湘教版-数学-七年级上册-知识拓展：方程的历史
方程悠久的历史
● 回顾、拓展
等式有哪些基本性质？和你的同伴交流一下。 ▲ 等式的基本性质：
1.等式的两边都加上（或减去）相同 的一个数或整 式， 所得结果 仍是等，式即
如果 a = b,那么 a±c = b±c. 2.等式的两边 都乘以（或除以） 相同的一个数 （除数不为0），所得结果仍是等式 ，即
如果 a = b,那么 ac = bc, a b (c 0). cc
▲ 求方程解的过程叫做解方程。
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▲ 问题1 在参加2008年北京奥运会的中国代表队中，
羽毛球运动员有19人，比跳水运动员的2倍少1人。参加 奥运会的跳水运动员有多少人？
解 设参加奥运会的跳水运动员有 x 人，则跳水运 动员的2倍少1人用含 x的代数式可表示为 (2x－1) 人，根据题意，可得方程
羽毛球运动员有19人，比跳水运动员的2倍少1人。参加 奥运会的跳水运动员有多少人？
解 设参加奥运会的跳水运动员有 x 人，则跳水运动员的2倍 少1人用含 x的代数式可表示为 (2x－1) 人，
根据题意，可得方程
2x－1= 19
▲ 问题2 王玲今年12岁，她爸爸36岁，问再过几年，
她爸爸年龄是她年龄的2倍?
方程悠久的历史
你知道吗？现存世界上最古老的方程出现在英国
考古学家兰德1858年找到的一份古埃及人的“纸草书”
上，经破译，上面都是一些与方程有关的问题，共85
个。如“啊哈，是它的全部，它的1 是19”；“一堆，
它的 2 ，1 ，1 ，共是97 ”等。
7
3 27
在我国，“方程”一词最早出现于东汉初年的数
合并，得
5x=4
2.如果﹣8x=4,那么x= 1
2
3.如3x=2x+1,那么x=1
初中数学新湘教版七年级上册3.4第1课时 一元一次方程的应用(一)教学课件2024秋
解：(2)
设长方形的宽为x
cm，则长为
3 2
x
cm.
根据题意，得
解得
2x+2×
3 2
x=60
x=12
答：该长方形的宽为12 cm.
【课本P113 练习 第2题】
2. 足球比赛的记分规则是：胜一场得3分，平一场得 1分，负一场得0分. 某队在某次比赛中共踢14场球， 负了5场，共得19分. 问：该队共胜多少场？
练一练
1.运动场的跑道一圈长400 m. 小健练习骑自行车，平均
每分钟骑350 m；小康练习跑步，平均每分钟跑250 m.
两人从同一处同时反向出发，经过多少时间首次相遇?
解:设经过 x min，两人首次相遇.
根据题意，得
350x+250x=400
解得
x=23
答:经过
2 3
min，两人首次相遇.
例1 某房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子 共16把，如果椅子腿数与凳子腿数的和为60， 试问：有几张椅子和几把凳子？
例2 刺绣是我国民间传统手工艺之一. 我国刺绣 主要有湘绣、苏绣、蜀绣、粤绣四大类. 若刺绣 一件作品，甲单独绣需要15天才能完成，乙单 独绣需要12天才能完成. 现在甲先单独绣1天， 接着乙又单独绣4天，剩下的工作由甲、乙两人 合绣. 试问：再合绣多少天可以完成这件作品？
题中有什么等量关系？ 甲完成的工作量+乙完成的工作量=总工作量
分析：题目中的等量关系： 椅子数＋凳子数＝16， 椅子腿数＋凳子腿数＝60 .
例1 某房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子
共16把，如果椅子腿数与凳子腿数的和为60，
试问：有几张椅子和几把凳子？
解：设有x张椅子，则有(16-x)把凳子. 根据题意，得
2022年新湘教版七年级数学上知识点总结
新湘教版七年级数学上册知识点总结第一章：有理数总复习一、有理数旳基本概念1.正数：不小于0旳数叫做正数；例如：3， 32，0.32负数：不不小于0旳数叫做负数。
例如：51,04.0,2---备注：在正数前面加“-”旳数是负数；“0”既不是正数，也不是负数。
（我们把正数和0统称为非负数）2.有理数：整数和分数统称有理数。
（有理数是指有限小数和无限循环小数。
牢记：不是有理数π）3.数轴：规定了原点、正方向和单位长度旳直线。
性质：（1）在数轴上表达旳两个数，右边旳数总比左边旳数大；（2）正数都不小于0,负数都不不小于0；正数不小于一切负数；（3）所有有理数都可以用数轴上旳点表达。
4.相反数：只有符号不同旳两个数，其中一种是另一种旳相反数。
例如：5与－5 。
性质：（1）数a 旳相反数是-a （a 是任意一种有理数） 。
例如： )1()1+-+x x 的相反数是（（2）0旳相反数是0；（3）若a 、b 互为相反数，则a+b=0；5.倒数 ：乘积是1旳两个数互为倒数 。
性质：（1）a 旳倒数是（a ≠0）； （2）0没有倒数 ；（3）若a 与b 互为倒数，则ab=1；6、倒数与相反数旳区别和联系：（1）a 与-a 互为相反数； a 与a1（a ≠ 0）互为倒数； （2）符号上：互为相反数（除0外）旳两数旳符号相反；互为倒数旳两数符号相似；（3）a 、b 互为相反数，则 a+b=0；a 、b 互为倒数则 ab=1；（4）相反数是自身旳数是0，倒数是自身旳数是±1 。
7.绝对值：一种数a 旳绝对值就是数轴上表达数a 旳点与原点旳距离。
性质：（1）数a 旳绝对值记作︱a ︱。
例如：1212－的绝对值表示为-（2）若a ＞0，则︱a ︱= a ；即正数旳绝对值是它自身。
若a ＜0，则︱a ︱= -a ；负数旳绝对值是它旳相反数；若a =0，则︱a ︱=0；0旳绝对值是0.（3） 对任何有理数a,总有︱a ︱≥0.8.有理数大小旳比较:（1）可通过数轴比较：在数轴上旳两个数，右边旳数总比左边旳数大；正数都不小于0，负数都不不小于0；正数不小于一切负数；（2）两个负数，绝对值大旳反而小。
3.解带括号的方程课件湘教版数学七年级上册
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合作探究
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课堂总结
3.当x为何值时，代数式2(x2－1)－x2的值比代数式x2＋3x－2的值大6.
解：依题意得 2( x2－1 )－x2－( x2＋3x－2 ) ＝6，
去括号，得 2x2－2－x2－x2－3x＋2＝6，
移项、合并同类项，得
－3x＝6，
系数化为1，得
x＝－2.
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课堂总结
解含有括号的一 元一次方程
去括号 移项 合并同类项 ④系数化1
怎么解这个带 有括号的方程？
解：去括号，得
6x + 288-24x = 108
移项，得6x-24x=108-88合并同类项，得 -18x=-180
方程两边同除以-18，得 x=10
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探究 解含有括号的一元一次方程
小组讨论2：通过以上解方程的过程，你能总结出解含有括号的一元一次方 程的一般步骤吗？
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讨论3：小组间相互讨论说说去括号的过程需要注意些什么呢？
① 如果括号前面是“ + ”号，括号里各项不变号； ② 如果括号前面是“ – ”号，括号里各项都改变符号； ③ 在去括号时，括号前面的因数要与括号里面的每一项都要相乘.
学习目标
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叉，三头六臂是哪吒，三十六头难分辨，手臂缠绕百零八，试向看官问一句，
几个夜叉几哪吒？”
哪吒 设有x个哪吒，则有_(_3_6_-_3_x_)_个夜叉，
夜叉
回眸“方程”的发展历程
回眸“方程”的发展历程作者：吴秀兰来源：《初中生世界·七年级》2019年第11期代数中引进未知数，具有划时代的意义，犹如远古时代的火、航海时代的指南针、工业革命时期的蒸汽机。
方程作为人类思想的一次飞跃，是继算术思想之后的又一重要的数学思想，折射出人类的智慧。
今天吴老师带着同学们一起坐上时光机，穿越到古代，看看方程的发展历程。
方程是代数史中重要的研究课题之一，它最早出现于我国的《九章算術》中。
这里的“方程”其实是指一次方程组。
例如：求解三元一次方程组：[3x+2y+z=39，①2x+3y+z=34，; ; ; ②x+2y+3z=26。
③]《九章算术》没有提出表示未知数的符号，而是用算筹将未知数的系数和常数项排列成一个（长）方阵（如下图），故称为“方程”。
在世界数学史上，对方程的原始记载有着不同的形式。
约3600多年前，古埃及人写在纸草书上的数学问题就涉及了含有未知数的等式。
公元825年左右，数学家花拉子米为研究方程，写过一本《对消与还原》，书里详细介绍了方程的解法——还原与对消，即移项与合并同类项。
宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数进而建立方程，这种方法的代表作是数学家李冶写的《测圆海镜》。
书中的“立天元一”相当于“设未知数”，所以在简称方程时，将未知数称为“元”，如含一个未知数的方程叫“一元方程”，一元一次方程中的元就来自天元术。
到了17世纪，欧洲数学家韦达完成了数学的符号化。
法国数学家笛卡尔最早提出用字母来表示未知数，把字母和普通数字同样看待，用运算符号和等号把字母与数字连接起来，就形成了含有未知数的等式。
后来经过不断简化和改进，方程逐渐演变成现在的表达形式，例如6x+8=20，5x+2=10，x-5=2等，才有我们今天“方程”的符号化系统。
随着数学研究范围的不断扩充，方程被普遍使用，它的作用越来越大。
列算式解应用题用的是小学的逆向思维;列方程解应用题运用的是正向思维，可以直接快速解决问题。
完整版)新湘教版七年级数学上知识点总结
完整版)新湘教版七年级数学上知识点总结Chapter 1: Review of nal Numbers in Grade 7 XXXI。
Basic Concepts of nal Numbers1.Positive Numbers: Numbers greater than 0 are called positive numbers。
such as 3.3.5.and 0.32.Negative Numbers: Numbers less than 0 are called negative numbers。
such as -2.-0.04.and -1/5.Note: A number with a "-" sign in front of a positive number is a negative number。
"0" is neither positive nor negative。
(We collectively refer to positive and non-negative numbers as non-negative numbers.)2.nal N umbers: XXX: π XXX.)3.Number line: A straight line with an origin。
a positive n。
and a unit length.Properties: (1) Two numbers represented on the number line。
the number on the right is always greater than the number on the left。
(2) Positive numbers are greater than 0.negative numbers are less than 0.and positive numbers are greater than all negative numbers。
七年级数学上册 第3章 一元一次方程 3.4 一元一次方程模型的应用教案 (新版)湘教版-(新版)湘
3.4一元一次方程模型的应用（第1课时）【教学目标】知识与技能掌握一元一次方程解简单应用题的方法和步骤，并能解答一元一次方程的和、差、倍分问题的简单应用题.过程与方法通过列方程解应用题，提高分析问题、解决问题的能力.情感态度理解和体会数学建模思想在实际问题中的应用，形成用数学知识解决问题的意识.教学重点找出等量关系，列出方程.教学难点找出等量关系，列出方程.【教学过程】一、情景导入，初步认知，我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识，那么，一个实际问题能否应用一元一次方程来解决，若能解决，怎样解?用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较有什么优越性?某数的3倍减2等于它与4的和，求某数.(用算术方法解由学生回答)解:(4+2)÷(3-1)=3答:某数为3.如果设某数为x，根据题意，其数学表达式为3x-2=x+4此式恰是关于x的一元一次方程.解得x=3.上述两种解法，很明显算术方法不易思考，而应用设未知数，列出方程并通过解一元一次方程求得应用题的解有化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一.2.我们知道方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一个相等的关系.对于任何一个应用题中所提供的条件应首先找出一个相等的关系，然后将这个相等的关系表示成方程.下面我们通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤.【教学说明】采用提问的形式，方法与方程解决实际问题的方法对比，让学生明白方程的优越性.二、思考探究，获取新知1.探究:某湿地公园举行观鸟活动，其门票价格如下，全价票为20元/人，半价票为10元/人.该公园共售出1 200X门票，得总票款为20 000元，问：全价票和半价票分别售出多少X?(1)在此问题中，有何等量关系?全价票款+半价票款=总票款.(2)怎样设未知数?设售出全价票xX，则售出半价票(1 200-x)X.(3)根据等量关系列出方程，并求解.x·20+(1 200-x)·10=20 000解得:x=800所以半价票为1 200-800=400(X)即全价票售出800X，半价票售出400X.【教学说明】让学生体会找相等关系是列方程的关键所在.，你能总结出一元一次方程解实际问题的一般步骤吗?【归纳结论】一元一次方程解实际问题的一般步骤为:【教学说明】培养学生观察、概括及语言表达能力.三、运用新知，深化理解1.教材P98例1.，，今年的是去年的2倍，这三年的总产值为550万元，前年的产值是多少?解:设前年的产值为x，，，则x+1.5x+2×1.5x=550，解得x=100.答:前年的产值为100万元.3.某面粉仓库存放的面粉运出15%后，还剩余42 500 kg，这个仓库原来有多少面粉?分析:题中给出的已知量为仓库中存放的面粉运出15%；仓库中还剩余42 500 kg.未知量为仓库中原来有多少面粉.已知量与未知量之间的一个相等关系:原来质量-运出质量=剩余质量设原来有x千克面粉，运出15%x千克，还剩余42 500千克.解:设原来有x千克面粉，那么运出了15%x千克，根据题意，得x-15%·x=42 500即x-x=42 500x=42 500解得x=50 000.经检验，符合题意.答:原来有50 000千克面粉.，生产特种螺栓和螺母，一个螺栓的两头均套上一个螺母配成一套，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，问：多少工人生产螺栓，多少工人生产螺母，才能使一天所生产的螺栓和螺母正好配套?解:设x名工人生产螺栓，(28-x)名工人生产螺母，列方程得2×12x=18(28-x).解得x=12.生产螺母的人数为28-x=16.答:12名工人生产螺栓，16名工人生产螺母，才能使一天所生产的螺栓和螺母正好配套. ，蜻蜓有6条腿，现在有蜻蜓、蜘蛛若干只，它们共有270条腿，且蜻蜓的只数比蜘蛛的2倍少5，问：蜘蛛、蜻蜓分别有多少只?解:设有蜘蛛x只，蜻蜓有(2x-5)只，则8x+6(2x-5)=270，解方程得x=15，2x-5=25.答:蜘蛛有15只，蜻蜓有25只.，，使在甲处的人数为在乙处的人数的2倍，应分别调往甲、乙两处多少人?分析:(1)审题:从外处共调20人去支援.若设调往甲处的是x人，则调往乙处的是多少人?一处增加x人，另一处便增加(20-x)人.看下表:调动前调动后甲处27人(27+x)人乙处19人[19+(20-x)]调人后甲处人数=调人后乙处人数的2倍.解:设应该调往甲处x人，则，得27+x=2[19+(20-x)].解方程得x=17.20-x=20-17=3.经检验，符合题意.答:应调往甲处17人，调往乙处3人.，如果由一个人单独做要用30h，现先安排一部分人用1h整理，随后又增加6人和他们一起又做了2h，，那么先安排整理的人员有多少?解:设先安排整理的人员有x人，依题意，得+=1解得x=6.经检验，符合题意.答:先安排整理的人员有6人.【教学说明】通过练习，巩固本节课所学的内容.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，再以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.【课后作业】布置作业:教材“习题3.4”中第4、7、8题.3.4一元一次方程模型的应用（第2课时）【教学目标】知识与技能学会用方程表示实际问题中的数量关系和变化规律.过程与方法通过探索实际问题，培养学生应用数学的意识，体会数学的价值.情感态度培养学生观察、分析、推理能力，渗透建模思想、方程思想、分类讨论思想.教学重点正确地分析出应用题中的已知数、未知数.教学难点能够准确地找出应用题的等量关系.【教学过程】一、情景导入，初步认知某超市把一种羊毛衫按进价提高50%标价，再按8折(标价的80%)出售，这样该超市每卖出一件羊毛衫就可盈利80元.这种羊毛衫的进价是多少元?如果按6折出售，该超市还盈利吗?为什么?【教学说明】通过学生进行实际调查，激发学生的学习兴趣，使每一名学生都成为知识的探索者、创新者，渗透方程思想、建模思想，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识.二、思考探究，获取新知1.探究:某商店将某型号彩电按标价的八折出售，则此时每台彩电的利润率是5%，已知该型号彩电的进价为每台4 000元，求该型号彩电的标价.(1)在此问题中，有何等量关系?售价-进价=利润.(2)怎样设未知数?设彩电标价为每台x元，则售价为0.8x元.(3)根据等量关系列出方程，并求解.0.8x-4 000=4 000×5%解得:x=5 250即:彩电的标价为每台5 250元.2.交流讨论:在销售问题中进价、售价、利润、利润率的关系式有哪些?【归纳结论】销售问题中的等量关系式有:①商品利润=商品售价-商品进价②商品售价=商品标价×折扣数③×100%=商品利润率④商品售价=商品进价×(1+利润率)，杨明将一笔钱存入某银行，定期3年，年利率是5%，若到期后取出，他可得到本息和23 000元，求杨明存入的本金是多少元.(1)引导学生分析、解决问题.(2)在存款问题中有哪些等量关系式?【归纳结论】存款问题中的等量关系式有:①利息=本金×年利率×年数②本息和=本金+利息【教学说明】明确解决销售问题的关键是利用销售问题的公式，，要好好把握各种问题的数量关系，可以作为一种知识的储备!三、运用新知，深化理解，这件衣服是按标价的3折出售的，这件衣服的标价是多少元?解:设这件羊毛衫的标价是x元，根据题意，得x=69.解得x=230答:这件衣服的标价是230元.，每件可盈利2元，为了支援山区，现在按原售价的7折出售给一个山区学校，:该文具每件的进价是多少元?基本关系式:进价=标价×折数-利润解:设该文具每件的进价是x元.根据题意得x= (x+2)-0.2.解得x=4.答:该文具每件的进价是4元.，标价为400元，商店要求利润率不低于25%的价格出售，求:售货员最低可以打几折出售此商品?解:设打x折出售此商品.400x-200=200×25%则x=0.625.答:售货员最低可以打6.25折出售此商品.4.某企业存入银行甲、乙两种不同性质的存款20万元.甲种存款的年利率为5.5%，乙种存款的年利率为4.5%，该企业一年可获利9500元，求甲、乙两种存款分别是多少元?解:设甲种存款为x元，依题意，得5.5%x+(200 000-x)×4.5%=9 500，解得:x=50 000，乙存款:200 000-50 000=150 000(元).答:甲存款50 000元，乙存款150 000元.，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打8折，，那么书包和文具盒的标价分别是多少元?解:设一个文具盒标价为x元，则一个书包标价为(3x-6)元，依题意，得解此方程，得x=18，经检验，符合题意.3x-6=48(元)答:书包和文具盒的标价分别是48元/个，18元/个.，其中一个亏本20%，另一个盈利60%.请你计算一下，在这次买卖中，这家商店是赚还是赔?若赚，共赚了多少元?若赔，赔了多少元?解:设一个价钱为x元，另一个价钱为y元，依题意得:x(1+60%)=64，y(1-20%)=64，所以x=40，y=80，则64×2-(x+y)=128-120=8.故盈利8元.答:在这次买卖中，这家商店是赚了，共赚了8元.，电脑价格不断下降，某一品牌电脑，每台先降价m元，后连续两次降价，每次降价25%，现售价为n元，那么该电脑原来每台售价是多少元?解:设原来的售价是x元.根据等式列方程得:(1-25%)2(x-m)=n，解得x=n+m，答:原来每台的售价是(n+m)元.【教学说明】通过练习提高学生思维的广度；培养学生的发散思维和创新精神.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，再以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.【课后作业】布置作业:教材“习题3.4”中第1、2题.3.4一元一次方程模型的应用(第3课时)【教学目标】知识与技能进一步体会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力. 过程与方法通过自主探究与小组合作交流，能合理清晰地表达自己的思维过程，掌握根据具体问题中的数量关系，列出方程，感悟方程是刻画现实世界的一个有效模型，训练学生运用新知识解决实际问题的能力.情感态度进一步体会数学中的化归思想，引导学生关注生活实际，建立数学应用意识，热爱数学. 教学重点利用线形示意图分析行程问题中的数量关系.教学难点找出问题中的等量关系.【教学过程】一、情景导入，初步认知在行程问题中，最基本的等量关系式是什么?【教学说明】为本节课的教学做准备.二、思考探究，获取新知1.探究:星期天早晨，小斌和小强分别骑自行车从家里出发去参观雷锋纪念馆，已知他俩的家到纪念馆的路程相等，小斌每小时骑10km，他在上午10时到达；小强每小时骑15km，他在上午9时30分到达，求他们的家到雷锋纪念馆的路程.【教学说明】引导学生分析题意，找出题目中的等量关系式，并列出方程解答.2.讨论:在行程问题中还存在什么样的等量关系式?【归纳结论】相遇问题的基本关系:各路程之和=总路程.追及问题的基本关系:追及者的路程-被追者的路程=相距的路程.3.探究:为鼓励居民节约用水，某市出台了新的家庭用水收费标准，规定:所交水费分标准内水费与超标部分水费两部分，，，某家庭6月份用水12t，需缴水费27.44元.求该市规定的家庭月标准用水量.本问题首先要分析所缴的，因为1.96×12=23.52(元)，，所以含有超标部分的水费，则等量关系式为:月标准内水费+超标部分水费=该月所缴的水费设月标准用水量为x t，根据等量关系，得解得:x=8所以，该市家庭月标准用水量是8吨.，我们先要确定所给的数据所处的分段，再根据它的分段合理地解决.，由小敏、小聪两人负责选购圆珠笔、钢笔共22支，，看到圆珠笔每支5元，钢笔每支6元.(1)若他们购买圆珠笔、钢笔刚好用去120元，则圆珠笔、钢笔分别买了多少支?(2)若购圆珠笔可按9折付款，钢笔可按8折付款，在所需费用不超过100元的前提下，请你写出一种选购方案.解:(1)设圆珠笔买了x 支，则钢笔买了(22-x)支，根据题意得:5x+6(22-x)=120，解得:x=12.所以22-x=22-12=10.答:圆珠笔、钢笔分别买了12支、10支.(2)是一道方案设计题，也是一道开放型题，答案不唯一，根据题意，圆珠笔的单价为109×5=4.5(元)；钢笔的单价为108×6=4.8(元)，由于圆珠笔的单价小而钢笔的单价大，因此尽量圆珠笔多买些.①当买圆珠笔19支，钢笔3支时，19×4.5+3×4.8=99.9(元)<100(元)满足条件；②当买圆珠笔20支，钢笔2支时，20×4.5+2×4.8=99.6(元)<100(元)满足条件；③当买圆珠笔21支，钢笔1支时，21×4.5+1×4.8=99.3(元)<100(元)满足条件.故有三种方案，圆珠笔19支，钢笔3支或圆珠笔20支，钢笔2支或圆珠笔21支，钢笔1支.【教学说明】 这一层次及时鼓励学生通过观察、分析、小组讨论，找出其中的等量关系，并尝试用文字语言表述出来，有利于提高学生的分析问题能力和语言表达能力.三、运用新知，深化理解1.教材P101例3、P103例4.2.某城市出租车起步价为8元(3km 以内)，以后每千米2元(不足1km 按1km 算)，某人乘出租车花费20元，那么他大概行驶了多远?解:设这个人大概行驶了xkm ，根据题意得:8+2(x-3)=20解得:x=9答:这个人大概行驶9km.3.甲、乙两列火车的长为144m 和180m ，，从相遇到全部错开需9s ，问：两车的速度分别是多少?解:设乙车每秒行驶x m ，则甲车每秒行驶(x+4) m ，根据题意得:9(x+x+4)=144+180，整理得:2x=32，解得:x=16，x+4=20.答:甲车每秒行驶20m ，乙车每秒行驶16m.4.甲、乙两地的路程为360千米，一列快车从乙站开出，每小时行72千米；一列慢车从甲站开出，每小时行48千米.(1)若两列火车同时开出，相向而行，经过多长时间两车相遇?(2)若快车先开25分钟，两车相向而行，慢车行驶了多长时间两车相遇?解:(1)设两车同时开出相向而行，经过x 小时两车相遇，即72x+48x=360，解得:x=3，答:经过3小时两车相遇.(2)设慢车行驶y 小时两车相遇.根据题意有:48y+72(y+6025)=360， 解得y=411. 答:慢车行驶了411小时两车相遇. ，用气量如果不超过60m 3，；如果超过60m 3，为，求该用户10月份应缴的煤气费是多少元.解:由10月份的煤气费平均每立方米为，可得10月份用气量一定超过60 m 3，设10月份用了煤气x 立方米，由题意得:60×0.8+(x -60)×1.2=0.88×x，解得:x=75，则所缴的电费为75×0.88=66(元).答:10月份应缴的煤气费是66元.6.某水果批发市场香蕉的价格如下表:二次分别购买香蕉多少千克?分析:由于X强两次共购买香蕉50千克(第二次多于第一次)，因此第二次购买香蕉多于25千克，第一次少于25千克.因为50千克香蕉共付264元，，所以第一次购买香蕉的价格必然为6元/千克，即少于20千克，第二次购买的香蕉价格可能是5元，也可能是4元.我们分两种情况讨论即可.解:(1)当第一次购买香蕉少于20千克，第二次购买香蕉20千克以上但不超过40千克时，设第一次购买x千克香蕉，则第二次购买(50-x)千克香蕉，根据题意，得:6x+5(50-x)=264解得:x=1450-14=36(千克)(2)当第一次购买香蕉少于20千克，第二次购买香蕉超过40千克时，设第一次购买x千克香蕉，则第二次购买(50-x)千克香蕉，根据题意，得:6x+4(50-x)=264解得:x=32(不符合题意)答:第一次购买14千克香蕉，第二次购买36千克香蕉.信公司开设了两种业务:一是“全球通”，使用者先缴纳50元月租费，；二是“快捷通”，使用者不缴纳月租费，每通话1分钟付通话费0.60元.(1)小明的爸爸一个月的通话时间约为200分钟，你认为他应选择哪种通讯业务，可使费用较少?请说明理由.(2)当每月通话时间为多少分钟时，两种通讯业务缴纳的费用一样?解:(1)他应选择快捷通业务；使用全球通业务需要50+0.4×200=130(元)，使用快捷通业务需要0.6×200=120(元)，120元<130元，所以他应选择快捷通业务.(2)设当每月通话时间为x分钟时，两种通讯业务缴纳的费用一样.，解得x=250.所以当每月通话时间为250分钟时，两种通讯业务缴纳的费用一样.，在市场上若直接销售，每吨利润为1 000元，经粗加工后销售，每吨利润4 000元，经精加工后销售，，该公司加工厂的生产能力是:如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨，，，公司研制了三种方案:方案一:将蔬菜全部进行粗加工；方案二:尽可能地对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜，在市场上直接出售；方案三:将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并刚好15天完成.如果你是公司经理，你会选择哪一种方案，说说理由.解:方案一:4 000×140=560 000(元)；方案二:15×6×7 000+(140-15×6)×1 000=680 000(元)；方案三:设精加工x吨，则+=15；解得:x=60，7 000×60+4 000×(140-60)=740 000(元)；答:选择第三种方案.【教学说明】通过练习，检测学生的掌握情况；教师做适当地提示.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，再以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.【课后作业】布置作业:教材“习题3.4”中第5、6、7题.。
湘教版七年级上册数学知识点归纳
湘教版（湖南教育出版社）七年级上册数学的知识点主要包括以下几个方面：
1. 有理数
-有理数的概念，包括正数、负数和零。
-数轴及其上点的表示方法。
-有理数的四则运算及其运算律。
2. 整式的加减
-单项式与多项式的概念。
-同类项的合并。
-整式的加法与减法运算。
3. 一元一次方程
-一元一次方程的定义和解法。
-等式的性质。
-方程的应用题。
4. 几何图形初步
-平面直角坐标系的引入及坐标点的表示。
-线段、射线和直线的基本性质。
-角的种类及其性质。
-三角形的分类及性质。
5. 数据的收集与整理
-数据的收集方法和来源。
-数据的整理，包括分类和制作频数分布表。
-简单的统计图表，如柱状图和折线图的绘制。
6. 比和比例
-比的含义及性质。
-比例的含义及其性质。
-比例尺的概念及其应用。
7. 平面图形的认识
-多边形的性质。
-平行线和垂线的性质。
-相交线形成的角的关系。
这些知识点是七年级上册数学学习的基础，为学生后续学习打下坚实的基础。
在学习过程中，注重理解和掌握概念，并通过大量的练习来巩固和运用所学知识。
3.3 一元一次方程的解法第1课时 课件(湘教版七年级上)
题组二：解有括号的一元一次方程 1.化简(x－1)－(1－x)＋(x＋1)的结果等于( A.3x-3 C.3x-1 B.x-1 D.x-3 )
【解析】选C.(x－1)－(1－x)＋(x＋1)=x－1－1+x＋x＋1= 3x-1.
2.解方程3-(x+6)=-5(x-1)时，去括号正确的是( A.3-x+6=-5x+5 C.3-x+6=-5x-5 B.3-x-6=-5x+5 D.3-x-6=-5x+1
【思考】在方程3x+7=4的两边都减去7，相当于作了如下变形：
观察变形前后的两个方程,发生了什么变化？
提示：方程左边的+7改变符号后，移到了方程的右边.
改变符号 后，从方程的一边移到 【总结】把方程中的某一项_________ 另一边 ，这种变形叫做移项. _______
3.解方程2(x+2)=8.
)
【解析】选B.把原方程的未知项移到左边，已知项移到右边得 4x-6x+3x=5-7.故B正确.
4.下列方程变形正确的是( A.由-2x=6, 得x=3 B.由-3=x＋2, 得x=-3-2
)
C.由-7x＋3=x-3, 得(-7＋1)x=-3-3 D.由5x=2x＋3, 得x=-1 【解析】选B.选项B中，把2从右边移到左边，得-3-2=x，所以 x=-3-2.
【解题技巧】(1)在方程同一侧的移动不是移项. (2)移动某一项时要连同前面的符号一起移动. (3)移项一定要变号，移动不能变号.
3.对方程4x-5=6x-7-3x进行变形正确的是( A.4x=6x+5+7-3x B.4x-6x+3x=5-7 C.4x-6x-3x=5-7 D.4x-6x+3x=-5-7
2024年秋季新湘教版7年级上册数学课件 第3章 1次方程(组) 3.2 第1课时 等式的基本性质
B
C
4.已知 mx = my，下列结论错误的是 （ ） A. x = y B. a + mx = a + my C. mx－y = my－y D. amx = amy
解析：根据等式的性质 1，可知 B、C 正确；根据等式的性质 2，可知 D 正确；根据等式的性质 2，A 选项只有 m ≠ 0 时才成立，故 A 错误，故选 A．
新课导入
思 考
(1)设数a是方程5x=4x-2的解，则5a=4a-2,根据小学所学的等式的基本性质I，两边都减去同一个数4a,得a=-2.因此，-2是方程5x=4x-2的唯一解. 又-2是方程x=-2的唯一解， 因此，方程5x=4x-2与方程x=-2的解相同. 又 5x=4x-2 两边减去4x x=-2.
A
易错提醒：此类判断等式变形是否正确的题型中，尤其注意利用等式的性质 2 两边同除以某个字母参数时，只有这个字母参数确定不为 0 的情况下，等式才成立.
5.根据等式的性质填空，并在后面的括号内上变形的根据． (1)如果－ ＝ ，那么x＝____( )； (2)如果0.4a＝3b，那么a＝____( )．
第3章 一次方程（组）
3.2 等式的基本性质
第1课时 等式的基本性质
学习目标
1. 理解等式的性质.（重点）2. 能正确运用等式的性质进行等式的变形.（难点）
小学已经学习了等式的两个基本性质: 等式的基本性质I 等式两边都加上或减去同一个数，等式两边仍然相等. 等式的基本性质II 等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式两边仍然相等.
y + 5
解 因为 3x = 9y ，由等式的基本性质2可知， 等式两边都除以3，得 即（2）如果 3x = 9y，那么 x =________；
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初中-数学-打印版
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方程的历史
方程﹝Equation﹞是指含有未知数的等式．
早在3600年前，古埃及数学家，莱因特纸草书的作者阿默士已
用一串符号表示一次方程，例如：
以后丢番图、卡拉萨第、卡当、韦达等人各用不同的符号表示方程，
直到1637年，在《几何学》一书中，笛卡儿用
32
92624xxx
0表示
32
926240xxx
．
他把未知数和常数通过有理运算和开方所组成的方程称为「代数方
程」，而「超越方程」则为非代数方程．
我国早期对「方程」一词有自己的含义．如著名数学家刘徽﹝3
世纪﹞所说：「程，课程也．群物众杂，各列有数，总言其实．令每
行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓
之方程」．其中「令每行为率」的意思是按条件列等式．然后再将等
式的系数用算筹布列出一个方阵，称为方程．可见我国古代的「方程」
相当于现在的方程组，在解题方法上更十分相似于现今的矩阵运算．