 lim x 1 x 1 x 1
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注意 (1)无穷小是函数(变量),不是一个很小的常数;
(2)零是可以作为无穷小的唯一的常数.
lim 0 0
(3)说一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势.
1 x 1 时呢？ 1 x 1 即 x 1时， 就不是无穷小. x
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1 如： x
是当
x 时的 无穷小.
二、无穷小与函数极限的关系 lim f ( x ) A f ( x) A ( x) 1、定理1：
记作 lim f ( x ) 0 (或 lim x x a 例如：
f ( x ) 0).
lim x 0, 所以函数x是当 x ∵
x 0
0 时的无穷小.
1 1 ∵ lim 0, 所以函数 是当 x 时的无穷小. x x x
1 1 是当 lim 0, 所以 时的无穷小. n ∵ n n 1 n1
其中： ( x ) 是当 x x0 时的无穷小.
x x0
证 必要性 设 lim f ( x ) A, 令 ( x ) f ( x ) A,
则有 lim ( x ) 0, f ( x ) A ( x ).
x x0
x x0
充分性 设 f ( x ) A ( x ),
2-3 无穷小量与无穷大量
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1.
x 时， f ( x) 的极限.
x
复习
" ε X "定 义 lim f ( x ) A
恒有 f ( x) A ε. ε 0, X 0, 使当 x X 时，
注： x 包含了x 和 x 两个极限过程. 定理： lim f ( x ) A
其中 ( x )是当x x0时的无穷小 ,
则 lim f ( x ) lim ( A ( x )) A lim ( x ) A. x x x x x x
0 0
0
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lim f ( x ) A 定理1：
2、作用
x x0
f ( x) A ( x)
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性质2：有界变量与无穷小的乘积是无穷小.
推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小.
1000 例如： lim =0. x x
推论2：在同一极限过程中,有极限的变量与无穷小 的乘积是无穷小. 例如：lim x 2 arctan1 0， l i m arctanx 0. x x 0 x x
n个
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性质2：有界变量与无穷小的乘积是无穷小.
1 例 求 l i m si n x . x x
1 解 对任意 x ( , ),| si n x | 1, 且 l i m 0 x x 1 故 得l i m si n x 0 x x
1 1 x cos 2 0 思考： lim x sin 0, lim x 0 x 0 x x
x x0
(1) 该定理常用于求分段函数在分界点的极限问题 (即考察左右极限是否存在且相等).
0 (2)x x0 实际上是 x 在x0 的某邻域 U ( x0 , )内变化，
f(x)的极限是否存在与函数在 x= x0是否有定义“无”关.
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第三节 无穷小量与无穷大量
一、无穷小量与无穷大量
1.无穷小量定义： 极限为零的变量称为无穷小
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(5) 无穷大一定无界,但无界不一定是无穷大.
1 1 如 f ( x ) sin , 当x 0时，就不是无穷大量. x x
2.无穷大量的性质 性质1 两个无穷大量的乘积还是无穷大量. 性质2 有界量与无穷大量的和还是无穷大量. 注意: 两个无穷大量的和未必还是无穷大量;有 界量与无穷大量的乘积也未必还是无穷大量.
1 lim x ( x ) 0, lim n 1. x n n
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3.铅直渐近线 (垂直于x 轴的渐近线)
或 lim f ( x ) ， 或 lim f ( x ) 如果lim f ( x ) ，
x a x a x a
(a 为常数),那么x a 就是 y f ( x ) 的垂直渐近线.