直线系和圆系公式及其应用
圆和直线联立△公式
圆和直线联立△公式圆和直线联立△公式在几何学中，圆和直线联立△公式是指在平面直角坐标系中，已知一个圆和一条直线的方程，求解它们的交点，并进一步计算出△（三角形）的面积和周长。
以下是与该公式相关的几个公式及其解释说明：1. 圆的方程圆的方程通常采用标准式表示：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2其中 (a, b) 是圆心的坐标，r 是圆的半径。
2. 直线的方程直线的方程常见的有两种形式：斜截式和一般式。
斜截式斜截式方程表示为：y = kx + b其中 k 是斜率，b 是 y 轴截距。
一般式一般式方程表示为：Ax + By + C = 0其中 A、B、C 是常数，A 和 B 不同时为零。
3. 圆和直线联立已知圆的方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，直线的方程为Ax + By + C = 0，我们将两个方程联立，求解它们的交点。
求解交点将直线方程中的 y 替换为(kx + b)，并代入圆的方程，得到一个关于 x 的二次方程。
解这个二次方程，可以得到两个不同的 x 值，分别代入直线方程，求出对应的两个 y 值，即得到两个交点的坐标。
计算△的面积已知两个交点的坐标 (x1, y1) 和 (x2, y2)，我们可以通过距离公式计算出三个边的长度（a、b、c），然后利用海伦公式计算出三角形的面积：s = (a + b + c)/2area = √(s(s-a)(s-b)(s-c))其中，s 是周长的一半，area 是三角形的面积。
计算△的周长已知两个交点的坐标 (x1, y1) 和 (x2, y2)，我们可以通过距离公式计算出三个边的长度（a、b、c），然后将三个边长相加，得到三角形的周长。
示例示例一：已知圆的方程(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25，直线的方程2x +3y - 5 = 0。
1. 求解交点将直线方程中的 y 替换为(kx + b)，并代入圆的方程，得到二次方程：(x-2)^2 + (2x+3-5)^2 = 25解这个二次方程，得到两个不同的 x 值：x1 = 0, x2 = 4。
直线系、圆系方程
直线系方程1、过定点的直线系方程在解题中的应用过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A ,B 不同时为0）.例1：求过点(14)P -，且与圆22(2)(3)1x y -+-=相切的直线方程．分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.解析：设所求直线的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零），则整理有40Ax By A B ++-=，∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径1，故222341A B A B A B ++-=+，整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠．故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=．点评：对求过定点(0x ,0y )的直线方程问题，常用过定点直线系法，即设过该定点的直线系方程为:00()()0A x x B y y -+-=，注意此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．2、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）的交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）.例2：求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解.解析：设所求直线方程为：21(21)0x y x y λ+++-+=，当直线过原点时，则1λ+=0，则λ=－1，此时所求直线方程为：20x y -=；当所求直线不过原点时，令x =0，解得y =12λλ+-，令y =0，解得x =121λλ+-+，由题意得，12λλ+-=121λλ+-+，解得13λ=，此时，所求直线方程为：5540x y ++=.综上所述，所求直线方程为：20x y -=或5540x y ++=.3、垂直直线系方程在解题中的应用与直线：0Ax By C ++=（A ,B 不同时为0）垂直的直线系方程为：0Bx Ay C '-+=.例3：已知直线l 是曲线21y x =+的一条切线且与直线250x y -+=垂直，求直线l 的方程.分析：本题是已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，可用垂直直线系法.解析：设l ：20x y c ++=，由2120y x x y c ⎧=+⎨++=⎩消去y 得，2210x x c +++=，由l 与曲线21y x =+相切得，∆=224(1)c -+=0，解得c =0，∴l ：20x y +=.点评：对已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用垂直直线系法，可以简化计算.本题设出切点坐标，用导数求出切线斜率，利用切线与已知直线垂直，列出关于切点横坐标的关系式，求出切点横坐标，写出直线方程.4、平行直线系方程在解题中的应用与直线：0Ax By C ++=（A ,B 不同时为0）平行的直线系方程为：0Ax By C '++=（C C '≠）.例4：直线l 平行于两平行直线3x +4y －10=0和3x +4y －35=0，且分这两平行线间的距离为2：3，求直线l 的方程.解：设l ：3x +4y +m =0(－35<m <－10)，35|10|25|10|=+=+m m 或由，解得m =－20或m =-25，故所求直线l 的方程为：3x +4y －20=0或3x +4y －25=0.点评：对于已知两直线平行或由一条直线方程求另一直线方程问题，常用平行直线系法，以简化计算。
直线方程和圆的方程概念及知识点拓展(高中数学)
直线与圆的概念公式及拓展一．直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角α的范围[)π，0。
当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0。
注意几种角的范围：异面直线所成的角⎥⎦⎤ ⎝⎛2,0π； 直线和平面所成角⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，； 二面角[]π，0； 两向量的夹角[]π，0；2.斜率定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率k ， 即k=tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率。
直线方程：Ax+By+C=0的斜率BAk -=。
方向向量：若()n m a ,=为直线的方向向量，则直线的斜率mn k =。
已知直线上两点：过两点()),(,,2211y x y x 的直线的斜率1212x x y y k --=。
二．直线方程的五种形式：1.点斜式：已知直线过点(x 0，y 0)，斜率为k ，则直线方程)(00x x k y y -=-，它不包括垂直于x 轴的直线。
2.斜截式：已知直线斜率为k ，在y 轴上的截距b ，则直线方程为y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线。
3.两点式：已知直线过了P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2，y 1≠y 2)两点，则直线方程为121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于x 轴的直线。
4.截距式：已知直线在x ，y 轴上的截距分别为a ，b ( a ≠0，b ≠0)则直线方程为1=+bya x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。
5.直线的一般式方程：任何直线都可以写成Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)的形式。
拓展：1.直线在坐标轴上的截距可正，可负，也可为0。
直线的斜率为1或直线过原点，则直线两截距互为相反数； 直线的斜率为-1或直线过原点，则直线两截距相等。
2.设直线方程的一些常用技巧：（1）已知直线y 轴截距b ，常设其方程为y ＝kx ＋b 。
圆的方程专题2：直线系与圆系方程-高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义 (解析版)
直线系与圆系方程1 直线系方程(1)过点(x0 ,y0)的直线系方程为A(x−x0)+B(y−y0)=0(其中A ,B不全为零)(2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程Ax+By+C0=0(C≠C0)；(3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程Bx−Ay+C0=0；(4)过两条已知直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R , 这个直线系下不包括直线l2:A2x+B2y+C2=0，解题时注意检验l2是否满足题意)【例】写出与直线x−2y+1=0平行、垂直的直线系方程.解与直线x−2y+1=0平行的直线系方程分别为x−2y+m=0，与直线x−2y+1=0垂直的直线系方程分别为2x+y+m=0.2 圆系方程(1)以(a ,b)为圆心的同心圆圆系方程：(x−a)2+(y−b)2=λ(λ>0)；(2)与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0同心圆的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+λ=0；(3)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R)；(4)过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠−1 , 此圆系不含C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0)特别地，当λ=−1时，上述方程为一次方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.【例】直线l:x−2y+1=0，圆C1:x2+y2+2x−2y+1=0，圆C2:x2+y2+x+y= 0，写出过直线l与圆C1交点的圆系方程，过圆C1与圆C2交点的曲线方程，过圆C1与圆C2交点的公共弦方程.解过直线l与圆C1交点的圆系方程为x2+y2+2x−2y+1+λ(x−2y+1)=0，化简为x2+y2+(2+λ)x−(2+2λ)y+1+λ=0；过圆C1与圆C2交点的曲线方程x2+y2+2x−2y+1+λ(x2+y2+x+y)=0，化简为(1+λ)x2+(1+λ)y2+(2+λ)x+(λ−2)y+1=0，令λ=−1，得过圆C1与圆C2交点的公共弦方程x−3y+1=0.3 过圆上一点的切线方程过圆上一点P(x0 ,y0)作圆⨀M:(x−a)2+(y−b)2=r2的切线l方程为(x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r2证明 向量法 向量PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −x 0 ,b −y 0)，设切线上任意一点B(x ,y)，∵l ⊥PM ，∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴(a −x 0 ,b −y 0)(x −x 0 ,y −y 0)=0⇒(a −x 0)(x −x 0)+(b −y 0)(y −y 0)=0即切线l 方程为(a −x 0)(x −x 0)+(b −y 0)(y −y 0)=0.∵(a −x 0)(x −x 0)+(b −y 0)(y −y 0)=0⇒(a −x 0)(x −a +a −x 0)+(b −y 0)(y −b +b −y 0)=0⇒(a −x 0)(x −a )+(a −x 0)2+(b −y 0)(y −y 0)+(b −y 0)2=0⇒(a −x 0)(x −a )+(b −y 0)(y −y 0)+r 2=0⇒(x 0−a)(x −a)+(y 0−b)(y −b)=r 2∴切线l 方程也可以写成(x 0−a)(x −a)+(y 0−b)(y −b)=r 2.【例】 求过点(1,−2)作圆(x +2)2+(y +1)2=1的切线方程.解 切线方程为(1+2)(x +2)+(−2+1)(y +1)=1，化简为3x −y +4=0.【题型一】直线系方程【典题1】求过两条直线y =2x +3与3x −y +2=0的交点，且分别满足下列条件的直线方程：(1)斜率为−12； (2)过点P(2,3)； (3)平行于直线3x +y =1．解析 直线y =2x +3与3x −y +2=0的交点为(1,5)，方法一(1)当斜率为−12时，由直线的点斜式方程得：直线方程为y −5=−12(x −1)．直线方程为x +2y －11=0．(2)过点P(2,3)时，由两点式得：y －5=3−52−1(x －1)即为y =−2x +7．直线方程为2x +y −7=0．(3)平行于直线3x +y =1时，得直线斜率为k =－3，直线方程为y −5=−3(x －1)， 即直线方程为3x +y −8=0．方法二 由直线系方程可设所求直线为2x +3−y +λ(3x −y +2)=0(1) 2x +3−y +λ(3x −y +2)=0⇒(2+3λ)x −(λ+1)y +2λ+3=0直线的斜率为−12时，2+3λλ+1=−12，解得λ=−57， 故所求直线方程为x +2y －11=0．(2) 过点P(2,3)时，代入方程得4+5λ=0⇒ λ=−45，故所求直线方程为2x +y －7=0．(3) 平行于直线3x +y =1时，2+3λλ+1=−3，解得λ=−56,故所求直线方程为3x +y －8=0．点拨 此题是直线系问题.从本题来看，用直线系方程的方法求解对于一般的解法也没有优势，这里只是拓展大家的思路.【巩固练习】1.求过两直线x −2y +4=0和x +y −2=0的交点P ，且分别满足下列条件的直线l 的方程．(1)过点(2 ,1)； (2)和直线3x −4y +5=0垂直．答案 (1) x +2y −4=0 (2) 4x +3y −6=0解析 由{x −2y +4=0x +y −2=0 解得{x =0y =2，∴P(0 ,2)．(1)设过点P 的直线方程为x −2y +4+λ(x +y −2)=0，∵过点(2 ,1)，∴2−2+4+λ=0⇒λ=−4，故所求直线方程为x −2y +4−4(x +y −2)=0⇒x +2y −4=0.(2) 设所求直线为4x +3y +λ=0,∵过点P(0 ,2)，∴0+6+λ=0⇒λ=−6，故所求直线方程为4x +3y −6=0.【题型2】过圆上一点的切线方程【典题1】求过点P(−1 ,4)，圆(x −2)2+(y −3)2=1的切线l 的方程．解析 方法一 当直线l 斜率不存在时，方程为x =−1，显然不是切线，故可设切线方程为y =k (x +1)+4，∵直线l 与圆相切，∴圆心(2 ,3)到直线l 的距离等于半径1，故√1+k 2=1，解得k =0或−34，故所求直线l 的方程为y =4或3x +4y −13=0．方法二 如方法一，设切线方程为y =k (x +1)+4，由{y =k (x +1)+4(x −2)2+(y −3)2=1得(1+k 2)x 2+(2k 2+2k −4)x +k 2+2k −4=0其判别式∆=(2k 2+2k −4)2−4(1+k 2)(k 2+2k −4)=0 , 解得k =0或−34 ,故所求直线l的方程为y=4或3x+4y−13=0．方法三因为切线过点P(−1 ,4)，故可设所求直线的方程为A(x+1)+B(y−4)=0(其中A ,B不全为零)，∵直线l与圆相切，=1∴圆心(2 ,3)到直线l的距离等于半径1，故√A2+B2,B≠0．整理，得A(4A−3B)=0，即A=0(这时B≠0)或A=34故所求直线l的方程为y=4或3x+4y−13=0．点拨本题的方法很多，这里利用了直线系方程，过点(x0 ,y0)的直线系方程为A(x−x0)+ B(y−y0)=0(其中A ,B不全为零) , 它比起斜截式y=kx+b的设法好在不用对k的存在进行讨论.【巩固练习】1.求过点P(1 ,3)且与圆(x+1)2+y2=4的相切的直线l的方程．答案x=1或5x+12y+31=0解析因为切线过点P(1 ,3)，故设所求直线的方程为A(x−1)+B(y−3)=0(其中A ,B不全为零)，=2，∵直线l与圆相切，∴圆心(−1 ,0)到直线l的距离等于半径2，故√A2+B2,≠0，整理得B(5B+12A)=0，即B=0(这时A≠0)或A=−512故所求直线l的方程为x=1或5x+12y+31=0．2. 求过点P(0,√3)且与圆(x+1)2+y2=4的相切的直线l的方程．答案x+√3y−3=0.解析易发现点P(0,√3)在圆(x+1)2+y2=4上，故直线l的方程为(0+1)(x+1)+√3y=4，化简得x+√3y−3=0，即所求直线l的方程为x+√3y−3=0.【题型3】圆系方程【典题1】经过直线2x−y+3=0与圆x2+y2+2x−4y+1=0的两个交点，且面积最小的圆的方程是．解析方法一(面积最小的圆是以两个交点为直径的圆)∵圆x2+y2+2x−4y+1=0的方程可化为(x+1)2+(y−2)2=4．∴圆心坐标为(−1 ,2)，半径为r=2；∴圆心到直线2x−y+3=0的距离为d=，√5设直线2x−y+3=0和圆x2+y2+2x−4y+1=0的交点为A ,B，则|AB|=2√r 2−d 2=2√4−15=√19√5，∴过点A ,B 的最小圆半径为√19√5，联立{2x −y +3=0x 2+y 2+2x −4y +1=0得5x 2+6x −2=0，故x 1+x 2=−65，则圆心的横坐标为：12(x 1+x 2)=−35，纵坐标为2×(−35)+3=95，∴最小圆的圆心为(−35 ,95)，∴最小圆的方程为(x +35)2+(y −95)2=195．方法二 依题意，可设过点A 、B 两点圆的方程为x 2+y 2+2x －4y +1+λ(2x −y +3)=0，(利用圆系方程把满足题意的所有圆表示出来，再用代数的方法求面积最小的圆) 整理得(x +λ+1)2+(y −4+λ2)2=54λ2+λ+4 若要使得圆的面积最小，则只需半径最小，即54λ2+λ+4取到最小值，而54λ2+λ+4=54(λ+25)2+195≥195，当λ=−25时取到最小值，此时圆的方程为(x +35)2+(y −95)2=195.点拨 本题是过直线与圆交点的圆系问题.方法一可以说是从几何的角度得出思路求解，而方法二算是“代数法”，略显简洁些.【典题2】 已知圆C 1：x 2+y 2=10与圆C 2：x 2+y 2+2x +2y −14=0．(1)求证：圆C 1与圆C 2相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程；(3)求经过两圆交点，且圆心在直线x +y −6=0上的圆的方程．解析 (1)证明：(圆心距C 1C 2∈(R −r ,R +r)⇔两圆相交)圆C 2：x 2+y 2+2x +2y −14=0化为标准方程为(x +1)2+(y +1)2=16∴C 2(−1 ,−1)，r =4∵圆C 1：x 2+y 2=10的圆心坐标为(0 ,0)，半径为R =√10∴|C 1C 2|=√2 ,∵4−√10<√2<4+√10，∴两圆相交；(2)(两圆方程相减所得方程即是公共弦所在直线方程)将两圆方程相减，可得2x +2y −4=0，即两圆公共弦所在直线的方程为x +y −2=0；(3)方法一 (先求出两个交点，再求圆心与半径得圆的方程，思路很直接)由{x 2+y 2+2x +2y −14=0x 2+y 2=10解得{x =3y =−1或{x =−1y =3，(这里还是有些计算量的)则交点为A (3 ,−1) ,B(−1 ,3)，∵圆心在直线x +y −6=0上，设圆心为P(6−n ,n)，则AP =BP ，解得n =3，故圆心P(3 ,3)，半径r =AP =4，∴所求圆的方程为(x −3)2+(y −3)2=16．方法二 设所求圆的方程为x 2+y 2+2x +2y −14+λ(x 2+y 2−10)=0(λ≠−1) 即(1+λ)x 2+(1+λ)y 2+2x +2y −14−10λ=0 ∴圆心坐标为(−11+λ ,−11+λ)代入直线x +y −6=0可得：−11+λ−11+λ−6=0，∴λ=−43∴所求圆的方程为x 2+y 2−6x −6y +2=0．点拨 此题是过圆与圆交点的圆系问题.① 两圆之间的位置关系看圆心距O 1O 2与两圆半径R 与r 之间的关系；② 过两圆C 1：x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0，C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0交点的圆系方程为x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1+λ(x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2)=0(λ≠−1 , 此圆系不含C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0)特别地，当λ=−1(即两圆方程相减)时，上述方程为一次方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.③ 方法的选取在于思考难度、计算量、严谨性性等.【巩固练习】1.求经过原点，且过圆x 2+y 2+8x －6y +21=0和直线x －y +7=0的两个交点的圆的方程．答案 x 2+y 2+5x －3y =0解析 (1)设圆的方程为x 2+y 2+8x －6y +21+λ(x －y +7)=0，代入(0,0)，可得21+7λ=0，∴λ=－3，∴圆的方程为x 2+y 2+8x －6y +21－3(x －y +5)=0，即x 2+y 2+5x －3y =0.2.求经过圆x 2+y 2+8x －6y +21=0与直线x －y +5=0的交点且在y 轴上的弦长为2√33的圆的方程．答案 x 2+y 2−2x +4y −29=0或x 2+y 2+26x −24y +111=0解析 设所求的圆的方程为(x 2+y 2+8x −6y +21)+k(x −y +5)=0，且与y 轴的交点坐标为y 1、y 2，令x =0得(y 2−6y +21)+k(−y +5)=0，化简得y 2−(k +6)y +21+5k =0， ∴y 1+y 2=k +6，y 1⋅y 2=5k +21，由|y 1−y 2|=2√33两边平方得(y 1+y 2)2－4y 1⋅y 2=132，∴(k +6)2－4(5k +21)=132，化简得k 2－8k －180=0，解得k =－10或k =18，∴所求圆的方程为(x 2+y 2+8x −6y +21)－10(x −y +5)=0，或(x 2+y 2+8x −6y +21)+18(x −y +5)=0，∴所求圆的方程为x 2+y 2−2x +4y −29=0或x 2+y 2+26x −24y +111=0.3.求经过两圆x 2+y 2+6x −4=0和x 2+y 2+6y −28=0的交点，并且圆心在直线x −y −4=0上的圆的方程．答案 x 2+y 2−x +7y －32=0解析 设经过两圆x 2+y 2+6x −4=0和x 2+y 2+6y −28=0的交点的圆的方程，为(x 2+y 2+6x －4)+λ(x 2+y 2+6y －28)=0，即x 2+y 2+61+λx +6λ1+λy −4+28λ1+λ=0， 则它的圆心坐标为(−31+λ,−3λ1+λ)．再根据圆心在直线x −y −4=0上，可得−31+λ+3λ1+λ−4=0，解得λ=−7，故所求的圆的方程为x 2+y 2−x +7y －32=0．4.已知圆C 1：x 2+y 2−3x −3y +3=0，圆C 2：x 2+y 2−2x −2y =0．(1)求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．(2)求过两圆交点且面积最小的圆的方程． 答案 (1) x +y −3=0,√6 (2) (x −32)2+(y −32)2=32解析 (1)设两圆的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则A 、B 两点的坐标是圆C 1：x 2+y 2−3x −3y +3=0，圆C 2：x 2+y 2−2x −2y =0，联立方程组的解，两方程相减得：x +y −3=0，∵A 、B 两点的坐标都满足该方程，∴x +y −3=0为所求．将圆C 2的方程化为标准形式，(x −1)2+(y −1)2=2，∴圆心C 2(1,1)，半径r =√2． 圆心C 2到直线AB 的距离d =√2=√2，|AB|=√6．即两圆的公共弦长为√6．(2)C 1(32,32),C 2(1,1)，直线C 1C 2方程：x −y =0．{x −y =0x +y −3=0，交点为(32,32)， 即为圆的圆心，半径r =√32， 所以圆的方程是：(x −32)2+(y −32)2=32．【A 组---基础题】1.求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程：l 1：x −2y +2=0，l 2：2x −y −2=0；答案 y =x解析 方法一 方程组{x −2y +2=02x −y −2=0得{x =2y =2所以，l 1与l 2的交点是(2,2)．设经过原点的直线方程为y =kx ，把点(2,2)的坐标代入以上方程，得k =1，所以所求直线方程为y =x ．方法二 过直线l 1与l 2的交点的直线可设为x −2y +2+λ(2x −y −2)=0因为过原点，故2−2λ=0⇒λ=1，则所求直线方程为y =x .2.已知直线x +2y =0与圆x 2+y 2−2x =0的交点为A 、B ，(1)求弦长AB ；(2)求过A 、B 两点且面积最小的圆的方程．答案 (1) 45√5 (2) (x −45)2+(y +25)2=45解析 (1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则直线x +2y =0与圆x 2+y 2−2x =0联立，消去x ，可得5y 2+4y =0，∴y 1=0,y 2=−45,∴{x1=0y 1=0,{x 2=85y 2=−45，∴|AB|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=45√5.(2)所求圆的圆心为AB 中点C(45,−25)，所求面积最小的圆的方程是(x −45)2+(y +25)2=45.3.求圆心在直线3x +4y −1=0上，且过两圆x 2+y 2−x +y －2=0与x 2+y 2=5交点的圆的方程．答案 x 2+y 2+2x −2y −11=0解析设所求圆的方程为(x2+y2−x+y−2)+m(x2+y2−5)=0．整理得(1+m)x2+(1+m)y2−x+y−2−5m=0．圆心坐标为(12(1+m),−12(1+m))代入3x+4y−1=0得m=−32，∴所求圆的方程为x2+y2+2x−2y−11=0．4.过圆x2+y2=4内一点A(1 ,1)作一弦交圆于B、C两点，过点B、C作圆的切线PB、PC，求点P的轨迹方程.答案x+y=4解析设B(x1,y1),C(x2,y2)，P(x0,y0)，则过圆x2+y2=4上的B,C点的切线方程分别为：xx1+yy1=4,xx2+yy2=4，P点在切线上；∴x0x1+y0y1=4，x0x2+y0y2=4；∴直线BC的方程为：xx0+yy0=4；直线BC过点A(1,1)；∴x0+y0=4；∴点P的轨迹方程为x+y=4．故答案为：x+y=4．5.已知点M(2,－2)，圆O：x2+y2=3(O为坐标原点)．(1)求经过M，以及圆O与圆x2+y2+3x=0交点的圆的方程；(2)过点M向圆O引两条切线，切点分别为A,B，求直线AB的方程．答案(1)3x2+3y2−5x−14=0(2) 2x−2y=3.解析(1)设圆的方程为x2+y2+3x+λ(x2+y2−3)=0，因为点M(2,－2)在圆上，所以λ=−145，所求圆的方程是3x2+3y2−5x−14=0；(2)以MO为直径的圆C的方程为x2+y2−2x+2y=0，则由圆系方程可知圆C与圆O方程相减即得直线AB方程为是2x−2y=3．若切点弦的公式可直接得到2x−2y=3.6.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线l：4x−3y−3=0截得的弦长为2√3．(1)圆C的方程；(2)设P是直线x+y+4=0上动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P ,C 三点的圆必过定点，并求所有定点坐标．答案(1)(x−2)2+y2=4 (2)(−1 ,−3)和(2 ,0)解析(1)设圆C的圆心为(a,0)，则圆心到直线l的距离d=|4a−3|5．由题意可得，d2+(√3)2=r2，即(4a−3)225+3=4，解得a =2或a =−12(舍)．∴圆C 的方程为(x −2)2+y 2=4；(2)证明：∵P 是直线x +y +4=0上的点，∴P(m,−m −4)．∵PA 为圆的切线，∴PA ⊥AC,即过A,B,C 三点的圆是以PC 为直径的圆．设圆上任意一点Q(x,y)，则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．∵PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −m,y +m +4)，CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y)，∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −m)(x −2)+y(y +m +4)=0，即x 2+y 2－2x +4y +m(－x +y +2)=0．故{x 2+y 2−2x +4y =0−x +y +2=0，解得{x =−1y =−3或{x =2y =0．因此经过A,P,C 三点的圆必过定点(－1,－3)和(2,0)．【B 组---提高题】1.已知圆C ：x 2+y 2=1，直线l ：x +y +2=0，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A,B ，则直线AB 过定点( )A ．(−12,−12)B ．(−1,−1)C ．(−12,12)D ．(12,−12)答案 A解析 根据题意，P 为直线l ：x +y +2=0上的动点，设P 的坐标为(t,−2−t)，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A,B ，则PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，则点A 、B 在以PC 为直径的圆上，又由C(0,0),P(t,−2−t)，则以PC 为直径的圆的方程为x(x −t)+y(y +2+t)=0， 变形可得：x 2+y 2−tx +(t +2)y =0，则有{x 2+y 2=1x 2+y 2−tx +(t +2)y =0，联立可得：1−tx +(t +2)y =0，变形可得：1+2y −t(x −y)=0，即直线AB 的方程为1+2y −t(x −y)=0，变形可得：1+2y −t(x −y)=0，则有{1+2y =0x −y =0，解可得{x =−12y =−12，故直线AB 过定点(−12,−12)，故选：A ．2.已知圆C 的方程为(x +2)2+y 2=4，点M 在圆C 上运动，点N 的坐标是(2,0)．(1)若线段MN 的中点形成的轨迹为G ，求轨迹G 的方程；(2)点P在直线x=8上，过P点引轨迹G的两条切线PA、PB，切点为A、B，求证：直线AB恒过定点．答案(1)x2+y2=1(2) (18,0)解析(1)设线段MN的中点(x,y)，则M(2x−2,2y)∵NM在圆(x+2)2+y2=4上运动∴(2x−2+2)2+(2y)2=4,即x2+y2=1①；(2)连接OA,OB，∵PA,PB是圆C的两条切线，∴OA⊥AP,OB⊥BP，∴A,B在以OP为直径的圆上，设点P的坐标为(8,b),b∈R，则线段OP的中点坐标为(4,b2)∴以OP为直径的圆方程化简得：x2+y2－8x－by=0,b∈R，②∵AB为两圆的公共弦，∴①－②得：直线AB的方程为8x+by=1,b∈R，即8(x−18)+by=0，则直线AB恒过定点(18,0)．【C组---拓展题】1.已知直线l：y=kx−2，M(−2 ,0) ,N(−1 ,0)，O为坐标原点，动点Q满足|QM||QN|=√2，动点Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线l与圆O：x2+y2=2交于不同的两点A ,B，当∠AOB=π2时，求k的值；(3)若k=12，P是直线l上的动点，过点P作曲线C的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点．答案(1)x2+y2=2(2) ±√3(3)(12,−1)解析(1)设点Q(x ,y)，依题意知|QM||QN|=√(x+2)2+y2√(x+1)2+y2=√2 ，整理得x 2+y 2=2，∴曲线C 的方程为x 2+y 2=2；(2)∵点O 为圆心，∠AOB =π2，∴点O 到l 的距离d =√22r ，∴√k 2+1=√22⋅√2⇒k =±√3 ；(3)由题意可知：O 、P 、C 、D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上， (对角互补的四边形的四顶点共圆)设P(t ,12t −2)，则圆心(t 2 ,t 4−1)，半径√t 24+(t4−1)2得(x −t 2)2+(y −t 4+1)2=t 24+(t 4−1)2即x 2−tx +y 2−(12t −2)y =0 又C 、D 在圆O ：x 2+y 2=2上∴l CD ：tx +(12t −2)y −2=0即 (x +y2)t −2y −2=0(直线CD 是两圆的公共弦所在直线，故两圆方程相减便得其方程) 由{x +y 2=02y +2=0得 {x =12y =−1，∴直线CD 过定点(12 ,−1).。
直线系与圆系方程
此圆过点M（2， 2）， 4 4 0,即 1
所求圆的方程为： 2 y 2 3x 2 0 x
练习:求经过两圆 x 2 y 2 6 x 4 0 和 2 2 x y 6 y 28 0 的交点，并且圆心在直线 x-y-4=0上的圆的方程
x y x 7 y 32 0
2 2
两圆公共弦方程
若圆 C1：x 2 y 2 D1 x E1 y F1 0, 圆C 2：x 2 y 2 D2 x E2 y F2 0相交于 A, B
则称线段AB为两圆的公共弦，且过 的直线的方程为： AB ( D2 D1 ) x ( E2 E1 ) y ( F2 F1 ) 0 简单来说，就是两个圆 相减
4x-3y-6=0 且平行于直线 x - 3y 7 0的直线是: ______ 4
圆系方程
若圆C1：x 2 y 2 D1 x E1 y F1 0, 圆C2：x 2 y 2 D2 x E2 y F2 0
则过 C1与C 2交点的圆系方程为： x 2 y 2 D1 x E1 y F1 ( x 2 y 2 D2 x E2 y F2 ) 0
直线系方程的种类3:
3.过直线l1 : A1 x B1y C1 0与l2 : A2 x B 2 y C2 0 交点的直线系为： A1 x B1y C1 （A2 x B 2 y C2） 0
例3: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点， 且满足下列条件的直线L的方程。 (1) 过点(2, 1) (2) 和直线3x-4y+5=0垂直。
y=x 原点的直线方程是: ______
直线系圆系方程
圆系方程
例 题
圆系方程
1、求过圆 C 1 : x 2 y 2 2 x 3 0, C2 : x 2 y2 4x 2 y 3 0 的交点，且过原点的圆 的方程
过两圆C i : x 2 y 2 Di x E i y Fi 0 ( i 1,2 ) 交点的圆系方程
证明：方程 3 x 2 10 xy 3 y 2 9 x 5 y 12 0 表示的曲线是两条直线
直线系方程
例3、问k为何值时，方程 3 x 2 2 xy y 2 7 x 5 y k 0 表示两条直线?
解（待定系数法）：将方程化作：
(3 x y )( x y ) (7 x 5 y ) k 0 设： ( 3 x y m )( x y n) 0
2
2
x 2 y 2 Dx Ey F＋ ( Ax By C ) 0
圆系的定义： 具有某种共同性质的圆 的集合，称为圆系。
圆系方程
常见的圆系方程：
1、同心圆系( x a)2 ( y b)2 r 2 (a, b是常数， r是参数 )
2、过两圆C i : x 2 y 2 Di x E i y Fi 0 ( i 1,2 ) 交点的圆系方程
解（2）：将（1）中所设的方程变为：
(1 ) x ( 2) y (4 2 ) 0
解得： k
1 2
由已知：
1 3 1 2 4
11
故所求得方程是： 4 x
3y 6 0
练习1
直线系方程
一. 已知直线分别满足下列条件，求直线的方程：
x 2 y 2 D1 x E1 y F1 ( x 2 y 2 D2 x E2 y F2 ) 0 ( 1 )
【高中数学】秒杀秘诀---直线系和圆系方程
直线系和圆系方程定义：如果两条曲线方程是f 1(x ，y)＝0和f 2(x ，y)＝0，它们的交点是P （x 0，y 0），方程f 1(x ，y)＋λf 2（x ，y ）＝0的曲线也经过点P （λ是任意常数）。
由此结论可得出：经过两曲线f 1(x ，y)＝0和f 2（x ，y ）＝0交点的曲线系方程为：f 1（x ，y ）＋λf 2（x ，y ）＝0。
利用此结论可得出相关曲线系方程。
一.直线系概念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系。
它的方程称直线系方程。
几种常见的直线系方程：（1）过已知点P （x 0，y 0）的直线系方程y －y 0＝k （x －x 0）（k 为参数）（2）斜率为k 的直线系方程y ＝kx ＋b （b 是参数）（3）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程Ax ＋By ＋λ＝0（λ为参数）（4）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程Bx －Ay ＋λ＝0（λ为参数）（5）过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）＝0（λ为参数）例1：已知直线l 1：x ＋y ＋2＝0与l 2：2x －3y －3＝0，求经过的交点且与已知直线3x ＋y －1＝0平行的直线分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。
解：由原方程得m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，①即⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-+=-+4y 9x 05y x 01y 2x 解得，∴直线过定点P （9，－4）例3：求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。
几种常见的圆系方程：（1）同心圆系：（x －x 0）2＋（y －y 0）2＝r 2，x 0、y 0为常数，r 为参数。
圆与直线的位置关系d的公式
圆与直线的位置关系d的公式
圆与直线的位置关系可以通过计算圆心到直线的距离（称为d）来确定。
计算d的公式为：
d = |Ax + By + C| / √(A^2 + B^2)
其中A、B和C分别为直线一般式（标准式）的系数，即Ax + By + C = 0。
该公式的实际应用场景有很多，例如：
1. 测量圆形物体的半径和位置。
通过画一条直线和圆形物体相交，然后使用上述公式计算圆心到直线的距离，可以确定圆形物体的半径和位置。
2. 计算机图形学。
计算机图形学中需要确定直线和圆的位置关系，以便进行图像处理和渲染。
通过计算圆心到直线的距离，可以实现这一目的。
3. 土木工程。
在建筑和土木工程中，需要计算线路和路径的位置关系。
通过计算圆形隧道或拱形桥梁的半径和位置，可以确定线路和路径的位置关系。
在工程、科学和技术的许多领域中，计算圆与直线的位置关系是一个重要的问题。
使用上述公式可以快速准确地计算d，以确定圆心和直线之间的距离，并在实际应用中得到广泛应用。
直线系和圆系方程及其应用(汇编)
第五讲、直线系方程和圆系方程的应用1．过两直线的交点的直线方程设：l 1:A 1x+B 1y+C 1=0l 2: A 1x+B 1y+C 1=0过两直线的交点的直线为l,则l 方程为: A 1x+B 1y+C 1+λ（ A 1x+B 1y+C 1）=0例1．已知直线经过直线7x+7y=24及x-y=0的交点且和原点的距离为512，求直线方程。
解：设所求直线为7x+7y-24+λ(x-y)=0,变型为（7+λ）x+(7-λ)y-24=0由点到直线距离公式得：d=22)7()7(24λλ-++=512,解得λ=±1 故所直线方程为：4x+3y-12=0或x+4y-12=0。
2．过两圆的交点的圆系方程设：O 1:x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0O 2:x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0过两圆的交点的圆系方程为O,则O 为(x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1)+λ（ x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2）=0例2．求圆心在直线3x+4y-1=0上且过两圆x 2+y 2-x+y-2=0与x 2+y 2=5交点的圆的方程。
解：设方程为x 2+y 2-x+y-2+λ( x 2+y 2-5)=0， 变型为：0152111122=++-+++-+λλλλy x y x 故圆心为（)1(21,)1(21λλ+-+），代入直线方程得，01_)1(24)1(23=+-+λλ，解得23-=λ所求为：x 2+y 2+2x-2y-11=03．过一圆和一直线的交点的圆系方程设：O:x 2+y 2+Dx+Ey+F=0l :Ax+By+C=0 则过这个圆和这条直线的交点的圆系方程为O,则O 为(x 2+y 2+Dx+Ey+F)+λ（ Ax+By+C ）=0例3．求过圆x 2+y 2-2x=0与直线x+2y-3=0的交点，圆心在y 轴上的圆的方程。
解：设所求圆的方程为x 2+y 2-2x+λ（x+2y-3）=0变型为x 2+y 2-(2-λ)x+2λy-3λ=0 圆心为（22λ-，-λ）因为圆心在y 轴，故λ=2，所求圆的方程为x 2+y 2+4y-6=0 上述方程的应用，可以起到化繁为简，化难为易的效果。
直线和圆的方程公式
直线和圆的方程公式1. 直线的方程公式直线是平面几何中最基本的几何图形之一，它可以用线段扩展而成。
在平面直角坐标系中，直线可以用一般式方程、点斜式方程和斜截式方程来表示。
•一般式方程：一般式方程的一般形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数且A和B不同时为 0。
这种形式的方程常用于直线的相关计算。
•点斜式方程：点斜式方程的一般形式为y - y₁ = m(x - x₁)，其中(x₁, y₁)是直线上的一点，m是直线的斜率。
该方程表达了直线上任意一点(x, y)与直线上已知点(x₁, y₁)的斜率相同。
•斜截式方程：斜截式方程的一般形式为y = mx + b，其中m是直线的斜率，b是直线在 y 轴上的截距。
该方程表达了直线上所有点(x, y)的坐标。
2. 圆的方程公式圆是平面上到一个固定点距离相等的所有点的集合。
在平面直角坐标系中，圆可以用一般式方程和标准方程来表示。
•一般式方程：一般式方程的一般形式为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。
•标准方程：标准方程的一般形式为x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F 是常数且D和E不同时为 0。
标准方程可以通过一般式方程展开推导得到。
3. 方程示例以下是直线和圆的方程示例：•直线方程示例：–一般式方程：2x - 3y + 5 = 0–点斜式方程：y - 4 = -2(x + 1)–斜截式方程：y = 2x - 3•圆方程示例：–一般式方程：(x - 1)² + (y + 2)² = 9–标准方程：x² + y² + 4x - 6y - 12 = 0这些方程示例展示了如何根据给定的条件得到直线和圆的方程。
它们可用于解决与直线和圆相关的计算和分析问题。
通过了解直线和圆的方程，我们能够更好地理解它们在平面几何中的特性和应用。
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直线系和圆系相关公式推导和例题
如何推导出过两直线交点的直线系方程
假设直线1与2的交点为（x1,x2）则直线1可化为（x-x1）/B1=(y-y1)/A1,直线2可化为：（x-x1）/B2=(y-y1)/A2 那么B1/(x-x1)=A1/(y-y1), (1)
B2/(x-x1)=A2/(y-y1).......2 2式左右两边各乘以N得
NB2/(x-x1)=NA2/(y-y1) (3)
2式+3式（左右两边），得B1/(x-x1)+NB2/(x-x1）=A1/(y-y1)+NA2/(y-y1)，整理得
(B1+NB2)/(x-x1）=(A1+NA2)/(y-y1),整理得：A1x+B1y+C1+N（A2X+B2Y+C2）=0
有谁能推导过直线Ax+By+C=0与圆x²+y²+Dx+Ey+F的交点的圆系方程?
x²+y²+Dx+Ey+F+m(ax+by+c)=0
设P(x0,,y0,)是直线Ax+By+C=0与圆x²+y²+Dx+Ey+F=0的的任意一个交点
则Ax0+By0+C=0与圆x0²+y0²+Dx0+Ey0+F=0
从而x0²+y0²+Dx0+Ey0+F+m(Ax0+By0+C)=0
即p 是方程C x0²+y0²+Dx0+Ey0+F+m(Ax0+By0+C)=0
表示的曲线C上的点，
由于任意一个交点在曲线C上，所以，所有交点都在曲线C上
即曲线C 经过直线Ax+By+C=0与圆x²+y²+Dx+Ey+F=0的所有交点，或经过直线
Ax+By+C=0与圆x²+y²+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程为：
x²+y²+Dx+Ey+F+m(ax+by+c)=0
解：点P（x1,y1）
圆心为O（a,b）
则（x1-a）²+(y1-b)²=r²
直线OP的斜率为：k（OP）=(y1-b)/（x1-a）
切线的斜率为：k=1/k（OP)=（x1-a）/(y1-b)
切线方程为：y-y1=(x1-a）/(y1-b) ×(x-x1)
(y-y1)(y1-b) -(x1-a）(x-x1)=0
[ (y-b)+(b-y1)](y1-b)-[(x-a)+(a-x1)](x1-a)=0
(y-b)(y1-b)-(y1-b)²+(x-a)(x1-a)-（x1-a）²=0
(y-b)(y1-b)+(x-a)(x1-a)=（x1-a）²+(y1-b)²
即：(y-b)(y1-b)+(x-a)(x1-a)=r²
故证
过圆(x-a)²+(y-b)²=r²上点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y o-b)(y-b)=r²
过圆x²+y²+Dx+Ey+F=0上一点P(x0,,y0,)的切线方程为x0x+y0y+D[(X+X0)/2]+E[(Y0+Y)]+F =0
过圆外一点P(x0,y0)圆的切线切线长为√[(x0-a)²+(y0-y)²-r²}或√（x0²+y0²+Dx0+Ey0+F) 问题补充：
过圆x²+y²+Dx+Ey+F=0上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y+D[(X+X0)/2]+E[(Y0+Y)/2]+ F=0
过两相交圆得交点的直线方程公式证明
过两圆交点的圆系方程
已知圆A：x²+y²+D1x+E1y+F1 =0与圆B：x²+y²+D2x+E2y+F2=0，
方程：x²+y²+D1x+E1y+F1+λ(x²+y²+D2x+E2y+F2)=0 …… ①,
当λ≠-1 时，方程①表示过圆A与圆B的交点的圆系的方程，当λ=0时，表示圆A，但不能表示圆B；当λ=-1 时，若圆A与圆B相交，方程①表示圆A与圆B的公共弦所在的直线方程，当圆A与圆B相切时，方程①表示圆A与圆B 的公切线方程，当两圆相离时，方程①表示与两圆连心线垂直的方程，在解圆的有关问题，常常用到这一结论，可以起到事半功倍的效果。