乘法公式的拓展及常见题型整理(12页)

乘法公式的拓展及常见题型整理

【基础知识概述】

一、基本公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2—b 2 完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 变形公式：（1）()2

222a b a b ab +=+- （2）()2

222a b a b ab +=-+ （3） ()()2

22222a b a b a b ++-=+ （4） ()()2

2

4a b a b ab +--=

二、思想方法：① a 、b 可以是数，可以是某个式子； ② 要有整体观念，即把某一个式子看成a 或b ，再用公式。 ③ 注意公式的逆用。 ④ 2a ≥0。

⑤ 用公式的变形形式。 三、典型问题分析： 1、顺用公式： 例1、计算下列各题：

（1）.

()()()()()224488a b a b a b a b a b -++++

（2）.3(22+1)(24+1)(28+1)(16

2+1)+1

2、逆用公式：

例2. ①1949²-1950²+1951²-1952²+……+2011²-2012²

②⎪⎭⎫ ⎝

⎛-

2

21

1⎪⎭⎫ ⎝⎛-2311⎪⎭⎫ ⎝

⎛-2411……⎪⎭⎫ ⎝⎛-2201011

③ 1.2345²+0.7655²+2.469×0.7655

【变式练习】 填空题：① 2

6a

a ++＿＿= 2

__

a ⎛⎫

⎪⎝

⎭

+ ②241x ++＿＿=（ 2) 6．x 2+ax+121是一个完全平方式，则a 为（ ） A ．22 B ．－22 C ．±22 D ．0

3、配方法：

例3．已知：x ²+y ²+4x-2y+5=0，求x+y 的值。

【变式练习】

①已知x ²+y ²-6x-2y+10=0，求11

x y

+的值。

②已知：x ²+y ²+z ²-2x+4y-6z+14=0，求：x+y+z 的值。

③当x = 时，代数式2x 取得最小值，这个最小值是 当x = 时，代数式24x +取得最小值，这个最小值是 当x = 时，代数式()2

34x -+取得最小值，这个最小值是 当x = 时，代数式243x x --取得最小值，这个最小值是 对于2243x x ---呢？

4、变形用公式：

例5. 若()()()2

40x z x y y z ----=，试探求x z +与y 的关系。 例6．化简：()()2

2

a b c d a b c d +++++--

例7. 如果22223()()a b c a b c ++=++，请你猜想：a 、b 、c 之间的关系，并说明你的猜想。

完全平方公式变形的应用练习题 1、已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值

2、已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。

3．已知 2

()16,4,a b ab +==求22

3

a b +与2()a b -的值。

4．已知()5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。

5．已知6,4a b a b +=-=求ab 与22a b +的值。

6.已知224,4a b a b +=+=求22a b 与2()a b -的值。

7.已知(a +b)2=60，(a -b)2=80，求a 2+b 2及a b 的值

8.已知6,4a b ab +==，求22223a b a b ab ++的值。

9.已知222450x y x y +--+=，求21

(1)2

x xy --的值。

10.已知16x x

-=，求221

x x +的值。

11、0132=++x x ，求（1）221x x +（2）4

4

1x

x +

12、试说明不论x,y 取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数。

10、已知三角形 ABC的三边长分别为a,b,c且a,b,c满足等式

2222

3()()

a b c a b c

++=++，请说明该三角形是什么三角形？

B卷：提高题

一、七彩题

1．（多题－思路题）计算：

（1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）；

（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－

4016

3

2

．

2．（一题多变题）利用平方差公式计算：2009×2007－20082．

（1）一变：利用平方差公式计算：

22007

200720082006

-⨯

．

（2）二变：利用平方差公式计算：

2

2007 200820061

⨯+

．

二、知识交叉题

3．（科内交叉题）解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）．

三、实际应用题

4．广场内有一块边长为2a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？

课标新型题

1．（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x ）（1－x ）=1－x 2，（1－x ）（1+x+x 2）=1－x 3， （1－x ）（•1+x+x 2

+x 3

）=1－x 4

．

（1）观察以上各式并猜想：（1－x ）（1+x+x 2+…+x n ）=______．（n 为正整数） （2）根据你的猜想计算：

①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______． ②2+22+23+…+2n =______（n 为正整数）． ③（x －1）（x 99+x 98+x 97+…+x 2+x+1）=_______． （3）通过以上规律请你进行下面的探索： ①（a －b ）（a+b ）=_______． ②（a －b ）（a 2+ab+b 2）=______． ③（a －b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）=______．

2．（结论开放题）请写出一个平方差公式，使其中含有字母m ，n 和数字4．

3、探究拓展与应用 (2+1)(22+1)(24+1)

=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)=(22－1)(22+1)(24+1) =(24－1)(24+1)=(28－1). 根据上式的计算方法，请计算

(3+1)(32

+1)(34

+1)…(332+1)－2

364的值.