数列及其基本概念
数列及其基本概念
变量与函数是描述事物运动和变化的最重要的数学工具之一，数列就是当变量成离散变化状态时的一种数学模式，正是由于数列变化的离散性，计算机就大有用武之地，可以计算出数列的成千上万项来观察数列的变化情况. 教育贷款问题、储蓄收益问题、放射性物质的衰变、物种种群数量问题等蕴含的数学模式都是数列. 我们将讨论最简单的两类数列，即等差数列和等比数列，为研究更复杂的数列奠定必要的基础.
玉兔子孙世代传，棋盘麦塔上摩天.
坛坛罐罐求堆垛，步步为营算连环.
数列寻根属函数，自成一格意盎然.
等差等比初学步，登堂入室看来年.
【教学?建构】
自主学习1 阅读教材31-33页文字和例题，带着下列问题进行自主学习
问题1 什么是数列？什么是数列的项、首项？
问题2 数列如何用数学符号语言来表示？
问题3 什么是数列的通项公式？
【应用?探究?思考】
探究1 数列的本质是什么？
探究2 关于通项公式的若干思考
（1）数列的通项公式唯一吗？
（2）数列一定有通项公式吗？
（3）我们可以通过数列{}
a的通项公式，确定数列{}n a项
n
数和项的关系，进一步值得思考的问题是：还有没有其他可以确定数列的方法？
例 已知点列{}n a 的第1项为1，第2项为1，以后各项
由n
n n a a a +=++12（*N n ∈）给出，则这个数列的第6项为_________.
定义 如果数列{}n a 的任一项1+n a 与它的前一项n a （或多项）
之间的关系可用一个公式来表示，即)(1n n a f a =+，那么这个公式就叫做数列{}n a 的递推公式，1a 就成为数列{}n a 的初始条件.
事实表明，这种方法更便于计算机编程进行计算.
例 根据递推公式和初始条件
1,1121
1≥???=+=+n a a a n n 写出数列{}n a 的前5项.
【数学史料】该式为古印度有名的河内塔问题．传说
中开天辟地的神勃拉玛在贝拿勒斯的圣庙里留下了三根金刚石的棒，第一根上面套着64个金环，最大的一个在底下，其余的一个比一个小，依次叠上去. 庙里的众僧不倦地把它们一个个地从这根棒搬到另一根棒上，规定可利用中间的一根棒作为帮助，但每次只能搬一个，而且大的不能放在小的上面. 相传神同时发了咒语，当所有的金环全部移完时，就是世界末日到来的时候。那么，众僧们要移动多少次呢？
可见，在计算机中，由递推公式和初始条件确定的数列
可由反馈过程实现，输入n a 后，计算机一方面输出)(1n n a f a =+，
另一方面反馈回输入端．因此，只要输入1a ，计算机将自动
按顺序输出数列{}n a 的每一项．
探究4 数列的分类标准
（1）按项数分类
（2）按项与项之间的大小关系（能否给出定义？）
例 已知数列{}n a 的通项公式为193-=n a n ，求数列{}n a 的最
小项．
【复习?思考】整理笔记，巩固记忆课堂教学内容.
高中数学 数列的概念教案 北师大版
第三课时数列的概念 一、教学目标 1、知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递 a的关系 推公式写出数列的前几项；理解数列的前n项和与 n 2、过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。 3、情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 二、教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项 教学难点理解递推公式与通项公式的关系 三、教学过程 Ⅰ.课题导入 [复习引入]数列及有关定义 Ⅱ.讲授新课 数列的表示方法 1、通项公式法 如果数列{}n a的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。 如数列的通项公式为； 的通项公式为； 的通项公式为； 2、图象法 启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数为横坐标，相应的 项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横 坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． 3、递推公式法
知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题． 观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型． 模型一：自上而下： 第1层钢管数为4；即：1?4＝1+3 第2层钢管数为5；即：2?5＝2+3 第3层钢管数为6；即：3?6＝3+3 第4层钢管数为7；即：4?7＝4+3 第5层钢管数为8；即：5?8＝5+3 第6层钢管数为9；即：6?9＝6+3 第7层钢管数为10；即：7?10＝7+3 若用n a 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且1(3+=n a n ≤n ≤7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。 让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律） 模型二：上下层之间的关系 自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。 即41=a ；114512+=+==a a ；115623+=+==a a 依此类推：11+=-n n a a （2≤n ≤7） 对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。 定义： 递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 递推公式也是给出数列的一种方法。 如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89 递推公式为：)83(,5,32121≤≤+===--n a a a a a n n n 数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示 法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用
高中数学第六章数列第一节数列的概念与简单表示
第一节 数列的概念与简单表示 [基本知识] 1．数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)． 2．数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 3．数列的递推公式 如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且任何一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即a n ＝f (a n －1)(或a n ＝f (a n －1，a n －2)等)，那么这个式子叫做数列{a n }的递推公式． 4．S n 与a n 的关系 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝??? S 1，n ＝1， S n －S n －1，n ≥2， 这个关系式对任意数列均成立． [基本能力] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( ) (3)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝1 2a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何一项．( ) (4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对?n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× 二、填空题 1．数列{a n }中，a 1＝2，且a n ＋1＝1 2 a n －1，则a 5的值为________． 解析：由a 1＝2，a n ＋1＝12a n －1，得a 2＝12a 1－1＝1－1＝0，a 3＝12a 2－1＝0－1＝－1，a 4＝12a 3－1＝－12－1＝－3 2，a 5 ＝12a 4－1＝－34－1＝－7 4 . 答案：－74 2．数列{a n }定义如下：a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝??? ?? 1＋a 2n ，n 为偶数， 1a n － 1，n 为奇数， 若a n ＝1 4 ，则n 的值为________． 解析：困为a 1＝1，所以a 2＝1＋a 1＝2，a 3＝1a 2＝12，a 4＝1＋a 2＝3，a 5＝1a 4＝13，a 6＝1＋a 3＝32，a 7＝1a 6＝2 3，a 8＝1＋a 4 ＝4，a 9＝1a 8＝1 4 ，所以n ＝9.
高中数学数列的基本概念
高中数学数列的基本概念教案
一、知识点回顾 类型一：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式 例1．写出下列各数列的一个通项公式，使其前四项分别是: (1) 0, 23,38,4 15,…； (2) 1, 43-,95,167-,…； (3) 9, 99,999, 9999,…； (4) 6, 1, 6,1,…. 举一反三： 【变式】根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1) 1, 1, 1, 1,…； (2) -1, 1, -1, 1, …； (3) 1, -1, 1, -1, …； (4)1111--234 ， ，，, …； (5) 2，0，2，0，…. 类型二：通项公式的应用 例2．已知数列{}n a 的通项公式32n a n =-, 试问下列各数是否为数列{}n a 的项，若是，是第几项？
(1) 94；(2) 71. 举一反三： 【变式1】数列{}n a 的通项公式为1(n 21n n a n n ??=??-? 是奇数）（是偶数）它的前8项依次为 【变式2】已知数列{}n a 的通项公式(1)(2)n a n n =++, （1）若9900n a =，试问n a 是第几项？ （2）56和28是否为数列{}n a 的项？ 类型三：递推公式的应用 例3. 设数列{}n a 满足：11a =，1 11n n a a -=+ (2)n ≥，写出这个数列的前五项。 举一反三： 【变式1】已知数列{}n a 满足：21=a ，n n a a 21=+，写出前5项，并猜想n a ． 【变式2】已知两个等比数列{}n a ，{}n b ， 满足1a a =(0)a >，111b a -=，222b a -=，333b a -=. 若1a =，求数列{}n a 的通项公式； 例4.（1）已知数列{}n a 满足111,1(2),n n a a a n -==+≥写出这个数列的通项公式. （2）已知数列{}n a 满足111, (2),1n n a n a n a n -==≥+写出这个数列的通项公式. 举一反三： 【变式1】数列{a n }满足a n ＋1＝ n a -11，a 8＝2，则a 1＝ ． 【变式2】已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009＝________；a 2 014＝________. 类型四：前n 项和公式n S 与通项n a 的关系 例5．已知数列{}n a 的前n 项和公式n S ，求通项n a .
高中数学第一章数列的概念教案北师大版
数列的概念 教学目标 1．通过教学使学生理解数列的概念，了解数列的表示法，能够根据通项公式写出数列的项． 2．通过数列定义的归纳概括，初步培养学生的观察、抽象概括能力；渗透函数思想． 3．通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极性． 教学重难点 教学重点是数列的定义的归纳与认识； 教学难点是数列与函数的联系与区别． 教学过程 一．揭示课题 先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数 （板书） 象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列． （板书）第一章 数列 （一）数列的概念 二．讲解新课 要研究数列先要知道何为数列，即先要给数列下定义，为帮助同学概括出数列的定义，再给出几列数： ①各排钢管的数量:3,4,5,6,7,8,9 ②我国1998~2002年GDP 值(亿元):78345 82067 89442 95933 102389 ③五次人口普查的数量(百万):60193 72307 103188 116002 129533 ④正弦函数x y sin =的图像在y 轴左边所有最低点从右向左,它们的横坐标依次排成一列数:2π-25π-29π-213π-2 17π-…… ⑤正整数的倒数排成一列数：4 1,31,21,1...... ⑥某人2006年1~~12月工资,按月顺序排列为:1100 1100 1100 (1100) ⑦函数21x y =当依次取n ,...,3,2,1(*∈N n )时得到一列数：2 1,...,91,41,1n 请学生观察7列数，说明每列数就是一个数列，数列中的每个数都有自己的特定的位置，这样数列就是按一定顺序排成的一列数．
北师大版高中数学必修五数列的概念教案(1)
数列的概念教案 教学目标 1．通过教学使学生理解数列的概念，了解数列的表示法，能够根据通项公式写出数列的项． 2．通过数列定义的归纳概括，初步培养学生的观察、抽象概括能力；渗透函数思想． 3．通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极性． 教学重点，难点 教学重点是数列的定义的归纳与认识；教学难点是数列与函数的联系与区别． 教学用具：电脑，课件（媒体资料），投影仪，幻灯片 教学方法：讲授法为主 教学过程 一．揭示课题 今天开始我们研究一个新课题． 先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要但求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数 （板书）象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列． （板书）第三章数列 （一）数列的概念 二．讲解新课 要研究数列先要知道何为数列，即先要给数列下定义，为帮助同学概括出数列的定义，再给出几列数： （幻灯片）①
自然数排成一列数： ② 3个1排成一列： ③ 无数个1排成一列： ④ 的不足近似值，分别近似到排列起来： ⑤ 正整数的倒数排成一列数： ⑥ 函数当依次取时得到一列数： ⑦ 函数当依次取时得到一列数： ⑧ 请学生观察8列数，说明每列数就是一个数列，数列中的每个数都有自己的特定的位置，这样数列就是按一定顺序排成的一列数． （板书）1．数列的定义：按一定次序排成的一列数叫做数列．
为表述方便给出几个名称：项，项数，首项（以幻灯片的形式给出）．以上述八个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数． 由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系． （板书）2．数列与函数的关系 数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数所对应的函数值，数列的定义域是正整数集 ，或是正整数集的有限子集． 于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列． 遇到数学概念不单要下定义，还要给其数学表示，以便研究与交流，下面探讨数列的表示法． （板书）3．数列的表示法 数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法， 图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第 一项，……，用表示第项，依次写出成为 （板书）（1）列举法 ．（如幻灯片上的例子）简记为． 一个函数的直观形式是其图象，我们也可用图形表示一个数列，把它称作图示法． （板书）（2）图示法 启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标， 即以为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列为例，做出一个数列的 图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
数列的概念与简单表示法(第一课时)
数列的概念与简单表示法(第一课时) 教学设计案例 山东省滕州市第一中学时科峰（277500） 一、教材与教学分析 1．数列在教材中的地位 根据新课程的标准，“数列”这一章首先通过“三角形数”、“正方形数”等大量的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍数列的几种简单表示法，等差数列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让学生体会到数学就在我们身边. 作为数列的起始课，为达到新课标的要求，从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，打造数列教与学的良好开端。教学中从日常生活中大量实际问题入手，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受数列模型的广泛应用(如存款利息、购房贷款等与人们生活联系密切的现实问题)．2．教学任务分析 (1)了解数列的概念 新课标的教学更贴近生活实际.通过实例，引入数列的概念，理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型．了解数列的几种分类． (2)了解数列是一类离散函数，体会数列中项与序号之间的变量依赖关系． 3．教学重点与难点 重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型． 难点：认识数列是一种特殊的函数，发现数列与函数之间的关系． 二、教学方法与学习方法 自主学习与合作探究相结合．
五．板书设计 六、教学评价与反思 新课程的编排特点和学习方式的变化，使课堂教学方法发生了重大变化.新课程提倡教学目标综合化、多元化和均衡性，知识的生活化，使学生获得对数学知识理解的同时，在思维能力、观察能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展. 鉴于此,本节课的教学设计要真正体现出学生的主体地位,以学生活动、学生探究为主,把数学与生活实际联系起来,具体说来,新课程的理念有如下体现: (1)体现“双主体”的原则,摆正了教师在教学中的位置 本节课的组织与实施,充分体现了教师的主导和学生的主体性相结合的原则;教师扮演的是组织者、引导者、参与者,学生是学习的主体,通过大量实例激发学
《数列的概念》教案13北师大版
《数列的概念》教案13（北师大版必修5） 第三章数列 一、知识网络： 二、高考考纲要求： (1)理解函数的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种 方法，并能根据递推公式写出数列的前几项． (2)掌握等差数列与等比数列的概念、通项公式、前n项和 公式，并能够运用这些知识解决一些问题． (3)有些应用问题可以转化为数列问题来解决，应掌握解决 数列应用问题的方法．数列与函数、数列与不等式在应用题 和综合题中常常出现，通过综合题的训练，提高等价转化能 力及思维的灵活性，深刻领会化归及函数和方程的思想． 三、2008年高考命题展望： 在试验教材中，近10年高考试题内容，数列部分约占8％．命题总的趋势是"稳中有变"．等差、等比数列的定义、通项公式以及等差、等比数列的性质一直是考查的重点．这 方面的考题多以选择题、填空题出现，突出"小、巧、活"的 特点． 解答题中以中等难度的综合题为主，涉及函数、方程、不等 式等重要内容．试题体现了函数与方程、等价转化、分类讨 论等重要的数学思想及待定系数法、配方法、换元法、消元
法等基本的数学方法． 可以预测在今后的高考中，仍将以等差数列、等比数列的基本问题为主，突出重要思想方法的考查．为了考查学生的创新能力，主观题应是以考查数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列(点列)与解析几何等知识的综合，通过类似题目，更有效地测试考生对数学思想方法和理解深度，尤其是通过探索性的问题，测试考生的潜能和创新意识．测试考生应用数学知识和方法去解决实际问题的能力． 数列的概念 上课时间： 教学目标：理解数列的概念，能用函数的观点认识数列；了解数列的通项公式和递推公式的意义，会根据数列的通项公式写出数列的任意一项；知道递推公式是给出数列的一种重要方法，会根据数列的递推公式写出数列的前几项． 教学重点：数列的概念及数列的通项公式。 教学难点：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式和根据递推关系求通项公式。 教学方法：讲练结合 【自主梳理】 1．数列的概念 （1）定义 （2）与关系
数列的概念教案教学提纲
数列的概念与简单表示法（第一课时） 教学目标：1、理解数列的概念，了解通项公式的意义和分类 2、能由通项公式求出数列的各项。反之能求出数列的前几项 3、培养学生分析问题的能力及探索规律的能力 教学重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型 教学难点：认识数列是一种特殊函数；发现数列的规律，找出数列可能的通项公式。 教学过程： 一、引入新课 有人说，大自然是懂数学的，不知你注意过没有，树木的分叉、花瓣的数量、植物种子的排列等等，都遵循着某种数学规律，大家能想到它们涉及了那些数学规律吗？通过本课时的学习，这些问题都会得到解决。 二、新课 学生阅读课本、小组互动完成学案上第一、二部分 小组内推选同学回答问题 （一）、考考你 寻找规律，在空格出填写数字 1．1、21、31、（ ）、51、61、（ ）、8 1 2. 2、-4、（ ）、-8、10、（ ）14 3. （ ）、22、32、42、52、（ ）、72 思考1：以上几组数有什么特征？ 观察、讨论、分析归纳特点：上面的数字都是有规律的。从具体例子引出数列概念，激发学生的兴趣。 （二）、知识探究 1、根据上面几组数归纳出数列的概念 数列是一列数；数列中的数是按一定次序排列的。引领学生由感性认识上升到理性认识，进而明确数列的定义 思考2 数列1、2、3、4……与4、3、2、1……是同一数列吗？ 不是，数列的有序性； 深化定义，加深对数列概念的理解。 试试看： 根据思考2归纳出数列的特点________ 2、数列的项如何表示 数列的一般表示：n a a a ,,,21 ，表示法 n a 练习：请大家举几个生活中数列的例子 3、数列的分类（课本28页观察） ①按项数分有穷数列和无穷数列 ②按项的大小关系分递增数列、递减数列、常数列、摆动数列 4、常数列：各项均为常数的数列 为等差、等比数列进一步学习作铺垫 5、数列的通项公式 项数：1 2 3 4 5 …… n 1 2 3 4 5 …… n 项： 1 4 9 16 25…… （n 2 ） 2 4 6 8 10…… （2n ） 仔细观察上面两个数列的项与它对应的项数，你能发现它们的关系吗？请写出项数与项之间
2019-2020年高中数学 §1.1 数列的概念教案 北师大版必修5
2019-2020年高中数学§1.1 数列的概念教案北师大版必修5 教学目标 1．通过教学使学生理解数列的概念，了解数列的表示法，能够根据通项公式写出数列的项． 2．通过数列定义的归纳概括，初步培养学生的观察、抽象概括能力；渗透函数思想．3．通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极性． 教学重难点 教学重点是数列的定义的归纳与认识； 教学难点是数列与函数的联系与区别． 教学过程 一．揭示课题 先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数 （板书）象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列． （板书）第三章数列 （一）数列的概念 二．讲解新课 要研究数列先要知道何为数列，即先要给数列下定义，为帮助同学概括出数列的定义，再给出几列数： ①各排钢管的数量:3,4,5,6,7,8,9 ②我国xx~xx年GDP值(亿元):78345 82067 89442 95933 102389 ③五次人口普查的数量(百万):60193 72307 103188 116002 129533 ④正弦函数的图像在轴左边所有最低点从右向左,它们的横坐标依次排成一列 数: …… ⑤正整数的倒数排成一列数： …… ⑥某人xx年1~~12月工资,按月顺序排列为:1100 1100 1100 (1100) ⑦函数当依次取()时得到一列数： 请学生观察7列数，说明每列数就是一个数列，数列中的每个数都有自己的特定的位置，这样数列就是按一定顺序排成的一列数． （板书）1．数列的定义：按一定次序排成的一列数叫做数列． 为表述方便给出几个名称：项，项数，首项（以幻灯片的形式给出）．以上述七个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数． 由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系． 对概念的理解 数集中的元素具有确定性，互异性，无序性，那么数列中的项是否具有这些属性？ 教师提出问题： 1：1，2，3，4与4，3，2，1是否为同一数列？
北师大版高中数学必修五《数列的概念》教案-新版
1.1 数列的概念 教学目标 1．通过教学使学生理解数列的概念，了解数列的表示法，能够根据通项公式写出数列的项． 2．通过数列定义的归纳概括，初步培养学生的观察、抽象概括能力；渗透函数思想． 3．通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极性． 教学重难点 教学重点是数列的定义的归纳与认识； 教学难点是数列与函数的联系与区别． 教学过程 一．揭示课题 先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数 （板书）象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列．（板书）第一章数列 （一）数列的概念 二．讲解新课 要研究数列先要知道何为数列，即先要给数列下定义，为帮助同学概括出数列的定义，再给出几列数： ①各排钢管的数量:3,4,5,6,7,8,9 ②我国1998~2002年GDP值(亿元):78345 82067 89442 95933 102389 ③五次人口普查的数量(百万):60193 72307 103188 116002 129533
④正弦函数x y sin =的图像在y 轴左边所有最低点从右向左,它们的横坐标依 次排成一列数:2 π - 2 5π- 29π- 213π- 217π- …… ⑤正整数 的倒数排成一列数：4 1 ,31,21,1…… ⑥某人2006年1~~12月工资,按月顺序排列为:1100 1100 1100 …… 1100 ⑦函数21 x y = 当 依次取n ,...,3,2,1(*∈N n )时得到一列数：21 ,...,91,41,1n 请学生观察7列数，说明每列数就是一个数列，数列中的每个数都有自己的特定的位置，这样数列就是按一定顺序排成的一列数． （板书）1．数列的定义：按一定次序排成的一列数叫做数列． 为表述方便给出几个名称：项，项数，首项（以幻灯片的形式给出）．以上述七个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数． 由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系． 对概念的理解 数集中的元素具有确定性，互异性，无序性，那么数列中的项是否具有这些属性？ 教师提出问题： 1：1，2，3，4与4，3，2，1是否为同一数列？ 2： -1，1，-1，1是否为一个数列？ 遇到数学概念不但要下定义，还要给其数学表示，以便研究与交流，下面探讨数列的表示法． （板书）2．数列的表示法 数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数 列有这样的表示法：用 表示第一项，用 表示第一项，……，用 表示第 项，依次写出成为
数列的概念综合练习题
一、数列的概念选择题 1．数列{}n a 的前n 项和记为n S ，()* 11N ,2n n n a a a n n ++=-∈≥，12018a =， 22017a =，则100S =（ ） A ．2016 B ．2017 C ．2018 D ．2019 2．已知数列{}n a 满足12a =，11 1n n a a +=-，则2018a =（ ）. A ．2 B ． 12 C ．1- D ．12 - 3．已知数列{}n a 满足11a = ),2n N n *= ∈≥，且()2cos 3 n n n a b n N π *=∈，则数列{}n b 的前18项和为（ ） A ．120 B ．174 C ．204- D ． 373 2 4．数列{}n a 的通项公式是2 76n a n n =-+，4a =（ ） A ．2 B ．6- C ．2- D ．1 5．已知数列{}n a ，若( )12* N n n n a a a n ++=+∈，则称数列{}n a 为“凸数列”.已知数列{} n b 为“凸数列”，且11b =，22b =-，则数列{}n b 的前2020项和为（ ） A ．5 B ．5- C ．0 D ．1- 6．数列{}n a 中，11a =，12n n a a n +=+，则n a =（ ） A ．2n n 1-+ B ．21n + C ．2(1)1n -+ D ．2n 7．已知数列{}n a 的通项公式为23n n a n ??= ??? ，则数列{}n a 中的最大项为（ ） A ． 89 B ． 23 C ． 6481 D ． 125 243 8．在数列{}n a 中，()11 11,1(2)n n n a a n a --==+ ≥，则5a 等于 A ． 3 2 B ． 53 C ．85 D ． 23 9．已知数列{}n a 满足1221n n n a a a ++=+，n *∈N ，若11 02 a <<，则（ ） A ．8972a a a +< B ．91082a a a +> C ．6978a a a a +>+ D ．71089a a a a +>+
高中数学 §1.1 数列的概念教案 北师大版必修5
§1.1 数列的概念 教学目标 1．通过教学使学生理解数列的概念，了解数列的表示法，能够根据通项公式写出数列的项． 2．通过数列定义的归纳概括，初步培养学生的观察、抽象概括能力；渗透函数思想． 3．通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极性． 教学重难点 教学重点是数列的定义的归纳与认识； 教学难点是数列与函数的联系与区别． 教学过程 一．揭示课题 先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数 （板书） 象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列． （板书）第三章 数列 （一）数列的概念 二．讲解新课 要研究数列先要知道何为数列，即先要给数列下定义，为帮助同学概括出数列的定义，再给出几列数： ①各排钢管的数量:3,4,5,6,7,8,9 ②我国1998~2002年GDP 值(亿元):78345 82067 89442 95933 102389 ③五次人口普查的数量(百万):60193 72307 103188 116002 129533 ④正弦函数x y sin =的图像在y 轴左边所有最低点从右向左,它们的横坐标依次排成 一列数:2π- 2 5π- 29π- 213π- 217π- …… ⑤正整数 的倒数排成一列数：4 1,31,21,1...... ⑥某人2006年1~~12月工资,按月顺序排列为:1100 1100 1100 (1100) ⑦函数21x y =当 依次取n ,...,3,2,1(*∈N n )时得到一列数：21,...,91,41,1n 请学生观察7列数，说明每列数就是一个数列，数列中的每个数都有自己的特定的位置，这样数列就是按一定顺序排成的一列数． （板书）1．数列的定义：按一定次序排成的一列数叫做数列． 为表述方便给出几个名称：项，项数，首项（以幻灯片的形式给出）．以上述七个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数． 由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系． 对概念的理解 数集中的元素具有确定性，互异性，无序性，那么数列中的项是否具有这些属性？
数列及其基本概念
数列及其基本概念 变量与函数是描述事物运动和变化的最重要的数学工具之一，数列就是当变量成离散变化状态时的一种数学模式，正是由于数列变化的离散性，计算机就大有用武之地，可以计算出数列的成千上万项来观察数列的变化情况. 教育贷款问题、储蓄收益问题、放射性物质的衰变、物种种群数量问题等蕴含的数学模式都是数列. 我们将讨论最简单的两类数列，即等差数列和等比数列，为研究更复杂的数列奠定必要的基础. 玉兔子孙世代传，棋盘麦塔上摩天. 坛坛罐罐求堆垛，步步为营算连环. 数列寻根属函数，自成一格意盎然. 等差等比初学步，登堂入室看来年. 【教学?建构】 自主学习1 阅读教材31-33页文字和例题，带着下列问题进行自主学习 问题1 什么是数列？什么是数列的项、首项？ 问题2 数列如何用数学符号语言来表示？ 问题3 什么是数列的通项公式？
【应用?探究?思考】 探究1 数列的本质是什么？ 探究2 关于通项公式的若干思考 （1）数列的通项公式唯一吗？ （2）数列一定有通项公式吗？ （3）我们可以通过数列{} a的通项公式，确定数列{}n a项 n 数和项的关系，进一步值得思考的问题是：还有没有其他可以确定数列的方法？
例 已知点列{}n a 的第1项为1，第2项为1，以后各项 由n n n a a a +=++12（*N n ∈）给出，则这个数列的第6项为_________. 定义 如果数列{}n a 的任一项1+n a 与它的前一项n a （或多项） 之间的关系可用一个公式来表示，即)(1n n a f a =+，那么这个公式就叫做数列{}n a 的递推公式，1a 就成为数列{}n a 的初始条件. 事实表明，这种方法更便于计算机编程进行计算. 例 根据递推公式和初始条件 1,1121 1≥???=+=+n a a a n n 写出数列{}n a 的前5项. 【数学史料】该式为古印度有名的河内塔问题．传说 中开天辟地的神勃拉玛在贝拿勒斯的圣庙里留下了三根金刚石的棒，第一根上面套着64个金环，最大的一个在底下，其余的一个比一个小，依次叠上去. 庙里的众僧不倦地把它们一个个地从这根棒搬到另一根棒上，规定可利用中间的一根棒作为帮助，但每次只能搬一个，而且大的不能放在小的上面. 相传神同时发了咒语，当所有的金环全部移完时，就是世界末日到来的时候。那么，众僧们要移动多少次呢？ 可见，在计算机中，由递推公式和初始条件确定的数列 可由反馈过程实现，输入n a 后，计算机一方面输出)(1n n a f a =+，
【创新设计】高中数学(北师大版必修五)配套练习：1.1.1数列的概念(含答案解析)
第一章 数 列 1.1 数列的概念 课时目标 1.理解数列及其有关概念； 2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； 3.对于比较简单的数列，会根据其前n 项写出它的通项公式． 1．一般地，按一定________排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．数列一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…简记为数列{a n }，其中数列的第1项a 1也称首项；a n 是数列的第n 项，也叫数列的通项． 2．项数有限的数列称________数列，项数无限的数列称为______数列． 3．如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的________公式． 一、选择题 1．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n B ．a n ＝n ＋1 C ．a n ＝n ＋2 D ．a n ＝2n 2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋ 12，则该数列的前4项依次为( ) A ．1,0,1,0 B ．0,1,0,1 C.12，0，12 ，0 D ．2,0,2,0 3．若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是( ) A ．a n ＝12 [1＋(－1)n －1] B ．a n ＝12 [1－cos(n·180°)] C ．a n ＝sin 2(n·90°) D ．a n ＝(n －1)(n －2)＋12 [1＋(－1)n －1] 4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，则－8是该数列的( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ．非任何一项 5．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )
数列的概念(第一课时)教学设计案例.11
数列的概念与简单表示法(第一课时)教学设计案例 江西省于都中学邮编342300 龚发贵 一、教材与教学分析 1．数列在教材中的地位 根据新课程的标准，“数列”这一章首先通过“三角形数”、“正方形数”等大量的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍数列的几种简单表示法，等差数列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让学生体会到数学就在我们身边. 作为数列的起始课，为达到新课标的要求，从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，打造数列教与学的良好开端。教学中从日常生活中大量实际问题入手，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受数列模型的广泛应用(如存款利息、购房贷款等与人们生活联系密切的现实问题)．2．教学任务分析 (1)了解数列的概念 新课标的教学更贴近生活实际.通过实例，引入数列的概念，理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型．了解数列的几种分类． (2)了解数列是一类离散函数，体会数列中项与序号之间的变量依赖关系． 3．教学重点与难点 重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型． 难点：认识数列是一种特殊的函数，发现数列与函数之间的关系 二、教学方法与学习方法 启发式教学法——以设问和疑问层层引导，激发学生，启发学生积极思考，逐步从常识走向科学，将感性认识提升到理性认识，培养和发展学生的抽象思维能力。 探究教学法——引导学生去疑；鼓励学生去探；激励学生去思，培养学生的创造性思维和批判精神。 合作学习——通过组织小组讨论达到探究、归纳的目的。 三、教学情境设计 教学内容活动 时间 教学内容师生互动设计意图
高中数学《数列的概念》同步练习北师大版必修_1
第三章 数列、极限与导数 基本训练： 1、在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，55，…中，x 的值是 A 、19 B 、 20 C 、 21 D 、22 2、数列4，－１，1017，－1331 ，1649 ，…的一个通项公式是 A 、1212)1(21 -+-+n n n B 、1213)1(21++-+n n n C 、1212)1(21++-+n n n D 、1 213)1(21-+-+n n n 3、 已知数列{}n a 的通项公式为22log (3)2n a n =+-，那么2log 3是这个数列的 A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 4、已知*2()156 n n a n N n = ∈+，则在数列{}n a 的最大项为____________. 5、在数列{}n a 中，11++=n n a n ，且S ｎ＝9，则n ＝_____________. 6、（04年北京卷.文理14）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。 已知数列{}a n 是等和数列，且a 12=，公和为5，那么a 18的值为______________，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________________ 三、例题分析 例１.（1）已知数列{}n a 的前n 项和公式，求{}n a 的通项公式 ①n n S n 322+=； ②132-?=n n S ③数列｛a n ｝中，11a =，对所有的n ≥2都有2321n a a a a n =???? 变题：已知数列{}n a 满足11a =，123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥，则数列{}n a 的通项n a = . 例2 （1）已知数列{}n a ，11a =，112n n n a a a += +(*n N ∈)，写出这个数列的前4项，并根据规律，写出这个数列的一个通项公式，并加以证明. 变题：(A 计划例4) 在数列{}n a 中，11a =，11n n n a a na += +，求a n （2）数列{}n a 中，12a =，前n 项和n S 满足2n S =*n N ∈，求数列{}n a 的通项公式. 例3 、已知数列的通项n n n a )1110)( 1(+=*n N ∈。试问该数列{}n a 有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数，若没有，说明理由.
1.1.1数列的概念学案(高中数学必修五北师大版)
§1数列 1．1数列的概念 课标解读 1.了解数列、通项公式的概念． 2．了解数列是自变量为正整数的一类函数(难 点)． 3．能根据通项公式确定数列的某一项(重点)．4．能根据数列的前几项写出数列的一个通项 公式(重点、难点). 数列的有关概念及表示 【问题导思】 小山想利用电子邮箱发送一个E－mail，但是由于长时间未登录邮箱，从而他忘记了邮箱的密码，只记得密码由3～8这6个数字构成，如：(1)3456 78；(2)468735；(3)76538 4. 1．这三组数字有什么异同之处？ 【提示】都是由3～8这6个数字构成，但是排列顺序不同． 2．小山把上面3组数当成密码来试验时，都没有打开邮箱，他说：“仅仅知道数字及个数还不能确定密码”．那么，找到密码还需要确定什么？ 【提示】数字的排列顺序． 1．数列的有关概念 数列按一定次序排列的一列数叫作数 列 项数列中的每一个数叫作这个数列 的项 首项数列的第1项常称为首项 通项数列中的第n项a n，叫数列的通项 2.数列的表示 ①一般形式：a1，a2，a3，,，a n，,；
②字母表示：上面数列也记为{a n}． 数列的分类【问题导思】 当n分别取1，2，3，4，,时，sin nπ 2 的值排成一个数列：1，0，－1，0,； 当n分别取1，2，3，4，5时，sin nπ 2 的值排成一个数列：1，0，－1，0，1.这 两个数列是同一数列吗？若不是同一数列，这两个数列有何区别与联系？ 【提示】不是同一数列．第一个数列有无穷多项，第二个数列共有5项，这5项恰好是第一个数列的前5项． 按数列的项数，数列分为有穷数列与无穷数列． (1)项数有限的数列叫作有穷数列； (2)项数无限的数列叫作无穷数列． 数列的通项公式 【问题导思】 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．如图： 图1－1－1 上图表示的数可构成数列1，4，9，16，,，这个数列的第n项a n与n之间能否用一个函数式表示？怎样表示？ 【提示】可以．函数式可表示为a n＝n2. 1．如果数列{a n}的第n项a n与n之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函 数的解析式． 2．数列可以看作定义域为正整数集N＋(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．
高三数学一轮复习第28课时数列的基本概念学案
高三数学一轮复习 第28课时 数列的基本概念学案 【学习目标】 1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)． 2．了解数列是自变量为正整数的一类函数． 【课本导读】 1．数列的概念：按 排成的一列数叫做数列． 2．数列的通项公式：数列{a n }的 与n 之间的关系可以用一个公式a n ＝f (n )来表示， 这个公式就叫做这个数列的通项公式． 若已知S n ，则a n ＝????? n ＝， n 3．数列与函数：数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1,2，…，n }) 的函数，当自变量 依次取值时对应的一列函数值．数列的通项公式是相应函数的 解析式，它的图像是 ． 4．数列的分类 (1)根据数列的项数可分为 、 ． (2)按照数列的每一项随序号变化的情况可分为： ①递增数列；②递减数列；③摆动数列；④常数列． 5．递推公式 如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可 以 来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 【教材回归】 1．已知数列的通项公式a n ＝n 2－5n －14，n ∈N ＋，则： (1)这个数列的第4项是__________；(2)52是这个数列的第__________项； (3)这个数列的第__________项最小；(4)这个数列前__________项的和最小． 2．已知数列{a n }的前4项为1,3,7,15，写出数列{a n }的一个通项公式a n ＝__________. 3．已知数列{a n }的首项a 1＝2，若?n ∈N * ，a n ·a n ＋1＝－2，则a n ＝________. 4．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 7＋a 8的值为______． 5．观察下列各图，并阅读图形下面的文字．像这样，10条直线相交，交点的个数最多是( )