选修4-1_2.3弦切角定理
2017-2018学年高中数学选修4-1课件人教A版2.4弦切角的性质(共30张PPT)
������������ ∥ ������������⇒∠������������������ = ∠������������������ ������������切☉������于点������⇒∠������������������ = ∠������
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟比例式(或乘积式)的证明方法 1.证明乘积式成立,往往与相似三角形有关.若存在切线,常要寻 找弦切角,确定三角形相似的条件,有时需要添加辅助线创造条件. 2.直接证明比例式或乘积式有困难时,可考虑把它分解成两个比 例式的形式.
解析:∵PA是圆O的切线,∴∠BAP=∠BCA.
������������ 又∠BAC=∠APB,∴△BAP∽△BCA,∴������������
=
∴AB2=PB· CB=7×5=35,故 AB=√35.
答案:√35
������������ , ������������
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.与弦切角定理有关的结论 (1)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半. (2)弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半. (3)如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等.
【做一做2】 如图,正三角形ABC内接于圆O,CP是圆O的切线,则 ∠ACP=( )
A.90° B.30°C.60° D.75° 解析:因为△ABC是正三角形,所以∠B=60°.又因为CP是圆O的切 线,所以∠ACP=∠B=60°. 答案:C
四
弦切角的性质
学 习 目 标 1.理解弦切角的概念. 2.掌握弦切角定理,并能运 用定理解决问题.
思 维 脉 络 弦切角的性质 概念 弦切角定理—应用
弦切角定理 证明-概念解析以及定义
弦切角定理证明-概述说明以及解释1.引言1.1 概述弦切角定理是几何学中一个重要的定理，被广泛应用于圆的相关问题中。
根据该定理，如果一个弦切割了一个圆，并且与该圆的切线相交于切点，那么与这个弦相对的角与这个切线相交的角是相等的。
这个定理基于圆的几何性质而推导得出，它不仅具有理论的重要性，还被大量应用于解决实际问题。
无论是在数理推导中，还是在物理、工程等实际应用中，弦切角定理都被广泛运用。
本文将会系统地介绍弦切角定理的定义、证明要点和应用。
在正文部分，我们将详细阐述定理的定义，解释证明该定理所需的关键要点，并通过推理和几何演绎来证明这一定理的正确性。
同时，我们也将结合实际问题，展示弦切角定理在实际中的应用。
结论部分将对弦切角定理的意义进行总结，并回顾全文的主要内容。
通过阅读本文，读者将能够深入了解弦切角定理的定义、证明过程，并能够灵活运用该定理解决与圆相关的问题。
同时，本文也为读者展示了弦切角定理在实际中的重要性和应用价值。
在接下来的章节中，我们将逐步介绍弦切角定理的定义、证明要点以及其在实际问题中的应用。
希望读者通过对本文的阅读和理解，能够对弦切角定理有一个全面而深入的认识，从而在解决相关问题时能够能够灵活运用并取得理想的结果。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：在本文中，我将探讨弦切角定理的证明。
本文分为引言、正文和结论三部分。
引言部分将对弦切角定理进行概述，介绍其定义、重要性和应用领域。
然后我会详细说明本文的结构以及每个部分的内容。
正文部分将详细介绍弦切角定理的证明。
首先，我将给出弦切角定理的定义，并解释其背后的数学原理。
然后，我会重点讨论证明该定理所需的关键要点。
第一要点将涉及到几何图形的构建和性质推导，第二要点将涉及到角度关系的推理和推导。
通过详细的推导和证明过程，读者将能够全面理解弦切角定理的证明方法。
结论部分将归纳总结弦切角定理的应用和意义。
我将讨论该定理在几何学中的实际应用，以及它对其他几何定理的推导和应用的重要性。
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第一章 相似三角形定理与圆幂定理 1.1 相似三角
1.1.3 平行截割定理
1.2 圆周角与弦切角
1.2.1 圆的切线
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1.2.3 弦切角定理
1.3.2 圆内接四边形的性质与判定
阅读与欣赏
欧几里得
第二章 圆柱、圆锥与圆锥曲线 2.1 平行投影与圆
2.2 用内切球探索圆锥曲线的性质
2.2.1 球的
2.2.3 圆锥面及其内切球
本章小结
ห้องสมุดไป่ตู้
附录 部分中英文词汇对照表
第一章 相似三角形定理与圆 幂定理 1.1 相似三角形 1.1.1 相似三角形判定定理
高中数学第1章相似三角形定理与圆幂定理1.2.3弦切角定理课件新人教B版选修4_1
[质疑· 手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，与“小伙伴们”探讨交流：
疑问 1：
_____________________________________________________
解惑：
_______________________________________________________
3.弦切角定理有时还与圆周角定理等知识综合运用，它们不但在证明方法
上相似，在解题功能上也有相似之处，通常都作为辅助工具出现.
[再练一题] 2.如图 1-2-43 所示，BA 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线，切点为 A，BF、 BD 分别交 AD 于点 F、D，交⊙O 于 E、C，连接 CE.求证：BE·BF＝BC·BD.
∵∠A＝∠A，
∴ ∴ ∴△ A∠ADEAB＝DDEEBD∽ ＝DE，△ 90即A°BBD，DDE.∴＝t21a，n∠2＝DBDE＝12. ∴ ∵DB∠DEF＝＋12∠. BEF＝90°，∠2＋∠BEF＝90°， ∴∠2＝∠F，∴tan∠F＝tan∠2＝12.
[再练一题] 1.如图 1-2-41，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，C 为切点，AC 平分 ∠BAD.求证：AD⊥CD.
解惑：
_______________________________________________________
图 1- 2- 40
【思路探究】 △ADE∽△ABD→tan∠ABD＝DBDE＝12→∠ABD＝∠F→结果
【尝试解答】 如图所示，连接 BD.
∵AC 为⊙O 的切线，
∴ ∵∠ BE1为＝⊙∠O2. 的直径，
【命题意图】 本题主要考查弦切角定理及三角形相似的性质.
数学选修4-1《几何证明选讲》知识点总结(精简版)
数学选修4-1《几何证明选讲》知识点总结(精简版)数学选修4-1《几何证明选讲》学问点总结(精简版)高中数学选修4-1学问点总结数学选修4-1《几何证明选讲》学问点总结(精简版)平行线等分线段定理：假如一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
平分线分线段成比例定理平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
相像三角形的判定：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相像三角形。
相像三角形对应边的比值叫做相像比（或相像系数）。
由于从定义动身推断两个三角形是否相像，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，明显比较麻烦。
所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形：相像的简洁方法：（1）两角对应相等，两三角形相像；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相像；（3）三边对应成比例，两三角形相像。
预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相像。
判定定理1：对于任意两个三角形，假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相像。
简述为：两角对应相等，两三角形相像。
判定定理2：对于任意两个三角形，假如一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相像。
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相像。
判定定理3：对于任意两个三角形，假如一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相像。
简述为：三边对应成比例，两三角形相像。
高中数学选修4-1学问点总结引理：假如一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
【北师大版】选修4-1数学：1.2.3《弦切角定理》ppt课件
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基础知识梳理
重点难点突破
典型例题剖析
随堂练习巩固
1
2
【自主测试 2】 如图所示,MN 与☉O 相切于点 M,Q 和 P 是☉O 上的 两点,∠PQM=70° ,则∠NMP=( ).
A.20° C.110°
B.70° D.160°
解析:∵∠NMP 是弦切角, ∴∠NMP=∠PQM=70° . 答案:B
-12-
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基础知识梳理
重点难点突破
典型例题剖析
随堂练习巩固
题型一
题型二
题型三
证明:连接 DF,如图所示, ∵AD 是∠BAC 的平分线, ∴∠BAD=∠DAC. ∵∠EFD=∠BAD, ∴∠EFD=∠DAC. ∵BC 切☉O 于点 D, ∴∠FDC=∠DAC. ∴∠EFD=∠FDC. ∴EF∥BC.
-3-
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重点难点突破
典型例题剖析
随堂练习巩固
1
2
【自主测试 1】 如图所示,AB 是☉O 的一条弦,D 是☉O 上的任意一点 (不与 A,B 重合),则下列为弦切角的是( A.∠ADB B.∠AOB C.∠ABC D.∠BAO 解析:∠ADB 是圆周角,∠AOB 是圆心角, ∠ABC 是弦切角,∠BAO 不是弦切角. 答案:C ).
-10-
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基础知识梳理
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典型例题剖析
随堂练习巩固
2.圆心角、圆周角、弦切角的比较 剖析:如下表所示.
圆心角 定义 顶点在圆心的角 圆周角 顶点在圆上,两边和 圆相交 弦切角 顶点在圆上,一边和圆相 交,另一边和圆相切
图形
角与弧 的关系
∠AOB=AB°
人教A版 高中数学选修4-1 第二讲 四 弦切角的性质 课件(共25张PPT)
情感态度与价值观
提高学生学习数学的积极性，培养他们勤于思 考，敢于探索的思维习惯，使学生体会到数学的 逻辑严谨的特征.
教学重难点
旧知回顾
切线的性质定理？ 圆的切线垂直于经过切点的.
知识复习
切线的判定定理？
经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线.
两个条件 缺一不可！
课题导入
圆内接四边形的性质？
D
圆的内接四边形的对角互补 .
∴∠BCE= ∠A.
A
C
B
E
探究
以点D为中心旋转直线DE，同时保证BC和DE得
交点落在圆周上，当DE变为圆的切线时：
C
互补来证明BC∥EF.
ED F
证明: 由弦切角定理,得 ∠ADF=ABC+∠2.
又因为 ∠AGC=∠ABC+∠1 ∠1=∠2,
所以 ∠ADF=∠AGC
因此 BC∥EF
A
12
BG
C
ED F
3.已知: 如图,PA,PB分别与⊙O相切于点A和 B,AC是⊙O的直径. 求证: ∠APB=2∠BAC
证明: 连接BC
重点
掌握弦切角的定理，并在几何中应用.
难点
弦切角定理的探究过程及其在几何中 应用.
探究
D
A
C
B
E
∠BCE= ∠A
D （C） E
A B
∠BCE = ∠A
如图，已知△ABC是圆O的内接三角形， CE是圆O的切线，
求证：∠BCE= ∠A.
人教版高中数学选修四教学课件-弦切角的性质
题型一 题型二 题型三
题型一
平行问题
【例1】 如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,☉O经过点A且与 BC切于点D,与AB,AC分别相交于点E,F.求证:EF∥BC.
分析:连接DF,于是∠FDC=∠DAC,根据AD是∠BAC的平分线,有 ∠BAD=∠DAC,而∠BAD与∠EFD对着同一段弧,由此得到∠EFD与 ∠FDC的相等关系,根据内错角相等,可以断定两条直线平行.
题型一 题型二 题型三
证明:连接BD,如图.
∵AD是∠BAC的平分线, ∴∠BAD=∠CAD.
又∠BCD=∠BAD, ∠CBD=∠CAD,
∴∠BCD=∠CBD. ∴BD=CD.
题型一 题型二 题型三
又BE为☉O的切线,
∴∠EBD=∠BCD.
在△BED和△CEB中, ∠EBD=∠ECB,∠BED=∠CEB,
题型一 题型二 题型三
题型二 线段成比例问题
【例2】 已知△ABC内接于☉O,∠BAC的平分线交☉O于点D,CD
的延长线交过点B的切线于点E.
求证:
������������2 ������������2
=
������������������������.
分析:直接证明此等式有一定的难度,可以考虑把它分解成两个 比例式的形式,借助相似三角形的性质得出结论.
又
BD=CD,∴
������������ 2 ������������ 2
=
������������.
������������
反思已知直线与圆相切,证明线段成比得到角相等,再通过三角形相似得到成比例线段.
题型一 题型二 题型三
【变式训练2】 如图,AB为☉O的直径,弦CD∥AB,AE切☉O于点A,
选修4-1第一章2.3弦切角定理
2.3弦切角定理[学习目标]1.理解弦切角定理的证明；2.能熟练应用定理解决相关问题[问题导思]阅读教材第15——16页，思考下列问题1. 什么叫弦切角？弦切角都是锐角吗？2. 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的________；也等于________________的一半.3. 推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也________.4. 看课本15页，弦切角定理的证明，请证明图（3）的情况？5. 课本例5的证明中，为什么有∠ADF=∠ABC+∠2 ?还有其它证法吗？6. 课本例6的证明思路是什么？还有其它证法吗？[自学检测]1.已知一个圆的弦切角等于50°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为________.2. 如右图，AC 与△ABD 的外接圆⊙O 相切于A.(1)若弦切角∠BAC=30º，则的度数= ；∠AOB= ,∠ABO= ;（2）若已知⊙O 的半径为3cm ，弧AB 的长为 cm ，求弦切角∠BAC 的度数 .(3)若AC ⊥BC ，垂足为C ，则扇形OAB 的面积 .（4）若∠C=90º，OA=AB=a,则BC 的长3.如下图，AB 是直径，点D 在AB 的延长线上，BD=OB ，若CD 切⊙O 于C 点，则∠CAB 的度数为 ，∠DCB 的度数为 ，∠ECA 的度数为 .4.如上图，AB 是⊙ O 的弦， AD 是⊙ O 的切线，C 为上任一点，∠ACB=1080，那么∠BAD =______.5.如上图，PA ， PB 切⊙O 于 A ， B 两点，AC ⊥PB ，且与⊙ O 相交于 D ，若∠DBC=220，则∠APB==________.6.如上图，BE 是圆O 的直径，A 为圆O 上一点，过A 作圆O 的切线交BE 的延长线于点C ，若AB ＝AC ，求证：BE=2EC第5题图第6题图7．已知：如下图，∠1=∠2，⊙o 过A ，D 两点且交AB ，AC 于E ，F ，BC 切⊙O 于D ．求证：EF ∥BC ．[当堂训练]1．已知：如下图，△ABC 内接于⊙O ，DC 切⊙O 于C 点，∠1=∠2，则△ABC 为____ 三角形．2．已知：如上图，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，AC 为直径，则图中与∠PAB 相等的角的个数为________.3．已知：如上图，四边形ABCD 内接于⊙O ，EF 切⊙O 于D ，0=800， 0=400，∠ADE 的度数________.4．已知：如上图，BC 是⊙O 直径，EF 切⊙O 于A 点，AD ⊥BC 于D ．求证：AB 平分∠DAE ，AC 平分∠DAF ．5．已知：如图，圆内接四边形ABCD 的AB 边经过圆心，AD ，BC 的延长线相交于E ，过C 点的切线CF ⊥AE 于F ．求证：（1）△ABE 为等腰三角形；（2）若 BC=1cm ，AB=3cm ，求EF 的长．6.如图，已知圆上的弧＝，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明： (1)∠ACE ＝∠BCD ；(2)BC 2＝BE ×CD .第1题图 第2题图 第3题图 第4题图。
人教版高中数学选修4-1《2.4弦切角的性质》
D 化归 A
B
A C
弦切角
E
C
E
∵∠DAC=∠DCE=90° 且 ∠DAB=∠DCB ∴∠BAC= 90°+ ∠DAB = 90°+ ∠DCB = ∠BCE ∴∠BAC = ∠BCE
弦切角性质定理：
弦切角等于它所夹的弧 对的圆周角．
例题分析
例1：如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线 CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D. 求证： AC平分∠BAD． 分析： 要证AC平分∠BAD 即证∠1＝∠2 可证这两角所在的直角三 角形相似。 于是连结BC，得Rt△ACB
2.4弦切角的性质
复习回顾
下图圆中的∠BAC和∠BOC分别是什么角？
圆周角
圆周角定理 : 圆上一条弧所 对的圆周角等于其所对圆心 角的一半.
A
圆心角
O B
C
p
B
A
p
B A
p
B
A
p
B
A
p
B
A
p B
A
p
B
A
概念解读：
顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的 p 角叫做弦切角。(如∠BPA)
B O 1
∟
2
A D
E
C
由弦切角性质 ∠ACD＝∠B ，故结论得证
解：连结BC ∵ AD⊥CE， AB是⊙O的 直径 ∴∠BCA=∠ADC=90°
B O 1 2 D A
又∵CD与圆相切
由弦切角性质∠ACD=∠ABC ∴RT△ACB ~ RT△ADB
E
C
∴∠1=∠2
∴AC平分∠BAD
思路二： 连结OC
B O
3
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§2.3 弦切角定理
【学习目标】1.理解弦切角定理的证明；2.能熟练应用定理解决相关问题
【自主学习】阅读教材第15——16页，思考下列问题
1. 什么叫弦切角？弦切角都是锐角吗？
2. 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的________；也等于________________的一半.
3. 推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也________.
4. 阅读并思考P15页弦切角定理的证明过程，请证明图（3）的情况.
【预习检测】
1.已知一个圆的弦切角等于50°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为
________.
2.AC 与△ABD 的外接圆⊙O 相切于A.若弦切角∠BAC=30º，则
的度数= ；∠AOB= ,∠ABO= ;若已知⊙O 的
半径为3cm ，弧AB 的长为 cm ，求弦切角∠BAC 的度数 .
若AC ⊥BC ，垂足为 C ，
AC=
, 则扇形OAB 的面
积 .若∠C=90º，OA=AB=a,则BC 的长
3.如下图，AB 是直径，点D 在AB 的延长线上，BD=OB ，若CD 切⊙O 于C 点，则∠CAB 的度
数为 ，∠DCB 的度数为 ，∠ECA 的度数为 .
4.如上图，AB 是⊙ O 的弦， AD 是⊙ O 的切线，C 为上任一点，∠ACB=1080
，那么∠BAD =______.
5.如上图，PA ， PB 切⊙O 于 A ， B 两点，AC ⊥PB ，且与⊙ O 相交于 D ，若∠DBC=220，则
∠APB=________.
6.如右图所示，已知∠1=∠2，EF 切圆于点D ，求证：BC ‖EF.
第5题图 第6
题图 A B G D C 12E F
5. 如图，PA ，PB 分别与圆O 相切于点A 和B ，AC 是圆O 的直径，求证：∠APB=2∠BAC .
【直击高考】
1．已知：如下图，△ABC 内接于⊙O ，DC 切⊙O 于C 点，∠1=∠2，则△ABC 为____ 三角形．
2．已知：如上图，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，AC 为直径，则图中与∠PAB 相等的角的个数为________.
3．已知：如上图，四边形ABCD 内接于⊙O ，EF 切⊙O 于D ，0=800，
0=400， ∠ADE 的度数________.
4．已知：如图，圆内接四边形ABCD 的AB 边经过圆心，AD ，BC 的
延长线相交于E ，过C 点的切线CF ⊥AE 于F ．求证：
（1）△ABE 为等腰三角形；
（2）若 BC=1cm ，AB=3cm ，求EF 的长．
第1题图 第2题图 第3题图
P。