2015届高考数学总复习课时训练
2015届高考数学总复习 第五章 第五节数列的求和课时精练试题 文(含解析)
1.(2012·佛山二模)设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，且a 1＝10，a 2＝9，那么下列不等式中不成立的是( )A ．a 10＋a 11>0B ．S 21<0C ．a 11＋a 12<0D ．n ＝10时，S n 最大解析：依题意可得d ＝－1，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝11－n ，所以a 10＝1，a 11＝0，a 12＝－1，a 10＋a 11>0，S 21＝21a 11＝0，a 11＋a 12＝－1<0，n ＝10或11时，S n 最大．故选D.答案：D 2．(2013·皖北模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6等于( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．42解析：∵{a n }成等差数列，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也成等差数列． ∴2(S 4－S 2)＝S 2＋(S 6－S 4)．即2×(10－2)＝2＋S 6－10.∴S 6＝24. 故选C. 答案：C3．(2013·江南十校联考)若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为( )A ．1－14nB ．1－12nC.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14nD.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n解析：a n ＝2n －1，设b n ＝1a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n .故选C.答案：C4．(2013·浙江省五校联盟下学期第一次联考)已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10＝( )A ．85B ．135C ．95D ．23解析：由a 2＋a 4＝4得a 3＝2，由a 3＋a 5＝10，得a 4＝5，设公差为d ，则d ＝a 4－a 3＝3，所以a 5＝8，a 6＝11，所以S 10＝a 1＋a 102＝a 5＋a 62＝95.故选C.答案：C5．(2012·北京海淀区模拟)已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5a 2n －5＝22n(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析：由a 5a 2n －5＝22n (n ≥3)，得a 2n ＝22n ，a n >0，则a n ＝2n.所以log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n－1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2.故选C.答案：C6．(2013·西安模拟)数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前n 项和S n >1 020，那么n 的最小值是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：∵1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n－1，∴S n ＝(2＋22＋…＋2n )－n ＝2－2n ＋11－2－n ＝2n ＋1－2－n .若S n >1 020，则2n ＋1－2－n >1 020，∴n ≥10. 故选D. 答案：D7．(2013·福州质检)在正项等比数列{a n }中，已知a 3·a 5＝64，则a 1＋a 7的最小值为( )A ．64B ．32C ．16D ．8解析：a 1＋a 7≥2a 1a 7＝2a 3a 5＝264＝16，当且仅当a 3＝a 5＝8时，a 1＋a 7取得最小值16，此时数列{a n }是常数列．答案：C8．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2，且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A.n 24＋7n 4B.n 23＋5n 3C.n 22＋3n 4D ．n 2＋n解析：设数列的公差为d ，则根据题意得()2＋2d 2＝2()2＋5d ，解得d ＝12或d ＝0(舍去)，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋n n －2×12＝n 24＋7n4.故选A.答案：A9．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为________．解析：∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120.答案：12010．观察下表： 12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10 …则第________行的各数之和等于2 0092.答案：1 00511．(2012·汕头模拟)一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所示．若按照这种规律依次增加一定数量的宝石，则第5件工艺品所用的宝石数为______颗；第n 件工艺品所用的宝石数为______________颗(结果用n 表示)．答案：66 2n 2＋3n ＋112．(2013·苏州模拟)定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，若数列{a n }满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 122 1＝1且⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 3a n a n ＋1＝12(n ∈N *)，则a 3＝________，数列{a n }的通项公式为a n ＝________.解析：由题意得a 1－1＝1,3a n ＋1－3a n ＝12即a 1＝2，a n ＋1－a n ＝4. ∴{a n }是以2为首项，4为公差的等差数列， ∴a n ＝2＋4(n －1)＝4n －2，a 3＝4×3－2＝10. 答案：10 4n －213．(2013·佛山一模)数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋1－2，数列{b n }是首项为a 1，公差为d (d ≠0)的等差数列，且b 1，b 3，b 11成等比数列．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝b na n，求数列{c n }的前n 项和T n .解析：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝2n，又a 1＝S 1＝21＋1－2＝2，也满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n.b 1＝a 1＝2，设公差为d ，由b 1，b 3，b 11成等比数列，得(2＋2d )2＝2×(2＋10d )，化为d 2－3d ＝0. 解得d ＝0(舍去)或d ＝3，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3n －1(n ∈N *)．(2)由(1)可得C n ＝b n a n ＝3n －12n ，则T n ＝221＋522＋823＋…＋3n －12n ，∴2T n ＝2＋521＋822＋…＋3n －12n －1，两式相减得T n ＝2＋321＋322＋…＋32n －1－3n －12n ，＝2＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－3n －12n ＝5－3n ＋52n .14．(2013·河南六市第二次联考文改编)在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1，a 4，a 8成等比数列．(1)已知数列{a n }的前6项和为23，求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n a n ＋1，且数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n ＝19－1n ＋9，求数列{a n }的公差．解析：设数列{a n }的公差为d ，由a 1，a 4，a 8成等比数列可得a 24＝a 1a 8，即(a 1＋3d )2＝a 1(a 1＋7d )，所以a 21＋6a 1d ＋9d 2＝a 21＋7a 1d ，而d ≠0， 所以a 1＝9d .(1)由数列{a n }的前6项和为23，可得S 6＝6a 1＋6×52d ＝23，即6a 1＋15d ＝23，故d ＝13，a 1＝3，故数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)×13＝13(n ＋8)(n ∈N *)．(2)b n ＝1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为T n ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫19d －19d ＋nd ＝1d 219－1n ＋9＝19－1n ＋9， 所以d 2＝1，即d ＝1或d ＝－1. 15．(2012·东莞一模)已知函数f (x )＝log 3(ax ＋b )的图象经过点A (2,1)和B (5,2)，记a n ＝3f (n )(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n2n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若T n ＜m (m ∈Z )对n ∈N *恒成立，求m 的最小值．解析：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ log 3a ＋b ＝1，log 3a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1， 所以f (x )＝log 3(2x －1)，a n ＝3log 3(2n －1) ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)得b n ＝2n －12n ，所以T n ＝121＋322＋523＋…＋2n －32n －1＋2n －12n ，①12T n ＝122＋323＋…＋2n －52n －1＋2n －32n ＋2n －12n ＋1.② ①－②得 12T n ＝121＋222＋223＋…＋22n －1＋22n －2n －12n ＋1＝121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋122＋…＋12n －2＋12n －1－2n －12n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1. 所以T n ＝3－12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，设f (n )＝2n ＋32n (n ∈N *)，则由f n ＋fn ＝2n ＋52n ＋12n ＋32n ＝2n ＋5n ＋＝12＋12n ＋3≤12＋15＜1，得f (n )＝2n ＋32n (n ∈N *)随n 的增大而减小，T n 随n 的增大而增大． 所以当n →＋∞时，T n →3，又T n ＜m (m ∈Z )恒成立，所以m 的最小值为3.。
2015届高考数学总复习第五章数列第5课时数列的简单应用教学案(含最新模拟、试题改编)
第五章 数列第5课时 数列的简单应用第六章(对应学生用书(文)、(理)79～81页)1. (必修5P 14例4改编)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，这个剧场共有________个座位．答案：8202. 从2007年1月2日起，每年1月2日到银行存入一万元定期储蓄，若年利率为p ，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，到2013年1月1日将所有存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数为________万元．答案：1p[(1＋p)7－(1＋p)]3. 某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按照此规律，6小时后，细胞的存活数是________．答案：654. 办公大楼共有14层，现每一层派一人集中到第k 层开会，当这14位参加会议的人员上下楼梯所走路程的总和最小时，k ＝________．答案：7或8数列应用题常见模型 (1) 银行储蓄单利公式利息按单利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和y ＝a(1＋rx)． (2) 银行储蓄复利公式按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和y ＝a(1＋r)x (x ∈N 且x>1)．(3) 产值模型原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，对于时间x 的总产值y ＝N(1＋p)x (x ∈N 且x>1)．(4)分期付款模型设某商品一次性付款的金额为a 元，以分期付款的形式等额地分成n 次付清，每期期末所付款是x 元，每期利率为r ，则x ＝ar （1＋r ）n（1＋r ）－1(n ∈N 且n>1)．[备课札记]题型1 以等差数列为模型的实际问题例1 某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．(1) 求该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用y(万元)；(2) 为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？解：(1) y ＝100＋0.5x ＋（2＋4＋6＋…＋2x ）x，即y ＝x ＋100x＋1.5(x ＞0)． (2) 由均值不等式得 y ＝x ＋100x＋1.5≥2x·100x＋1.5＝21.5， 当且仅当x ＝100x ，即x ＝10时取到等号，故该企业10年后需要重新更换新设备． 变式训练(2013·江西文)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n ∈N *)为________．答案：6解析：S n ＝2×（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2≥100，n ≥6.题型2 以等比数列为模型的实际问题例2 水土流失是我国西部大开发中最突出的问题，全国9 100万亩坡度为25°以上的坡耕地需退耕还林，其中西部占70%，2002年国家确定在西部地区退耕还林面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增12%.(1) 试问，从2002年起到哪一年西部地区基本上解决退耕还林问题？(2) 为支持退耕还林工作，国家财政补助农民每亩300斤粮食，每斤粮食按0.7元计算，并且每亩退耕地每年补助20元，试问到西部地区基本解决退耕还林问题时，国家财政共需支付约多少亿元？解：(1) 设2002年起经x 年西部地区基本上解决退耕还林问题．依题意，得515＋515×(1＋12%)＋515×(1＋12%)2＋…＋515×(1＋12%)x －1＝9 100×70%，即515×[1＋1.12＋1.122＋…＋1.12x －1]＝6 370，1－1.12x －1×1.121－1.12＝6 370515＝1 274103 1.12x －10.12＝1 274103， 整理得1.12x ≈2.484 3x ≈log 1.122.484 3＝lg2.484 3lg1.12≈0.359 20.049 2≈8.03.又x ∈N ，故从2002年起到2009年年底西部地区基本解决退耕还林问题．(2) 设到西部地区基本解决退耕还林问题时国家共需支付y 亿元． 首批退耕地国家应支付：515×104×(300×0.7＋20)×8，第二批退耕地国家应支付：515×104×(1＋20%)×(300×0.7＋20)×7， 第三批退耕地国家应支付：515×104×(1＋20%)×(300×0.7＋20)×6， …最后一批退耕地国家应支付：515×104×(1＋20%)7×(300×0.7＋20)×1. y ＝515×104×（300×0.7＋20）×（8＋7×1.12＋6×1.122＋…＋1×1.127）108，令S ＝8＋7×1.12＋6×1.122＋…＋1×1.127，①1．12S ＝8×1.12＋7×1.122＋6×1.123＋…＋1×1.128，②②－①，得0.12S ＝－8×(1.12＋1.122＋1.123＋…＋1.127)＋1×1.128， 即0.12S ＝－8＋1.12－1.128×1.121－1.12＝－8＋1.129－1.120.12≈－8＋2.773－1.120.12，解得S ≈48.1，故y ≈(515×104×230×48.1)÷108≈569.7亿元．故到西部地区基本解决退耕还林问题国家共需支付约570亿元． 备选变式（教师专享）设C 1、C 2、…、C n 、…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线y ＝33x 相切，对每一个正整数n ，圆C n 都与圆C n ＋1相互外切，以r n 表示C n 的半径，已知{r n }为递增数列．(1) 证明：{r n }为等比数列；(2) 设r 1＝1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n r n 的前n 项和.(1) 证明：将直线y ＝33x 的倾斜角记为θ，则有tanθ＝33，sin θ＝12. 设C n 的圆心为(λn ，0)，则由题意得r n λn ＝12，得λn ＝2r n ；同理λn ＋1＝2r n ＋1，从而λn ＋1＝λn＋r n ＋r n ＋1＝2r n ＋1，将λn ＝2r n 代入，解得r n ＋1＝3r n ，故{r n }为公比q ＝3的等比数列．(2) 解：由于r n ＝1，q ＝3，故r n ＝3n －1，从而n r n＝n ×31－n ，记S n ＝1r 1＋2r 2＋…＋nr n，则有S n ＝1＋2×3－1＋3×3－2＋…＋n ×31－n ，①S n 3＝1×3－1＋2×3－2＋…＋(n －1)×31－n ＋n ×3－n ，② ①－②，得2S n 3＝1＋3－1＋3－2＋…＋31－n －n ×3－n ＝1－3－n 23－n ×3－n ＝32－⎝⎛⎭⎫n ＋32×3－n ， ∴S n ＝94－12⎝⎛⎭⎫n ＋32×31－n ＝9－（2n ＋3）×31－n4. 题型3 数列中的综合问题例3 已知各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ，且0＜q ＜12.(1) 在数列{a n }中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；(2) 若a 1＝1，且对任意正整数k ，a k －(a k ＋1＋a k ＋2)仍是该数列中的某一项． (ⅰ) 求公比q ；(ⅱ) 若b n ＝－loga n ＋1(2＋1)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，T r ＝S 1＋S 2＋…＋S n ，试用S 2 011表示T 2 011.解：(1) 由条件知a n ＝a 1q n －1，0＜q ＜12，a 1＞0，所以数列{a n }是递减数列．若有a k ，a m ，a n (k ＜m ＜n)成等差数列，则中项不可能是a k (最大)，也不可能是a n (最小)，若2a m ＝a k ＋a n 2q m －k ＝1＋q n －k ，(*)由2q m －k ≤2q ＜1，1＋q h －k ＞1，知(*)式不成立， 故a k ，a m ，a n 不可能成等差数列．(2) (ⅰ) (解法1)a k －a k ＋1－a k ＋2＝a 1q k －1(1－q －q 2)＝a 1q k －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝⎛⎭⎫q ＋122＋54，由－⎝⎛⎭⎫q ＋122＋54∈⎝⎛⎭⎫14，1，知a k －a k ＋1－a k ＋2＜a k ＜a k －1＜…，且a k －a k ＋1－a k ＋2＞a k ＋2＞a k ＋3＞…，所以a k －a k ＋1－a k ＋2＝a k ＋1，即q 2＋2q －1＝0，所以q ＝2－1.(解法2)设a k －a k ＋1－a k ＋2＝a m ，则1－q －q 2＝q m －k ， 由1－q －q 2∈⎝⎛⎭⎫14，1知m －k ＝1，即m ＝k ＋1， 以下同解法1. (ⅱ) b n ＝1n，(解法1)S n ＝1＋12＋13＋…＋1n，T n ＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋...＋(1＋12＋13＋ (1))＝n ＋n －12＋n －23＋…＋n －（n －1）n＝n(1＋12＋13＋…＋1n )－(12＋23＋34＋…＋n －1n )＝nS n －[(1－12)＋(1－13)＋(1－14)＋…＋(1－1n)]＝nS n －⎣⎡⎦⎤（n －1）－⎝⎛⎭⎫12＋13＋…＋1n ＝nS n －⎣⎡⎦⎤n －⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋1n ＝nS n －n ＋S n＝(n ＋1)S n －n ，所以T 2 011＝2 012S 2 011－2 011.(解法2)S n ＋1＝1＋12＋13＋…＋1n ＋1n ＋1＝S n ＋1n ＋1，所以(n ＋1)S n ＋1－(n ＋1)S n ＝1，所以(n ＋1)S n ＋1－nS n ＝S n ＋1，2S 2－S 1＝S 1＋1， 3S 3－2S 2＝S 2＋1， … …(n ＋1)S n ＋1－nS n ＝S n ＋1，累加得(n ＋1)S n ＋1－S 1＝T n ＋n ，所以T n ＝(n ＋1)S n ＋1－1－n ＝(n ＋1)S n －n ＝(n ＋1)(S n ＋b n )－1－n＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫S n ＋1n ＋1－1－n ＝(n ＋1)S n －n ，所以T 2 011＝2 012S 2 011－2 011. 备选变式（教师专享）已知等差数列{a n }满足：a n ＋1>a n (n ∈N *)，a 1＝1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b n }的前三项．(1) 分别求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2) 设T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a nb n (n ∈N *)，若T n ＋2n ＋32n －1n <c(c ∈Z )恒成立，求c 的最小值．解：(1) 设d 、q 分别为等差数列{a n }、等比数列{b n }的公差与公比，且d>0.由a 1＝1，a 2＝1＋d ，a 3＝1＋2d ，分别加上1，1，3有b 1＝2，b 2＝2＋d ，b 3＝4＋2d. (2＋d)2＝2(4＋2d)，d 2＝4. ∵ d>0，∴ d ＝2，q ＝b 2b 1＝42＝2，∴ a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，b n ＝2×2n －1＝2n .(2) T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝12＋322＋523＋…＋2n －12n ，①12T n ＝122＋323＋524＋…＋2n －12n ＋1.② ①－②，得12T n ＝12＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋123＋…＋12n －1－2n －12n ＋1，∴ T n ＝1＋1－12n －11－12－2n －12n ＝3－12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n .∴ T n ＋2n ＋32n －1n ＝3－1n <3.∵ 3－1n 在N *上是单调递增的，∴ 3－1n∈[2，3)．∴ 满足条件T n ＋2n ＋32n －1n<c(c ∈Z )恒成立的最小整数值为c ＝3.【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分16分)已知数列{a n }是首项为1，公差为d 的等差数列，数列{b n }是首项为1，公比为q(q ＞1)的等比数列．(1) 若a 5＝b 5，q ＝3，求数列{a n ·b n }的前n 项和；(2) 若存在正整数k(k ≥2)，使得a k ＝b k .试比较a n 与b n 的大小，并说明理由． 审题引导： ① 等差数列与等比数列对应项的积错位相减求和；② 作差比较．规范解答： 解： (1) 依题意，a 5＝b 5＝b 1q 5－1＝1×34＝81，故d ＝a 5－a 15－1＝81－14＝20，所以a n ＝1＋20(n －1)＝20n －19.(3分)令S n ＝1×1＋21×3＋41×32＋…＋(20n －19)·3n －1，①则3S n ＝1×3＋21×32＋…＋(20n －39)·3n －1＋(20n －19)·3n ， ② ①－②，得－2S n ＝1＋20×(3＋32＋…＋3n －1)－(20n －19)·3n＝1＋20×3（1－3n －1）1－3－(20n －19)·3n＝(29－20n)·3n －29，所以S n ＝（20n －29）·3n ＋292.(7分)(2) 因为a k ＝b k ， 所以1＋(k －1)d ＝qk －1，即d ＝q k －1－1k －1，故a n ＝1＋(n －1)q k －1－1k －1.又b n ＝q n －1，(9分)所以b n －a n ＝q n －1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋（n －1）q k －1－1k －1 ＝1k －1[(k －1)(q n －1－1)－(n －1)(q k －1－1)] ＝q －1k －1[(k －1)(q n －2＋q n －3＋…＋q ＋1)－(n －1)(q k －2＋q k －3＋…＋q ＋1)]．(11分)(ⅰ) 当1＜n ＜k 时，由q ＞1知 b n －a n ＝q －1k －1[(k －n)(q n －2＋q n －3＋…＋q ＋1)－(n －1)(q k －2＋q k －3＋…＋q n －1)] ＜q －1k －1[(k －n)(n －1)q n －2－(n －1)(k －n)q n －1] ＝－（q －1）2q n －2（k －n ）（n －1）k －1＜0；(13分)(ⅱ)当n ＞k 时，由q ＞1知 b n －a n ＝q －1k －1[(k －1)(q n －2＋q n －3＋…＋q k －1)－(n －k)(q k －2＋q k －3＋…＋q ＋1)] ＞q －1k －1[(k －1)(n －k)q k －1－(n －k)(k －1)q k －2] ＝(q －1)2q k －2(n －k) ＞0，(15分)综上所述，当1＜n ＜k 时，a n ＜b n ；当n ＞k 时，a n ＞b n ；当n ＝1，k 时，a n ＝b n .(16分) (注：仅给出“1＜n ＜k 时，a n ＜b n ；n ＞k 时，a n ＞b n ”得2分)错因分析： 错位相减时项数容易搞错，作差比较后学生不能灵活倒用等比数列求和公式1－q n ＝(1－q)(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)．1. 已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 9成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 11－S 9S 7－S 6＝________．答案：3解析：设公差为d ，则(a 1＋2d)2＝a 1(a 1＋8d)，∴ a 1d ＝d 2，又d ≠0，∴ a 1＝d ， 则S 11－S 9S 7－S 6＝66a 1－45a 128a 1－21a 1＝3. 2. (2013·福建)已知等差数列{a n }的公差d ＝1，前n 项和为S n . (1) 若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1； (2) 若S 5>a 1a 9，求a 1的取值范围．解：(1) 因为数列{}a n 的公差d ＝1，且1，a 1，a 3成等比数列， 所以a 21＝1×(a 1＋2)， 即a 21－a 1－2＝0，解得a 1＝－1或a 1＝2. (2) 因为数列{}a n 的公差d ＝1，且S 5>a 1a 9，所以5a 1＋10>a 21＋8a 1；即a 21＋3a 1－10<0，解得－5<a 1<2.3. 设{a n }是公比不为1的等比数列，其前n 项和为S n ，且a 5，a 3，a 4成等差数列． (1) 求数列{a n }的公比；(2) 证明：对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列．(1) 解：设公比为q ，则2a 3＝a 5＋a 4，得2a 1q 2＝a 1q 4＋a 1q 3.又q ≠0，a 1≠0，q ≠1，∴ q ＝－2.(2) 证明：S k ＋2＋S k ＋1－2S k ＝(S k ＋2－S k )＋(S k ＋1－S k )＝a k ＋1＋a k ＋2＋a k ＋1＝2a k ＋1＋a k ＋1·(－2)＝0，∴ S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列．4. 已知数列{a n }前n 项和为S n ，且a 2a n ＝S 2＋S n 对一切正整数都成立． (1) 求a 1，a 2的值；(2) 设a 1＞0，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 10a 1a n 前n 项和为T n ，当n 为何值时，T n 最大？并求出最大值．解：(1) 取n ＝1时，a 2a 1＝S 2＋S 1＝2a 1＋a 2，①取n ＝2时，a 22＝2a 1＋2a 2. ② 由②－①得，a 2(a 2－a 1)＝a 2. ③ 若a 2＝0，由①知a 1＝0；若a 2≠0，由③知a 2－a 1＝1. ④由①④解得a 1＝2＋1，a 2＝2＋2或a 1＝1－2，a 2＝2－ 2.综上所述，a 1＝0，a 2＝0或a 1＝2＋1，a 2＝2＋2或a 1＝1－2，a 2＝2－ 2. (2) 当a 1＞0时，a 1＝2＋1，a 2＝2＋2. n ≥2时，有(2＋2)a n ＝S 2＋S n ， (2＋2)a n －1＝S 2＋S n －1，∴ (1＋2)a n ＝(2＋2)a n －1， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)，∴ a n ＝a 1(2)n －1＝(2＋1)(2)n －1. 令b n ＝lg10a 1a n ＝1－n －12lg2， 故{b n }是递减的等差数列，从而b 1＞b 2＞…＞b 7＝lg 108＞lg1＝0，n ≥8时，b n ≤b 8＝12lg 100128＜12lg1＝0，故n ＝7时，T n 取得最大值，T 7＝7－212lg2.1. 某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元，第2名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好资金分完，则此科研单位共拿出________万元资金进行奖励．答案：2 046解析：设第10名到第1名得到的奖金数分别是a 1，a 2，…，a 10，则a n ＝12S n ＋1，则a 1＝2，a n －a n －1＝⎝⎛⎭⎫12S n ＋1－⎝⎛⎭⎫12S n －1＋1＝12(S n －S n －1)＝12a n ，即a n ＝2a n －1，因此每人得的奖金额组成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以S 10＝2（1－210）1－2＝2 046.2. 在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c ＝________．答案：1解析：由已知a ＝12，第1行的各个数依次是：1，32，2，52，3；第2行的各个数依次是：12，34，1，54，32.∴b ＝52×⎝⎛⎭⎫123＝516，c ＝3×⎝⎛⎭⎫124＝316，∴a ＋b ＋c ＝12＋516＋316＝1.3. 我国是一个人口大国，随着时间推移，老龄化现象越来越严重，为缓解社会和家庭压力，决定采用养老储备金制度．公民在就业的第一年交纳养老储备金，数目为a 1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0)，因此，历年所交纳的储备金数目a 1，a 2，…，a n 是一个公差为d 的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定利率为r(r>0)，那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为a 1(1＋r)n －1，第二年所交纳的储备金就变为a 2(1＋r)n －2，…，以T n 表示到第n 年所累计的储备金总额．(1) 写出T n 与T n －1(n ≥2)的递推关系式；(2) 求证：T n ＝A n ＋B n ，其中{A n }是一个等比数列，{B n }是一个等差数列． (1) 解：由题意可得：T n ＝T n －1(1＋r)＋a n (n ≥2)． (2) 证明：T 1－a 1，对n ≥2反复使用上述关系式，得T n ＝T n －1(1＋r)＋a n ＝T n －2(1＋r)2＋a n －1(1＋r)＋a n ＝…＝a 1(1＋r)n －1＋a 2(1＋r)n －2＋…＋a n－1(1＋r)＋a n ，①在①式两端同乘1＋r ，得(1＋r)T n ＝a 1(1＋r)n ＋a 2(1＋r)n －1＋…＋a n －1(1＋r)2＋a n (1＋r)，②②－①，得rT n ＝a 1(1＋r)n ＋d[(1＋r)n －1＋(1＋r)n －2＋…＋(1＋r)]－a n ＝d r [(1＋r)n －1－r]＋a 1(1＋r)n －a n .即T n ＝a 1r ＋d r 2(1＋r)n －d r n －a 1r ＋d r 2. 如果记A n ＝a 1r ＋d r 2(1＋r)n，B n ＝－a 1r ＋d r 2－d r n ，则T n ＝A n ＋B n .其中{A n }是以a 1r ＋d r 2(1＋r)为首项，以1＋r(r>0)为公比的等比数列；{B n }是以－a 1r ＋d r 2－d r 为首项，以－dr 为公差的等差数列．4. 甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额均为a 万元，由于经营方式不同，甲超市前n 年的总销售额为a2(n 2－n ＋2)万元，乙超市第n 年的销售额比前一年销售额多⎝⎛⎭⎫23n －1a 万元．(1) 设甲、乙两超市第n 年的销售额分别为a n 、b n, 求a n 、b n 的表达式；(2) 若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？解：(1) 假设甲超市前n 年总销售额为S n ，则S n ＝a2(n 2－n ＋2)(n ≥2)，因为n ＝1时，a 1＝a ，则n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a 2(n 2－n ＋2)－a2[(n －1)2－(n －1)＋2]＝a(n －1)，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝1，（n －1）a ，n ≥2.又b 1＝a ，n ≥2时，b n －b n －1＝⎝⎛⎭⎫23n －1a ，故b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝a ＋23a ＋⎝⎛⎭⎫232a ＋…＋⎝⎛⎭⎫23n －1a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋23＋⎝⎛⎭⎫232＋…＋⎝⎛⎭⎫23n －1a ＝1－⎝⎛⎭⎫23n 1－23a＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2·⎝⎛⎭⎫23n －1a ，显然n ＝1也适合，故b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2·⎝⎛⎭⎫23n －1a(n ∈N *)．(2) 当n ＝2时，a 2＝a ，b 2＝35a ，有a 2>12b 2；n ＝3时，a 3＝2a ，b 3＝199a ，有a 3>12b 3；当n ≥4时，a n ≥3a ，而b n <3a ，故乙超市有可能被甲超市收购．当n ≥4时，令12a n >b n ，则12(n －1)a>⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2·⎝⎛⎭⎫23n －1a n －1>6－4·⎝⎛⎭⎫23n －1.即n>7－4·⎝⎛⎭⎫23n －1. 又当n ≥7时，0<4·⎝⎛⎭⎫23n －1<1，故当n ∈N *且n ≥7时，必有n>7－4·⎝⎛⎭⎫23n －1.即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．1. 深刻理解等差(比)数列的性质，熟悉他们的推导过程是解题的关键，两类数列性质既有类似的的部分，又有区别，要在应用中加强记忆．同时用好性质也会降低解题的运算量，从而减少差错．2. 等比数列的前n 项和公式要分q ＝1，q ≠1两种情况讨论，容易忽视．3. 在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程(组)，在解方程组时，仔细体会两种情形下解方程组的方法的不同之处．请使用课时训练(A)第5课时(见活页)．[备课札记]。
2015年高考数学一轮复习课时训练第11节 导数的简单应用
第11节导数的简单应用课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.函数f(x)=4x3-3x2-6x+2的极小值为( B )(A)3 (B)-3 (C)(D)-解析:f′(x)=12x2-6x-6=6(x-1)(2x+1),因此f(x)在（-∞,-）,(1,+∞)上为增函数,在(-,1)上为减函数,所以函数f(x)在x=1处取到极小值f(1)=-3.故选B.2.(2013广东省六校质检)已知y=x3+bx2+(b+2)x+3是R上的单调增函数,则b的取值范围是( D )(A)b<-1或b>2 (B)b≤-1或b≥2(C)-1<b<2 (D)-1≤b≤2解析:函数y=x3+bx2+(b+2)x+3是R上的增函数,即为其导函数y′=x2+2bx+b+2≥0,x∈R恒成立,所以Δ=4b2-4(b+2)≤0,解得-1≤b≤2,故选D.3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,则f(2)等于( C )(A)11或18 (B)11(C)18 (D)17或18解析:∵函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,∴f(1)=10,且f′(1)=0,即解得或而当时,函数在x=1处无极值,故舍去.∴f(x)=x3+4x2-11x+16,∴f(2)=18.故选C.4.函数f(x)=x+2cos x在[0,]上取得最大值时x的值为( B )(A)0 (B)(C)(D)解析:由于f′(x)=1-2sin x,令f′(x)=0得,sin x=,又x∈[0,],所以x=.且f()=+,又f(0)=2,f()=,所以f()为最大值.故选B.5.(2013济宁模拟)若函数h(x)=2x-+在(1,+∞)上是增函数,则实数k的取值范围是( A )(A)[-2,+∞) (B)[2,+∞)(C)(-∞,-2] (D)(-∞,2]解析:因为h′(x)=2+,若h(x)在(1,+∞)上是增函数,则h′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,故2+≥0恒成立,即k≥-2x2恒成立.又x>1,∴-2x2<-2,因此,需k≥-2,故选A.6.(2013湛江毕业班调研)已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c等于( A )(A)-2或2 (B)-9或3(C)-1或1 (D)-3或1解析:∵y′=3(x+1)(x-1),∴当x=-1或x=1时取得极值,由题意得f(1)=0或f(-1)=0,即c-2=0或c+2=0,解得c=2或c=-2.故选A.7.若函数f(x)=(a>0)在[1,+∞)上的最大值为,则a的值为( D )(A)(B) (C)+1 (D)-1解析:f′(x)==,当x>时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当-<x<时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x=时,令f(x)==,=<1,不合题意.∴f(x)max=f(1)==,a=-1,故选D.二、填空题8.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为.解析:∵f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),∴f(x)在(-2,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,因此,当x=0时,f(x)取得最大值,即f(0)=m=3,然而f(-2)=-37,f(2)=-5,因此f(x)min=f(-2)=-37.答案:-379.已知函数f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m是偶函数,函数g(x)=-x3+2x2+mx+5在(-∞,+∞)内单调递减,则实数m= . 解析:由已知得,m2-4=0,∴m=±2.若g(x)在(-∞,+∞)内单调递减,则g′(x)≤0恒成立,即-3x2+4x+m≤0恒成立,亦即3x2-4x-m≥0恒成立.∴Δ=16+12m≤0,解得m≤-,故m=-2.答案:-210.函数f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]有极大值又有极小值,则a的取值范围是.解析:∵f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),令f′(x)=0得,x2+2ax+a+2=0,若f(x)有极大值和极小值,则方程x2+2ax+a+2=0有两个不等实数根,∴Δ=4a2-4(a+2)>0.解得a>2或a<-1.答案:(-∞,-1)∪(2,+∞)11.做一个圆柱形锅炉,容积为V,两个底面的材料每单位面积的价格为a元,侧面的材料每单位面积的价格为b元,当造价最低时,锅炉的底面直径与高的比为.解析:设圆柱底面半径为R,高为h,则V=πR2h,则总造价y=2πR2a+2πRhb=2πR2a+2πRb·=2πaR2+,故y′=4πaR-,令y′=0得=.故当=时y取最小值.答案:三、解答题12.(2013浙江五校联考)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(x∈[-1,2]),且函数f(x)在x=1和x=-处都取得极值.(1)求a,b的值;(2)求函数f(x)的单调递增区间.解:(1)由于f′(x)=3x2+2ax+b,依题意知,f′(1)=0且f′(-)=0,所以解得(2)由(1)知,f(x)=x3-x2-2x+c,f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1).f′(x)>0得,x>1或x<-.又x∈[-1,2],所以f(x)的单调增区间为[-1,- ),(1,2].13.(2013汕头市金山中学第一学期期中考试)某种商品的成本为5元/ 件,开始按8元/件销售,销售量为50件,为了获得最大利润,商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销.经试销发现:实际销售价x(元)每上涨1元每天销售量就减少10件;而降价后,日销售量Q(件)与实际销售价x(元)满足关系:Q=(1)求总利润(利润=销售额-成本)y(元)与实际销售价x(元)的函数关系式;(2)试问:当实际销售价为多少元时,总利润最大.解:(1)依题意得y==(2)由(1)得,当5<x<7时,y=39·(2x3-39x2+252x-535)y′=234(x2-13x+42)=234(x-6)(x-7),当5<x<6时,y′>0,y=f(x)为增函数,当6<x<7时,y′<0,y=f(x)为减函数,所以f(x)max=f(6)=195.当7≤x<8时,y=6(33-x)∈(150,156],当8≤x≤13时,y=-10(x-9)2+160,当x=9时,y max=160.综上知,当x=6时,总利润最大,最大值为195元.14.设函数f(x)=a2ln x-x2+ax,a>0.(1)求f(x)的单调区间;(2)求所有的实数a,使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立.(注:e为自然对数的底数)解:(1)因为f(x)=a2ln x-x2+ax,其中x>0,所以f′(x)=-2x+a=-.由于a>0,所以f(x)的单调增区间为(0,a),单调减区间为(a,+∞).(2)由题意得f(1)=a-1≥e-1,即a≥e.由(1)知f(x)在[1,e]内单调递增,要使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立.只要解得a=e.B组15.(2013潮州市质检)定义域为R的奇函数f(x),当x∈(-∞,0)时,f(x)+xf′(x)<0恒成立,若a=3f(3),b=(logπ3)·f(logπ3),c=-2f(-2),则( A )(A)a>c>b (B)c>b>a(C)c>a>b (D)a>b>c解析:设g(x)=xf(x),依题意得g(x)是偶函数.当x∈(-∞,0)时,f(x)+xf′(x)<0恒成立,即g′(x)<0恒成立,故g(x)在(-∞,0)上单调递减,则g(x)在(0,+∞)上单调递增,a=3f(3)=g(3),b=(logπ3)·f(logπ3)=g(logπ3),c=-2f(-2)=g(-2)=g(2).又logπ3<1<2<3,故a>c>b.故选A.16.(2013中山市期末统考)已知函数f(x)的导数f′(x)=a(x+1)(x-a), 若f(x)在x=a处取得极大值,则a的取值范围为.解析:若a>0时,则x∈(-1,a)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=a处取得极小值,不适合题意,舍去.若-1<a<0时,则x∈(-1,a)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;x∈(a,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)在x=a 处取得极大值,适合题意.若a=-1时,函数没有极值点,不适合题意.若a<-1时,则x∈(-∞,a)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;x∈(a,-1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=a处取得极小值,不适合题意.故适合题意的a的取值范围是-1<a<0.答案:(-1,0)。
2015届高考数学总复习第2章函数与导数第8课时指数函数、对数函数及幂函数(2)课时训练(含解析)
第二章 函数与导数第8课时 指数函数、对数函数及幂函数(2)1. 已知a ＝5－12，函数f(x)＝a x ，若实数m 、n 满足f(m)>f(n)，则m 、n 的大小关系为________．答案：m<n 解析：∵ a＝5－12∈(0，1)，∴ 函数f(x)＝a x 在R 上递减． 由f(m)>f(n)，得m<n.2. 函数y ＝xa x |x|(0<a<1)的值域为________． 答案：(－∞，－1)∪(0，1)解析：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x>0，－a x ，x<0，由0<a<1画图可知． 3. 要使g(x)＝3x ＋1＋t 的图象不经过第二象限，则实数t 的取值范围为_________．答案：t≤－3解析：要使g(x)＝3x ＋1＋t 的图象不经过第二象限，只要g(0)＝31＋t≤0，即t≤－3.4. 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－2x －27的定义域是________． 答案：[2，＋∞) 解析：由⎝ ⎛⎭⎪⎫131－2x －27≥0，得32x －1≥27，即2x －1≥3. 5. 已知函数f(x)＝2x －2－x ，有下列结论：① f(x)的图象关于原点对称；② f(x)在R 上是增函数；③ f(0)＝0；④ f(|x|)的最小值为0.其中正确的是__________．(填序号)答案：①②③④解析：f(x)为R 上的奇函数，故①③正确．又2x 与－2－x 均为增函数，故②④正确．6. 若函数f(x)＝a x (a>0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g(x)＝(1－4m)x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________．答案：14解析：若a>1，有a 2＝4，a －1＝m ，所以a ＝2，m ＝12，此时g ()x ＝－x 是[0，＋∞)上的减函数，不符合；当0<a<1，有a －1＝4，a 2＝m ，所以a ＝14，m ＝116，此时g(x)＝3x 4，符合．7. 已知过原点O 的直线与函数y ＝3x 的图象交于A 、B 两点，点A 在线段OB 上，过A 作y轴的平行线交函数y ＝9x 的图象于C 点，当BC∥x 轴时，点A 的横坐标是________．答案：log 32解析：设A(x 0，3x 0)，则C(x 0，9x 0)，所以B(2x 0，9x 0)．因为O 、A 、B 三点共线，所以x 0·9x 0＝2x 0·3x 0，即3x 0＝2，x 0＝log 32.8. 函数f(x)＝2x 1＋2x －12，[x]表示不超过x 的最大整数，例如：[2]＝2，[3.1]＝3，[－2.6]＝－3，则函数y ＝[f(x)]＋[f(－x)]的值域为________．答案：{－1，0}解析：f(x)＝2x 1＋2x －12＝1＋2x －11＋2x －12＝12－11＋2x ，则f(x)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12.又f(x)＝2x －12（2x ＋1），f(－x)＝2－x －12（2－x ＋1）＝2x （2－x －1）2·2x （2－x ＋1）＝1－2x 2（1＋2x ）＝－f(x)，且定义域为R ，所以函数f(x)为奇函数，当f(x)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0时，f(－x)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，y ＝[f(x)]＋[f(－x)]＝－1＋0＝－1；当f(x)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，f(－x)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，y ＝[f(x)]＋[f(－x)]＝0－1＝－1； 当f(x)＝0时，y ＝[f(x)]＋[f(－x)]＝0，则y ＝[f(x)]＋[f(－x)]的值域为{－1，0}．9. (1) 解关于x 的方程3x ＋2－2×3－x ＋3＝0；(2) 求函数y ＝4x －12－3·2x ＋5，x ∈[0，2]的最值． 解：(1) 方程可化为9×3x －23x ＋3＝0，即9×(3x )2＋3×3x －2＝0，所以3x ＝13，x ＝－1. (2) 函数y ＝4x －12－3·2x ＋5＝12·4x －3·2x ＋5，设t ＝2x ，则12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12.因为x∈[0，2]，所以t ＝2x ∈[1，4]，所以函数y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值为52，最小值为12. 10. 已知函数f(x)＝a·2x ＋b·3x ，其中常数a 、b 满足ab≠0.(1) 若ab>0，判断函数f(x)的单调性；(2) 若ab<0，求f(x ＋1)>f(x)时x 的取值范围．解：(1) 当a>0，b>0时，任意x 1、x 2∈R ，x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝a(2x 1－2x 2)＋b(3x 1－3x 2)，∵ 2x 1<2x 2，a>0a(2x 1－2x 2)<0，3x 1<3x 2，b>0b(3x 1－3x 2)<0，∴ f(x 1)－f(x 2)<0，函数f(x)在R 上是增函数．当a<0，b<0时，同理，函数f(x)在R 上是减函数．(2) f(x ＋1)－f(x)＝a·2x ＋2b·3x >0，当a<0，b>0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x >－a 2b ，则x>log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ； 当a>0，b<0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x <－a 2b ，则x<log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b . 11. 已知函数f(x)＝2x (x∈R )，且f(x)＝g(x)＋h(x)，其中g(x)为奇函数，h(x)为偶函数．(1) 求g(x)，h(x)的解析式；(2) 若不等式2a·g(x)＋h(2x)≥0对任意x∈[1，2]恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝g （x ）＋h （x ）＝2x ，f （－x ）＝g （－x ）＋h （－x ）＝2－x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋h （x ）＝2x ，－g （x ）＋h （x ）＝2－x ， 解得g(x)＝12(2x －2－x )，h(x)＝12(2x ＋2－x )． (2) 由2a·g(x)＋h(2x)≥0，即a(2x －2－x )＋12(22x ＋2－2x )≥0对任意x∈[1，2]恒成立．令t ＝2x －2－x ，由于t 在x∈[1，2]上单调递增，所以t ＝2x －2－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154. 因为22x ＋2－2x ＝(2x －2－x )2＋2＝t 2＋2，所以a≥－t 2＋22t ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t 在t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154上恒成立．设φ(t)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154， 由φ′(t)＝－12⎝⎛⎭⎪⎫1－2t 2＝2－t 22t 2<0， 知φ(t)在t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154上为减函数， 所以[φ(t)]max ＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－1712，所以a≥－1712.。
2015届高考数学总复习(基础过关+能力训练)：函数与导数第12课时 导数在研究函数中的应用(含答案)
第二章 函数与导数第12课时 导数在研究函数中的应用1. 函数y ＝3x 2－6lnx 的单调减区间是__________．答案：[0，1]2. 已知函数f[x]＝12x －sinx ，则f[x]在[0，π]上的值域为________． 答案：⎣⎡⎦⎤π6－32，π2 解析：f′[x]＝12－cosx ，令f ′[x]＝0，得x ＝π3，经检验知当x ＝π3时，函数f[x]取最小值．3. 已知函数f[x]的导函数f′[x]＝a[x ＋1][x －a]，若f[x]在x ＝a 处取到极大值，则实数a 的取值范围是________． 答案：[－1，0]解析：分a>0，－1<a<0，a<－1三种情况，结合导函数f ′[x]的图象分析可得．4. 设f[x]＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f[x]＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是__________．答案：m ≥32解析：f′[x]＝2x 3－6x 2＝2x 2[x －3]，所以f[x]在x ＝3处取最小值．要使f[x]＋9≥0恒成立，只需f[3]＋9≥0，解得m ≥32. 5. 若函数f[x]＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．答案：[－2，2]解析：f′[x]＝3x 2－3，令f′[x]＝0得x ＝±1.当x ∈[－∞，－1]时，f ′[x]>0；当x ∈[－1，1]时，f ′[x]<0；当x ∈[1，＋∞]时，f ′[x]>0.函数f[x]在x ＝－1处取得极大值，在x ＝1处取得极小值．要使函数有3个不同的零点，只需两个极值异号即可，∴ f[－1]f[1]<0，即[a ＋2][a －2]<0，a ∈[－2，2]．6. 要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为________．答案：2033解析：设圆锥的高为x ，则底面半径为202－x 2，其体积为V ＝13πx[202－x 2][0＜x ＜20]，V ′＝13π[400－3x 2]， 令V′＝0，解得x 1＝2033，x 2＝－2033[舍去]． 当0＜x ＜2033时，V ′＞0；当2033＜x ＜20时，V ′＜0； ∴ 当x ＝2033时，V 取最大值．7. 若函数f[x]＝x 2＋ax ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞是增函数，则a 的取值范围是________． 答案：a ≥3解析：f′[x]＝2x ＋a －1x 2≥0在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上恒成立，即a ≥1x2－2x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上恒成立．令g[x]＝1x 2－2x ，求导可得g[x]在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上的最大值为3，所以a ≥3.8. 已知x 、y 为正数，则x 2x ＋y ＋y x ＋2y的最大值为________． 答案：23解析：因为x 、y 为正数，所以设u ＝x 2x ＋y ＋y x ＋2y ＝12＋y x ＋1x y＋2. 令t ＝y x[t>0]， 则u ＝1t ＋2＋12＋1t＝1t ＋2＋t 2t ＋1， 所以u′＝－1（t ＋2）2＋1（2t ＋1）2＝－3（t ＋1）（t －1）（t ＋2）2（2t ＋1）2， 令u′＝0，得t ＝1，且当t ∈[0，1]时，u ′>0，当t ∈[1，＋∞]时，u ′<0，所以当t ＝1时，u 的最大值为23. 9. 已知函数f[x]＝x 3－3ax 2－bx ，其中a 、b 为实数．[1] 若f[x]在x ＝1处取得的极值为2，求a 、b 的值；[2] 若f[x]在区间[－1，2]上为减函数，且b ＝9a ，求a 的取值范围．解：[1] 由题意知：f′[1]＝0且f[1]＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a －b ＝0，1－3a －b ＝2，解得a ＝43，b ＝－5. [2] ∵ f′[x]＝3x 2－6ax －b ＝3x 2－6ax －9a ，又f[x]在[－1，2]上为减函数，∴ f ′[x]≤0对x ∈[－1，2]恒成立，即3x 2－6ax －9a ≤0对x ∈[－1，2]恒成立．∴ f′[－1]≤0且f′[2]≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋6a －9a ≤0，12－12a －9a ≤0⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a ≥47a ≥1，∴ a 的取值范围是a ≥1. 10. 工厂生产某种零件，每天需要固定成本100元，每生产1件，还需再投入资金2元，若每天生产的零件能全部售出，每件的销售收入P[x][元]与当天生产的件数x[件]之间的关系为P[x]＝⎩⎨⎧83－13x 2，0<x ≤10，520x －1331x 3，x>10，设当天利润为y 元． [1] 写出y 关于x 的函数关系式；[2] 要使当天利润最大，当天应生产多少件零件？[注：利润等于销售收入减去总成本]解：[1] 当0<x ≤10时，y ＝x ⎝⎛⎭⎫83－13x 2－100－2x ＝－13x 3＋81x －100；当x>10时，y ＝x ⎝⎛⎭⎫520x －1331x 3－2x －100＝－2x －1331x 2＋420.∴ y ＝⎩⎨⎧－13x 3＋81x －100，0<x ≤10，x ∈N *，－2x －1331x 2＋420，x>10，x ∈N *. [2] 设y ＝h[t]＝⎩⎨⎧－13t 3＋81t －100，0<t ≤10，－2t －1 331t 2＋420，t>10. ①当0<t ≤10时，y ′＝81－t 2.令y′＝0，得t ＝9.当0<t<9时，y ′>0；当9<t<10时，y ′<0.当t ＝9时，y max ＝386；②当t>10时，y ′＝－－2×1331t 3－2.令y′＝0，得t ＝11. 当10<t<11时，y ′>0；当t>11时，y ′<0.当t ＝11时，y max ＝387.∵x ∈N *，∴综合①②知，当x ＝11时，y 取得最大值．故要使当天利润最大，当天应生产11件零件．11. [文]已知函数f[x]＝12ax 2－2x ＋2＋lnx ，a ∈R . [1] 当a ＝0时，求f[x]的单调增区间；[2] 若f[x]在[1，＋∞]上只有一个极值点，求实数a 的取值范围．解：[1] 当a ＝0时，f[x]＝－2x ＋2＋lnx.令f ′[x]＝1x －2＝1－2x x ＞0，解得0＜x ＜12，所以f[x]的单调增区间为⎝⎛⎭⎫0，12或⎝⎛⎦⎤0，12. [2] 令f′[x]＝ax －2＋1x ＝ax 2－2x ＋1x＝0，f[x]在[1，＋∞]上只有一个极值点f ′[x]＝0在[1，＋∞]上只有一个根且不是重根．令g[x]＝ax 2－2x ＋1，x ∈[1，＋∞]．①当a ＝0时，g[x]＝－2x ＋1，不符合在[1，＋∞]上有一个根的条件，舍去；②当a ＞0时，g[x]＝ax 2－2x ＋1，在[1，＋∞]上只有一个根且不是重根g[1]＜00＜a ＜1；③ 当a ＜0时，g[x]＝ax 2－2x ＋1，在[1，＋∞]上只有一个根且不是重根g[1]＞0a ＞1，矛盾．综上所述，实数a 的取值范围是0＜a ＜1.[注：②③可以合并为ag[1]＜00＜a ＜1][理]已知函数f[x]＝2ln[x －1]－[x －1]2.[1] 求函数f[x]的单调递增区间；[2] 若关于x 的方程f[x]＋x 2－3x －a ＝0在区间[2，4]内恰有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．解：[1] 函数f[x]的定义域是[1，＋∞]．因为f′[x]＝2⎣⎡⎦⎤1x －1－（x －1）＝－2x （x －2）x －1， 又x>1，令f′[x]>0得x 的取值范围是[1，2]，所以函数f[x]的单调递增区间是[1，2]．[2] 由f[x]＋x 2－3x －a ＝0，得x ＋a ＋1－2ln[x －1]＝0.令g[x]＝x ＋a ＋1－2ln[x －1]，则g′[x]＝1－2x －1＝x －3x －1，且x>1.由g ′[x]>0，得x>3，由g′[x]<0，得1<x<3.所以函数g[x]在[2，3]内单调递减，在[3，4]内单调递增，画出草图，可知方程f[x]＋x 2－3x －a ＝0在区间[2，4]内恰有两个相异的实根，必须⎩⎪⎨⎪⎧g （2）≥0，g （3）<0，g （4）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥0，a ＋4－2ln2<0，a ＋5－2ln3≥0，解得2ln3－5≤a<2ln2－4，综上所述，实数a 的取值范围是[2ln3－5，2ln2－4]．。
2015年高考数学一轮复习课时训练大题冲关集训(四)
大题冲关集训(四)1. (2013广东十校联考)在如图所示的几何体中,△ABC是边长为2的正三角形.若AE=1,AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC,BD=CD,且BD⊥CD.(1)求证:AE∥平面BCD;(2)求三棱锥D BCE的体积.(1)证明:取BC的中点M,连接DM、AM,因为BD=CD,所以DM⊥BC,又因为平面BCD⊥平面ABC,BC为交线,所以DM⊥平面ABC,因为AE⊥平面ABC,所以AE∥DM,又因为AE⊄平面BCD,DM⊂平面BCD,所以AE∥平面BCD.(2)解:由(1)知AE∥DM,在△BCD中,CD⊥BD,CD=BD,所以MD=BC=1=AE,所以四边形AMDE是平行四边形,所以DE∥AM,且DE=AM=,因为DM⊥平面ABC,所以DM⊥AM,又AM⊥BC,BC∩DM=M,所以AM⊥平面BCD,所以DE⊥平面BCD,DE=×·BC·DM·DE=××2×1×=.则==S2. 如图所示,在体积为1的三棱柱ABC A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AC⊥AB,AC=AA1=1,P为线段AB上的动点.(1)求证:CA1⊥C1P;(2)线段AB上是否存在一点P,使四面体PAB1C1的体积为?若存在,请确定点P的位置;若不存在,请说明理由.(1)证明:易知四边形ACC1A1为正方形,所以CA1⊥AC1.由AC⊥AB,AA1⊥底面ABC知AB⊥平面AA1C1C,所以CA1⊥AB.所以CA1⊥平面C1AP,故CA1⊥C1P.(2)解:存在.由于=--=1--=,所以当PAB1C1的体积为时,P为AB的中点.3.(2013深圳一调)如图甲,☉O的直径AB=2,圆上两点C,D在直径AB的两侧,使∠CAB=,∠DAB=.沿直径AB折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙),F为BC 的中点,E为AO的中点.根据图乙解答下列各题:(1)求三棱锥C BOD的体积;(2)求证:CB⊥DE;(3)在上是否存在一点,使得FG∥平面ACD?若存在,试确定点G的位置;若不存在,请说明理由.(1)解:∵C为圆周上一点,且AB为直径,∴∠C=90°.∵∠CAB=,∴AC=BC,∵O为AB的中点,∴CO⊥AB,∵两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB, ∴CO⊥平面ABD,∴CO⊥平面BOD.∴CO就是点C到平面BOD的距离,在Rt△ABD中,S △BOD=S△ABD=××1×=,∴=S △BOD·CO=××1=.(2)证明:在△AOD中,∵∠OAD=60°,OA=OD,∴△AOD为正三角形,又∵E为OA的中点,∴DE⊥AO,∵两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB, ∴DE⊥平面ABC,∴CB⊥DE.(3)解:存在,G为的中点,证明如下:连接OG,OF,FG,∴OG⊥BD,∵AB为☉O的直径,∴AD⊥BD,∴OG∥AD,∵OG⊄平面ACD,AD⊂平面ACD,∴OG∥平面ACD.在△ABC中,O,F分别为AB,BC的中点,∴OF∥AC,OF⊄平面ACD,∴OF∥平面ACD,∵OG∩OF=O,∴平面OFG∥平面ACD,又FG⊂平面OFG,∴FG∥平面ACD.4.(2013潮州市高三期末质检)已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BAD=,AB=BC=2AD=4,E,F分别是AB,CD上的点,EF∥BC,AE=x.沿EF将梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF(如图),G是BC的中点.(1)当x=2时,求证:BD⊥EG;(2)当x变化时,求三棱锥D BCF的体积f(x)的函数式.(1)证明:作DH⊥EF,垂足为H,连接BH,GH,EG,∵平面AEFD⊥平面EBCF,交线为EF,DH⊂平面AEFD.∴DH⊥平面EBCF,又EG⊂平面EBCF,故EG⊥DH,∵EH=AD=BC=BG,EF∥BC,∠ABC=90°.∴四边形BGHE为正方形,故EG⊥BH.又BH,DH⊂平面DBH,且BH∩DH=H,故EG⊥平面DBH.又BD⊂平面DBH,故EG⊥BD.(2)解:∵AE⊥EF,平面AEFD⊥平面EBCF,交线为EF,AE⊂平面AEFD.∴AE⊥平面EBCF.又由(1)知DH⊥平面EBCF,故AE∥DH,∴四边形AEHD是矩形,DH=AE,故以F,B,C,D为顶点的三棱锥D BCF的高DH=AE=x.又S△BCF=BC·BE=×4×(4-x)=8-2x.∴三棱锥D BCF的体积f(x)=S△BFC·DH=S△BFC·AE=(8-2x)x=-x2+x.5.(2013山东潍坊一模)如图所示,四边形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,点E、F分别在BC、AD上,EF∥AB.现将四边形ABEF沿EF折起,使平面ABEF⊥平面EFDC,设AD中点为P.(1)当E为BC中点时,求证:CP∥平面ABEF.(2)设BE=x,问当x为何值时,三棱锥A CDF的体积有最大值?并求出这个最大值. 解:(1)取AF的中点Q,连QE、QP,则QP DF,又DF=4,EC=2,且DF∥EC,所以QP EC,即四边形PQEC为平行四边形,所以CP∥EQ,又EQ⊂平面ABEF,CP⊄平面ABEF,故CP∥平面ABEF.(2)因为平面ABEF⊥平面EFDC,平面ABEF∩平面EFDC=EF,AF⊥EF,所以AF⊥平面EFDC.由已知BE=x,所以AF=x(0<x≤4),FD=6-x,故=S △CDF·AF=××2×(6-x)·x=(6x-x2)=[-(x-3)2+9]=-(x-3)2+3.所以,当x=3时,有最大值,最大值为3.6.(2013清远市高三调研)图1是两个全等的纸板梯形P1BCP2和P3CDP4叠合一起形成的,重叠部分是边长为2的正方形ABCD,P 1A=P4A=2,P2D=P3B=2,将图1中的四个纸板三角形沿虚线折起,使四点P1,P2,P3,P4聚为一点P,就形成了四棱锥P ABCD,如图2所示,其中E,F分别是AD,PB的中点.(1)证明:AD⊥AF;(2)证明:AF∥平面PEC;(3)求三棱锥F AEC的体积.(1)证明:∵PA⊥AD,AD⊥AB,PA∩AB=A,∴AD⊥平面PAB.∵AF⊂平面PAB,∴AF⊥AD.(2)证明:取PC的中点G,连接FG,GE.∵FG BC,AE BC,∴AE FG,∴四边形AEGF是平行四边形,∴AF∥EG.∵AF⊄平面PEC,EG⊂平面PEC,∴AF∥平面PEC.(3)作FH⊥AB于点H,则FH PA,∴FH⊥平面ABCD,即FH⊥平面AEC,FH=1.∵S△AEC=S正方形ABCD=1,∴=FH·S △AEC=.。
2015年高考数学一轮复习课时训练第3节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.(2013青岛市高三模拟)如果实数x、y满足条件那么目标函数z=2x-y的最大值为( B )(A)2 (B)1 (C)-2 (D)-3解析: 做出满足条件的可行域如图所示,由图可知,当目标函数直线经过点D(0,-1)时,直线y=2x-z的截距最小,此时z最大,此时z=2×0-(-1)=1,所以最大值为1,故选B.2.(2013山东省泰安市高三模拟)不等式组所表示的平面区域的面积为( D )(A)1 (B)(C)(D)解析: 做出不等式组对应的区域为△BCD.由题意知x B=1,x C=2.由得y D=,所以S△BCD=×(x C-x B)×=.故选D.3.(2012年高考福建卷)若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的最大值为( B )(A)-1 (B)1 (C)(D)2解析:约束条件表示的可行域如图阴影部分所示.当直线x=m从如图所示的实线位置运动到过A点的位置时,m取最大值.解方程组得A点坐标为(1,2),∴m的最大值为1,故选B.4.(2013华南师大附中高三综合测试)若x,y满足约束条件则2x+y的取值范围是( D )(A) (B)(C)[-,] (D)解析:不等式组表示的可行域如图阴影部分,令z=2x+y,由图知当直线z=2x+y过点A时有最小值.当直线与圆x2+y2=1相切且切点在第一象限时,z有最大值.由得A（-,）,z min=-,若直线z=2x+y与圆相切,则=1,.故选D.∴|z|=,即z5.(2012汕头模拟)若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是( D )(A)a≥ (B)0<a≤1(C)1≤a≤(D)0<a≤1或a≥解析:如图所示,直线x+y=0从原点向右移动,移动到(1,0)时,再往右移,不等式组所表示的平面区域就不能构成三角形了;又从点A向右移动时,不等式组所表示的平面区域为整个阴影部分的三角形.∴0<a≤1或a≥.故选D.6.(2013德州市高三模拟)已知变量x、y满足则z=log2(2x+y+4)的最大值为( D )(A)1 (B)(C)2 (D)3解析:设t=2x+y,则y=-2x+t.做出不等式组对应的可行域如图阴影部分.当直线y=-2x+t经过点C时,直线y=-2x+t的截距最大,此时t最大,对应的z也最大,由得x=1,y=2.即C(1,2)代入t=2x+y得t=4,所以z=log2(2x+y+4)的最大值为log2(4+4)=log28=3.故选D.二、填空题7.(2013河北省重点中学联合考试)设z=2x+y,其中x,y满足若z的最大值为6,则z的最小值为.解析: 不等式组表示的平面区域如图所示,当直线z=2x+y过点A(k,k)时,z取最大值,则z max=3k=6,解得k=2,易知当直线z=2x+y过点B(-k,k)时,z取最小值,则z min=-2.答案:-28.(2013济南高三模拟)已知x和y是实数,且满足约束条件则z=2x+3y的最小值是.解析: 做出不等式对应的可行域如图所示,由z=2x+3y得y=-x+,做直线y=-x,平移直线y=-x,由图象可知当直线经过C点时,直线y=-x+的截距最小,此时z最小,又C（,）,代入目标函数得z=2x+3y=2×+3×=.答案:9.(2013广东高三综合测试)已知函数f(x)=x2-2x,点集M={(x,y)|f(x)+f(y)≤2},N={(x,y)|f(x)-f(y)≥0},则M∩N所构成平面区域的面积为.解析:M={(x,y)|x2-2x+y2-2y≤2}={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤4},N={(x,y)|x2-2x-(y2-2y)≥0}={(x,y)||x-1|≥|y-1|},M∩N构成平面区域如图阴影部分所示,由图知平面区域的面积为·π·22=2π.答案:2π10.(2013深圳二调)点P(x,y)是以A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)为顶点的三角形及其内部的任一点,则4x-3y的最大值为.解析:令z=4x-3y,由图知当直线z=4x-3y经过点B(-1,-6)时,z有最大值为4×(-1)-3×(-6)=14.答案:1411.(2013咸阳一模)设实数x、y满足则的最大值是.解析: 不等式组确定的平面区域如图阴影部分.设=t,则y=tx,求的最大值,即求y=tx的斜率的最大值.显然y=tx 过A点时,t最大.由解得A（1,）.代入y=tx,得t=.所以的最大值为.答案:三、解答题12.(2013黄山模拟)设x,y满足约束条件(1)求目标函数z=x-y+的最值;(2)若目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,求a的取值范围. 解: (1)作出可行域如图所示,可求得A(3,4),B(0,1),C(1,0).平移初始直线x-y=0,过A(3,4)取最小值-2,过C(1,0)取最大值1. ∴z的最大值为1,最小值为-2.(2)直线ax+2y=z仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知-1<-<2,解得-4<a<2.故所求a的取值范围是(-4,2).B组13.(2012年高考四川卷)某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A、B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( C )(A)1800元(B)2400元(C)2800元(D)3100元解析:设每天生产甲种产品x桶,乙种产品y桶,则根据题意得x、y的约束条件为设获利z元,则z=300x+400y.画出可行域如图.画直线l:300x+400y=0,即3x+4y=0.平移直线l,从图中可知,当直线l过点M时,目标函数取得最大值. 由解得即M的坐标为(4,4),∴z max=300×4+400×4=2800(元).故选C.14.(2012广州模拟)已知实数x、y满足若目标函数z=ax+y(a≠0)取得最小值时的最优解有无数个,则实数a 的值为.解析:画出平面区域所表示的图形,如图中的阴影部分所示,平移直线ax+y=0,可知当平移到与直线2x-2y+1=0重合,即a=-1时,目标函数z=ax+y的最小值有无数多个.答案:-115.实数x、y满足(1)若z=,求z的最大值和最小值,并求z的取值范围;(2)若z=x2+y2,求z的最大值与最小值,并求z的取值范围.解:由作出可行域如图中阴影部分所示.(1)z=表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率,因此的取值范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(OA的斜率不存在).而由得B(1,2),则k OB==2.∴z max不存在,z min=2,∴z的取值范围是[2,+∞).(2)z=x2+y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方. 因此x2+y2的范围最小为|OA|2(取不到),最大为|OB|2.由得A(0,1),∴|OA|2=()2=1.|OB|2=()2=5.∴z的最大值为5,没有最小值.故z的取值范围是(1,5].16.咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯含奶粉9克、咖啡4克、糖3克,乙种饮料每杯含奶粉4克、咖啡5克、糖10克.已知每天原料的使用限额为奶粉3600克、咖啡2000克、糖3000克,甲种饮料每杯能获利润0.7元,乙种饮料每杯能获利润1.2元,每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大?解:设每天配制甲种饮料x杯、乙种饮料y杯可以获得最大利润,利润总额为z元.由条件知:z=0.7x+1.2y,变量x、y满足作出不等式组所表示的可行域如图所示.作直线l:0.7x+1.2y=0,把直线l向右上方平移至经过A点的位置时,z=0.7x+1.2y取最大值.由方程组得A点坐标(200,240).答:应每天配制甲种饮料200杯, 乙种饮料240杯方可获利最大.。
2015届高考数学总复习(基础过关+能力训练)：函数与导数第13课时 函数模型及其应用(含答案)
第二章 函数与导数第13课时 函数模型及其应用1. 某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2，x ∈(0，240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量为________台．答案：150解析：由题意可得25x －y y ＝0.1x 2＋5x －3 000≥0，解得x ≤－200或x ≥150.2. 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t(min)后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )·⎝⎛⎭⎫12t h ，其中T a 称为环境温度，h 称为半衰期．现有一杯88 ℃ 热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降到40 ℃需要20 min ，那么这杯咖啡要从40 ℃降到32 ℃，还需________时间．答案：10解析：由题设知T a ＝24℃，令T 0＝88，T ＝40，t ＝20，代入T －T a ＝(T 0－T a )·⎝⎛⎭⎫12t h ，得h ＝10，令T 0＝40，T ＝32，代入可得t ＝10.3. 根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(min)为f(x)＝⎩⎨⎧cx，x<A ，cA，x ≥A (A 、c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是________．答案：60，16解析：当A>4时，⎩⎨⎧f （4）＝c2＝30，f （A ）＝cA ＝15，解得c ＝60, A ＝16；当A ≤4时，⎩⎨⎧f （4）＝cA＝30，f （A ）＝cA＝15，无解．4. 某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为________．(参考数据：lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 0)答案：14解析：由(1－20%)n <5%，n>log 0.80.05，化简得n>1＋lg21－3lg2，解得n>13.4，则n 的最小值为14.5. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．答案：80解析：设平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f(x)，则f(x)＝800＋x 8·x·1x＝800x ＋x 8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x 8，即x ＝80件时，取最小值． 6. 用总长为14.8 m 的钢条做一个长方体容器的框架，如果所做容器有一边比另一边长0.5 m ，则它的最大容积为________．答案：1.8 m 3解析：设长方体的宽为x ，则长为(x ＋0.5)，则高为14[]14.8－4x －4（x ＋0.5）＝3.2－2x ，于是容积V ＝x(x ＋0.5)(3.2－2x)＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ，求导计算可得最大容积为1.8 m 3.7. 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b(b ＞a)以及常数x(0＜x ＜1)确定实际销售价格c ＝a ＋x(b －a)，这里x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a)是(b －c)和(b －a)的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于________．答案：5－12解析：由条件得，(c －a)2＝(b －c)(b －a)，∴ (c －a)2＝[(b －a)＋(a －c)](b －a)，由c ＝a＋x(b －a)，∴ b －a ＝c －ax，∴ (c －a)2＝⎣⎡⎦⎤c －ax ＋（a －c ）c －a x，由题意，c －a ≠0，∴ 1＝⎝⎛⎭⎫1x －1·1x ，即x 2＋x －1＝0，∴ x ＝5－12.8. 如图，线段EF 的长度为1，端点E 、F 在边长不小于1的正方形ABCD 的四边上滑动，当E 、F 沿着正方形的四边滑动一周时，EF 的中点M 所形成的轨迹为G ，若G 的周长为l ，其围成的面积为S ，则lS 的最大值为________．答案：5π4解析：设正方形的边长为a(a ≥1)，当E 、F 沿着正方形的四边滑动一周时，EF 的中点G 的轨迹是由半径均为12的四段圆弧、长度均为a －1的四条线段围成的封闭图形，周长l ＝π＋4(a －1)，面积S ＝a 2－14π，所以l －S ＝－a 2＋4a ＋54π－4，a ≥1，由二次函数知识得当a ＝2时，l －S 取得最大值5π4.9. 渔场中鲜鱼的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)(空闲率：空闲量与最大养殖量的比值)．(1) 写出y 关于x 的函数关系式，并求其定义域； (2) 求鱼群年增长量的最大值；(3) 当鱼群的年增长量达到最大时，求k 的取值范围．解：(1) y ＝kx·m －x m＝kx ⎝⎛⎭⎫1－xm (0≤x<m)． (2) y ＝－k m ⎝⎛⎭⎫x －m 22＋km 4，当x ＝m 2时，y 取到最大值y max ＝km4，即鱼群年增长量的最大值为km 4.(3) 由题意，0≤x ＋y<m ，则有0≤m 2＋km4<m ，解得－2≤k<2，但k>0，所以0<k<2.10. 在淘宝网上，某店铺专卖当地某种特产．由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克，1<x ≤5)满足：当1<x ≤3时，y ＝a(x －3)2＋b x －1(a 、b 为常数)；当3<x ≤5时，y ＝－70x ＋490.已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产700千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克．(1) 求a 、b 的值，并确定y 关于x 的函数解析式；(2) 若该特产的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x 的值，使店铺每日销售该特产所获利润f(x)最大(x 精确到0.01元/千克)．解：(1) 因为x ＝2时，y ＝700；x ＝3时，y ＝150，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝150，a ＋b ＝700，解得a ＝400，b ＝300.每日的销售量y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400（x －3）2＋300x －1（1<x ≤3），－70x ＋490（3<x ≤5）.(2) 由(1)知， ① 当1<x ≤3时，每日销售利润f(x)＝⎣⎡⎦⎤400（x －3）2＋300x －1(x －1)＝400·(x －3)2(x －1)＋300＝400(x 3－7x 2＋15x －9)＋300(1<x ≤3)．由f′(x)＝400(3x 2－14x ＋15)，令f′(x)＝0，得x ＝53或x ＝3.且当x ∈⎝⎛⎭⎫1，53时f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎫53，3时f′(x)<0，f(x)单调递减．所以，x ＝53是函数f(x)在(1，3]上的唯一极大值点，f ⎝⎛⎭⎫53＝400×3227＋300>700； ② 当3<x ≤5时，每日销售利润f(x)＝(－70x ＋490)(x －1)＝－70(x 2－8x ＋7)，f(x)在x ＝4有最大值，且f(4)＝630<f ⎝⎛⎭⎫53.综上，销售价格x ＝53≈1.67元/千克时，每日利润最大．11. 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10～1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(万元)随投资收益x(万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.现有两个奖励方案的函数模型：(1) y ＝x150＋2；(2) y ＝4lgx －3.试问这两个函数模型是否符合该公司要求，并说明理由．解：设奖励函数模型为y ＝f(x)，由题意可知该公司对函数模型应满足下列条件：当x ∈[10，1 000]时，① f(x)是增函数； ② f(x)≤9恒成立；③ f(x)≤15x 恒成立.① 对于函数模型f(x)＝x150＋2：当x ∈[10，1 000]时，f(x)是增函数，则f(x)max ＝f(1 000)＝1 000150＋2＝203＋2<9.所以f(x)≤9恒成立．因为函数f （x ）x ＝1150＋2x在[10，1 000]上是减函数，所以⎣⎡⎦⎤f （x ）x max ＝1150＋210>15.从而f(x)≤15x 不恒成立．故该函数模型不符合公司要求． ② 对于函数模型f(x)＝4lgx －3： 当x ∈[10，1 000]时，f(x)是增函数， 则f(x)max ＝f(1 000)＝4lg1 000－3＝9. 所以f(x)≤9恒成立．设g(x)＝4lgx －3－x 5，则g′(x)＝4lge x －15.当x ≥10时，g ′(x)＝4lge x －15≤2lge －15＝lge 2－15<0，所以g(x)在[10，1 000]上是减函数，从而g(x)≤g(10)＝－1＜0，所以4lgx －3－x5＜0，即4lgx －3＜x 5，所以f(x)≤15x 恒成立．故该函数模型符合公司要求．。
2015届高考数学总复习(基础过关+能力训练)：函数与导数第14课时 函数的综合应用(含答案)
第二章 函数与导数第14课时 函数的综合应用1. 设函数f(x)是定义在R 上以3为周期的奇函数，若f(1)>1，f(2)＝2a －3a ＋1，则a 的取值范围是________．答案：－1<a<23解析：由题意，f(2)＝f(－1)<－1，则2a －3a ＋1<－1，解得－1<a<23.2. 若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x ，则x ＋y________0.(填“≤”或“≥”) 答案：≤解析：由2x ＋5y ≤2－y ＋5－x ，知2x －5－x ≤2－y －5y ，设f(x)＝2x －5－x ，不等式即为f(x)≤f(－y)，易知f(x)在R 上为增函数，所以x ≤－y ，即x ＋y ≤0.3. 已知函数f(x)＝e |x|，m>1，对任意的x ∈[1，m]，都有f(x －2)≤ex ，则最大的正整数m 为________．答案：4解析：作出函数y 1＝e |x －2|和y 2＝ex 的图象，如图可知x ＝1时y 1＝y 2，又x ＝4时y 1＝e 2＜y 2＝4e ，x ＝5时y 1＝e 3＞y 2＝5e ，故m ＜5，即m 的最大整数值为4.4. 给出下列四个结论： ① 函数y ＝k·3x (k>0)的图象可由函数y ＝3x 的图象经过平移得到；② 不等式⎪⎪⎪⎪ax －1x >a 的解集为M ，且2M ，则a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫14，＋∞； ③ 定义域为R 的函数f(x)满足f(x ＋1)·f(x)＝－1，则f(x)是周期函数；④ 已知f(x)满足对x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝7. 其中正确的是________．(填序号) 答案：①③④解析：由k·3x ＝3x ＋log 3k (k>0)知①正确；由2M 得⎪⎪⎪⎪2a －12≤a ，即a ≥14，故②不正确；由f(x ＋1)＝－1f （x ）得f(x ＋2)＝f(x)，故③正确；由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2得f(x)＋f(1－x)＝2且f ⎝⎛⎭⎫12＝1，故f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝7正确． 5. 函数f(x)的定义域为D ，若满足① f(x)在D 内是单调函数，② 存在[a ，b]D ，使f(x)在[a ，b]上的值域为[－b ，－a]，那么y ＝f(x)叫做对称函数，现有f(x)＝2－x －k 是对称函数，则k 的取值范围是_________．答案：⎣⎡⎭⎫2，94 解析：由于f(x)＝2－x －k 在(－∞，2]上是减函数，所以⎩⎨⎧2－a －k ＝－a ，2－b －k ＝－b关于x的方程2－x －k ＝－x 在(－∞，2]上有两个不同实根，且k －x ≥0在(－∞，2]上恒成立，通过换元结合图象可得k ∈⎣⎡⎭⎫2，94. 6. 已知函数f(x)的定义域为R ，f(2)＝3，且f(x)在R 上的导函数满足f′(x)－1<0，则不等式f(x 2)<x 2＋1的解集为________．答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：构造函数g(x)＝f(x)－x －1，则由条件知g′(x)＝f ′(x)－1<0，g(2)＝0，函数g(x)＝f(x)－x －1在定义域R 上单调递减，不等式f(x 2)<x 2＋1化为g(x 2)<g(2)，所以x 2>2，故不等式的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．7. 已知函数f(x)＝log a |x ＋1|(a>0且a ≠1)，当x ∈(0，1)时，恒有f(x)<0成立，则函数g(x)＝log a ⎝⎛⎭⎫－32x 2＋ax 的单调递减区间是________． 答案：⎝⎛⎦⎤0，a 3 解析：当x ∈(0，1)时，|x ＋1|>1，但log a |x ＋1|<0，故由对数函数的图象知，0<a<1.由－32x 2＋ax>0，解得0<x<23a ，即函数g(x)＝log a ⎝⎛⎭⎫－32x 2＋ax 的定义域为⎝⎛⎭⎫0，23a .因为二次函数t ＝－32x 2＋ax 的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，a 3，结合函数g(x)的定义域知，函数g(x)的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤0，a 3. 8. 将函数y ＝－x 2＋2x ＋3－3(x ∈[0，2])的图象绕坐标原点逆时针旋转θ(θ为锐角)，若所得曲线仍是一个函数的图象，则θ的最大值为________．答案：π3解析：由y ＝－x 2＋2x ＋3－3，得y ＋3＝－x 2＋2x ＋3≥0，两边平方得(x －1)2＋(y ＋3)2＝4(y ≥－3)，又x ∈[0，2]，所以所给的函数的图象是圆的一段弧，画图易知，若圆弧与y 轴相切，能使旋转后所得曲线仍是一个函数的图象，若与y 轴相交，则不能构成函数，故最多可以逆时针旋转π3，即θ的最大值为π3.9. 已知函数f(x)＝－x 2＋|x －a|，其中a ∈R . (1) 讨论f(x)的奇偶性；(2) 当a ＝－1时，求f(x)的值域； (3) 当a ≤0时，求f(x)的最大值．解：(1) 若a ＝0，则f(－x)＝－x 2＋|x|＝f(x)，即f(x)是偶函数； 若a ≠0，f(－1)＝－1＋|－1－a|，f(1)＝－1＋|1－a|，因为f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以f(x)是非奇非偶函数．(2) 当a ＝－1时，f(x)＝－x 2＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x －1，x<－1，－x 2＋x ＋1，x ≥－1.当x<－1时，f(x)∈(－∞，－1)；当x ≥－1时，f(x)∈⎝⎛⎦⎤－∞，54， 所以f(x)的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，54. (3) 若x ≥a ，则f(x)＝－x 2＋x －a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14－a ，在x ＝12处f(x)取最大值f ⎝⎛⎭⎫12＝14－a.若x ≤a ，则f(x)＝－x 2－x ＋a ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋14＋a ，① 当a ≤－12时，[f(x)]max ＝f(a)＝－a 2；② 当－12≤a ≤0时，[f(x)]max ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝14＋a ， 由于14＋a ≤14－a ，－a 2≤14－a ，所以[f(x)]max ＝14－a.10. 已知f(x)为R 上的偶函数，当x ≥0时，f(x)＝ln(x ＋2)． (1) 当x<0时，求f(x)的解析式；(2) 当m ∈R 时，试比较f(m －1)与f(3－m)的大小；(3) 求最小的整数m(m ≥－2)，使得存在实数t ，对任意的x ∈[m ，10]，都有f(x ＋t)≤2ln|x ＋3|.解：(1) 当x<0时，f(x)＝f(－x)＝ln(－x ＋2)．(2) 当x ≥0时，f(x)＝ln(x ＋2)单调递增，而f(x)是偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减．所以f(m －1)＞f(3－m)|m －1|>|3－m|(m －1)2>(3－m)2m>2.所以当m>2时，f(m －1)>f(3－m) ；当m ＝2时，f(m －1)＝f(3－m)；当m<2时，f(m －1)<f(3－m)．(3) 当x ∈R 时，f(x)＝ln(|x|＋2)，则由f(x ＋t)≤2ln|x ＋3|，得ln(|x ＋t|＋2)≤ln(x ＋3)2， 即|x ＋t|＋2≤(x ＋3)2对x ∈[m ，10]恒成立，从而有⎩⎪⎨⎪⎧t ≤x 2＋5x ＋7，t ≥－x 2－7x －7，对x ∈[m ，10]恒成立， 因为m ≥－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ≤（x 2＋5x ＋7）min ＝m 2＋5m ＋7，t ≥（－x 2－7x －7）max ＝－m 2－7m －7. 因为存在这样的t ，所以－m 2－7m －7≤m 2＋5m ＋7，即m 2＋6m ＋7≥0.又m ≥－2，所以适合题意的最小整数m ＝－1.11. 已知函数f(x)＝lnx －x ，h(x)＝lnxx.(1) 求h(x)的最大值；(2) 若关于x 的不等式xf(x)≥－2x 2＋ax －12对一切x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围；(3) 若关于x 的方程f(x)－x 3＋2ex 2－bx ＝0恰有一解，其中e 是自然对数的底数，求实数b 的值．解：(1) h(x)的最大值为h(e)＝1e.(2) 不等式xf(x)≥－2x 2＋ax －12对一切x ∈(0，＋∞)恒成立，即a ≤lnx ＋x ＋12x对一切x ∈(0，＋∞)恒成立，设φ(x)＝lnx ＋x ＋12x，因为φ′(x)＝1x ＋1－12x 2＝x 2＋x －12x 2＝（x ＋4）（x －3）x 2，故φ(x)在(0，3]上递减，在[3，＋∞)上递增， [φ(x)]min ＝φ(3)＝7＋ln3，所以a ≤7＋ln3.(3) 方程f(x)－x 3＋2ex 2－bx ＝0恰有一解，等价于lnxx＝x 2－2ex ＋b ＋1恰有一解，由(1)知，h(x)的最大值为h(e)＝1e.而函数k(x)＝x 2－2ex ＋b ＋1在(0，e]上单调递减，在[e ，＋∞)上单调递增，故[k(x)]min＝k(e)＝b ＋1－e 2，故方程lnx x ＝x 2－2ex ＋b ＋1恰有一解当且仅当1e ＝b ＋1－e 2，所以b ＝e 2＋1e－1.。
2015届高考数学总复习 第三章 第八节解三角形的应用课时精练 理
第八节 解三角形的应用1．(2013·绍兴模拟)有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )A ．1B ．2sin 10°C ．2cos 10°D ．cos 20°解析：如图，∠ABC ＝20°，AB ＝1，∠ADC ＝10°，∴∠ABD ＝160°.在△ABD 中，由正弦定理得AD sin 160°＝ABsin 10°，∴AD ＝AB ·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2 cos10°.故选C 项.答案：C2．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定解析：设增加同样的长度为x ，原三边长为a 、b 、c ，且c 2＝a 2＋b 2，a ＋b >c .新的三角形的三边长为a ＋x 、b ＋x 、c ＋x ，知c ＋x 为最大边，其对应角最大．而(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝x 2＋2(a ＋b －c )x >0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦值为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．答案：A3．台风中心从A 地以每小时20 km 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东方向40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时解析：设A 地东北方向上点P 到B 的距离为30 km ，AP ＝x ，在△ABP 中，PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB cos A ，即302＝x 2＋402－2x ·40cos 45°.化简得x 2－402x ＋700＝0. 设该方程的两根为x 1，x 2，则|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝400， ∴|x 1－x 2|＝20，即CD ＝20.故t ＝CD v ＝2020＝1.故选B.答案：B4．甲船在岛B 的正南方A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B 出发以每小时 6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )A.1507分钟B.157分钟 C ．21.5分钟 D ．2.15分钟解析：t 小时后，甲、乙两船的距离为s ，s 2＝(6t )2＋(10－4t )2－2×6t ×(10－4t )·cos 120°＝28t 2－20t ＋100.∴当t ＝202×28＝514(小时)＝514×60＝1507(分钟)时，甲、乙两船的距离最近．故选A.答案：A5．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( )A ．15米B ．5米C ．10米D ．12米解析：如图，设塔高为h ，在Rt△AOC 中，∠ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h .在Rt△AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝3h ，在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10，由余弦定理得：OD 2＝OC2＋CD 2－2 OC ·CD cos∠OCD ，即(3h )2＝h 2＋102－2h ×10×cos 120°，∴h 2－5 h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍)．答案：C6．如图，在斜度一定的山坡上一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m 后，又从点B 测得斜度为45°，假设建筑物高50 m ，设山对于地平面的斜度为θ，则cos θ＝____________.解析：在△ABC 中，AB ＝100 m, ∠CAB ＝15°，∠ACB ＝45°－15°＝30°.由正弦定理得100sin 30°＝BCsin 15°，∴BC ＝200sin 15°.在△DBC 中，CD ＝50 m ，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90° ＋θ.由正弦定理知50sin 45°＝200sin 15°＋θ，解得cos θ＝3－1.答案：3－17．某船在A 处看灯塔S 在北偏东30°方向，它以每小时30海里的速度向正北方向航行，经过40分钟航行到B 处，看灯塔S 在北偏东75°方向，则此时该船到灯塔S 的距离为______海里(结果保留最简根式)．答案：10 2 8．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为106米，则旗杆的高度为________米．解析：设旗杆高为h 米，最后一排为点A ，第一排为点B ，旗杆顶端为点C ，则BC ＝hsin 60°＝233h .在△ABC 中，AB ＝106，∠CAB ＝45°，∠ABC ＝105°，所以∠ACB ＝30°，由正弦定理得，106sin 30°＝233h sin 45°，故h ＝30.答案：309．某炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面C 和D 处，已知CD ＝6 km ，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面B 处时，测量得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°，如图，求炮兵阵地到目标的距离．解析：在△ACD 中，∠CAD ＝180°－∠ACD －∠ADC ＝60°，CD ＝6，∠ACD ＝45°，根据正弦定理有AD ＝CD sin 45°sin 60°＝23CD .同理，在△BCD 中，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠BDC ＝135°，CD ＝6，∠BCD ＝30°，根据正弦定理得BD ＝CD sin 30°sin 135°＝22CD . 又在△ABD 中，∠ADB ＝∠ADC ＋∠BDC ＝90°， 根据勾股定理有AB ＝AD 2＋BD 2＝23＋12CD ＝426CD ＝42(km)．所以炮兵阵地到目标的距离为42 km.10．在一很大的湖岸边(可视湖岸为直线)停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5 km/h ，同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为 4 km/h ，在水中游的速度为 2 km/h.问此人能否追上小船．若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？解析：设船速为υ，显然υ≥4 km/h 时人是不可能追上小船，当0≤υ≤2 km/h 时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑2<υ<4的情况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船．设船速为v ，人追上船所用时间为t ，人在岸上跑的时间为kt (0<k <1)，则人在水中游的时间为(1－k )t ，人要追上小船，则人船运动的路线满足如图所示的三角形．∵|OA |＝4kt ，|AB |＝2(1－k )t ，|OB |＝υt ，由余弦定理得|AB |2＝|OA |2＋|OB |2－2|OA |·|OB |·cos 15°，即4(1－k )2t 2＝(4kt )2＋(υt ) 2－2·4kt ·υt ·6＋24， 整理得12k 2－[2(6＋2)υ－8]k ＋υ2－4＝0，要使上式在(0,1)范围内有实数解，则有0<υ2－412<1且Δ＝[2(6＋2)υ－8]2－4×12(υ2－4)≥0， 解得2<υ≤22，即υmax ＝2 2 km/h.故当船速在(2,22]内时，人船运动路线可构成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为2 2 km/h ，由此可见当船速为2.5 km/h 时人可以追上小船．11．如图，矩形ABCD 是机器人踢足球的场地，BA ＝170 cm ，AD ＝80 cm ，机器人先从AD 的中点E 进入场地到点F 处，EF ＝40 cm ，EF ⊥AD .场地内有一小球从点B 向点A 运动，机器人从点F 出发去截小球，现机器人和小球同时出发，它们均做匀速直线运动，并且小球运动的速度是机器人行走速度的2倍．若忽略机器人原地旋转所需的时间，则机器人最快可在何处截住小球？解析：设该机器人最快可在点G 处截住小球，点G 在线段AB 上． 设FG ＝x cm.根据题意得BG ＝2x cm. 则AG ＝AB －BG ＝(170－2x )(cm)．连接AF ，在△AEF 中，EF ＝AE ＝40 cm ，EF ⊥AD ， 所以∠EAF ＝45°，AF ＝40 2 cm. 于是∠FAG ＝45°.在△AFG 中，由余弦定理得FG 2＝AF 2＋AG 2－2AF ·AG cos∠FAG .所以x 2＝(402)2＋(170－2x )2－2×402×(170－2x ) ×cos 45°.解得x 1＝50，x 2＝3703.所以AG ＝170－2x ＝70(cm)或AG ＝－2303(cm)(不合题意，舍去)．该机器人最快可在线段AB 上离点A 70 cm 处截住小球．。
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1. 已知等差数列{an}的公差为2，且a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________．
2. 已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为54，则S
5
＝_______．
3. 已知{an}是公比为q的等比数列，若a4，a5＋a7，a6成等差数列，则q＝________．
4. 已知等差数列{an}的公差d≠0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是
________．
5. 已知数列{an}是各项都是正数的等比数列，若a2，12a3，2a1成等差数列，则a3＋a4a4＋a5＝________．
6. 若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的积，则称该数列为“m积数列”．若正项等比数列
{an}是一个“2 012积数列”，且a1>1，则其前n项的积最大时，n＝________．
7. 如图，将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表．已知表中的第一列a1，a2，
a5，„构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为d的等差数列．若a4＝5，a
86
＝518，则d＝________.
a
1
a2 a3 a
4
a5 a6 a7 a8 a
9
„
8. 各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前三项依次成公差为d(d>0)的等差数列，后三项依次成
公比为q的等比数列，若a4－a1＝88，则q的所有可能的值构成的集合为________．
9. 已知等差数列{an}中，首项a1＝1，公差d为整数，且满足a1＋3
1
an·a
n＋1
，其前n项和为Sn.
(1) 求数列{an}的通项公式an；
(2) 若S2为S1、Sm(m∈N*)的等比中项，求正整数m的值．
10. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＋a13＝34，S3＝9.
(1) 求数列{an}的通项公式及前n项和公式；
(2) 设数列{bn}的通项公式为bn＝anan＋t，问： 是否存在正整数t，使得b1，b2，bm(m≥3，m∈N*)成等
差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．
11. 设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a22＋a23＝a24＋a25，S7＝7.
(1) 求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
(2) 试求所有的正整数m，使得amam＋1am＋2为数列{an}中的项．
答案：－6
解析：a23＝a1a4，即(a1＋4)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝－8，所以a2＝－6.
答案：31
解析：设{an}的公比为q，则由等比数列的性质知，a2·a3＝a1·a4＝2a1，即a4＝2.由a4与2a7的等差
中项为54，得a4＋2a7＝2×54，∴a7＝122×54－a4＝14.∴q3＝a7a4＝18，即q＝12.a4＝a1q3＝a1×18＝2，∴a1＝16，
S5＝161－1251－12＝31.
答案：12
解析：a4，a5＋a7，a6成等差数列，∴ 2(a5＋a7)＝a4＋a6，
∴ 2(a4q＋a6q)＝a4＋a6，∴ q＝12.
答案：3
解析：a25＝a1a17，即(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)，
即a1d－2d2＝0.又d≠0，∴a1＝2d.
公比q＝a5a1＝6d2d＝3.
答案：12
解析：2×12a3＝2a1＋a2，即a1q2＝2a1＋a1q，q2－q－2＝0，解得q＝－1或2.
∵ an>0，q>0，∴ q＝2.a3＋a4a4＋a5＝a3＋a4（a3＋a4）q＝1q＝12.
答案：1 005或1 006
解析：根据条件可知a1a2a3„a2012＝a2012，
故a1a2a3„a2011＝1，即a20111006＝1，
故a1006＝1，而a1>1，故{an}的公比0
n＝1005或1006.
答案：1.5
解析：第2行成公差为d的等差数列，可得：a2＝a4－2d＝5－2d，第n行的数的个数为2n－1，从第
1行到第n行的所有数的个数总和为n（1＋2n－1）2＝n2，86＝92＋5，第10行的前几个数为：a82，a83，a84，
a85，a86，„，所以a86是第10行第5个数，所以a82＝a86－4d＝518－4d.第一列a1，a2，a5，a10，a17，a26，
a37，a50，a65，a82，„构成一个公比为2的等比数列，故有a82＝a2·28518－4d＝(5－2d)·28，解得d＝1.5.
答案：53，87
解析：设这四个数为a1，a1＋d，a1＋2d，a1＋88，其中a1，d均为正偶数，则(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋
88)，整理得a1＝4d（22－d）3d－88>0(注意体会这里用“a1>0”而不用“a1≥2”的好处，实际是一种估算能力)，
所以(d－22)(3d－88)<0，即22
解：(1) 由题意，得a1＋3＜a1＋2d，a1＋d＋5>a1＋3d，解得32
(2) ∵ bn＝1an·an＋1＝1（2n－1）（2n＋1）
＝1212n－1－12n＋1，
∴ Sn＝12[1－13＋13－15＋„＋12n－1－12n＋1]＝121－12n＋1＝n2n＋1.
∵ S1＝13，S2＝25，Sm＝m2m＋1，S2为S1、Sm(m∈N)的等比中项，
∴ S22＝SmS1，即252＝13·m2m＋1，解得m＝12.
解：(1) 设等差数列{an}的公差为d.
由已知得a5＋a13＝34，3a2＝9，即a1＋8d＝17，a1＋d＝3，解得a1＝1，d＝2.
故an＝2n－1，Sn＝n2.
(2) 由(1)知bn＝2n－12n－1＋t.要使b1，b2，bm成等差数列，必须2b2＝b1＋bm，即2×33＋t＝11＋t＋2m－12m－1＋t，
整理得m＝3＋4t－1.因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.当t＝2时，m＝7；当t＝3时，m＝5；当
t＝5时，m＝4.故存在正整数t，使得b1，b2，bm成等差数列．
解：(1) 设公差为d，则由a22－a25＝a24－a23，得－3d(a4＋a3)＝d(a4＋a3)．因为d≠0，所以a4＋a3＝0，即
2a1＋5d＝0.
又S7＝7，得7a1＋7×62d＝7，解得a1＝－5，d＝2，
所以{an}的通项公式为an＝2n－7，前n项和Sn＝n2－6n.
(2) (解法1)amam＋1am＋2＝（2m－7）（2m－5）2m－3，设2m－3＝t，
则amam＋1am＋2＝（t－4）（t－2）t＝t＋8t－6，所以t为8的约数．
因为t是奇数，所以t可取的值为±1，当t＝1，m＝2时，t＋8t－6＝3，2×5－7＝3，是数列{an}中的
项；
当t＝－1，m＝1时，t＋8t－6＝－15，数列{an}中的最小项是－5，不符合．所以满足条件的正整数m
＝2.
(解法2)因为amam＋1am＋2＝（am＋2－4）（am＋2－2）am＋2＝am＋2－6＋8am＋2为数列{an}中的项，故8am＋2为整数．又
由(1)知am＋2为奇数，所以am＋2＝2m－3＝±1，即m＝1，2.经检验，符合题意的正整数m为2