高中数学-数列的基本概念-教师-(一)
热身练习:
1.数列 ， 是一个函数，则它的定义域为 （ D ）
A.非负整数集
B.正整数集
C.正整数集或其子集
D.正整数集或
2. 下列说法正确的是（ C ）
A 数列都有通项公式 B有通项公式的数列都是无穷数列
C数列的通项公式确定，数列就确定了 D 给出数列的若干项，它的通项公式也就确定了
A B C D无法确定
5.若 ，则数列 为（B）
A单调递减数列B单调递增数列C非单调数列D单调性不能确定
6.已知 ， ，则 =___ ____
7.设 ，那么 ( )
8.已知数列{an}满足 ，且 ，则该数列前2007项的和为2
9. 已知数列{an}的通项公式 ，则{an}的最大项为___ ____
10.已知数列{an}中， ，写出数列{an}前五项，并归纳猜想出它的通项公式
解：（1） （2）
（3）是该数列的第50项
11.写出下列数列的一个通项公式
（1） （2）
（3） （4）1, 0，-1, 0, 1, 0, -1, 0，
解：（1） （2）
（3） （4）
12.已知数列{an}通项公式 ，求它的前20项中的最大项和最小项。
解：第三项最小，第四项最大
13. 已知数列{an}通项公式为： （ ），讨论这个数列的单调性并求其最值
高中数学备课组
教师
班级
学生
日期
上课时间
学生情况：
--------
--------
--------
主课题：数列的基本概念
教学目标：
1.通过教与学的互动，使学生加深对等差数列通项公式的认识，能参与编拟一些简单的问题，并解决这些问题；
2.通过参与编题解题，激发学生学习的兴趣.
教学重点：
1.数列的概念及通项公式的推导。
解：
11.已知数列{an}的通项公式 ，若数列{an}是单调递增数列，求实数k的取值范围
解：
12.将正偶数按下表排成5列：
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行
2
4
6
8
第2行
16
14
12
10
第3行
18
20
22
24
…
…
…
28
26
求2006所在的行数和列数
解：第251行，第4列
【自我测试】
1.数列 的一个通项公式为____ ____
例6 数列 满足 ， ，求
解：T=6, =
例7已知数列 的通项公式为
（1）求证：数列 是递增数列
（2）若对一切大于1的自然数n，不等式 恒成立，求实数a的取值范围
解：（1）
（2）原问题 ，因为 递增
所以
备选例题：
1.列 的前8项的值各异，且 ,对任意正整数都成立，则下列数列中可取遍数列 的前8项值的数列为（ B ）
（2）（20,44）
【巩固练习】
1 在数列 中， 等于（ C ）
A B C D
2、56是数列{n2+3n+2}的第 ( A ) 项
A．6 B．7 C．8 D．9
3、有穷数列11，13，15…，（2n+1）的项数是（ C ）
A n B n-3 C n-4 D n-5
4.若 ，则 与 的大小关系为（B）
注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列1，1.4，1.41，1.414，….
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是 ，也可以是 .
⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.
(4)从函数的观点来看，数列也可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式.
2.数列 中，项数为___n-3___
3.若数列的通项公式为： ，则 =___0___
4.已知数列的通项公式为： ，则 是它的第__9__项
5.已知数列的通项公式满足： ，则它的前5项的和为_ ___
6.若 ，则当 取最小值时，n=___2or3____
7.下面结论中正确的有（C）
数列的通项公式是唯一的； 每个数列都有通项公式； 数列可以看作一个定义在正整数集上的一个函数； 在直角坐标系中，画出表示数列的图像，它是一群孤立的点。
（A）{ } （B）{ } （C）{ } （D）{ }
2. 如图,一粒子在区域 上运动,在第一秒内它从原点运动到点 ,接着按图中箭头所示方向在x轴、y轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度
（1）求粒子从原点运动到点 时所需的时间；
（2）粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标
解：（1）2008秒
8.数列 中， ，则 （-1）
9.有下列四个命题：
1）数列1,3，，5,7,9的一个通项公式是： ；
2） （ 为常数）是一个常数列；
3）集合 可以表示由正偶数按从小到大的次序排列所得的数列；
4）已知数列 ， 从第6项起各项都是正数.
其中真命题的的序号是________（4）_______.
10.写出数列的通项公式
3.-1，0， 中，0.08是它的第（C）项
A100 B 12 C 10 D 8
4.下列解析式中不是数列1，-1，1，-1，1，-1，…的通项公式的是 （ A ）
A. B.
C. D.
5.数列1，3，6，10，15，……的递推公式是（B）
A.
B.
C.
D.
6.已知 ，则 （77）
7. 已知 的通项公式为 －2n2+29n+3，则它的最大项的值是____108____
（2） （3） （4）
（5） （6）
例3 写出下列点数的一个通项公式
（1） （2）
3.归纳猜想求数列的通项公式
例4 根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式
（1） （2）
解：（1）
（）
4.数列的性质
例5 设数列 的通项公式为 ，则此数列哪一项的值最小，并求出此最小值
解： =5是最小值
5. 数列的分类：①有穷数列：项数有限的数列；无穷数列：项数无限的数列.
②有界数列：若存在正数M，对任意 ，都有
无界数列：不存在正数M，对任意 ，都有
③常数数列：对任意 ，都有
6.数列的性质
（1）单调性：①若对任意 ，都有 ，则称数列 为单调递增数列
②若对任意 ，都有 ，则称数列 为单调递减数列
单调递增数列和单调递减数列统称为单调数列；有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列称为摆动数列
A①②③④ B ③ C ④ D ③④
8. 若一数列为： 则 是这个数列的第（B）项
A 6 B 7 C 8 D 9
9.数列{an}中， ，则n取下列哪个值时， （C）
A 14 B 15 C 16 D 17
10.已知数列{an}满足
（1）写出数列的前5项（2）归纳猜想数列的一个通项公式
（3） 是不是这个数列中的项？若是，那么是第几项？
解：（1）数列 在{1,2，,12}上单调递增，在{13,14,15…}单调递减
2.对公式的灵活运用
教学难点：
1.数列概念的理解及学会通项公式的推导及应用。
考点及考试要求：
1.数列的通向公式运用于递推公式运用
2.数列性质运用
数列的基本概念
【知识精要】
⒈数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
（2）周期性：若对任意 ，存在常数 ，使 成立，则称数列 为周期数列，常数T称为数列 的周期
（3）最值性：若存在常数 ，使得对任意 ，都有 ，则称 为数列 的最大项；若存在常数 ，使得对任意 ，都有 ，则称 为数列 的最小项；
7.递推公式：如果已知数列 的第1项（或前几项），且任一项 与它的前一项 （或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式
1）5, 9, 13, 17, 21,…,
2)3, 5, 9, 17, 33,…,
3) 9, 99, 999, 9999, 99999,…,
【精解名题】
1.数列的概念性问题
例1 在数列 中，已知
（1）写出
（2）50是否为数列 中的项？若是，则为第几项？
解：（1）
（2）50是数列 中的第4项
2．观察法求数列的通项公式
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….
⒊数列的一般形式： ，或简记为 ，其中 是数列的第n项
⒋数列的通项公式：如果数列 的第n项 与n之间的关系可以用一个公式 来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
例2(1) 3, 5, 9, 17, 33,……；(2) , , , , ,……；
(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……；(4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9,……；
(5) 2,－6, 12,－20, 30,－42,…….（6）9，99，999，9999，……
解：（1）
高中数学 第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法(1)教案 新人教A版必修5(2021年整理)
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2。
1。
1 数列的概念与简单表示法(一)一、知识与技能1。
理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2。
了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项；3。
对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式。
二、过程与方法1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学;2.发挥学生的主体作用，作好探究性学习；3。
理论联系实际,激发学生的学习积极性。
三、情感态度与价值观1。
通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验。
理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度,培养学生的辩证唯物主义观点；2。
通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.导入新课师 课本图211中的正方形数分别是多少？生 1，3,6，10，…。
师 图212中正方形数呢?生 1,4，9，16,25，….师 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？生 -1的正整数次幂：—1，1，—1,1，…;无穷多个数排成一列数：1,1, 1，1，….生 一些分数排成的一列数：32，154,356，638，9910，….推进新课[合作探究］ 折纸问题师 请同学们想一想,一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓）.生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数,它的厚度和每层纸的面积依次怎样?生 随着对折数厚度依次为：2,4，8，16，…,256，…；①随着对折数面积依次为21,41 ,81 ，161，…,2561，….生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的分1256式，再折下去太困难了。
高中数学必修5高中数学必修5《2.1数列的概念与简单表示法(一)》教案
2．1数列的概念与简单表示法（一）一、教学要求：理解数列及其有关概念；了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式.二、教学重点、教学难点：重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.难点：根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式.三、教学过程：导入新课“有人说，大自然是懂数学的”“树木的，。
”，（一）、复习准备：1. 在必修①课本中，我们在讲利用二分法求方程的近似解时，曾跟大家说过这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即如果将初始量看成“1”，取其一半剩“12”，再取一半还剩“14”，、、、、、、，如此下去，即得到1，12，14，18，、、、、、、 2. 生活中的三角形数、正方形数. 阅读教材提问：这些数有什么规律？与它所表示的图形的序号有什么关系？（二）、讲授新课：1. 教学数列及其有关概念：（1）三角形数：1，3，6，10，···（2）正方形数：1，4，9，16，··· （2）1，2，3，4……的倒数排列成的一列数：（3）-1的1次幂，2次幂，3次幂，……排列成一列数：-1，1，-1，1，-1，。
（4）无穷多个1排列成的一列数：1，1，1，1，。
有什么共同特点？ 1. 都是一列数；2. 都有一定的顺序① 数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 辩析数列的概念：（1）“1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？与“1，3，2，4，5”呢？ ----------数列的有序性（2）数列中的数可以重复吗？（3）数列与集合有什么区别？集合讲究：无序性、互异性、确定性，数列讲究：有序性、可重复性、确定性。
② 数列中每一个数叫数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项（或首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项、、、、、、排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.③ 数列的一般形式可以写成123,,,,,n a a a a ，简记为{}n a .④ 数列的分类：(1)按项数分：有穷数列与无穷数列，(2)按项之间的大小关系：递增数列、递减数列、常数列与摆动数列.⑤ 数列中的数与它的序号有怎样的关系？序号可以看作自变量，数列中的数可以看作随着变动的量。
数列高三理科知识点归纳
数列高三理科知识点归纳数列是高中数学中的重要内容，也是高三数学考试中常见的知识点。
理解和掌握数列的性质及相关概念对于高考数学的顺利解题至关重要。
本文将对高三数学中与数列相关的知识点进行归纳和概述。
一、数列的基本概念：数列是由一串按特定规律排列的数所组成的有序集合。
数列的一般形式为：an=a1+(n-1)d，其中an表示第n个数，a1为首项，d 为公差。
二、等差数列：等差数列是最基本的数列之一，其特点是每一项与前一项之差都相等。
常见的等差数列有以下几个重要概念：1. 公差：等差数列中相邻两项之间的差值，用d表示。
2. 通项公式：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，通过该公式可以求得任意一项的值。
3. 求和公式：等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，通过该公式可以求得前n项的和。
三、等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
常见的等比数列有以下几个重要概念：1. 公比：等比数列中相邻两项之比，用q表示。
2. 通项公式：等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，通过该公式可以求得任意一项的值。
3. 求和公式：等比数列的前n项和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，通过该公式可以求得前n项的和。
四、数列的性质：数列具有一些重要的性质和特点，这些性质对于解题和理解数列的本质起到了重要的作用。
1. 有界性：数列可以是有界的，即存在上界和下界，也可以是无界的。
2. 单调性：数列可以是递增的，即每一项都比前一项大，也可以是递减的，即每一项都比前一项小。
还可以是常数列，即每一项都相等。
3. 极限：数列可能有极限，即当项数趋近于无穷时，数列的值趋于一个确定的常数。
4. 递推关系：数列的每一项都可以通过前一项或前几项来确定。
五、常见数列：高三数学中常见的数列有以下几种：1. 等差数列：每一项与前一项之差相等。
2. 等比数列：每一项与前一项之比相等。
3. 斐波那契数列：每一项等于前两项之和。
高中数学必修五2.1.1 数列的概念与简单表示法(一)
2.1 数列的概念与简单表示法2.1.1 数列的概念与简单表示法(一)从容说课本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式.通过本节课的学习使学生能理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式. 教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用.教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.教具准备 课件三维目标 一、知识与技能1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式. 二、过程与方法1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性学习；3.理论联系实际，激发学生的学习积极性. 三、情感态度与价值观1.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；2.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.教学过程 导入新课师 课本图211中的正方形数分别是多少？生 1，3，6，10，….师 图212中正方形数呢？生 1，4，9，16，25，….师 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？生 -1的正整数次幂：-1，1，-1，1，…;无穷多个数排成一列数：1，1，1，1，….生 一些分数排成的一列数：32，154，356，638，9910，….推进新课［合作探究］ 折纸问题师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓).生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；① 随着对折数面积依次为21,41 ,81 ,161 ,…,2561 ,…. 生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的分 1[]256式，再折下去太困难了.师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？生 均是一列数.生 还有一定次序.师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数. ［教师精讲］1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列.注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n 项，….同学们能举例说明吗？ 生 例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项.3.数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列.无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列.2)根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.常数数列：各项相等的数列.摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 请同学们观察：课本P 33的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？ 生 这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列，2.递减数列.［知识拓展］ 师 你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n 项？生 256是这数列的第8项，我能写出它的第n 项，应为a n =2n .［合作探究］同学们看数列2，4，8，16，…，256，…①中项与项之间的对应关系，项 2 4 8 16 32↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5你能从中得到什么启示？生 数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数a n =f(n )，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1、2、3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n ),…. 师 说的很好.如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. ［例题剖析］1.根据下面数列{a n }的通项公式，写出前5项：(1)a n =1+n n ;(2)a n =(-1)n ·n . 师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中n 依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项.生 解：(1)n =1,2,3,4,5.a 1=21;a 2=32;a 3=43;a 4=54;a 5=65. (2)n =1,2,3,4,5.a 1=-1;a 2=2;a 3=-3;a 4=4;a 5=-5.师 好！就这样解.2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3，5，7，9，11，…；(2)32，154，356，638，9910，…； (3)0，1，0，1，0，1，…；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…；(5)2，-6，12，-20，30，-42，….师 这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生一定的思考时间)生老师，我写好了！解：(1)a n ＝2n ＋1；(2)a n ＝)12)(12(2+-n n n ；(3)a n ＝2)1(1n -+； (4)将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…，∴a n ＝n ＋2)1(1n-+； (5)将数列变形为1×2，-2×3，3×4，-4×5，5×6，…，∴a n ＝(-1)n +1n (n ＋1).师 完全正确！这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式.［合作探究］师 函数与数列的比较(由学生完成此表)：函数 数列(特殊的函数) 定义域R 或R 的子集 N *或它的有限子集{1，2，…，n } 解析式y=f(x) a n =f(n ) 图象 点的集合 一些离散的点的集合师 对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式来画出其对应图象，下面同学们练习画数列:4，5，6，7，8，9，10…;② 1,21 ,31 ,41 ,…③的图象. 生 根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为师 数列4，5，6，7，8，9，10,…②的图象与我们学过的什么函数的图象有关？ 生 与我们学过的一次函数y=x+3的图象有关.师 数列1,21 ,31 ,41 ,…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关？ 生 与我们学过的反比例函数x y 1=的图象有关. 师 这两数列的图象有什么特点？生 其特点为：它们都是一群孤立的点.生 它们都位于y 轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于y 轴的右侧的点. 本课时的整个教学过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，体现新课程的理念.课堂小结对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式.布置作业课本第38页习题2.1 A 组第1题.板书设计数列的概念与简单表示法(一)定义1.数列 例12.项3.一般形式 例2 函数定义4.通项公式5.有穷数列6.无穷数列备课资料一、备用例题1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，3，5，7；(2)515;414,313;2122222----; (3)211⨯-,321⨯- ,431⨯- ,541⨯-. 分析：(1)项：1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1↓ ↓ ↓ ↓序号： 1 2 3 4所以我们得到了a n =2n -1；(2)序号： 1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓项分母： 2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1 ↓ ↓ ↓ ↓项分子： 22-1=(1+1)2-1 32-1=(2+1)2-1 42-1=(3+1)2-1 52-1=(4+1)2-1所以我们得到了a n =1)1(2++n n 或1)2(+•+n n n ； (3)序号: 1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓211⨯- 321⨯- 431⨯- 541⨯- ↓ ↓ ↓ ↓)11(11+⨯- )12(21+⨯- )13(31+⨯- )14(41+⨯- 所以我们得到了a n =-)1(1+⨯n n . 2.写出下面数列的一个通项公式，使它的前n 项分别是下列各数：(1)1,0,1,0; 〔a n =2)1(11+-+n ,n ∈N *〕 (2)-32,83 ,154- ,245,356-; 〔a n =(-1)n ·1)1(12-++n n 〕 (3)7,77,777,7 777; 〔a n =97×(10n -1)〕 (4)-1,7,-13,19,-25,31; 〔a n =(-1)n (6n -5)〕(5)23,45 ,169 ,25617. 〔a n =12212-+n n 〕 点评：上述两题都是根据数列的前几项来写出这数列的通项公式，根据数列的前几项来写出这数列的通项公式时，常可联想奇数、偶数、平方数、指数等等.遇到分数的时候，常可根据需要把分子和分母同时扩大再来看看分子和分母中数的规律性，有时可直截了当地研究分子和分母之间的关系.3.已知数列{a n }的通项公式是a n =2n 2-n ，那么( )A .30是数列{a n }的一项B .44是数列{a n }的一项C.66是数列{a n }的一项 D .90是数列{a n }的一项分析：注意到30，44，66，90均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出现了这四个数中的某一个，则问题就可以解决了.若出现的数比较大，还可以用解方程求正整数解的方法加以解决.答案：C点评：看一个数A 是不是数列{a n }中的某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自然数n ，使得a n =A .4.(链接探究题)假定有一张极薄的纸，厚度为2001cm 就是每200张叠起来刚好为1 cm ，现在把这张纸裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 1；再裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 2，又裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 3，这样一裁一叠，每次叠起来所得的厚度依次排列，就得到一个数列：a 1,a 2,a 3,…,a k ,….你能求出这个数列的通项公式吗？你知道a 50，即裁了50次、叠了50次后的厚度是多少厘米吗？是否有10层楼高呢？答案：这个数列的通项公式为a n =2002n， 裁了50次、叠了50次后的厚度是5 629 499 534 213.12 cm ＞56 294 995 km ，大于地球到月球距离的146倍. 二、阅读材料无法实现的奖赏相传古印度舍罕王朝有一位宰相叫达依尔，据说是他发明了国际象棋，古印度的舍罕王学会了下国际象棋以后，非常激动，他要重赏他的宰相达依尔. 达依尔对他的国王说：陛下，我不要您的重赏，只要您按我下面的办法赏我一些麦粒就可以了：在我的棋盘上(它有64个格)第一格赏1粒，第二格赏2粒，第三格赏4粒，第四格赏8粒……依此类推每后一格的麦粒数都是前面一格的两倍.国王答应了达依尔的要求，但是几天以后他就发现事实上这是一个无法兑现的奖赏.请问国王为什么不能兑现他的奖赏呢？ 2.1.2 数列的概念与简单表示法(二)从容说课这节课通过对数列通项公式的正确理解，让学生进一步了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；通过经历数列知识的感受及理解运用的过程，作好探究性教学.发挥学生的主体作用，提高学生的分析问题以及解决问题的能力.教学重点 根据数列的递推公式写出数列的前几项.教学难点 理解递推公式与通项公式的关系.教具准备 多媒体三维目标一、知识与技能1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项.二、过程与方法1.经历数列知识的感受及理解运用的过程;2.发挥学生的主体作用，作好探究性实验;3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.教学过程导入新课师 同学们，昨天我们学习了数列的定义，数列的通项公式的意义等内容，哪位同学能谈一谈什么叫数列的通项公式？生 如果数列{a n }的第n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.师 你能举例说明吗？生 如数列0，1，2，3，…的通项公式为a n =n -1(n ∈N *);1,1,1的通项公式为a n =1(n ∈N *,1≤n ≤3); 1,21 ,31 ,41 ,…的通项公式为a n =n1 (n ∈N *). ［合作探究］数列的表示方法 师 通项公式是表示数列的很好的方法，同学们想一想还有哪些方法可以表示数列？ 生 图象法，我们可仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数n 为横坐标，相应的项a n 为纵坐标，即以(n ,a n )为坐标在平面直角坐标系中作出点(以前面提到的数列1, 21,31,41,…为例，作出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在y 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.师 说得很好，还有其他的方法吗？生 ……师 下面我们来介绍数列的另一种表示方法：递推公式法 知识都来源于实践，同时还要应用于生活，用其来解决一些实际问题.下面同学们来看右下图：钢管堆放示意图(投影片).观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型.生 模型一：自上而下第1层钢管数为4,即14＝1+3;第2层钢管数为5,即25＝2+3;第3层钢管数为6,即36＝3+3;第4层钢管数为7,即47＝4+3;第5层钢管数为8,即58＝5+3;第6层钢管数为9,即69＝6+3;第7层钢管数为10,即710＝7+3.若用a n 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且a n =n +3(1≤n ≤7). 师 同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？(启发学生寻找规律)生 模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1,即a 1=4；a 2=5=4+1=a 1+1；a 3=6=5+1=a 2+1.依此类推：a n =a n -1+1(2≤n ≤7).师对于上述所求关系，同学们有什么样的理解?生 若知其第1项，就可以求出第二项，以此类推，即可求出其他项.师 看来，这一关系也较为重要，我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式. 推进新课1.递推公式定义：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n -1(或前n 项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.注意：递推公式也是给出数列的一种方法.如下列数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89.递推公式为：a 1=3,a 2=5,a n =a n -1+a n -2(3≤n ≤8).2.数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，函数的表示法有：列表法、图象法、解析式法.相对于数列来说也有相应的这几种表示方法：即列表法、图象法、解析式法. ［例题剖析］【例1】 设数列{a n }满足1,11111＞n a a a n n ⎪⎩⎪⎨⎧+==-.写出这个数列的前五项. 师 分析：题中已给出{a n }的第1项即a 1=1，题目要求写出这个数列的前五项，因而只要再求出二到五项即可.这个递推公式：a n =1+11-n a 我们将如何应用呢? 生 这要将n 的值2和a 1=1代入这个递推公式计算就可求出第二项，然后依次这样进行就可以了.师 请大家计算一下!生 解：据题意可知：a 1=1,a 2=1+11a =2,a 3=1+21a =32,a 4=1+31a =35,a 5=58师 掌握递推公式很关键的一点就是其中的递推关系，同学们要注意探究和发现递推公式中的前项与后项，或前后几项之间的关系.【例2】 已知a 1=2，a n +1=2a n ，写出前5项，并猜想a n .师 由例1的经验我们先求前5项.生 前5项分别为2，4，8，16，32.师 对，下面来猜想第n 项.生 由a 1=2，a 2=2×2=22，a 3=2×22=23观察可得，我猜想a n =2n .师 很好!生 老师，本题若改为求a n 是否还可这样去解呢?师 不能.必须有求解的过程.生 老师，我由a n +1=2a n 变形可得a n =2a n -1，即21=-n n a a ，依次向下写，一直到第一项，然后将它们乘起来，就有⨯⨯⨯-----32211n n n n n n a a a a a a …×1122-=n aa ，所以a n =a 1·2n -1=2n .师 太妙了，真是求解的好方法.你所用的这种方法通常叫迭乘法，这种方法在已知递推公式求数列通项的问题中是比较常用的方法，对应的还有迭加法. ［知识拓展］已知a 1=2，a n +1=a n -4,求a n .师 此题与前例2比较，递推式中的运算改为了减法，同学们想一想如何去求解呢? 生1 写出：a 1=2，a 2=-2，a 3=-6，a 4=-10，…观察可得：a n =2+(n -1)(n -4)=2-4(n -1).生2 他这种解法不行，因为不是猜出a n ，而是要求出a n .我这样解：由a n +1-a n =-4依次向下写，一直到第一项，然后将它们加起来,a n -a n -1=-4a n -1-a n -2=-4a n -2-a n -3=-4 …… )1(44a )112--=--=-+n a a a n ∴a n =2-4(n -1).师 好极了，真是触类旁通啊，这种方法也请同学们课后多体会.［教师精讲］(1)数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的.例如，由数列{a n }中的递推公式a n +1=2a n +1无法写出数列{a n }中的任何一项，若又知a 1=1，则可以依次地写出a 2=3,a 3=7,a 4=15,….(2)递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式.［学生活动］根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式.(投影片)(1)a 1＝0，a n +1＝a n ＋(2n -1)(n ∈N )；(2)a 1＝1，a n +1＝2+n n a a (n ∈N )； (3)a 1＝3，a n +1＝3a n -2(n ∈N ).(让学生思考一定时间后，请三位学生分别作答)解：(1)a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9，a 5＝16，∴a n ＝(n -1)2.(2)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝21=42，a 4＝52，a 5＝31 =62，∴a n ＝12+n . (3)a 1＝3＝1+2×30，a 2＝7＝1+2×31，a 3＝19＝1+2×32，a 4＝55＝1+2×33，a 5＝163＝1+2×34，∴a n ＝1＋2·3 n -1.注：不要求学生进行证明归纳出通项公式.［合作探究］一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上到最上一级，你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗？析：这题是一道应用题，这里难在爬梯子有多种形式，到底是爬一级还是上跃二级等情况要分类考虑周到.爬一级梯子的方法只有一种.爬一个二级梯子有两种,即一级一级爬是一种，还有一次爬二级，所以共有两种.若设爬一个n级梯子的不同爬法有a n种,则a n=a n-1+a n-2+a n-3(n≥4),则得到a1=1,a2=2,a3=4及a n=a n-1+a n-2+a n-3(n≥4)，就可以求得a8=81.课堂小结师这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，要注意理解它与通项公式的区别，谁能说说？生通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.生对于通项公式，只要将公式中的n依次取1，2，3…,即可得到相应的项.而递推公式则要已知首项(或前n项)，才可求得其他的项.(让学生自己来总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.培养学生的概括能力和语言表达能力)布置作业课本第38页习题2.1A组第4、6题.预习内容：课本P41～P 44.数列的概念与简单表示法(二)一、定义二、例题讲解小结：7.递推公式：例1通项公式与例2 递推公式区别。
人教版高中数学必修五第3讲：数列的概念(教师版)
人教版高中数学 数列的概念__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________教学重点：掌握数列的概念与表示方法，通项公式的求解，数列的单调性、最值求解 教学难点： 数列的单调性及最值的求解，通项公式的判定1． 数列：按照一定的次序排列起来的数；项：数列中的每一个数，首项：排在第一位的数；一般形式写成12,,...,...n a a a 简称为{}n a 这里n 是正整数。
2.数列的分类 （1）按项的个数分类 有穷数列：项数有限的数列无穷数列：项数无限的数列（2） 递增数列：从第2项起，每一项大于它的前一项的数列 递减数列：从第2项起，每一项小于它的前一项的数列 常数列：各项都相等的数列摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项3.数列的表示方法 （1）通项公式法 （2）列表法 （3）图像法4.数列中项的求解与判断数列的通项公式实质是数列的项与其项数之间的一种函数关系，只不过定义域是正整数集N + ，因此可用函数的方法来研究数列的有关问题。
5.数列的单调性数列的单调性与函数的单调性是类似的，若数列{}n a 是递增数列，则任意的()2,n n n N +≥∈都有1n n a a ->，此时数列的图像呈上升趋势；若数列{}n a 是递减数列，则对任意()2,n n n N +≥∈都有1n n a a -<，此时数列的图像呈下降趋势。
6.数列中的最大（小）项问题求数列的最大项和最小项，一种方法是利用函数的最值，另一种方法是利用数列的单调性。
类型一：数列的通项公式 例1.（1）1,3,7,15,31，…（2）5,55,555,5555，…解析：（1）观察发现各项分别加上1，变为2,4,8,16,32，…，其通项公式为2nn b = ，故原数列的通项公式为21nn a =-（2）各项乘以95变成9,99,999,9999，…，各项加上1，又变成10,100,1000,10000，…，这一数列的通项公式为10nn b =，由此原数列的通项公式为()51019n n a =-答案：（1）21nn a =-（2）()51019n n a =- 练习1.123451,3,5,7,9, (49162536)---答案：()()32223111nn n n n a n ++-=-+练习2.1,2,1,2,1,2,...答案：()312nn a +-=例2.下列叙述正确的是（）A. 数列1,3,5,7和数列3,1,5,7是同一个数列B. 同一个数在数列中可能重复出现C. 数列的通项公式是定义域为正整数集N + 的函数D. 数列的通项公式是唯一的解析：根据数列的定义，只要次序不同则两数列不同故A 错；数列的通项公式是定义域在正整数集或它的有限子集，因此C 错；数列-1,1，-1,1，…的通项公式可以写成()1nn a =-也可以写成()21n n a +=- ，还可以写成分段函数的形式，因此D 错；故选B答案：B练习3. 下面四个结论：①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3……，n })上的函数； ②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点； ③数列的项数是无限的； ④数列通项的表示式是唯一的． 其中正确的是( )A ．①②B ．①②③C ．②③D ．①②③④ 答案：A练习4. 下面四个结论：①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3……，n })上的函数；②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点； ③数列的项数是无限的； ④数列通项的表示式是唯一的． 其中错误的是( )A ．①②B ．①②③C ．③④D ．①②③④ 答案：C类型二：数列的项的判断及求解例3.（2015广东湛江检测）数列{}22n n +中的项不能是（）A.24B.35C.42D.63解析：因为224424=+⨯，所以24是该数列中第4项；同理35是该数列的第5项；63是该数列中的第7项，故答案为C 答案：C练习5. 数列{}22n n +中的项不能是（）A.24B.36C.42D.61 答案：A练习6. 已知a n ＝n (n ＋1)，以下四个数中，哪个是数列{a n }中的一项( )A ．18B ．21C ．25 答案D ．30 答案：D例4.（2015山东威海月考）在数列4,...x 中，x = ______解析：1245n a a a a a x ==========练习7.在数列,4,... 中，x= ______练习8.在数列,...x 中，x = ______ 答案：4类型三：数列的单调性、最值性例5. 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝nn 2＋156(n ∈N ＋)，则数列的最大项是( )A ．第12项B ．第13项C ．第12项或第13项D ．不存在解析：a n ＝1n ＋156n，n ＋156n ≥2156，但由于n ∈N ＋取不到等号，而1213a a = ∴第12项和第13项都是最大项． 答案：C练习9.数列{}n a 中，221324,n a n n =-++则n a 的最大值为______答案：45练习10.已知数列{}n a 的通项公式2020n a n n=+-则n a 的最小值为_______ 答案：-11例6. 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列解析：a n ＝n －1n ＋1＝1－2n ＋1，随着n 的增大而增大．答案：A练习11.已知数列{}n a 的通项公式为1n na n =+，则这个数列是（） A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 答案：A1. 数列2,0,4,0,6,0，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝n2[1＋(－1)n ]B ．a n ＝n ＋12[1＋(－1)n ＋1]C ．a n ＝n 2[1＋(－1)n ＋1]D ．a n ＝n ＋12[1＋(－1)n ]答案：B2. 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＝a n －1＋1a n －2(n ≥3)，则a 5＝( )A.5512B.133 C ．4 D ．5答案：A3. 已知数列{a n }满足a 1＝x ，a 2＝y ，且a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，则a 2 007＝( )A ．xB ．yC ．y －xD ．－x 答案： C4. 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋15，则3( ) A ．不是数列{a n }中的项 B ．只是数列{a n }的第2项 C ．只是数列{a n }的第6项 D ．是数列{a n }的第2项或第6项 答案： D5. 已知{a n }是递增数列，且对任意的自然数n (n ≥1)，都有a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围为________．答案：由{a n }为递增数列，得a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－n 2－λn ＝2n ＋1＋λ>0恒成立， 即λ>－2n －1在n ≥1时恒成立， 令f (n )＝－2n －1，f (n )max ＝－3. 只需λ>f (n )max ＝－3即可． λ>－3__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1. 数列1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝(－1)n (1－2n )C ．a n ＝(－1)n (2n －1)D ．a n ＝(－1)n (2n ＋1) 答案：当n ＝1时，a 1＝1排除C 、D ；当n ＝2时，a 2＝－3排除A ，故选B. 2. 数列1,3,7,15，…的通项公式a n ＝( )A ．2nB ．2n ＋1C ．2n －1D ．2n －1答案：∵a 1＝1，排除A ，B ；又a 2＝3，排除D ，故选C.3. 已知数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 6＝( )A ．－3B ．－4C ．－5D ．2 答案：由a n ＋1＝a n ＋2＋a n 得a 3＝3，a 4＝－2，a 5＝－5，a 6＝－3.故选A 4. 正项数列{a n }中，a n ＋1＝a n1＋3a n ，a 1＝2，则a 4＝( ) A.165 B.219 C.85 D.87 答案：B5. 数列{a n }中，a 1＝1，以后各项由公式a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2给出，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116 D.3115 答案：C6. 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝na n －1(n ≥2)，则a 5＝________. 答案：1207. 已知数列{a n }的通项公式a n ＝3n －1(n ∈N *)，通过公式b n ＝a n ＋1a n 构造一个新数列{b n }，那么{b n }的前五项为________________． 答案：52，85，118，1411，17148. 已知数列{a n }的通项公式a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N *)，则1120是这个数列的第________项．答案：109. 数列－1，85，－157，249，…的一个通项公式为________．答案：a n ＝(－1)nn ·(n ＋2)2n ＋110. 数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 答案：(1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16(n ＝－9舍)，即150是这个数列的第16项． (3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍)， ∴从第7项起各项都是正数.能力提升11. 已知数列{a n }中，a 1＝1，a na n ＋1＝2，则此数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．摆动数列 D ．常数列答案：B12. 根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有________个点．答案：n 2－n ＋113. 数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n －1(n ∈N *)，则a 1 000＝( )A ．1B ．1 999C ．1 000D ．－1 答案： A14. 已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 20＝( ) A ．0 B ．－3 C.3 D.32答案：B15. 已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2＋2a n1－a n， 则a 6＝________. 答案：－14316. 设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )＝________.答案：12n ＋1－12n ＋217. 已知函数f (x )＝1x (x ＋1)，构造数列a n ＝f (n )(n ∈N ＋)，试判断{a n }是递增数列还是递减数列？答案：∵a n ＝1n (n ＋1)，则a n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2).对任意n ∈N ＋，(n ＋1)(n ＋2)>n (n ＋1)， ∴1(n ＋1)(n ＋2)<1n (n ＋1)，于是a n ＋1－a n ＝1(n ＋1)(n ＋2)－1n (n ＋1)<0.∴{a n }是递减数列．18. 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． 答案：(1)令n 2－5n ＋4<0，得1<n <4，∵n ∈N *，∴n ＝2或3. 故数列中有两项是负数． 即a 2、a 3为负数．(2)a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94.∵n ∈N *，∴当n ＝2或3时，a n 最小，最小值为－2. 19. 已知数列1,2，73，52，135，….(1)写出这个数列的一个通项公式a n ； (2)判断数列{a n }的增减性．答案：(1)数列1,2，73，52，135，….可变为11，42，73，104，135，….观察该数列可知，每一项的分母恰与该项序号n 对应，而分子比序号n 的3倍少2，∴a n ＝3n －2n.(2)∵a n ＝3n －2n ＝3－2n ，∴a n ＋1＝3－2n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝3－2n ＋1－3＋2n ＝2n －2n ＋1＝2n (n ＋1)>0，∴a n ＋1>a n .故数列{a n }为递增数列．20. (1)已知数列{a n }的第1项是1，第2项是2，以后各项由a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)给出，写出这个数列的前5项；(2)用上面的数列{a n }，通过公式b n ＝a na n ＋1构造一个新的数列{b n }，写出数列{b n }的前5项．答案：(1)∵a 1＝1，a 2＝2，a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)，∴a 3＝a 1＋a 2＝3，a 4＝a 2＋a 3＝5，a 5＝a 3＋a 4＝8.(2)∵a 6＝a 4＋a 5＝13，b n ＝a n a n ＋1，∴b 1＝a 1a 2＝12，b 2＝a 2a 3＝23，b 3＝a 3a 4＝35，b 4＝a 4a 5＝58，b 5＝a 5a 6＝813.21. 观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多的是( )A．40个B．45个C．50个D．55个答案：B22.对任意的a1∈(0,1)，由关系式a n＋1＝f(a n)得到的数列满足a n＋1>a n(n∈N*)，则函数y＝f(x)的图象是()答案：A。
高中数学_数列的概念及表示方法教学课件设计
1
堆 放 的 钢 管
4，5，6，7，8，9，10.
2
1. 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 2．正整数的倒数 1, 1 , 1 , 1 , 1
2345
3．1的正整数次幂：1, 1, 1, 1,… 4．无穷多个1排成一列数：1, 1, 1, 1,…
3.1 数列的概念与简单表示法 1、定义：按一定次序排列的一列数叫做数列
1
an1
(n
2, n N ).
答案：(1)an n2 2n 1
(2)an n
14
五、小结： 1．数列的有关概念 2．观察法求数列的通项公式 3.已知前n项和求通项公式 4.由递推公式求数列的通项公式
15
练作习作业业
P31 习题2.1A组；
16
如 数列2可以记作
数列与函数
1 n
（1）数列的实质：从函数的观点看，数列可以
看作是一个定义域为正整数集 （或它的有限
子集{1，2，…，n}）的函数f(n)，当自变量从
小到大依 次取值时对应的一列函数值,
即 f(1),f(2),f(3),…f(n)…,通常用an代替f(n)。6
（2）．通项公式:an 与 n 之间的函数关系式 通项公式即相应的函数解析式an=f(n).
(n 1) (n 2)
1.若Sn=n2－1，求an 2.若Sn=2n2－3n，求an
1.a)
2.an＝4n 5
13
例3
分别求出满足下列条件的数列的通项公式。
(1)a1 0, an1 an (2n 1（) n N );
(2)a1
1, an
n
高中数学课件-第1讲 数列的概念与简单表示法
第六章 数列第1讲 数列的概念与简单表示法1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通考试要求项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数，理解单调性是数列的一项重要性质，可用来求最值.01聚焦必备知识知识梳理1.数列的有关概念(1)数列的定义一般地，我们把按照__________________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.(2)数列与函数数列{a n}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R 的函数，其自变量是__________，对应的函数值是________________，记为a n＝f (n).数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.提醒2.数列的表示法解析式法、表格法、____________.3.数列的单调性从第2项起，每一项都_________它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都_________它的前一项的数列叫做递减数列.特别地，__________________的数列叫做常数列.4.数列的通项公式和递推公式(1)如果数列{a n}的__________________与它的____________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.(2)如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用_______________来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.提醒(1)并不是所有的数列都有通项公式；(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一.5.数列的前n项和公式如果数列{a n}的前n项和S n与它的____________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.常用结论1.思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.( )(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.( )(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( )夯基诊断√××√(2)已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝n 2，则a n ＝____________.答案：2n －1当n＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，且a 1＝1也满足此式，故a n ＝2n －1，n ∈N *.(3)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n＝____________.答案：5n －4由a1＝1＝5×1－4，a 2＝6＝5×2－4，a 3＝11＝5×3－4，a 4＝16＝5×4－4，…，归纳可知a n ＝5n －4.02突破核心命题考 点 一由an与S n的关系求通项公式C(2)已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2n＋2－3，则a n＝_____.已知S n 求a n 的3个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1.(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式.(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写.反思感悟训练1 (1)已知数列{a n}的前n项和为S n，且2a1＋22a2＋23a3＋…＋2n a n＝n·2n，则数列{a n}的通项公式为a n＝____________.(2)已知S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，S n S n＋1＝－a n＋1(n∈N*)，则a10＝____________.例2 设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝____________.考 点 二由数列的递推关系求通项公式考向1累加法例3 已知a 1＝2，a n ＋1＝2n a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝_______.2累乘法反思感悟B考 点 三数列的性质考向 1数列的单调性D2数列的周期性答案：13数列的最值A反思感悟训练3 (1)如表，定义函数f (x )：对于数列{a n }，a 1＝4，a n ＝f (a n －1)，n ＝2，3，4，…，则a 2023＝( )A.1B.2C.5D.4C x12345f (x )54312C 由题意，a1＝4，a n＝f(a n－1)，所以a2＝f(a1)＝f(4)＝1，a3＝f(a2)＝f(1)＝5，a4＝f(a3)＝f(5)＝2，a5＝f(a4)＝f(2)＝4，a6＝f(a5)＝f(4)＝1，a7＝f(a6)＝f(1)＝5，…，则数列{a n}是以4为周期的周期数列，所以a2023＝a2020＋3＝a3＝5，故选C.突破核心命题限时规范训练聚焦必备知识 4103限时规范训练(四十)ADB4.大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上第一道数列题，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.其前11项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，则大衍数列的第41项为( )CA.760B.800C.840D.924BCD6.(2023·珠海质检)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2且a n ＋2＝a n ＋(－1)n ，n ∈N *，则该数列的前40项之和为( )A.－170B.80C.60D.230C C 由a n ＋2＝a n ＋(－1)n ，n ∈N *，得a 2k ＋2＝a 2k ＋1，a 2k ＋1＝a 2k －1－1，所以a 2k ＋1＋a 2k ＋2＝a 2k －1＋a 2k ＝…＝a 1＋a 2＝3，所以数列{a n }的前40项之和为20(a 1＋a 2)＝60.。
数列基础 知识点总结高中
数列基础知识点总结高中1. 什么是数列数列是指按照一定顺序排列的一组数，数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
数列可以写成一般形式为{an}，其中an表示数列的第n项，也可以写成a1, a2, a3, ..., an的形式。
2. 数列的分类数列可以按照项的性质和数列中项的变化规律进行分类，主要可以分为以下几种类型：- 等差数列：如果一个数列中的相邻两项的差都相等，那么这个数列就叫做等差数列。
- 等比数列：如果一个数列中的相邻两项的比都相等，那么这个数列就叫做等比数列。
- 菲波那契数列：这是一种非常有趣的数列，它的每一项都是前两项的和，即an = a(n-1) + a(n-2)。
3. 数列的通项公式对于某些特定的数列，我们可以通过推导或者观察得到一个通项公式，这个公式可以用来表示数列中任意一项的值。
例如对于一个等差数列{an}，它的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1表示数列的首项，d表示数列的公差，n表示数列的项数。
4. 数列的性质数列有很多性质，例如对于一个等差数列，它的前n项的和可以用一个公式来表示，即Sn = (a1 + an) × n ÷ 2，其中a1为首项，an为末项。
对于一个等比数列，它的前n项的和也可以用一个公式来表示。
5. 数列的求和对于一些特定的数列，我们可以通过一些方法来求解它的前n项的和，例如使用公式、数学归纳法等。
6. 数列的应用数列在数学中有很多实际应用，例如在计算机科学中，数列可以用来表示计算机程序的执行次数；在经济学中，数列可以用来分析经济增长趋势等。
7. 数列的递推公式对于一些特定的数列，我们可以用递推公式来表示数列的变化规律，通过递推公式可以方便地计算数列的各项的值。
8. 数列的极限数列的极限是数学分析中一个非常重要的概念，它可以帮助我们理解数列的收敛性、发散性等性质。
数列的极限可以用来解决一些实际问题，例如计算机程序的性能优化等。
高中数学 3.1数列的基本概念及简单表示法配套课件 理 新人教A版
2
原数列化为
21 21
3，22 22
3，
23 23
3，24 24
3，ห้องสมุดไป่ตู้
，
∴an=(-1)n·
2n 2n
3
.
【反思·感悟】1.解答本题(3)时有两个困惑：一是首项的符 号，二是各项分子规律不明显.解答时从分子与分母的关系入 手，是求解的关键. 2.归纳通项公式应从以下四个方面着手： (1)观察项与项之间的关系； (2)符号与绝对值分别考虑； (3)分开看分子、分母，再综合看分子、分母的关系； (4)规律不明显时适当变形.
【方法点睛】
已知Sn求an
已知Sn求an时应注意的问题 (1)应重视分类讨论思想的应用，分n=1和n≥2两种情况讨论；
特别注意an=Sn-Sn-1中需n≥2. (2)由Sn-Sn-1=an推得an,当n=1时，a1也适合“an式”，则需统一 “合写”.
(3)由Sn-Sn-1=an推得an，当n=1时，a1不适合“an式”，则数列
k
k
an＝2n－2，故④错．综上知，③正确；①,②,④错误.
答案：①× ②× ③√ ④×
(3)若数列{an}的通项公式为an= n ,那么这个数列是______
n 1
数列.(填“递增”，“递减”，“摆动”)
【解析】令f(x)= x ,则f(x)=1- 1 在(0，+∞)上是增函数，
x 1
x 1
【即时应用】 (1)思考：数列的通项公式是唯一的吗？是否每个数列都有通 项公式？ 提示:不唯一，如数列-1,1,-1,1，…的通项公式可以是
an=(-1)n(n∈N*)，也可以是an＝ 11n(为n为偶奇数数 )，有的数列没有通
数列知识点总结
数列知识点总结数列是高中数学中重要的概念之一。
它是一组按照特定规律排列的数字或字母的集合。
学习数列的目的是为了让我们能够理解和应用这些规律。
本文将总结数列的相关知识点，从基本概念到常见应用，以期帮助读者全面了解和掌握数列的解题方法。
一、数列的基本概念在介绍数列的基本概念之前，我们首先需要明确什么是数列。
数列可以看作是数字或字母按照一定规律排列形成的集合。
数列中的每个元素称为数列的项。
1. 项数和通项数列的项数是指数列中项的数量。
我们用n表示项数。
通项是指数列中任意一项的一般表示形式。
通项通常用un表示，其中n表示项数。
通项可以是一个公式、一个递推关系或者一个规律。
2. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差保持不变的数列。
等差数列的通项公式一般形式是un=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
3. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比保持不变的数列。
等比数列的通项公式一般形式是un=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
4. 递推关系递推关系是指数列中每一项与它的前一项之间存在的关系。
递推关系可以用来求解数列中任意一项的值。
二、常见数列的求和公式数列求和是数列问题中常见的一类题型。
在解这类题目时，我们需要掌握一些数列求和公式。
1. 等差数列求和公式等差数列求和公式是指数列中所有项的和与项数之间的关系。
等差数列的和公式为Sn=(a1+an)*n/2，其中Sn表示前n项和，a1为首项，an为末项，n为项数。
2. 等比数列求和公式等比数列求和公式是指数列中所有项的和与项数之间的关系。
等比数列的和公式为Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中Sn表示前n项和，a1为首项，r为公比，n为项数。
三、数列的常见应用数列在我们的生活中有很多应用，尤其在数学领域中常常出现。
下面我们将介绍一些常见的数列应用。
1. 费波那契数列费波那契数列是指数列中的每一项是其前两项之和的数列。