直线与椭圆的综合运用 教案

直线和椭圆的位置关系（综合应用）

教学目标:（1）理解直线与椭圆的各种位置关系，能利用判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系；

（2）掌握和运用直线被椭圆所截得的弦长公式；

（3）初步掌握与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧；进一步树立数形结合、

函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想

教学重点：利用“数”与“形”的结合，利用方程解决直线与椭圆的位置关系

教学难点：利用“数”与“形”的结合，利用方程解决直线与椭圆的位置关系弦长、最值等综合问题. 教学过程 一、知识讲解

提问学生：回忆点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，引出点与椭圆的位置关系

1、点与椭圆的位置关系：设点),(00y x P ，椭圆标准方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x

若点),(00y x P 椭圆上，则122

220=+b y a x ；

若点),(00y x P 在椭圆内，则1220

220<+b y a x ；

若点),(00y x P 在椭圆外，则1220

220>+b

y a x ；

2、直线与椭圆的位置关系

（1）通过直线运动与椭圆形成的交点个数说明直线与椭圆的三种位置关系：

相离：直线与椭圆没有交点； 相切：直线与椭圆有唯一交点； 相交：直线与椭圆两个交点；

（2）判断直线与椭圆的位置关系：设直线:,l y kx m =+椭圆22

22:1(0)x y M a b a b

+=>>，联立直线与椭圆方

程消去y 得2

2

2

2

2

2

2

2

()2()0a k b x a kmx a m b +++-=，记该一元二次方程的判别式为?，则 ①当0?>时，直线与椭圆相交，有两个交点； ②当0?=时，直线与椭圆相切，此时有一个交点； ③当0?<时，直线与椭圆相离，没有交点.

（3）弦长公式的推导

设1122(,),(,)A x y B x y 为椭圆上的两点， AB 叫做椭圆的弦长.

回忆两点间的距离公式，通过距离公式化简整理，得出弦长公式11AB x x y y =-=-（其中k 为直线AB 的斜率）.

二、例题精析

例1、已知直线1l 过椭圆14

:22

=+y x C 的左焦点1F 且与椭圆相交于B A ,两点，椭圆C 的右焦点为2F ，

则2ABF ?的周长为（ ）

A 、6

B 、7

C 、8

D 、9

解:如图,因为B A ,在椭圆上，由椭圆的定义，则a AF AF a BF BF 2,22121=+=+ 所以2ABF ?的周长842222==+=++=a a a AF BF AB C ，所以选.C

例2、若直线2y mx =+与椭圆22

142

x y +=有且只有一个交点，求实数m 的值. 解:联立22

2

24

y mx x y =+??

+=?消y 得22(21)840m x mx +++=

因为直线与椭圆只有一个交点，则22

644(21)40m m ?=-?+?=，解得2

m =±

.

例3、直线y x a =+与椭圆2212x y +=相交于,A B 两点，若3

AB =，求a 的值. 解:联立22

22

y x a x y =+??+=?消去y 得2234220x ax a ++-=，2

1643(22)0a a ?=-?->恒成立，则a R ∈ 设1122(,),(,)A x y B x y ，由韦达定理，则1243a

x x +=-，212223

a x x -=

由弦长公式AB =3

=

,解得1a =. 例4、过原点的直线l 与曲线C:13

22

=+y x 相交,若直线l 被曲线C 所截得的线段长不大于6,则直线l 的倾斜角α的取值范围是 ( )

.

A 656

παπ

≤

≤ .B 326παπ<< .C 323παπ≤≤ .D 4

34παπ≤≤ 解：因为截得的线段长不大于6，故直线不可能与x 轴重合，可设直线方程为x my = 联立??

?=+=3

32

2y x my

x 消去x 得，03)3(22=-+y m ，设直线与椭圆相交于B A ,两点，则

63)3(121222

≤+++=m m m

AB ，整理得63

)

1(1222≤++m m ，解得11≤≤-m

所以]1,1[1tan -∈=

=m k α，又),0[πα∈，解得4

34π

απ≤≤.选.D 例5、已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x M

中2

c a =，右顶点到左焦点的距离为32+

（1）求椭圆M 的方程.

（2）若直线20x y m +-=与椭圆M ：①相交，②相切，③相离，求实数m 的取值范围； （3）设直线t x y l +=:与椭圆M 相交于不同的B A ,两点，令)(t f AB =，求)(t f .

解：（1

）依据题意，则2

2c a a c ?=

???+=?

解方程组得2,a c ==2214x y += （2）联立22

2014

x y m x y +-=???+=??消y 得225161640x mx m -+-=，222

(16)45(164)16(54)m m m ?=-?-=- ①若直线与椭圆相交，则2

16(54)0m ?=->

，解得m <<

②若直线与椭圆相切，则2

16(54)0m ?=-=

，解得m =③若直线与椭圆相离，则2

16(54)0m ?=-<

，解得

22

m m <<-

或（3）联立22

14

y x t

x y =+???+=??消掉y 得22

58440x tx m ++-= 因为直线与椭圆有两个交点，则2

2

6420(44)0t t ?=-->

，解得t <<

设1122(,)(,)A x y B x y ，由韦达定理，则1285t

x x +=-，2124(1)5

t x x -=

由弦长公式，则AB =

=

=

所以()(f t t =

∈ 例6、已知椭圆2

2:12

x M y +=， （1）求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程； （2

）过1

(

)22

Q 的直线与椭圆M 相交于,A B 两点，且,A B 关于点Q 对称，求直线AB 的方程； （3）过点(2,1)的直线l 与椭圆M 相交，求直线l 被椭圆截得的弦中点的轨迹方程.

解：(1) 设平行弦中点坐标为00(,)x y ，弦与椭圆对应的两个交点为11(,)x y ，22(,)x y ，则2

2112

222

12

1

2

x y x y ?+=????+=??

两式相减得

12121212()()

()()02

x x x x y y y y +-++-=

化简整理得

1212121222()

y y x x

x x y y -+=-=-+，又因为1201202,2x x x y y y +=+=，代入上式，得0040x y +=.

所以平行弦中点的轨迹方程为40x y +=(在椭圆2

2:12

x M y +=内的部分). （2）设33(,)A x y ，44(,)B x y ，则22

332

244

12

1

2

x y x y ?+=????+=??两式相减得3

4343434()()()()02x x x x y y y y +-++-= 化简整理得

121212122()

y y x x x x y y -+=--+，又因为,A B

关于点1

)2Q

对称，则34121x x y y ++=

所以121212122()2

AB y y x x k x x y y -+=

=-=-

-+ 故直线AB

220y +-= （3）由点(2,1)的位置结合椭圆方程可知直线l 的斜率必然存在，

设弦中点坐标为(,)x y ''，则1

2

l y k x '-=

'-………………………()i 设直线与椭圆的两交点分别为5566(,),(,)x y x y ，则56562,2x x x y y y ''+=+=

又22

552

266

12

1

2

x y x y ?+=????+=??两式相减得5

6565656()()()()02x x x x y y y y +-++-= 化简整理得565656562()2l y y x x x k x x y y y '

-+=

=-=-

'

-+……………()ii 由()i ()ii 联立化简得， 222220x y x y ''''+--=. 所以弦中点的轨迹为：222220x y x y +--=.

三、课程小结

本讲主要学习了下面的内容： 直线与椭圆的位置关系

四、课后作业

1、直线12+=x y 与椭圆15

92

2=+y x 相交于MN 两点，则弦=MN （ ）

.

A 411060 .

B 41106 .

C 36

1041 .D 4110

2

【答案】Ａ．

【解析】：联立方程?????=++=1591

222y x x y 消去y 得03636412

=-+x x ，设),(),,(2211y x N y x M 则

a ac

b k

y y x x MN 41)()(22

2

212

21-+=-+-=41

106041364143652=

??+?=.选.A 2、直线l 方程)1(-=x m y ，椭圆13

4:2

2=+y x M ，则直线l 与椭圆M 的位置关系为（ ）

.A 相交 .B 相离 .C 相切 .D 无法判断 【答案】.A

【解析】已知直线)1(-=x m y 过定点)0,1(，定点代入椭圆则13

0412

2<+，过直线过椭圆内部的点，所以直线

l 与椭圆M 相交，选.A

【巩固】

3、B A ,是椭圆C ：)0(122

22>>=+b a b

y a x 的短轴端点，点M 是椭圆上异于B A ,的任意一点，直线MA ，MB

与x 轴交点的横坐标分别为21,x x ，求证：21x x ?是定值. 解：证明：如图)5(C ，),0(),,0(b B b A -，设),(00y x M ，则 直线MA 的方程为：

00

y b

y b x x --=

……………① 直线MB 的方程为：

00

y b

y b x x ++=

……………② 由①解得,001b y bx x --=

由②解得b

y bx x +=

00

2，则 222200

122

2

000

()()b x b x x x y b y b b y -?==-+-……………③ 又因为),(00y x M 在椭圆上，则2200

221x y a b

+=……………④

由④解得)(20

2

2

2

2y b a x b -=代入③式，得2

2

22

022********)(a y b y b a y b x b x x =--=-=?. 所以21x x ?是定值.

4、过椭圆

14

162

2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程. 【解析】法一：设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ）,则2,42121=+=+y y x x

14162121=+y x ① 14

162

2

22=+y x ② ①-②得

04))((16))((21212121=+-++-y y y y x x x x ，整理得2

1

421212121-=++?-=--y y x x x x y y

所以2

1

-

=AB k ，故直线方程为042=-+y x . 法二：设所求直线方程为)2(1-=-x k y ，代入椭圆方程并整理得：

016)12(4)2(8)14(2222=--+--+k x k k x k

又设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），则21,x x 是方程的两个根，于是

1

4)

2(82221+-=

+k k k x x ， 又M 为AB 的中点，所以

21

4)

2(422221=+-=+k k k x x ， 解得2

1

-

=k ， 故所求直线方程为042=-+y x .

2.已知直线3:=+y x l ，点P 为椭圆12

:22

=+y x M 上的一动点，则P 到直线l 的距离的最大值和最小值分别

为（ ） .

A 0,233+ .

B 2

3

3,

233-+ .C 13,13-+ .D 0,13+ 【答案】Ｂ．

【解析】设点)sin ,cos 2(θθP ，则2

3

)sin(32

3

sin cos 2-+=

-+=

?θθθd

当1)sin(-=+?θ时，233max +=

d ；当1)sin(=+?θ时，2

3

3min -=d ，选.B