07-08第一学期解析几何试题(A)参考答案及评分标准
线性代数07-08第一学期期末(A卷)答案
北京师范大学珠海分校2007-2008学年第一学期期末考试（A ）答案开课单位： 应用数学系 课程名称： 线性代数 任课教师：__李兴斯 考试类型：_ 闭卷_ 考试时间：__120 __分钟 学院___________ 姓名___________ 学号______________ 班级____________试卷说明：（本试卷共4页，满分100分）------------------------------------------------------------------------------------------------------一、 填空（每空3分，共30分）1、行列式123456____0_____789=2、行列式sin cos cos sin _______+-=-32323302xxxx 3、设行列式 -5 11 1 31 0 2D =1，则+=21232A A 04、设A ，B 均为三阶方阵且||,||A B ==65，则||______=30AB5、设A 为3阶方阵，且A =3，则A -=13 96、设矩阵A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭11111101101，则A 的秩()R A = 3 7、已知4阶矩阵A 的伴随矩阵的行列式8=*A ，则=A 28、向量组,,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1234111110221002αααα线性相关还是无关 线性相关试卷装订线9、设向量()(),,,,,x αα==1212369线性相关，则___3____=x10、设4元方程组=0Ax 的系数矩阵A 的秩为2，则其解向量的秩应为 2二、选择题（每小题3分，共15分）1、行列式197621962394180第3行第2列元素的代数余子式A =32（ D ）（A ）3； （B ）6； （C ）9； （D ）12。
2、若1112131112131212223221222331323331323323,2323a a a a a a D a a a D a a a a a a a a a ==，则()21=D C D（A ）2； （B ）4； （C ）6； （D ）8。
第08练-平面解析几何(解析版)
第08练-平面解析几何一、单选题1．已知点F 为椭圆2221(1)x y a a+=>的一个焦点，过点F 作圆221x y +=的两条切线，若这两条切线互相垂直，则a =（ ）A ．2B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】根据切线垂直，推导出F 点至坐标原点的距离，即可求得交点坐标和a .【详解】由题可设(),0F c ，根据题意，作图如下：因为过F 点的两条切线垂直，故可得45OFH ∠=︒，则1OH HF ==，故可得2OF =，即点F 坐标为)2,0. 则2,1c b ==，故2223a b c =+=，解得3a =故选：D.【点睛】 本题考查椭圆方程的求解，涉及直线与圆相切时的几何性质，属基础题.2．已知圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣2）2＝4（a ＞0）及直线l ：x ﹣y+3＝0，当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，a 的值等于（ ）A B ．2-C 1 D 1【答案】C【解析】【分析】由题意，结合垂径定理算出圆心到直线l ：x ﹣y+3＝0的距离d ＝1，利用点到直线的距离公式建立关于a 的方程，求解即可．【详解】∵圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣2）2＝4的圆心为C （a ，2），半径r ＝2∴圆心到直线l ：x ﹣y+3＝0的距离d=∵l 被圆C 截得的弦长为∴2d +2＝22，解得d ＝1，因此，d=1，得1a =或1a =（舍） 故选C ．【点睛】本题考查了圆的方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置等知识，属于基础题．3．已知两点()1,0A -，()10B ,以及圆C ：222(3)(4)(0)x y r r -+-=>，若圆C 上存在点P ，满足0AP PB ⋅=u u u v u u u v ，则r 的取值范围是（ ）A ．[]3,6B ．[]3,5C ．[]4,5D ．[]4,6【答案】D【解析】【分析】由题意可知：以AB 为直径的圆与圆()()22234(0)x y r r -+-=>有公共点，从而得出两圆圆心距与半径的关系，列出不等式得出r 的范围．【详解】 Q 0AP PB ⋅=u u u v u u u v，∴点P 在以()1,0A -，()1,0B 两点为直径的圆上，该圆方程为：221x y +=，又点P 在圆C 上，∴两圆有公共点．两圆的圆心距5d ==∴151r r -≤≤+解得：46r ≤≤故选D【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，还考查了向量垂直的数量积表示，属于中档题．4．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为35，直线2100x y ++=过椭圆的左顶点，则椭圆方程为（ ）A ．22154x y += B ．221259x y += C ．221169x y += D ．2212516x y += 【答案】D【解析】【分析】直线2100x y ++=过椭圆的左顶点,则椭圆的左顶点为(5,0)-,所以椭圆中5a =，由离心率为35，则3c =，可求出椭圆的b ，从而可得椭圆的方程.【详解】直线2100x y ++=与x 轴的交点为(5,0)-,直线2100x y ++=过椭圆的左顶点，即椭圆的左顶点为(5,0)-.所以椭圆中5a =，由椭圆的离心率为35，则3c =. 则4b =，所以椭圆的方程为：2212516x y +=. 故答案为：D【点睛】本题考椭圆的简单几何性质，根据离心率求,,a b c ，属于基础题.5．已知双曲线的标准方程为2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0），若渐近线方程为y ＝，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．2CD ．4【答案】B【解析】【分析】由双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程是y =，可得b a=c e a == 【详解】Q 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程是y =，∴b a=∴双曲线的离心率2c e a ===． 故选：B ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，确定b a= 6．已知点F 是抛物线24x y =的焦点，点P 为抛物线上的任意一点，(1,2)M 为平面上点，则PM PF +的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．4D ．【答案】A【解析】【分析】作PN 垂直准线于点N ，根据抛物线的定义，得到+=+PM PF PM PN ，当,,P M N 三点共线时，PM PF +的值最小，进而可得出结果.【详解】如图，作PN 垂直准线于点N ，由题意可得+=+≥PM PF PM PN MN ，显然，当,,P M N 三点共线时，PM PF +的值最小；因为(1,2)M ，(0,1)F ，准线1y =-，所以当,,P M N 三点共线时，(1,1)-N ，所以3MN =.故选A【点睛】本题主要考查抛物线上任一点到两定点距离的和的最值问题，熟记抛物线的定义与性质即可，属于常考题型.7．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．3y x =C ．2y x =D ．2y x = 【答案】A【解析】【分析】由题意可得222222a b a b -=+，即223a b =，代入双曲线的渐近线方程可得答案.【详解】依题意椭圆22221(a b 0)x y a b +=>>与双曲线22221(a 0,b 0)2x y a b -=>>即22221(a 0,b 022)x y a b -=>>的焦点相同，可得：22221122a b a b -=+， 即223a b =，∴3b a =3=双曲线的渐近线方程为：3x y x =±=, 故选：A ．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．8．已知双曲线221169x y C -=：的右焦点为F ，过原点O 的直线与双曲线C 交于,A B 两点，且60AFB ∠=︒，则BOF V 的面积为( )A．2 B．2 C ．32 D ．92【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图像，设双曲线的左焦点为1F ，连接11,AF BF ，即可得四边形1AFBF 为平行四边形，从而求出1F BF ∠，利用余弦定理和双曲线的定义联立方程可求出1|BF ||BF|的值，利用面积公式可求出1F BF V 的面积，根据1F BF V 和BOF V 的关系即可得到答案.【详解】如图，设双曲线的左焦点为1F ，连接11,AF BF ，依题可知四边形1AFBF 的对角线互相平分，则四边形1AFBF 为平行四边形，由60AFB ∠=︒可得1120F BF ∠=︒， 依题可知12||2216910F F c ==+=， 由余弦定理可得：2221111|BF |+|BF|-2|BF ||BF|cos |||F BF F F ∠=即2211|BF |+|BF|+|BF ||BF|100=；又因为点B 在椭圆上，则1||BF |-|BF||28a ==，所以2211|BF |+|BF|-2|BF ||BF|64=.两式相减得13|BF ||BF|36=，即1|BF ||BF|12=，所以1F BF V 的面积为：111113||||sin 123322F BF S BF BF F BF =∠=⨯=V 因为O 为1F F 的中点，所以11332OBF F BF S S ==V V 故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，涉及到了双曲线的定义，余弦定理和面积公式，考查学生转化和化归的能力，属中档题.9．已知椭圆2221(02)4x y b b+=<<的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若22BF AF +的最大值为5，则b 的值为（）A ．1BCD ．3【答案】C【解析】【分析】由题意可知椭圆是焦点在x 轴上的椭圆，利用椭圆定义得到228||BF AF AB +=-，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB 垂直于x 轴时||AB 最小，把||AB 的最小值2b 代入228||BF AF AB +=-，由22BF AF +的最大值等于5可求b 的值．【详解】由02b <<可知，焦点在x 轴上，∴2a =，∵过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，∴22112248BF AF BF AF a a a +++=+== ∴228||BF AF AB +=-．当AB 垂直x 轴时||AB 最小，22BF AF +值最大，此时222||b AB b a==，∴258b =-，解得b =C ． 【点睛】 本题主要考查椭圆的定义，解题的关键是得出22114BF AF BF AF a +++=，属于一般题．10．过双曲线2213y x -=的右支上一点P 分别向圆1C ：22(2)4x y ++=和圆2C ：22(2)1x y -+=作切线，切点分别为,M N ，则22||||PM PN -的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】A【解析】【分析】 求得两圆的圆心和半径，设双曲线2213y x -=的左右焦点为1(2,0)F -，2(2,0)F ，连接1PF ， 2PF ，1F M ，2F N ，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．【详解】圆221:(2)4C x y ++=的圆心为(2,0)-，半径为12r =；圆222:(2)1C x y -+=的圆心为(2,0)，半径为21r =， 设双曲线2213y x -=的左右焦点为1(2,0)F -，2(2,0)F ， 连接1PF ，2PF ，1F M ，2F N ，可得2222221122||||(||)(||)PM PN PF r PF r -=---2212(||4)(||1)PF PF =---22121212||||3(||||)(||||)3PF PF PF PF PF PF =--=-+-12122(||||32(||||)32232435a PF PF PF PF c =+-=+--=-=g g ）…．当且仅当P 为右顶点时，取得等号，即最小值5．故选A ．【点睛】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力，属于中档题．二、多选题11．已知点A 是直线:20l x y +=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90o ，则点A 的坐标可以是（ ）A ．()0,2B ．()1,21-C ．()2,0D ．()21,1- 【答案】AC【解析】【分析】 设点A 的坐标为(),2t t -，可得知当AP 、AQ 均为圆221x y +=的切线时，PAQ ∠取得最大值90o ，可得出四边形APOQ 为正方形，可得出2OA =，进而可求出点A 的坐标.【详解】如下图所示：原点到直线l 的距离为222111d ==+，则直线l 与圆221x y +=相切， 由图可知，当AP 、AQ 均为圆221x y +=的切线时，PAQ ∠取得最大值，连接OP 、OQ ，由于PAQ ∠的最大值为90o ，且90APO AQO ∠=∠=o ，1OP OQ ==，则四边形APOQ 为正方形，所以22OA == 由两点间的距离公式得()2222OA t t =+-=整理得22220t t -=，解得0t =2，因此，点A 的坐标为(2或)2,0. 故选：AC.【点睛】 本题考查直线与圆的位置关系的综合问题，考查利用角的最值来求点的坐标，解题时要找出直线与圆相切这一临界位置来进行分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题.12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点,A B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆在平面直角坐标系xOy 中,()()2,0,4,0,A B -点12PA P PB=满足.设点P 的轨迹为C ,下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为()2249x y ++=B ．在x 轴上存在异于,A B 的两定点,D E ,使得12PD PE=C ．当,,A B P 三点不共线时,射线PO 是APB ∠的平分线D ．在C 上存在点M ,使得2||MO MA = 【答案】BC 【解析】 【分析】通过设出点P 坐标，利用12PA PB=即可得到轨迹方程，找出两点,D E 即可判断B 的正误，设出M 点坐标，利用2||MO MA =与圆的方程表达式解出就存在，解不出就不存在. 【详解】设点(),P x y ，则12PA PB=，化简整理得2280x y x ++=，即()22416x y ++=，故A错误；当()()1,0,2,0,D B -时，12PDPE =，故B 正确；对于C 选项，222cos =2AP PO AO APO AP PO+-∠⋅，222cos =2BP PO BO BPO BP PO+-∠⋅,要证PO 为角平分线，只需证明cos =cos APO BPO ∠∠，即证22222222AP PO AO BP PO BO AP PO BP PO+-+-=⋅⋅，化简整理即证2228PO AP =-，设(),P x y ，则222PO x y =+， ()()222222222282828AP x x y x x y x y x y -=++=++++=+，则证cos =cos APO BPO ∠∠，故C 正确；对于D 选项，设()00,M x y ,由2||MO MA =可得()22220000=2x y x y +++，整理得220003316+160x y x ++=，而点M 在圆上，故满足2280x y x ++=，联立解得0=2x ，0y 无实数解，于是D 错误.故答案为BC. 【点睛】本题主要考查阿氏圆的相关应用，轨迹方程的求解，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大.三、填空题 13．直线与圆交于两点，则________．【答案】【解析】 【分析】首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求得弦长. 【详解】根据题意，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，且半径是，根据点到直线的距离公式可以求得，结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为.【点睛】该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.14．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F(4，0)，过F 作直线l 交抛物线于M ，N 两点，则p=_______，49NF MF-的最小值为______． 【答案】8p =13【解析】 【分析】利用抛物线的定义可得8p =，设直线l 的方程为4x my =+，联立直线与抛物线方程消元，根据韦达定理和抛物线的的定义可得1114MF NF +=，代入到49NF MF-，再根据基本不等式求最值． 【详解】解：∵ 抛物线()220y px p =>的焦点为F(4，0)，∴ 8p =，∴ 抛物线的方程为216y x =，设直线l 的方程为4x my =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，由2164y x x my ⎧=⎨=+⎩得216640y my --=， ∴1216y y m +=，1264y y =-， 由抛物线的定义得11MF NF +121144x x =+++()()21124444x x x x +++=++()()211244888my my my my ++++=++()()122121216864m y y m y y m y y ++=+++22216166412864m m m +=-++()()22161641m m +=+14=， ∴49NF MF -11494NF NF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭419NF NF =+-4?19NF NF ≥13=， 当且仅当49NF NF=即6NF =时，等号成立，故答案为：13． 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线定义的应用，属于中档题．四、解答题15．已知抛物线21:2(0)C y px p =>与椭圆222:143x y C +=有一个相同的焦点，过点(2,0)A 且与x 轴不垂直的直线l 与抛物线1C 交于P ，Q 两点，P 关于x 轴的对称点为M . （1）求抛物线1C 的方程；（2）试问直线MQ 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】（1）24y x =；（2）(2,0)-【解析】 【分析】（1）求出椭圆的焦点，容易求得抛物线的方程.（2）解法一：设直线PQ 的方程为()2y k x =-与抛物线联立，得到,P Q 横坐标关系，设直线MQ 的方程为y mx n =+与抛物线联立，得到,M Q 横坐标关系,从而得到,m n 的关系，找出定点.解法二：直线PQ 的方程为2x ty =+，与抛物线联立，得到,P Q 纵坐标关系，设直线MQ 的方程为x my n =+，与抛物线联立，得到,M Q 纵坐标关系，从而可以解出n ，得到定点.【详解】（1）由题意可知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，坐标为()1,0，所以2p =，所以抛物线的方程为24y x =；（2）【解法一】因为点P 与点M 关于x 轴对称 所以设()11,P x y ，()22,Q x y ，()11,M x y -， 设直线PQ 的方程为()2y k x =-，代入24y x =得：()22224140k x k x k -++=，所以124x x =，设直线MQ 的方程为y mx n =+，代入24y x =得：()222240m x mn x n +-+=，所以21224n x x m==，因为10x >，20x >，所以2nm=，即2n m =， 所以直线MQ 的方程为()2y m x =+，必过定点()2,0-. 【解法二】设()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,M x y ， 因为点P 与点M 关于x 轴对称，所以31y y =-， 设直线PQ 的方程为2x ty =+，代入24y x =得：2480y ty --=，所以128y y =-，设直线MQ 的方程为x my n =+，代入24y x =得：2440y my n --=，所以234y y n =-，因为31y y =-，所以()211248y y y y n -=-=-=，即2n =-， 所以直线MQ 的方程为2x my =-，必过定点()2,0-. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的关系，直线过定点问题，比较综合，对计算能力要求较高，属于难题.16．如图，已知椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>经过点()2,0A ，离心率3e =.（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）设点B 为椭圆与y 轴正半轴的交点，点C 为线段AB 的中点，点P 是椭圆Γ上的动点（异于椭圆顶点）且直线PA ，PB 分别交直线OC 于M ，N 两点，问OM ON ⋅是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）是定值，52【解析】 【分析】（Ⅰ）根据已知条件列方程组2222a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，求解椭圆方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得点C 的坐标，并求直线OC 的方程20x y -=，设()00,P x y ，()112,M y y ，()222,N y y ，根据三点共线求1y 和2y，并表示2125OM ON y y y y ==.【详解】（Ⅰ）由题意可知：22222a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆Γ的方程：2214x y +=；（Ⅱ）由已知，点C 的坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，得直线OC 的方程为20x y -=， 设()00,P x y ，()112,M y y ，()222,N y y ，因P ，A ，M 三点共线，故0110222y y y x =--，整理得0100222y y x y -=--，因P ，B ，N 三点共线，故0220112y y y x --=，整理得020022x y x y =-+， 因点P 在椭圆Γ上，故220044x y +=，从而()000012200000022222224y x x y y y x y x y x y --=⋅=---+--00220000214442x y x y x y -==+--，所以1212552OM ON y y ===为定值.【点睛】本题考查椭圆方程以及椭圆直线与椭圆位置关系的综合问题，本题所涉及直线比较多，分析问题时抓住关键求点,M N 的纵坐标并用点P 的纵坐标表示，并将OM ON 2125y y y ，这样问题迎刃而解.。
电大附中07—08年度第一学期期末高二数学及答案
电大附中07—08年度第一学期高二数学期末模拟题姓名：___________ 班级：__________ 得分：___________一、选择题(5*12=60分)1．平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以A ．B 为核心的椭圆”，那么 （ ） A ．甲是乙成立的充分没必要要条件 B ．甲是乙成立的必要不充分条件 C ．甲是乙成立的充要条件 D ．甲是乙成立的非充分非必要条件2. 直线0=++c by ax 的倾斜角为α，且0cos sin =+αα，则a 、b 知足A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a3. 在空间，下列命题正确的是 （ ） （A ）二组对边别离相等的四边形是平行四边形（B ）四边相等的四边形是平行四边形（C ）有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形 （D ）两组对角别离相等的四边形是平行四边形 4. 圆12222=+y x 与直线1sin =+⋅y x θ（R ∈θ且Z k k ∈+≠,2ππθ）的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确信 5. 方程x +y =0所表示的图形是（ ）Oxy AOxy BOxy COxy D6．直线)(01R k kx y ∈=--与椭圆1522=+by x 恒有公共点，则b 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（0，5）C ．),5()5,1[+∞D ．),1(+∞7. 若关于x 的不等式a x x ≥--+21有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3-<aB ．33≤≤-aC ．3<aD ．3≤a8. 过点(2,-2)且与双曲线x 2-2y 2=2有公共渐近线的双曲线方程是（ ）A 、12422=+-y xB 、12422=-y xC 、14222=+-y xD 、14222=-y x9. 已知04422=-+x y x ，则22y x u +=的取值范围是A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,31 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-16,31 C ．[)+∞,0 D ．[]16,0 10. 原点O 到直线0=+-λλy x 的距离设为d ，当正数λ变更时，d 的最大值为A ．22B ．2C ．1D ．21一、已知P 是椭圆12222=+by a x 上一点，F 1、F 2是椭圆的两个核心，若∠P F 1F 2=600，∠P F 2 F 1=300，则该椭圆的离心率为（ ） A13- B23C )13(2-D 213+ 12．曲线f （x ，y ）＝0关于直线x －y －2＝0对称的曲线方程是 ( ) A ．f （y ＋2，x ）＝0 B ．f （x －2，y ）＝0二、填空题（4*4=16分）13、双曲线2212x y m m -=与椭圆221530x y +=有一起的核心，则m = ． 14、一动圆M 和直线l ：x= —2相切，且通过点F （2，0），则圆心的轨迹方程是 .15. 约束条件2510260,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩所表示的区域中，整点共有___个16．点(,)M x y 在椭圆2213144x y +=上则x y +的最小值为____________。
解析几何试题
解析几何试题山东财政学院2005—2006学年第一学期期末考试《解析几何》试卷(A )一、填空（40分，每题4分）1. 设向量{3,6,1},{1,4,5},{3,4,12},a b c =--=-=-a b c + 那么向量在上的射影为.2．设{2,1,1},{1,2,1},,a b e a b =-=-单位向量同时垂直于与那么e ＝ .3．球面的中心在点(1,3,2),-而且球面通过原点，那么该球面的方程为 . 4．点(1,1,1)到平面x+3y -2=0的距离是 . 5. 点(0,0,1)到直线z y x =+=-2121的距离是 . 6．直线的与直线21123212-+=-=-=+=-z y x z -y x 距离是 .7. 过直线?=-=-113y x y x 和点(0,2,0)的平面是 .8．准线是9122x +y =z =，母线方向是（1，2，3）的柱面方程为 .（请用x,y,z 的一个方程表示） 9．直线0y z y z x -=??=?绕轴和轴旋转所生成的旋转曲面的方程分别为和 .10．中心二次曲线346843022x xy y x y -+--+=的中心为 ,线心二次曲线44632022x xy y x y -++-+=的中心直线的方程为 . 二．已知四面体的体积V ＝5，它的三个定点为(2,1,1),(3,0,1),(2,1,3)A B C --，又知它的第四个定点D 在y 轴上，试求点D 的坐标和从定点D 所引出的高的长h.三.,,a b c d设是三个两两垂直的非零向量，试证明任意向量可表示成222a d b d c d d a b c a b c=++四试求通过点(1,0,4)M -,垂直于平面34100,x y z π-+-=：13:312x y zl +-==且与直线平行的平面方程。
五. 求过点0(1,1,1)M 且与直线50:0x y z l x y z --=??+-=?垂直相交的直线的方程。
07-08线代试卷及答案
河北科技大学2007——2008 学年第一学期一． 1．设A 是4阶矩阵，则|-A |=【 】A ． -4|AB ． -|A |C ． |A |D ． 4|A |2． 设,a b 为实数，00011ab ba -=--，则 【 】 A ．0,1ab ==- B ． 0,0a b == C ．1,0a b == D ．1,1a b ==-4．设A ，B 均为3阶矩阵，若A 可逆，2)(=B R ，那么=)(AB R 【 】A ．0B ．1C ．2D ．35．设向量组m ααα,,,21 的秩为r ，则下面结论正确的是 【 】A ．必有r m <；B ．向量组中任意少于r 个向量的部分向量组都线性无关；C ．向量组中任意含有r 个向量的部分向量组也都线性无关；D ．向量组中任意1r +个向量都线性相关. 6．若0=λ是方阵10102010A a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值，则a = 【 】 A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2答案 1．C2．B4．C5．D6．C二． 1．如果3101121abc=，则333524111a b c ---=__________．2．设2阶方阵A 可逆，且1A-=3712-⎛⎫⎪-⎝⎭，则A = ．3．设向量组)2,3,1(),0,0,1(),,3,1(321-==-=αααa 线性相关, 则a =_______． 4．若3元齐次线性方程组0A x =的基础解系含2个解向量，则()R A =______． 5．设s ηηη,,,21 是非齐次线性方程组A x b =的解，又已知ss k k k ηηη+++ 2211也是A x b =的解，则=+++s k k k 21_____．6．设A 为n 阶方阵，已知矩阵A E -不可逆，那么矩阵A 必有一个特征值为______．答案 1．1 2．⎪⎪⎭⎫⎝⎛3172 3．2 4．1 5．1 6．1三． 1．向量组T :1102β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 2320β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 3211β-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭, 4235β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 求T 的一个最大无关组．3．计算行列式10020120034034D =的值．四． 若向量组321,,ααα可用向量组21,ββ线性表出，证明向量组321,,ααα线性相关． 六． 计算题（本题12分）设矩阵1414A -⎛⎫=⎪-⎝⎭，（1）求矩阵A 的特征值和特征向量；（2）问A 能否对角化？若能，求可逆矩阵P 及对角矩阵Λ，使Λ=-APP 1．答案 三． 1．构造矩阵[]4321ββββ=A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=51231202231，求得2)(=A R ，即2)(=A R矩阵A 中位于1,2行1,2列的二阶子式02231≠=，故21,ββ是T 的一个最大无关组．3．解一 按第一行展开，原式120123402034043=- 4= 解二 原式10000120034032=- 120340002=- 4=四． 证一 由于秩()12,2,ββ≤ 而向量组123,,ααα可由向量组12,ββ线性表出， 故R ()123,,ααα≤R ()12,2ββ≤，所以123,,ααα线性相关．证二 由已知条件设1111212,a a αββ=+2121222,a a αββ=+2121222,a a αββ=+……2分设有常数123,,k k k ，使得 1122330k k k ααα++=． （1） 代入整理得()()111122133121122223320a k a k a k a k a k a k ββ+++++=． 作齐次线性方程组 11112213321122223300a k a k a k a k a k a k ++=⎧⎨++=⎩ （2）由于方程组（2）的未知量的个数大于方程个数，故必有非零解． 于是存在不全为0的数321,,k k k ，使（1）成立．所以123,,ααα线性相关． 六． （1） ()14314E A λλλλλ+--==--所以A 的特征值为120,3λλ==．A的属于10λ=及23λ=的特征向量分别为()()124,1,1,1,TTk k 12,k k 为非零常数．（2）因A 无重特征值，故A 可对角化．令410,113P ⎛⎫⎛⎫=Λ=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有1P AP -=Λ．。
07-08-3高等数学A期中考试试卷参考答案
07-08-3高数A期中试卷08.4.11
学号姓名
密
封
线
一.填空题(本题共5小题，每小题5分，满分2 5分)
1. 交换二次积分的次序
；
2.设函数由方程所确定，其中是可微函数，
且，则；
3.二重积分；
4.曲线在点处的切线方程为；
5.设曲线，则曲线积分.
二．单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分)
6. 的主值为 [
]
(A) (B)
(C) (D)
连续函数，则 [ ]
(A) (B)
(C) (D)
8. 设，其中函数具有二阶连续偏导数，则 [ ]
(A) (B)
(C) (D)
9. 设具有一阶连续偏导数,且,,,
令，则 [ ]
（A）3 （B）6 （C）9 （D）12
三. 计算下列各题(本题共4小题，每小题9分，满分36分)
10．计算二重积分.
11．求函数在点处沿曲面在该点处的法线方向的方向导数.
12．计算三重积分,其中是由旋转抛物面与平面和围成的空间闭区
域.
13. 计算曲面积分，其中为上半球面含在圆柱面内的部分.
四（14）．（本题满分8分）设曲线段上任意一点处的线密度函数，
求该曲线段的质量.
（15）。
（本题满分8分）已知曲线，求上距离原点最远的点和最近的点，并求最远距离和最近距离.
六（16）.（本题满分7分）设为解析函数，其中实部与虚部的乘积满足，试求的表达式（必须用变量表示）.。
大学解析几何试卷及答案(一)
《空间解析几何》期末考试试卷(A)考试形式：闭卷考试 考试时间：120分钟班号 学号 姓名 得分1 下列等式中正确的是 ( ) A a (b c )= (a b )c B (a ⨯b )c =a (b ⨯c ) C (a b )2 =a 2b 2 D a ⨯b =c ⨯b ,b ≠0，则a =c2 已知向量a 与b 的夹角为23π, 且||3a =, ||4b =, 则2()a b +为 ( )A 14B 13C 12D 11 3 点(1,2,3)M -和平面:5340x y z π-++=间的离差为 ( )A1δ=- B 1δ= C 0δ= D 12δ=-4 直线320:0x y z l x y z +--=⎧⎨-+=⎩与平面:230x y z π+--=的交点和夹角分别为 ( )A (1,0,1)--,3π B (1,0,1)--, 6π C (1,0,1), 3π D (1,0,1)-, 6π 5 方程2350x my z ++-=与6620lx y z --+=表示二平行平面,则,l m 为 ( ) A 4,3l m =-= B 3,3l m ==- C 4,3l m ==- D 3,4l m =-= 6 二次曲线223426250x xy y x y ++--+=属于 （ ） A 抛物型 B 椭圆型 C 双曲型 D 不能确定.二 填空题(每空3分,共18分)1 中心在点(3,1,1)-且通过点(2,3,5)-的球面方程为 .2 在直角坐标系下, 通过点(1,5,3)--且与平面63520x y z --+=垂直的直线方程为 .3 与平面2340x y z -+-=平行, 且在y 轴上截距等于3-的平面方程为 .4 曲线⎩⎨⎧=++=+222222:a z y x axy x L 在xOz 面上的投影曲线方程为 . 5 二次曲线222430x xy y x y -++--=上过点()2,1的切线方程是 .6 设一条二次曲线通过两条二次曲线222610x xy y x +-+-=与2220x y x y ---=的交点，并且还通过点(2,2)-，这条二次曲线的方程为 .三 试用两种方法求过点)2,0,0(0-M ，与平面1:32180x y z ∏-+-=平行，且与直线12341:1zy x l =--=-相交的直线l 的方程. (10分)四 在空间直角坐标系中,直线1l 和2l 的方程分别为1l ：11142412x t y t z t=-+⎧⎪=-⎨⎪=--⎩和2l ：222545355x t y t z t=-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩（1）求过1l 且平行于2l 的平面方程；（2）求1l 和2l 的距离；（3）求1l 和2l 的公垂线方程.（15分） 五 求直线01xy zβα-==绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程，并就α与β可能的值讨论曲面类型.（15分）六 将二次曲线22230x xy y x y ++++=化成标准型，并作出它的图形.（14分）七 求与两直线161:321x y z l --==和284:322x y z l -+==-都相交,且与平面:2350x y ∏+-=平行的直线的轨迹. (10分)《空间解析几何》期末考试试卷答案(A)考试形式：闭卷考试 考试时间：120分钟班号 学号 姓名 得分1 下列等式中正确的是 ( B ) A a (b c )= (a b )c B (a ⨯b )c =a (b ⨯c ) C (a b )2 =a 2b 2 D a ⨯b =c ⨯b ,b ≠0，则a =c2 已知向量a 与b 的夹角为23π, 且||3a =, ||4b =, 则2()a b +为 ( B )A 14B 13C 12D 11 3 点(1,2,3)M -和平面:5340x y z π-++=间的离差为 ( C )A1δ=- B 1δ= C 0δ= D 12δ=-4 直线320:0x y z l x y z +--=⎧⎨-+=⎩与平面:230x y z π+--=的交点和夹角分别为 ( D )A (1,0,1)--,3π B (1,0,1)--, 6π C (1,0,1), 3π D (1,0,1)-, 6π 5 方程2350x my z ++-=与6620lx y z --+=表示二平行平面,则,l m 为 ( A ) A 4,3l m =-= B 3,3l m ==- C 4,3l m ==- D 3,4l m =-= 6 二次曲线223426250x xy y x y ++--+=属于 （ B ） A 抛物型 B 椭圆型 C 双曲型 D 不能确定.二 填空题(每空3分,共18分)1 中心在点(3,1,1)-且通过点(2,3,5)-的球面方程为222(3)(1)(1)21x y z -+++-=.2 通过点(1,5,3)--且与平面63520x y z --+=垂直的直线方程为153635x y z -++==--. 3 与平面2340x y z -+-=平行, 且在y 轴上截距等于3-的平面方程为2360x y z -+-=.4 曲线⎩⎨⎧=++=+222222:az y x ax y x L 在xOz 面上的投影曲线方程为220:0z ax a L y ⎧+-=⎨=⎩.5 二次曲线222430x xy y x y -++--=上过点()2,1的切线方程是5460x y --=.6 设一条二次曲线通过两条二次曲线222610x xy y x +-+-=与2220x y x y ---=的交点，并且还通过点(2,2)-，这条二次曲线的方程为2224527340x xy y x y -+--+=.三 试用两种方法求过点)2,0,0(0-M ，与平面1:32180x y z ∏-+-=平行，且与直线12341:1zy x l =--=-相交的直线l 的方程. (10分)解法一 先求l 的一个方向向量),,(Z Y X υ。
高等代数与解析几何试卷(A)参考答案及评分标准
中国计量学院2011 ~ 2012学年第 2 学期《高等代数》(2)课程试卷（A ）参考答案及评分标准一、单项选择题(每小题3分，共15分)1.D2.B3.D4.C5.A二、填空题(每小题3分，共15分)1.1111⎛⎫ ⎪-⎝⎭；2. __1，-3__；3.100010011⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭； 4. 20x y +-= 5.222x y pz +=．三、计算题1．(12分)设A 是3P 中的线性变换，且A 在基)1,1,1(1-=η,)1,0,1(2-=η,)1,1,0(3=η下的矩阵为101110121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭求A 在基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===下的矩阵.解 因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111101011， 所以 (1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=(1η,2η,3η)X ，-------------4分故A 在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为B =X 1-AX=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111101011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121011101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--203022211 -------------12分2．(12分)求λ矩阵222211λλλλλλλλλλ()A ⎛⎫-⎪=- ⎪ ⎪+-⎝⎭的标准形、不变因子、行列式因子、初等因子．解 对-λ矩阵作初等变换,有A =)(λ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--222211λλλλλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--222101λλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--)1(000001λλλλ→ )()1(0000001λλλλD =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 标准形为: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=)1(0000001)(λλλλD ；----------------------6分 不变因子为：)1()(,)(,1)(321+===λλλλλλd d d ；----------------------8分行列式因子为：)1()(,)(,1)(2321+===λλλλλλD D D ；----------------------10分初等因子为：1,,2+λλλ.----------------------12分3．(12分) 设二次型()222123123121323,,22448f x x x x x x x x x x x x =---++ ，求一正交变换 x Ty =，将二次型化为标准形. 解 二次型对应的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=242422221A ，----------------------2分且A 的特征多项式为 2)2)(7(-+=-λλλA E ，特征值为2,7321==-=λλλ．---------------------4分 相应的特征向量为 ()()()1,0,2,0,1,2,2,2,1321=-=-=ααα，---------------------6分正交化,可得 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-=1,54,52,0,1,2,2,2,1321βββ， 再单位化,有⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=535,534,532,0,51,52,32,32,31321ηηη， ----------------------8分令X=TY ，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=53503253451325325231T ，----------------------10分 则 232221'227y y y AX X ++-=．----------------------12分4.(12分) 求顶点在原点，准线为01,0122=+-=+-z y z x 的锥面方程. 解 设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为：z Z y Y xX == ----------------------3分 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,， -----------6分将它们代入准线方程，并消去参数t ，得：0)()(222=-+--y z y z z x即：0222=-+z y x此为所要求的锥面方程. ----------------------12分5. (12分)求过双曲抛物面z y x =-41622上的点（2,1,0）的直母线方程. 解：双曲抛物面z y x =-41622的两族直母线为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x u uy x )24(24 及 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-z yx v v yx )24(24----------------------6分将点（2,1,0）分别代入上面两族直母线的方程，求得,1==v u----------------------10分 因此，所求的直母线方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x yx 24124 及 ⎪⎩⎪⎨⎧==-0024z yx ----------------------12分四、证明题((每小题5分，共10分)1.在2R 中，定义变换(,)(2,2)x y x y x y σ=++． （1）证明：σ是2R 的线性变换.（2）取2R 的一组基：12(1,0),(0,1)εε==，求σ的值域2()σR 及2()σR 的一组基.证明(1)设1221x x A y y σξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，σ是2R 到R 的映射，且2,,k αβ∀=∈∀∈R R ，有()()k l A k l kA lA σαβαβαβ+=+=+，所以σ是线性变换；-----------------3分(2) 对于2R 的基：12(1,0),(0,1)εε==，有12()(1,2),()(2,1)σεσε==，易知12(),()σεσε线性无关，于是它们构成2()σR 的一组基，且值域为12()((),())((1,2),(2,1))L L σσεσε==3R .-----------------5分2.欧氏空间V 中的线性变换A 称为反对称的，如果对任意α，β∈V ，有（A α，β）= —（ α，A β）．证明：如果V 1是反对称线性变换A —子空间，则V 1⊥也是A —子空间．证明 任取∈αV 1⊥，可证A ∈αV 1⊥，即A ∈αV 1，事实上，任取β∈V 1，由于V 1是A 子空间，因此A β1V ∈，而∈αV 1⊥，故（α，A β）=0．----------------------3分再由题设，A 是反对称的，知（A α，β）= —（α，A β）=0，----------------------4分由β的任意性，即证A ∈αV 1 ．从而V 1⊥也是A —子空间．----------------------5分（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
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解析几何试题（第1页）（共6页） 解析几何试题（第2页）（共6页） 系
别____ _ ____专业________ ____班级___ ____姓名____ ___学号___ __ ____是否重修(是、否) 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 题号12345678910答案DBCCACACBD
1．iijjkk（ ）． A．1 B．0 C．3 D．0 2．下列等式中错误的是（ ）． A．2aa B．2aa C．2aaa D．22aa 3．在空间直角坐标系下，y轴的方程不能写成（ ）．
A．00xz B．00xzxz C．0y D．010xyz
4．直线25591xyz与平面43470xyz的相关位置是（ ）． A．垂直 B．直线在平面上 C．相交但不垂直 D．平行但直线不在平面上 5．两平面12361023602xyzxyz与之间的距离为（ ）. A．1/14 B．1/7 C．1/2 D．0 6．直线xaybzclmn垂直于z轴的条件是（ ）． A．0l B．0m C．0n D．0lm 7．将平面方程0AxByCz化为法式方程，法式化因子的符号（ ）． A．任选 B．与B异号 C．与A异号 D．与C异号
8．平面20z与二次曲面222112616xyz的截口为双曲线，那么这条双曲线的顶点坐标为（ ）．
A．(3,0,0) B．(3,0,0) C．(3,0,2) D．(3,0,2)
9．已知方程2221(0)xyzabcabc表示单叶双曲面，则的取值范围为（ ）． A．ba B．cb C．0 D． c
10．二次曲线2222240xxyyxy的中心是（ ）．
A．（0,0） B．（2,-1） C．10xy D．10xy
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
11．已知矢量1,2,1abab，则(,)ab3.
12．矢量1,2,12,0,1ab与所构成的三角形的面积是21/2. 13. 一直径的两端点是(1,2,3)(3,0,1)与的球面方程为222(2)(1)(1)6xyz.
14. 曲线22213xyzy关于xOz面的射影柱面方程为2280xz.
15. 过点(1,2,1)M且与直线2341xtytzt垂直的平面方程为340xyz. 16. 过点(2,3,5)且与平面6352xyz垂直的直线方程为235635xyz
.
17. 在yOz面上的抛物线25yz绕z轴旋转一周所得的旋转曲面的方程为225xyz.
数学系专科07－08学年第一学期试题A参考答案及评分标准 解析几何（2007级） 解析几何试题（第3页）（共6页） 解析几何试题（第4页）（共6页） 系
别____ _ ____专业________ ____班级___ ____姓名____ ___学号___ __ ____是否重修(是、否) 18. 方程22221xyz的图形名称为 单叶双曲面 .
19. 设直线1322xyzk与直线3143xyzk垂直，则k 6/5 . 20. 二次曲线2232340xxyyxy的渐近方向为 1:1或2:1 . 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 21．求同时垂直于矢量2,1,11,2,1ab与的单位矢量.
解法1 ∵ 1,3,5ab ……………………………………………………………2分 ∴ 由题设可设所求矢量为1,3,5,3,5c，……………5分 且 2222()(3)(5)351c ……………………………7分 解之得 135. …………………………………………………………………8分
故所求单位矢量为135135,, ,,.353535353535或 …………10分 解法2 设所求矢量为cxyz,,，则由题设可得 ……………………………2分
22220,20,1.xyzxyzxyz
…………………………………………………6分
解之得 135,,353535xyz ……………………………………8分 故所求单位矢量为135135,, ,,.353535353535或 …………10分 22．求过单叶双曲面22219416xyz上的点(6,2,8)的直母线方程. 解 设单叶双曲面的u族与v族直母线的方程分别为
1,1,342342 1;1;342342xzyxzywutvxzyxzyuwvt
与 ……………………
4分
将点(6,2,8)分别代入上面方程组，求得 :1:2 wut与 ……………………………………………………6分
代入直母线族方程，得过(6,2,8)的两条直母线分别为
21,10,3422 0.21;34342xzyyxzxzy
与 ………………………………………8分
即 4123240,20, 43360;430.xyzyxyzxz与 ………………………………10分 23．求二次曲线22210xyxy的主方向. 解 ∵ 1201000,10,10II ………………………………………2分 ∴ 曲线为中心曲线，它的特征方程为 210 ………………………4分 解之得两特征根为： 121,1. …………………………………………5分
由特征根11确定的主方向为 11:1:(10)1:1;XY ……………………8分 由特征根21确定的主方向为 22:(10):11:1.XY ………………10分 四、（10分）求通过点(1,0,1)P且与平面230xyz平行，又与直线11321xyz相交的直线方程.
解法1 由于所求直线可看成是过P点且与已知平面平行的平面和所求直线与已知直线的所的平面的交线，所以有 ………………………………………………4分 2320113210202xyzxyz
………………………………………………8分 解析几何试题（第5页）（共6页） 解析几何试题（第6页）（共6页） 系
别____ _ ____专业________ ____班级___ ____姓名____ ___学号___ __ ____是否重修(是、否) 于是所求平面方程为 232020xyzxyz. …………………………………10分
解法2 设所求直线的方向矢量为,,vXYZ，则由题设有 ………………2分 2303210202XYZXYZ
…………………………………………6分
化简，得 23020XYZXYZ …………………………………………7分 解之，得 ::2:1:0XYZ …………………………………………8分 故所求直线的对称式方程为 11210xyz …………………………………………10分
五、（10分）求通过点12(0,0,1)(3,0,0)MM和与坐标面xOy成60角的平面方程. 解法1 由题设知所求平面与y轴有交点，并设交点坐标为（0,b,0），则可设所求平面方程为
1 333031xyzbxybzbb，即， …………………………………4分
而坐标面xOy的方程为 0z. ……………………………………5分 于是由两平面的夹角公式有
22233cos609(3)109bbbbb ………………………………8分
解之得 326b. ………………………………………………………………9分 于是所求平面方程为 26330xyz. ……………………………………10分 解法2 设所求平面方程为 0AxByCzD ……………………………2分 因为所求平面过点12(0,0,1)(3,0,0)MM和与坐标面xOy成60角，所以
2220,30,1cos602CDADCABC
……………………………………7分
解之得 26,,33DCDABD. ………………………………………9分 于是所求平面方程为 26330xyz. ……………………………………10分 六、（10分）已知曲线2221zxxy绕z轴旋转一周，求这个旋转曲面的方程. 解 设1111(,,)Mxyz为母线上的任一点，则过1M的纬圆方程为 222222111
1
(1)
(2)xyzxyzzz
………………………4分
又1M在母线上，所以有 2112211,(3)(4)1,zxxy …………………………5分 由（2），（3），（4）得 22111,1,xzyzzz. …………………………………6分 将它们代入（1）得 2222(1)xyzzzz
即 221xy. ……………………………………………………………8分 由22111,1,xzyzzz可知 01z ……………………………………………9分 于是所求旋转曲面的方程为 221xy（01z）. ……………………10分