《指数与指数幂的运算》教学课件
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高中数学 2.1.11《指数与指数幂的运算》课件 新人教A版必修1
0的奇次方根是_____,偶次方根是______ 。
第七页，共13页。
当n为奇数(jī shù)时，a的n次方n 根a
是当n为偶数时。，正数a的n次方根(fānggēnna)
是
，
负0的数任没何有(偶rè次nh方é)根次(方fā根ng都gē是n)。n，0即 0
。
试试：b4 a, 则a的4次方根为____； b3 a, 则a的3次方根为____;
y (1 7.3%)x 1.073x (x N*, x 20)
y (1 7.3%)10 1.07310
第三页，共13页。
实例 3:我们(wǒ men)知道考古学家是通过生 物化石的研究判断生物的发展和进化的，他 们究竟是怎样判断生物所处的年代呢？
当生物死亡后，体内碳14每过5730年大约
-125的3次方根是____;
10000的4次方根是____。
第八页，共13页。
思考(sīkǎo)1:
知识(zhī shi)探 究（分三别）等于什么？
一般地，
等于什么？ ( n a )n a
思考2:
分别等于什么？
一般地，n an 等于什么？
当n是奇数时， n an a
{ 当n是偶数时， n an | a |
第 sh知ù)识(zhī shi)探 模实型例应(sh用ílì背) 1景:某市人口平均究年增（长一率）为
1.25℅，1990 年人口数为a 万，则 x年后人
口数为多少y 万a？(11.25%)x 1.0125x a(x N )
实例2：国务院发展研究中心在2000 年分 析，我国未来20年GDP（国内生产总值） 年平均增长率达7.3℅， 则x年后GDP 为 2000年的多少倍？10年后呢？
第七页，共13页。
当n为奇数(jī shù)时，a的n次方n 根a
是当n为偶数时。，正数a的n次方根(fānggēnna)
是
，
负0的数任没何有(偶rè次nh方é)根次(方fā根ng都gē是n)。n，0即 0
。
试试：b4 a, 则a的4次方根为____； b3 a, 则a的3次方根为____;
y (1 7.3%)x 1.073x (x N*, x 20)
y (1 7.3%)10 1.07310
第三页，共13页。
实例 3:我们(wǒ men)知道考古学家是通过生 物化石的研究判断生物的发展和进化的，他 们究竟是怎样判断生物所处的年代呢？
当生物死亡后，体内碳14每过5730年大约
-125的3次方根是____;
10000的4次方根是____。
第八页，共13页。
思考(sīkǎo)1:
知识(zhī shi)探 究（分三别）等于什么？
一般地，
等于什么？ ( n a )n a
思考2:
分别等于什么？
一般地，n an 等于什么？
当n是奇数时， n an a
{ 当n是偶数时， n an | a |
第 sh知ù)识(zhī shi)探 模实型例应(sh用ílì背) 1景:某市人口平均究年增（长一率）为
1.25℅，1990 年人口数为a 万，则 x年后人
口数为多少y 万a？(11.25%)x 1.0125x a(x N )
实例2：国务院发展研究中心在2000 年分 析，我国未来20年GDP（国内生产总值） 年平均增长率达7.3℅， 则x年后GDP 为 2000年的多少倍？10年后呢？
指数及指数幂的运算经典PPT课件
3
(2) a4
(3)
3
a5
5a
4 a3
1
2、用分数指数幂表示下列各式：
5 a3
(4)
2
a3
1
3 a2
( 1 ) 4 (a b)3 (a b 0)( 2 )
3
(a b)4
3 (m n)2
2
(m n)3
( 3 ) (m n)4 (m n) ( 4 )
p6 q5 ( p 0)
m
4. a n 是 n am 的一种新的写法，分数指数
幂与根式表示相同意义的量，只是
形式上的不同而已.
39
40
2019/12/23
41
2 的过剩近似值
11.180 339 89 9.829 635 328 9.750 851 808 9.739 872 62 9.738 618 643 9.738 524 602 9.738 518 332 9.738 517 862 9.738 517 752 36
5 2的不足近似值 5 2的不足近似值
其中 n 1 , 且 n N * .
①当n为奇数时, a的n次方根只有1个,用 n a 表示
②当n为偶数时, 若a>0,则a的n次方根有2个, 用 n a (a 0)表示 若a=0,则0的n次方根有1个,是0 若a<0,则a的n次方根不存在
(1)27的立方根等于___－__3___ (4)25的平方根等于___±__5___ (2) －32的五次方根等于__－__2_ (5)16的四次方根等于____±_ 2
－1 -1
0
0
(1)3 1 03 0
－4 无
8
指数与指数幂的运算 课件
【做一做 2-1】 根式 m 1 的根指数是
是
.
答案:2 m+1
【做一做 2-2】
5
5 2 =
;4 (-2)4 =
答案:-2 2
,被开方数 .
1.对( n a )n的理解 剖析:( n a )n是实数 a 的 n 次方根的 n 次幂,其中实数 a 的取值范围由 n 的
奇偶性来决定:
(1)当 n 为大于 1 的奇数时,( n a )n=a,a∈R.例如,( 3 27 )3=27,( 5 32 )5=32,( 7 0 )7=0.
2.对 n an 的理解
剖析:n an 是实数 an 的 n 次方根,是一个恒有意义的式子,不受 n 的奇偶性
限制,a∈R.但是这个式子的值受 n 的奇偶性限制:
(1)当 n 为大于 1 的奇数时,其值为 a,即 n an =a,例 如,3 (-2)3 =-2,5 6.15 =6.1.
(2)当 n 为大于 1 的偶数时,其值为|a|,即 n an =|a|.例
指数与指数幂的运算
1.n 次方根
定义
一般地,如果xn=a,那么 x叫做 a 的 n 次方根,其中 n>1,且 n∈N*
个数
a>0 n 是奇数
a<0 a>0 n 是偶数 a<0
x>0
x 仅有一个值,记为
x<0
na
x 有两个值,且互为相反数,记为±n a
x 不存在
【做一做 1-1】 3 8 等于( ).
(2)当 n 为大于 1 的偶数时,( n a )n=a,a≥0.例 如,( 4 27 )4=27,( 3 )2=3,( 6 0 )6=0;若 a<0,式子( n a )n无意义,例如,由于 x2=2,x4=-54 均不成立,则 2 , 4 54 均无意义,所以( 2 )2,( 4 54 )4均无意义,也 就不能说它们的值了.由此看来,只要( n a )n有意义,其值就恒等于 a,即( n a )n=a.
2.1.1指数与指数幂的运算课件人教新课标
例如：27的3次方根表示为 －32的5次方根表示为 a6的3次方根表示为
例如：27的3次方根表示为 －32的5次方根表示为 a6的3次方根表示为 16的4次方根表示为
例如：27的3次方根表示为 －32的5次方根表示为 a6的3次方根表示为 16的4次方根表示为
例如：27的3次方根表示为
－32的5次方根表示为
问题2 当生物死亡后，它机体内原有的碳 14会按确定的规律衰减，大约每经过5730 年衰减为本来的一半，这个时间称为“半
衰期”.根据此规律，人们获得了生物体内 碳14含量P与死亡年数t之间的关系
提问： 什么？
的意义是
讲授新课
根式： (1)求： ①9的算数平方根，9的平方根； ②8的立方根，－8的立方根； ③什么叫做a的平方根？a的立方根？
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为
正数，负数的n次方根为负数． 记作：
②当n为偶数时：正数的n次方根有 两个(互为相反数)．
记作：
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为
正数，负数的n次方根为负数． 记作：
②当n为偶数时：正数的n次方根有 两个(互为相反数)．
记作：
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为
(2)定义 一般地，若xn＝a (n＞1, n∈N*)，则
x叫做a的n次方根.
叫做根式， n 叫做根指数， a 叫做被开方数．
例如：27的3次方根表示为 －32的5次方根表示为 a6的3次方根表示为
例如：27的3次方根表示为 －32的5次方根表示为 a6的3次方根表示为
例如：27的3次方根表示为 －32的5次方根表示为 a6的3次方根表示为
② 当n为任意正整数时，
例1 求下列各式的值：
指数与指数幂的运算PPT课件-数学高一上必修1第二章2.1.1人教版
探究点1 由初中所学知识及示例完成下面填空
示例：① (±2)2＝4，则称±2为4的 平方根 ； ② 23=8，则称2为8的 立方根 ；
类似地，(±2)4=16，则±2叫做16的 4次方根 ；
25=32，则2叫做32的 5次方根 . xn =a，其中n＞1，且n∈N﹡
归纳总结：n次方根的概念
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根， 其中n＞1，且n∈N﹡.
（2） (10) 2 10 10;
（3）4 (3 )4 3 3; （4） (a b) 2 a b a b (a b).
【总结提升】
根式化简或求值的注意点：
解决根式的化简或求值问题,首先要分清根式为奇
次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化
n x a (a 0) 当n为奇数时，
当n为偶数时，x
n
a( a R )
n
0的任何次方根都是0，记作
0 =0.
探究2：根式的概念
探究点2
在方根的表示中，你知道式子
n
a 叫什么吗？
式子 n a 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方
数.
根指数 根式
n
a
被开方数
探究3：根式的运算性质
由表格可以看出：5
2
可以由 2 的不足近
似值和过剩近似值进行无限逼近.
a (a 0, 是无理数） 一般地，无理数指数幂 是一
个确定的实数，可以由有理数指数幂无限逼近而得到。 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 幂指数的范围又扩
大到了实数
动笔练一练
1.设x+x-1=2，则x2+x-2的值为（ D ）
示例：① (±2)2＝4，则称±2为4的 平方根 ； ② 23=8，则称2为8的 立方根 ；
类似地，(±2)4=16，则±2叫做16的 4次方根 ；
25=32，则2叫做32的 5次方根 . xn =a，其中n＞1，且n∈N﹡
归纳总结：n次方根的概念
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根， 其中n＞1，且n∈N﹡.
（2） (10) 2 10 10;
（3）4 (3 )4 3 3; （4） (a b) 2 a b a b (a b).
【总结提升】
根式化简或求值的注意点：
解决根式的化简或求值问题,首先要分清根式为奇
次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化
n x a (a 0) 当n为奇数时，
当n为偶数时，x
n
a( a R )
n
0的任何次方根都是0，记作
0 =0.
探究2：根式的概念
探究点2
在方根的表示中，你知道式子
n
a 叫什么吗？
式子 n a 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方
数.
根指数 根式
n
a
被开方数
探究3：根式的运算性质
由表格可以看出：5
2
可以由 2 的不足近
似值和过剩近似值进行无限逼近.
a (a 0, 是无理数） 一般地，无理数指数幂 是一
个确定的实数，可以由有理数指数幂无限逼近而得到。 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 幂指数的范围又扩
大到了实数
动笔练一练
1.设x+x-1=2，则x2+x-2的值为（ D ）
《指数与指数幂的运算》课件-完美版人教版1
讲授新课
1. 正数的正分数指数幂的意义：
m
a n n am (a＞0, m, n∈N*, 且n＞1)．
注意两点: (1)分数指数幂是根式的另一种表示形式； (2)根式与分数指数幂可以进行互化.
《指数与指数幂的运算》完美ppt人教 版1-精 品课件 ppt(实 用版)
2. 对正数的负分数指数幂和0的分数指数 幂的规定：
3. 引例：当a＞0时，
10
① 5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5 ;
12
② 3 a123 (a4)3 a4a3；
2
2
③ 3 a2 3 (a3)3 a3;
1
1
④ a (a2)2 a2 是否可以呢？
讲授新课
1. 正数的正分数指数幂的意义：
m
a n n am (a＞0, m, n∈N*, 且n＞1)．
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n an a;
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n an a;
当n为偶数时，
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n an a;
当n为偶数时， n
an
|
a
|
a(a a(a
0) 0).
复习引入
2. 根式的运算性质：
《指数与指数幂的运算》完美ppt人教 版1-精 品课件 ppt(实 用版)
《指数与指数幂的运算》完美ppt人教 版1-精 品课件 ppt(实 用版)
2. 对正数的负分数指数幂和0的分数指数 幂的规定：
(1)
m
a n
1
m
(a＞0, m, n∈N*, 且n＞1)．
指数与指数幂的运算公开课 ppt课件
4
a3 4
3
12
知识点二：分数指数幂
❖ 规定： 1、正数的正分数指数幂的意义为：
m
annam(a0,m ,n N *,n1)
2、正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同
即 ： am na 1 m nn1 am(a0,m ,n N *,n1) 3、0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义。
2020/12/2
7
概念理解
做一做
练习：试根据n次方根的定义分别求出下列 各数的n次方根.
(1)25的平方根是_______;
(2)27的三次方根是_____;
(3)-32的五次方根是____;
(4)15的四次方根是_____.
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2.根式的概念
根指数
na
被开方数
根式
2020/12/2
4
复习旧知
初中时平方根、立方根是如何定义的？有哪 些规定？
若 x2 4 则 x2 若 x2 5 则 x 5
若 x3 27 则 x 3
若 x3 27 则 x3
2020/12/2
2叫做4的平方根； 5叫做5的平方根； 3是27的立方根； -3是-27的立方根；
5
若 x3 10 则 x 3 10 若 x3 32 则 x 3 32
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13
例2 求值
2
(1) 8 3 ；
(3)
1
5
；
2
1
(2) 25 2 ；
(4) 16
3 4
.
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14
运算性质
（1）arasar s(a0 ,r,s Q )
《指数与指数幂的运算》PPT课件_人教版1
过程与方法
1．通过幂运算律的推广，培养在数学学习过 程中能够进行数学推广的能力;
2．培养并体会数形结合的思想，在以后的学 习过程中研究函数的能力.
情感态度与价值观
1．经历和体验数学活动的过程以及数学在现 实生活中的应用，能够体会一些重要的数学思想．
2．通过课堂学习培养敢于联系实际，勇于发 现，大胆探索，合作创新的精神.
可以这样算吗？
探究
2
3 a 2 = a 3 (a > 0 ),
1
b = b 2 (b > 0 ),
5
4 c 5 = c 4 (c > 0 ).
正确吗？
知识要 点
正分数指数幂的意义：
m
an=nam (a>0,m ,n N *,且 n>1)
探究
-m
an=
（a>0, m、n∈N*,n>1）
想一想
-1
x n a. (当n是偶数,
且a＞0)
无理数指数幂 有理数指数幂 分数指数幂
m
an = n am
(a > 0,m,nN*,且n >1)
《指数与指数幂的运算》优秀课件人 教版1- 精品课 件ppt( 实用版)
实数指数幂的运算法则
(1)aras ars(a0,r,sR) (2)(ar)s ars(a0,r,sR) (3)(ab)rarbr(a0,b0,rR)
当n是奇数，根式的值是唯一的； 当n是偶数且a>0，根式的值有两个，同时互为相 反数； 负数没有偶次方根； 0的任何次方根都是0.
探究
a n a n 表示an的n次方根，等式 n n = a. 一定成立吗？如果不成立，那么 n a n 等于什么？
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小结
1、根式和分数指数幂的意义. 2、根式与分数指数幂之间的相互转化 3、有理指数幂的含义及其运算性质
1、已知 x 3 1 a ，求 a 2 2ax 3 x 6 的值
2、计算下列各式
1
1
1
1
(1)
a
2 1
b2
1
a2 1
b2
1
a2 b2 a2 b2
(2)(a 2 2 a 2 ) (a 2 a 2 )
物体内碳14含量ｙ与死亡年数ｔ之间的函数关系式
t
为
y
1
5730
。（设生物体死亡时每克组织的碳１
2
４含量作为１个单位。）
那么我们就可根据生物体内碳14的含量算出 它在多少年前死亡．
死亡多少年后 5730
2×5730
3×5730 6000 10000
体内碳14含量
1
2
1 2 1 2 4
1 2
3
1
6、(| x | 1) 2有意义，则x 的取值范围是
( （-，-1）（1，+） )
3x y
26
7、若10x=2，10y=3，则10 2 3 。
8、a , b ，R 下列各式总能成立的是（ B ）
A .( 6 a 6 b ) 6 a b B.8 (a 2 b 2 ) 8 a 2 b 2
练习１：
5 32 _______ 4 81 _______ 210 ________ 3 312 _______
练习２：
(1)当6<a<7,则 (a 6)2 (a 7)2
(2) 5 2 6 5 2 6
二、分数指数
m
定义：a n n a m (a 0, m, n N * ,且n 1)
性质：(整数指数幂的运算性质对于有理指数 幂也同样适用）
aras ars (a 0, r, s Q) (a r )s a rs (a 0, r, s Q) (ab)r a r a s (a 0,b 0, r Q)
例2、求值
2
1
8 3 ; 25 2 ;
1
5
;
16
3
4
2
81
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
3、已知x x1 3，求下列各式的值
1
1
(1)x 2 x 2
1பைடு நூலகம்
1
(2)x 2 x 2
4、化简 (3 6 a9 )4 (6 3 a9 )4的结果是（C）
A.a16 B. a8 C. a4 D. a2
5、2-(2k+1)-2-(2k-1)+2-2k等于( C ) A.2-2k B. 2-(2k-1) C. -2-(2k+1) D.2
记作 x= n a ,其中n叫 根指数 ,a叫 被开方数 。
练习: (1)25的平方根等于_________________ (2)27的立方根等于_________________ (3)-32的五次方根等于_______________ (4)81的四次方根等于_______________ (5)a6的三次方根等于_______________ (6)0的七次方根等于________________
(1) a 3 a (2) a 2 3 a 2 (3) a3 a
例4、计算下列各式
(1)( 3 25- 125) 4 25 (2) a2 (a 0)
a 3 a2
三、无理数指数幂
一般地，无理数指数幂 a ( >0, 是无
理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的运算 性质同样适用于无理数指数幂.
注意：（1）分数指数幂是根式的另一种表示；
（2）根式与分式指数幂可以互化.
3
规例定如:：（1(1）)aa mn4
1 m
(a
0, m, n
N * ,且n
1)
（2(）2)03的a正5a分n 数指数幂等于0;
(其0中的负a 分 数0)指数幂没意义.
规定了分数指数幂后,指数的概念就从整数
指数推广到了有理数指数.
材料: 经探测,得知一块鱼化石中碳14的残留量约占 原始含量的46.5%，据此考古学家推断这群鱼 是6300多年前死亡的．
你知道考古学家是怎么样推算出的吗？
科学依据:
当生物死亡后，它体内原有的碳14会按确定的
规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，
这个时间称为“半衰期”．据此考古学家获得了生
C. 4 a 4 4 b 4 a b D. 10 (a b )10 a b
9、化简
(1
1
2 32
)(1
1
2 16
)(1
1
28
)(1
1
24
)(1
1
22
)的结果
( A)
A.
1
(1
2
1 32
) 1
2
1
C.1 2 32
B.(1
2
1 32
)
1
D.1
1
(1
2
1 32
)
2
根式定义：一般地，如果xn=a (n>1,且nN*),
那么 x=n a
。
根式性质：
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个 正数 ，
负数的n次方根是一个 负数 . （2）当n是偶数时,正数的n次方根有 两 个，
它们 互为相反数 . （3）负数 没有 偶次方根, 0的任何次整数次方根都
是 0 . 记作 n 0 = 0.
1 8
6000
1 2
5730
=??
10000
1 2
5730
=??
2.1.1 指数与指数幂的运算
－－将指数取值从整数推广到实数
引例
一、根式
（1）(±2)2＝４，则称±２为４的 平方根 ；
（2） 23=8，则称２为8的 立方根 ；
（3）(±2)4=16，则称±２为16的 四次方根 。
定义：一般地，如果xn=a (n>1,且nN*), 那么 x叫做a的n次方根 。
(4) n a n ? (n a )n a
探究
（5） n an a 一定成立吗？
1、当n为奇数时, n an a
２、当n为偶数时, n an
a
a,a0 a,a0
例1、求下列各式的值（式子中字母都大于零）
(1) 3 (8)3
(3) 4 (3 )4
(2) (10)2 (4) (a - b)2 (a b).